基礎数学2 講義ノート - Tokyo Metropolitan University5. 確率 基本事象，事象，確率，条件付き確率 24 11/22 6. 確率変数1 確率変数，分布関数，期待値
確率モデルによる確率入門 - f.waseda.jp ·...
66
Transcript of 確率モデルによる確率入門 - f.waseda.jp ·...
2
目次
第 1章 Introduction 51.1 なぜ、統計学が？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
第 2章 記述統計 82.1 「代表（センター）」の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 ばらつきの記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 グラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第 3章 確率の計算規則 103.1 確率の解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 サンプリング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 順列と組み合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
第 4章 確率と仮説検定 124.1 コイン投げ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 仮説検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
第 5章 条件付き確率と確率変数 145.1 病気の判定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 条件付き確率の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 独立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Bayesの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第 6章 確率変数とその周辺 186.1 確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 確率密度、確率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.4 分散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.5 ベルヌーイ試行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.6 独立、同一な分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3
第 7章 幾何分布、２項分布、Poisson分布 227.1 幾何分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.2 ２項分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 ２項分布の応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.4 Poisson分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.5 Poisson分布の応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.6 超幾何分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
第 8章 正規分布とその仲間たち 288.1 一様分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2 連続確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.3 正規分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.4 対数正規分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.5 中心極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.6 χ2(カイ二乗分布） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.7 t分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.8 F分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
第 9章 ２つの確率変数と相関 359.1 同時確率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.2 周辺分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.3 条件付き分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.4 独立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.5 共分散、相関係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.6 和の分散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.7 ポートフォリオ分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
第 10章 統計的推測 4010.1 平均の推測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2 最尤推定法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.3 一致推定量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.4 不偏推定量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.5 推定量の選び方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
第 11章 信頼区間 4611.1 正規分布を使って信頼区間を求める：分散既知の場合 . . 4611.2 t分布を使って信頼区間を求める：分散未知の場合 . . . . 48
4
11.3 その他の推定における信頼区間 . . . . . . . . . . . . . . 51
第 12章 サンプリング 5212.1 世論調査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.2 支持率の信頼区間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.3 サンプリングの方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.4 マーケティングリサーチの手法 . . . . . . . . . . . . . . 56
第 13章 仮説検定 5913.1 仮説検定の結果と正しさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.2 検定統計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.3 平均の検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.4 片側検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6313.5 検定が意味すること . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5
第1章 Introduction
ビジネスの定量的な分析にかかせない応用確率論の基礎や、データの統計処理の基礎を学ぶ。はじめに、確率変数の概念や基本的な確率分布のような確率論の基礎、推定および検定、分析など統計データの処理法を概観する。最終的には、基本的な確率論を元に、様々な事象についてモデル化し、定量的な分析を行う方法を概説する。特に、ファイナンスや経営判断に用いられるさまざまな確率理論を学ぶことを通して、確率的な事象の定量的な評価方法を学ぶ。さらに、定量的な評価を通して、意思決定をする方法について学ぶ。この講義は輪講形式で行う。
Methods & Evaluation講義形式定期試験 60％、提出物 40％ (講義テキスト中に出てきたProb-
lemを随時受け付けます。）
Requirements数学に自信のない学生は、統計学 1を同時に受講してください。
Text bookBusiness Statistics (Barron’s Business Review Series)、Douglas Downing
(著), Jeff Clark (著) Barrons Educational Series Inc ; 4th版 (2003/09)
スケジュール1. 記述統計
6 第 1章 Introduction
図 1.1: 教科書：Business Statistics (Barron’s Business Review Series)[1]
2. 確率と仮説検定
3. 確率の計算
4. 条件付き確率と確率変数
5. 確率分布１
6. 確率分布２
7. 同時確率分布と相関
8. 統計的推測
9. 信頼区間
10. サンプリング
11. 仮説検定
12. χ２乗検定
13. 分散分析
14. 単純回帰分析
1.1. なぜ、統計学が？ 7
1.1 なぜ、統計学が？統計学は、未確定・確率的な現象を、データに基づいて客観的に分析し、他の人たちと合意するための最良の手段である。
Example 1.1 (統計学の応用例). いくつかあげると、
1. 新製品のリリース
2. アイスクリームの売れ行き予想
3. 会計監査
4. 新薬
5. 品質管理
6. 大相撲の八百長
7. メジャーリーグ
8. 株式市場
9. 地球温暖化
10. 政策
Problem 1.1. 上の例で、どのように統計学が使えるか？
8
第2章 記述統計
2.1 「代表（センター）」の記述データが与えられた場合、そのデータを代表する値を求めるには、次
ように３つの方法がある。
Definition 2.1 (average). Given n samples of data, the quantity below is calledby “average.”
x =x1 + x2 + · · ·+ xn
n=
∑ni=1 xi
n. (2.1)
Definition 2.2 (median). Given n samples of data, the center of the orderedsamples is called by “median.”
Definition 2.3 (mode). Given n samples of data, the value which is appearedmost in the data is called by “mode.”
Problem 2.1. 1. average、median、modeのそれぞれの特徴は？
2. データの「センター」を記述する場合に、どんな注意が必要か？
3. どんな時に、どの記述法が望ましいか？
2.2 ばらつきの記述データの記述として、センターを記述するだけでは、不十分な場合が
よくある。
Problem 2.2. どんな場合にセンターの記述だけでは、不十分であるか？例を３つあげろ。
データが与えられた場合、そのデータのばらつきを代表する値を求めるのにも、いくつかの方法がある。
2.3. グラフ 9
Definition 2.4 (variance). Given n samples of data, the quantity below iscalled by “variance” of data.
Var(x) = σ2 =∑n
i=1(xi − x)2
n(2.2)
= x2 − x2. (2.3)
The sample variance is also defined by
s22 =
∑ni=1(xi − x)2
n−1(2.4)
Problem 2.3. 式 (2.3)に変形できることを示せ。
分散は、ちらばりを代表する値としては有用だが、欠点がある。x2のオーダーであることである。その大きさは、値が大きくなると、かなりの速さで大きくなる。
Definition 2.5 (standard deviation). Given n samples of data, the square-rootof the variance Var(x) is called by standard deviation, and given by
σ =√
Var(x) (2.5)
=
√x2 − x2. (2.6)
2.3 グラフコンピュータの力を借りることにより、データの全体像を得ることは、比較的簡単である。特に、データを以下のようなグラフにより可視化することは、データの解析の第一歩と言える。
Example 2.1 (グラフ). 例えば、以下のようなグラフが考えられる。
• ヒストグラム
• 折れ線ヒストグラム
• 累積度数グラフ
• 円グラフ
• 散布図
Problem 2.4. インターネット上で、ダウンロードできる興味深いデータを使い、上記のグラフを Excelで実際に出力してみよ。
10
第3章 確率の計算規則
3.1 確率の解釈二つの確率の解釈がある。
1. 頻度としての確率の解釈：何度も同じ事象を繰り返し、観測するとその頻度は、確率に近づく。
2. 主観としての確率の解釈：個人がその現象が起こると信じる確率
通常の確率論では、「確率」自体の解釈は触れない。公理的な条件が示されるだけで、この条件にあてはまれば、どんなものも確率として解釈される。
Remark 3.1. もうひとつの解釈として、ギャンブラーとしての確率の解釈がある。たいていの場合、これは、ギャンブラー個人の「直感」に基づく。
Definition 3.1. すべての可能な試行の集合をサンプル空間と呼ぶ。Ωと書く場合が多い。サンプル空間上のイベントの集合 Aに対して、Aが起こる確率を
PA, (3.1)
と書く。
簡単な確率の計算：
PA or B= PA∪B= P(A)+P(B)−P(A∩B). (3.2)
PA and B= PA∩B (3.3)
P not A= PAc= 1−PA. (3.4)
3.2. サンプリング 11
3.2 サンプリング一度抜き出したものを、もう一度戻して、再び抜き出す場合と、戻さずに抜き出す場合では、確率は異なる。
Problem 3.1. あなたは、５枚のセーターを持っている。毎朝、ランダムに一枚のセーターを着る。１週間、同じセーターを着る確率はいくつ？
3.3 順列と組み合わせ簡単な計算をする場合には、順列と組み合わせの考え方が有用である。n個の中から、 j個を順番を考慮して選んだ場合、そのオーダーの数を順列とよび、
nPj =n!
(n− j)!, (3.5)
となる。n個の中から、 j個を順番を考慮せずに選んだ場合、その組み合わせの数を組み合わせとよび、(
nj
)= nC j =
n!(n− j)! j!
, (3.6)
となる。
Problem 3.2. 18人のプレイヤーで、野球のチームを二つ作る。ランダムに選手を選んだ時、片方のチームに良い選手が固まってしまう確率を求めよ。
12
第4章 確率と仮説検定
4.1 コイン投げフェアなコインを n回投げて、h回表が出る確率
Pフェアなコインを n回投げて、h回表が出る =(
nh
)(12
)n
(4.1)
=n!
h!(n−h)!
(12
)n
(4.2)
Problem 4.1. １０回投げて、２回しか表がでない確率を上の式に当てはめて考えよ。
Problem 4.2. １０回投げて、２回しか表がでなかったとすると、このコインはフェアか？
4.2 仮説検定• 帰無仮説 (null hypothesis)：テストすべき本来の仮説
• 対立仮説 (alternative hypothesis)：「帰無仮説が間違っている」という仮説
この二つの仮説を「対立」させて、データの観測結果から、どちらが正しいかを判断する。観測結果に応じて、「否定領域」と「肯定領域」が考えられる。観測結果が「肯定領域」に入っていれば、帰無仮説が採択される。しかし、次の２つの種類の誤りが考えられる。
• 第一種の過誤（false positive)：テストすべき本来の仮説を誤って、否定するミス。対立仮説を誤って採用するミス。
4.2. 仮説検定 13
• 第二種の過誤（error)：本来の仮説が間違っているのに、肯定してしまうミス。帰無仮説を誤って採用するミス。
Problem 4.3. どちらの過誤がより深刻か？
Remark 4.1. たいていの場合、第一種の過誤は避けたい。通常は、仮説が正しいと判断した場合には、さらにその仮説を元に、あらたな実験や観測を続ける。一方、仮説が否定された場合には、その仮説に関する議論がストップする。したがって、第一種の過誤が起こらないように、慎重にデータ処理する必要がある。通常は、第一種の過誤の確率が 5%や 10%になるように、判定する。
Example 4.1. コインがフェアかどうかテストしたい場合、それぞれの仮説は、次のようになる。
• 帰無仮説 (null hypothesis)：このコインはフェアだ。すなわち、p= 1/2.
• 対立仮説 (alternative hypothesis)：このコインはアンフェアだ。すなわち、p = 1/2.
Problem 4.4. コインがフェアかどうか、どのようにテストするか？
テスト結果対する過誤の種類：
• 第一種の過誤（false positive)：フェアなコインをフェアでないと判定する。
• 第二種の過誤（error)：アンフェアなコインをフェアと判定する。
14
第5章 条件付き確率と確率変数
条件付き確率と確率変数は、実に役に立つ概念である。複雑な確率的な事象もこの二つの概念を使うことで、手品のように簡単に理解することできる。
5.1 病気の判定病院へ行って検査を受ける。この間の不安感ほど、嫌なものはなかなか
ない。１０００人に１人かかる命に関わるような病気がある1。すなわち、
P病気にかかる = 11000
. (5.1)
自分が病気にかかっているのではと疑って、病院へ行くことになる。病院では、医師の診察と同時にさまざまな検査がある。血液検査やMRIなどのハイテク技術を組み合わることで、かなりの精度で病気の診断が可能だ。しかし、どんなハイテク機器と名医にも誤診はある。この病気の検査
では、どうしても、5%の確率で誤診が起こる。正常なのに、病気であると診断されたり、逆に病気なのに、正常であると判定されることが 5%程度あるということだ。このような現象は、条件付き確率で表すことができる。条件付き確率
は、PA|Bのように書き表す。Bは、条件と呼ばれる部分で、特定の条件 Bが成立したときの確率を考えることを示している。この検査であれば、次のように書ける。
P病気だと判定される |本当は病気にかかっていない = 120
,
P病気でないと判定される |本当は病気にかかっている = 120
. (5.2)
1[3, p.207]より改題
5.1. 病気の判定 15
例えば、本当は病気にかかっていない人、１００人が病院で検査を受けた場合に、５人が病気にかかっていると診断されることを表している。条件付き確率 PA|Bは、通常の確率を使って次のように定義される。
PA|B= PA∩BPB
. (5.3)
残念なことに、病院の検査で、病気だと判定されてしまった。医師の話では、この病気にかかるとかなりリスクの高い手術を受ける必要があるそうだ。自分の一生に関わる重大な判断の場面だ。ここで、問題になるのは、果たして、検査の結果でこの病気であると判定された時に、手術を受けるべきかどうかだ。この判定にも、条件付き確率を使うことができる。
P本当は病気にかかっていない |病気だと判定される . (5.4)
この確率が高ければ、手術を受ける必要はないと考えることができる。どうやって、この条件付きを計算する？今までの情報で、十分計算できる。(5.2)と (5.4)はちょうど逆さまの関係になっていることには、注意しなくてはいけない。
Problem 5.1 (False positives2). Answer the followings:
1. Suppose there are illegal acts in one in 10000 companies on the aver-age. You as a accountant audit companies. The auditing contains someuncertainty. There is a 1% chance that a normal company is declared tohave some problem. Find the probability that the company declared tohave a problem is actually illegal.
2. Suppose you are tested by a disease that strikes 1/1000 population. Thistest has 5% false positives, that mean even if you are not affected by thisdisease, you have 5% chance to be diagnosed to be suffered by it. Amedical operation will cure the disease, but of course there is a mis-operation. Given that your result is positive, what can you say aboutyour situation?
最初に５の目が出たとする（条件）。すると、次に３の目が出た場合に、トータルが８となる。この確率は、1/6である。
2Modified from [3, p.207].
16 第 5章 条件付き確率と確率変数
ところが、最初に出た目が１の場合（条件）、次にどんな目が出ても、トータルが８になることはない。したがって、この確率は 0である。このように、条件をつけた確率（条件付き確率）は、元の確率とは異
なる。
5.2 条件付き確率の計算Definition 5.1. Bが与えられときの条件付き確率：
PA|B= PA∩BPB
. (5.5)
Example 5.1. 最初に５の目が出たとするとした時に、トータルが８になる条件付き確率を定義に従って、求める。
Pトータルが８ |最初に５が出た = P(トータルが８)∩ (最初に５が出た)P最初に５が出た
=P最初が５で次が３ P最初に５が出た
=P最初が５ P次が 3
P最初に５
= P次が３ = 16.
Problem 5.2. ロイヤルストレートフラッシュの出る確率を求めよ。また、既に、手札にハートのAとKがある場合に、ロイヤルストレートフラッシュの出る確率を求めろ。
Problem 5.3. あなたの会社は、A社の買収を試みている。この買収が成功する確率は 0.3である。もし、この交渉が成功すれば、あなたの会社の利益が増大する確率は、0.8だと予想される。さて、買収の正否のわからない現時点で、あなたの会社の利益が増大
する確率は？
5.3 独立条件付き確率は、特定の条件が、次に起こるイベントの起こる確率に
影響を与える場合の計算の仕方を教えてくれる。しかし、それがうまく行かない場合もある。
5.4. Bayesの定理 17
Problem 5.4. 前に生まれた子供が女の子であることを知っている場合に、次にその家族に生まれる子供が女の子である確率は？
Definition 5.2. イベントAと Bが独立であるとは、
PA|B= PA (5.6)
が成り立つことである。
Theorem 5.1 (独立). Aと Bが独立であるとき、
PA∩B= PAPB. (5.7)
Problem 5.5. Theorem 5.1を証明せよ。
5.4 Bayesの定理条件付き確率を計算する上で、とても便利なツールが Bayesの定理である。
Theorem 5.2 (Bayes).
PB|A= PA|BPBPA|BPB+PA|BcPBc
. (5.8)
Problem 5.6. Theorem 5.2を証明せよ。
18
第6章 確率変数とその周辺
6.1 確率変数確率的な変動で変化するものを数えたり、観測する場合には、確率そ
のものを相手にするよりも、確率変数を相手にした方が直感的に把握しやすい。
Definition 6.1. 確率的な変動に応じて、その値が変化する変数を確率変数と呼ぶ。
Example 6.1. W :テニスという言葉が１１時のニュースに出てくる回数。
6.2 確率密度、確率分布Definition 6.2 (確率密度). X が離散確率変数の場合、
f (a) = PX = a, (6.1)
を確率密度と呼ぶ。
Problem 6.1. ３回コインを投げた場合の表が出た回数を X とする。X の確率密度を求めろ
Definition 6.3 (確率分布). X が（一般の）確率変数の場合、
F(x) = PX ≤ x, (6.2)
を確率分布と呼ぶ。また、確率分布を使うと確率密度 f (x)は次のように表される。
f (x) =dF(x)
dx=
dP(X ≤ x)dx
. (6.3)
Theorem 6.1.
limx→∞
F(x) = 1, (6.4)
limx→−∞
F(x) = 0 (6.5)
6.3. 期待値 19
6.3 期待値確率変数の大きさを測るには期待値が便利である。
Definition 6.4 (期待値).
E[X ] =∫
xdPX ≤ x (6.6)
Remark 6.1. X が離散確率変数の場合には、
E[X ] =∫
xdPX ≤ x= ∑a
aPX = a (6.7)
6.4 分散同じ期待値であっても、確率的変動の大きさが異なる場合がある。
Example 6.2. 次のような二つの確率変数U,V を考える。
• 恒等的に 1/2な確率変数。
U ≡ 1/2, (6.8)
• ふたつの値をとる確率変数。
V =
1 with probability 1/2,
0 with probability 1/2.(6.9)
Problem 6.2. E[U ] = E[V ] = 1/2を確かめろ。
このような場合には、期待値だけでは確率変数の「特性」を測ることができない。
Definition 6.5 (分散). 平均からの変動の大きさを二乗平均したものを分散と呼ぶ。
Var[X ] = E[(X −E[X ])2] . (6.10)
20 第 6章 確率変数とその周辺
Theorem 6.2.
Var[X ] = E[X2]− (E[X ])2 . (6.11)
Var[aX +b] = a2Var[X ]. (6.12)
Remark 6.2. 分散は、Xの二乗のオーダーを持つので、使いにくい場合がある。
Definition 6.6 (標準偏差). 分散の平方根を標準偏差と呼ぶ。
σ =√
Var[X ]. (6.13)
Problem 6.3. Example 6.2の例において各確率変数の分散、標準偏差を求めろ。
Theorem 6.3. X ,Y が独立な場合には、
E[XY ] = E[X ]E[Y ], (6.14)
Var[X +Y ] =Var[X ]+Var[Y ]. (6.15)
6.5 ベルヌーイ試行ベルヌーイ確率変数Aは、成功、失敗のような形で表される試行を表す。
Definition 6.7 (ベルヌーイ確率変数).
A =
1 with probability p,
0 with probability 1− p.(6.16)
Theorem 6.4.
E[A] = p, (6.17)
Var[A] = p(1− p). (6.18)
6.6. 独立、同一な分布 21
6.6 独立、同一な分布同一の事象を別々な時点で観測したり、同じ母集団の中からサンプルを選んだりした場合に得られる確率の列は、独立、同一な分布を持つ確率変数として扱うことが多い。
Definition 6.8.
X1,X2, . . . ,Xn, (6.19)
が、独立で
PXi ≤ x= F(x), (6.20)
という同じ確率分布に従うときに、X1,X2, . . . ,Xnは独立、同一分布を持つ（i.i.d: independent and identically distributed)と言う。または、分布Xからのランダムサンプルと呼ばれる。
Theorem 6.5.
X1,X2, . . . ,Xn, (6.21)
が独立、同一分布の時、
X =1n
n
∑i=1
Xi, (6.22)
でサンプル平均を定義すると
E[X ] = E[X ], (6.23)
Var[X ] =Var[X ]
n. (6.24)
サンプル平均は、サンプル数を増やすに従って、変動が小さくなり安定する。
22
第7章 幾何分布、２項分布、Poisson分布
ここでは、離散確率変数の確率分布を詳細に述べる。
7.1 幾何分布幾何分布は、何かが起こるまでの回数を数えるときに使う。
Definition 7.1 (幾何分布). 何かかが起こる確率が pである実験を複数回行い、X 回目で、それが初めて起こったとする。この確率変数 X は幾何確率変数と呼ばれ、その確率密度は
PX = i= (1− p)i−1 p, (7.1)
となる。
Theorem 7.1. 幾何確率変数 X の期待値：
E[X ] =1p, (7.2)
Var[X ] =1− p
p2 . (7.3)
Proof. 一回目に着目する。何かが起こるとその場で終わり、起こらなければ同じことを繰り返すので、
X =
1 with probability p,
1+X ′ with probability 1− p,(7.4)
ここで、X ′は、X と独立で同一な分布に従う確率変数。したがって、両辺の期待値をとれば、
E[X ] = p ·1+(1− p)E[1+X ], (7.5)
さらに両辺を整理すれば、E[X ] = 1/pとなる。
7.2. ２項分布 23
Problem 7.1.
E[X2] = p ·12 +(1− p)E[(1+X)2], (7.6)
であることに注意して、Var[X ]を求めろ。
Problem 7.2. 賞金１万円の当たる確率が 1/100で、一枚１００円宝くじがある。
1. 当たるまでの回数の確率密度をグラフに描け。また、当たるまでの回数の期待値は？
2. 所持金が一万円あるが、宝くじに当たるまで買い続けた場合には、どんなことが起こるか？所持金がなくなるまでに、宝くじに当たる確率を求めて、説明せよ。
7.2 ２項分布２項分布は、成功／失敗の数を数えるようなときに使う。
Definition 7.2 (２項分布). 成功の確率が pである実験を、n回繰り返した。成功した数を X とすると、この確率変数 X は２項確率変数と呼ばれ、その確率密度は
PX = i=(
ni
)pi(1− p)n−i, (7.7)
となる。
Theorem 7.2. ２項確率変数Xは、独立なBernouilli確率変数Aiを使って、次のように表すことができる。
X =n
∑i=1
Ai, (7.8)
但し、PAi = 1= pとする。
Theorem 7.3. ２項確率変数 X の期待値と分散：
E[X ] = np, (7.9)
Var[X ] = np(1− p). (7.10)
24 第 7章 幾何分布、２項分布、Poisson分布
7.3 ２項分布の応用例Problem 7.3 (ランダムな解答). ４択の問題が、20問ある。ランダムに解答を選んだときに、８０点以上取れる確率を求めよ。
20 40 60 80 100n
0.05
0.1
0.15
0.2
P_n
図 7.1: ランダムな解答の正解数分布:80点以上を取る確率は 3.865×10−7
Problem 7.4 (航空会社のダブルブッキング). あなたは、航空会社のチケット予約担当です。座席数２００の便の予約をマネージメントしています。経験的に、7%の乗客は無断でキャンセルすることがわかっています。したがって、予約を２００だけしか受け付けないのは、空席のリスクがあります。あなたはダブルブッキングをしようと考えました。ダブルブッキングを
して、２００人以上の乗客が来てしまうと、空港で大混乱が起こります。このような確率を 5%以内に押さえるためには、何人まで予約を受付す
ることができるでしょうか？
7.4 Poisson分布ある１分間に高田馬場のスターバックスに来店するお客の数などを表
す場合に、Poisson分布は使うことができる。
Definition 7.3 (Poisson分布). ある一定時間に来店する客の数をNとする。次のような場合、確率変数 Nはパラメータ λ の Poisson確率変数と呼ば
7.4. Poisson分布 25
195 200 205 210 215 220n
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
P_n
図 7.2: 座席数を 215人まで予約した場合の搭乗希望客数の分布：座席が足りなくなる確率は 0.456
195 200 205 210 215 220n
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
P_n
図 7.3: 座席数を 208人まで予約した場合の搭乗希望客数の分布：座席が足りなくなる確率は 0.019
202 204 206 208 210 212 214n
0.1
0.2
0.3
0.4
risk
図 7.4: 予約可能座席数と座席が足りなくなるリスクの関係
26 第 7章 幾何分布、２項分布、Poisson分布
れる。
PN = n= λ n
n!e−λ . (7.11)
となる。
Theorem 7.4. Poisson確率変数 Nの期待値と分散：
E[N] = λ , (7.12)
Var[N] = λ . (7.13)
Theorem 7.5. nが大きく、npが小さいときの２項分布は、平均 λ = npのPoisson分布で近似できる。
7.5 Poisson分布の応用例Problem 7.5 (スターバックスで待たされる). １分間に平均１人が来店するスターバックスがあります。この店は、１分間に３人のお客をさばくだけのスタッフが配置されています。偶然、同じ１分間に３人以上のお客さんが来る場合があります。この場合には、お客さんは、待たなくていけません。お客さんが待たされる確率は、どのくらいでしょうか？
2 4 6 8 10n
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
P_n
図 7.5: スターバックスに来店する客数の分布:待たされる確率は 0.0189
Problem 7.6 (期末テストでの身体的危険性評価). 試験用紙で、一人の学生が指を切る確率は 0.00002とする。会計研４００人の学生が一斉に試験を受けた場合に、二人の学生が指が、試験用紙で指を切る確率を求めよ。
7.6. 超幾何分布 27
7.6 超幾何分布Definition 7.4 (超幾何分布). M個のタイプAと N −M個のタイプ Bの中から、ランダムに nを重複なしに選んだとき、タイプAの数をXとする。このとき、X は超幾何確率変数と呼び、
PX = i=(M
i
)(N−Mn−i
)(Nn
) . (7.14)
Theorem 7.6. 超幾何確率変数 Nの期待値と分散：
E[N] =nMN
, (7.15)
Var[N] = n(
MN
)(1− M
N
)(N −nN −1
). (7.16)
28
第8章 正規分布とその仲間たち
8.1 一様分布Definition 8.1. X が aと bの間で、どの値を取るのも同じ確率のとき、Xは [a,b]上の一様確率変数という。このとき、
Pc ≤ X ≤ d= d − cb−a
, (8.1)
ここで、a ≤ c ≤ d ≤ b。
Remark 8.1. 連続な確率変数の場合、特定の値をとる確率は０である。すなわち、
PX = x= 0. (8.2)
8.2 連続確率変数Definition 8.2. 連続な値をとる確率変数を連続確率変数という。
Example 8.1. 電話帳から無作為に一人の人物をピックアップし、その人の身長をHとする。Hは連続確率変数となる。
Definition 8.3 (確率分布関数). 確率変数 X に対して、（累積）確率分布関数 (Cumulative Distribution Function: CDF or Probability Density Function:PDF)は次のように定義する。
F(x) = PX ≤ x. (8.3)
Theorem 8.1.
PX > a= 1−F(a), (8.4)
Pb < X < c= F(c)−F(b). (8.5)
8.3. 正規分布 29
Problem 8.1. [a,b]上の一様分布の確率分布関数をグラフに描け。
Definition 8.4 (確率密度関数). 確率分布関数 F(x)の導関数を確率密度関数 (probability density function:pdf)とよぶ。
f (x) =dF(x)
dx. (8.6)
Problem 8.2. [a,b]上の一様分布の確率密度関数をグラフに描け。
Theorem 8.2.
Pa < X ≤ b=∫ b
af (x)dx = F(b)−F(a). (8.7)
Theorem 8.3.
E[X ] =∫ ∞
−∞x f (x)dx, (8.8)
E[X2] =∫ ∞
−∞x2 f (x)dx, (8.9)
Var[X ] = E[X2]−E[X ]2. (8.10)
Problem 8.3. [a,b]上の一様確率変数 X の期待値と分散を求めよ。
8.3 正規分布正規確率変数は、二つのパラメータ（平均 µと分散 σ2）で決定される
連続確率変数である。
Definition 8.5 (正規分布). 確率変数 Xが平均 µと分散 σ2の正規分布に従うとき、その確率密度 f (x)は次のようになる。
f (x) =1√
2πσe−[(x−µ)/σ ]2/2. (8.11)
このとき、X は、正規分布 N(µ,σ2)に従う確率変数であると言う。
Definition 8.6 (標準正規分布). 確率変数 Zが平均 µ = 0と分散 σ2 = 1の正規分布に従うとき、Zは標準正規分布 N(0,1)に従うという。標準正規分布の分布関数を次のように書く。
Φ(x) = PZ ≤ x. (8.12)
30 第 8章 正規分布とその仲間たち
Theorem 8.4. 正規確率変数は、確率 95%で平均から２標準偏差の範囲内に入る。
Pµ −2σ ≤ X ≤ µ +2σ ≤ 0.95. (8.13)
Theorem 8.5. 平均 µ と分散 σ2の正規確率変数Y は、標準正規確率変数Zを使って、次のように表される。
Y = µ +σZ. (8.14)
逆に、正規確率変数は標準確率変数に次のように変換できる。
Z =Y −µ
σ. (8.15)
Theorem 8.6. 正規分布は、標準正規分布を使って計算できる。
PX ≤ a= Φ(
a−µσ
). (8.16)
Proof.
PX ≤ a= P
X −µσ
≤ a−µσ
= P
Z ≤ a−µ
σ
= Φ
(a−µ
σ
).
Remark 8.2. 昔は、正規分布表を用いて、いろいろな計算をする必要があった。しかし、最近は、標準正規分布がExcelの関数でも用意されているので、これを用いるのが簡単である。
Example 8.2 (コンビニの発注量). あるコンビニで売れるおにぎりの売り上げXは、平均 400、標準偏差 20の正規分布に従うことが POSデータから経験的にわかっている。売れ残りが出る確率を 2.5%にするような発注量を決めたい。
Theorem 8.5より、
Z =X −µ
σ(8.17)
8.3. 正規分布 31
は標準正規分布 N[0,1]に従う。ここで、標準正規分布の性質より、
P−2 ≤ Z ≤ 2 ≤ 0.95. (8.18)
さらに、
PZ ≥ 2+P−2 ≤ Z ≤ 2+PZ ≤−2= 1. (8.19)
ここで、標準正規分布が原点に対して対称なので、PZ ≤ 2= PZ ≤−2より、
PZ ≥ 2= 1/2P−2 ≤ Z ≤ 2= 0.025. (8.20)
変数を X に戻すと、
0.025 = PZ ≥ 2
= P
X −µσ
≥ 2
= PX ≥ µ +2σ= PX ≥ 440
したがって発注量を、440にすれば、売れ残りがでる確率は、0.025%となる。
Problem 8.4. あなたは、忙しい友達から Sony株の売却を依頼されました。もし、明日１２時の Sony株が 5300円から 5700円の間に入っているなら、その場で売却するように依頼されています。今日の株価は、5500円で、Sonyの株価は、平均 5500円、標準偏差 100円の正規分布に従うと仮定します。このとき、あなたが、友達の株を売却する確率をExcelを使って求めなさい。
Theorem 8.7. 独立な正規確率変数の和は、正規確率変数になる。Xiを平均 µiと分散 σ2
i の正規確率変数とする。
X =n
∑i=1
Xi ∼ N
(n
∑i=1
µi,n
∑i=1
σ2i
). (8.21)
32 第 8章 正規分布とその仲間たち
8.4 対数正規分布数理ファイナンスにおいては、正規分布を元にして作ることができる
正規対数分布は、有用である。
Definition 8.7 (対数正規分布). log(Y )が正規分布になるとき、この確率変数Y を対数正規分布と呼ぶ。
したがって、正規確率変数 X によって、
Y = eX , (8.22)
とあらわすことができる。
Theorem 8.8 (対数正規分布の期待値と分散). X が N[µ,σ2]のとき、対数正規正規確率変数Y = eX について、
E[Y ] = eµ+σ2/2, (8.23)
Var[Y ] = e2µ+2σ2− e2µ+σ2
. (8.24)
が成立する。
Problem 8.5. E[Y ]が eµ ではないことは、おかしくないか？
8.5 中心極限定理Theorem 8.9 (中心極限定理). どんな確率変数でも、サンプルのサイズが大きくなれば、サンプル平均は正規分布で近似できる。（Figure 8.1参照。）
Remark 8.3. 中心極限定理のおかげで、たいていの現象の統計量は正規分布で近似できる。
8.6 χ2(カイ二乗分布）χ2確率変数は、後に標本偏差の検定を行なう際に有用である。
Definition 8.8 (χ2確率変数). Zを標準正規確率変数とする。Zの二乗を χ2
確率変数という。
χ = Z2 (8.25)
8.6. χ2(カイ二乗分布） 33
0.46 0.48 0.5 0.52 0.54
5
10
15
20
25
30
図 8.1: The detailed histgram of the sample average A = 1n ∑n
i=1 Xi when n =
10, where Xi is a Bernouilli random variable with E[Xi] = 1/2. The solid lineis the corresponding Normal distribution.
Theorem 8.10.
E[χ] = 1, (8.26)
Var[χ] = 2. (8.27)
Proof.
E[χ ] = E[Z2] = 1. (8.28)
Definition 8.9 (自由度 nの χ2確率変数). Ziを独立な標準確率変数とする。
χn =n
∑i=1
Z2i , (8.29)
を自由度 nの χ2確率変数という。
Remark 8.4. なぜ、自由度 nというのか？独立な標準確率変数 Ziというのは、それぞれ自分が勝手に決めることができる数かのように扱えるため。
Remark 8.5. 残念ながら、χ2確率変数の確率分布関数を簡単な式で表すことはできない。
Theorem 8.11.
E[χn] = n, (8.30)
Var[χn] = 2n. (8.31)
34 第 8章 正規分布とその仲間たち
8.7 t分布Definition 8.10 (t分布). Zを標準確率変数、Y を自由度mの χ2確率変数とする。
T =Z√Y/m
, (8.32)
を自由度mの student t分布という。
Remark 8.6. student t分布は、標本数の少ない場合に、正規分布の代わりに使われる。
8.8 F分布Definition 8.11 (t分布). X、Y をそれぞれ独立な自由度mと自由度 nの χ2
確率変数とする。
F =X/mY/n
, (8.33)
を自由度mと nの F分布という。
35
第9章 ２つの確率変数と相関
9.1 同時確率分布Definition 9.1 (同時確率分布). 二つの確率変数 X、Y の関係を知るには、次のような同時確率分布を考えるのが良い。
F(x,y) = PX ≤ x,Y ≤ y. (9.1)
また、次のような同時密度も考えることができる。
f (x,y) =d2
dxdyF(x,y). (9.2)
Theorem 9.1.
E[XY ] =∫ ∫
xy f (x,y)dxdy. (9.3)
Problem 9.1. さいころで出た目 X とその裏の目 Y の同時確率分布を求めろ。
9.2 周辺分布Definition 9.2 (周辺分布). 関連する二つの確率変数のうち、片方だけを考えたいときもある。そのときには、次のような周辺分布を用いる。
PX ≤ x= FX(x) = F(x,∞). (9.4)
また、周辺密度を次のように定義できる。
fX(x) =∫ ∞
y=∞f (x,y)dy. (9.5)
Problem 9.2. さいころで出た目 X とその裏の目 Y の同時確率分布から、周辺分布を求めろ。
36 第 9章 ２つの確率変数と相関
9.3 条件付き分布Definition 9.3 (条件付き分布). ひとつの確率変数の値（情報）を知ると他の確率変数の値を知るの役立つ場合がある。このような場合には、条件付き分布を考えるのが自然である。
PX ≤ x|Y = y. (9.6)
また、条件付き密度を次のように定義できる。
f (x|Y = y) =f (x,y)fY (y)
. (9.7)
Problem 9.3. さいころで出た目 X とその裏の目 Y の同時確率分布から、条件付き密度
f (x|Y = 2), (9.8)
を求めろ。
9.4 独立ふたつの確率変数が、影響を及ぼすかどうかをチェックしたい時があ
る。そのような場合には、独立性をチェックする。もし、XがY に影響を及ばさないなら、
f (x|Y = y) = fX(x). (9.9)
(9.7)を使うと、独立な場合には、
f (x,y) = fX(x) fY (y). (9.10)
Theorem 9.2. X とY が独立なとき、
E[XY ] = E[X ]E[Y ]. (9.11)
9.5. 共分散、相関係数 37
9.5 共分散、相関係数Definition 9.4. ふたつの確率変数 X と Y の依存性を測るのに、次のような共分散を用いる。
Cov(X ,Y ) = E [(X −E[X ])(Y −E[Y ])] (9.12)
= E [XY ]−E[X ]E[Y ]. (9.13)
Problem 9.4. Cov(X ,Y )の定義を用い、その正負が何を意味するか考えよ。
Problem 9.5. さいころで出た目 X とその裏の目 Y の同時確率分布から、共分散を求めろ。
Definition 9.5. 共分散の正負は重要な指標だが、その大きさを解釈するのは難しい。したがって、次のように変動の大きさで正規化した相関係数を用いる。
ρ(X ,Y ) =Cov(X ,Y )√
Var(X)Var(Y ). (9.14)
Problem 9.6. 相関係数の定義を用い、ρ(X ,Y )が 1、-1の時にそれが、何を意味するのか考えよ。
Problem 9.7. さいころで出た目 X とその裏の目 Y の同時確率分布から、相関係数を求めろ。
9.6 和の分散Theorem 9.3. 一般に、相関のある二つの確率変数の和については次が成り立つ。
E[X +Y ] = E[X ]+E[Y ], (9.15)
Var[X +Y ] =Var[X ]+Var[Y ]+2Cov[X ,Y ]. (9.16)
Remark 9.1. もし、XとY が負の相関を持っているときには、和の分散は、分散の和よりも小さくなる。
Problem 9.8. 定義に基づいて、
Var[X +Y ] =Var[X ]+Var[Y ]+2Cov[X ,Y ]. (9.17)
を証明せよ。
38 第 9章 ２つの確率変数と相関
9.7 ポートフォリオ分析Example 9.1. あなたが、次の株式を所有しているとする。
• Worldwide Fastburgers, Inc
この株式からの年間の利益をW とし、
E[W ] = 1000, (9.18)
Var[W ] = 400, (9.19)
とする。ここで、あなたはさらに余剰資金を使って、株式を買い増すことを考
えている。対象となるのは、次の二つの株式である。
• HaveItYourWay Burgers, Incその年間利益はHで、
E[H] = 1000, (9.20)
Var[H] = 400. (9.21)
• FunGoodTimes Pizza, Incその年間利益は Fで、
E[F ] = 1000, (9.22)
Var[F] = 400. (9.23)
Problem 9.9. 期待値で考えたとき、どちらの株式を買い増すのが良いか？
ポートフォリオを考えた場合、ポートフォリオ全体の利益の期待値の最大化だけではなく、ポートフォリオ全体の利益の分散を最小化することも重要である。
Problem 9.10. ポートフォリオ全体の利益の分散の最小化はなぜ大事か？
Theorem 9.3より、ポートフォリオ全体の利益の分散の評価には、共分散が必要である。ここで、
Cov(W,H) = 380, (9.24)
Cov(W,F) =−200, (9.25)
とする。
9.7. ポートフォリオ分析 39
Problem 9.11. 株式からの利益の共分散の正負は、実際の経済活動とどのような関係があると予想されるか？
ポートフォリオ全体の利益の分散は、次のように評価できる。HaveItY-ourWay Burgers, Incを買った場合には、
Var[W +H] =Var[W ]+Var[H]+2Cov(W,H) (9.26)
= 400+400+2×380 (9.27)
= 1,560. (9.28)
Problem 9.12. FunGoodTimes Pizza, Incを買った場合のポートフォリオ全体の利益の分散を評価せよ。
Problem 9.13. あなたは、どちらの株を買い増した方が良いか？また、その理由は？
40
第10章 統計的推測
ここまでは、全ての確率的現象が既知であるとして、問題を取り扱ってきた。実際には、データの背後にある確率的現象に対して、限定的な知識しか得られていない場合がある。以降の章では、統計的推測の手法を使って、データの背後にある確率
的現象を分析する手法を学ぶ。
10.1 平均の推測確率変数 X の期待値 µを推定する。推定するために、同じ対象を n回観測し、独立なデータ X1,X2, ...,Xn（ランダムサンプル）を得る。サンプルデータからの µ の「自然な」推定量 µ は、サンプル平均 xで
ある。
µ = x =1n
n
∑i=0
Xi. (10.1)
この xのようにサンプルデータを処理して得られる量を統計量という。
Definition 10.1. 特定の一つの値を推定する場合を、点推定と言う。
Example 10.1. サンプルデータが
5,7,4,10,12, (10.2)
の時、µ = E[X ]のサンプルアベレージを使った推定量 µは
µ = x =15(5+7+4+10+12) = 7. (10.3)
Remark 10.1. 推定量 µ自体も確率変数である。
10.2. 最尤推定法 41
10.2 最尤推定法Definition 10.2 (最尤推定量). あるパラメータの真の値が、その推定値だったときに、サンプルデータを与える可能性が最大になるとき、その推定量を最尤推定量と呼ぶ。すなわち、
PX1 = x1,X2 = x2, ...,Xn = xn|µ, (10.4)
が最大となるような µを最尤推定量と呼ぶ。
Remark 10.2. したがって、ある推定量が最尤推定量であることがわかった時には、その推定量は、データに一番うまくフィットすると言える。
Example 10.2 (株価上昇率の推定). 株価の上昇確率を推定する問題を考える。株価を１０日間観測した。上昇した日を+1、下降した日を 0とすると、次のようなデータが得られた。
1,0,0,0,1,0,1,0,0,0. (10.5)
この時に、各観測日の株価の変動が独立として、上昇する確率 pを推定する。試しに、p = 1/2と考える。すると、このようなデータの得られる確率は、
PX1 = 1,X2 = 0, . . . ,X10 = 0= 1210 ≈ 0.00097, (10.6)
となる。これが適切かどうかわからないので、pをずらしてみる。今度は、p = 1/3を試すと、
PX1 = 1,X2 = 0, . . . ,X10 = 0= 27
310 ≈ 0.00216, (10.7)
となり、だいぶ改善される。
Problem 10.1. どんな pで上の確率が最大になるか？
一般には、
PX1 = 1,X2 = 0, . . . ,X10 = 0= p3(1− p)7 (10.8)
であり、これを最大にする pを求めれば良い。ここで、logが単調増加関数であるので、両辺の logをとった
logPX1 = 1,X2 = 0, . . . ,X10 = 0= 3log p+7log(1− p), (10.9)
42 第 10章 統計的推測
が最大になる pを求めれば十分である。pで微分して 0とおいてみると、
3p+
−71− p
= 0, (10.10)
よって、p = 3/10が確率最大となることがわかる。一般に、n日の観測データが得られた場合に、
p =1n
n
∑i=1
xi (10.11)
で株価上昇確率を推定すると、そのデータ (x1,x2, . . . ,xn)が出る確率が最大になる。
Example 10.3. X が正規分布に従うとき、サンプル平均
µ = x =1n
n
∑i=0
Xi, (10.12)
は平均 µ = E[X ]の最尤推定量である。
最尤推定量は、平均以外の推定にも使用できる。
Example 10.4. X が正規分布に従うとき、サンプル分散
σ2 =1n
n
∑i=1
(Xi − x)2, (10.13)
は分散 σ2 =Var[X ]の最尤推定量である。
Example 10.5 (２項分布). ２項分布 (Definition 7.2参照）は次のような確率分布を持つ。
PX = i=(
ni
)pi(1− p)n−i, (10.14)
ここで、
成功の数成功の数＋失敗の数
(10.15)
は、２項分布のパラメータである成功の確率 pの最尤推定量である。
10.3. 一致推定量 43
10.3 一致推定量Definition 10.3. サンプルの数を増やしたとき、その推定値が安定するときに、その推定量を一致推定量（consistent estimator)と呼ぶ。より厳密には、サンプル数無限大の極限で、その推定量の分散が０になるとき、一致推定量という。
Remark 10.3. 一致推定量の場合には、サンプルを増やすと変動がなくなり、推定値が真の値に収束する。
Problem 10.2. 推定量が一致推定量でないときには、どんな問題があるか？
Example 10.6. どんな確率分布の場合でも、サンプル平均 xは平均 µの一致推定量である。なぜなら、
Var[x] =Var
[1n
n
∑i
Xi
]=
1n2 nVar[X ]
=1n
Var[X ]→ 0 as n → 0.
10.4 不偏推定量Definition 10.4. 推定量の期待値が推定するパラメータと一致するとき、その推定量を不偏推定量（偏りが無い）と呼ぶ。
Problem 10.3. サンプル平均 xが不偏推定量であることを示せ。
Example 10.7. サンプル分散 σ2を考える。データは適当に変換しておき、
E[X ] = 0, (10.16)
σ2 =Var[X ] = E[X2]. (10.17)
となるようにしておく。
σ2 =1n
n
∑i=0
(Xi − x)2. (10.18)
44 第 10章 統計的推測
すると
E[σ2] =1n
E
[n
∑i=0
(Xi − x)2
](10.19)
=1n
n
∑i=0
E[X2
i −2xXi + x2] (10.20)
=(n−1)σ2
n. (10.21)
ここで、
E[X2i ] = σ2, (10.22)
E[xXi] =1n
σ2, (10.23)
E[x2] =1n
σ2, (10.24)
に注意すれば、
E[σ2] =(n−1)σ2
n. (10.25)
したがって、サンプル分散 σ2は不偏推定量ではないことがわかる。一方、あらたな統計量 s2を考える。
s2 =1
n−1
n
∑i=0
(Xi − x)2 (10.26)
すると、
E[s2] = σ2, (10.27)
となり、不偏推定量になっていることがわかる。
Example 10.8. 一般に不偏推定量はたくさんありえる。
10.5 推定量の選び方一般に、不偏推定量はたくさんありえるので、不偏であるだけでは、推
定量としては不十分である。一般に、推定量としては、最低でも不偏推定量であることが望ましい。さらに、一致推定量であれば、サンプルを増やすことで、良い推定量になる。与えられたデータを増やせない場合には、その中で、最尤推定量をとるのが良い。
10.5. 推定量の選び方 45
Example 10.9. ある商品に関するアンケート調査を考える。この商品の満足度の期待値 µを求めたい。ランダムに抽出した２人に、アンケートをして、商品の満足度 (X1,X2)のデータを得た。推定値として、サンプル平均
µ2 =X1 +X2
2(10.28)
をとると、不偏推定量であることがわかる。一方、ランダムに抽出する人数をもっと増やして、1000人にした場合、
µ1000 =1n
n
∑i
Xi, (10.29)
としても、同じように不偏推定量である。
Problem 10.4. 上の二つの推定量が不偏であることを示せ。
しかし、直感的にも µ1000の方が、望ましい推定量であることがわかる。これは、分散を比較することで定量的に、明らかにできる。
Problem 10.5. 二つの推定量の分散を比較せよ。
46
第11章 信頼区間
Chapter 10では、どのような推定量を使うのが適切かを学んだ。しかし、
「その推定量が、真の値にどれくらい近いのか？」
ということが、まだわかっていない。この章では、さまざまな場面を設定し、この疑問に答える。
Problem 11.1 (フロリダの降雨確率). あなたが、フロリダに一日滞在したとする。その日がたまたま雨であったとする。あなたの滞在した日は、ランダムサンプルと言えるから、フロリダの降雨確率は、
雨が降った日数滞在した日数
= 1, (11.1)
という推定量で推定できる。この推定量が真のフロリダの降雨確率とどの程度かけ離れているだろうか？
Problem 11.2. ある企業の監査を行なった。１０の伝票をチェックしたら、不正なく処理されていることがわかった。その企業が正当な会計処理を行なっている確率を
不正のない伝票の数チェックした伝票の数
= 1, (11.2)
という推定量で推定できる。この推定は、正しいか？
11.1 正規分布を使って信頼区間を求める：分散既知の場合
データ X1,X2, ...,Xnが正規分布からのランダムサンプルであるとする。すると、期待値 µ = E[X ]の推定量として、サンプル平均 xを使うのは自然である。
x =1n
n
∑i=0
Xi. (11.3)
11.1. 正規分布を使って信頼区間を求める：分散既知の場合 47
Theorem 11.1. xも正規分布である。
Proof. Theorem 8.7より、独立な正規分布の和は、正規分布なので、xも正規分布である。
この定理から、xの分布がわかった。しかし、我々が知りたいのは、xがどの程度、真の値 µ から離れているかである。その距離を cと考えると、我々の目標は、
真の値 µが [x− c, x+ c]に入る確率
を評価することである。もし、この評価ができたとすると、これを逆に使うことで、
真の値 µが [x− c, x+ c]に入る確率を 95%とするような c
を求めることができる。
Definition 11.1 (信頼区間と信頼度). データ X1,X2, ...,Xnを使って、パラメータ µ を xで推定するとき、その推定値と真の値の誤差の大きさを信頼区間 [x− c, x+ c]、その信頼区間の信頼度を CLとする。より詳しくは、真の値 µと推定値 xには次の関係が成立する。
Px− c < µ < x+ c=CL. (11.4)
Theorem 11.2 (信頼区間). データ X1,X2, ...,Xnが正規分布からのランダムサンプルであるとき、
Px− c < µ < x+ c= 0.95, (11.5)
(11.6)
を満たす cは、
c =1.96σ√
n, (11.7)
で与えられる。すなわち、信頼度 95%の信頼区間は、
[x− c, x+ c] =[
x− 1.96σ√n
, x+1.96σ√
n
], (11.8)
となる。
48 第 11章 信頼区間
はじめに、次の Lemmaを証明しておく。
Lemma 11.1.
Z =x−µ√
σ2/n=√
nx−µ
σ, (11.9)
は、標準正規分布 N[0,1]に従う。
Proof. xの平均は µ ,分散は σ2/nなので、Theorem 8.5の変形を使えばよい。
Proof of Theorem 11.3. Lemma 11.1を使うと、
Px− c < µ < x+ c= P−c < x−µ < c
= P−c√
nσ
<√
nx−µ
σ<
c√
nσ
= P−c√
nσ
< Z <c√
nσ
.
ここで、標準正規分布の性質より、
P−1.95 < Z < 1.95= 0.95. (11.10)
したがって、
c =1.96σ√
n. (11.11)
Problem 11.3. 信頼区間の大きさは、何を表しているのか？どんなときに、信頼区間は小さくなるか？
11.2 t分布を使って信頼区間を求める：分散未知の場合
Section 11.1では、推定値と真の値の間の関係を評価する方法として、信頼区間の求め方を学んだ。すなわち、
c =1.96σ√
n, (11.12)
11.2. t分布を使って信頼区間を求める：分散未知の場合 49
を計算すれば良い。しかし、この計算をするためには、Xの分散 σ2があらかじめわかっていることが前提となる。
Problem 11.4. 分散 σ2はわかっているという前提は、妥当か？どのような場合は妥当で、どのような場合は妥当でないのか？
解決策：
1. データから σ2をサンプル分散 σ2で推定する。
2. 推定値 σ2を使って、cを計算する。
Problem 11.5. この解決方法は妥当か？
一般に、データ数が少ない時には、別の方法で精度の評価することが必要である。Lemma 11.1の代わりに、次の Lemmaを考える。
Lemma 11.2. サンプル分散として、次の不偏推定量を考える。
s2 =1
n−1
n
∑i=0
(Xi − x)2. (11.13)
ここで、次の統計量、
T =
√n(x−µ)
s, (11.14)
は、自由度 n−1の t分布（Section 8.7参照）に従う。
Proof. Section 8.7より、独立な標準正規確率変数 Zと χ2確率変数Y で、
T =Z√Y/m
, (11.15)
のようにかけるとき、T は t分布に従うと言える。ここで、(11.14)は次のように書き換えることができる。
T =
√n(x−µ)/σ
s/σ(11.16)
=
√n(x−µ)/σ√
∑ni=0(Xi − x)2/[(n−1)σ2]
. (11.17)
50 第 11章 信頼区間
分母は Lemma 11.1より標準正規分布に従うことがわかる。また、
∑ni=0(Xi − x)2
σ2 , (11.18)
は、xの分だけ自由度がひとつ減っている自由度 n−1の χ2分布に従うことがわかる（詳細は、例えば [2]P84-P87参照）。
Lemma 11.2を使ってサンプルが少ない場合の信頼区間を算出する。
Theorem 11.3 (データが少ない場合の信頼区間). データ X1,X2, ...,Xnが正規分布からのランダムサンプルであり、nが少ないとする。
Px− c < µ < x+ c= 0.95, (11.19)
(11.20)
を満たす cは、
c =aσ√
n, (11.21)
で与えられる。ここで、aは、t分布から
P−a < T < a= 0.95, (11.22)
から計算された定数である。例えば、n = 7の場合には、a = 2.306すなわち、信頼度 95%の信頼区間は、
[x− c, x+ c] =[
x− aσ√n, x+
aσ√n
], (11.23)
となる。
Proof.
Px− c < µ < x+ c= P−c < x−µ < c
= P−c√
nσ
< T <c√
nσ
.
ここで、t分布の性質より、
P−c√
nσ
< T <c√
nσ
(11.24)
Remark 11.1. 図 11.1をみると、正規分布と比較すると、t分布の方が微妙に分散が大きくなっていることがわかる。もし、t分布を使わずに、正規分布を使った場合には、それだけ推定精度を甘く見積もることになる。
11.3. その他の推定における信頼区間 51
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
t!n!7"Normal
図 11.1: 標準正規分布と t分布の密度関数
11.3 その他の推定における信頼区間その他にも、
1. 分散を推定する場合
2. 二つの平均の差を推定する場合
などで、信頼区間を評価することができる。詳しくは、教科書 [1]参照。
52
第12章 サンプリング
12.1 世論調査世論調査の方法：
• 全数調査：全員に尋ねる。→通常コストがかかりすぎる。
• サンプル調査：特定の一部の人に尋ねる。
Problem 12.1. どんなときに、全数調査が行なわれるか？例をあげて答えよ。
Example 12.1 (朝日新聞12月12日記事より). 朝日新聞の行なった世論調査（図12.1参照。http://www.asahi.com/politics/naikaku/TKY200612110286.html）。有権者１億人の内閣支持率を２０１８人のサンプル調査によって、推定している。
図 12.1: 阿部内閣支持率の推移
12.2. 支持率の信頼区間 53
朝日新聞社が９、１０の両日実施した全国世論調査（電話）によると、安倍内閣の支持率は４７％で前回１１月調査の５３％から低下、初めて５割を割り込んだ。不支持は３２％で前回の２１％から上がった。首相の改革に取り組む姿勢が就任時と比べて「後退している」と見る人が４６％で、「維持されている」の２９％を上回った。「郵政造反議員」１１人の自民党復党を「評価しない」は６７％を占めた。復党や道路特定財源の問題などへの対応が支持率低下に影響したようだ。（中略）〈調査方法〉 ９、１０の両日、全国の有権者を対象に「朝
日ＲＤＤ」方式で電話調査をした。対象者の選び方は無作為３段抽出法。有効回答は２０１８人、回答率は５７％。
Problem 12.2. 上のサンプル調査には、どんな欠点があるか？あなたは、信頼できるか？
12.2 支持率の信頼区間有権者N人の中で、M人が内閣を支持しているとする。我々は、内閣支持率
p =MN, (12.1)
を知りたい。全数調査はコストがかかるので、n人の有権者に内閣を支持するかの調査を行なう。n人の有権者中、X人が支持したとすると、推定される支持率 pは
p =Xn, (12.2)
で与えられる。もし、サンプリングが妥当であれば、この推定支持率 pは、真の支持率 pに近いと考えられる。
Problem 12.3. どんなサンプリング方法が望ましいか？
Lemma 12.1. サンプル調査数 nが大きい時には、支持する人の数 X はパラメータ (n, p)の二項分布に従う。さらに、nが十分大きいときには、Xは平均 np、分散 np(1− p)の正規分布で近似できる。
54 第 12章 サンプリング
Proof. 実際のサンプリング調査では、一度調査した人が、さらに同じ調査をされることはない。しかし、nが大きければ、実際上、同じ人が再度調査される可能性は少ない。したがって、X は繰り返し有りで、同一サンプルから、条件に適合する数を数えているので、二項分布に従う。二項分布は、nが大きいときには、正規分布に従う。
Theorem 12.1. n人の有権者中、X人が支持したとすると、推定される支持率
p =Xn, (12.3)
は確率変数であり、その分布は正規分布 N(p, p(1− p)/n)で近似できる。
Proof. Lemma 12.1より、X は正規確率変数 N(np,np(1− p))で近似できる。また、
p =Xn, (12.4)
は、Xの大きさを変えただけなので、正規確率変数となることがわかる。ここで、
E[p] = E[
Xn
]=
npn
= p. (12.5)
また、
Var[p] =Var[
Xn
]=
1n2 np(1− p) =
p(1− p)n
. (12.6)
Remark 12.1. 推定値 pは
E[p] = p. (12.7)
を満たすので、不偏推定量である。また、サンプル数 nが大きくなると、推定値 pの分散は、
Var[p] =p(1− p)
n→ 0, (12.8)
となり、推定値 pは一致推定量であることがわかる。
12.3. サンプリングの方法 55
Theorem 12.2. サンプル数 nが大きいとき、推定量 pの 95%信頼区間は[p−1.96
√p(1− p)
n, p+1.96
√p(1− p)
n
](12.9)
となる。
Proof. Theorem 12.1より、pは正規分布に従い、その分散は、
σ2 =Var[p] =p(1− p)
n. (12.10)
Theorem 11.3を使えば、その信頼区間が得られる。
Remark 12.2. サンプリングによる支持率の精度は、母集団の大きさには依らずに、サンプル数のに依存する（教科書 [1] P259参照）。
Example 12.2. 朝日新聞の調査のように、n = 2018の場合には、支持率の推定値 p = 0.47の 95%信頼区間は、[
p−1.96
√p(1− p)
n, p+1.96
√p(1− p)
n
]= [0.448224,0.491776] ,
(12.11)
となる。
12.3 サンプリングの方法サンプリングがランダムではない場合には、サンプリングによる調査は、実際と異なることがある。
Example 12.3. 1936年の Literacy Digestによるアメリカ合衆国大統領選挙の世論調査は、電話帳からランダムに抽出した名前への郵便による調査だった。この調査は、Rooseveltの負けを予想したが、実際には、Rooseveltの大勝利だった。
Problem 12.4. Literacy Digestの失敗の原因は？
Example 12.4 (完全にランダムでないサンプリング手法の例). 高度なサンプリング手法の例。図 12.2参照。
56 第 12章 サンプリング
1. クラスターサンプリング：あらかじめ設定されたクラスター毎（例えば、地域毎）に分ける。クラスターのサンプルをランダムに抽出する。さらに、このクラスター内で全数を調査する（さらにサンプルを抽出する場合もあり）。このことにより、特定のクラスター（地域内）に集中的にサンプルを確保することができ、コストが削減できる。
2. 層化サンプリング：いくつかの均一な部分母集団（層化）に分割し、各部分母集団からサンプルを抽出する。
3. 簡易サンプリング：本来、統計調査の手法としては望ましくないが、簡単に調査できるので、採用される種々の方法。例：ショッピングモールで、立ち止まった人にアンケート調査をする。
Problem 12.5 (テレゴング). テレゴングでの世論調査には、どのような問題があるか？
テレゴング放送メディアタイプ:視聴者の声をリアルタイムに番組に反映できます。放送メディアタイプは、テレビ、ラジオなどでサービス番号をＰＲし、視聴者からの電話のコール数を集計・通知するサービス。集計データは約５秒ごとに更新され、あらかじめお客さまに設置していただくパソコンから随時確認することができます。また、集計結果がリアルタイムに通知されるので、番組内でその結果をオンエアし、トークを展開することもできます。(http://www.ntt.com/telegong/info02.htmlより引用)
12.4 マーケティングリサーチの手法マーケンティングにおいて、アンケート調査を行なうのは、基本であ
る。しかし、近年は、
• 世の中に、アンケート調査が溢れている。
• 電話や emailでのセールス活動と混同されやすい。
Problem 12.6. アンケート調査において、無回答をどう扱うのが適切か？
12.4. マーケティングリサーチの手法 57
図 12.2: クラスターサンプリング（集落抽出法）と層化抽出法：http://www.pref.saitama.lg.jp/A01/BP00/faq/q11.htmlより
58 第 12章 サンプリング
図 12.3: テ レ ゴ ン グ 放 送 メ ディア タ イ プ:http://www.ntt.com/telegong/info02.htmlより引用
どんなアンケート手法を使うのか？
• 対面：効果的だが、高価。
• 電話
• メール：ひまな時間にやってもらえるが、反応は悪い。
• 自由記述式の質問：有用な情報が得られるが、統計的に分析するのは、むずかしい。
• マーク式の質問：回答はしやすいが、スケースの解釈がむずかしい。
• 答えを導くような質問は避ける。
Problem 12.7. 次の質問は、アンケートとして不適当なのはなぜか？
今日の世界情勢を考えると、日本は防衛予算を増やすべきか？ (YES or NO)
59
第13章 仮説検定
13.1 仮説検定の結果と正しさSection 4.2でみたように、仮説検定には、次の二つの仮説を用いる。
• 帰無仮説 (null hypothesis)：検証すべきことが起こらない時の仮説。
• 対立仮説 (alternative hypothesis)：「帰無仮説が間違っている」という仮説、検証すべき通常の状態と異なることが起きていることを表す。
仮説の検定に対しては、次の２つの種類の誤りが考えられる。
• 第一種の過誤（error、false positive)：テストすべき本来の仮説を誤って、否定するミス。本来は、有意味でないデータを有意味と判定してしまう。
• 第二種の過誤（false negative)：本来の仮説が間違っているのに、肯定してしまうミス。
通常、第一種の過誤の確率 (有意水準）を 5%に設定することが多い。したがって、この仮説検定で
「仮説が肯定された」
という結果が出ても、それは、
「この仮説が正しい」
ということを意味しない。むしろ、
「この仮説は、まだ棄却されていない」
と捉えるべきである。すなわち、さらに仮説が正しいかどうかのチェックを怠らないことが大事である。
60 第 13章 仮説検定
Example 13.1. 病気の検査を考える。ある検査では、健康である基準の数値が示されている。
• 健康なのに基準の値を超えて、病気と判定される → 第１種の過誤
• 病気なのに基準の値を下回って、健康と判定される → 第２種の過誤
Problem 13.1. サンプルデータを集めてきたら、20%が鈴木さんであった。帰無仮説を
「日本の人口のうち、20%が鈴木さんだ」
とした。このサンプルデータを使って、仮説検定を行なった。その結果、有意水準 5%で、仮説は肯定された。この検定は正しいか？どのように検定を行なうべきか？
13.2 検定統計量Definition 13.1 (検定統計量). 検定統計量は、サンプルデータを統計処理して得られる。帰無仮説が正しかった場合には、検定統計量は、既知の設定された分布に従う確率変数になる。通常、
「この検定統計量は、その分布に従う確率変数と信じることができる」
かどうかをチェックする。もし、信じることができない場合には、その仮説は否定される。
Example 13.2. あなたは、コインがフェアかどうかをチェックしたい。そのため、コイントスを１００回行った、データを得た。表が出た回数をX とする。帰無仮説を
「このコインはフェアだ」
とする。この場合、検定統計量は X であり、
「X は、n = 100、p = 1/2の二項分布に従う」
13.3. 平均の検定 61
はずである。ここで、データをチェックすると、
「X = 90は、n = 100、p = 1/2の二項分布に従うとは信じられない」
という結果になった。よって仮説
「このコインはフェアだ」
を棄却する。
Problem 13.2. 上の exampleで、仮説を棄却するのは、問題ないか？
13.3 平均の検定Definition 13.2. X1,X2, . . . ,Xnが正規分布からのランダムサンプルだとする。このとき、「真」の期待値 µ = E[X ]がある値 µ∗と一致するかどうかを検定する。次のように帰無仮説を設定する。
H0 : µ = µ∗. (13.1)
両側検定では、帰無仮説から期待される値から、テスト統計量が有意にかけ離れている場合に、その仮説は否定される。
Example 13.3 (レーズンシリアルの品質管理). あなたは、レーズンシリアルの品質管理担当だとする。
• 各袋にレーズンがある一定の数が入っていないと顧客から苦情がくる。
• レーズンが多すぎると、会社が損失を受ける。
レーズンは、レーズン封入機によって自動的に封入される。レーズン封入機が一袋に入れるレーズンの数には誤差があり、その誤差は正規分布N[µ,σ2]に従うことがわかっている。ここで、特に、その変動の大きさはσ2 = 16.16であることもわかっている。各袋には、平均 7粒のレーズンが入っているべきである。品質管理担当のあなたのミッションは、
「各袋に平均 7粒のレーズンが入ってる」
62 第 13章 仮説検定
をデータから検証することである。あなたは、１３袋を実際に開けて、次のようなデータを得た。
9,11,6,10,7,4,0,7,8,6,8,2,18. (13.2)
サンプル平均 xは、
x = 7.38, (13.3)
である。
Problem 13.3. x = 7.38は品質目標 µ∗ = 7と近いと言えるか？
ここで、帰無仮説H0をたてる。
H0 : µ = 7. (13.4)
もしこの仮説が正しければ、サンプルデータ X1,X2, . . . ,X13は N[7,16.16]に従う。よって、Lemma 11.1より、xは N[7,16.16/n]に従い、テスト統計量 Zを次のように定義すると、
Z =√
nx−µ
σ
=√
137.38−7
4.04= 0.341,
は標準正規分布 N[0,1]を満たすことがわかる。ここで、
「この Zは、本当に N[0,1]からのサンプルだ」
だと信じることができるかが、問題となる。N[0,1]からの確率変数 Zは、
P−1.96 < Z < 1.96= 0.95, (13.5)
を満たすはずである。したがって、Z = 0.341は、十分、この区間に入っているので,帰無仮説は信じるに足ると考えられる。すなわち、
「各袋に平均 7粒のレーズンが入ってる」
という仮説は統計的に 5%の有意水準で検証された。
13.4. 片側検定 63
Problem 13.4. あなたは、本当に「各袋に平均 7粒のレーズンが入ってる」という結論に納得できるか？
Remark 13.1 (信頼区間と検定の関係). 信頼区間と検定には次のような関係がある。
「95%信頼区間に入っている」
「5%の有意水準で、仮説を受け入れる」
は、同じ意味を持つ。
13.4 片側検定Example 13.4 (半導体部品の検品). あなたは、半導体メーカーの購買担当である。ある部品サプライヤーから、シリコンウェファを購入した。ウェファの中には、欠陥のあるチップ混じります。もし、欠陥のあるチップが多すぎれば、そのウェファを拒否しなければならない。部品サプライヤーは、ウェファ当たり平均 11個の欠陥チップがあると言っている。
図 13.1: シリコンウェファ
あなたは、１７個のウェファをチェックし、次のようにウェファ当たりの欠陥チップの個数のデータを得た。
7,16,19,12,15,9,6,16,14,7,2,15,23,15,12,18,9. (13.6)
Problem 13.5. この場合に、
「ウェファ当たり平均 11個の欠陥チップ」
64 第 13章 仮説検定
という帰無仮説を立てると、どんな問題があるか？
Section 13.3では、平均の検定で、次のような帰無仮説を立てた。
H0 : µ = µ∗. (13.7)
このSectionでは、上記の帰無仮説の代わりに、次のような仮説を考える。
H0 : µ < µ∗. (13.8)
このような仮説の検定には、片側検定を用いる。
Definition 13.3. 片側検定では、帰無仮説から期待される値より、テスト統計量が有意に小さい（大きい）場合に、その仮説は否定される。
Example 13.5 (半導体部品の検品の続き). 次のような帰無仮説を立てて、片側検定を行う。
「ウェファー当たり平均 11個以下の欠陥チップ」
分散 σ が未知なので、検定統計量として、T を計算する。
T =√
nx−µ
σ
=√
1712.647−11
5.396= 1.26.
自由度 n−1の t分布の片側検定用の表から、
PT < 1.75= 0.95, (13.9)
となることがわかる。よって、T = 1.26は、自由度 n−1の t分布から取られたと信じることができる。したがって、
「ウェファー当たり平均７個以下の欠陥チップ」
という仮説は統計的に 5%の有意水準で検証された。
Problem 13.6. ある会社は、注文を受けてから平均５日以内で納品することを宣伝文句にしている。この一ヶ月の納品期日のデータを調べると、
3,2,7,5,4,8,7,8 (13.10)
であった。この会社の納品期日は、宣伝通りと言えるか？
13.5. 検定が意味すること 65
Problem 13.7. 会計研究科入試説明会で、
「我が会計研究科では、在学中に受験した学生の半数は公認会計士試験に合格する」
と主張するのは、正しいか？平成１９年度公認会計士試験の結果 (http://www.waseda.jp/accounting参照）を使って考えてみよ。
13.5 検定が意味すること一般に、仮説を否定するのは、比較的簡単であるが、逆に、仮説を肯定するのは、むずかしい。仮説検定の枠組みで「証明」できたのは、
「帰無仮説は、有意水準 5%で否定はされなかった」
ということである。このことは、決して、その仮説が正しいということを直接意味していない。
Problem 13.8. 統計データから、会計研での成績と公認会計士試験の間に、統計的に有意な関係があることがわかった。この結果から、会計研の成績優秀者は、無試験で公認会計士試験に合格するとした。この結論は、正しいか？
66
関連図書
[1] Douglas Downing and Jeffrey Clark. Business Statistics. Barrons’s Edu-cational Series, Inc., 2003.
[2] Shingo Shirahata. Toukei Kaiseki Nyumon. Kyouritu, 1992.
[3] Nassim Nicholas Taleb. Fooled by Randomness: The Hidden Role ofChance in the Markets and in Life. Random House Trade Paperbacks,2005.
![1．連続型確率変数 · 1．連続型確率変数 区間[α,β]上の連続的な値を取る確率変数Xを連続型確率変数という．Xがa≤Xbを満たす確率を](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/5fc76d2dbbb6ef07663abd0a/1ieccc-1ieccc-oeeeccccxecccixoeaaxbcc.jpg)
