群論入門　３群論入門　３

－ラグランジュの定理・バーンサイドの定理・フェルマーの小定理－

（p449-p457）

いくぞー

ふぁーい

ラグランジュの定理の直感的な証明

有限群Gの部分群をHとするとき、Gの位数 は Hの位数 で割り切れる

いよいよラグランジュの定理！まず 群マシン で、

直感的な証明をするわよ。

ゆえに

0

987

65

4 3 21

1011 8

52

117

41

10

0

9

6

3

= ++

#G #（H★2）･･･#（H★1）#（H★0） + + =

12 444 + +=

=

=

#H×r

3 × 4

r個

ある群Gから 部分群Hをつくったら 位数が等しい、r 個の異なる剰余類に分けられる。

ラグランジュの定理

1.Hの異なる元をh1,, h2,…, hn とする。

2.H★aの元は h1★a, h2★a , … , hn★a だが、これらはみな異なる。

3.ゆえに #H = # (H★a1) = # (H★a2) = … = # (H★aｒ)

4.群Gは部分群Hによって

G=H★a1 ＋ H★a2 ＋ … ＋ H★aｒ

と分割されるので、

#G = #(H★a1 )＋ #（H★a2）＋ … ＋#（H★aｒ）

= #H × r

ゆえに #G / #H = r となって、#G は #H で割り切れる。

r個

ラグランジュの定理の正式な証明

有限群Gの部分群をHとするとき、#G は #H で割り切れる

もしhj★a,= hk★a なら、両辺に右側からa-1を

かけるとhj= hk になるが、これは「h1とh2は異なる」

という仮定に矛盾。よってhj★a,= hk★a

群Aの部分群Bの 指数 は(A:B) って書くってこと、まだ覚えてる？

Gの位数は (G:{e})Hの位数は (H:{e})

だから、ラグランジュの定理 は

(G:{e}) = (G:H) (H:{e})

って書けるの。覚えやすいでしょ？

ラグランジュの定理のおまけ その１

有限群Gの部分群をHとするとき、#G は #H で割り切れる

この r を 指数 (index)という。

群Gを部分群Hで割ったときの、剰余類の数が 指数 だから、

G / H とでも書きたいところだが、ま、 (G:H) と書いてほしい。

2章の24ページ目「指数」を参照のこと

異なる剰余類の数

（分割後の円盤数）

ラグランジュの定理のおまけ その２

#Gが素数なら、群Gは巡回群である。

1.有限群Gの単位元でない元をaとする。2.元aを生成元として、巡回群Hをつくる。

3.巡回群Hは群Ｇの部分群となる。

4.HはGの部分群なので、#Hはｐの約数である。

5.ところがｐは素数なので、約数は１かｐしかない。6.a≠eなので、#H≠１。よって#H=ｐ。7.#G=#Hなので、G=H。8.すなわち群Gはaを生成元とする巡回群である。

an★am = an＋m と閉じているが、部分集合Hが有限なら、

閉じていれば部分群なので（２章６ページ目を参照のこと）

ラグランジュの定理

この定理が簡単に証明できます。

位数が素数なら巡回群だから、

群マシン１台でOKってことさ！

群マシンって本当にお得だね！

…しつこい？

バーンサイドの定理の前に「同値」について再確認

（１）反射律（a～ａ）（２）対象律 (a～ｂならｂ～ａ)（３）推移律 (a～ｂかつ ｂ～ｃならa～ｃ)

左の３つを満たす関係を同値関係といいます。

３つを満たす／満たさない関係は２３の８通りあります。

列挙してみましょう。（少しあやしいですが…）

反射律 対称律 推移律

けっこう苦労しました... 反射律…reflex law

対称律…symmetric law

推移律…transitive law

同値関係は表にするとブロックになる

同値関係を表にすると、どうなるでしょう？

（「離散数学…」p148のおさらい）

（１）反射律（a～ａ）（２）対象律 (a～ｂならｂ～ａ)（３）推移律 (a～ｂかつ ｂ～ｃならa～ｃ)

（３）推移律により、「凹み」が許されません。

（２）対称律により、対角線に対称です。

（１）反射律により、対角は必ず埋まります。

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ ＦＡ ∨ ∨ ∨Ｂ ∨ ∨ ∨Ｃ ∨ ∨ ∨Ｄ ∨Ｅ ∨ ∨Ｆ ∨ ∨

よって、同値関係の図はブロック状になります。

ブロックの数を「同値類の個数」

といいます。

この場合、同値類は３個です。 同値である…equivalent

同値関係 …equivalence relation

群カードで同値関係の具体例を知る

群カードの４枚、

（１）（１２）（３４）（１２）（３４）

を用意してください。

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

この４枚は群になってるの。有限集合で、しかも閉じてるでしょ。

（２章５ページ「部分群の判定法」参照のこと）

つまり、どの２枚の組み合わせも、どれかの１枚と同じなのね。

この群を群Cと呼ぶことにします。Card の略よ。

群カードでいえば、点xから点yに「行ける」かどうかってことだね。

「行ける」関係を定義する

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

群Cの場合、点１と点２、点３と点４が「行ける」関係よ。

1 2 3 41 ∨ ∨2 ∨ ∨3 ∨ ∨4 ∨ ∨

置換群Gに、「要素aを要素bに移す置換がある」場合、

元aと元bは「行ける」（関係が存在する）、と呼ぶことにします。

「行ける」関係の表よ。

点xから点xへは、もちろん「行ける」。カード（１）があるからね。だから反射律はOK！

「行ける」関係は同値関係である

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

（１）反射律（a～ａ）（２）対象律 (a～ｂならｂ～ａ)（３）推移律 (a～ｂかつ ｂ～ｃならa～ｃ)

わかったかい？「行ける」関係は

同値関係

なんだ。

点xから点yへ「行ける」なら、群Cにはかならず逆元があるから、

点yから点xへも「行ける」の。だから対称律もOK！

点xから点yへカードｐで「行け」て、点yから点zへカードｑで「行ける」なら、

カードｐにｑをくっつければ点xから点zに「行ける」でしょ？

だから推移律もOK！

群C

グループはいくつか？

この場合、「行ける」関係による同値類は２個だ。

つまり点１～点４は２つのグループに分けられる。1 2 3 4

1 ∨ ∨2 ∨ ∨3 ∨ ∨4 ∨ ∨

実はこれ、私たち４人がお互いの家に「行ける」かどうかの関係表だったの。

私たち４人は、２つのカップルなのね。

バーンサイドの定理の直感的な意味

この場合は簡単だったけど、一般に、ｎ人が「行ける」関係で

何グループに分けられるかを調べるうまい方法がある。

各カードの横線の平均本数 が グループ数 なの。

…びっくりした？ これこそバーンサイドの定理 よ！

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

４ ２ ２ ０ =＋＋＋ ８

ゆえに平均は ８本／４枚 ＝ ２（グループ数）

Burnside’s theorem

それじゃバーンサイドの定理 を出していい？

遠慮せず来たまえ

ふっ、退屈ねぇ

いらして…

かかってこーい！

バーンサイドの定理

集合Ｓ=｛a,b,･･･｝の置換群(G,○)によって誘導される

同値関係によるＳの同値類の個数は、次の式によって与えられる。

ここでψ（π）とは、置換πのもとで不変な、Ｓの要素の個数である。

１

GΣπ∈G

ψ（π）

…何か見た？ ののの！ 気のせいよ♪ そうだな

バーンサイドの定理集合Ｓ=｛a,b,･･･｝の置換群(G,○)によって誘導される

同値関係によるＳの同値類の個数は、次の式によって与えられる。

ここでψ（π）とは、置換πのもとで不変な、Ｓの要素の個数である。

１

GΣπ∈G

ψ（π）

バーンサイドの定理！集合Ｓ=｛a,b,･･･｝の置換群(G,○)によって誘導される

同値関係によるＳの同値類の個数は、次の式によって与えられる。

ここでψ（π）とは、置換πのもとで不変な、Ｓの要素の個数である。

１

GΣπ∈G

ψ（π）

うわー

怒ってる怒ってる！ちっ と゚ うしましょう？ 仕方ない、

解読するか…

バーンサイドの定理 の前半

集合Ｓ=｛a,b,･･･｝の置換群 (G,○)

によって誘導される同値関係による

Ｓの同値類の個数は、

集合Sとは点１～点４のこと。

置換群 (G,○)とは群C（カード４枚）のことだね。

「行ける」関係のことね。

「お互いに行けるグループ」の数。

次の式によって与えられる。

ここでψ（π）とは、置換πのもとで不変な、Ｓの要素の個数である。

群Cのすべての元、

つまり

すべての群カードについて

置換πで不変な点の数

つまり

真横の線の本数を 足して

１

GΣπ∈G

ψ（π）

Gの位数

つまり

カード枚数で割れ

バーンサイドの定理 の後半

解読終わり！

いよいよ証明しよう！

ある１点だけに注目したときの、横線になっているカードの枚数のことね。

バーンサイドの定理の証明 その１

Sの任意の要素sに対して、sを不変にする置換の個数をη(s)とする。

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

２枚

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

４ ２ ２ ０ =＋＋＋ ８

２＋２＋２＋２

＝

横線はカードごとに数えても、点ごとに数えても、

結果は同じ…ってことさ。

このとき、次の等式が成り立つ。

Σπ∈G

ψ（π） Σs∈S

η（s）=

点ごとカードごと

点１から点２に行くカードが少なくとも１枚は存在するはずなの。

でないと同じグループじゃないでしょ？

バーンサイドの定理の証明 その２

Sの要素 a,b は同じ同値類とする。

このとき、aをbにうつす置換がある。

（１） （１２） （３４） （１２）（３４）

（１２）

πx

そのカードの１枚をπx とする。

（３４）

π1

（１）

π2

η(a) 枚

また、aを不変にする置換の集合Aを

π1 , π2 , π3, … とする。

ここで集合Aの数をη(a)とする。

バーンサイドの定理の証明 その３

このとき、集合（A○πx）の η(a) 個の置換は、すべてaをbにうつす置換である。

なぜなら、もしπx ○ π1 ＝ πx ○ π2なら、両辺の左からπx

-1をかけるとπ1 ＝π2 となるが、

これはπ1 ≠π2 に矛盾するから。

これらの置換はすべて異なっている。（１２）

πx

（３４）

π1

（１）

π2

（１２）

πx

＝

＝

（１２）（３４）

（１２）

A πx

集合（A○πx）≠

η(a) ＝ 「点１を変えないカードの枚数」

集合A ＝ 「点１を変えないカード」

πx ＝ 「点１から点２へのカードの１枚」

a,b は同じ同値類

バーンサイドの定理の証明 その４

また、集合（A ○ πx）以外に、aをbにうつす置換はない。

なぜなら、もし集合（A○πx ）以外に、aをbにうつす置換 πy があると、πx

-1 は b をa にうつすから、πx

-1 ○ πy は aをbに移したのちに（πy の効果）、bをaにうつす（πx-1 の効果）。

つまり置換 πx-1 ○ πy は、aをaに移す。

これはπx-1 ○ πy は集合Aということである。

ゆえにπx ○（πx-1 ○ πy ）＝πy は、集合（A○ πx）の元になるが、

これは置換πy が（A○ πx）ではないという仮定に矛盾する。

（１２）

π x

（３４）

π 1

（１）

π 2

（１２）

π x

＝

＝

（１２）（３４）

（１２）

ゆえにaをbにうつす置換は、集合（A○ πx）だけである。

集合A ＝ 「点１を変えないカード」

πx ＝ 「点１から点２へのカードの１枚」

A○ πxA πx

a,b は同じ同値類

バーンサイドの定理の証明 その５

aをbにうつす置換は、集合（A○ πx）の

η(a)個の置換だけである。

Gのすべての置換は、

aをaにうつすもの

aをbにうつすもの

…

aをhにうつすもの

に分かれる。

Sのある１つの同値類に含まれる

すべての要素をa, b,…, hとする。

（１２）（３４） （１２）

集合（A○πx）

点１と点２ね。

（１） （３４） （１２） （１２）（３４）

１を１にうつすもの １を２にうつすもの

（１） （１２） （３４） （１２）（３４）

群G

η(a) ＝ 「点１を変えないカードの枚数」

集合A ＝ 「点１を変えないカード」

πx ＝ 「点１から点２へのカードの１枚」

つまり、aをbにうつす置換はつねにη(a)個a,b は同じ同値類

バーンサイドの定理の証明 その６

ここらへんが最難関！ 頑張って！

すでに、aをaにうつすもの、aをbにうつすもの…

の各クラスには、それぞれ

η(a)個の置換がある

ことがわかっているので、

η(a) ＝ 「点１を変えないカードの枚数」

（１） （３４） （１２） （１２）（３４）

１を１にうつすもの １を２にうつすもの

（１） （１２） （３４） （１２）（３４）

群G

η(a)個 η(a)個

｜G｜ ＝ aと同じグループの要素数 × η(a)

（１） （３４）

｛１，２｝だから要素数は２

１を１にうつす

カードの枚数

（１） （１２） （３４） （１２）（３４）

群Gの枚数

＝ ×

これらの矢印を

逆に見るという発想

バーンサイドの定理の証明 その７

あと一息だ！

同様な論法で次がなりたつ。

η(b) = η(c) = … = η(h) ＝aと同じグループの要素数

｜G｜

η(b) ＝ 「点２を変えないカードの枚数」

a, b,･･･h は同じグループ

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

２

２

２

２

同じグループに属するなら、

横線の数は同じで、

｜G｜

同じグループのメンバー数

ということだね！

バーンサイドの定理の証明 その８

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

２

２

２

２

ここの合計は

｜G｜になる。Σ同値類に含まれるすべてのs

η（s） = ｜G｜

Σs∈S

η（s） = ｜G｜

（１） （１２）（３４）（３４）（１２）

２

２

２

２

ここの合計は｜G｜

ここの合計も｜G｜

＋

＝

グループの数×｜G｜

Sの同値類

の個数×

（１） （３４） （１２） （１２）（３４）

１を１にうつすもの １を２にうつすもの

（１） （１２） （３４） （１２）（３４）

群G

このとき、次の等式が成り立つ。

ゆえに

=Sの同値類

の個数Σ

s∈S

η（s）｜G｜

１=

点ごとの横線 カードごとの横線

Σπ∈G

ψ（π）

｜G｜

１

バーンサイドの定理の証明 その９

「その１」の等式を利用してるの！

そんなもの、とっくに忘れてるわよねぇ…。

Sの同値類

の個数

…ふぅ…やっと終わった…

Sの同値類

の個数

Sの同値類

の個数= Σ

π∈G

ψ（π）｜G｜

１おめでとう…疲れたね。

したがって次の等式が成り立つ。

ゆえに

バーンサイドの定理の余韻にひたる

Sの同値類

の個数

S の同値類

の個数=

Sの同値類

の個数

S の同値類

の個数=

Sの同値類

の個数

S の同値類

の個数=

暗記のために書いてみよう！３回書けば、定理は一生、君のものさ！

腕輪問題

バーンサイドの定理は、証明は大変だが、使うのはそれほど難しくない。利用してみよう！

５個の宝石を正五角形の頂点にちりばめた腕輪をつくる。宝石はダイヤ・サファイヤ・エメラルドを使える。（重複OK）

このとき、腕輪は何種類つくれるか？

回転させると同じなら「同じ」腕輪とみなす。ただ簡単のために、腕輪は裏返せないものとする。

ダ サ

エ

サ ダ

ダ

サ

エサ

ダ

＝

腕輪問題を解く その１

いろんな腕輪の「状態」を集合Sにしよう。この場合、Sは３５＝２４３通りある。

置換群は､時計と逆まわりの （360/5）度回転をp とすると、

（{e, p1, p2, p3, p4｝, ○ ） となる。

静止eでは、どんな状態の腕輪も元どおり。よって243本の横線があるはず。あとの４枚はどうなのかしら？

群カードは５枚ってことね。１枚のカードには、点が２４３個あるの。

e

・・・・・・

p1

・・・・・・？

？

p2

・・・・・・？

？

p3

・・・・・・？

？

p4

・・・・・・？

？

243

腕輪問題を解く その２

p1で考えよう。頂点を１～５と名づければ、回転p1で１が２、２が３、３が４、４が５、５が１に行くから、

もし回転前と回転後が同じなら、宝石は １＝２，２＝３，３＝４，４＝５，５＝１。

つまり１＝２＝３＝４＝５…すべての頂点は同じでなくてはいけない。（これはp２～p4でも同じことだ）

つまり残りの４枚には、横線は3本あるんだ。

すべての頂点が同じとき、つまり、５つとも、ダイヤか

エメラルドかサファイヤのときだけ、回転後も変わらないのね。

e

・・・・・・

p1

・・・・・・？

？

p2

・・・・・・？

？

p3

・・・・・・？

？

p4

・・・・・・？

？

243 3 3 3 3

腕輪問題を解く その３

あとは簡単。カード１枚あたりの横線の平均本数が

同値類の数だから…。

どんな回転にも不変な、給料１５ヶ月分の腕輪！

Sの同値類

の個数

Sの同値類

の個数= Σ

π∈G

ψ（π）｜G｜

１

e

・・・・・・

p1

・・・・・・？

？

p2

・・・・・・？

？

p3

・・・・・・？

？

p4

・・・・・・？

？

243 3 3 3 3

まーかせて。（243+3+3+3+3）÷5＝51

つまり51種類の腕輪があるのね！

この51種類の腕輪のうち、いちばん君が欲しいのは？

つまり腕輪の種類は（ap+a+a+…+a）÷p

ap＋（p-1）ap

p角形の腕輪に、a種類の宝石 その１

p角形の腕輪に、a種類の宝石をちりばめよう。

pが素数なら、静止以外の回転をすると、１つでも異なる宝石があるときに、回転前と違った腕輪になる。

＝e

・・・・・・

p1

・・・・・・？

？

p2

・・・・・・？

？

pp

・・・・・・？

？

…

(p - 1)枚

aaaap

＋

ap ＋ （p-1）aそれがどうかしたの？

これをカード枚数pで割る

p角形の腕輪に、a種類の宝石 その２

p は ap＋（p-1）a 、つまり ap - ap -a を割り切るの。この式中の ap はpで割り切れるに決まってるでしょ？

だから消去すると、a(ap-1－１) 。これをpは割り切るの。

だから、aか、(ap-1－１)のどっちかはpで割り切れるわけ。もしaがpで割り切れないなら、

(ap-1－１) が pで割り切れるしかないでしょ。

それが…どうかしたの？

腕輪の種類はｎ種類（ｎは自然数）のはずだ。だから、

ap＋（p-1）ap

は、割り切れるはずだ。

ap-1をpで割ると１余るってことは、

ap-1 ≡ １(mod p) ってことでしょ。だから…。

フェルマーの小定理

たとえば 123の456乗を7 で割った余りは？

！

これをフェルマーの小定理(Fermat’s little theorem)という。

123 は 7 で割り切れないから、1236 ≡１（mod 7）。

両辺を２乗して123１２≡１（mod 7）。

両辺を３乗して123１８≡１（mod 7）。

･･･つまり1236 も12312 も12318 も…

1236n はすべて7で割ると１余るの。

だから123456≡12336≡1230≡１ (mod 7)

pが素数であり、aがpで割り切れないならap-1 ≡ １(mod p)

456 から、ロクシチ42の10倍を引いたの

九去法 その１

３章も終わり。付き合ってくれてありがとう。

最後にみんなにプレゼント！

計算ミスを見抜くすごいテクニック、

九去法 （くきょほう）を伝授するよ！

136249245312513027＋

9761963

計算、計算…。ええっと…

これでよし。その計算、違ってるわ！

あ…ホントに違ってたわ。なぜわかったの？

九去法 その２

９で割った余りに注目すればいい！

計算が正しければ、

上の３行を足した数字と下の数字は同じだから、

９で割った余りも同じはずだ。

136249245312513027＋

9761963

９で割った余りは簡単に求まるの。たとえば

１４６５＝１＋４＋６＋５＝１７だから、８が余るわけ。

１ケタの足し算だけでも大変じゃない？

九去法 その３

まず無条件で９を消す。次に足すと９になるペアを消す。

上は1+2+3+0=６ね。下は7+6+1＝14

これを９で割ると…。 ９を引いてもいいけど、14から 1 + 4 = 5 のほうがスマート。とにかく、上は６余るのに、下は５。

だから絶対、計算まちがいってわかるの。

136249245312513027＋

9761963

136249245312513027＋

9761963

６

５

３章の終わり

九去法は掛け算でも、割り算でも、もちろん適用が可能だ。

詳しくは中村義作「速算100のテクニック」講談社、を読んでくれ。

・・・それでは３章も終わり。お疲れさま！

まだまだ続くわよ

なごり惜しいけど…。

ひとまず、あばよっ！