结构单元模型梁柱单元 剪力墙单元 截面分析 单元模型 第一部分：梁柱单元模型 任晓丹 结构单元模型 梁柱单元 剪力墙单元 截面分析 单元模型
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平面三角形单元
x
y
z
( , )i ix y
( , )j jx y
( , )k kx y
( , )x y
( , )j jx y
( , )k kx y
( , )i ix y
( , )x y
( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i j j k kx y N x y N x y N x y
1( , )
2
1( , )
2
1( , )
2
i i i i
j j j j
k k k k
N x y a b x c yA
N x y a b x c yA
N x y a b x c yA
插值函数：
( , )i j j ijN x y
( , ) ( , ) ( , ) 1i j kN x y N x y N x y
Kronecker delta
Partition of unity
一维单元
拉格朗日单元
..........
1x 2x 3x1nx nx
1
2
3 1n
n
1
( ) ( )n
i i
i
x N x
( 1)
1,
( ) ( )n
jn
i i
j j i i j
x xN x l x
x x
( )i j ijN x
1
( )=1n
i
i
N x
Kronecker delta
Partition of unity
拉格朗日单元内部可构造高阶连续的插值函数，但是单元间始终为C0连续性！
拉格朗日单元
1x 2x
1
2 2(1)
1
( ) ( )i i
i
x l x
(1) 21
1 2
( )x x
l xx x
(1) 12
2 1
( )x x
l xx x
一般桁架单元！
1x 2x
1 1
(1)
1 ( )l x (1)
2 ( )l x
拉格朗日单元
1
1n
x x
x x
引入无量纲单元坐标（自然坐标）
( 1)
1, 1,
( )( )
( )
n nj jn
i
j j i j j ii j j i
fl
f
( )i j ijN
1
( )=1n
i
i
N
Kronecker delta
Partition of unity
厄米单元
同时保持场函数与其导数的连续性
1x 2x
12
1
2
2 2(0) (1)
1 1
( ) ( ) ( )i i i i
i i
H H
d=
d
ii
i
(0) ( )i j ijH (0)d ( )
0d
j
iH
(1) ( ) 0i jH (1)d ( )
dj
iij
H
一般两节点梁单元！
二维单元
三角形的面积坐标
x
yi
j
k
kA
iA
jA
( , )x y
(( , , )) ,i j kP P x P L Ly L
, ,ji k
i j k
AA AL L L
A A A
11
= 12
1
i j j
k k
x y
A x y
x y
11
= 12
1
i i
j j
k k
x y
A x y
x y
1
2i i i iL a b x c y
A
, ,i i j j k kN L N L N L
,2 2
i i i iL b L c
x A y A
线性三角形单元
插值函数即为面积坐标！
5
6
4
二阶三角形单元
1
2
3
1L
1
1
2
1
2
1
1 2 11 1 11
2
2 11 1
L LN L L
1
1
2L
1
2 2 22 2 21
2
2 11 1
L LN L L
1
3 323 3 31
2
2 11 1
L LN L L
5
6
4
二阶三角形单元
1
2
3
1L
1 24 1 21 1
2 2
4L L
N L L
2L
1
11
2
325 2 31 1
2 2
4LL
N L L
1 26 1 21 1
2 2
4L L
N L L
三阶三角形单元
1
2
3
45
6
7
8
910
角节点：
2 1
1 13 3 11 1 1 12 1
3 3
13 1 3 2
1 1 1 2
L L LN L L L
边节点：
1
1 31 24 1 2 12 1 2 1
3 3 3 3
93 1
2
LL LN L L L
内节点：
31 210 1 2 31 1 1
3 3 3
27LL L
N L L L
三角形单元与帕斯卡三角形
( )
1 2 3
( )1 1 2 3
( , , )( )
( , , )
ipj
i ij j i i i
f L L LN x
f L L L
广义拉格朗日插值函数！
拉格朗日矩形单元
( ) (n)( ) ( )i
m
I JIJ l lN N
完备多项式项
不完备多项式项
厄米矩形单元
可用与拉格朗日矩形单元类似的方法构造！
Serendipity矩形单元
移除拉格朗日单元的不完备自由度对应节点，剩余节点尽量在边上！
Serendipity矩形单元
递推构造方法——简单四节点单元
1ˆ (1 )(1 )4
i i iN
1,2,3,4i
Serendipity矩形单元
递推构造方法——八节点单元
1ˆ (1 )(1 )4
i i iN
1,2,3,4i
2
5
1(1 )(1 )
2N
2
8
1(1 )(1 )
2N
边节点插值函数构造 角节点插值函数修正
Serendipity矩形单元
递推构造方法——三次/线性过渡单元
1
235 1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 1 91 1 3 1
1 1 1 1 32N
1
236 1 1 1 1
3 3 3 3
+1 1 1 91 1 3 1
1 1 1 1 32N
1 1 5 6
2 1ˆ3 3
N N N N
Serendipity矩形单元
完备边界型Serendipity单元插值函数幂次
大作业一（须提交分析报告）
对于函数：
完成以下计算。
1. 采用3节点、6节点三角形单元，4节点、8节点矩形单元，对函数进行插值，画出原函数-插值函数、原函数导数-插值导数的图形，并讨论计算结果。（插值网格取1×1, 2×2，5×5，三角形单元在矩形单元中采用对角线斜跨划分即可。）
2. 计算原函数插值和插值导数的2-范数误差，将误差-单元长度（E-h）曲线绘制在双对数坐标系中，观察和讨论计算所得曲线的性质。（至少变化5个单元长度，跨过3个长度量级，才可能得到稳定且有规律的结果。）
1
2 2
2
ˆ ˆ df f f f
( , ) sin cos , , [0, / 2] [0, / 2]x y x y x y
4月20日提交！
