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编者：孙斌
策划编辑：孙斌
封面设计：孙斌
- 1 -
前言编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂
结论。本书筛选了 2010-2018 年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。
不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。
本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。
由于本书是编者一人收集整理完成，如有疏漏与错误，还请包涵与指正。
- 2 -
目录
第一章 题目信息转化为坐标表达/4
1.1 距离公式与弦长公式/5
1.2 题目核心条件转化为坐标/10
1.3 转化为坐标后，怎么处理/16
第二章 获得点的坐标解决问题/23
2.1 通过表示点的坐标解决问题/24
2.2 怎么获取点的坐标/26
2.3 设点与设直线结合起来/37
第三章 定点定值/41
3.1 什么样的直线过定点/42
3.2 怎么解决直线过定点/43
3.3 圆过定点与定值举例/48
第四章优化计算/50
4.1 反设直线/51
4.2 简化运算的技巧/53
第五章 面积与最值/56
5.1 三角形的面积表达/57
5.2 求最值之变量化一/63
5.3 求最值之均值不等式/64
5.4 求最值之借助导数/68
第六章 切线/70
- 3 -
第七章 轨迹方程/77
第八章 借助几何分析解决问题/82
第九章 探索类问题/98
第十章 对称问题/104
第十一章 弦中点与点差法/109
- 4 -
第一章 题目信息转化为坐标表达
总思路：
题目中核心信息
可使用韦达定理的形式
坐标表达式
联立直线与曲线
例：
过定点求证且交于与直线抛物线 AB,,,,42 OBOABAlxy
).,(),,(, 2211 yxByxAmkxyAB 为：设直线
OBOA 0
44 21
22
21
yyyy0
2121
yyxx 1621 yy
0444
22
myky
xymkxy
联立
)0,4()4(4416421 直线过代入到直线方程 xkkkxykm
kmyy
首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：
0)(2)(1 222222222
2
2
2
bmaxkmaxkabmkxy
by
ax
联立得拿椭圆来说：
- 5 -
222
222
21222
2
21)(,2
kabbmaxx
kabkmaxx
而韦达定理
可以观察到：
第一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的 mkba ,,, 22 这些参数有关。
而我们题目中往往会要求我们求这些参数或者参数的范围。
第二，题目中核心条件往往可以转化为与 2121 ,,, yyxx 有关的坐标形式。
总之，韦达定理是一个桥梁，它连接了题干中的条件与方程中的参数。所以我们
第一章的所有题的总思路，都是先把题目信息坐标化，然后联立直线与曲线，最
后使用韦达定理。
1.1 距离公式与弦长公式一，距离公式
假设 ),(),,( BBAA yxByxA ，则 BA, 之间的距离：
BAAB
BAABBABA yyk
xxkyyxxAB 2222 111)()( ，
1.距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标和斜率共计三个量即可表示距离。2.如果 A 与 B是曲线上的两个点，那么上述式子称之为弦长公式。3.弦长公式是万用的，只要是直线与曲线有两个交点 A,B.都可以用上述式子计算弦长。
我们看下面两个例子：
,,,215
22
两点与该椭圆相交于的直线且过点，斜率为的右焦点为例：椭圆 BAlFFyx
FBFA求
息坐标化：解析：第一步：题目信
),F(yxByx 02),,(),,(A 2211 因为设
- 6 -
2211 122 xxxkFA FAFA所以
2211 222 xxxkFB FBFB所以
4)(25225 212121 xxxxxxFBFA
得与椭圆第二步：联立所得直线 15
22 22
yxxy
.2140,
75
211501540-21 2121
2 xxxxxx 其中
第三步：使用韦达定理
4)(22 2121 xxxxFBFA
学会使用方法，答案略。
的距离公式？使用关于的距离公式，我们能否于思考：解答使用的是关 yx
BFBAB
AFAAB
yyyk
FByyyk
FA 211,211 22 答：
2122 yyyyFBFA BA 所以
.0.,
.,0:
化，使得距离公式大幅简坐标为
可以留心有没有纵这给我们的经验就是：保留去
联立时只需要消得非常简洁距离公式的话，结果变
的使用关于点的纵坐标是由于这里我们观察到
yx
yF
的垂两点，与椭圆交于的直线过右焦点江苏】知椭圆【 ABBAlyx ,F,12
2015 22
kABPCP,CABx ，求已知于点和直平分线交 2,2
),1(),2
,2
(),,(),,(A 21212211
xkyAByyxxCAByxByx 为设直线的中点为思路：设
kkABPC PC
1 ，所以因为
22)1(1
22)1(11 2122122 xx
kxx
kxxkPC CPPC
- 7 -
212
2122 111 xxkxxkxxkAB BA
程了使用韦达定理代换的过与接下来的任务就是联立 ),1(12
22
xkyyx
1k答案：对距离公式的理解：不需要求解 P 点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐标以及斜率即可。
二.抛物线中的弦长公式
两点，的直线与抛物线交于过焦点①已知抛物线 BAFppxy ,),0(22
，那么设 ),(),,( 2211 yxByxA
2
2 21pxBFpxAF
pxxBFAFAB 21
两点，的直线与抛物线交于过焦点②已知抛物线 BAFppyx ,),0(22
，那么设 ),(),,( 2211 yxByxA
pyyAB 21同理：
注意：1. 如果直线过焦点 F，则不必使用弦长公式，而是使用更快捷的焦半径公式。2. 不要盲目使用，直线不过焦点的话，我们还是得乖乖的使用万能的弦长公式。
ABBAxylM ，求其中直线的斜率为两点交于与抛物线作直线例：过 1,,4)0,2( 2
ABBAxylM 求其中直线的斜率为两点交于与抛物线作直线例：过点 ,1,,4)0,1( 2
.,)0,1(4: 2 两点交于的直线与曲线，已知过点例：已知曲线 BACxyC
.111
BFAF求证：
- 8 -
)0(1:4:2015 2
2
2
2
22
1 babx
ayCFyxC 也是椭圆的焦点湖南文】已知抛物线【
2121 ,,62 CBAClFCC 两点，与相交于与的直线过点的公共弦长为与的一个焦点，
., 同向与两点，且相交于 BDACDC
;)1( 2的方程求C
.,)2( 的斜率求直线若 lBDAC
).(等量加等量，和相等帮忙，即提示：代数不行几何来 CDABBDAC
4621
89)1(
22
kxy）；（答案：
建议记住的内容(你会发现节约大量运算时间的)：
两点交于与直线设椭圆 BAmkxyby
ax ,12
2
2
2
二次项系数
二次项系数则
)(41
)(41
2222
222
2222222 mba
kkab
mkabbakAB
.2的系数与椭圆联立后二次项系数指的是直线 x
三.圆的弦长公式。
理与勾股定理来求解：圆的弦长可借助垂径定
- 9 -
.,, ECDABOABABOERO 交于点与直径的弦，为圆其中的半径为如图，圆
222, dRABdOE 则
.的距离公式时，需要使用点到直线计算d
BAayxCyax ,4)()1(02)2014( 22 相交于的圆与圆心为已知直线重庆
______aABC为等边三角形，则实数两点，且△
所以圆心到直线的所以等边，且圆的半径为思路：结合图像：△ .2.2 ABABC
.3距离为
1
2202),1(
2
a
adyaxa 的距离到直线又圆心
15431
222
a
a
a，解得所以
两点，，交于与直线焦点为陕西文】椭圆【 BAmxylFFyx
21:),(1
342014 21
22
.,4
35,21 的方程求直线两点，且满足为直径的圆交于与以 lCDAB
DCFF
- 10 -
满足点的左右焦点分别为天津文】椭圆【 ),(.,)0(12011 212
2
2
2
baPFFbaby
ax
212 FFPF
;)1( 求椭圆的离心率
相交与圆两点，若直线与椭圆相交于设直线 16)3()1(,)2( 2222 yxPFBAPF
.,85, 求椭圆的方程两点，且于 ABMNNM
1.2 题目核心条件怎么转化为坐标圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关，那么具体如何转化为坐标表达，
下面举出常见的案例（缺失部分自己请同学们自行查阅回顾）：
的坐标表达式关于
将下列问题换为为原点与某曲线相交，设已知直线
2121
2211
,,,,),0,2(),,(),,(
yyxxOMyxByxAAB
怎么办？问：遇到 OBOA .1
答： 00 2121 yyxxOBOA
又答：
怎么办？问：遇到 MBMA .2答：
怎么办？问：遇到 MBAM 2.3
答：
4.问：遇到 怎么办？,MBMA
22
22
21
21 )2()2( yxyx 答：
又答：
三点共线，怎么办？问： MBA ,,.5
- 11 -
22 2
2
1
1
xy
xy
kk MBMA答：
为锐角怎么办？问：遇到 AMB.6
0MBMA答：
共线，怎么办？与问：遇到 MBOA.7
答：
BMAMABM 2.8 上，在直线问：
答： 0112011 2212 yk
yk （弦长公式）
倍的面积的的面积等于 2.9 BOMAOM
答： 21 2 yy
BMOAMO .10
022
02
2
1
1
xy
xy
kk BMAM答：
MAB的中垂线过点.11
22
22
21
21 )2()2( yxyxBMAM 答：
.1 00 0的方程等号成立代入直线，，则的中点为又答：取 ABMkkMAB MMAB
为直径的圆上在以点 ABM.12
0MBMA答：
为直径的圆内在以点 ABM.13
0MBMA答：
顶点为临边的平行四边形的是以 OBOAM ,.14
答：
TBTA
yxByxAT 三点共线，则),(),,(),0,1(.15 22`1`1
2
`1
yy
答：
- 12 -
,cos
,sin),,(),,(.16
21
212211
xxAB
yyABAByxByxA
，则的倾斜角为直线设
ACACAI
ABABAIABCI
的内心，则是△若.17
18. 的垂心，则为△若 ABCH
答：
)3
,3
(),,(),,(),,(.19 321321332211
yyyxxxABCyxCyxByxA
的重心坐标则△设
ONOQ
OQOM
ONQOQMyQxNM 正切值相等轴上在点轴上在点 ,,,.20
处的切线方程在 ),(2.21 112 yxApxy
pxpxyy 11答：
处的切线方程在 ),(2.22 112 yxApyx
pypyxx 11或答：求导数写切线方程
AMBBCMBACMA 求相切于点与圆相切于点与圆 ,,.23
也可尝试正切入手，半径
答： ,21
MCsin AMBAMCAMC
OAAMAMOAOMAOM 中，△.24
BAMABMBMAMAB sin,.25 则中，设△
)(cos.26 数量积与投影OB
OBOAAOBOA
可以看出：上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点
共线、直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达，像垂直、平行、
向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理，我们往往借助三角函数，
可以把角度转化为长度表达.有时候还需要借助几何分析:如初中三角函数定义，
- 13 -
相似三角形，圆的相关几何定理，平行四边形的性质等。
轴正半轴的交点，若是椭圆于两点，于交椭圆例：已知直线 yBNMyxl ,8054 22
___________的方程为焦点，则直线的重心恰好为椭圆的右△ lBMN
交于与圆的直线且斜率为新课标文】已知过点【 1)3()2(:)1,0(2015 22 yxClkA
., 两点NM
的取值范围求k)1(
MNOONOM 为坐标原点，求其中若 ,12)2(
是两点，圆于交的直线过点】已知抛物线全国【 MBAClxyC ,)0,2(,2:32017 2
.为直径的圆以线段AB
上；在圆证明：坐标原点 MO)1(
.),2,4()2( 的方程与圆求直线过点设圆 MlPM
- 14 -
两点，判断点交椭圆于设直线福建理】已知椭圆【 BAmyxyx ,,1,124
201522
.)0,49( 为直径的圆的位置关系与以线段ABG
)0(12011 2
2
2
2
222
1 baby
axCbbyxC ：经过椭圆：物线江西文】如图，已知抛【
.的两个焦点
;)1( 2的离心率求椭圆C
121,),,3()2( CQMNyCCNMbQ 的重心在抛物线轴上的两个交点，若△不在与为又设
.21 的方程和上，求 CC
可以使用韦达定理哟呵立后得到的二次方程也提示：抛物线与椭圆联
- 15 -
焦点的顶点分别为陕西】如图，椭圆【 ,,,,)0(1:2010 21212
2
2
2
BBAAbaby
axC
.2,7,,221122111121 FBFBBABA SSBAFF 为
的方程；求椭圆C)1(
两点的直线，点，与椭圆相交于垂直相交于是与为过原点的直线设 BAPnln ,,)2(
成立，使得是否存在上述直线 0.1 OBOAlOP
- 16 -
,)0,1(,4:)2010( 2 AClKFxyC 相交于与的直线过点的焦点为已知抛物线全国改
.DxAB 轴的对称点为关于两点，点
上；在直线证明：点 BDF)1(
),(),,(),,( 112211 yxDyxByxAmkxyl 则，的方程为思路：设直线
11.,,
1
1
2
2
xy
xy
kkDBFBDF FDFB即证三点共线即证明上在直线要证
1.3 转化为坐标以后，怎么换算为可以使用韦达定理的形式
通过上一讲最后我们发现：题目信息如果能直接化为含有 21212121 ,,, yyyyxxxx
的，当然最好，直接联立代韦达定理即可。但如果转换结果为例如：
的，怎么办？，，， 21212
2
1
122
2121 3,2
22)1)(1( yyxx
xy
xy
xxxx
这一讲我们来解决这个问题：
方向一：代换
用直线方程代换掉式子中的 21 , yy 再化简：
mkxymkxy
22
11 ,
用曲线代换掉式子中的 21, yy 再化简，如：
22
2
12
1
2
2
pxy
pxy
我们看两个简单的例子：
- 17 -
的方程求直线若设
与抛物线交于直线例：抛物线
ABkk
tyxAByxyxAABxy
BMAM ,81),1,2(M
2:),,(B),,(, 22112
,)1)(1(
21
21
21
21
2
2
1
1 做代换）（这里是直线提示： ABtytyyy
xy
xy
kk BMAM
,16-,,4 2 处的切线斜率之积为处的切线与在抛物线在上有两个点例： BABAxy
三点共线求证： MBAM ,,),1,0(
),,(),,( 2211 yxByxA解析：反证法思路：设
222
211
2
2
1
1B 4,4,
11xyxy
xy
xy
kk MMA
因为要证三点共线，先证
141414
212
22
1
21
xxxx
xx
化简约去公因式得要证所以先证
.,8,8A,8'4 212 由题意得证点的斜率为在点的斜率为在求导得对 xBxxyxy
很多证明题可以通过反证法入手！
总之，代换桥梁有两个：要么用直线代换，要么
用曲线代换。甚至是椭圆也可以参与代换，比如:
),(),,(,21,1
4 22112
2
yxByxAkxyyx直线与椭圆交点为直线为例：椭圆
..)1,0(),1,0( 的取值范围，求设MA
NB
kk
NM
.)1()1(
1
2
2
1 的取值范围，解析：即求yy
xx
接使用韦达定理么？，代换完之后，方便直代换掉请读者动手实践用直线 21 , yy
,),1( 1 式凑得该式子椭圆中可以用平方差公，这时观察到有我们尝试用椭圆来代换 y
- 18 -
那么就有代换的可能性。尝试如下：
)1)(1(44414 11
21
21
21
21
21 yyxyxyx
可以使用韦达定理即会发现原式去代换掉21
211
)1)(1(4),1(
xxyy
y
方向二：凑配
212
212
21
21
4)()( xxxxxx
xx
答：
怎么办？例：遇到
例： 怎么办？遇到2
22
1 xx
答：
怎么办？例：遇到 21 xx
21212
21 2)( xxxxxx 答：
?)3)(3( 21 怎么办例：遇到 xx
答：
kxxyy
21
21例：遇到
怎么办？例：遇到 22
22
21
21 )1()1( yxyx
)2()2)((
212121
211221
yykxxxxyyyy
xx 即答：平方差公式变形为
252)(
25
212
,2
21
212
21
21
22
21
1
2
2
1
21
xxxxxx
xxxx
xx
xx
xx
答：凑配倒数关系：
怎么办？常见案例：遇到
线的方程。
，求抛物向量点轴交于两点，与交于与例：直线 MAMBMxBApxyxy 2,,21 2
，则，解析：设 )0,1(M),(),,( 2221 yxByxA
25
212
),1(2),1(22
1
1
2
12
121122
yy
yy
yyxx
yxyxMAMB
- 19 -
①通分变形得252
)(252)(
21
221
21
212
21
21
22
21
yyyy
yyyyyy
yyyy
.02221 22 ppyyxpxyxy 得，消去与联立
292
2522,22 2121 pppyypyy 代入①得，
xy292 所以抛物线方程为
.102013 2 yx 福建理】已知抛物线【
OCNOCMNMlCC 与△若△点与抛物线交于不同的两作直线，过点设点 ,,)10,0()2(
.14 的方程，求直线：的面积之比为 l
.2)0,1(4),(2013 倍距离的的距离是它到点：到直线陕西文】已知动点【 Nxlyx
的方程；的轨迹求动点 CM)1(
.,)3,0()2( 的斜率的中点，求直线是两点，若交于与轨迹的直线过点 mPBABACmP
且离心率为经过点圆陕西文】如图，已知椭【 ),1,0()0(1:2015 2
2
2
2
Ababy
axE
- 20 -
.22
的方程；求椭圆E)1(
),(,),1,1()2( AQPEk 均异于点交于不同的两点的直线与椭圆且斜率为经过点
2: AQAP kk证明
.44
:,)2017(2
的横坐标之和为与上两点，为曲线设全国文 BAxyCBA
的斜率；求直线AB)1(
求直线平行，且处的切线与直线在上一点，为曲线设 ,)2( BMAMABMCCM
.的方程AB
- 21 -
CFFbaby
axC 的直线与椭圆过点的左焦点为辽宁理】设椭圆【 ,)0(1:2010 2
2
2
2
FBAFlBA 260, ，的倾斜角为两点，直线相交于点
求椭圆的离心率；)1(
.,4
15)2( 的方程求椭圆如果 CAB
为底以两点与椭圆交于的直线斜率为北京文】已知椭圆【 ABBAlyx ,,1,1412
201122
)2,3(P边作等腰三角形，顶点
.)2( 的面积求△PAB
轴且与，过点离心率的左焦点为天津】设椭圆【 xFFbaby
ax
33,)0(12013 2
2
2
2
334
的线段长为垂直的直线被椭圆截得
求椭圆的方程；)1(
两点，的直线与椭圆交于且斜率为，过点分别为椭圆的左右顶点设 DCkFBA ,,)2(
- 22 -
.,8 的值求若 kCBADDBAC
斜率的左，右焦点，过分别是椭圆全国】设【 12
2
2
2
21 )0(1:,2010 Fbaby
axEFF
.,,,1 22 成等差数列两点，且相交于与的直线为 BFABAFBAEl
的离心率；求E)1(
.,)1,0()2( 的方程求满足设点 EPBPAP
文】全国【 12018 设抛物线 2 2C y x： ，点 (2,0)A ， ( 2,0)B ，过点 A的直线 l与C交于M，
N两点.
（1）当 l与 x轴垂直时，求直线 BM 的方程；
（2）证明： ABM ABN .
- 23 -
第二章 获得点的坐标解决问题总思路：用尽可能少的字母表示出所有点的坐标来解题。
.,
),,(
00
00
来表示
所有的点坐标围绕
设主动点为
yxyx
来表示
所有点的坐标围绕
设直线的斜率为
kk ,
.
.,,),,)(,(
212,1
2211
再结合第一章思路
表达所有的点都由
有时需要设出
yyxxyxyx
- 24 -
2.1 通过表示点的坐标来解决问题我们在第一章讲了题目信息转化为坐标，然后直线与曲线联立用韦达定理的
思路。但是有些题并不太适用这一方法，而是通过表示出每个点的坐标来解决。
下面给出两个个例子体会一下这种做法的好处：
.)1,0(1 2 的距离的最小值到点上的动点：求例 MPxy
),,(,,, 200
200
2 xxPxxPxyP 从而则纵坐标为横坐标为所以设上在解析：因为
求最值即可所以这样变量只有一个 ,)1(, 220
20
20 xxPMx
.,)1,1(2 的最小值两点，求的直线与坐标轴交于：过例 ABBA
),0,11(),1,0(,1)1( k
BkAxky 则解析：设直线为
找最值即可那么 ,)11()1( 222 k
kAB
通过上述题，我们尝试提出两个思路：思路 1：设动点的坐标；思路 2：设动直线的斜率，然后直线与其他曲线联立获得交点；也就是说：做题的第一步可以尝试设主动点的坐标或者设动直线的方程原则上：1：字母尽量保证少2：可以多预设一个字母，但多设的字母要最终代换为已知字母。有时候为了计算过程简洁，暂时不必急着代换掉.
比如下面的四个例子：
这种思路的关键：所有点的坐标都尽量由一个字母表示。这样无论是长度，还是直线的方程，还是交点，都可以围绕所设的这个字母写出来。
- 25 -
,12 上的点如：直线 yx ),12( 00 yy 可设为
可以设为上的点如：抛物线 ,22 pxy )2,2(),,2
( 20
20 ptptypy
或是设为
)2,2(2,,,,),,2(),,1( tBtnBAOnBtA 点坐标可以设为那么三点共线且例：设
的交点切线与处的切线方程为：在切点例： 1,22),(4 00002 xyyxxyxyx
)22
,1( 00 yx 为
上一点是圆】已知点新课标【 222017 22 yxP ,设点Q在直线 3x 上，且
1OP PQ
.证明：过点 P且垂直于OQ的直线 l过点 )0,1(
),3(),,( 00 tQyxP 解析：设点
0
0
0
02
02
00000
33311)()3-(1
yx
yxyx
tyytxxOQOP
由 .
)33
,3(0
0
yx
Q
所以
0
000 3
333
,yxtOQyx
的斜率展开来写，如直线绕这样所有的量都可以围
000
0 )(33
3yxx
xy
yl
按照点斜式可以写为：直线 .
.,01 得证代入得将 yx
我们在做题中经常会忽略一个等式：点 ),( 00 yx 在曲线
0),( yxf 上，满足曲线方程 0),( 00 yxf
- 26 -
2.2 怎么获取点的坐标？
既然表示点的坐标来解题有很多好处，那么问题来了：怎么获得点的坐标呢？
如何保证变量尽可能少？
下面给出一些想法与模型：
想法：先设出主动点，与主动点有存在等量关系的那些点，可以用主动点的坐标表达出.
想法：可以联立直线方程得到点的坐标.
的坐标求轴交于作切线，与上，过在抛物线例：已知 PPyAxyyxA ,),( 200
20
200000 2,0),(2 xxyyxxxxyy 得令解：切线方程
。则关于原点对称的点为为椭圆上一点，点例：已知 ),(,),( 0000 yxBBAyxA
的坐标求例：已知 MMBAMByxA ,2),1,0(),,( 00
)1,0(2),(),,( 00 yxyyxxyxM 则解：设
yyyxxx 22,2 00 即：
)3
2,
3(
32
,3
0000 yxM
yy
xx
即解得：
轴的交点与试表示出直线例：点 yPQQyxP ),0,2(),,( 00
)2
2,0(),2(
2:
0
0
0
0
x
yyx
xy
yPQ 轴交于与解：直线
).2,2(,202,),,2(),,1(t
Bt
ntnOBOAnBtA 点设为从而那么且例：设
的坐为坐标原点，点点的方程为安徽文】设椭圆【 AObaby
axE ),0(12015 2
2
2
2
的斜率直线上，满足在线段点的坐标为点标为 OMMABMABMbBa ,2),,0(),0,(
.10
5为
- 27 -
的离心率；求E)1(
.),,0()2( ABMNACNbC 的中点，证明为线段的坐标为设点
的为抛物线上，：的三个顶点都在抛物线浙江文】已知△【 CFyxCABP 42014 2
.3FMPFABM 的中点，为焦点，点
的坐标；求点若 MPF ,3)1(
记抛物线的焦半径公式提示：这里你可能会忘
长度的最小值。，求线段上，且椭圆
在上，点在直线为原点，若点设：北京文】已知椭圆【
ABOBOACyAOyx
B2,42C2014 22
- 28 -
H.CON,,)0(2:,)0(:2016 2
于点并延长交连接的对称点为于
关于点交抛物线轴于点交全国文】直线【
NPMPppxyCMyttyl
;ONOH
)1( 求
.)2( 明理由是否有其他公共点？说与抛物线以外，直线除 CMHH
轴交与直线是椭圆上一点，设北京理】已知椭圆【 yPABAPyx ),1,0(),0,2(,14
2016 22
.., 为定值求证：轴交于点与直线于点 BMANNxPBM
练： ,A B分别是椭圆 2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左右顶点，F 为其右焦点，2 是
,AF FB 的等差中项， 3 是 ,AF FB 的等比中项
（1）求椭圆C的方程
（2）已知P是椭圆C上异于 ,A B的动点，直线 l过点 A且垂直于 x轴，若过 F 作
直线FQ AP ，并交直线 l于点Q。证明： , ,Q P B三点共线
- 29 -
在点轴的交点为与准线的焦点为福建文】如图，抛物线【 CAxlFxyE .,4:2013 2
NMlCCOCE ,交于不同的两点与准线为半径作圆，设圆为圆心，上，以抛物线
;,2)1( MNC 求的纵坐标为若点
.)2( 2的半径，求圆若 CANAMAF
想法二：什么时候适合设斜率来解题呢？
).23,3(3)0,2(2 kxk
xkxy 的交点为；与轴的交点为与例：直线
.的式子表达出通过含有他点的坐标都比较容易启示：设出直线后，其 k
下面给出第一个模型“知一求二”模型：已知直线与曲线相交于两点，已知其中一点的确切坐标，可以通过联立，使用韦达定理表示出另一个点的坐标.
设直线为两点，其中直线与椭圆交于已知椭圆例：如图 ),1,0(,,14
, 22
ABAyx
方法如下：的式子表达出的坐标可以用含有那么 ,,1 kBkxy
- 30 -
114
22
kxyyx和联立
08)41( 22 kxxk得
1,0),(),,( 112211 yxyxByxA ，显然设
22221 418,
418
kkx
kkxx
即根据韦达定理有
141
8222
kkyx 代入直线方程有讲解得的
)141
8,41
8( 22
kk
kkB点的坐标这样
这种模型有时候往往伴随着大量的运算，但不失为一种解决办法
例：已知椭圆C：2 2
14 3x y
． FE、 是椭圆C上的两个动点，点 )231( ，A 是椭圆
上的一个定点．如果直线 AFAE、 的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定
值，并求出这个定值．
解：设过点 )231( ，A 的直线方程为：
23)1( xmy
124323)1(
22 yx
xmy 2 2 233+4 +4 (3 2 ) 4( ) 12 0
2m x m m x m （ ） ．
- 31 -
设方程的两根为 1x 、 Ax ，则 1x · Ax ＝ 1x 1x ＝
2
2
34( ) 1223 4
m
m
．
分别用“ k”“ k ”替换“m”
2
2
34( ) 1223 4E
kx
k
＝
343124
2
2
kkk
，32E Ey kx k ＝
342966
2
2
k
kk，
Fx ＝34
31242
2
kkk
， Fy ＝34
2966
2
2
k
kk．
所以直线 EF的斜率 F EEF
F E
y ykx x
=
21
)3124()3124(
)2966()
2966(
22
22
kkkk
kkkk．
即直线 EF 的斜率为定值，其值为12．
和部分抛物由上半椭圆陕西理】如图，曲线【 )0,0(1:2014 2
2
2
2
1 ybabx
ayCC
.23,,,)0(1 121
22 的离心率为其中的公共点为连接而成，：线 CBACCyxyC
的值求 ba,)1(
的方程求直线，若分别交于点与的直线过点 lAQAPQPCClB ,,,)2( 21
- 32 -
的直线交椭的左顶点，斜率为是椭圆文】已知点全国【 )0(134
:2201622
kkyxEA
., NAMAENMAE 上，在两点，点于圆
的面积时，求△当 AMNANAM )1(
232)2( kANAM 时，证明当
)0,2(,,,14
2010 22
ABAlyx已知与椭圆交于不同的两点设直线天津理】已知椭圆【
的值求的垂直平分线上，且在线段点 00 ,4),0( yQBQAAByQ
.55,,)0(12015 2
2
2
2
离心率为左焦点为的上顶点为天津文】已知椭圆【 FBbaby
ax
的斜率求BF)1(
.),()2( QBPBBPPBF 的直线与椭圆交于点且垂直于过点异于点与椭圆交于点设直线
MQPMMyPQ ,轴交于点与直线
- 33 -
的值①求
.21,,)0(12017 2
2
2
2
离心率为右顶点为的左焦点为天津理】设椭圆【 AFbaby
ax
.21)0(22 的距离为到抛物线准线的焦点，是抛物线已知 lFppxyA
的方程；求椭圆的方程和抛物线)1(
轴相与直线异于与椭圆相交于轴对称，直线关于上两点设 xBQABBAPxQPl ),(,)2(
.26. 的方程，求直线的面积为若△交于点 APAPDD
Bbaby
axFF 的左右焦点，顶点分别是椭圆江苏】如图，在【 )0(1,2014 2
2
2
2
21
点轴的垂线交椭圆于另一作过点并延长交椭圆于点连接的坐标为 xAABFb ,),,0( 2
., 1CFC 连接
- 34 -
求椭圆的方程；且的坐标为若点 ,2),31,
34()1( 2 BFC
.,)2( 1 的值求椭圆离心率若 eABCF
),(,,,159
201122
mtTFBAyx设过点右焦点为的左右顶点为江苏】如图，已知椭圆【
.0,0,0),,(),,(, 212211 yymyxNyxMTBTA 其中与椭圆分别交于点的直线
的轨迹；求点满足设动点 PPBPFP ,4)1( 22
的坐标；求点设 Txx ,31,2)2( 21
.,9)3( 轴上的一定点必过求证：直线设 xMNt
- 35 -
轴，椭圆与的离心率为的椭圆四川文】过点【 xbaby
axC
23)0(1)1,0(2011 2
2
2
2
,,),0,(),0,( PxDlCaBaA 轴交于点并与与椭圆交于另一点的直线过点交于两点
.QBDAC 交于点与直线直线
的长；段过椭圆右焦点时，求线当直线 CDl)1(
.)2( 为定值时，求证：异于点当点 OQOPBP
下面再给一个常用模型：
模型：过原点的直线，与曲线联立，可以联立解出交点.如下模型：
.,,12
22
两点椭圆于直线交于与直线：如图，已知椭圆： BAkxyyx
)212,
212)
212,
212( 2222 k
kkk
kk
与（
- 36 -
)212)(1( 2
22
kkOA
出此时使用距离公式可算
有相同的的长轴为短轴，且与以椭圆：陕西】已知椭圆【 1122
2
1 ,14
2012 CCCyxC
.离心率
的方程；求椭圆 2)1( C
.,2,)2( 21 的方程求直线上，和分别在椭圆为坐标原点，点设 ABOAOBCCBAO
),0(2)0(2,2014 222
2112
1 pxpyEpxpyE ：和：已知两条抛物线安徽理】如图【
,,,,, 12122121121 BEElAAEElllO 分别交于与两点，分别交于与和的两条直线过原点
.2两点B
2211)1( BABA ∥证明：
- 37 -
2.3 把设点与设直线结合起来
有些题是既要设点，又要设直线。常见设出两个曲线上点 ),(),,( 2211 yxyx 的坐标，
以及这两个点所在直线的方程.然后其它我们需要求的点，要围绕这两个点的坐标表达出.下面给出一个非常经典的例子：
与椭圆交于的直线过其焦点点四川理】椭圆上有两顶【 lFBA )1,0(),0,1(),0,1(2011
.., QBDACPxDC 交于点与直线直线轴交于点两点，并与
的方程；时，求直线当 lCD 223)1(
.,)2( 为定值两点时，求证：异于当点 OQOPBAP
轴的交点，所以与是直线的坐标，其中问，我们要找到的是解析：第 xlPQP,)2(
.)0,1(,1 来表示了，绕，这样所有的点都要围的坐标为则为尝试设直线 kk
Pkxyl
的方程与直线线的交点，所以要写出直与直线点，它是直线对于 BDACBDACQ
与曲线的两个交点，正好是直线，注意到点的坐标并联立，首先要获得 lDCDC ,,
：所以设 ),(),,( 2211 yxDyxC
.)1(1
,)1(1 2
2
1
1 ②的方程为直线①的方程为：那么直线
xxy
yBDxxy
yAC
.1),()0,1( 点的横坐标即可，只需要联立解出由于 Qxk
yxk
OQOP QQQ
..运算量较大的，得是可以联立使用解出来，编者在这里尝试了一下 kxx
技巧也被与②式相除，这种处理计算技巧，就是把①式答案给出了一个经典的
- 38 -
很多模拟题竞相模仿：
章节中提到处理方式：，这里编者曾经在前面得：即联立消去)1()1(
11
21
12
xyxy
xxy
)1(21
211
2 1
21
1
212
1
212
1
xyxyxyx利用曲线方程代换，由
)1)(1(2)1()1(2)1()1(
11)1(
21
21
21
2
1
21
21
121
xxyy
xyy
xy
xyxy
xxx 有代换掉
.,11
11 kx
kk
xx
解得使用韦达定理代换有：
.去设点多未知量，所以不建议个动点的坐标会增加很最后提一下：尝试设某
本题综合度高，计算量大，思维跨度高，运算技巧要求强，但其中的想法与运算技巧十分值得我们去总结：
或者说的交点横坐标为定值，与直线比如要证：直线 )1(1
)1(1 2
2
1
1
xxy
yxxy
y
31212
)1()1(
112
21
12
xyxy
xxx 明上，我们可以转化为证线要证它们的交点在定直
,,)21,0(),1,1(,2017 2 NMlPxy 点与抛物线交于不同的两作直线过点北京理】抛物线【
.,,, 为原点其中交于点轴的垂线分别与直线作过点 OBAONOPxM
的中点为线段求证： BMA)2(
于分别交轴的两条直线，平行于的焦点为：全国】已知抛物线【 CllxFxyC 212 , 22016
.,, 两点的准线于两点，交 QPCBA
;AR)1( FQPQRABF ∥的中点，证明是上，在线段若
- 39 -
8)2()5(:2012 22 ymxmC北京理】曲线【
的取值范围；轴上的椭圆，求是焦点在若曲线 mxC)1(
交与曲线，直线的上方在轴的交点为与，曲线设 CkxyBABAyCm 4)(,4)2(
三点共线求证：交于点与直线直线于不同的两点 NGAGBMyNM ,,..1,,
CEDyxC 的直线与椭圆且不过点过点北京文】已知椭圆【 )1,2()0,1(,13
:2015 22
.3, MxAEBA 交于点与直线两点，直线交于
;)1( 的斜率轴，求直线垂直于若直线 BMxAB
的位置关系与直线判断直线 DEBM)2(
- 40 -
个端点是的一个焦点与短轴的两四川文】已知椭圆【 )0(1:2016 2
2
2
2
baby
axE
.)21,3( 上在椭圆点正三角形的三个顶点， EP
的方程求椭圆E)1(
的中点线段交于不同的两点与椭圆的直线且斜率为设不过原点 ABBAElO ,,21)2(
MDMCMBMADCEOMM 证明：交于与椭圆直线为 ,,,
- 41 -
第三章 定点定值
- 42 -
3.1 什么样的直线过定点过定点的直线举例：
5)12()1)(5(014
)1(1)3()2(
1)1(
mymxmkykxxkykkxy
kxy
）（
如果给出 mkxy ，那么这个直线还过定点吗？什么样子的
直线过定点？
答：我们最希望看到的是：直线表达式中，参数只有一个 k .
下面给出三个思路：
①为了证明直线过定点，一种思路是先设直线为 mkxy ，然后找出 k与m之
间的等式（例如 mk 2 ），这样代换掉m ,参数就只有一个了。
之间的等式呢？与那么怎么构建 mk
答：回顾第一章的思路，当时我们还解释了为什么使用韦达定理。
.OBOA.BA,,42 且，与抛物线交于与直线为坐标原点例：已知抛物线 OBOAOxy
过定点求证：AB
),(),,(, 2211 yxByxAmkxyAB 的方程为分析：设直线
16044
0, 2121
22
21
2121 yyyyyyyyxxOBOA 所以因为 ，
kmyymykymkxyxy 4044-4 21
22 联立得：与将
)0,4(4,4164直线过代入到直线方程得到所以 kkxykm
km
- 43 -
3.2 解决定点问题的模型与想法首先提一个模型：手电筒模型，它的作用是来解决直线过定点的问题.这个模型是摘自百度文库，感谢其作者给出的思路与启示！！
因为形似手电筒射入射出，AP为入射光，PB为
反射光，手电筒模型
如图，直线AB与曲线相交，P点在曲线上。
我们任意一个限定AP 与 BP的条件（如 BPAP kk 定值， BPAP kk 定值），
结论就是：直线AB过定点
此模型的解题步骤：1：设 AB 直线 mkxy ，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；
2：由 AP 与 BP 关系（如 1 BPAP kk ），得一次函数 )()( kfmmfk 或者 ；
3：将 )()( kfmmfk 或者 代入 mkxy ，得 定定 yxxky )( .
例（07 山东）已知椭圆 C： 134
22
yx
若直线 mkxyl ： 与椭圆 C相交于 A，B
两点（A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标。
解 ： 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 由 2 23 4 12y kx mx y
得
2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m ，2 2 2 264 16(3 4 )( 3) 0m k k m ， 2 23 4 0k m
2
1 2 1 22 2
8 4( 3),3 4 3 4mk mx x x xk k
2 2
2 21 2 1 2 1 2 1 2 2
3( 4 )( ) ( ) ( )3 4m ky y kx m kx m k x x mk x x m
k
以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0),D 且 1AD BDk k ，
- 44 -
1 2
1 2
12 2
y yx x
， 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x ，
2 2 2
2 2 2
3( 4 ) 4( 3) 16 4 03 4 3 4 3 4m k m mk
k k k
，
整 理 得 ： 2 27 16 4 0m mk k ， 解 得 ： 1 222 ,7km k m ， 且 满 足
2 23 4 0k m 当 2m k 时， : ( 2)l y k x ，直线过定点 (2,0), 与已知矛盾；
当27km 时，
2: ( )7
l y k x ，直线过定点2( ,0)7
综上可知，直线 l过定点，定点坐标为2( ,0).7
BACPlPPyx ,),1,0(),1,1(,14
2017 2212
2
相交于点且与不经过设直线全国】已知椭圆【
.,122 过定点证明直线的斜率的和为与直线两点，若直线 lBPAP
.8),0,4(2013 的长为轴上截得的弦且在点陕西理】已知动圆过定【 MNy
的方程；求动圆圆心的轨迹C)1(
轴是若交于不同的两点与轨迹轴的直线设不垂直于已知点 xQPClxB ,,),0,1()2(
.过定点的角平分线，证明直线 lPBQ
- 45 -
②为了证明直线过定点，另外一种思路是设出一个字母或两个字母，让这些字母
表示所有的量。这样写出来的直线也只含有一个字母。与第二章思路呼应。
.,,42 OBOAA，，BOBOAOxy 且与抛物线交于与直线为坐标原点例：已知抛物线
过定点求证：AB
xk
yOBkxyOAk
OBkOA 1:,:,1, 则的斜率为则的斜率为分析：设直线
)4,4(4
4
4: 2
2
2 kkA
ky
kx
xykxy
OA
联立抛物线与
)4,4(44
4
1: 2
2
2
kkBkykx
xy
xk
yOB
联立抛物线与
))(4(1
)4(1
4: 22
2 化简提公因式直线
xkkykx
kkkyAB
上一点是圆例：已知点 222 yxP ,设点Q在直线 3x 上，且 1OP PQ
.证明：
过点 P且垂直于OQ的直线 l过点 )0,1(
),3(),,( 00 tQyxP 解析：设点
0
0
0
02
02
00000
33311)()3-(1
yx
yxyx
tyytxxOQOP
.
这里，让所有的点都用含有 00 , yx 的式子表示.
000
0 )(33
3yxx
xy
yl
可以写为：那么，直线.
.,01 得证代入得将 yx
③为了证明直线AB过定点 )0,(tP ，也就是要证 BAP ,, 三点共线(使用反证法）
.,,2
2
1
1 定理的样子代换变形为可使用韦达三点共线
tx
ytx
ykkBAP PBPA
- 46 -
)0,4(..BA,,42
MABOBOAOBOAOxy
过定点求证：
且，与抛物线交于与直线为坐标原点例：已知抛物线
164
44
444
),0,4(BA,),,(),,(
2122
22
1
1
2
2
1
1
2211
yyyy
yy
xy
xy
kkyxByxA MBMA
也就是要证
即证过定点要证解析：设
16044
0, 2121
22
21
2121 yyyyyyyyxxOBOA 所以因为
)530(
),1,0(,14
22
，恒过定点求证：、于点
分别交椭圆作互相垂直的两条直线过点练习：已知椭圆
MNNM
AAyx
是直线轴上的定点，点是点的左右顶点为练习：已知椭圆 TxDBAyx )0,1(,,159
22
其中与此椭圆分别交于点轴上方的动点，设直线上的 ),,(),(,9 2211 yxNyxMTBTAxx
三点共线。，求证： DNMyy ,,0,0 21
BAClKFxyC ,)0,1(,4:2010 2 相交于与的直线过点的焦点为大纲】已知抛物线【
DxA 轴的对称点为关于两点，点
- 47 -
上在直线证明：点 BDF)1(
8)2()5(:2012 22 ymxmC北京理】曲线【
的取值范围轴上的椭圆，求是焦点在若曲线 mxC)1(
交与曲线，直线的上方在轴的交点为与，曲线设 CkxyBABAyCm 4)(,4)2(
三点共线求证：交于点与直线直线于不同的两点 NGAGBMyNM ,,..1,,
④要说明点在定直线上，就得把点的坐标表示出来
.1,,1),( 20
2000 上在定直线则点满足例：点 yxAayaxyxA
.11
2013 2
2
2
2
轴上的焦点在：安徽理】设椭圆【 xay
axE
交线上第一象限内的点，直为椭圆的左右焦点，分别是椭圆设 PFEPEFF 221 ,)2(
.:,, 11 在定直线上变化时，点当证明并且轴于点 PaQFPFQy
- 48 -
,)2,0(,4:2014 2 ACMyxC 相交于任作一直线与过点物线江西文】如图，已知抛【
DAOyBB 相交于点轴的平行线与直线作两点，过点
在定直线上；证明：动点D)1(
),(,,),,(),,(1
2122211 x
xyxDDOAyxByxA 三点共线，得由提示：设
3.3 圆过定点与定值举例
圆过定点
0 NFMFFMN为直径的圆过点以
的距离与点轴上的动点不在定直线四川】已知定点【 FPxxlFA ,21:),0,2(),0,1(2011
两点，直线于的直线交过点的轨迹为设点倍的距离的是它到直线 CBEFEPl ,,.2
.,, NMlACAB 于点分别交
的方程；求E)1(
.,)2( 并说明理由为直径的圆是否过点试判断以线段 FMN
- 49 -
定值问题所谓定值：就是表达式的结果与字母无关，字母在运算过程中可以被消去。
.,
,,,124
)0,1(
212
1
22
为定值求证：
若轴于点两点，交于交椭圆的直线例：过点
BMNB
AMNANyBAyxlM
)1,0(,1),(),( 2211 tNtyxAByxByxA 则：直线解析：设
),1()1,( 111111 yxt
yxAMNA
),1()1,( 222222 yxt
yxBMNB
11
1
111111
11
tyyt
yy
ty
所以
22
2
222211
11
tyyt
yy
ty
所以
)(1221
2121 yy
yyt
032)2(1124
2222
tyyttyxyx得与联立
23,
22
221221
tyy
ttyy
38)
32(1221 t
t
.仍然成立轴重合时，经验证结论当直线与x
的式子使用了关于而且直线设成了这里我们发现题目中的 2121 ,.1 yytyx
？，去算为那么我们能否把直线设来算2
2
2
121 11
)1(.xx
xx
xky
式来解题呢？么为何使用了第一种方答案是完全可以的。那
- 50 -
第四章 优化运算
- 51 -
4.1 巧设直线减弱运算设直线的两种方式：
)(1),1,0( 斜率存在时直线可以设为轴上一定点①正设：如：直线过 kxyy
2)0,2( tyxx ，直线可以设为轴上一定点②反设：如：直线过
),,(),,(2 2211 yxByxAtyx 与曲线交于两点点：直线③反设下要注意的易错
长表达不一样！注意这里与正设下的弦弦长 ,111AB 212
212 yytxxt
情况。需要讨论斜率不存在的
含有较多核心条件转化后的式子
轴上一定点直线过
④什么情况下反设：
,3;,.2
;.1
2121 yyyyx
., yxxy ，保留去；如果反设，倾向于消保留如果正设，倾向于消去
,15
45)0,2( 22
两点，相交于的直线与椭圆且倾斜角为例：过点 BAyx
FBFAF为椭圆的右焦点，求
)0,2(F),,(),,(A 2211 因为解析一：设 yxByx
2111 122 xxxkFA FAAB所以
22
B2 2111 xxxkFB FAB 所以
4)(22222 212121 xxxxxxFBFA
得联立消去并与椭圆设直线 yyxxy 15
2 22
310,
25015206 2121
2 xxxxxx 其中
4)(22 2121 xxxxFBFA
得联立消去椭圆解析二：设直线为 xyxyx 15
2 22
- 52 -
0146 2 yy
BFBAB
AFAAB
yyyk
FByyyk
FA 211,211 22
2122 yyyyFBFA BA 所以
有关，或者是便于如果题目中的结果多与保留思索：反设倾向于消去 21., yyyx
.21 直线表示的，可以尝试反设用 yy
),0,2(),,(B),,(, 22112 过点与抛物线交于直线例：抛物线 AByxyxAABxy
的方程。求直线若设 ABkk BMAM ,81 ),1,2(M
21
21
2
2
1
1
xy
xy
kk BMAM解析：
联立得并与为思路一：设直线 xyxkyAB 2)2(
022 kyky
)1)(1(),1)(1( 2121 yyxx 还要处理分子中的分母中的这时我们发现既要处理
计算起来很不方便.
联立得并与为思路二：设直线 xytyxAB 22
022 tyy
做代换），（这里是直线而 ABtytyyy
xy
xy
kk BMAM21
21
2
2
1
1 )1)(1(21
21
即可与这时只需要处理 2121 yyyy
221tt
kk BMAM
然后联立代入得到
答案略.
请自己用两种设法练习一下下面的例子：
同的两点）的直线与椭圆交于不是否存在过点（例：已知椭圆 0,4,134
22
yx
- 53 -
)422422(,781,, yxxANAMNM 或。若存在，求直线的方程使得
两点，交于与的直线过的右焦点为理】设椭圆全国【 BAClFFyx ,,12
12018 22
).0,2(的坐标为点M
的方程；轴垂直时，求直线与当直线 AMxl)1(
.)2( OMBOMAO 为坐标原点，证明：设
4.2 简化运算的技巧
1.相互垂直的直线，斜率可以设为 k与 k1
.
2.关于 x轴或者 y轴对称的直线，斜率可以设为 k与 k .（倾斜角互补）
3.相互平行的直线，斜率可以都设为 k .
可以将两的比如一旦题目中第一问出现为设两条直线的斜率分别 ,2',',.4 kkkk
kk 2,条相关直线的斜率设为 .
中点弦模型的启示： ,12
2
2
2
by
ax
对于椭圆 一条直线斜率设为 k，另一条直线斜
- 54 -
率设为 2
2
kab
.
5.关键词：“同理可得”（轮换对称思维）节约步骤.6.根差公式（可在求弦长时使用）
AACBxxxxCBxAx 4.,0
2
21212
那么有的两个根为
直线与椭圆联立后的根差公式
0)(2)(1
22222222
2
2
2
2
bmaxkmaxkab
by
ax
mkxy
建议记住，记住之后算弦长时有极大的便利！
7.“双根式”
))((.,0 212
212 xxxxACBxAxxxCBxAx 那么有的两个根为
ACBxAxxxxx
2
21 ))((
双根式有什么用呢？
的两根为例：已知 0, 221 CBxAxxx
ACBAxx
33)3)(3(
2
21则：计算 ，
则：计算A
CBAxx
)1()1()1)(1(2
21
这样就避开了展开后用韦达定理代入了，用的时候一定“对号入座”。
的最小值求两点与抛物线交于设两点交于
与抛物线设作两条互相垂直的直线过点的焦点为例：抛物线
FDEFFBAFEDlBAlllFFxy
.,,,,,,4
2
1212
),1(:),,(),,(A 12211 xkylyxByx解析：设
1)1)(1( 212121 xxxxxxFBAF
222
222222
21
)(4kab
mkabbaxx
- 55 -
0)42(4
)1( 22222
kxkxk
xyxky
得联立
22
2
2121214414211)1)(1(kk
kxxxxxxFBAF
所以
(这里也可以用双根式)
)(1轮换对称思维得：替换为同理，将
kk
244 kFDEF
16448 22
kkFDEFFBAF
轴的距离的差到的距离与点到点动点湖南文】已知平面内一【 yPFP )0,1(2011
.1等于
的方程；的轨迹求动点 CP)1(
与，相交于与轨迹设垂直的直线作两条斜率存在且互相过点 2121 ,,,)2( lBAClllF
.,, 的最小值求相交于点轨迹 EBADEDC
的直线交椭的左顶点，斜率为是椭圆文】已知点全国【 )0(134
:2201622
kkyxEA
., NAMAENMAE 上，在两点，点于圆
的面积时，求△当 AMNANAM )1(
232)2( kANAM 时，证明当
- 56 -
第五章 面积与最值
- 57 -
5.1 三角形的面积表达
面积的一些常见表达：
点到直线距离公式；弦长公式，高高，底底① 21S
22),0,2()0(1:2012 2
2
2
2
离心率的一个顶点为北京文】已知椭圆【 Ababy
axC
.,)1( NMCxky 交于不同的两点与椭圆直线
的方程；求椭圆C)1(
.310)2( 的值时，求的面积为当△ kAMN
形，轴正半轴围成一个三角轴正半轴，的切线与辽宁文】圆【 yxyx 42014 22
.P，切点为当该三角形面积最小时
点的坐标求P)1(
的两点，若△交于，且与直线过点轴上的椭圆焦点在 PABBAxylPCx ,3:)2(
.2 的标准方程，求面积为 C
- 58 -
),(),,( 2211 yxByxA②设
,21
21 yyOPSPxAB ABO △时，轴上定点过当直线
.21
21 xxOPSPyAB ABO △时，轴上定点过当直线
铅锤高水平宽三角形面积 21
要掌握推导过程，否则你会用错的.
离心率为的左焦点为四川文】已知椭圆【 ),0,2()0(1:2014 2
2
2
2
Fbaby
axC
.36
的标准方程；求椭圆C)1(
，当的垂线交椭圆于作上一点，过为直线为坐标原点，设 QPTFFxTO ,3)2(
.的面积边形是平行四边形时，求四四边形 OPTQOPTQ
对角线长度乘积的一半边形，面积③对角线互相垂直的四
，且知椭圆上为第三象限内一点且在设北京文】椭圆【 )0,2(A, P,14
2016 22
yx
- 59 -
的面积为求证：四边形轴于点交直线轴于点交直线 ABNMNxPBMyPAB ,,),1,0(
.定值
段长度的比值：④面积的比值转化为线
)sin21(
S,
CDP
ABP CabSDP·CPBP·APS
PBDAC 依据则交于点与线段例：线段△
△
分别两点，直线交抛物线于的直线焦点已知过抛物线例 BOAOBAlFxyC ,,4:: 2
41,2 面积之比为定值与△两点，证明△相交于与直线 MONABONMx
NM
BA
xkxk
xkxkONOMOBOA
MONONOM
AOBOBOA
SS
22
21
22
21
2
1
11
11
sin21
sin21
思路：面积之比
的斜率，中间使用了距与直线分别为直线与其中 OBOAkkxx
xxxx BA
NM
BA21(
4
)离公式转化为坐标表达
的斜率之与是动点，且直线对称，关于原点与点北京】点【 BPAPPOAB )1,1(2010
31
积为
的轨迹方程；求动点P)1(
- 60 -
与使得△问：是否存在点交于点分别与直线和设直线 PABPNMxBPAP ,,3)2(
的坐标求出点的面积相等，若存在，△ PPMN
22
2
2
2
1 23)0(12012 Cxba
by
axC 轴被曲线，的离心率为：湖南理】如图，椭圆【
.: 12 的长半轴长截得的线段长等于Cbxy
的方程；求 21 ,)1( CC
分直线相交于点与的直线过坐标原点轴的交点为与设 MBMABAClOMyC ,,,,)2( 22
EDC ,1相交于点别与
MEMD ①证明：
?3217,.,,
2
121
SS
lSSMDEMAB 使得问：是否存在直线的面积分别是△②记△
- 61 -
：⑤借助几何分析求面积
EBCABC SSADEBCDABC △△的中点，则为上一点，为中举个例子：如图，△ 2,
求面积有时候需要借助几何知识做转化，比如本案例线段成比例分割，面积表达就可以相互转化；又比如相似三角形面积比等于相似比的平方；又比如同底等高的三角形面积相等...
OPQOMP,1)0,2( 22 与△两点，若△于：作直线交圆例：过点 QPyxOM
的斜率面积相等，求直线l
于轴的垂线交椭圆作轴上一点，过为点北京文】已知椭圆【 CxDxDyx ,14
2017 22
的面积与△，求证：△于点的垂线交作过不同的两点 BDNBDEEBNAM,, DNM
54：之比为
),,(( tmMMD 以设点的坐标表示不全。所，因为点的坐标是不太合适的提示：设
),0,(),,( mDtmN 则 )54,
D
E
yy
所以要证明高之比，即底的注意到两个三角形是同
- 62 -
的为抛物线上，：的三个顶点都在抛物线浙江文】已知△【 CFyxCABP 42014 2
.3FMPFABM 的中点，为焦点，点
的坐标；求点若 MPF ,3)1(
.)2( 面积的最大值求△ABP
Cbaby
ax
在椭圆，且点的离心率为山东文】已知椭圆【 )21,3(
23)0(12015 2
2
2
2
.上
的方程；求椭圆C)1(
交椭圆的直线上任意一点，过点为椭圆设椭圆 mkxyPCPby
axE ,1
44:)2( 2
2
2
2
QEPOBAE 于点交椭圆两点，射线于 ,
的值；①求OPOQ
.面积的最大值②求△ABQ
- 63 -
5.2 求最值之变量化一点到点的距离最值
.)0,1(,14
22
的距离的最小值到求点为椭圆上一点，点例：已知椭圆 MPPyx
41)1()1(,1
4),,(
202
02
02
022
0
20
00x
xyxPMyx
yxP 则有解析：设
_____________________________
点到线的距离最值
_______08342 距离的最小值为上的点到直线例：抛物线 yxxy
思考有哪些方法？
上点在曲线上，点在直线新课标理】已知【 241:3),1,0(2011 2 xyCMyBA .
.,)2( 距离的最小值点到处的切线，求在为上的动点为 lOPClCP
斜率的最值
.)23
21)(,(),
41,
21(,2017 2 是该抛物线上的点点点浙江】已知抛物线【 xyxPAyx
斜率的取值范围求直线AP)1(
21
2141
2141 2
x
x
x
x
yk AP思路：
总之上面的题都是一个想法:变量代换为一个，代换桥梁可以是曲线方程.也可以是从题目条件构建出的等式.这种想法也可以在其它题目中体现：
,1)0,(,14
2011 2222
Alyxmyx交椭圆于的切线作圆过点北京理】已知椭圆【
.两点B
的最大值的函数，并求表示为将 ABmAB)2(
- 64 -
mtyxl ：思路：设直线
)(111
1 22
2
22 之间的的等式与构建相切直线与圆 tmtmt
myx
)(1 212 用错弦长公式注意：反设直线很容易yytAB
得与联立 14
22
yxmtyx
042)4( 222 mtmxyt
2
222
212
212
212
4)4(4
14)(11tmt
tyyyytyytAB
所以
.3
341 2
22
m
mABtm 代入得将
这里涉及到一个问题，最值怎么求？
5.3 求最值之均值不等式
求以下式子的最值
428)8(8)1(
22222
mmmmmmt
___________)38(331)38(3
3138)2( 22222 mmmmmmt
13232
332
332
)3( 2
mmm
mt
21
12
1
1)1(
11
)4( 2
222
2
222
2
22
k
mkm
kmkm
kmkm
t
431)5( 2
2
mmt
11 222 xmxm ，则设
- 65 -
________13
1134)1(3 22
xxx
xx
xt
上述式子可以通过配凑，换元，使用均值不等式得到最值.
144
154)9(64
)8(2)8(34
14)7( 1
)6(24
24
4
2
2
2
2
2
kkkkt
mmt
mmt
kkt
上述式子求最值可以通过分离常数法实现
114
14
134
1434
14)7(
22
22
2
mmmm
mt
____________,41
14311
1011 222
t
mmm 所以
两点，求与椭圆交于直线例：已知椭圆 B,A,14
22
mkxyyx
.面积的最大值△AOB
的距离为原点到解析：设直线 AB),,(),,(A, 2211 hyxByxmkxy
212212
21
11
21·
21 xxm
k
mxxkhABS
面积
0)1(48)41(1
4
2222
2
mkmxxk
yxmkxy
得联立
141241
241
)41(2
41)41(16
21
2
222
2
222
2
22
k
mkm
kmkm
kmk
mS
时，等号成立当且仅当 22 412 km .
- 66 -
两点，交椭圆于直线上一点练习：已知椭圆 DBmxyAyxC ,22),1,2(1
24:
22
的面积的最大值求：△ABD
ABFBAPFxy 两点，则△的直线交抛物线与过点的焦点设抛物线练习 ,)0,2(,4: 2
）（反设优化计算，面积的最小值为多少？ 0t
是椭，的离心率为椭圆新课标】已知点【 Fbaby
axA
23)0(1),2,0(2014 2
2
2
2
.3
32为坐标原点，的斜率为圆的右焦点，直线 OAF
.OPQ,A)2()1(
的方程的面积最大时，求两点，当△与椭圆相交于的动直线设过点
求椭圆的方程；
lQPl
轴不重合，且与过点直线的圆心为理】设圆新课标【 xBlAxyx )0,1(,015212016 22
., EADACBDCAl 于点的平行线交作两点，过于交圆
.)1( 的轨迹方程为定值，并写出点证明 EEBEA
- 67 -
交于垂直的直线与圆且与两点，过于交直线的轨迹为曲线设点 AlBNMClCE ,,)2( 11
., 面积的取值范围两点，求四边形MPNQQP
Myxbaby
axM 交右焦点的直线理】过椭圆新课标【 03)0(1:22013 2
2
2
2
.21, 的斜率为的中点，且是两点，于 OPABPBA
的方程求M)1(
面积的最大值求四边形的对角线若四边形上两点为 ACBDABCDACBDMDC ,,,)2(
，其短轴的两个端点与的焦距为四川理】已知椭圆【 4)0(1:2014 2
2
2
2
baby
axC
.三角形长轴的一个端点构成正
的标准方程；求椭圆C)1(
的垂线交椭圆作上任意一点，过为直线的左焦点，为椭圆设 TFFxTCF 3)2(
.,QPC于点
PQOT平分线段①证明：
- 68 -
.的坐标最小时，求点②当 TPQTF
5.4 求最值之借助导数
,,,)0(4::2009 2222 CBArryxMxyE 相交于）（与圆全国】已知抛物线【
.四个点D
的取值范围；求r)1(
.)2( 坐标的交点，面积最大时，求对角线四边形 PBDACABCD
.)4,215()1( 不相等的正根，联立后的方程有两个解析： r
),(),,(),,(),,(2 22221111 xxDxxCxxBxxA 别为）设四个交点的坐标分（
.0167)4( 2222222 rxxyryxxy 得消去与圆联立抛物线
)4,215(,16,7 2
2121 rrxxxx由韦达定理：
).()(221
21122112 xxxxxxxxS
)154)(1627()2](4)[( 22212121
221
2 rtxxxxxxxxS
时有最值值得利用导数知识求函数最则令67),27()27(,16 222 tttStr
- 69 -
关于直线的左右焦点，：分别是椭圆】已知【湖南文 212
2
21 ,15
,2013 FFyxEFF
.12 的一条直径的两个端点的对称点是圆Cyx
的方程；求圆C)1(
最大时，求直线当所截得的弦长分别为和圆被椭圆的直线设过点 abbaCElF .,)2( 2
.的方程l
1416
201522
yxC：湖北】已知椭圆【
lQPyxlyxll 若直线两点分别交于：和：与两定直线设动直线 .,0202)2( 21
？的面积是否存在最小值试探究：△有且只有一个公共点，总与椭圆 OPQC
- 70 -
第六章 切线
- 71 -
切线问题的处理
（1）若直线与圆锥曲线相切，那么联立后的一元二次方程△=0，其中二次项系
数不为 0.
（2）遇到抛物线 cbxaxy 2 可以利用导数找切线方程
（3）对于直线与圆相切，可以考虑圆心到直线的距离=半径
（4）抛物线中有用的结论：
pypyxxyxpyx
pxpxyyyxpxy
00002
00002
),(2
),(2
处的切线方程为在②
处的切线方程为在①
有些题设切点会有出其不意的效果.
,22 pxpxyypxy 拆分为计算上均等拆开，如记忆技巧：对等原则，
线的标准方程：同样适用于椭圆于双曲与分别换为然后将其中的 ,, 00 xyxy
结论虽好但是不建议直接使用。
下面的了解一下即可：
那么若切点为 ),,( 00 yx
11 20
20
2
2
2
2
byy
axx
by
ax
的切线方程为椭圆
200
222 ))(())(()()( rbybyaxaxrbyax 的切线方程为圆
对于全国卷的童鞋，熟练运用前 3条即可。当然你知道的越多，你
的思路也越开阔.
下面给出题目汇总，具体不再一一解析
两点交于与直线理】已知曲线全国【 NMaakxylxyC ,)0(:4
:120152
处的切线方程；和在点时，分别求 NMCk 0)1(
- 72 -
.44
:,20172
的横坐标之和为与上两点，为曲线全国文】设【 BAxyCBA
的斜率；求直线AB)1(
求直线平行，且处的切线与直线在上一点，为曲线设 ,)2( BMAMABMCCM
.的方程AB
H.CON,,)0(2:,)0(:2016 2
于点并延长交连接的对称点为关于
于点交抛物线轴于点交全国文】直线【
NPMPppxyCMyttyl
;ONOH
)1( 求
.)2( 明理由是否有其他公共点？说与抛物线以外，直线除 CMHH
,3),1,0(2011 OAMBMyBA ∥点满足上，点在直线新课标理】已知【
CMBAMBABMA 点的轨迹为设, .
点的轨迹方程求M)1(
- 73 -
.,)2( 距离的最小值点到处的切线，求在为上的动点为 lOPClCP
.2OBOA
B2AO,42C201422
22
的位置关系，并证明与圆，判断直线上，且椭圆
在上，点在直线为原点，若点设：北京理】已知椭圆【
yxABCyyx
已上顶点为右顶点为的左右焦点为天津理】设椭圆【 ,,,,12014 212
2
2
2
BAFFby
ax
2123 FFAB 知
求椭圆的离心率)1(
的经过原点为直径的圆经过一点，以线段为椭圆上异于其顶点的设 OFPBP ,)2( 1
.的斜率线直线与该圆相切，求直 l
,)2,0(,4:2014 2 ACMyxC 相交于任作一直线与过点物线江西文】如图，已知抛【
- 74 -
DAOyBB 相交于点轴的平行线与直线作两点，过点
在定直线上；证明：动点D)1(
,,2)2( 21 NNylC 于点与第一问的定直线相交相交于点与直线的任意一条切线作
.21
22 为定值，并求此定值证明： MNMN
.),0,1()0(1:2012 112
2
2
2
1 上在且点的左焦点广东文】已知椭圆【 CPFbaby
axC
的方程；求椭圆 1)1( C
.4)2( 221 的方程相切，求直线：和抛物线同时与椭圆设直线 lxyCCl
- 75 -
的，抛物线的离心率是山东理】椭圆【 yxEbaby
axC 2:
23)0(1:2016 2
2
2
2
2
.的一个顶点是焦点 CF
的方程求椭圆C)1(
交于不同的两点与处的切线在点象限，上的动点，且位于第一是设 ClPEEP)2(
.,,, MxPODDABBA 轴的直线交于点且垂直于与过直线的中点为线段
在定直线上①求证：点M
个端点是的一个焦点与短轴的两四川理】已知椭圆【 )0(1:2016 2
2
2
2
baby
axE
.33 TExyl 有且只有一个公共点与椭圆：个顶点，直线直角三角形的
的坐标的方程及点求椭圆 TE)1(
的左：分别是椭圆安徽理】如图，点【 )0(1)0,(),0,(2012 2
2
2
2
21 baby
axCcFcF
的垂线作直线过点的上半部分于点轴的垂线交椭圆作右焦点，过点 221 , PFFPCxF
.2
Qcax 于点交直线
- 76 -
的方程；求此时椭圆的坐标是如果点 CQ ),4,4()1(
.)2( 只有一个交点与椭圆证明：直线 CPQ
- 77 -
第七章 轨迹方程
- 78 -
如何求轨迹方程
①思路 1：求点 ),( yxP 的轨迹方程，就是求点 ),( yxP 的横坐标 x与
纵坐标 y之间的等式。构建等式，消去参数。
.,)3,0()2()1(
.2)0,1(4:),(2013
的斜率的中点，求直线是两点，若交于与轨迹的直线过点
的方程；的轨迹求动点
倍距离的的距离是它到到直线陕西文】已知动点【
mPBABACmPCM
NxlyxM
.8),0,4(2013 的长为轴上截得的弦且在点陕西理】已知动圆过定【 MNy
的方程；求动圆圆心的轨迹C)1(
轴是若交于不同的两点与轨迹轴的直线设不垂直于已知点 xQPClxB ,,),0,1()2(
.过定点的角平分线，证明直线 lPBQ
轴做上，过点在椭圆为坐标原点，动点全国】设【 xMyxC 12
:MO2017 22
NMNPPN 2, 满足点的垂线，垂足为
的轨迹方程求点P)1(
的斜率与是动点，且直线对称，关于原点与点北京】点【 BPAPPOAB )1,1(2010
- 79 -
.31
之积为
的轨迹方程求动点P)1(
为坐标原点。的中点为两点，线段
交于与圆的动直线过点圆已知点新课标文
OMABBAClPyyxCP
,,,08:),2,2()2014( 22
;)1( 的轨迹方程求M
的面积的方程及△时，求当 POMOMOP)2( l
BAMBABMAOAMBMyBA ,3),1,0()2011( ∥点满足上，点在直线已知新课标理
CM点的轨迹为设 .
点的轨迹方程求M)1(
.,)2( 距离的最小值点到处的切线，求在为上的动点为 lOPClCP
在椭圆上点的左，右顶点分别为设椭圆天津理 PBAbaby
ax ,,)0(1)2012( 2
2
2
2
求椭圆的离心率的斜率之积为与若直线 ,21-)1( BPAP
- 80 -
.3222)2013( 轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为在已知圆新课标文 yxP
的轨迹方程求圆心P)1(
的方程，求圆的距离为到直线若点 PxyP22)2(
于分别交轴的两条直线，平行于的焦点为：已知抛物线全国 CllxFxyC 212 , 2)2016(
.,, 两点的准线于两点，交 QPCBA
;AR)1( FQPQRABF ∥的中点，证明是上，在线段若
.)2( 中点的轨迹方程的面积的两倍，求的面积是△若△ ABABFPQF
相交于不同的两与圆已知过原点的动直线广东文 056:)2015( 221 xyxCl
.,BA点
的方程；的轨迹的中点求线段 CMAB)2(
- 81 -
②思路 2：通过的几何关系，凑得椭圆，抛物线，双曲
线的定义.也可以得到轨迹方程。
的轨求点轴的距离为到点的距离为到点例：已知点 PdddyPdFP ,1,,)0,1( 2121
.迹方程
线义，可知该轨迹为抛物解析：联系抛物线的定
外切并与圆动圆圆已知圆新课标 MPyxNyxM ,9)1(:,1)1(:)2013( 2222
.CPN 的轨迹方程为曲线内切，圆心且与圆
的方程求C)1(
的半径最长时，两点，当圆交于与曲线都相切的一条直线，圆是与圆 PBAClMPl ,,)2(
AB求
轴不重合，且与过点直线的圆心为设圆理新课标 xBlAxyx )0,1(,0152)12016( 22
., EADACBDCAl 于点的平行线交作两点，过于交圆
.)1( 的轨迹方程为定值，并写出点证明 EEBEA
- 82 -
第八章 代数不行，几何帮忙（难度要求高）
这个世界有太多的悖论，小心
翼翼不见得会获得满分
- 83 -
借助适度的平面几何分析解题
1.有的题目中要适当的借助初中所学的平面几何的性质或者定理解题，所以需要几何分析。2.我们的几何分析的落脚点一定是弦长，或者是长度的比值，平行，垂直，共线，斜率表达，向量表达，否则很难直接转化为坐标.比如遇到角平分线可以去联想到角平分线上的点到角两边的距离相等.这里落脚点是距离,使用距离公式.
向量转化：
和椭圆：为坐标原点，双曲线湖南文】如图，【 )0,0(12014 111
2
21
2
1 baby
axCO
的两个焦点的两个顶点和且以均过点 212222
2
22
2
2 ),1,3
32()0(1: CCPbabx
ayC
.2的正方形为为顶点的四边形是面积
.,)1( 21 的方程求 CC
OBOACBACll 只有一个公共点，且两点，与交于与，使得是否存在直线 21 ,)2(
.?证明你的结论AB
- 84 -
),(),49,
23(),
41,
21(,2017 2 yxPBAyx 抛物线上的点点线浙江】如图，已知抛物【
.).23
21( QAPBx 的垂线，垂足为作直线过点
斜率的取值范围求直线AP)1(
的最大值求 PQPA )2(
.意义这是向量数量积的几何提示： PBPAPQPA
长度，面积的几何转化案例
),0(2)0(2,2014 222
2112
1 pxpyEpxpyE ：和：已知两条抛物线安徽理】如图【
,,,,, 12122121121 BEElAAEElllO 分别交于与两点，分别交于与和的两条直线过原点
.2两点B
- 85 -
2211)1( BABA ∥证明：
222111212121 .,,),()2( CBACBACCEElllO 与△记△两点分别交于与异于作直线过原点
.2
121 的值，求和的面积分别为
SS
SS
CMbaby
axCFF 是的左右焦点，分别是椭圆新课标】设【 )0(1:,2014 2
2
2
2
21
., 12 NCMFxMF 的另一个交点为与轴垂直，直线与且上一点
的离心率；，求的斜率为若直线 CMN43)1(
baNFMNyMN ,,52)2( 1 求，且轴上的截距为在若直线
- 86 -
Cbaby
ax
在椭圆，且点的离心率为山东文】已知椭圆【 )21,3(
23)0(12015 2
2
2
2
.上
的方程求椭圆C)1(
交椭圆的直线上任意一点，过点为椭圆设椭圆 mkxyPCPby
axE ,1
44:)2( 2
2
2
2
QEPOBAE 于点交椭圆两点，射线于 ,
的值①求OPOQ
面积的最大值②求△ABQ
上的点且椭圆的离心率：广东理】已知椭圆【 Cebaby
axC ,
32)0(12012 2
2
2
2
.3)2,0( 的距离的最大值为到点Q
的方程；求椭圆C)1(
11),()2( 22 yxOnymxlnmMC ：与圆：，使得直线上，是否存在点在椭圆
的坐标及对应求出点的面积最大？若存在，且△相交于不同的两点 MOABBA ,,
.的面积的△OAB
- 87 -
.)22,
55(),0(12012 2
2
2
2
在椭圆上点天津文】已知椭圆【 aaPbaby
ax
;)1( 求椭圆的离心率
求直在椭圆上且满足为坐标原点，若点为椭圆的左顶点，设 ,)2( AOAQQOA
.的斜率线OQ
涉及圆的相关案例
变化时，当的坐标为两点，点轴交于与全国文】曲线【 mCBAxmxxy ),1,0(,22017 2
.,,)2()1(
轴上截得的弦长为定值三点的圆在证明过
的情况？说明理由；能否出现
yCBABCAC
,)0,1(,4:2010 2 AClKFxyC 相交于与的直线过点的焦点为全国】已知抛物线【
.DxAB 轴的对称点为关于两点，点
上；在直线证明：点 BDF)1(
.,98)2( 的方程的内切圆求△设 MBDKFBFA
.三角形的内角平分线上提示：内切圆的圆心在
- 88 -
上与坐标轴的交点都在圆全国文】曲线【 Cxxy 162011 2
;)1( 的方程求圆C
.,,0)2( 的值求两点，且交于与直线若圆 aOBOABAayxC
外切与圆动圆圆新课标】已知圆【 MPyxNyxM ,9)1(:,1)1(:2013 2222
.CPN 的轨迹方程为曲线内切，圆心并且与圆
;)1( 的方程求C
的半径最两点，当圆交于与曲线都相切的一条直线，，圆是与圆 PBAClMPl ,)2(
AB长时，求
提示：两圆外切，圆心距等于半径之和。
.32222013 轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为在新课标文】已知圆【 yxP
的轨迹方程求圆心P)1(
- 89 -
的方程，求圆的距离为到直线若点 PxyP22)2(
为坐标原点。的中点为两点，线段
交于与圆的动直线过点圆新课标文】已知点【
OMABBAClPyyxCP
,,,08:),2,2(2014 22
;)1( 的轨迹方程求M
的面积的方程及△时，求当 POMlOMOP )2(
已上顶点为右顶点为的左右焦点为天津理】设椭圆【 ,,,,12014 212
2
2
2
BAFFby
ax
2123 FFAB 知
;)1( 求椭圆的离心率
的经过原点为直径的圆经过一点，以线段为椭圆上异于其顶点的设 OFPBP ,)2( 1
.的斜率线直线与该圆相切，求直 l
- 90 -
形，轴正半轴围成一个三角轴正半轴，的切线与辽宁理】圆【 yxyx 42014 22
.31:.. 2
2
2
2
1 且离心率为过点双曲线，切点为当该三角形面积最小时 Pby
axCP
的方程求 1)1( C
两点，，交于的右焦点且与过有相同的焦点，直线且与过点椭圆 BACClCPC 2212)2(
., 的方程求为直径的圆过点若以线段 lPAB
相交于不同的两与圆动直线广东文】已知过原点的【 056:2015 221 xyxCl
.,BA点
的方程；的轨迹的中点求线段 CMAB)2(
求只有一个交点？若存在与曲线，使得直线是否存在实数 CxkyLk )4(:)3(
.，说明理由的取值范围；若不存在出k
.23)1,0(2014 的距离小的距离比它到直线上的点到福建文】已知曲线【 yF
的方程；求曲线)1(
- 91 -
.,3.)2( NMylyAxlP 轴交于点及分别与直线直线轴交于点与处的切线在点曲线
.,, 的长度为定值证明：线段的切线，切点为作圆过点为直径作圆以 ABBCACMN
上一点，已知为准线为的焦点为新课标】设抛物线【 CAlFppyxC ,,)0(2:2012 2
., 两点于交为半径的圆为圆心，以 DBlFFAF
的方程的值及圆，求的面积为，△若 FpABDBFD 2490)1(
标只有一个公共点，求坐与平行，且与上，直线三点在同一直线若 CnmnmFBA ,,)2(
., 距离的比值原点到 nm
角度问题处理案例：
0 MBMAAMB ：为锐角，可以尝试证明①要证
.为锐角可以先去证明它的补角②要证一个角为钝角，
).(tantan 借助直角三角形相等，可以尝试证明与角③要证角
.cossin 的最值或的最值，可以转化为求④要想角
总之三角函数的作用就是把角度问题转化为了边长的比值问题.
- 92 -
.0为，则两条直线斜率之和⑤两条直线倾斜角互补
为钝角即证⑥要证 AOBABOBOA ,222
.证明角的对边相等等⑦三角形中，证明角相
边⑧三角形中，大角对大
所成角的角平分线，轴可以作为这两条直线轴上一点，若⑨两条直线相交于 xx
.0则两直线斜率和为
例：设 ,A B分别为椭圆 2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右顶点，椭圆长半轴的长等
于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为直线 4x 上不同于点 4,0 的任意一点， 若直线 ,AP BP分别与椭圆
相交于异于 ,A B的点 ,M N ，证明：点B在以MN 为直径的圆内
解：（1）椭圆方程为2 2
14 3x y
（2）思路：判断BM BP
的符号，进而完成证明
解：由（1）可得 2,0 , 2,0A B ，设直线 ,AM BN 的斜率分别为 k， 1 1,M x y ，
则
: 2AM y k x 联立 AM 与椭圆方程可得：
2 2
2
3 4 12
y k x
x y
，消去 y可得： 2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k
2 2
1 12 2
16 12 6 84 3 4 3Ak kx x xk k
1 1 2
1224 3
ky kx kk
，即2
2 2
6 8 12,4 3 4 3
k kMk k
- 93 -
设 04,P y ，因为P在直线 AM 上，所以 0 4 2 6y k k ，即 4,6P k
2
2 2
16 122,6 , ,4 3 4 3
k kBP k BMk k
2 2
2 2 2
32 12 406 04 3 4 3 4 3
k k kBP BM kk k k
MBP 为锐角， MBN 为钝角 M 在以MN 为直径的圆内
是椭圆上一点且的左右焦点，分别是椭圆例：设 Mbaby
axFF )0(1, 2
2
2
2
21
.12 NMFxMF 与椭圆的另一个交点为轴垂直，直线与
.,NF5MN2 1 bayMN ，求，且轴上的截距为在若直线
和点，点的离心率为北京理】已知椭圆【 )1,0(22)0(1:2015 2
2
2
2
Pbaby
axC
.)0)(,( MxPACmnmA 轴于点交上，直线都在椭圆
),()1( 表示用的坐标的方程，并求点求椭圆 nmMC
轴上是否存在问轴于点交轴对称，直线关于与点为原点，点设 yNxPBxABO :,)2(
.?, 明理由的坐标。若不存在，说若存在，求出使得点 QONQOQMQ
- 94 -
在抛物线的焦点，点为抛物线福建文】已知点【 ),2()0(2:2015 2 mAppxyEF
.3AFE上，且
的方程；求抛物线E)1(
相切的为圆心且与证明：以点于点交抛物线延长已知点 GAFBEAFG ,),0,1()2(
.相切圆，必与直线GB
.55,,)0(1)2015( 2
2
2
2
离心率为左焦点为的上顶点为已知椭圆天津文 FBbaby
ax
的斜率求BF)1(
.),()2( QBPBBPPBF 的直线与椭圆交于点且垂直于过点异于点与椭圆交于点设直线
MQPMMyPQ ,轴交于点与直线
的值①求
.,9
57sin 求椭圆的方程②若 BQPPM
,311.,)3(13
20162
2
2
FAe
OAOFAFay
ax
右顶点为的右焦点为天津文】设椭圆【
- 95 -
.为离心率为原点，其中 eO
求椭圆的方程)1(
与交于点的直线与，垂直于轴上不在与椭圆交于点的直线设过点 ,)()2( MllxBBlA
.,,, 的斜率求直线且若轴交于点 lMAOMOAHFBFHy
yCbaby
axC 截直线椭圆的离心率为山东文】已知椭圆【 .
22)0(1:2017 2
2
2
2
.221所得线段长度为
的方程求椭圆C)1(
的关于是点轴于点两点，交于交椭圆：动直线 OMNMyBACmmkxyl .,)0()2(
求分别相切于点与圆的中点，为设的半径为对称点，圆 ,,,. FENDFDEABDNON
- 96 -
的最小值EDF
12
:2017 22
yxE山东理】已知椭圆【
上的一点，直线是椭圆两点，于交椭圆：如图，设直线 ECBAExkyl ,23)2( 1
MABMCOCMkkkOC 圆延长线上一点，且是线段且的斜率为 ,3:2:,42, 212
的最大值，并求为的两条切线，切点分别是圆的半径为 SOTTSMOTOSMC ,,,,
.的斜率求取得最大值时直线l
- 97 -
)0(1:4:2015 2
2
2
2
22
1 babx
ayCFyxC 也是椭圆的焦点湖南理】已知抛物线【
2121 ,.62 CBAClFCC 两点，与相交于与的直线过点的公共弦长为与的一个焦点，
., 同向与两点，且相交于 BDACDC
的方程求 2)1( C
.,)2( 的斜率求直线若 lBDAC
总旋转时，△绕点证明：直线轴的交点为处的切线与在点设 MFDFlMxAC ,)3( 1
.是钝角三角形
- 98 -
第九章 探索类问题
- 99 -
探索类问题
处理方法：
思路 1：先假设存在，按照题目信息推导。
思路 2：取特殊值，然后作证明。（先猜后证）
两点交于与直线理】已知曲线全国【 NMaakxylxyC ,)0(:4
:120152
处的切线方程；和在点时，分别求 NMCk 0)1(
?,,)2( OPNOPMkPy 总有变动时使得当轴上是否存在
),(),,(,0),,0(,)2( 2211 yxNyxMkknPP PNPM 设由题意知设假设存在点解析
0)4
()4
(0)()(02
21
21
221122
2
1
1
nxxnxxnyxnyxxny
xny
式化过程了。后续就是自己联立的模,4)(44 2121
12
222
1 nxxxxnxxxx
离心率右焦点为的左焦点为：椭圆福建理】如图【 ,,)0(1,2012 212
2
2
2
FFbaby
axE
.8,,21
21 的周长为两点，且△的直线交椭圆于过 ABFBAFe
的方程；求椭圆E)1(
相交于点且与直线有且只有一个公共点与椭圆设动直线 4,:)2( xPEmkxyl
?. MPQMQ 为直径的圆恒过点，使得以试探究：是否存在定点
- 100 -
的，过点的离心率是四川】如图：椭圆【 )1,0(22)0(1:2015 2
2
2
2
Pbaby
axE
截得的线段被椭圆轴时，直线平行于两点，当直线与椭圆相交于动直线 ElxlBAl ,
.22长为
的方程；求椭圆E)1(
的坐点恒成立？若存在，求出使得不同的定点是否存在与点 QPBPA
QBQA
QP ,)2(
.理由标；若不存在，请说明
个端点是的一个焦点与短轴的两四川理】已知椭圆【 )0(1:2016 2
2
2
2
baby
axE
.33 TExyl 有且只有一个公共点与椭圆：个顶点，直线直角三角形的
的坐标的方程及点求椭圆 TE)1(
交于且与直线与椭圆交于不同的两点平行于是坐标原点，直线设 lBAOTlO ,,')2(
- 101 -
.,, 2的值并求，使得证明：存在常数点 PBPAPTP
:38)2012( EOAB 物线，且其三个顶点均在抛的边长为如图，等边三角形福建文
.)0(22 上 ppyx
的方程；求抛物线E)1(
为直径证明：以相交于点与直线相切于点与抛物线设动直线 PQQyPEl .1,)2(
.轴上某定点的圆恒过y
是椭圆的两点，点与椭圆交于直线练：已知椭圆 MBAkxkyyx ,)0)(1(.14
22
xPQQPyBMAM 为直径的圆是否过试问以线段轴交于点与与直线右顶点，直线 ,,
- 102 -
)3( 0 x说明理由。出定点坐标；若不是，轴上的定点？若是，求
在短，点的离心率是四川文】如图：椭圆【 )1,0(22)0(1:2017 2
2
2
2
Pbaby
axE
1 PDPCCD上，且轴
的方程；求椭圆E)1(
，使得是否存在常数两点的动直线与椭圆交于为坐标原点，过点设 .,)2( BAPO
.由；若不存在，请说明理为定值？若存在，求出 PBPAOBOA
直线离心率经过点：江西理】如图，椭圆【 ,21),
23,1()0(12013 2
2
2
2
ePbaby
axC
.4xl的方程为
- 103 -
的方程；求椭圆C)1(
,,),()2( PAMlABPFAB 记相交于点与直线设直线不经过点的任一弦是经过右焦点
?.,,, 321321 kkkkkkPMPB ，使得问：是否存在常数的斜率分别为
- 104 -
第十章 对称问题
- 105 -
题型主要是探究是否存在对称关系
对称：关于直线，使得探究椭圆上是否存在 lA,ByxByxA ),(),,( 1111
.)2
,2
( 1 2121 的方程满足直线的中点②关键等式：① lyyxxABkk lAB
基于上述两个等式，列方程求解直线。
.0等矛盾就不存在现如果与椭圆联立后，出交点，所以求得的直线
与椭圆要有两个的方程，因为直线，然后推导直线解决方案：先假设存在
ll
圆锥曲线中，求范围常用到的不等关系：
.0)1 联立后个交点忽略：直线与椭圆有两存在性的问题非常容易（
.11),()2( 2
20
2
20
2
2
2
2
00 ＜内部则有在椭圆点by
ax
by
axyx
.,)3( 这样的不等关系容易忽略椭圆中 caba
.,1)4( 2
2
2
2
bybaxaby
ax
中，椭圆
,4:,1243 22 mxylmyx 的范围，使得对于直线试确定经典案例：已知椭圆
.这条直线对称椭圆上有不同两点关于
),(),(),,( 002211 yxClyxByxA 对称，中点为关于解法一：设存在两点
bxyAB 41
所在直线为设 .
与椭圆联立得： 012424
13 22 bbxx .
241
41
1312
2
134
2
2121
0
210
bxbxbyyy
bxxx
所以
因为C在 mxy 4 上,
所以4
13,4134
1312 mbmbb
- 106 -
又因为 0)124(4
1344 22 bb .
,4
1316
169,4
13 22
mb 即故 解得 )13
132,13
132(m
),(),(),,( 002211 yxClyxByxA 对称，中点为关于直线存在两点解法二（点差法）：设
1243
12432
22
2
21
21
yx
yx则 ，得 4
143
4)(3
0
0
21
21
21
21
yx
yyxx
xxyy
∴ xy 3OC 的方程为直线
,3,,4 00 mymxmxy 解得联立
∵M 在椭圆内部，
∴ )13
132,13
132(,13
)3(4
)( 22
mmm
即
在椭圆内部。解法二体现的是弦中点解法一体现的是 ,0
的垂直平分线轴垂直，若线段不与上两点，且为抛物线例：设 ABxABxyBA 4, 2
中点的横坐标为定值。求证：线段恰过点 ABM ),0,6(
去写点斜式来的垂直平分线方程写出要把：解析：设 ABmkxyAB
.)6(1,1, 的中点在垂直平分线上要满足所以是斜率为因为垂直 ABxk
yk
要的结果。解出所列方程，凑出需
.)2
,2
( 1 2121 的方程满足直线的中点②①
要体现出以下两点：总之涉及对称问题务必
lyyxxABkk lAB
的为坐标原点，点点的方程为安徽理】设椭圆【 AObaby
axE ),0(12015 2
2
2
2
的斜直线上，满足在线段点的坐标为点坐标为 OMMABMABMbBa ,2),,0(),0,(
- 107 -
.10
5率为
的离心率；求E)1(
的对称点的纵坐标关于直线的中点，点为线段的坐标为设点 ABNACNbC ),,0()2(
.27
的方程，求为 E
关于直线的左右焦点，：分别是椭圆】已知【湖南文 212
2
21 ,15
,2013 FFyxEFF
.12 的一条直径的两个端点的对称点是圆Cyx
的方程；求圆C)1(
.,,14
)0(2013 22
是坐标原点两点交于与椭圆北京文】直线【 OCAyxmmkxy
是否可能为菱形？顶点时，四边形在椭圆上且不是椭圆的当点 OABCB)2(
- 108 -
轴上，离心率在对称轴为坐标轴，焦点经过点安徽理】椭圆【 xFFAE 21 ,),3,2(2011
.21
e
的方程；求椭圆E)1(
的方程；的角平分线所在直线求 lAFF 21)2(
对称的相异两点？上是否存在关于直线在椭圆 lE)3(
- 109 -
第十一章 弦中点与点差法
- 110 -
点差法与弦中点点差法模型（不要单纯记结论，学会推导过程）
文】全国【 32018 已知斜率为 k 的直线 l与椭圆2 2
14 3x yC ： 交于 A， B 两点，线段
AB 的中点为 1 0M m m ， ．
证：12
k ；
1243),,(),,( 222211 yxyxByxA 椭圆为方法一：设
②
①那么有
1243
12432
22
2
21
21
yx
yx
kmkm
xxyy
xxyy
43
43
43
21
21
21
21
即②变形有①
2301243 2 mmM在椭圆内部，所以因为
所以可得21
k ，得证。
kxkmxkyl
43)1()1( 的方程为方法二：设直线
0924480))43(43(4340 2422 kkk
kk得：由
)0,43,0(
210)912)(14( 22 kkmmkkk 所以因为 ，得证。
已经有一个不能这样！因为题目中，的把直线设为千万不要习惯性的错误 .mkxy
.m参数 而且这个m必须是M 点的纵坐标，
赋予了相同的意义。就相当于把两个如果把直线设为 mmkxy ,
0mkxy 以设为为了避免参数重复，可
两相交于与双曲线的直线全国】已知斜率为【 DBbaby
axCl ,)0,0(1:12010 2
2
2
2
)3,1(, MBD的中点为且点
的离心率求C)1(
- 111 -
【2015 陕西理】已知椭圆 )0(12
2
2
2
baby
ax
的半焦距为 c，原点O到经过两
点 ),0(),0,( bc 的直线的距离为 c21
.
(1) 求椭圆的离心率
(2) AB是圆25)1()2( 22 yx 的一条直径，若椭圆经过 BA, 两点，求椭圆的
方程.
Myxbaby
axM 交右焦点的直线理】过椭圆新课标【 03)0(1:22013 2
2
2
2
.21, 的斜率为的中点，且是两点，于 OPABPBA
的方程求M)1(
面积的最大值求四边形的对角线若四边形上两点为 ACBDABCDACBDMDC ,,,)2(
- 112 -
个端点的一个焦点与短轴的两四川文】已知椭圆【 )0(1:2016 2
2
2
2
baby
axE
.)21,3( 上在椭圆，点是正三角形的三个顶点 EP
的方程求椭圆E)1(
的中点线段交于不同的两点与椭圆的直线且斜率为设不过原点 ABBAElO ,,21)2(
MDMCMBMADCEOMM 证明：交于与椭圆直线为 ,,,
且不平行于坐不过原点直线理】已知椭圆新课标【 OlmmyxC ),0(9:22015 222
.,, MABBACl 的中点为线段有两个交点与标轴，
的斜率乘积为定值的斜率与证明：直线 lOM)1(
能否成为平行四边形？四边形交于点与延长线段过点若 OAPBPCOMmml ,),,3
()2(
.,若不能，说明理由若能，求出斜率k
