結び目と曲面 - 駒澤大学w3c/lecture/pdf/knot.pdf7 まえがき...

結び目と曲面

小沢　誠

平成 25 年 4 月 9 日

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目次

まえがき 7

第 I部多様体と部分多様体 9

第 1章多様体 11

1.1 位相多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 区分線形多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 微分可能多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 モース関数とハンドル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 多様体の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 1次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 2次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 3次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8.1 標準的な分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.2 幾何構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

第 2章部分多様体 15

2.1 埋め込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 イソトピー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 結び目の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 一般の位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 モース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 本質的 1次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6.1 本質的 1次元多様体の交わり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.2 曲線複体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 本質的 2次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7.1 本質的曲面の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7.2 曲面の交差のパリティ性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7.3 本質的曲面の交わり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7.4 3次元球面内の本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7.5 ハンドル体と圧縮体内の本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.6 曲面複体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 正規曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8.1 クネーザー–ハーケンの有限性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8.2 正規曲面理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9 分岐曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10 位相的極小曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4

第 II部結び目の位置と基本定理 29

第 3章結び目の位置 31

3.1 橋位置とモース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1 幅とトランク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 ヘンペル距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3 安定同値定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.4 橋分解の有限性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 ライデマイスター移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 交代結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.3 正結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.4 σ-充足かつ均質結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.5 有理タングルと代数タングル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.6 プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.7 代数的交代結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.8 正則表示のハッセ図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 トンネル数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1 トンネル数 1の結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 モース–ノヴィコフ数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.1 ファイバー結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

第 4章結び目の基本定理 41

4.1 結び目補空間定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 結び目双曲化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 結び目特性分解定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 結び目外部の本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.1 本質的曲面の 4つの種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4.2 圧縮不可能かつ境界圧縮可能曲面の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4.3 本質的アニュラスの分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.4 奇数境界成分を持つ平面的曲面の非存在性とケーブル予想 . . . . . . . . . . . . . . 434.4.5 標準的ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.6 ロンジチュードの一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.7 境界スロープ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.8 分離的本質的曲面の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.9 非分離的本質的曲面の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

第 III部結び目と曲面 47

第 5章閉曲面 49

5.1 スモール結び目とロペス予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 経線的結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3 周辺圧縮可能閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 様々な結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5

5.4.1 交代結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4.2 正結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4.3 モンテシノス結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.4 代数的交代結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.5 3橋結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.5 ウエストとトランク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.6 位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

第 6章タングル分解球面 63

6.1 様々な結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.1 交代結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.2 正結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.3 トンネル数 1の結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.4 自由種数 1の結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.5 二重トーラス結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.6 本質的自由タングル分解を持つ結び目のタングル分解の一意性 . . . . . . . . . . . . 65

6.2 タングル分解球面と閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 橋位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.1 橋位置における閉曲面のモース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3.2 橋位置における結び目解消トンネル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3.3 極小橋分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.4 弱可約橋分解球面とタングル分解球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3.5 ヘンペル距離と本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 モース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4.1 細い位置とタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

第 7章ザイフェルト曲面 71

7.1 自由ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2 種数の加法性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.3 チェッカーボード曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.4 ディスク分解可能ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.4.1 交代結び目の標準的ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.5 村杉和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.5.1 ファイバーザイフェルト曲面と最小種数ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . 777.5.2 ステイト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.5.3 垣水複体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.5.4 結び目解消操作とザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.5.5 ハーラー予想の解決 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.5.6 最小ノルム曲面とスケイン木 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.6 ザイフェルト曲面と閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

第 8章巻き付き曲面 89

8.1 h-種数とトンネル数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2 コイル数と橋数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.3 ニューワース予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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8.3.1 閉偽曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4 共存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

第 IV部付録 97

第 9章結び目と曲面の表 99

第 10章結び目理論の未解決問題 101

第 11章結び目の構成方法 105

11.1 まえがき～How to construct all knots and links～ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.2 ファイバー結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.3 Thurston Norm Minimizing Surfaceを用いた全ての結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . 10611.4 トンネル数１の結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.5 トンネル数 nの結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.6 結び目射影図による半順序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

第 12章結び目の表 109

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まえがき

3次元空間内の自己交差のない閉曲線を結び目という。二つの結び目が 3次元空間内で自己交差をせずに移り合うとき、同値であるという。結び目理論とは、結び目の同値類に関する学問であり、位置を対象とした数学であるので位相幾何学の一分野とされる。与えられた二つの結び目が同値であるかどうかを判定し、もし同値であるならばどのように変形すれば

移り合うか記述することは、結び目理論の基本的問題である。結び目が 3次元空間内で取り得る位置は無限にあるので、この結び目の同値問題が難しいことが感じられるであろう。しかし、これはまた、結び目理論の面白さでもある。今、3次元空間が透明な粘土で出来ていると考えて、結び目はその粘土に色が着けられていると想像して

みよう。このとき、結び目の変形は次のように考えられる。粘土が決して途切れないように、こねたり、伸ばしたり、捩じったりする。この粘土の変形の過程で、色が着いた結び目も、こねられたり、伸ばされたり、捩じられたりする。その結果、3次元空間は変形されているが依然として 3次元空間であり、その変形後の 3次元空間内には色の着いた結び目が生き残っている。このように考えてみると、結び目理論とは、色の着いた結び目を含む 3次元空間の変形であるとも見なせる。しかしながら、透明な 3次元空間は依然として 3次元空間なので、変形の痕跡は何も残らない。そこで、結び目以外にも、透明な 3次元空間に色を着けてみよう…。本書では、結び目補空間内の曲面を扱う。空間は 3次元で結び目は 1次元であるので、その間の 2次元

である曲面は結び目に関する情報を多く含んでいる。今、結び目の補空間に埋め込まれた曲面を考える。3次元空間を変形することで、結び目が変形されていくが、曲面も同時に変形されていく。従って、変形前の結び目に対する変形前の曲面の性質は、変形後の結び目に対する変形後の曲面の性質に引き継がれる。つまり、ある性質を持つ曲面が結び目の補空間に存在するかしないかという結び目の性質は、結び目が取り得る位置に関して有効な情報を与えている。

3次元空間が 2次元の平面と 1次元の直線との直積であることを利用して、結び目の標準的な位置が大きく分けて二つ与えられる。先ずは、2次元平面への射影によって得られる正則表示がある。正則表示は、結び目の図を 2次元の平面である紙に描いたものであり、結び目理論の研究において古くから用いられている。次に、2次元の平面に垂直な 1次元の直線への射影によって得られるモース位置がある。モース位置は、結び目を‘縦に’置いたものであり、極大点及び極小点を除けば、1次元の直線方向に単調となっているものである。一般に、正則表示が比較的単純な結び目を精密に扱うのに適している一方で、モース位置は比較的複雑な結び目を大雑把に扱うのに適している。結び目補空間に埋め込まれた曲面は、大きく四つに分類される。先ず、結び目を境界として持つ向き付け

可能な曲面であるザイフェルト曲面があり、古くから結び目理論の研究で重要な役割を果たしてきている。次に、結び目と垂直に交わる球面であるタングル分解球面がある。特に、結び目と 2点で交わるタングル分解球面は結び目の素因子分解球面であり、4点で交わるタングル分解球面はコンウェイ球面と呼ばれ、共に結び目の標準的な分解を与える。次に、結び目と交わらない閉曲面がある。特に、種数 1の閉曲面、即ちトーラスを補空間に持つ結び目はサテライト結び目と呼ばれ、良く研究されている。最後に、結び目を非分離的閉曲線として含むような閉曲面を補間曲面と言う。特に、種数 1の補間曲面、即ちトーラス上に含まれる結び目はトーラス結び目である。

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結び目と曲面の関係は、引き離せないものである。結び目の位置が、曲面の存在を制限する。逆に、曲面の存在が、結び目の位置を制限する。例えば、極大点の個数が 2つであるような結び目を 2橋結び目というが、2橋結び目補空間には、本質的な閉曲面が存在しない。これは、結び目補空間に本質的な閉曲面が入るためには、結び目の極大点の個数が 3つ以上なければならないことを意味する。つまり、結び目補空間に本質的な閉曲面が存在するということは、ある程度結び目は複雑でなければならず、結び目の位置を制限する。本書では、上で述べたような位置と曲面との関係について深く扱う。本書の構成は大きく３つに分かれる。第 I部では、低次元多様体の基本的な定義と定理を述べる。ここで

は、低次元多様体論で一般的に用いられている基礎的事項を扱う。特に、本書で重要な役割を果たす本質的曲面については、詳しく解説する。第 II部では、結び目の基本的な定義と定理を述べる。ここでは、結び目理論で一般的に用いられている基礎的事項を扱う。特に、結び目外部の本質的曲面については、詳しく解説する。第 III部では、結び目の位置と曲面について現在まで知られている結果をなるべく網羅的に述べる。全体を見通せるよう、閉曲面・タングル分解球面・ザイフェルト曲面・巻き付き曲面の４つの部分に分けた。各々は、互いに密接な関係を持っており、不可分であるが、先ずは各曲面について概要を知った後、相互の関連性を考察するのが良いと思う。

第I部

多様体と部分多様体

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第1章多様体

以下で、3 つの多様体のカテゴリーを定義する。（擬群とアトラスを用いた、より一般的な定義もある（[109]）。）一般に、滑らかな多様体は区分線形多様体であり（[Whitehead, 1940]）、区分線形多様体は位相多様体である。2次元（[Rado, 1925]）及び 3次元（[Bing, 1954], [Moise, 1952]）では、これらのカテゴリーは一致する。4次元では、区分線形多様体と位相多様体のカテゴリーは一致しない（[Milnor, 1961]）。5次元以上では、これら 3つのカテゴリーは全て一致しない（[Kirby–Siebenmann, 1969]）。

1.1 位相多様体定義 1.1.1. 位相空間M が n次元位相多様体であるとは、次を満たすときを言う。

1. M は第二可算公理を満たす。即ち、可算な基底を持つ。（ここで、M の位相Oの部分集合 Bが基底であるとは、任意の開集合 O ∈ Oが、O =

∪λ∈Λ Wλ (Wλ ∈ B) と表せるときをいう。）

2. M はハウスドルフ空間である。即ち、任意の相異なる x, y ∈ M に対して、開近傍 x ∈ U, y ∈ V が存在して、U ∩ V = ∅を満たす。

3. M は局所ユークリッドである。即ち、M の各点が Rn または Rn+ = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|xn ≥ 0}に

同相な近傍を持つ。

ここで、Rnに同相な近傍を持つ点からなる集合をM の内部といい、intM と表す。また、Rn+に同相な近

傍を持つ点からなる集合をM の境界といい、∂M と表す。M がコンパクトかつ ∂M = ∅のとき、M は閉であるという。

1.2 区分線形多様体定義 1.2.1. K ⊂ Rn を多面体とする。写像 f : K → Rm が線形であるとは、f があるアフィン写像（即ち、平行移動を伴う線形写像）Rn → Rm の K への制限であるときをいう。f が区分線形であるとは、K

の 3角形分割 {σi ⊂ K}が存在して、各制限 f |σi が線形であるときをいう。

定義 1.2.2. 多面体M が n次元区分線形多様体であるとは、M の各点が Rnまたは Rn+に区分線形同相な

近傍を持つときをいう。

1.3 微分可能多様体定義 1.3.1. 位相空間X の開集合 U から、Rn の開集合 U ′ への同相写像 φ : U → U ′ があるとき、U と φ

の対 (U, φ)を n次元座標近傍といい、φを U 上の局所座標系という。

定義 1.3.2. r ≥ 1に対して、ハウスドルフ位相空間M が n次元 Cr 級微分可能多様体であるとは、次を満たすときをいう。

12 第 1章多様体

1. M の n次元座標近傍からなる族 {(Uα, φα)}α∈A が存在して、M =∪

α∈A Uα が成り立つ。

2. Uα∩Uβ 6= ∅であるような任意の α, β ∈ Aについて、座標変換 φβ ◦φ−1α : φα(Uα∩Uβ) → φβ(Uα∩Uβ)

は Cr 級写像である。

特に、C∞ 級微分可能多様体は、滑らかな多様体とも呼ばれる。

1.4 モース関数とハンドル分解定理 1.4.1 (Morse). M を滑らかな多様体とする。このとき、任意の滑らかな関数 g : M → Rに対して、任意に近い関数 f : M → Rが存在して、f の各臨界点 pi は非退化である。即ち、

det

(∂2f

∂xi∂xj(pi)

)6= 0)

を満たす。更に、pi について、局所座標系 (X1, . . . , Xm)を、

f = −X21 − · · · − X2

λ + X2λ+1 + · · · + X2

m + ci

を満たすように選ぶことができる。ここで、ci = f(pi)である。

f をM 上のモース関数という。λは pi の指数と呼ばれる。

定義 1.4.2. m次元多様体M に対する λ-ハンドルとは、λ-ディスクと (m−λ)-ディスクの直積Dλ×Dm−λ

であり、M への貼り合わせの指定が埋め込み ∂Dλ × Dm−λ → ∂M によって定まっているものである。

Mt = {p ∈ M |f(p) ≤ t}とおく。

定理 1.4.3 (Morse). Mci+ε は、Mci−ε に λ-ハンドルを付着して得られる多様体に微分同相である。

Mci+ε∼= Mci−ε ∪ (Dλ × Dm−λ)

定理 1.4.4 (Morse). 向き付け可能閉 3次元多様体に対して、モース関数 f : M → Rが存在して、対応するハンドル分解は

M = h0 ∪ (h11 ∪ · · · ∪ h1

k) ∪ (h21 ∪ · · · ∪ h2

k) ∪ h3

の順序を持つ。

M の 2つのハンドル体H1 = h0 ∪ (h11 ∪ · · · ∪ h1

k)とH2 = (h21 ∪ · · · ∪ h2

k) ∪ h3 への分解をヒーガード分解といい、S = H1 ∩ H2 をヒーガード曲面という。

1.5 多様体の例例 1.5.1. Sn = {(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1|x2

1 + · · ·+ x2n + x2

n+1 = 1}を n次元球面という。Snは閉 n次元多様体である。Bn = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|x2

1 + · · ·+ x2n ≤ 1}を n次元球体という。Bnは n次元多様体で

あり、∂Bn = Sn−1である。Snは、Sn = Bn ∪Sn−1 Bnと分解される。S1をループ、B1をアークという。

1.6 1次元多様体定理 1.6.1 (1次元多様体の分類). 任意の連結な閉 1次元多様体は、S1 に同相である。また、任意の連結なコンパクト 1次元多様体は、S1 または B1 に同相である。

1.7. 2次元多様体 13

1.7 2次元多様体例 1.7.1. 2次元球面 S2 内に n個の点 p1, . . . , pnを取り、互いに交わらない開近傍 U1, . . . , Unを取る。このとき、S2 − (U1 ∪ · · · ∪Un)を平面的曲面または n穴空き球面といい、Pnと表す。P1をディスク、P2をアニュラス、P3 をパンツという。

例 1.7.2. 1次元球面の直積で得られる 2次元多様体 S1 × S1 をトーラスといい、T 2 と表す。2次元球面S2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x2

1 + x22 + x3

3 = 1}の対心点 (x1, x2, x3)と (−x1,−x2,−x3)を同一視して得られる2次元多様体を射影平面といい、RP 2 と表す。

定義 1.7.3 (向き付け可能性). 2次元多様体X が向き付け可能であるとは、X 内の任意のループ lに対して、N(l)がアニュラスであるときをいう。また、X が向き付け不可能であるとは、N(l)がメビウスの帯となるようなループ lが存在するときをいう。

定義 1.7.4. トーラス T 2 内に点 pを取り、開近傍 U を取る。T 2 − U を一つ穴あきトーラスという。平面的曲面 Pg+b (g ≥ 0, b ≥ 0)の g 個の境界成分に対して、g 個の一つ穴あきトーラスの境界を同一視して得られる閉 2次元多様体を境界成分数 b、種数 gの向き付け可能曲面といい、Fg,b と表す。射影平面 RP 2 内に点 pを取り、開近傍 U を取る。RP 2 − U をメビウスの帯という。平面的曲面 Ph+b

(h ≥ 1, b ≥ 0)の h個の境界成分に対して、h個のメビウスの帯の境界を同一視して得られる閉 2次元多様体を境界成分数 b、種数 hの向き付け不可能曲面といい、Nh,b と表す。

定理 1.7.5 (2次元多様体の分類). 任意の連結な閉 2次元多様体は、Fg,0 (g ≥ 0)または Nh,0 (h ≥ 1)のいずれかに同相である。また、任意の連結なコンパクト 2次元多様体は、Fg,b (g ≥ 0, b ≥ 0)または Nh,b

(h ≥ 1, b ≥ 0)のいずれかに同相である。連結なコンパクト 2次元多様体を曲面という。

1.8 3次元多様体サーストンは 1982年に次の予想をした。

予想 1.8.1 (幾何化予想). 全てのコンパクト 3次元多様体の内部は、幾何構造を持つ部分へ標準的な分解を持つ。

この予想は、2003年、ペレルマンによって解かれた。以下、この予想の「標準的な分解」と「幾何構造」について述べる。

1.8.1 標準的な分解まず、3次元多様体M に埋め込まれた、分離的かつ 3次元球体の境界とならない 2次元球面でM を切

り開き、境界成分に 3次元球体を貼り合わせる。クネーザーは、この操作が有限回で終わることを示した（[Kneser, 1929]）。この操作を可能な限り繰り返し、M の素分解を得る。ミルナーによって、素分解は一意的であることが示されている（[Milnor, 62]）。次に、M に埋め込まれた圧縮不可能なトーラスに沿って切り開き、境界がトーラスからなる 3次元多様

体を得る。境界成分を閉じる標準的な手続きはないので、そのままにしておく。

14 第 1章多様体

1.8.2 幾何構造定義 1.8.2. M を微分可能多様体とする。各点 p ∈ M において接空間 TpM 上に定められた内積をリーマン計量という。TpM の基底を { ∂

∂xi}とすると、リーマン計量は行列 (gij) = (〈 ∂

∂xi,

∂

∂xj〉)により与えら

れる。リーマン計量を持つ微分可能多様体をリーマン多様体という。

例 1.8.3. ユークリッド空間 E3 のユークリッド計量は、

gE3 =

1 0 00 1 00 0 1

により、与えられる。接ベクトル ~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3) ∈ TpE3 に対して、内積は、

~aT gE3~b =[

a1 a2 a3

] 1 0 00 1 00 0 1

b1

b2

b3

= a1b1 + a2b2 + a3b3

となる。

リーマン多様体M の距離が局所等質であるとは、M の任意の点 x, y に対して、近傍 U, V と等長写像(U, x) → (V, y)が存在するときをいう。M が幾何構造を許容するとは、M が完備な局所等質距離を持つときをいう。M の任意の被覆空間 M は、射影 M → M が局所的に等長写像となるような、自然な距離を受け継ぐ。故に、もしM が幾何構造を許容するならば、M の普遍被覆空間X は完備な局所等質距離を受け継ぐ。シンガーの定理により、このような単連結多様体上の距離は等質、即ちX の等長変換群が推移的に作用しなければならない。従って、X とその等長変換群を、クラインの意味での幾何と見なすことができ、M はX 上にモデルを持つ幾何構造を許容すると言える。サーストンは、3次元の幾何を分類し、8つの幾何が存在することを示した。

15

第2章部分多様体

2.1 埋め込み定義 2.1.1 (埋め込み). X を n次元多様体とし、Y をm (> n)次元多様体とする。連続写像 f : X → Y

が埋め込みであるとは、f : X → f(X)が同相写像であるときをいう。埋め込み f : X → Y が適切であるとは、f(intX) ⊂ intY かつ f(∂X) ⊂ ∂Y を満たすときをいう。埋め込まれた多様体X ⊂ Y が点 p ∈ X において局所平坦であるとは、pの近傍 U が存在し、(U,U ∩X)

が (Rm, Rn)または (Rm+ , Rn

+)に同相であるときをいう。本書では、全ての埋め込みは局所平坦であると仮定する。

例 2.1.2. アレキサンダーの角付き球面は、2次元球面の 3次元ユークリッド空間への埋め込みで、内側は3次元球体であるが、外側は単連結でない（[4]）。従って、アレキサンダーの角付き球面は局所平坦ではないことが分かる。このような埋め込みは野性的と呼ばれる。これに対して、微分可能カテゴリーと区分線形カテゴリーでは、2次元球面の 3次元球面への埋め込みは

両側とも 3次元球体であることが知られている。よって、このアレキサンダーの角付き球面の例は、位相カテゴリーと、微分可能カテゴリー及び区分線形カテゴリーの違いを示している。

アレキサンダーの角付き球面

16 第 2章部分多様体

例 2.1.3. 図のような結び目は、極限点において、局所平坦ではない。一般に、線分の和で表せる結び目を馴れた結び目といい、馴れた結び目でない結び目を野性的な結び目という。図のような結び目は、極限点において局所平坦でないので、野性的な結び目である。一般に、馴れた結び目は、局所平坦である。

野性的結び目の例

2.2 イソトピー定義 2.2.1 (多様体の変形). f, g : X → Y を埋め込みとし、I = [0, 1]を単位区間とする。

f と gがホモトピックであるとは、連続写像 F : X × I → Y が存在し、F |X×{0} = f かつ F |X×{1} = g

を満たすときをいう。このとき、F を f と g の間のホモトピーという。各 t ∈ I に対して、F |X×{t} = Ft

とおく。f と gがイソトピックであるとは、f と gの間のホモトピー F : X × I → Y が存在し、各 t ∈ I に対し

て、Ft : X → Y が埋め込みであるときをいう。このとき、F を f と gの間のイソトピーという。f と g がアンビエントイソトピックであるとは、イソトピー G : Y × I → Y が存在し、G0 = idY かつ

G1f = gを満たすときをいう。このとき、Gを f と gの間のアンビエントイソトピーという。

注 2.2.2. S3内の結び目については、イソトピーではなく、アンビエントイソトピーでの同値類を考える。なぜなら、図のような変形により、全ての結び目は自明な結び目にイソトピックであるからである。

全ての結び目は自明な結び目にイソトピック

2.3 結び目の定義定義 2.3.1. S1 の S3 への埋め込みまたはその像を結び目という。本書では、局所平坦性を仮定する。

2.4. 一般の位置 17

定義 2.3.2. 二つの結び目 f : S1 → S3 と g : S1 → S3 が同値であるとは、アンビエントイソトピーG : S3 × I → S3 が存在し、G0 = idS3 かつ G1f = gを満たすときをいう。

2.4 一般の位置定義 2.4.1 (一般の位置). m次元多様体 Y に埋め込まれた ni次元多様体Xi (i = 1, 2)が横断的に交わるとは、任意の点 p ∈ X1∩X2の近傍U が存在し、(U,U ∩X1, U ∩X2)が (Rm, Rn1 ×{0}m−n1 , {0}m−n2 ×Rn2)または (Rm−1 × R+, Rn1 × {0}m−n1 × R+, {0}m−n2 × Rn2 × R+)に同相であるときをいう。

X1 と X2 が一般の位置にあるとは、X1 と X2 が n1 + n2 − m次元部分多様体で横断的に交わるときをいう。

(R3, R2 × {0}, {0} × R2) (R3, R2 × {0}, {0}2 × R) (R3+, R × {0} × R+, {0} × R × R+)

定理 2.4.2 (一般の位置の補題). 埋め込まれた多様体 X1, X2 ⊂ Y に対して、イソトピーが存在して、X1

とX2 が一般の位置にあるようにできる。

2.5 モース位置定義 2.5.1 (モース位置). i : S3 → R4を包含写像、f : R4 → {0}3 ×Rを第 4座標への射影とし、h = f ◦ i

とおく。hを S3 の標準的なモース関数（高さ関数）という。t ∈ (−1, 1) ⊂ Rに対し、h−1(t)をレベル t

におけるレベル球面という。S3 の標準的なモース関数を扱うとき、S3 に埋め込まれた多様体は、北極点+∞ = (0, 0, 0, 1)及び南極点 −∞ = (0, 0, 0,−1)と交わらないと仮定する。

S3 に埋め込まれた 1次元多様体 X がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面 Sti = h−1(ti) (i =1, . . . , n)が存在して、次を満たすときをいう。

1. 各 iについて、X ∩ Stiは唯一の極大点または極小点 pi を含む。

2. X − {p1, . . . , pn}は各レベル球面と横断的に交わる。

S3 に埋め込まれた 2次元多様体 X がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面 Sti = h−1(ti) (i =1, . . . , n)が存在して、次を満たすときをいう。

1. 各 iについて、X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点または鞍点（サドル）pi を含む。

2. X − {p1, . . . , pn}は各レベル球面と横断的に交わる。


極大点 z = −x2 − y2

鞍点（サドル） z = x2 − y2

定理 2.5.2 (モースの補題). 3次元球面 S3 の標準的なモース関数 h : S3 → Rに関して、S3 に埋め込まれた 1次元多様体または 2次元多様体は、イソトピーにより、モース位置にあるようにできる。

2.6 本質的1次元多様体2.6.1 本質的 1次元多様体の交わり定義 2.6.1 (本質的 1次元多様体). 2次元多様体 F に適切に埋め込まれたループ αが非本質的であるとは、F 内のディスク Dで、∂D = αとなるものが存在するときをいう。αが非本質的でないとき、本質的であるという。

F に適切に埋め込まれたアーク αが非本質的であるとは、F 内のディスクDで、∂D = α ∪ β, α ∩ β =∂α = ∂β（βは ∂F 内のアーク）となるものが存在するときをいう。αが非本質的でないとき、本質的であるという。

曲面上のループの幾何的交点数については、次の定理がある。

定理 2.6.2 ([21]). αと β を曲面 F 上の閉曲線とする。このとき、αと β がイソトピーを法として幾何的に最小の交点数で交わる為の必要十分条件は、局所的に αと β の交わりを解消できないことである。

2.6.2 曲線複体定義 2.6.3 ([40]). S を閉曲面とする。S から、次のように作られる複体 C(S)を S の曲線複体という。

• S 上の本質的ループのイソトピー類を C(S)の 0-単体とする。

2.7. 本質的 2次元多様体 19

• k + 1個の 0-単体 l0, l1, . . . , lk について、任意の i 6= j に対して、li ∩ lj = ∅となるよう代表元を取れるとき、k-単体を張る。

S の種数が gのとき、C(S)の次元は 3g − 4である。

定義 2.6.4. x, y を C(S)の 0-単体とする。xと y の距離 d(x, y)を、xと y を繋ぐ最短道の 0-単体の数と定義する。

C(S)は、局所有限ではなく、直径は無限であり、連結であることが知られている。

2.7 本質的2次元多様体2.7.1 本質的曲面の定義定義 2.7.1 (圧縮不可能曲面). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が圧縮可能であるとは、F がディスクのとき、∂M 内のディスクDとM 内の 3次元球体Bで、∂F = ∂Dかつ ∂B = F ∪D

となるものが存在するときをいい、F が球面のとき、M 内の 3次元球体 Bで、∂B = F となるものが存在するときをいい、その他の場合、M 内のディスク Dで、D ∩ F = ∂Dかつ ∂Dは F 内で本質的なループとなるものが存在するときをいう。F が圧縮可能でないとき、圧縮不可能であるという。

定義 2.7.2 (境界圧縮不可能曲面). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が境界圧縮可能であるとは、M 内のディスクDで、D ∩F = ∂D ∩F = αが F 内に適切に埋め込まれた本質的なアークであり、かつD ∩ ∂M = ∂D − intαが ∂M 内のアークとなるものが存在するときをいう。F が境界圧縮可能でないとき、境界圧縮不可能であるという。

定義 2.7.3 (境界平行). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が境界平行であるとは、埋め込み h : F × [0, 1] → M で、h(F × {0}) = F かつ h(F × [0, 1]) ∩ ∂M = h(∂F × [0, 1] ∪ F × {1})となるものが存在するときをいう。即ち、F は ∂M 内の部分曲面にイソトピックである。

定義 2.7.4 (本質的曲面). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が本質的であるとは、F が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、境界平行でないときをいう。

注 2.7.5. 向き付け不可能曲面 F ⊂ M に関しては、向き付け可能曲面 ∂N(F )がM 内で圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、境界平行でないとき本質的であるという。

定義 2.7.6 (既約と境界既約). 3次元多様体M が既約であるとは、M 内に圧縮不可能な球面が存在しないときをいう。また、M が境界既約であるとは、M 内に圧縮不可能なディスクが存在しないときをいう。

定義 2.7.7 (経線的圧縮不可能曲面). M を 3次元多様体とし、T をM 内に適切に埋め込まれた 1次元多様体とする。F をM 内に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面で、F ∩ T = ∅であるか、または T と横断的に交わるものとする。

M 内のディスクDで、D ∩ F = ∂Dかつ |D ∩ T | = 1を満たすもののうち、∂Dが F 内で本質的であるか、または F 内のディスクD′ で |D′ ∩ T | > 1を満たすものを ∂Dが張るとき、Dを経線的圧縮ディスクという。F が経線的圧縮ディスクを持つとき、経線的圧縮可能であるといい、F が経線的圧縮可能でないとき、経線的圧縮不可能であるという。

F が T と 2点で交わる球面の場合、3次元球体Bが存在して、∂B = F かつ T ∩BがB内の自明なアークのとき、F は経線的圧縮可能であるという。


練習問題 2.7.8. F が圧縮不可能曲面であるとき、F を経線的圧縮して得られる曲面は圧縮不可能であることを示せ。

定義 2.7.9 (経線的本質的曲面). 3次元多様体と 1次元多様体の組 (M, T )に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が経線的本質的であるとは、F が圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、境界平行でないときをいう。

2.7.2 曲面の交差のパリティ性

2.7.3 本質的曲面の交わり次の定理 2.7.10は、本質的曲面を扱う上で最も基本的な定理であり、本書の至る所で使用される。証明

手順を理解し、切り貼り論法を自由に扱えるようになって欲しい。

定理 2.7.10. M を既約かつ境界既約な 3次元多様体とし、F1 と F2 をM 内に適切に埋め込まれた圧縮不可能かつ境界圧縮不可能な曲面とする。このとき、F1と F2のイソトピーで、F1 ∩ F2の各成分はループまたはアークであり、F1 内でも F2 内でも本質的であるようにできる。

Proof. 定理 2.4.2より、F1と F2は一般の位置にあるとして良い。よって、F1 ∩ F2は 1次元多様体、即ちループ及びアークから成る。F1 と F2 のイソトピーの下で、|F1 ∩ F2|を最小にとる。先ず、F1 ∩ F2のループ成分のうちで、F1内で非本質的なものが存在したとする。αを F1内で最も内側

のループとし、δを F1 内のディスクで、∂δ = αを満たすものとする。このディスク δは、δ ∩ F2 = ∂δを満たすので、F2の圧縮不可能性から、∂δは F2内で非本質的なループでなければならない。よって、F2内のディスク δ′で、∂δ′ = αを満たすものが存在する。ここで、δは最も内側のディスクであるので、intδはF2 と交わらないが、δ′ は F1 と交わる可能性があることに注意する。これら二枚のディスク δと δ′から 2次元球面 S = δ ∪ δ′が作られる。M の既約性から、M 内の 3次元球

体Bで、∂B = Sを満たすものが存在する。もし、intB ∩F2 = ∅の場合、Bに沿った δ′から δへのイソトピーで、F1 ∩ F2のループ成分 αを除去することができる。これは、|F1 ∩ F2|の最小性に矛盾する。他方、B ⊃ F2の場合、定理 2.7.15に矛盾する。故に、F1 ∩F2の全てのループ成分は、F1内で本質的である。同様に、F2 内でも本質的であることが証明できる。次に、F1 ∩ F2のアーク成分のうちで、F1内で非本質的なものが存在したとする。αを F1内で最も外側

のアークとし、δを F1内のディスクで、∂δ = α∪β（βは ∂F1内のアーク）を満たすものとする。このディスク δは、δ ∩ F2 = ∂δかつ δ ∩ ∂M = β を満たすので、F2 の境界圧縮不可能性から、αは F2内で非本質的なアークでなければならない。よって、F2内のディスク δ′で、∂δ′ = α ∪ β′（β′は ∂F2内のアーク）を満たすものが存在する。ここで、δは最も外側のディスクであるので、intδは F2と交わらないが、δ′は F1

と交わる可能性があることに注意する。これら二枚のディスク δと δ′ からディスクD = δ ∪ δ′ が作られる。M の境界既約性から、M 内の 3次

元球体 Bで、∂B = D ∪D′（D′は ∂M 内のディスク）を満たすものが存在する。もし、intB ∩ F2 = ∅の場合、Bに沿った δ′から δへのイソトピーで、F1 ∩ F2のアーク成分 αを除去することができる。これは、|F1 ∩ F2|の最小性に矛盾する。他方、B ⊃ F2 の場合、定理 2.7.15に矛盾する。故に、F1 ∩ F2 の全てのアーク成分は、F1 内で本質的である。同様に、F2 内でも本質的であることが証明できる。

注 2.7.11. 定理 2.7.10の下で、F1 − (F1 ∩F2)または F2 − (F1 ∩F2)の各成分は、M −F2またはM −F1

において圧縮不可能である。


2.7.4 3次元球面内の本質的曲面定理 2.7.12及び 2.7.15は、3次元球面及び 3次元球体には圧縮不可能な曲面が存在しないことを述べて

いる。一般に、圧縮不可能な曲面は簡単な 3次元多様体には入り難く、複雑な 3次元多様体には入り易い。

定理 2.7.12. 3次元球面内に適切に埋め込まれた曲面は圧縮可能である。

Proof. 先ず、3次元球面 S3 は ∂S3 = ∅であるから、S3 内に適切に埋め込まれた曲面 F も ∂F = ∅、即ち閉曲面であることに注意する。S3の標準的なモース関数を h : S3 → Rとする。定理 2.5.2より、F は hに関してモース位置にあるとして良い。もし、F が鞍点を持たなければ、F は極大点と極小点を一つずつ持つ球面である。この場合、ジョルダ

ンの閉曲線定理によって、F の任意の正則点 pに関して h−1(h(p))∩F はレベル球面上のループであり、二つのディスク領域に分けている。このことから、F は S3 を二つの 3次元球体に分けていることが分かり、圧縮可能である。以下、F が鞍点を持つと仮定する。F の鞍点において、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループが接するが、それらの

いずれも F 上で本質的であるとき、鞍点は本質的であるという。

p

R

q

F

pは非本質的、qは本質的

今、F に非本質的な鞍点が存在したとし、最も内側の非本質的な鞍点を pとする。即ち、pで接する二つのループ l1と l2のうち、少なくとも一方のループ（例えば l1とする）に対して F 上のディスクDが存在して、∂D = l1 かつ intDが他の鞍点を含まないものとする。intDは鞍点を含まないので、唯一の極大点または極小点を含む。一般性を失うことなく、intDは極大点 qを含むとする。よって、Dは h−1([h(p), 1))内で、pを含むレベル球面 h−1(h(p))上のディスクD′ に平行である。このとき、二つの場合 l2 ∩ intD′ = ∅または l2 ⊂ D′が考えられる。先ず、後者の場合 l2 ⊂ D′の場合を

考えよう。Dの極大点 pから北極点+∞への hに関して単調なアーク αで、α∩F は F の極大点のみから成るものをとる。今、α ∩ F の各極大点における F 内の近傍を αに沿って+∞を超えるようイソトープする。この操作で、F の極大点、極小点および鞍点は変化しないことに注意しよう。極大点 pの F 内における近傍が+∞を超えたので、DはディスクD′′ = h−1(p)− intD′へ h−1([h(p), 1))内で平行となっている。よって、このディスクD′′ に関して、前者の場合 l2 ∩ intD′′ = ∅に帰着される。次に、前者の場合 l2 ∩ intD′ = ∅を考えよう。D は h−1([h(p), 1))内でディスク D′ に平行であるから、

D ∪D′は h−1([h(p), 1))内の 3次元球体Bを張る。BはD′ × I の構造を持つことに注意する。Bの直積構


造に沿ってDからD′へ F をイソトープする。ここで、intB ∩ F も直積構造に沿ってイソトープしていることに注意する。このとき、Dの極大点または極小点と、鞍点 pが解消される。以上の操作により、F の鞍点は全て本質的であるとして良い。

F の全ての鞍点は本質的であるので、あるレベル球面 S で、S ∩ F の成分のうち本質的なループを含むものが存在する。（例えば、本質的な鞍点の直ぐ近くのレベル球面を取れば良い。）S ∩ F の成分のうち、S

上で最も内側の本質的ループを lとし、lに対応する最も内側のディスクをDとする。このとき、intD ∩F

の成分は全て F 内で非本質的なループであることに注意する。更に、intD ∩F の成分のうち、D上で最も内側のループを l0とし、l0に対応する最も内側のディスクをD0とする。l0は F 内で非本質的であるから、F 内のディスク D′

0 で、∂D′0 = l0 を満たすものが存在する。Dから D0 を取り除き、代わりに D′

0 を貼り付ける。この操作で、intD ∩ F の成分、少なくとも l0、が取り除かれた。以下、同様にこの操作を繰り返すことで、|intD ∩ F | = 0を得る。故に、D ∩ F = ∂F かつ ∂Dは F 内で本質的なループであるので、D

は F の圧縮ディスクである。

定理 2.7.12からアレキサンダーの定理が得られる。

系 2.7.13 ([3]). 3次元球面内に埋め込まれた 2次元球面は、3次元球面を二つの 3次元球体に分ける。

アレキサンダーの定理は、一般の閉曲面へ拡張される。

系 2.7.14. 3次元球面内に埋め込まれた曲面は、3次元球面を二つの部分多様体に分ける。従って、向き付け可能である。

定理 2.7.15. 3次元球体内に適切に埋め込まれた曲面は圧縮可能である。

Proof. 3次元球体 B3 内に適切に埋め込まれた曲面 F が、∂F = ∅ならば、B3 ⊂ S3 であることから、定理 2.7.12より、F は圧縮可能である。以下、∂F 6= ∅と仮定する。∂F の成分のうち、∂B3 内で最も内側のループを lとし、lが ∂B3 内で張る

最も内側のディスクをDとする。このとき、D ∩ F = ∂Dである。もし、∂Dが F 内で本質的なループならば、F は圧縮可能である。他方、∂Dが F 内で非本質的なループならば、F はディスクであり、B3内で境界平行であるので、圧縮可能である。

2.7.5 ハンドル体と圧縮体内の本質的曲面定理 2.7.15は、次の定理 2.7.16に拡張される。ハンドル体内の本質的曲面は、ディスクのみであること

が分かる。

定理 2.7.16. ハンドル体内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。

Proof. V を種数 g (g ≥ 0) のハンドル体とし、F を V 内の圧縮不可能曲面とする。定理 2.7.15より、g 6= 0である。{D1, . . . , Dg}を V のメリディアンディスクシステムとし、D = D1 ∪ · · · ∪ Dg とおく。定理 2.4.2より、F とDは一般の位置にあるとして良い。よって、F ∩ Dは 1次元多様体、即ちループ

及びアークから成る。F のイソトピー及び {D1, . . . , Dg}の取り換えの下で、|F ∩ D|を最小にとる。ある i (1 ≤ i ≤ g)に対して、F ∩ Di にループ成分が存在したとする。αを Di 内で最も内側のループ

とし、δをDi 内のディスクで、∂δ = αを満たすものとする。このディスク δは、δ ∩ F = ∂δを満たすので、F の圧縮不可能性から、∂δは F 内で非本質的なループでなければならない。よって、F 内のディスクδ′ で、∂δ′ = αを満たすものが存在する。ここで、δ は最も内側のディスクであるので、intδ は F と交わらないが、δ′ は Di と交わる可能性があることに注意する。これら二枚のディスク δ と δ′ から 2次元球面S = δ ∪ δ′ が作られる。ハンドル体 V は 3次元球面 S3 に埋め込めるので、系 2.7.13より、V は既約であ


る。V の既約性から、V 内の 3次元球体 Bで、∂B = Sを満たすものが存在する。Bに沿った δ′から δへのイソトピーで、F ∩Diのループ成分 αを除去することができる。これは、|F ∩D|の最小性に矛盾する。故に、F ∩ Dにループ成分は無いことが分かった。次に、ある i (1 ≤ i ≤ g)に対して、F ∩ Di にアーク成分が存在したとする。αをDi 内で最も外側のアークとし、δをDi 内のディスクで、∂δ = α ∪ β（β は ∂Di 内のアーク）を満

たすものとする。このディスク δは、δ ∩ F = ∂δ ∩ F = αかつ δ ∩ ∂M = ∂δ ∩ ∂M = β を満たしている。もし、αが F 内で本質的なアークならば、F は境界圧縮可能であり、結論の一つを得る。他方、αが F 内で非本質的なアークだとすると、F 内のディスク δ′で、∂δ′ = α∪β′（β′は ∂F 内のアー

ク）を満たすものが存在する。F ∩ Dはループ成分を含まないので、δ′ ∩ Dは（αを含む）アーク成分のみから成る。δ′ ∩ D のアーク成分のうちで、δ′ 内で最も外側のアークを α′ とする。ここで、α′ はある j

(1 ≤ j ≤ g)に対して、α′ ⊂ Dj である。δ′′ を δ′ 内のディスクで、∂δ′′ = α′ ∪ β′′（β′′ は ∂F 内のアーク）を満たすものとする（α′ = αのとき、δ′′ = δ′ かつ β′′ = β′ となる）。もし、β′′ が ∂V − ∂D内で非本質的ならば、δ′′ はDj 内の部分ディスクへ平行である。この場合、F の

イソトピーで、|F ∩ D|を減らすことができ、|F ∩ D|の最小性に矛盾する。従って、β′′は ∂V − ∂D内で本質的である。このとき、Dj を α′ で切り開き、δ′′ のコピーを二枚貼り合わせることで、二つのメリディアンディスクD′

j とD′′j を得る。メリディアンディスクシステム {D1, . . . , Dg}からDj を除き、D′

j またはD′′

j のいずれかを取り入れたものは、再びメリディアンディスクシステムとなる。この新しいメリディアンディスクシステムに対し、|F ∩D|は（少なくとも α′の分）削減されている。これは、|F ∩D|の最小性に反する。最後に、|F ∩D| = 0、即ち F ∩D = ∅の場合を考える。V をメリディアンディスクシステム {D1, . . . , Dg}

で切り開いて得られる 3次元球体を V ′とする。F ⊂ V ′であるので、定理 2.7.15より、F は V ′内では圧縮可能である。F がディスクの場合、V ′内で境界平行であるが、F は V 内では圧縮不可能であるので、V 内では境界平行でない。即ち、F は本質的なディスクであり、結論の一つを得る。F が球面の場合、V ′内の 3次元球体 Bで、∂B = F となるものが存在する。B ⊂ V であるので、F は V 内で圧縮可能な球面となり、F の圧縮不可能性に矛盾する。F がディスクでも球面でもない場合、V ′内のディスクDで、D ∩ F = ∂D

かつ ∂Dは F 内で本質的なループとなるものが存在する。D ⊂ V であるので、F は V 内で圧縮可能となり、F の圧縮不可能性に矛盾する。

練習問題 2.7.17. 定理 2.7.16の証明において、“メリディアンディスクシステム {D1, . . . , Dg}からDj を除き、D′

j またはD′′j のいずれかを取り入れたものは、再びメリディアンディスクシステムとなる”ことを

示せ。

補題 2.7.18 ([81, Lemma 2.1]). M を 3次元多様体とし、F をM に適切に埋め込まれた圧縮不可能曲面とする。M ′ = M − intN(F )とおく。このとき

1. M が既約であるための必要十分条件は、M ′ が既約であることである。

2. M ′ に埋め込まれた任意の圧縮不可能閉曲面は、M で圧縮不可能である。

補題 2.7.19 ([81, Lemma 2.2]). M を連結な境界を持つ既約な 3次元多様体とする。このとき、次の条件は互いに同値である。

1. π1(M)は自由である。

2. M はハンドル体である。

3. M は圧縮不可能閉曲面を含まない。


定理 2.7.20. ハンドル体内の圧縮不可能曲面は、ハンドル体をいくつかのハンドル体に切り開く。

Proof. ハンドル体 V 内の圧縮不可能曲面 F は、定理 2.7.16により、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。これは、境界圧縮の列 F = F0, F1, . . . , Fnが存在し、Fnはいくつかの本質的ディスクから成ることを意味する。先ず、V を Fnで切り開くと、いくつかのハンドル体に分かれることを示す。もし、V − intN(Fn)のある

成分がハンドル体でないとすると、定理 2.7.19により、圧縮不可能閉曲面 Sがそこに存在する。Sは、定理2.7.18により、M で圧縮不可能である。従って、定理 2.7.19より、M はハンドル体ではなく、矛盾する。次に、V − intN(Fi)の全ての成分がハンドル体であると仮定し、V − intN(Fi−1)の全ての成分がハンド

ル体であることを示す。Fiが、Fi−1の境界圧縮ディスクDに沿って、境界圧縮をして得られるとする。D

を含むような、V − intN(Fi−1)の成分は、V − intN(Fi)のある成分に 1-ハンドル N(D)を付けて得られるので、ハンドル体である。V − intN(Fi−1)のその他の成分については、Dに沿った境界圧縮によって、V − intN(Fi)の成分へと同相に移るので、ハンドル体である。以上により、V − intN(F0)の各成分はハンドル体である。

2.7.6 曲面複体曲線複体の一次元高い概念を考える。

定義 2.7.21. M を 3次元多様体とする。M から、次のように作られる複体C(M)をM の曲面複体という。

• M 内の本質的曲面のイソトピー類を C(M)の 0-単体とする。

• k + 1個の 0-単体 l0, l1, . . . , lk について、任意の i 6= j に対して、li ∩ lj = ∅となるよう代表元を取れるとき、k-単体を張る。

クネーザー–ハーケンの有限性定理により、C(M)は有限次元である。M が結び目外部のとき、M 内の圧縮不可能ザイフェルト曲面から作られる曲面複体は、垣水複体（[49]）

と呼ばれる。

定義 2.7.22. x, y を C(M)の 0-単体とする。xと y の距離 d(x, y)を、xと y を繋ぐ最短道の 0-単体の数と定義する。

2.8 正規曲面2.8.1 クネーザー–ハーケンの有限性定理次の定理は、互いに交わらない曲面の枚数の有限性を示している。1929年にクネーザーが球面の集まり

に関して示した後、ハーケンが 1961年に圧縮不可能曲面の集まりに関して一般化したので、クネーザー-ハーケンの有限性定理と呼ばれる。

定理 2.8.1 ([52], [33]). M を既約かつ境界既約な 3次元多様体とする。このとき、整数 c(M)が存在して、任意の k > c(M)枚の互いに交わらない圧縮不可能かつ境界圧縮不可能な曲面の集まり S = {S1, . . . , Sk}に対して、ある二つの曲面 Si と Sj が平行となる。

しかし、後述するように、曲面同士の交差を許せば、一般に無限に多くの圧縮不可能曲面を含み得る。

2.8. 正規曲面 25

2.8.2 正規曲面理論クネーザー–ハーケンの有限性定理を出発点として、以下で述べるような、正規曲面理論が発展した（[33],

[104]）。

定義 2.8.2. 正規三角形とは、3単体のディスクであり、3単体の 3つの辺と 3つの面に交わるものである。正規四辺形とは、3単体のディスクであり、3単体の 4つの辺と 4つの面に交わるものである。基本ディスクとは、正規三角形または正規四辺形である。3角形分割された 3次元多様体の正規曲面とは、埋め込まれた曲面で、各 3単体に互いに交わらない基本ディスクの和で交わるときをいう。

埋め込まれた曲面は、正規曲面にイソトピックである。

補題 2.8.3. F を 3次元多様体M に埋め込まれた曲面とする。このとき、圧縮、イソトピー、及び自明な2次元球面の除去を繰り返すことで、F は互いに交わらない正規曲面の和にイソトピックである。

各 3単体には、高々7つのタイプの正規三角形と四辺形があり得る。3単体の数を tとすると、3次元多様体の全ての 3単体における基本ディスクは、高々7t個のタイプが存在する。それぞれのディスクのタイプにラベル {σi}を付け、xi をそのタイプのディスクの枚数とする（1 ≤ i ≤ 7t）。非負整数 xi から成るベクトルは、任意の埋め込まれた正規曲面を完全に決定するが、実際に正規曲面となる為には、次の 2つの条件を満たさなければならない。

1. 各四面体は、高々一つのタイプの四辺形を含む。これを四辺形条件という。

2. ディスクは、二つの四面体を分離する面を横切って、貼り合わされなければならない。

各四面体の各面において、高々3つの互いに平行なアークのクラスがある。その一つのアークのクラスに着目する。それらの互いに平行なアークは、高々一つのタイプの正規三角形と高々一つのタイプの正規四辺形の境界から生じるから、xi1 + xi2 = xi3 + xi4 の形の方程式が得られる。この線形方程式を、調和方程式という。調和方程式に対して、条件 xi ≥ 0を付加したものを、正規曲面方程式という。


二つの正規曲面AとBは、互いに交わり得る。AとBの和から、規則的交換と呼ばれる操作により、曲面 C が得られる。規則的交換とは、二重曲線に沿った切り貼りであり、各四面体において全ての正規ディスクが再び正規ディスクを保つような操作である。

補題 2.8.4. もし、A, B, C が A + B = C を満たす正規曲面方程式の解であり、C が埋め込まれた正規曲面ならば、Aと B も同様である。その上、χ(C) = χ(A) + χ(B)かつ w(C) = w(A) + w(B)である。

ここで、曲面 F の重み w(F )とは、M の 1-骨格との交点数である。正規曲面方程式の解Cが基本的であるとは、それが二つの解の和C 6= A+Bとして表せないときをいう。

補題 2.8.5. 正規曲面方程式に対する基本的な解の集合は、有限である。

補題 2.8.6 ([104]). もし、C が既約な 3次元多様体の連結な正規曲面であり、かつ C が基本的でないならば、C = A + B を満たすような連結な正規曲面 Aと B を見付けることができる。もし、Aと B が A ∩ B

の曲線の数を最小にするように選ばれたならば、A ∩ B のどの曲線も、Aと B の両方で分離的でない。

結び目外部の境界トーラス上の曲線が本質的であるとは、それがトーラス上でディスクを張らないときをいう。次の補題は、結び目解消ディスクの探索を、基本的曲面の有限個の集まりに帰着させる。

補題 2.8.7. C が、結び目外部の正規ディスクであり、全ての本質的境界を持つ正規ディスクの中で最小の重みを持つものとする。このとき、C は基本的である。

定理 2.8.8 ([41]). 結び目が自明かどうか判定するアルゴリズムが存在する。

2.9. 分岐曲面 27

Proof. 結び目外部MK を三角形分割して、有限個の基本的解を構成する。それらの中で、四辺形条件を満たすものを見付ける。オイラー標数を計算することで、これらのどれもがディスクであるか確認する。もしそうならば、そのディスクの境界が ∂MK で本質的かどうか、それが ∂MK を分離するかどうか確認

することにより、検査する。もし、∂MK 上で本質的な境界を持つディスクが存在するならば、K は自明な結び目である。もし、そのようなディスクが存在しなければ、K は自明ではない。次に、このアルゴリズムが有効であることを示す。K を自明な結び目と仮定する。このとき、それはディ

スクを張る。補題 2.8.3により、正規ディスクDが存在して、∂MK 上本質的な曲線を張る。補題 2.8.7により、基本的解の中でこのようなディスクを探すことができる。よって、結び目解消ディスクが存在するならば、このアルゴリズムはそれを見付けることが分かる。

2.9 分岐曲面コンパクト、既約、向き付け可能 3次元多様体が、両側圧縮不可能曲面を含むとき、ハーケン多様体と

呼ばれる。ハーケン多様体はイソトピックでない圧縮不可能曲面を無限に含むことがあるが、ハーケンは、全ての圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面は、ある有限個の曲面から、ある切り貼り操作で得られることを示した（[34], [104]）。ところが、これれらの操作は圧縮不可能でない曲面も作り出してしまう。ここで、分岐曲面を用いると、

両側、圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面のみを作り出すことができる。3次元多様体M 内の分岐曲面 B は局所的に図 (a)のような空間（境界 ∂M の近くでは図 (c)）をモデル

としたものである。M 内に適切に埋め込まれた曲面 S がが B によって支持されるとは、図 (b)のように、Bに沿って平行に位置するようにイソトープできるときをいう。もし、SがBによって支持されるならば、B のある点の近くで S のシートの数は、B の分岐集合の補空間の各成分に対する整数重みで決定される。重みは、図 (a)においては、明らかな条件、w2 + w3 = w4, w1 + w2 = w5などを満たす。逆に、これらの加法的条件を満たす与えられた重みの集合から、B の分岐集合の補空間の平行なコピーを分岐集合に沿って貼り合わせることで、B によって支持される対応する曲面を構成することができる。

定理 2.9.1 ([23]). M を圧縮不可能な境界を持つハーケン多様体とする。M に適切に埋め込まれた有限個の分岐曲面 B1, . . . , Bk が存在して、

1. Bi によって正の重みで支持される曲面は圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、

2. 全ての両側、圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面は、Biによって正の重みで支持される曲面にイソトピックである。

下図は分岐曲面Bの近傍N(B)の断面を表している。N(B)の補空間に、平行領域 P = W × I があるとする。このとき、Bによって支持される二つの曲面B(w)とB(v)が単純イソトピーで移り合うとは、W ×0からW × 1へのイソトピーにより移り合うときをいう。


定理 2.9.2 ([74]). B を圧縮不可能分岐曲面とする。このとき、B(w)と B(v)がイソトピックである為の必要十分条件は、B(w)と B(v)が単純イソトピーの系列で移り合うことである。

下図のような分岐曲面を、レーブ成分という。

定理 2.9.3 ([74]). もし、Bが圧縮不可能分岐曲面で、レーブ成分を持たず、正の重みを持つある曲面を支持するならば、B によって支持される任意の曲面は、本質的である。

定理 2.9.4 ([74]). 与えられた既約な向き付け可能 3次元多様体M に対して、レーブ成分を持たない圧縮不可能分岐曲面の有限個の集まりが存在して、全ての圧縮不可能かつ境界圧縮不可能両側曲面は、その集まりの分岐曲面によって、正の重みで支持される。

2.10 位相的極小曲面執筆予定です。[6]、[7]、[8]を参照のこと。

第II部

結び目の位置と基本定理

31

第3章結び目の位置

h : S3 → Rを標準的なモース関数とする。結び目 K は ±∞ = (0, 0, 0,±1)と交わらないようにする。S3 − {±∞}は S2 × Rと同相であるので、射影 p : S2 × R → S2 × {0}が存在する。

3.1 橋位置とモース位置標準的なモース関数 h : S3 → Rに関して、結び目 K がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面

Sti = h−1(ti) (i = 1, . . . , n)が存在して、各 iについて X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点 pi を含み、X − {p1, . . . , pn}は各レベル球面と横断的に交わるときをいう。

ri ∈ R (i = 1, . . . , n + 1)を、ri < ti < ri+1 (i = 1, . . . , n)を満たすように選ぶ。レベル球面 Sri = h−1(ri) (2 ≤ i ≤ n)が太い球面であるとは、|Sri−1 ∩ K| < |Sri ∩ K|かつ |Sri ∩ K| >

|Sri+1 ∩K|を満たすときをいう。レベル球面 Sri = h−1(ri)が細い球面であるとは、|Sri−1 ∩K| > |Sri ∩K|かつ |Sri ∩ K| < |Sri+1 ∩ K|を満たすときをいう。

定義 3.1.1. 結び目K が橋位置にあるとは、K が hに関してモース位置にあり、細いレベル球面を持たないときをいう。即ち、唯一の太いレベル球面である橋分解球面を持ち、それがK の極大点全てと極小点全てを分離している。

3.1.1 幅とトランク定義 3.1.2. 結び目K の幅 w(K)を

w(K) = minK

n∑i=2

|Sri ∩ K|

で定義する。ここで、minはK の全てのモース位置に関してとる。結び目K が細い位置であるとは、それが w(K)を実現しているときをいう。

3.1.2 ヘンペル距離kが結び目K の n-橋位置であるとし、S を kの橋球面とする。B+, B− ⊂ S3 を S によって分けられた

3次元球体とし、各 ε = ±に対して、τε を n本のアーク k ∩ Bε とする。Bε に適切に埋め込まれたディスク E を考える。もし、E が τε と交わらず、∂E が 2n-穴開き球面 S \ k

で本質的ならば、Eを (Bε, τε)の本質的ディスクと呼ぶ。ここで、曲面上のループが本質的であるとは、それが曲面上でディスクを張らず、境界平行でないときをいう。

S \ k上の本質的ループの集合は、S \ kの曲線グラフと呼ばれる 1-複体 C(S \ k)を構成する。C(S \ k)の頂点は、S \ k上の本質的ループのイソトピー類であり、頂点の組は、もし相当するイソトピー類が交わらないループで実現できるとき、C(S \ k)の辺を張る。

kのヘンペル距離は、

32 第 3章結び目の位置

min{d([∂E+], [∂E−]) |各ε = ±に対して、Eεは (Bε, τε)の本質的ディスク },

と定義される。ここで、d([∂E+], [∂E−])は、C(S \ k)における、[∂E+]と [∂E−]の間の最小距離である。

3.1.3 安定同値定理標準的モース関数 h : S3 → R に関して、結び目 K が橋位置にあるとする。即ち、全ての極大点と

全ての極小点を分離する唯一の太いレベル球面である橋分解球面 S = h−1(0) を持つとする。このとき、B1 = h−1([0, +∞)、B2 = h−1([0,−∞)、Ti = K∩Biとおくと、Kは橋分解 (S3,K) = (B1, T1)∪S (B2, T2)を持つ。

(S3, K)の二つの橋分解 (B1, T1)∪S (B2, T2)と (B′1, T

′1)∪S′ (B′

2, T′2)が同値であるとは、一方を他方へ移

す S3 の向きを保つ同相写像が存在するときをいう。結び目K と橋分解球面 Sの交点において、局所的に極大点と極小点を一つずつ増やす変形を安定化とい

う。このとき、得られた結び目K ′ をK から安定化されているという。結び目の二つの橋分解が安定同値であるとは、有限回の安定化の後、同値であるときをいう。

S

K

定理 3.1.3 ([10], [41]). 結び目の任意の二つの橋分解は安定同値である。

3.1.4 橋分解の有限性定理 3.1.4 ([90]). トーラス結び目の n-橋分解は各 nに対し一意的である。

定理 3.1.5 ([15]). 双曲結び目の n-橋分解は各 nに対し有限個である。

絡み目に対しては、外部に本質的トーラスを含む場合、橋分解の有限性が成り立たないことがある。（同様に、無限に多くの最小橋分解を持つサテライト結び目を構成可能だと思われる。）

定理 3.1.6 ([46], [47]). 無限に多くの 3-橋分解を持つ 3-橋絡み目が存在する。

3.2. 正則表示 33

3.2 正則表示射影 p : S3−{±∞} → S2に関して、Kの多重点が二重点のみであり、各二重点において p(K)が横断的に

交わるとき、p(K)をKの正則射影という。p(K)の交点 xにおいて、p−1(x) = {x+, x−} (h(x+) > h(x−))とおくとき、p(x−)の近傍を削除し、p(K)に上下の情報を与えたものをK の正則表示という。

3.2.1 ライデマイスター移動定理 3.2.1 ([95]). 結び目K の二つの正則表示は、有限回のライデマイスター移動 I, II, III で移り合う。

Type I Type II Type III

定理 3.2.2 ([16]). ある結び目または絡み目の連結な正則表示D1, D2に対して、D2はD1から高々expcn

(n)回のライデマイスター移動で得られる。ここで、nはD1 とD2 の交点の和で、c = 101000000 である。

3.2.2 交代結び目結び目K の正則表示 K において、K に沿って進んで一周回るとき、上交差点と下交差点が交互に現れ

るものを交代正則表示という。交代正則表示を持つ結び目を交代結び目という。

練習問題 3.2.3. 任意の正則射影において、交点の上下を適当に付けることで交代正則表示が得られることを示せ。


3.2.3 正結び目結び目K の正則表示 K において、向きを任意に付けたとき、どの交点の符号も正であるものを正正則表

示という。正正則表示を持つ結び目を正結び目という。

練習問題 3.2.4. 任意の正則射影において、交点の上下を適当に付けることで正正則表示が得られることを示せ。

3.2.4 σ-充足かつ均質結び目ステイトとステイト曲面

K を S3 内の結び目とし、D を 2 次元球面 S2 = h−1(0) 上の K の正則表示とする。S2 は S3 を二つの 3次元球体 B± = h−1([0,±1])に分けている。C = {c1, . . . , cn}を Dの交点から成る集合とする。写像σ : C → {+,−}をDのステイトという。交点を有理タングルと見たとき、スロープ +1の交点を、スロープ∞の交点に置き換える操作を +-ス

ムージングといい、スロープ 0の交点に置き換える操作を −-スムージングという。各交点 ci ∈ C に対して、符号が σ(ci) = +または −に従い、+-スムージングまたは −-スムージングをとる。このとき、S2 上にループの集まり l1, . . . , lmを得る。これを、ステイトループという。Lσ = {l1, . . . , lm}をステイトループから成る集合とする。各ステイトループ liは B−内で唯一のディスク diを張る。これらのディスクは互いに交わらないと仮定

して良い。各交点 cj と、cj から σ(cj)-スムージングで得られたステイトループ li, lk に対して、cj を復元するように半捻りのバンド bj をディスク di, dk に付ける。このようにして、ディスク d1, . . . , dmとバンドb1, . . . , bn から成る曲面を得る。これを σ-ステイト曲面といい、Fσ で表す。

b

d d

ll

S

B

B

+

-

2

ji

k

i k

jc

ディスク diを頂点 viとみなし、バンド bj を辺 ej とみなすことで、Fσ からグラフ Gσ を得る。ここで、各辺 ej は、σ(cj)と同じ符号を持つとする。グラフ Gσ を σ-ステイトグラフという。一般に、グラフはブロックと呼ばれる連結かつ切断頂点を持たない部分グラフに分解される。

σ-充足正則表示と σ-等質正則表示

正則表示 Dが σ-充足であるとは、Gσ がループを持たないときをいう。正則表示 Dが σ-等質であるとは、Gσ の各ブロックについて全ての辺が同じ符号を持つときをいう。正ステイト σ+を、全ての jについて σ+(cj) = +を満たすステイトと定義する。同様に、負ステイト σ−

を全ての j について σ−(cj) = −を満たすステイトと定義する。

3.2. 正則表示 35

ザイフェルトステイト ~σを、結び目の向きに従ったスムージングで定まるステイトと定義する。F~σ は、通常のザイフェルト曲面である。正則表示Dが等質であるとは、Dがザイフェルトステイト ~σに対して、~σ-等質であるときをいう。Dは

自動的に ~σ-充足であることに注意する。なぜなら、~σ-ステイト曲面 F~σ は向き付け可能であり、従ってG~σ

はループを持たないからである。正則表示 Dが半充足であるとは、Dが正ステイト σ+ または負ステイト σ− に対して、σ-充足であると

きをいう。Dは自動的に σ±-等質であることに注意する。なぜなら、全ての jについて σ±(cj) = ±を満たすからである。正則表示 Dが充足であるとは、Dが正ステイト σ+ 及び負ステイト σ− の両方に対して、σ-充足である

ときをいう。Dは自動的に σ±-等質であることに注意する。なぜなら、全ての jについて σ±(cj) = ±を満たすからである。

例 3.2.5. Dを 4交点 c1, c2, c3, c4を持つ 8の字結び目の正則表示とする。σ-ステイト曲面を作る為、例えば σ(c1) = σ(c2) = −かつ σ(c3) = σ(c4) = +とする。σ-ステイトグラフ Gσ はループを持たず、各ブロックの全ての辺は同じ符号を持つので、Dは σ-充足かつ σ-等質である。ここで、Gσ のブロック分解は、Fσ の村杉分解に対応していることに注意する。

c c

c

c

d

dd

l

l

l

b b

b

b

diagram σstate -stateloops surface

σ-ステイト曲面作成の例

v

v

v

e e

e e

- -

+ +

-stateσ

v

v

v

e e

e e

- -

+ +

v

blocksgraph

σ-ステイト曲面に対応する σ-ステイトグラフとブロック分解


d

dd

b b

b

b

-state

d

d

b b

dd

b

b

σ surface

ブロック分解に対応する村杉分解

例 3.2.6. 正正則表示Dに対して、ステイト σが存在して、σ-充足かつ σ-等質となる。実際、全ての cj に対し、ステイト σを σ(cj) = +、即ち正ステイト σ+とすれば良い。または、σを標準的ザイフェルト曲面Fσ が得られるようなステイト、即ちザイフェルトステイト ~σとしても良い。ここで、これらのステイト σ+

と ~σは正正則表示では一致することに注意する。

例 3.2.7. 無駄な交点を持たない交代正則表示Dに対して、二つのステイト σ1, σ2が存在し、Dは i = 1, 2に関して σi-充足かつ σi-等質となる。実際、σ1 = σ+（または σ1 = σ−）かつ σ2 = ~σとすれば良い。

3.2.5 有理タングルと代数タングル先ず、次の四つの基本タングルを用意する。

+1 −1 0 ∞

二つのタングル T1 と T2 の和 T1 + T2 および、回転 T ∗1 を次のように定義する。

+ =T1 T2T1 T2

和 T1 + T2

T1

*

= T1

回転 T ∗1

3.2. 正則表示 37

有理タングルは、次のように帰納的に定義される。

1. 四つの基本タングルは有理タングルである。

2. 有理タングルと ±1の基本タングルの和は有理タングルである。

3. 有理タングルの回転は有理タングルである。

有理タングルから有理数への写像 f を次のように定義する。

1. +1, −1, 0, ∞の基本タングル T に対して、f(T )はそれぞれ +1/1, −1/1, 0/1, 1/0である。

2. タングル和に関して、f(T1 + T2) = f(T1) + f(T2)である。

3. タングルの回転に関して、f(T ∗) = − 1f(T ) である。

f(T )を、有理タングル T のスロープという。スロープ p/qの有理タングルを R(p/q)で表す。

定理 3.2.8 ([14]). 有理タングルから有理数への写像 f は全単射である。即ち、境界を固定した有理タングルの同値類は、有理数と一対一に対応する。

代数タングルは、次のように帰納的に定義される。

1. 有理タングルは代数タングルである。

2. 代数タングルと代数タングルの和は代数タングルである。

3. 代数タングルの回転は代数タングルである。

タングル T の ‘北側’の二つの端点同士、‘南側’の二つの端点同士を繋いで得られる絡み目を T の分子といい、N(T )で表す。タングル T の ‘東側’の二つの端点同士、‘西側’の二つの端点同士を繋いで得られる絡み目を T の分母といい、D(T )で表す。

T1

T1

分子N(T ) 分母D(T )

有理タングル R(p/q)の分子N(R(p/q))は、2橋結び目である。

3.2.6 プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目結び目 K が K = N(R(±1/q1) + · · · + R(±1/qn))と表されるとき、K をプレッツェル結び目といい、

P (±q1, . . . ,±qn)で表す。結び目 K が K = N(R(p1/q1) + · · · + R(pn/qn)) と表されるとき、K をモンテシノス結び目といい、

M(p1/q1, . . . , pn/qn)で表す。結び目K がある代数タングル T に対してK = N(T )と表されるとき、K を代数結び目という。プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目の間には、{プレッツェル結び目 } ⊂ {モンテシ

ノス結び目 } ⊂ {代数結び目 }の関係がある。

練習問題 3.2.9. プレッツェル結び目 P (−2, 3, 3)は、トーラス結び目 T (3, 4)と同値であることを示せ。


3.2.7 代数的交代結び目2次元球面 S2 = h−1(0)上に、連結な 4正則グラフ Gをとる。Gの頂点を代数タングルに置き換えるこ

とで、結び目または絡み目 K の正則表示 K を得る。各代数タングル (B, T )を、(B, T )のスロープが正、負、0、∞に従って、それぞれスロープ 1, −1, 0, ∞の有理タングルに置き換える。この結果得られる正則表示を基本であるといい、K0と表す。正則表示 K が代数的交代であるとは、基本正則表示 K0が交代であるときをいう。結び目または絡み目K が代数的交代であるとは、K が代数的交代正則表示を持つときをいう。

代数的交代正則表示 K 基本正則表示 K0

3.2.8 正則表示のハッセ図以上で述べた正則表示のクラスに対して、包含関係から導かれるハッセ図を描くと次のようになる。

結び目正則表示の包含関係によるハッセ図

3.3 トンネル数結び目K に対して、

E(K) = N(∂E(K);E(K)) ∪ (1-handles) ∪ (2-handles) ∪ 3-handle

3.4. モース–ノヴィコフ数 39

とハンドル分解したとき、1-ハンドルのコアを結び目解消トンネルという。結び目解消トンネルの最小数を、K のトンネル数という。

3.3.1 トンネル数 1の結び目定理 3.3.1 ([13]). 任意のトンネル数１の結び目は、自明な結び目から唯一つのケーブリング構成の系列によって得られる。

3.4 モース–ノヴィコフ数ザイフェルト曲面F に対して、モース–ノヴィコフ数MN(F )が次のように定まる。M = E(K)−int(F ×

[0, 1]) とおく。M = N(F × {0}) ∪ (1-handle) ∪ (2-handle) ∪ N(F × {1})

のとき、1-ハンドルの個数をMN(F )と定める。結び目K に対して、全てのザイフェルト曲面 F に関するMN(F )の最小値を、K のモース–ノヴィコフ

数といい、MN(K)で表す。

3.4.1 ファイバー結び目定理 3.4.1 ([28]). 任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプランビングの系列により得られる。

41

第4章結び目の基本定理

4.1 結び目補空間定理定理 4.1.1 ([31]). 二つの結び目が同値である為の必要十分条件は、それらの補空間が同相であることである。

4.2 結び目双曲化定理定理 4.2.1 ([108]). 任意の結び目は、自明な結び目かトーラス結び目かサテライト結び目かまたは双曲結び目である。

4.3 結び目特性分解定理結び目 K は、サテライト結び目でないときシューベルト的単純という。3次元多様体M と 1次元多様

体 T の組 (M,T )がコンウェイ的単純であるとは、(M, T )内に本質的コンウェイ球面が存在しないときをいう。

定理 4.3.1 ([11]). 任意のシューベルト的単純な結び目 (S3, K)に対して、次を満たす一意的な曲面G ⊂ S3

が存在する:

(a) Gの成分は互いに平行でない経線的圧縮不可能コンウェイ球面である;

(b) S3−Gの各閉包成分N について、組 (N, K ∩N)はコンウェイ的単純かまたはモンテシノス対である;

(c) Gからどの成分を取り除いても、性質 (b)は満たされない。

ここで、(M, T )がモンテシノス対であるとは、下図の球面のいくつかを有理タングルで埋めて得られる多様体対である。

4.4 結び目外部の本質的曲面結び目K の補空間に埋め込まれた曲面 F の中で、∂F = K、F ∩K = ∅、F t K、F ⊃ K のいずれかを

満たすものが基本的である。これらは、それぞれザイフェルト曲面、閉曲面、タングル分解球面、補間曲面と呼ばれる。下記の定義にあるように、基本的な結び目及び絡み目の性質が曲面によって定められている。

42 第 4章結び目の基本定理

4.4.1 本質的曲面の 4つの種類ザイフェルト曲面

向き付け可能曲面 F で、∂F = K を満たすものをK のザイフェルト曲面という。

定義 4.4.1. 結び目が種数 0のザイフェルト曲面、即ちディスクを張るとき、K は自明であるという。

閉曲面

閉曲面 F で、F ∩ K = ∅を満たすもの、即ち F ⊂ S3 − K であるもののうち、S3 − K 内で圧縮不可能なものを圧縮不可能閉曲面という。

定義 4.4.2. 絡み目 Lが種数 0の圧縮不可能閉曲面、即ち球面を補空間に含むとき、Lは分離的であるという。結び目K が種数 1の圧縮不可能閉曲面、即ちトーラスを補空間に含むとき、K はサテライトであるという。

タングル分解球面

閉曲面 F で、F t K を満たすもののうち、F −K が圧縮不可能な球面であり、F ∩E(K)が境界平行なアニュラスでなければ、F はK の本質的タングル分解球面であるという。ここで、|F ∩ K|/2をタングル分解のストリング数という。

定義 4.4.3. 結び目K が本質的 1-ストリングタングル分解を持つとき、K は合成であるという。結び目K

の本質的 2-ストリングタングル分解球面を、本質的コンウェイ球面という。

補間曲面

閉曲面 F で、F ⊃ K を満たすもののうち、F −K が連結かつ圧縮不可能であり、F ∩E(K)が境界平行なアニュラスでなければ、F はK の補間曲面であるという。

定義 4.4.4. 結び目K が種数 1の補間曲面、即ちトーラスに含まれるとき、K はトーラス結び目であるという。

定理 4.4.5 ([108]). 結び目が、自明でもサテライトでもトーラスでもないとき、双曲結び目である。

4.4.2 圧縮不可能かつ境界圧縮可能曲面の分類定理 4.4.6. 結び目外部内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮不可能であるかまたは境界平行なアニュラスである。

Proof. K を S3内の結び目とし、F をK の外部 E(K) = S3 − intN(K)内に埋め込まれた圧縮不可能曲面とする。F の圧縮不可能性から、∂F は ∂E(K)内で本質的なループから成ることに注意する。従って、∂F

は ∂E(K)上で互いに平行なループ l1, . . . , ln であり、∂E(K)をいくつかのアニュラス A1, . . . , An に分けている。今、F が境界圧縮可能であると仮定して、F が境界平行なアニュラスであることを導こう。DをF の境界圧

縮ディスクとする。即ち、D∩F = ∂D∩F = αはF 内で本質的なアークであり、D∩∂E(K) = ∂D−intα = β

は ∂E(K)内のアークである。このとき、ある iに対し、β ⊂ Ai である。

4.4. 結び目外部の本質的曲面 43

もし、βが Ai内で非本質的なアークならば、Ai内のディスクD′で、∂D′ = β ∪ β′（β′は ∂Ai内のアーク）を満たすものが存在する。βから β′へD′に沿ったDのイソトピーで、∂D ⊂ F とできる。αは F 内で本質的なアークであったので、∂Dは F 内で本質的なループである。D ∩ F = ∂Dを満たしているので、Dは F の圧縮ディスクであり、F の圧縮不可能性に矛盾する。他方、β が Ai 内で本質的なアークであるとする。このとき、Ai − intN(β) = A′

i はディスクとなる。D

に平行な二枚のディスクを A′iに貼り付けることで、ディスクD′を得る。D′ ∩ F = ∂D′を満たすので、F

の圧縮不可能性から、∂D′ は F 内で非本質的なループでなければならない。従って、F 内のディスク D′′

で、∂D′′ = ∂D′ を満たすものが存在する。よって、F はアニュラスである。また、E(K)は S3 内の連結な部分多様体であるので、定理 2.7.13より、既約である。よって、球面D′ ∪ D′′ は、E(K)内で 3次元球体を張る。従って、F は境界平行なアニュラスである。

系 4.4.7. ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、本質的なディスクであるかまたは境界平行なアニュラスである。

Proof. 定理 2.7.16より、ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。一方、定理 4.4.6において自明な結び目を取れば、ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮不可能であるかまたは境界平行なアニュラスであることが分かる。従って、ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面が境界圧縮不可能な場合、本質的なディスクであり、境界圧縮可能な場合、境界平行なアニュラスである。

4.4.3 本質的アニュラスの分類定理 4.4.8. K を S3内の結び目とする。もし、E(K)が本質的アニュラス Aを含むならば、次のいずれか一つが成り立つ。

• K はトーラス結び目またはケーブル結び目であり、Aはそのケーブリングアニュラスである。

• K は合成結び目であり、AはK の分解球面に拡張できる。

4.4.4 奇数境界成分を持つ平面的曲面の非存在性とケーブル予想P を S3 内の結び目K の外部に適切に埋め込まれた非経線的、本質的、平面的曲面とする。もし、P が

ディスクならば、Kは自明であり、P はそのザイフェルト曲面である。もし、P がアニュラスならば、Kはトーラス結び目またはケーブル結び目であり、P はそのケーブリングアニュラスである。次の命題は、|∂P |が 3以上の奇数ではないことを言っている。

命題 4.4.9 (cf. [55]). P を E(K)に適切に埋め込まれた非経線的、平面的曲面で奇数個の境界成分を持つものとする。このとき、P が本質的であるための必要十分条件は、K が自明な結び目であり、P はトーラス体 E(K)のメリディアンディスクである。

予想 4.4.10 (The Cabling Conjecture, [30]). S3内の結び目K に沿ったデーン手術で可約な多様体が得られたならば、K はケーブル結び目であり、手術スロープはケーブリングアニュラスの境界スロープである。

命題 4.4.11 (cf. [55]). S3 内の結び目外部は、整数境界スロープの 4つ穴空き圧縮不可能平面的曲面を含まない。

44 第 4章結び目の基本定理

4.4.5 標準的ザイフェルト曲面ザイフェルトのアルゴリズムにより、全ての結び目に対してザイフェルト曲面が存在する。ザイフェル

トのアルゴリズムによって得られたザイフェルト曲面を、標準的ザイフェルト曲面という。標準的ザイフェルト曲面は、ザイフェルトステイト ~σに関するステイト曲面 F~σ と同じである。

4.4.6 ロンジチュードの一意性定理 4.4.12 (ロンジチュードの一意性). F1 と F2 を結び目 K のザイフェルト曲面とし、i = 1, 2に対しF ′

i = Fi ∩ E(K)とおく。このとき、∂F ′1 と ∂F ′

2 は ∂E(K)上でイソトピックである。

Proof. F ′1 と F ′

2 のイソトピーで、|∂F ′1 ∩ ∂F ′

2|を最小にとる。もし、|∂F ′1 ∩ ∂F ′

2| = 0ならば、∂F ′1 と ∂F ′

2

は ∂E(K)上でイソトピックである。以下、|∂F ′1 ∩ ∂F ′

2| > 0と仮定する。A = ∂E(K) − intN(∂F ′1)とお

く。|∂F ′1 ∩ ∂F ′

2|の最小性から、∂F ′2 ∩Aの各成分は A内で本質的なアークである。従って、F ′

1及び F ′2に

向きを付けたとき、∂F ′1及び ∂F ′

2にも誘導された向きが付くが、∂F ′2は F ′

1に対し全ての点で同じ向きに交わっている。F1 ∩ F2 のあるアーク成分を αとし、αの近傍N(α)内の F ′

1 及び F ′2 を考察しよう。

F2

F1

図から、N(α, F ′1)には、F ′

1から誘導された向きが ∂F ′1に一致しているが、N(α, F ′

2)には、F ′2から誘導

された向きが ∂F ′2と一致していないことが分かる。これは、F2が向き付け可能であることに反する。実際、

αが ∂F ′2 上で張るアークを α′ とするとき、N(α ∪ α′, F ′

2)はメビウスの帯であることからも分かる。

4.4.7 境界スロープ定義 4.4.13 (境界スロープ). 結び目K のザイフェルト曲面 F に対して、∂(F ∩ E(K))の ∂E(K)上のイソトピー類をロンジチュードという。また、∂E(K)上の本質的なループでN(K)内にディスクを張るものの ∂E(K)上のイソトピー類をメリディアンという。

∂E(K)上の本質的ループ αは、メリディアンmとロンジチュード lを用いて、α = pm + qlと表せる。l 6= 0のとき有理数 p/qに対応させ、l = 0のとき {1/0}を対応させることで、∂E(K)上の本質的ループのイソトピー類と、Q ∪ {1/0}が 1対 1に対応する。結び目 K の外部 E(K)に埋め込まれた境界を持つ本質的曲面 F に対して、∂F のループ成分 αに対し

て、p/q ∈ Q ∪ {1/0}が定まる。この p/qを F の境界スロープという。

B(K)をK の全ての境界スロープからなる集合とする。

定理 4.4.14 ([37]). 任意の結び目K について、B(K)は有限集合である。

定理 4.4.15 ([19]). 任意の結び目K について、B(K)は少なくとも二つの要素を含む。

定理 4.4.16 ([38]). 任意の有理数 p/qに対して、モンテシノス結び目K が存在し、p/q ∈ B(K)を満たす。

4.4. 結び目外部の本質的曲面 45

4.4.8 分離的本質的曲面の存在定理 4.4.17 ([19]). 非自明な結び目の外部には、境界を持つ分離的な本質的曲面が存在する。

4.4.9 非分離的本質的曲面の存在全ての結び目は圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つので、結び目外部には常に非分離的本質的曲面は存

在する。しかし、境界が非連結な非分離的本質的曲面の存在はごく最近知られたばかりである。

定理 4.4.18 ([22]). 任意の正の奇数 nに対して、沢山の結び目が存在して、その外部は境界成分が nの非分離的本質的曲面を含む。

第III部

結び目と曲面

49

第5章閉曲面

結び目K に対して、S3 − K 内の圧縮不可能閉曲面から成る集合を CS(K)とおく。

命題 5.0.19. K が自明な結び目であるための必要十分条件は、CS(K) = ∅である。

Proof. K を自明な結び目とすると、E(K)はソリッドトーラスである。定理 2.7.16により、E(K)は圧縮不可能閉曲面を含まない。従って、CS(K) = ∅である。逆に、CS(K) = ∅と仮定する。F = ∂N(K)とすると、F は S3 − K 内の閉曲面である。F がもし圧縮

可能ならば、圧縮ディスクDが E(K)内に存在する。定理 4.4.12により、Dの境界スロープは 0であり、DはK のザイフェルト曲面に拡張できる。従って、K は自明な結び目である。

定義 5.0.20. CS(K)の各要素を頂点とし、F0, . . . , Fn ∈ CS(K)が互いに交わらないとき n-単体を張る。このとき得られる複体を CX (K)とする。

命題 5.0.21. 任意の結び目K に対し、CX (K)は連結である。

5.1 スモール結び目とロペス予想結び目K の外部 E(K)内の任意の圧縮不可能閉曲面 F が境界平行のとき、K はスモールであるという。

命題 5.1.1. K がスモール結び目であるための必要十分条件は、CS(K) = {∂N(K)}である。

これまで、極僅かの結び目しかスモールであることが知られていない。

定理 5.1.2 ([113],[39],[73],[70]). トーラス結び目、2-橋結び目、長さ 3のモンテシノス結び目、2-ツイストトーラス結び目はスモールである。

問題 5.1.3. スモール結び目を特徴付けよ。

この問題は難しい。例えば、10交点までのスモール結び目や、交代スモール結び目に制限して特徴付けをするならば現実味がある。実際、ごく最近、12交点までのスモール結び目が決定された。

定理 5.1.4 ([12]). 12交点までの 2977個の結び目のうち、1019個がラージで、1958個がスモールである。

現時点で分かっているスモール結び目は、全て高々トンネル数は 2である。

問題 5.1.5. トンネル数が 3以上のスモール結び目は存在するか？

定理 5.1.6. トーラス結び目はスモールである。

Proof. K を非自明なトーラス結び目とし、T を K を含む自明なトーラスとする。T は E(K)を二つのソリッドトーラス V1 と V2 に分離している。先ず、アニュラスA = T ∩E(K)が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることを示す。もし、AがE(K)

内で圧縮可能ならば、Aを圧縮して得られる 2枚のディスクが存在する。これは、K が非自明であること

50 第 5章閉曲面

に反する。また、Aが E(K)内で境界圧縮可能ならば、定理 4.4.6より、Aは境界平行なアニュラスである。一般性を失うことなく、Aが V1側へ境界平行だとすると、K の外部 E(K)は V2と同相である。V2はソリッドトーラスであるから、これはK が非自明であることに反する。

F を E(K)内の圧縮不可能閉曲面とする。定理 2.7.10より、F と Aは本質的なループのみで交わるとして良い。F のイソトピーで、|F ∩ A|を最小にとる。このとき、Fi = F ∩ Viは、Vi内で圧縮不可能である。もし、Fiが Vi内で圧縮可能だったとし、Dを圧

縮ディスクとすると、F の圧縮不可能性から、∂Dは F 内でディスクD′を張る。Dは Fiの Vi内での圧縮ディスクであるから、D′ ∩ A 6= ∅である。D′ ∩ Aの各成分は、D′ 内の非本質的なループであるので、F

内でも非本質的である。しかし、これは F と Aが本質的なループのみで交わることに反する。定理 4.4.7より、Fiの各成分は Vi内で境界平行なアニュラスである。Fiの成分のうちで、最も外側のア

ニュラスを Ai とする。もし、Ai が A内のアニュラスへ平行ならば、|F ∩ A|の最小性に反する。従って、Aiは ∂E(K) ∩ Viを含むアニュラスへ平行であり、∂A1 = ∂A2である。よって、F = A1 ∪A2は E(K)内で境界平行なトーラスである。

補題 5.1.7 ([84, Lemma 3.4]). (B, T )を有理タングル、F をB − T 内の経線的本質的曲面とする。このとき、F は T の二つのストリングを B 内で分離するディスクである。

結び目補空間内に、経線的本質的曲面が存在しなければ、スモールである。よって、次の定理から、2-橋結び目がスモールであることが従う。

定理 5.1.8. 2-橋結び目補空間内には、経線的本質的曲面が存在しない。

Proof. K を 2-橋結び目とし、(S3,K) = (B1, T1) ∪S (B2, T2)を自明な 2-ストリングタングル分解とする。ここで、S は 2-橋分解球面である。

F を (S3,K)内の経線的本質的曲面とする。定理 2.7.10より、F と S は本質的なループのみで交わるとして良い。F のイソトピーで、|F ∩ S|を最小にとる。

Fi = F ∩Biとおくとき、F が経線的本質的であることと |F ∩ S|の最小性より、Fiは (Bi, Ti)内で経線的本質的であることが分かる。従って、補題 5.1.7より、Fi は Ti の二つのストリングを Bi 内で分離するディスクから成る。これは、F がK の成分を分離する球面であることを示し、K が結び目であることに反する。

定理 5.1.9 ([73]). モンテシノス結び目M(p1, p2, p3)は、スモールである。

スモール結び目は、S3 以外の 3次元多様体についても同様に定義される。本質的な閉曲面を含まない 3次元多様体は、スモールと呼ばれる。例えば、S3 やハンドル体はスモールである。

予想 5.1.10 (ロペス予想, [56], [57]). 全てのスモールな閉 3次元多様体には、スモール結び目が存在する。

ロペス予想は、次の予想に拡張される。

予想 5.1.11. スモールな 3次元多様体には、スモール結び目が存在する。

特に、スモール結び目外部には、スモール結び目が存在することが予想される。

5.2 経線的結び目結び目K の補空間 S3 −K 内の圧縮不可能閉曲面 F に対し、ディスクDが存在して、D ∩F = ∂Dかつ

DとK は 1点で交わるとき、F を経線的圧縮可能であるといい、Dを経線的圧縮ディスクという。結び目K の補空間 S3 − K 内の任意の圧縮不可能閉曲面 F が経線的圧縮可能のとき、K は経線的であるという。

5.3. 周辺圧縮可能閉曲面 51

スモール結び目K の補空間 S3 −K 内の圧縮不可能閉曲面 F は、∂N(K)に平行なもののみであるから、スモール結び目は経線的である。これまで、スモール結び目以外に、数多くの結び目が経線的であることが示されている。

定理 5.2.1 ([58],[62],[1],[73],[2],[85]). 3-ブレイド結び目、交代結び目、擬交代結び目、モンテシノス結び目、トーラス的交代結び目、代数的交代結び目は経線的である。

ここで、トーラス的交代結び目は、交代結び目、擬交代結び目、モンテシノス結び目を含むクラスであり、代数的交代結び目は、代数結び目、交代結び目を含むクラスである。経線的結び目は、次の性質を持つ。結び目 K の外部 E(K)に埋め込まれた曲面 F が自由であるとは、

E(K) − intN(F )の各成分がハンドル体からなるときをいう。

定理 5.2.2 ([86]). K を経線的結び目とする。このとき、K の外部に埋め込まれた任意の圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面で、境界スロープが有限のものは自由である。

Proof. 経線的結び目K の外部 E(K)内に埋め込まれた圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面 F で、境界スロープが有限であり、自由でないものが存在したとする。このとき、E(K)を F で切って得られる成分のうち少なくとも一つはハンドル体ではない。その成分の境界を可能な限り圧縮することで、E(K) − F 内に圧縮不可能閉曲面 S が得られる（[81, Lemma 2.2]）。K が経線的結び目であるので、S と E(K)のメリディアンを繋ぐアニュラス Aが存在する。Aは F と横断的に交わるとし、|A ∩ F |が最小であると仮定する。以下のように、初歩的な切り貼り論法で、|A ∩ F | = 0を示す。

A∩F のループ成分が存在したとし、αをA内の最も内側のループ、δを対応するA内の最も内側のディスクとする。. F は圧縮不可能であるから、αは F 内でディスク δ′を張る。このとき、δ′を δへ移動させる F のイソトピーにより、|A∩ F |を減らすことができるので、矛盾である。次に、A∩ F にアーク成分が存在したとし、αを A内の最も外側のアーク、δを対応する A内の最も外側のディスクとする。F は境界圧縮不可能であるから、αは F 内でディスク δ′を張る。このとき、δ′を δへ移動させる F のイソトピーにより、|A ∩ F |を減らすことができるので、矛盾である。故に、A ∩ F = ∅を得る。ところが、A ∩ ∂E(K)のループが E(K)のメリディアンであるから、これは

F の境界スロープが無限である（即ち経線的である）ことを意味する。

5.3 周辺圧縮可能閉曲面K を S3 内の結び目とする。E(K)内の圧縮不可能閉曲面 S に対して、S 上の本質的ループと E(K)上のループを繋ぐアニュラス A

が存在するとき、S を周辺圧縮可能といい、Aを周辺圧縮アニュラスという。S が経線的圧縮可能ならば、周辺圧縮可能である。

定理 5.3.1 ([45]). Sを周辺圧縮可能な圧縮不可能閉曲面とし、Aを周辺圧縮アニュラスとする。このとき、ループ A ∩ ∂E(K)は境界スロープを定めるが、これは Aの取り方によらず一意的に定まる。

従って、S から境界スロープが定まる。これをアクシデンタルスロープという。

定理 5.3.2 ([20, Lemma 2.5.3]). アクシデンタルスロープは、メリディアンまたは整数である。

定理 5.3.3 ([45]). n-単体 ∆n ∈ CX (K)の頂点 F0, . . . , Fn が全て周辺圧縮可能閉曲面ならば、それらのアクシデンタルスロープは一致する。

例 5.3.4. K を 3-橋結び目とし、T ⊂ S3 − K を圧縮不可能トーラスとする。このとき、[104]により、K

は二つの 2-橋結び目の連結和であり、T は swallow-followトーラスである。この場合、Kの swallow-followトーラスは二つ存在し、これらを T1, T2 とする。CX (K)は図のような一つの 2-単体から成る。


図 5.1: CX (K)

5.4 様々な結び目の閉曲面5.4.1 交代結び目の閉曲面次のメナスコによる定理の証明を紹介しよう。

定理 5.4.1 ([62]). 交代結び目は、経線的である。

Proof. K を交代結び目とし、S2上に交代正則表示を持つとする。K の各交点 ciにおいて、小さい 3次元球体 Biを挿入し、K が (

∪i ∂Bi) ∪ (S2 −

∪i Bi)上に含まれるようにする。このとき、K ∩Bi = K ∩ ∂Bi

は、2本のアーク Ti から成る。F を S3 − K 内の圧縮不可能閉曲面とする。定理 2.7.15と同様の証明で、次の補題を得る。

補題 5.4.2. F ∩ Bi は、Ti の 2本のアークを分離する互いに平行なディスクから成るとして良い。

F のイソトピーの下で、|F ∩∪

i Bi|が最小であると仮定する。更に、この仮定の下で、|F ∩ (S2 −∪

i Bi)|が最小であると仮定する。定理 2.7.10と同様の証明により、次の補題を得る。

補題 5.4.3. F は、S2 −∪

i Bi の各領域において、異なる Bi を繋ぐアークのみから成る。

S3 − (S2 ∪∪

i Bi)の各成分の閉包で得られる 3次元球体を B+, B−とおく。定理 2.7.15より、次の補題を得る。

補題 5.4.4. F ∩ B± はディスクのみから成る。

補題 5.4.2、5.4.3、5.4.4により、F の S2 ∪∪

i Biに関する位置が定まった。これより、S± = ∂B±とおくとき、F ∩ S± はループから成ることが分かる。次の補題が本質的である。

補題 5.4.5 (交代性補題). F ∩ S± のループに沿って進むとき、Bi は左右交代に現れる。

今、F ∩ S± のループの中で、S± 上最も内側のループを lとする。交代性補題より、lは同じ Bi に戻ってくることが従う。この時、二つの場合がある。

1. lは、Bi の同じ側に戻ってくる。

2. lは、Bi の反対側に戻ってくる。

5.4. 様々な結び目の閉曲面 53

補題 5.4.4より、lは B± 内でディスク δを張ることに注意する。1の場合、δは S±上へ平行なので、δの一部をイソトープして、F ∩ Biのディスクを 2枚取り除くこと

ができる。これは、|F ∩∪

i Bi|の最小性に反する。2の場合、∂δ ∩ ∂Biの 2本のアークを含む、F ∩Biのディスクを δ′とする。δは S±上へ平行なので、ア

ニュラス δ ∪ δ′ に対して、経線的圧縮ディスクが存在する。故に、F は経線的圧縮可能である。

5.4.2 正結び目の閉曲面経線的結び目K の補空間内の圧縮不可能閉曲面 F に対して、経線的圧縮ディスクDが存在するが、∂D

とK の絡み数は ±1である。即ち、F 上のループでK との絡み数が 0でないものが存在する。正結び目で経線的結び目でないものが存在するが、正結び目はこの経線的結び目が持つ性質を継承する。

定理 5.4.6 ([82]). K を正結び目、F を S3 − K 内の圧縮不可能閉曲面とする。このとき、F 上のループ l

で、lk(l,K) 6= 0となるものが存在する。言い換えると、S の位数 o(S;K)は 0でない。

例 5.4.7. 二重化結び目K の補空間内には圧縮不可能トーラス F が存在する。F 上の任意のループとK との絡み数は 0であるので、二重化結び目は正結び目でないことが分かる。

従って、問題 7.1.1に関する部分的回答として次が得られる。

系 5.4.8. 正結び目は非自由な圧縮不可能ザイフェルト曲面を張ることができない。

連結な正正則表示を持つ正絡み目は、正絡み数を持つので非分離的であるが、幾何的な別証明を与えることが出来た。

定理 5.4.9 ([82]). 正絡み目が分離的であるための必要十分条件は、連結な正正則表示を持つことである。

次の定理を証明する。

定理 5.4.10. K を正結び目または正絡み目とし、F をK の補空間の圧縮不可能閉曲面とする。このとき、次のいずれかが成り立つ。

1. F 上のループ lが存在して、lk(l, K) 6= 0を満たす。

2. F はK の分離球面であり、K の任意の正正則表示は非連結である。

Proof. S2 を S3 内の 2次元球面、p : S3 − {±∞} ∼= S2 × R → S2 を射影とする。K を p(K) が正正則表示になるように置く。p(K) を保ちつつ、K を橋表示する。橋表示から、次の情報が得られる。

• S3 = B+ ∪S2 B−

(S2 は S3 を二つの 3次元球体に分ける。)

• K = K+ ∪S2 K−、ここで K± ⊂ B±

(S2 は K を上橋と下橋に分ける。)

• K± = K±1 ∪ K±

2 ∪ . . . K±n

(K は n本の上橋と n本の下橋で表示される。)

• D± = D±1 ∪ D±

2 ∪ . . . D±n

(各 K±i ∪ p(K±

i ) はディスク D±i を張り、p(D±

i ) = p(K±i )を満たす。)

S を切り貼りすることで、次の補題が得られる。


K

S

K

KK

B

B

+ + +1 2

1n- - -

D

D

DD

1

1

+ +

--n

2 2

図 5.2: View from level surface

補題 5.4.11. 次のように仮定して良い。

1. S ∩ D− = ∅

2. S ∩ B− はディスクから成る。

3. S ∩ D+ はアークから成る。

4. S ∩ B+ − D+ の任意の成分はディスクである。

|S∩B−|と |S∩D+|をこの順序で最小にとる。S が S3−K 内で圧縮不可能であることから、|S∩B−| 6= 0が分かる。もし、|S ∩ B−| = 1 かつ |S ∩ D+| = 0 ならば、結論の 2 を得る。以後、|S ∩ B−| ≥ 1 かつ |S ∩ D+| ≥ 1 であると仮定する。このとき、S ∩ B− を頂点、S ∩ D+ を辺とみなすことにより、S 内に連結グラフ G を得る。α と p(α)

には K から自然に導かれる向きを指定しておく。

aS

K+i

p( )a2

図 5.3: α and p(α) have the orientaions

|S ∩ B−| と |S ∩ D+| の最小性より、次の補題が得られる。

補題 5.4.12. S ∩ D+ の任意の辺 αに対して、p(α) ∩ p(K−) 6= ∅。

次の補題は K の正性から従う。

補題 5.4.13. 任意の面 f に対して、サイクル ∂f は向き付けられない。

G の各面 f と ∂f 上の各辺に対して、次の性質を持つ f 上のアーク γ を見付けることが出来る。

(*) γ は ∂f 上異なる向きを持つ二つの辺を繋ぐ。


f

図 5.4: p(∂f) has non-zero intersection number

fg

図 5.5: γ with the property (*)


S 上のループ l で lk(l, K) 6= 0 のものを探す為、G の任意の辺から出発し、性質 (*) を満たすアークを辿って行く。G の有限性から、いつか一度通った面に戻ってくる。これらのアークを繋いで、S ∩B+ 上のループ l で、S 上 G との交点数が 0でないのものが得られる。よって、K と 0でない絡み数を持つ S 上のループが得られる。分離球面上の任意のループは S3 −K 内で可縮（1点とホモトピー同値）なので、結論の 1 を得る。

5.4.3 モンテシノス結び目の閉曲面定理 5.4.14 ([73]). モンテシノス結び目K の補空間 S3 − K にある圧縮不可能閉曲面（周辺トーラスを除く）は、いくつかの標準的な本質的コンウェイ球面からチュービングによって得られる圧縮不可能閉曲面にイソトピックである。

長さ 3のモンテシノス結び目M(p1/q1, p2/q2, p3/q3)には、標準的な本質的コンウェイ球面が存在しないので、次の系を得る。

系 5.4.15. 長さ 3のモンテシノス結び目はスモールである。

5.4.4 代数的交代結び目の閉曲面定理 5.4.16. K を代数的交代絡み目とし、F を S3 −K の本質的閉曲面とする。このとき、次が成り立つ。

1. F は S3 内でK の成分を分離する。

2. 基本正則表示 K0 は分離的か、または、F はある代数的タングルに含まれる。

3. もし F が球面ならば、カットタングルが存在する。

4. もし F がトーラスであり、カットタングルが存在しないならば、Q2 タングルが存在する。

slope 10

図 5.6: カットタングル

m

図 5.7: Qm タングル


5.4.5 3橋結び目の閉曲面3橋結び目補空間の種数 2の圧縮不可能閉曲面を考える。可能な限り経線的圧縮を行うことで、以下の 3

つのタイプの圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面が得られる。

I: K と交わらない種数 2の閉曲面

II: K と 2点で交わる種数 1の閉曲面

III: K と 4点で交わる種数 0の閉曲面、即ち、本質的コンウェイ球面

定理 5.4.17. K を 3橋結び目または絡み目とし、F を種数 2の圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面とする。このとき、3つ組 (S3, K, F )は次のいずれかである。

I-a: 2つの Type T0 の 3つ組の和

I-b: 2つの Type P0 の 3つ組の和

I-c: 2つの Type A0 ∪ T0 の 3つ組の和

I-a I-b I-c

図 5.8: genus two closed surfaces of Type I

定理 5.4.18. K を 3橋結び目または絡み目とし、F をK と 2点で交わる種数 1の圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面とする。このとき、3つ組 (S3,K, F )は次のいずれかである。

II-a: Type T0 の 3つ組と Type D2 の 3つ組の和

II-b: 2つの Type A1 の 3つ組の和

II-c: Type P0 の 3つ組と Type D2 ∪ A0 の 3つ組の和


II-a II-b II-c

図 5.9: genus one closed surfaces of Type II

定理 5.4.19. K を 3橋結び目または絡み目とし、F をK と 4点で交わる種数 1の圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面とする。このとき、3つ組 (S3,K, F )は次のいずれかである。

III-a: 2つの Type D2 の 3つ組の和

III-b: Type D1 ∪ D2 の 3つ組と Type A1 の 3つ組の和

5.5 ウエストとトランク結び目K のウエストを次のように定義する。

waist(K) = maxF∈F

minD∈DF

|D ∩ K|

ここで、F は S3 −K 内の全ての圧縮不可能閉曲面からなる集合、DF は F の S3内の全ての圧縮ディスクからなる集合とする。自明な結び目K に対しては、waist(K) = 0であると定める。結び目K が経線的である必要十分条件は、waist(K) = 1であることである。結び目K のトランクを次のように定義する。

trunk(K) = minh∈H

maxt∈R

|h−1(t) ∩ K|

ここで、Hは全ての標準的モース関数 h : S3 → Rからなる集合とする。

定理 5.5.1 ([86]). 結び目K に対して、waist(K) ≤ trunk(K)3

が成り立つ。

Proof. K が自明な結び目の場合、waist(K) = 0かつ trunk(K) = 2であるから、定理 5.5.1の不等式を得る。

5.5. ウエストとトランク 59

III-a III-b

図 5.10: genus zero closed surfaces of Type III

Kを非自明な結び目、F を S3 −K内の圧縮不可能閉曲面、h : S3 → RをKと F に関する標準的なモース関数とする。hが trunk(K) = maxt∈R|h−1(t) ∩ K|を満たすと仮定する。

F が、臨界値に相当する鞍点 pを持つとする。Xpを、pを含む F ∩ h−1([tp − ε, tp + ε])のパンツ成分とする。ここで、εは十分小さい実数である。C1、C2、C3をXpの境界成分とする。ここで、C1と C2は同じレベル h−1(tp ± ε)に含まれ、C3はもう一つのレベル h−1(tp ∓ ε)に含まれるとする。図 5.11を見よ。鞍点 pを、以下のように分類する。

1. タイプ I C1、C2、C3 が全て F 内で非本質的であるとき

2. タイプ II C1 と C2 のうち丁度一つが F 内で本質的であり、C3 が本質的であるとき

3. タイプ III C1 と C2 の両方が F 内で本質的であり、C3 が非本質的であるとき

4. タイプ IV C1、C2、C3 の全てが F 内で本質的であるとき

定理 5.5.1を証明するために、次の二つの場合を考える必要がある。

場合 I F 内にタイプ IVの鞍点が存在する

場合 II F 内にタイプ IVの鞍点が存在しない

場合 I：もし、タイプ IVの鞍点 pが存在するならば、各本質的ループ Ciは、D1 ∪D2 ∪D3 ∪Xpがレベル 2次元球面 h−1(tp)にイソトピックであるような、ディスクDi を h−1(tp ± ε)内で張る。ここで、tp はpに相当する臨界点で、Xpは pを含む F ∩ h−1([tp − ε, tp + ε])のパンツ成分である。図 5.12を見よ。このとき、次を得る。

|D1 ∩ K| + |D2 ∩ K| + |D3 ∩ K| = |h−1(tp) ∩ K|

全ての tp ∈ Rに対して、|h−1(tp) ∩ K| ≤ trunk(K)であるから、

mini

|Di ∩ K| ≤ trunk(K)3


pXp

C

C

C1 2

3

図 5.11: パンツ成分Xp と三つの境界成分 C1、C2、C3

D D

D

1 2

3

pXp

図 5.12: D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ Xp が 2次元球面を構成する

5.6. 位数 61

以下で、waist(K) ≤ |Di ∩ K|を示す。C ′i を、F 内で本質的であり Di 内で最も内側にある Di ∩ F の

ループとし、D′i を、C ′

i によって張られるDi 内の最も内側のディスクとする。Di ∩ F は F 内で本質的なループを少なくとも一つ含むので（例えば、∂Di = Ci）、このようなループ C ′

i とディスクD′i をとること

ができる。このとき、初歩的な切り貼り論法により、D′i ∩ F = ∂D′

i = C ′i と仮定して良い。D′

i は F の S3

内の圧縮ディスクでもあるから、

waist(K) ≤ |D′i ∩ K| ≤ |Di ∩ K|

を得る。場合 IIについての証明は省略する。タイプ IVの鞍点がないことから、F はトーラスであることが分か

る。もし、ある t ∈ Rに関してレベル 2次元球面 S = h−1(t)が存在し、F ∩ S が、F 内で本質的な非平行なループのクラスを少なくとも 3つ持つならば、場合 Iと同様の議論により、定理 5.5.1の不等式を示すことができる。そうでない場合は、F が 1-橋であること、即ち、唯一つの極大点と極小点、及びタイプ IIIの鞍点を二つ持つことが分かり、F の圧縮不可能性に矛盾する。

例 5.5.2. K と F を、図 5.13にあるような、3橋結び目と種数 2の圧縮不可能閉曲面とする。このとき、trunk(K) = 6かつ waist(F ) = 2である。よって、定理 5.5.1の不等式は、この例に関して等号を満たすことが分かる。

5.6 位数ウエストは、閉曲面の圧縮ディスクと結び目の幾何的な交点数として定義されていた。一方、代数的な交

点数から定義したものが、次に述べる位数である。S を S3 − K 内の閉曲面とする。i : S → S3 − K を包含写像とし、i∗ : H1(S) → H1(S3 − K) をその誘

導された準同型写像とする。Im(i∗)はH1(S3 −K) = Z〈meridian〉の部分群であるから、整数mが存在して Im(i∗) = mZを満たす。このとき、S の位数 o(S; K)をmで定義する ([81])。

定理 5.6.1 ([81], [62], [82]). これまでに知られている位数は、次のようにまとめられる。

• K がファイバー結び目ならば、任意の圧縮不可能閉曲面 F ⊂ S3 − K に対して、o(F ) 6= 0である。

• K が交代結び目ならば、任意の圧縮不可能閉曲面 F ⊂ S3 − K に対して、o(F ) = ±1である。

• K が正結び目ならば、任意の圧縮不可能閉曲面 F ⊂ S3 − K に対して、o(F ) 6= 0である。


図 5.13: 3橋結び目と種数 2の圧縮不可能閉曲面

63

第6章タングル分解球面

6.1 様々な結び目のタングル分解6.1.1 交代結び目のタングル分解定理 6.1.1 ([62]). 交代結び目の素分解球面は、交代正則表示を含む球面と 1本のループで交わるようにイソトープできる。

定理 6.1.2 ([62]). 交代結び目の本質的コンウェイ球面は、交代正則表示を含む球面と高々2本のループで交わるようイソトープできる。特に、2本のループで交わる場合は、正則表示の変形により、1本のループで交わるようにできる。

図 6.1:

練習問題 6.1.3. 816 と 817 の本質的タングル分解を図示せよ。

6.1.2 正結び目のタングル分解定理 6.1.4 ([82]). 正結び目の素分解球面は、正正則表示を含む球面と 1本のループで交わるようにイソトープできる。

この定理は Cromwell の結果 [18, 1.2 Theorem] を拡張している。

Proof. S を正結び目又は絡み目 K 分解球面とする。K と S を定理 5.4.10の証明と同様に置く。但し、S ∩ K の２点 p1 と p2 は intB+ 又は intB− にあるようにする。タングル (B±,K±) が自明で、S は分解球面であることから、p1 と p2 は S ∩ D± の単一のアークの端点ではないことに注意する。故に、p1 とp2 をそれぞれ含む S ∩ D± の arc e1 と e2 が存在する。補題 5.4.11と同様に次が得られる。

64 第 6章タングル分解球面

補題 6.1.5. 次のように仮定して良い。

1. S ∩ D− ⊂ e1 ∪ e2

2. S ∩ B− はディスクから成る。

3. S ∩ D+ はアークから成る。

4. S ∩ B+ − D+ の任意の成分はディスクである。

|S ∩B−| と |(S ∩D+)− (e1 ∪ e2)| をこの順序で最小にとる。このとき、S ∩B− と (S ∩D+)− (e1 ∪ e2)をそれぞれ頂点と辺とみなすことにより、S 上に連結グラフ G を得る。

(B±,K±) が自明なタングルで、S が分解球面であることから、|S ∩ B−| 6= 0 に注意する。もし、|S ∩ B−| = 1 かつ S ∩ D+ ⊂ e1 ∪ e2 ならば、p(ei) = p(pi) (i = 1, 2) より、S ∩ S2 が望まれる

ループを与える。

補題 6.1.6. (S ∩ D+) − (e1 ∪ e2)の任意のアーク αに対して、p(α) ∩ p(K−) 6= ∅が成り立つ。

以後、K が素であると仮定する。

補題 6.1.7. Gに次数 1の頂点は存在しない。

補題 6.1.8. S 内での Gの面 f で、∂f が Gのループであるものは存在しない。

故に、G は少なくとも二つの頂点を持ち、全ての頂点の次数は少なくとも 2以上で、G の全ての面はディスクである。

補題 6.1.9. 任意の面 f に対して、サイクル ∂F は向き付けられない。

閉包がディスクであるような S 上 G の面 f から出発し、|lk(l,K)| ≥ 2 となる S − K 上のループ l を得る。ところが、S −K 上の任意の loop は S3 −K 内可縮でないか、又は |lk(l, K)| = 1 であるから、これは不可能である。よって、定理 6.1.4が示された。

6.1.3 トンネル数 1の結び目のタングル分解定理 6.1.10 ([72], [97]). トンネル数 1の結び目は、素である。

定理 6.1.11 ([97]). トンネル数 1の結び目は、本質的コンウェイ球面を持たない。

定理 6.1.12 ([32]). トンネル数 1の結び目は、任意の nについて、本質的 n-ストリングタングル分解を持たない。

6.1.4 自由種数 1の結び目のタングル分解定理 6.1.13 ([79]). 自由種数 1の結び目は、任意の nに関して、本質的 n-ストリングタングル分解を持たない。

6.1.5 二重トーラス結び目のタングル分解定理 6.1.14 ([80]). 種数 2のヒーガード曲面上のダブルトーラス結び目の素分解球面及び本質的コンウェイ球面は、ヒーガード曲面と 1本のループで交わるようにイソトープできる。

6.2. タングル分解球面と閉曲面 65

6.1.6 本質的自由タングル分解を持つ結び目のタングル分解の一意性タングル (B, T )が自由であるとは、外部 E(T ) = B − intN(T )がハンドル体のときをいう。今、二つの自由 2-ストリングタングル (B1, T1) と (B2, T2) を貼り合わせて得られる結び目 (S3,K) =

(B1, T1)∪ (B2, T2)を考えよう。(B1, T1)と (B2, T2)の両方が自明な場合、K は 2橋結び目であり、少なくとも一方が自明な場合、K はトンネル数 1の結び目である。(B1, T1)と (B2, T2)の両方が非自明な場合は、本質的 2-ストリング自由タングル分解を持つ結び目である。

定理 6.1.15 ([77], [78]). 本質的 2-ストリング自由タングル分解を持つ結び目は、n = 2について、本質的n-ストリングタングル分解は一意的であり、n 6= 2について、本質的 n-ストリングタングル分解を持たない。

6.2 タングル分解球面と閉曲面定理 6.2.1 ([20]). 結び目の外部内に境界スロープが経線的である本質的曲面が存在するならば、本質的閉曲面が存在する。

従って、スモール結び目は本質的タングル分解を持たない。

6.3 橋位置6.3.1 橋位置における閉曲面のモース位置次の定理から、結び目の橋数の加法性、サテライト結び目とコンパニオン結び目の橋数の関係、ウエスト

及び代表性と橋数の不等式、自明な結び目の橋位置の一意性が従う。本書でのメインの一つである。S3 の標準的なモース関数を h : S3 → Rとする。F ∩ K = ∅または F ⊃ K を満たす閉曲面 F が、hに関してモース位置にあるとする。F の鞍点におい

て、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループが接するが、それらのいずれも F 上で本質的であるとき、鞍点は本質的であるという。

F t K を満たす閉曲面 F が、hに関してモース位置にあるとする。F の鞍点において、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループ l1, l2 が接している。F 上のディスク Dで、∂D = li かつ|D ∩K| ≤ 1を満たすものが存在するとき、鞍点は非本質的であるといい、非本質的でないとき鞍点は本質的であるという。

定理 6.3.1. K を橋位置にある結び目とし、F を閉曲面で F ∩ K = ∅または F t K または F ⊃ K を満たすものとする。このとき、F 及びK のイソトピーで、F が本質的モース位置にあるようにできる。

Proof. K = ∅の場合、定理 2.7.12の証明で示した通りである。F ∩ K = ∅または F ⊃ K の場合も、定理 2.7.12の証明と同様に F の鞍点が全て本質的であることを示

すことができる。今、F に非本質的な鞍点が存在したとし、最も内側の非本質的な鞍点を pとする。即ち、pで接する二つ

のループ l1と l2のうち、少なくとも一方のループ（例えば l1とする）に対して F 上のディスクDが存在して、∂D = l1 かつ intDが他の鞍点を含まないものとする。intDは鞍点を含まないので、唯一の極大点または極小点を含む。一般性を失うことなく、intDは極大点 qを含むとする。よって、Dは h−1([h(p), 1))内で、pを含むレベル球面 h−1(h(p))上のディスクD′ に平行である。このとき、二つの場合 l2 ∩ intD′ = ∅または l2 ⊂ D′が考えられる。後者の場合は、定理 2.7.12の証明と

同様に、前者の場合に帰着できる。


鞍点 pと F の極大点を繋ぐ F −K 内の単調なアーク αをとる。先ず、Bを垂直に縮めることでDをD′

の下の領域までイソトープし、Dの極大点と鞍点 pをキャンセルさせる。次に、縮めた Bを αに沿ってイソトープし、再び橋位置を復元する。

C 1

B

D

D' p

α

B p

α

D'

D

D'

D

B

F t K の場合を考えよう。F の最も内側の非本質的な鞍点 pにおいて、レベル球面との交わりで生じるループのうち、接している二つのループを l1, l2とする。一般性を失うことなく、唯一の極大点 qを含み p

以外の鞍点を含まない F 上のディスクDで、∂D = l1かつ |D ∩K| = 1を満たすものが存在するとして良い。よって、Dは h−1([h(p), 1))内で、pを含むレベル球面 h−1(h(p))上のディスク D′ に平行である。このとき、二つの場合 l2 ∩ intD′ = ∅または l2 ⊂ D′が考えられるが、定理 2.7.12の証明と同様に、後者の場合は前者の場合に帰着できる。

Dは h−1([h(p), 1))内でディスクD′に平行であるから、D ∪D′は h−1([h(p), 1))内の 3次元球体Bを張る。点D ∩K を含むK 内の単調なアーク αに対して、Bの内側から外側へ局所的に向きを付ける。もし、αが hに関して上昇なアークならば、Bの直積構造D′ × I に沿ってDからD′へ F をイソトープできる。このとき、Dの極大点と鞍点 pが解消される。もし、αが hに関して下降なアークならば、図のような操作により、上昇なアークに変形できる。

6.3.2 橋位置における結び目解消トンネル[32]と [109]により、トンネル数 1の結び目を細い位置に置くと、それは橋位置である。次の定理は、こ

のような位置においたとき、トンネルはあるレベル球面上に乗るようにできることを示している。

定理 6.3.2 ([29]). K をトンネル数 1の結び目で最小橋位置にあるとし、γ をK の結び目解消トンネルとする。このとき、γ はスライドとイソトピーで、K のあるレベル球面に乗るようにできる。

この定理 6.3.2 と森元の定理（[68]）により、小林による 2-橋結び目の結び目解消トンネルの分類定理（[54]）が従う。

2-橋結び目の 6つの結び目解消トンネル

6.3. 橋位置 67

6.3.3 極小橋分解標準的モース関数 h : S3 → R に関して、結び目 K が橋位置にあるとする。即ち、全ての極大点と

全ての極小点を分離する唯一の太いレベル球面である橋分解球面 S = h−1(0) を持つとする。このとき、B1 = h−1([0, +∞)、B2 = h−1([0,−∞)、Ti = K∩Biとおくと、Kは橋分解 (S3,K) = (B1, T1)∪S (B2, T2)を持つ。

(S3, K)の二つの橋分解 (B1, T1)∪S (B2, T2)と (B′1, T

′1)∪S′ (B′

2, T′2)が同値であるとは、一方を他方へ移

す S3 の向きを保つ同相写像が存在するときをいう。結び目K と橋分解球面 Sの交点において、局所的に極大点と極小点を一つずつ増やす変形を安定化とい

う。このとき、得られた結び目K ′ をK から安定化されているという。結び目の二つの橋分解が安定同値であるとは、有限回の安定化の後、同値であるときをいう。

S

K

定理 6.3.3 ([10], [41]). 結び目の任意の二つの橋分解は安定同値である。

定理 6.3.4により、n ≥ 2に対して、自明な結び目の n-橋分解は安定化の逆操作により局所的に橋数を減らすことができる。また、1-橋分解は一意的であるので、自明な結び目の n-橋分解は任意の nについて一意的であることが分かる。

定理 6.3.4 ([75], [42], [88]). 自明な結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。

系 6.3.5. n-橋分解を持つ結び目K が自明な結び目である為の必要十分条件は、橋分解球面と 1本のループで交わる球面でK を含むものが存在することである。

定理 6.3.4は、2-橋結び目及びトーラス結び目に拡張されている。

定理 6.3.6 ([76], [102]). 2-橋結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。

定理 6.3.7 ([90]). トーラス結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。

定理 6.3.7より、任意の nに対して、トーラス結び目の n-橋分解は一意的であることが分かる。従って、次が成り立つ。

系 6.3.8. n-橋分解を持つ結び目Kがトーラス結び目である為の必要十分条件は、橋分解球面と 2本のループで交わるトーラスでK を含むものが存在することである。

上記の定理は、鏡像を除いて、橋分解が一意的であることを示しているが、一般には勿論橋分解は一意的でない。実際、バーマン（[10]）とモンテシノス（[65]）はそれぞれ合成結び目と素な結び目で少なくとも二つの同値でない最小橋分解を持つものが存在することを示している。

定理 6.3.9 ([15]). 双曲結び目の n-橋分解は各 nに対し有限個である。

橋分解が最小ならば、安定化されていないことは明らかである。定理 6.3.4、6.3.6、6.3.7は、それぞれ自明な結び目、2-橋結び目、トーラス結び目について、逆が成り立つことを示している。


問題 6.3.10. 任意の非最小橋分解は、安定化されているか？

この問題について、最近反例を与えた。

定理 6.3.11 ([91]). 極小 4-橋分解を持つ 3-橋結び目が存在する。

6.3.4 弱可約橋分解球面とタングル分解球面結び目K の橋分解 (B+, T+) ∪F (B−, T−)が弱可約であるとは、F − K の B± − T± における圧縮ディ

スクの組D± が存在し、D+ ∩ D− = ∅を満たすときをいう。そうでない場合、強既約であるという。

定理 6.3.12 ([43], [111]). もし結び目の橋位置が弱可約ならば、安定化されているか、または結び目外部に経線的境界スロープを持つ本質的曲面が存在する。

6.3.5 ヘンペル距離と本質的曲面定理 6.3.13 ([9]). K を橋分解球面 F に関して橋位置にある結び目とし、S を E(K)に適切に埋め込まれた向き付けられた本質的曲面とする。このとき、K の F に関するヘンペル距離について、

d(K,F ) ≤ 2g(S) + |∂S|

が成り立つ。

系 6.3.14. g(K) ≥ (d(K, F ) − 1)/2が成り立つ。

系 6.3.15. d(K, F ) ≥ 3ならば、K は双曲結び目である。

6.4 モース位置6.4.1 細い位置とタングル分解トンプソンは、細い位置と本質的タングル分解との間に画期的な関係を見出した。これは、3次元多様体

論におけるシャーレマン-トンプソンの一般化されたヒーガード分解の結び目理論版と言えよう。

6.4. モース位置 69

定理 6.4.1 ([109]). 細い位置にある結び目が橋位置でなければ、本質的タングル分解球面を持つ。

ウーは最も細いレベル球面が本質的であることを示し、トンプソンの結果を拡張した。

定理 6.4.2 ([115]). 細い位置にある結び目の最も細いレベル球面は、本質的タングル分解球面である。

Proof. 一般性を失うことなく、P = h−1(0)が最も細いレベル球面であり、h−1([0,∞))内に圧縮ディスクD が存在すると仮定して良い。このとき、D は K ∩ h−1([0,∞))を二つの部分 αと β に分離する。[115,Lemma 2]または [110, Lemma 3.2]に従って、αまたは β を縮めて伸ばすことで、Dは hに関して唯一つの極大点を持つとして良い。

P は細いレベル球面であるから、一般性を失うことなく βが極小点を持つとして良い。P ′を βに関する最も細いレベル球面、即ち、β の極大点 pと極小点 qの間にある細いレベル球面であるかまたは P に平行な球面で、領域 h−1([0, h(r)])において βとの交点数が最小であるものとする。ここで、rは βの最も高い極小点である。P ′ を含む領域をそれぞれ R = h−1([h(p), h(q)])または h−1([0, h(q′)])とおく。ここで、q′

は β の最も低い極小点である。もし、α∩R = ∅ならば、|K∩P ′| < |K∩P |であり、これはP が最も細いレベル球面であることに反する。

そうでなければ、Rの上に位置する αの部分を R内へ垂直にイソトープする。この結果、w(K ′) < w(K)（かつ trunk(K ′) ≤ trunk(K)）となる。ここで、ftはこのイソトピーで、K ′ = f1(K)である。これは、K

が細い位置にあることに反する。

71

第7章ザイフェルト曲面

まず、次の定理を示す。

定理 7.0.3. 結び目 K の任意の二つのザイフェルト曲面 F と F ′ に対して、ザイフェルト曲面の列 F =F0, F1, . . . , Fn = F ′ で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存在する。

この定理を示すために、次の定義をする。S と T を向き付けられた曲面で、横断的に交わるとする。このとき、S ∩ T の近傍において、図のように変形して得られる曲面を二重曲線和といい、S + T で表す。

S

T

S+T

補題 7.0.4 ([100, Lemma 2 (b)]). 向き付けられた曲面 S と T に対して、もし |S ∩ T | > 0ならば、S + T

のただ一つの成分を除く全ての成分 C に対して、|S ∩ C| < |S ∩ T |かつ |C ∩ T | < |S ∩ T |が成り立つ。

Proof. S + T を図のようにずらしておく。

S

T

S+T

このとき、|S ∩ (S + T )| = |S ∩ T |かつ |(S + T )∩ T | = |S ∩ T |が成り立つ。また、S + T のある成分 C

に対して、|S ∩ C| = |S ∩ T |が成り立つ為の必要十分条件は、|C ∩ T | = |S ∩ T |が成り立つことである。この二つの観察から、補題の結論を満たさないような S + T の成分はただ一つであり、それを除く成分

に対しては補題の結論が成り立つ。

72 第 7章ザイフェルト曲面

補題 7.0.5 ([100, Lemma 3]). S と T をザイフェルト曲面とする。このとき、二重曲線和 S + T は二つのザイフェルト曲面を含む。

Proof. S と T の境界は結び目K である。S + T の成分は、K を境界に持つものと、いくつかの閉曲面から成る。もし、K を境界に持つ成分が二つならば、それらはザイフェルト曲面である。もし、K を境界に持つ成分が一つしかないならば、S と T が向き付けられていることから、その成分と

K を合わせると、向き付け不可能な閉曲面が得られる。しかし、系 2.7.14より、S3は向き付け不可能な閉曲面を含まないので、矛盾である。

補題 7.0.4と補題 7.0.5を用いて、定理 7.0.3を示す。

Proof. F と F ′ を結び目K のザイフェルト曲面とする。ザイフェルト曲面の内部における交わりについて、|F ∩ F ′| = 0ならば、列を F = F0, F1 = F ′ とすれ

ば良い。|F ∩ F ′| > 0 の場合を考える。補題 7.0.5 により、S + T は二つのザイフェルト曲面の成分、C0, C1

を含む。補題 7.0.4 により、C0, C1 の少なくとも一方、例えば C0 に対して、|F ∩ C0| < |F ∩ F ′| かつ|C0 ∩F ′| < |F ∩F ′|が成り立つ。このとき、列 F = F0, C0 = F1, F ′ = F2を得るが、隣接するザイフェルト曲面の交わりの数は、|F ∩F ′|から |F ∩C0|及び |C0 ∩F ′|へ減っている。従って、この操作を繰り返すことで、最終的には、隣接するザイフェルト曲面の交わりの数が 0であるような列 F = F0, F1, . . . , Fn = F ′

を得る。

定理 7.0.6 ([49]). 結び目K の任意の二つの圧縮不可能ザイフェルト曲面 F と F ′に対して、圧縮不可能ザイフェルト曲面の列 F = F0, F1, . . . , Fn = F ′で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fiは Fi−1と内部で交わらないものが存在する。

定義 7.0.7 (絡み数). K を向き付けられた結び目とし、C を K と交わらない向き付けられたループとする。このとき、K と C との絡み数 lk(K,C)を次のように定義する。F を K のザイフェルト曲面とする。F はK から誘導される向きを持つとする。C が F と横断的に交わるようにイソトープする。C と F との代数的交点数を lk(K,C)と定義する。

定理 7.0.8. 絡み数は、ザイフェルト曲面の取り方に依らない。

Proof. F と F ′をKのザイフェルト曲面とする。定理 7.0.3より、F ∩F ′ = Kと仮定して良い。このとき、F ∪F ′は S3内の閉曲面であるから、系 2.7.14より S3を二つの部分多様体 V1と V2に分ける。従って、F ′

の向きを逆にして得られる向き付けられた閉曲面 F ∪ F ′ と C との代数的交点数は 0である。即ち、F による絡み数 lkF (K,C)と F ′ による絡み数 lkF ′(K,C)の差は 0であるから、lkF (K, C) = lkF ′(K, C)を得る。

注 7.0.9. C がK のザイフェルト曲面 F 上のループのとき、F の +方向に押し出すことで F ∩ C = ∅とできるので、lk(K,C) = 0である。

定義 7.0.10. F と S を結び目K のザイフェルト曲面で、横断的に交わるとする。x0を F − (F ∩ S)のある領域成分内の点とし、X0 から F − (F ∩ S)の各領域の点 yへ向けた F 上のアークと S との代数的交点数をポテンシャルといい、p(y)とおく。この p(y)は、矛盾無く定義される。なぜなら、x0 から yへの二つのアーク αと β を取るとき、ループ

α ∪ β は F 上にあるので、lk(K,α ∪ β) = 0である。従って、p(y)はアークの選び方によらずに決まる。F の S に対する可変性とは、全ての領域の点 y, z に対して、|p(y) − p(z)| の最大値である（[98, 3.1

Definition]）。これは、x0 の選び方によらない。

73

補題 7.0.11 ([98, 3.2 Lemma (b)]). F の S に対する可変性を kとするとき、S ＋ kF は F と交わらないようにイソトープできる。

Proof. C0と Ck を、それぞれ最も低いポテンシャルと最も高いポテンシャルを持つ F − (F ∩ S)の領域とする。F の正則近傍N(F )を、F × [−1, 1]とみなす。このとき、C0の S + F における像を F × [−1, 1]の片側へ、Ck の S + F における像を F × [−1, 1]のもう一方の側へイソトープすることで、S + F の S に関する可変性は k − 1となる。

これを k回繰り返すと、可変性は 0となるので、S + kF と F は内部で交わらない。

補題 7.0.12 ([100, Lemma 2 (a), Lemma 3]). S と T が向き付けられた曲面のとき、オイラー標数について、χ(S + T ) = χ(S) + χ(T )が成り立つ。また、S と T が圧縮不可能ザイフェルト曲面のとき、S + T は二つのザイフェルト曲面 C0 と C1 を含み、χ(C0) + χ(C1) ≥ χ(S) + χ(T )が成り立つ。

Proof. まず、二重曲線和 S + T については、S ∩ T のループの近傍との交わりである二つのアニュラスを元と異なるように付け替えただけであるから、オイラー標数は変わらない。

Sと T を圧縮不可能ザイフェルト曲面とする。イソトピーの下で |S ∩ T |を最小にすると、定理 2.7.10より、S ∩ T の各ループは S 及び T で本質的である。

S + T の成分を、C0, C1, . . . , Cnとする。ここで、C0はN(∂S; S)を含む成分であり、C1はN(∂F ; F )を含む成分とする。補題 7.0.5より、C0 と C1 は各々ザイフェルト曲面であり、C2, . . . , Cn は閉曲面である。

S ∩ T の各ループは S 及び T で本質的であるから、C2, . . . , Cn に 2 次元球面は現れない。従って、χ(Ci) ≤ 0 (i = 2, . . . , n)であるから、

χ(C0) + χ(C1) ≥ χ(C0) + χ(C1) + · · · + χ(Cn) = χ(S + T ) = χ(S) + χ(T )

が成り立つ。


定理 7.0.13 ([100, Proposition 5]). Sと T が結び目Kの最小種数ザイフェルト曲面ならば、最小種数ザイフェルト曲面の系列 S = S0, S1, . . . , Sn = T で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、|Si ∩ Si−1| = 0が成り立つ。

Proof. 最小種数ザイフェルト曲面の系列 S = S0, S1, . . . , Sn = T を考える。ここで、Si ∩ Si−1 6= ∅であっても良い。例えば、S, T という系列を取れる。ri = |Si ∩ Si−1|とおく。r = max{ri}とし、ri = rを満たす i (1 ≤ i ≤ n)の数を sとおく。以下で、もし r ≥ 1ならば、(r, s)に関する辞書式順序でより小さい系列を作ることができることを示す。最終的に、r = 0を得る。

r ≥ 1と仮定し、ri = rを満たす iを選ぶ。このとき、|Si−1∩Si| = rである。補題 7.0.12により、Si−1+Si

の二つのザイフェルト曲面の成分 C0, C1 が存在して、

g(C0) + g(C1) ≤ g(Si−1) + g(Si)

を満たす。Si−1と Siは最小種数であるから、C0と C1も最小種数である。更に、補題 7.0.4により、C0とC1 のいずれか一方、例えば C0、に対して、

|C0 ∩ Si−1| < r, |C0 ∩ Si| < r

が成り立つ。このとき、系列 S0, S1, . . . , Si−1, C0, Si, . . . , Snは rに関して小さい値を持つか、または、rに関して同じ値を持つが sに関して低い値を持つ。いずれの場合も、辞書式順序 (r, s)を減らすような系列を得る。

定理 7.0.14 ([100, Proposition 6]). 結び目K の任意のザイフェルト曲面 S に対して、ザイフェルト曲面の系列 S = S0, . . . , Snで、Snは最小種数であり、g(Si) < g(Si−1)及び Si−1 ∩ Si = ∅を満たすものが存在する。

Proof. もし S が最小種数でなければ、より種数の小さいザイフェルト曲面で、S と交わらないものが存在することを示せば十分である。もし S が圧縮可能ならば、直ちにこれは従う。もし Sが圧縮不可能ならば、T をKの最小種数ザイフェルト曲面とし、S∩T を最小にする。kを、T +kS

が Sと交わらないように大きく取る（補題 7.0.11）。補題 7.0.5の証明と同様に、T +kSは少なくとも (k+1)個のザイフェルト曲面の成分 C0, . . . , Ck を持ち、

Σχ(Ci) ≥ χ(T ) + kχ(S) ≥ (k + 1)χ(S)

が成り立つ。故に、少なくとも一つの成分 Ci に対して、χ(Ci) > χ(S)が成り立つ。

7.1 自由ザイフェルト曲面K を S3内の結び目、F をK のザイフェルト曲面とする。F が自由であるとは、π1(S3 −F )が自由群の

ときをいう。これは、S3 − intN(F )がハンドル体であることと同値である。Hatcherと Thurstonは 2橋結び目補空間内の圧縮不可能曲面を分類した ([39])。この結果により、2橋

結び目に関しては任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面が自由であることが得られる。ところが、自由圧縮不可能ザイフェルト曲面と、非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面を共に張る結び目が存在する ([103], [60])。更に、非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面のみしか張らない結び目が存在することが知られている ([59],[53])。

Giffen と Siebenmann は次の問題を提起した。

問題 7.1.1 ([51, Problem 1.20 (B)]). どの結び目が自由圧縮不可能ザイフェルト曲面を張るか？

7.2. 種数の加法性 75

定理 5.2.2により、次が成り立つ。

系 7.1.2. 経線的結び目の任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面は自由である。

結び目K の全ての自由ザイフェルト曲面のの中で最小の種数を自由種数といい、gf (K) で表す。一般にgf (K) ≥ g(K) であるが、上で述べたように、非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面のみしか張らない結び目が存在するので、一般に等号は成立しない。

系 7.1.3. 任意の経線的結び目K に対して、g(K) = gf (K)が成り立つ。

[66] や [53] などでは等号が成立しない例が挙げられているが、それらの結び目は winding number が 0のサテライト結び目という共通点を持っている。そこで、結び目補空間内の圧縮不可能閉曲面と結び目との絡み具合が関係していると推測して、次の定義を考えた。

S を S3 − K 内の閉曲面とする。i : S → S3 − K を包含写像とし、i∗ : H1(S) → H1(S3 − K) をその誘導された準同型写像とする。Im(i∗)はH1(S3 −K) = Z〈meridian〉の部分群であるから、整数mが存在して Im(i∗) = mZを満たす。このとき、S の位数 o(S; K)をmで定義する ([81])。

定理 7.1.4 ([81]). 次は同値である。

1. K の非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面 F が存在する。

2. 位数 0の圧縮不可能閉曲面 S が S3 − K に存在する。

この結果から、S3 − K 内の全ての圧縮不可能閉曲面の位数が 0でなければ、K の任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面は自由であることが分かる。しかしながら、S3 −K 内の圧縮不可能閉曲面の位数が具体的に分かっている結び目のクラスとしては、前述の経線的結び目のみしか知られておらず、それらの結び目が非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面を張り得ないことは、定理 5.2.2を使えば容易に得られる。そこで、定理 7.1.4を有効に利用出来る結び目のクラスを探すことにした。

7.2 種数の加法性系 7.2.1. 結び目の種数は連結和に関して加法的である。即ち、g(K1#K2) = g(K1) + g(K2)が成り立つ。

7.3 チェッカーボード曲面定理 7.3.1 ([5], [63], [83]). K を交代結び目または分離不可能な絡み目、K をK の既約かつ素な交代正則表示とする。このとき、K から得られるチェッカーボード曲面は本質的である。

Proof. F を K から得られる二つのチェッカーボード曲面のうちの一つとする。F は必ずしも向き付け可能であるとは限らないことに注意する。実際、K が結び目の場合は、K から得られる二つのチェッカーボード曲面のうち少なくとも一つは向き付け不可能である。

F が本質的であることを示す為には、∂N(F ) ∩ E(K)が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることを示せば良い。先ず、∂N(F )∩E(K)が圧縮可能だと仮定して、Dを圧縮ディスクとする。正則表示 K を含む 2次元球

面 S2 から、N(F )を除いたディスク領域を、R = R1 ∪ · · · ∪ Rn とおく。Dのイソトピー及び取り換えの下で、|D ∩ R|を最小にとる。αをD ∩ Rに関してD上の最も外側のアークとし、δを対応するD上の最も外側のディスクとする。β = ∂δ − intαとおく。このとき、K の交代性より、ループ ∂δ = α ∪ β は、図のようになる。


�À �¿�À

�¿�Â

D F

B

Bi

j

これは、K が素であることに反する。次に、∂N(F )∩E(K)が境界圧縮可能だと仮定する。∂N(F )∩E(K)は圧縮不可能であるから、定理 4.4.6

より、∂N(F )∩E(K)は境界平行なアニュラスである。従って、∂N(F )はトーラスであり、N(F )はソリッドトーラスであるので、F はアニュラスか又はメビウスの帯である。K は既約であるから、F がアニュラスか又はメビウスの帯である為には、K は (2, n)-トーラス結び目または絡み目の n交点の正則表示でなければならない。また、K の既約性より、|n| ≥ 2である。故に、∂N(F )∩E(K)は本質的であるが、これは仮定に矛盾する。

7.4 ディスク分解可能ザイフェルト曲面定理 7.4.1 ([100],[49]). 任意の二つの最小種数ザイフェルト曲面 F と S に対して、最小種数ザイフェルト曲面の列 F = F0, F1, . . . , Fn = S で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存在する。

定理 7.4.2 ([100]). 任意のザイフェルト曲面 F に対して、ザイフェルト曲面の列 F = F0, F1, . . . , Fn = S

で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらず、g(Fi−1) > g(Fi)を満たすものが存在する。

定理 7.4.3 ([25]). ザイフェルト曲面がディスク分解可能ならば、最小種数である。

7.4.1 交代結び目の標準的ザイフェルト曲面定理 7.4.4 ([26]). 非分離的交代絡み目の標準的ザイフェルト曲面はディスク分解可能である。従って、最小種数である。

7.5 村杉和F を絡み目K を境界とする曲面とする。S3を二つの 3次元球体B1, B2に分解する球面 Sで、F ∩ Sが

一枚のディスクであるものが存在したとする。i = 1, 2について、Fi = F ∩Biとおく。このとき、F は F1

と F2に村杉分解されたといい、F = F1 ∗ F2と表す。逆に、F は F1と F2からディスク F ∩ Sに沿って村杉和で得られたという。

7.5. 村杉和 77

7.5.1 ファイバーザイフェルト曲面と最小種数ザイフェルト曲面結び目K のザイフェルト曲面 F がファイバーザイフェルト曲面であるとは、E(K)− intN(F )が F × I

と同相であるときをいう。ファイバーザイフェルト曲面を持つ結び目をファイバー結び目という。

定理 7.5.1. ファイバー結び目は唯一の圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つ。特に、ファイバーザイフェルト曲面は一意的である。

Proof. F をファイバー結び目Kのファイバーザイフェルト曲面とし、F ′をKの任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面とする。F ′のイソトピーにより、N(K)内においては、F ∩F ′ = Kと仮定して良い。F ∩E(K)及びF ′∩E(K)を、それぞれ同じ記号F 及びF ′で表す。E(K)− intN(F ) = F ×Iのモース関数を h : F ×I → I

とする。定理 2.5.2より、F ′は hに関してモース位置にあるとして良い。F ′のイソトピーの下で、F ′の極大点及び鞍点の個数を最小にとる。定理 2.7.12と同様の議論により、F ′の鞍点は本質的であるとして良い。また、F ′の圧縮不可能性、及び

F ′の極大点及び鞍点の個数の最小性により、F ′は極大点及び極小点を持たないか、又は、F に平行であることが従う（[84, Lemma 3.2]）。従って、F ∩ F ′ = ∅の場合、F ′ は F に平行であるから、圧縮不可能ザイフェルト曲面は一意的であり、

ファイバー曲面 F にイソトピックである。F ∩ F ′ 6= ∅の場合、F ′ ∩ (F × I)の各成分（で ∂F ′ を含まないもの）は極大点及び極小点を持たないこ

とから、F × {0}と F × {1}を繋ぐものに限る。よって、F ′ 上のループ C で、C と F との代数的交点数が 0でないものが存在する。一方、C は F ′ 上のループであるから、C のイソトピーで C ∩ F ′ = ∅とできるので、C と F ′との代数的交点数は 0である。従って、lkF (K, C) 6= 0及び lkF ′(K, C) = 0となり、定理7.0.8に矛盾する。

ガバイは、村杉和が自然な幾何的操作であることを示した。

定理 7.5.2 ([24]). F = F1 ∗ F2 をザイフェルト曲面とする。

1. F1 と F2 が圧縮不可能ならば、F は圧縮不可能である。

2. F1 と F2 が最小種数ならば、F は最小種数である。

3. F1 と F2 がファイバーならば、F はファイバーである。

7.5.2 ステイト曲面ガバイの定理は向き付け不可能曲面に拡張されている。

定理 7.5.3 ([87]). もし、F1 と F2 が本質的ならば、F = F1 ∗ F2 も本質的である。

Proof. 補間曲面 F = F ×∂I が本質的であることを示す。[83, Claim 9]により、F、F1及び F2は、それぞれ F ×I、F1×I 及び F2×I 内で圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることに注意する。

Cを、F ×I の外側での F に対する圧縮ディスクとする。E = S − int(F ∩S)とおく。CとEは一般の位置にあるとして良く、C ∩Eの成分数は全ての圧縮ディスク C の下で最小であるとする。もし、C ∩E = ∅ならば、C は F1 又は F2 の圧縮ディスクである。そうでなければ、C ∩ E はアーク α1, . . . , αp から成り、δ1, . . . , δqをC上のα1∪· · ·∪αpによって分離されたディスクとする。各アークαkに対して、∂αk = a+

k ∪a−k

とおく。部分アークN(a±k ; ∂C)はディスク F ∩ S及び F − S上を走る。このとき、F ∩ Sから F − Sへ走

るように a±k に矢印を付ける。図 7.1を見よ。


S

B

B

ak+

ak

+k

N(a ;k+ �Ý ak

-

dl

a

C)

1

2 C

F

ka

dlCE

図 7.1: a±k の矢印と、αk によって誘導された向き

主張 7.5.4. 最も外側のアーク αk 及び相当する最も外側のディスク δl に対して、a±k における両方の矢印

は δl の外側へ向かう。（図 7.1の右側のように。）

Proof. 一般性を失うことなく、δl ⊂ B1 と仮定して良い。先ず、a±

k における両方の矢印が δlの内側へ向かうと仮定する。（図 7.2を見よ。）F ∩S上で a+k と a−

k を繋ぐアーク α′

k が存在し、ループ αk ∪ α′k は B2内でディスク δ′l を張る。このとき、C ∩Eの成分数は最小

であると仮定したので、B2 へ向けて拡張されたディスク δl ∪ δ′l は F1 の圧縮ディスクである。次に、a±

k における一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が δl の外側へ向かうと仮定する。（図 7.3を見よ。）同様に、F ∩ S 上で a+

k と a−k を繋ぐアーク α′

k が存在し、ループ αk ∪ α′k は B2内でディ

スク δ′l を張る。このとき、C ∩Eの成分数は最小であると仮定したので、B2へ向けて拡張されたディスクδl ∪ δ′l は F1 の境界圧縮ディスクである。いずれの場合も、矛盾を得る。

S kα

kα '

+ak ak-

B

B

1

2

図 7.2: a±k における両方の矢印が δl の内側へ向かう

C 上のグラフ Gを次のように構成する。各部分ディスク δl を頂点 vl に対応させ、もし二つの相当する部分ディスクが C ∩Eの共通のアーク αk を持つならば、二つの頂点を辺 ek で繋ぐ。任意のアーク αk は δ

を分離するので、Gは木であることに注意する。主張 7.5.4により、最も外側のアークの端点における両方

7.5. 村杉和 79

S kα

kα '

+ak ak-

B

B

1

2

図 7.3: a±k における一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が δl の外側へ向かう

のアークは相当する最も外側のディスクから外側へ向かうので、相当する最も外側の辺に向きを自然に付けることができる。ek のこの向きを、αk によって誘導された向きと呼ぶ。図 7.1を見よ。

Gの頂点が深さ xを持つとは、xより少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、それが次数 1又は 0になるときをいう。ここで、xは自然数である。最も外側の部分ディスクに相当する頂点は、深さ 1であると定める。図 7.4において、各頂点の深さが図示されている。

1

2

3

4

1

3

21 1

C G

図 7.4: C 上の C ∩ E と、相当するグラフ G

主張 7.5.5. Gの任意の辺は誘導された向きを持ち、全ての頂点は外側へ向かう向きを持つ辺を持つ。

Proof. vlの深さに関する帰納法で証明する。深さ 1の場合、主張 7.5.4で示している。次に、主張 7.5.5がxより少ない深さを持つ頂点について成り立つと仮定し、vlが深さ xを持つとする。N<x(vl)を、vlに隣接する頂点で xより少ない深さを持つものから成る集合とする。Gはサイクルを持たないので、N<x(vl)における任意の頂点は、vl へ向かう向きを持つ辺を持つ。一般性を失うことなく、δl ⊂ B1 と仮定する。

vlが、xより少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、次数 0になる場合、δlの B2へ向けて拡張されたディスク δ′l は F1 の圧縮ディスクである。

vl が、xより少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、次数 0になる場合、vl を N<x(vl)以外の頂点へ繋ぐ辺を ek とし、αk を相当するアークとする。先ず、a±

k における両方の矢印が δlの内側へ向かうと仮定する。このとき、δlのB2へ向けて拡張されたディスク δ′lは F1の圧縮ディスクである。次に、a±

k にお


ける一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が外側へ向かうと仮定する。このとき、δl の B2 へ向けて拡張されたディスク δ′l は F1 の境界圧縮ディスクである。いずれの場合も、矛盾を得る。故に、ekは αkによって誘導された向きを持ち、vlは外側へ向かう向きを

持つ辺を持つ。

Gは木であるから、主張 7.5.5は矛盾を導く。故に、F は圧縮不可能である。初等的な切り貼り論法により、K は非分離的であることが分かる。もし、F が境界圧縮可能ならば、定理 4.4.6により、それは境界平行なアニュラスである。従って、F は非本質的なアニュラスまたはメビウスの帯であり、F1 と F2 のいずれか一方は非本質的なアニュラスまたはメビウスの帯でなければならない。これは、F1 と F2 が本質的であることに反する。

定理 7.4.4より、交代正則表示から得られる標準的ザイフェルト曲面は最小種数であるから、定理 7.5.2より、それらの村杉和で得られる標準的ザイフェルト曲面も最小種数であることが分かる。

定理 7.5.6 ([17]). K を等質結び目、DをK の等質正則表示とする。Dから得られる標準的ザイフェルト曲面は最小種数である。

定理 7.5.7 ([87]). Dを結び目K の正則表示とする。もし、あるステイト σに関して、Dが σ-充足かつ σ-等質ならば、σ-ステイト曲面 Fσ は本質的である。

Proof. 正則表示Dがあるステイト σに関して、σ-充足かつ σ-等質であると仮定する。このとき、σ-ステイトグラフGσは、ループを持たず、各ブロックの全ての辺が同じ符号を持つ、極大なブロックG1, . . . , Gnに分解される。F1, . . . , Fnを、G1, . . . , Gnに対応する σ-ステイト曲面とする。このとき、各 iに関して、Gi

はループを持たず、ブロック分解は極大であるから、境界 ∂Fi は既約かつ素な交代正則表示を表す。定理7.3.1より、各 iに関して Fi は本質的であり、定理 7.5.3より、F も本質的である。

7.5.3 垣水複体2.7.6 曲面複体において、最小種数ザイフェルト曲面のみを対象とした部分複体を、垣水複体という。垣

水複体は、[49]において導入された。

定理 7.5.8 ([100], [49]). 垣水複体は連結である。

任意のループを連続的に 1点に収縮できるような弧状連結空間を、単連結という。言い換えると、基本群が自明な空間である。

定理 7.5.9 ([105]). 垣水複体は単連結である。

1点とホモトピー同値な空間を可縮という。可縮ならば、単連結である。

定理 7.5.10 ([93]). 垣水複体は可縮である。

7.5.4 結び目解消操作とザイフェルト曲面定義 7.5.11. 非分離的絡み目K のザイフェルト曲面 F が緊張であるとは、F が圧縮不可能であり、かつ、F にホモロガスな曲面の内で、F が最大のオイラー標数を持つときをいう。

Dを交差ディスクで、S3−D−Kが既約なものとする。L = ∂D、M = S3−N(K)∪N(L)、T0 = ∂N(L)とおく。F をK の緊張ザイフェルト曲面で、F ∩ L = ∅を満たすものとする。K+ を L上 +1手術して得られる絡み目とする。このとき、F から得られる S はK+ のザイフェルト曲面になる。

7.5. 村杉和 81

定理 7.5.12 ([27]). L上デーン手術してK から得られる全ての絡み目の中で、高々一つに対して、分離球面が存在するか、または、S より大きいオイラー標数のザイフェルト曲面が存在する。

よって、

定理 7.5.13 ([99]). K と K+ の少なくとも一つは、非分離的絡み目で、F (resp. S)はその緊張ザイフェルト曲面である。

系 7.5.14 (（Scharlemann - Thompson）). 自明な結び目を交差交換して、自明な結び目が得られたとする。このとき、その交差は無効である。

Proof. K を自明な結び目、DをK の交差ディスク、F をK の緊張ザイフェルト曲面で、F ∩ L = ∅を満たすものとする。F ∩ D = αが単一のアークとなるようにとっておく。もし F がディスクならば、Dとの交わりがアーク αであるから、交差は無効である。F がディスクでないならば、F はK の緊張ザイフェルト曲面でない。上の定理より、F はK+の緊張ザ

イフェルト曲面となる。従って、K+ は自明な結び目である。

プレッツェル結び目 (3,±1,−3)の例などがあるので、次の問題では有向結び目を考える。

問題 7.5.15 (Problem 1.58（X.-S. Lin）). K から交差交換をしてK ′が得られたとする。もしK ∼= K ′ならば、その交差は無効である。

定理 7.5.16 ([112]). 2橋結び目については正しい。

定理 7.5.17 ([50]). ファイバー結び目については正しい。

コンウェイ 3つ組

∇+(z) −∇−(z) = z∇0(z)より、deg∇+(z), deg∇−(z), degz∇0(z)を大きい順に並べたとき、

d1 = d2 ≥ d3

となる。

定理 7.5.18 ([101]). χ(L+), χ(L−), χ(L0) − 1を小さい順に並べたとき、

χ1 = χ2 ≤ χ3

となる。


定理 7.5.19 ([101]). χ(L+) = χ(L0) − 1 < χ(L−)のとき、L+ と L0 の緊張ザイフェルト曲面 S′ と S で、S′ は S にホップバンドをプランビングして得られるものが存在する。

7.5.5 ハーラー予想の解決次の定理はハーラー予想（[35]）の解決を与えた。

定理 7.5.20 ([28]). 任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプランビングの系列により得られる。

7.5.6 最小ノルム曲面とスケイン木定義 7.5.21. 絡み目 Lのザイフェルト曲面とは、向き付けられた曲面 F で、閉じた成分を持たず、∂F = L

を満たすものである。ここでは、χ(L)を、Lの緊張ザイフェルト曲面 F に対して −χ(F )と定義する。

定義 7.5.22. 三つの向き付けられた絡み目 L+, L−, L0がコンウェイ変形（スケイン変形）によって関連するとは、図のような 3次元球体の外側では、同一であるときをいう。

定義 7.5.23. 任意の絡み目はスケイン変形の系列により、自明な絡み目にできる。この系列に関連した二分木を、スケイン木と呼ぶ。絡み目 Lのスケイン木 T に対して、Lに対応する一つの根 λと、自明な絡み目に対応する葉 {εi}がある。葉の幅 w(εi)を、その葉に対応する自明な絡み目の成分数として定義し、高さ h(εi)を λから εi への道の長さと定義する。T の高さ h(T )を max{h(εi)}と定義し、Lの高さ h(L)をmin{h(T )}と定義する。

7.5. 村杉和 83

定義 7.5.24. L = L+(−)をスケイン木 T の頂点とし、L−(+)と L0を L+(−)からコンウェイ変形で得られる絡み目とする。このとき、L−(+) を L+(−) の左枝、L0 を右枝という。

定義 7.5.25. Sを絡み目 Lのザイフェルト曲面とし、αを Sに適切に埋め込まれたアークとする。L′が L

から αに沿ったねじりで得られるとは、Lと L′が図 a)のような関係にあるときをいう。また、L′が Lから αに沿ってねじれたバンドを付けて得られるとは、図 b)のような関係にあるときをいう。

定理 7.5.26 ([107]). Lを非分離的な絡み目とする。このとき、三つ組の系列 (L0, S0, α0) → (L1, S1, α1) →· · · → (Lm−1, Sm−1, αm−1) → Lm = Lが存在して、次を満たす。

1. L0 は自明な結び目である。

2. m ≤ h(L)

3. Si は Li の緊張ザイフェルト曲面である（i = 0, . . . ,m − 1）。

4. αi は Si に適切に埋め込まれたアークである。

5. Li+1 は Li から αに沿ったねじりか αに沿ってねじれたバンドを付けて得られる。

Proof. T を Lの高さ h(L)のスケイン木とする。T において、Lから T の葉への道 pを次のように選ぶ。L+(−) を T の頂点で、左枝 L−(+) と右枝 L0 を持つとする。もし χ(L−(+)) ≥ χ(L+(−))ならば、L+(−) をL−(+)に繋ぐ。そうでなければ、L+(−)を L0に繋ぐ。Lから始めて、この規則に従い、道 pを構成する。p

上にある絡み目に、T の葉から Lまで、ラベル 0からmを付ける。m ≤ h(L)に注意する。


Li が Li+1 の右枝であると仮定する。このとき、χ(Li+1 の左枝 ) < χ(Li+1)である。[101, Proposition3.1]より、Li の緊張ザイフェルト曲面と Si に適切に埋め込まれたアーク αi が存在して、Li+1 は Li からαi に沿ってねじれたバンドを付けて得られる。

Liが Li+1 の左枝であると仮定する。このとき、χ(Li) ≥ χ(Li+1)である。[101, Theorem 1.4]の議論より、Li の緊張ザイフェルト曲面と Si に適切に埋め込まれたアーク αi が存在して、Li+1 は Li から αi に沿ったねじりで得られる。残りは、L0 が、j > 1成分を持つ自明な絡み目ではなく、自明な結び目であることを示すことである。

主張 7.5.27. Lを分離的な絡み目とする。もし、S が Lの緊張ザイフェルト曲面ならば、S ∩ F = ∅を満たす分離球面 F を見付けることができる。

Proof. S ∩ F の成分数を最小にするように F を選ぶ。もし、S ∩ F 6= ∅ならば、最も内側のディスクについての議論により、S が圧縮可能となる。しかし、これは S が緊張でないことを意味する。

この主張より、もし Liが分離的ならば、Li+1も分離的である（i = 0, . . . , m− 1）。Lは非分離的な絡み目を選んだから、L0 も非分離であり、よって L0 は自明な結び目である。

7.6 ザイフェルト曲面と閉曲面定理 7.6.1 ([81]). 結び目K が非自由な圧縮不可能ザイフェルト曲面 F を持つ為の必要十分条件は、結び目補空間 S3 − K 内に位数 0の圧縮不可能閉曲面 S が存在することである。

定理 7.6.2 ([114]). 結び目 K に対して、有限個の圧縮不可能ザイフェルト曲面 {S1, . . . , Sn} と有限個の閉圧縮不可能閉曲面 {Q1, . . . , Qn} が存在して、任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面 S はハーケン和S = Si + a1Q1 + · · · + amQm (a1, . . . , am ≥ 0)として表される。

系 7.6.3 ([114]). 結び目が無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つならば、結び目補空間内に圧縮不可能閉曲面が存在する。

従って、スモール結び目の圧縮不可能ザイフェルト曲面は有限個である。

系 7.6.4. 結び目Kに対して、無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面 F1, F2, F3, . . .で、g(F1) =g(F2) = g(F3) = · · · を満たすものが存在するならば、結び目補空間 S3 − K 内に圧縮不可能トーラスが存在する。即ち、K はサテライト結び目である。

系 7.6.5. 結び目 K に対して、無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面 F1, F2, . . .で、g(F1) <

g(F2) < g(F3) < · · · を満たすものが存在するならば、結び目補空間 S3 − K 内に種数 2以上の圧縮不可能曲面が存在する。

定理 7.6.6 ([48]). 非ファイバー結び目の二重化結び目は、無限に多くの圧縮不可能ザイフェルト曲面をもつ。

図のようなトーラス体 V0と結び目 J の組 (V0, J)を、ある結び目K に沿って埋め込んで得られる結び目を、Kの二重化結び目という。即ち、f(l0)がN(K)のロンジチュードとなるような埋め込み f : V0 → N(K)に対して、f(J)をK の二重化結び目という。

7.6. ザイフェルト曲面と閉曲面 85

二重化結び目に対して、次のように、分岐曲面を構成する。定理 2.9.1と定理 2.9.2により、無限に多くの圧縮不可能ザイフェルト曲面を得る。


定理 7.6.7 ([92]). プレッツェル結び目 P (5, 5, 5, 5, 5)は、無限に多くの圧縮不可能ザイフェルト曲面をもつ。

定理 7.6.7の場合、g(S0) < g(S1) < · · · なので、結び目補空間 S3 −K 内に種数 2以上の圧縮不可能曲面が存在する。実際、タングル分解球面をチュービングして得られる種数 2の圧縮不可能閉曲面が存在する。

7.6. ザイフェルト曲面と閉曲面 87

実際、これらのザイフェルト曲面は、S0 と種数 2 の圧縮不可能閉曲面のハーケン和によって得られる（[67]）。

89

第8章巻き付き曲面

8.1 h-種数とトンネル数定義 8.1.1 ([69]). 任意の結び目K に対して、K を含む S3 のヒーガード曲面 F が存在する。このようなヒーガード曲面 F のうち最小の種数をK の h-種数といい、h(K)で表す。

定理 8.1.2 ([69]). t(K) ≤ h(K) ≤ t(K) + 1が成り立つ。

8.2 コイル数と橋数K を結び目とし、F をK を含む閉曲面とする。組 (F, K)の代表性を

r(F, K) = minD∈DF

|∂D ∩ K|

と定義する。ここで、DF は S3内における F の全ての圧縮ディスクからなる集合とする。F が球面で、K

が自明な結び目の場合、r(F,K) = 1と定める。結び目K の代表性を

r(K) = maxF∈F

r(F,K)

と定義する。ここで、F はK を含む全ての閉曲面からなる集合とする。自明な結び目K に対して、r(K) = 1である。非自明な結び目K に対して、圧縮不可能ザイフェルト曲

面 S が存在するので、F = ∂N(S)とおけば、r(F,K) = 2である。従って、r(K) ≥ 2が成り立つ。代表性は、橋数を下から制限する。

90 第 8章巻き付き曲面

定理 8.2.1 ([88]). 結び目K に対して、r(K) ≤ b(K)が成り立つ。

例 8.2.2. (p, q)型トーラス結び目K (0 < p < q)と、K を含む自明なトーラス F に対して、r(F, K) = p

であるので、p ≤ r(K)が成り立つ。一方、b(K) = pであるから、定理 8.2.1より、r(K) = pであることが分かる。

例 8.2.3. 2-橋結び目K に対して、2 ≤ r(K) ≤ b(K) = 2より、r(K) = 2であることが分かる。

問題 8.2.4. r(K) = b(K)を満たす結び目を特徴付けよ。

定理 8.2.5 ([89]). 代数結び目K に対して、r(K) ≤ 3が成り立つ。

定理 8.2.6 ([89]). (p, q, r)型プレッツェル結び目 K に対して、r(K) = 3であるための必要十分条件は、(p, q, r) = ±(−2, 3, 3)または ±(−2, 3, 5)である。

予想 8.2.7. 交代結び目K に対して、r(K) = 2が成り立つ。

代表性は、タングル分解と密接に関係する。

定理 8.2.8 ([88]). 結び目 K に対して r(K) = nならば、k < nに関して本質的 k-ストリングタングル分解を持たない。

系 8.2.9. 任意の合成結び目K に対して、r(K) = 2である。また、本質的コンウェイ球面を持つ結び目K

に対して、r(K) ≤ 4が成り立つ。

定理 8.2.10 ([88]). F を S3に埋め込まれた閉曲面とする。このとき、任意の nに対して、r(F,K) ≥ nを満たす結び目K が存在する。

8.3 ニューワース予想予想 8.3.1 ([71]). 任意の非自明な結び目K に対して、F ∩ E(K)が連結かつ本質的であるようなK を含む閉曲面 F が存在する。

定理 8.3.2 ([87]). もし結び目K が、ザイフェルトステイト ~σ以外のステイト σに関して、σ-充足かつ σ-等質ならば、K はニューワース予想を満たす。特に、充足結び目はニューワース予想を満たす。

注 8.3.3 ([87]). ロルフセンの結び目表（[96]）において、819, 10124, 10128, 10134, 10139, 10142

を除く全ての 10 交点の結び目は、ザイフェルトステイト ~σ と異なる正または負ステイト σ に関して、σ-充足かつ σ-等質である。また、ホステ–ティスルスウェイトの結び目表（[44]）において、K11n93, K11n95, K11n118, K11n126, K11n136, K11n169, K11n171, K11n180, K11n181を除く全ての 11交点の結び目は、ザイフェルトステイト ~σと異なる正または負ステイト σに関して、σ-充足かつ σ-等質である。更に、10134, 10142, K11n93, K11n95, K11n136, K11n169, K11n171, K11n180, K11n181は本質的向き付け不可能チェッカーボード曲面を張ることが確認できる。（III 型のライデマイスター移動が必要な場合がある。）

定理 8.3.4. Kを (p, q, r)型プレッツェル結び目 (|p|, |q|, |r| ≥ 2)とする。このとき、Kが本質的プレッツェル曲面を張るための必要十分条件は、(p, q, r) 6= ±(−2, 3, 3), ±(−2, 3, 5)を満たすことである。

注 8.3.5. (p, q, r) = ±(−2, 3, 3), ±(−2, 3, 5)のとき、K はそれぞれ±(3, 4)型及び±(3, 5)型トーラス結び目である。

8.3. ニューワース予想 91

定理 8.3.6. 10交点以下の結び目は、ニューワース予想を満たす。

Proof. 注 8.3.3より、819, 10128, 10134, 10139, 10142 を除く 10交点以下の結び目は、向き付け不可能なσ±-ステイト曲面を張る。故に、ニューワース予想を満たす。

819 は (3, 4)型トーラス結び目であるので、ニューワース予想を満たす。10128, 10134, 10139は正結び目であるので、σ+-ステイト曲面は向き付け可能であり、これらの曲面は使

うことができない。ところが、これらの結び目は、それぞれクロスキャップ数 4, 3, 2の本質的向き付け不可能曲面を張ることが観察できる。

10142も正結び目である。これは (−4, 3, 3)型プレッツェル結び目でもあり、向き付け不可能なプレッツェル曲面を張る。定理 8.3.4より、この曲面は本質的であるので、ニューワース予想を満たす。

以上で述べたニューワース予想を満たす全ての結び目は、トーラス結び目を除き、本質的向き付け不可能曲面を張ることが分かっている。このことから、以下の予想が強く期待される。

予想 8.3.7. 双曲結び目は、本質的向き付け不可能曲面を張る。

8.3.1 閉偽曲面各点の近傍が次のいずれかに同相な多面体を閉偽曲面という。

P’

P’

P’

P’’

閉偽曲面 P が向き付け可能であるとは、P − P ′ の各成分が向き付け可能のときとする。閉偽曲面 P が縦横分解 P = Pv ∪Phを持つとは、Phが P の閉部分曲面で、Pv は S3 −Phの各成分の閉

包に適切に埋め込まれた曲面のときとする。縦横分解 P = Pv ∪ Ph を持つ偽曲面の各３重点を平滑化して、結び目又は絡み目K と、縦曲面 Fv 及び

横曲面 Fhを次のように得る。このとき、K は P ′から+-平滑化によって得られ、Fv 及び Fhは P から+-平滑化によって得られたという。−-平滑化についても、同様に定義される。

Ph

Pv

PvFh

Fv

Fv閉偽曲面 P = Pv ∪ Ph の +-平滑化

S3に埋め込まれた縦横分解を持つ閉偽曲面 P = Pv ∪Phが本質的であるとは、S3 −P は既約であり、 P

は圧縮ディスク・1角形・2角形を持たず、Ph は 2次元球面成分を持たないときをいう。


1角形（monogon） 2角形（bigon）

定理 8.3.8. P = Pv ∪ Phを S3に埋め込まれた縦横分解を持つ向き付け可能な本質的閉偽曲面とする。Fv

と Fhをそれぞれ P から+-平滑化によって得られる縦曲面と横曲面とし、K を P ′から+-平滑化によって得られる結び目又は絡み目とする。このとき、Fv と Fhは E(K)内で本質的であり、K は非分離的かつ素である。更に、K が結び目の場合、∆(∂Fv, ∂Fh) = |P ′′|であり、もし Fv が向き付け可能ならば Fhは連結である。

結び目又は絡み目K が一様にねじれているとは、S3内に埋め込まれた縦横分解を持つ向き付け可能な本質的閉偽曲面 P = Pv ∪ Ph から +又は −-平滑化によって P ′ から得られるときをいう。定理 8.3.8において、もし Fv が向き付け不可能ならば、K は ∂N(Fv)上非分離的に乗せることができる。従って、次の系を得る。

系 8.3.9. 一様にねじれている結び目は Neuwirth conjectureを満たす。

Proof. Fhまたは Fv の圧縮ディスクDにおける、D ∩ (Fv ∪Fh)に関する最も外側のディスク δの境界は、閉偽曲面の P の 2角形（bigon）を与える。

以降、K を結び目と仮定する。各 3重点において +-平滑化をしているので、min |∂Fv ∩ ∂Fh| = 2|P ′′|であり、|∂Fh| = 2であるから、

∆(∂Fv, ∂Fh) = |P ′′|が成り立つ。

8.3. ニューワース予想 93

∂Fv と ∂Fh の交点

Fv が向き付け可能と仮定すると、K は Fv の向きによって向き付けすることができる。これにより、Fh

が連結であることが分かる。

Fv によって誘導されたK の向き

例 8.3.10. S3 に埋め込まれた S2 上に 2-連結グラフ Gを用意する。このとき、閉曲面 Ph = ∂N(G)が得られる。

2-連結グラフ G 閉曲面 Ph

閉曲面 Phの補空間にあるディスクを合わせることで、縦横分解 P = Pv ∪Phを持つ閉偽曲面 P を得る。閉偽曲面 P から +-平滑化により、一様にねじれている結び目K が得られる。


閉偽曲面 P 一様にねじれている結び目K

一様にねじれている結び目及び絡み目がどれだけ広いクラスか知っておきたい。

問題 8.3.11. 一様にねじれていない素な結び目または絡み目は存在するか？

Neuwirth conjectureを絡み目に拡張する。

予想 8.3.12. 3次元球面内の任意の非自明かつ非分離的な絡み目 Lに対し、Lの各成分を非分離的に含む閉曲面 F で、Lの外部において本質的であるものが存在する。

8.4 共存性定理 8.4.1 ([61]). 任意の結び目 kに対し、あるトーラス結び目K が存在して、K の最小種数ザイフェルト曲面に kは含まれる。

この定理は、S(K) = {k|k ⊂ F, F はK の最小種数ザイフェルト曲面 }

と定義すると、{結び目 } =

∪S(K), K は全てのトーラス結び目

と言い換えることができる。

注 8.4.2. トーラス結び目 T (p, q), T (p′, q′)に対して、p ≤ p′, q ≤ q′ならば、S(T (p, q)) ⊂ S(T (p′, q′))が成り立つ。従って、全ての結び目は、トーラス結び目 T (p, q)により階層を持つ。

例 8.4.3. P (−2, 3, 7) ∈ S(31)である。

8.4. 共存性 95

三葉結び目 31 のザイフェルト曲面上に、プレッツェル結び目 P (−2, 3, 7)が乗っている図http://sketchesoftopology.wordpress.com/2010/09/02/that-pretzel-knot-again/ より

命題 8.4.4. S(31) = {K(m,n)|m,n > 0, m, n : integer}と表すことができる。g(K(m,n)) = (m2 + n2 +mn− 2m− 2n + 1)/2が成り立つ。また、S(31)に属する結び目は、正ブレイドで表せるので、ファイバー結び目である。

例えば、K(1, 2) = 31、K(1, 3) = 819 である。この命題により、41, 51 6∈ S(31)が分かる。どの自然数m,nに対しても、g(K(m,n)) = (m2 +n2 +mn−

2m − 2n + 1)/2 = 2とはならないので、51 ∈ S(31)とすると、g(51) = 2に矛盾する。

定義 8.4.5. 二つの結び目K と Lが友愛結び目であるとは、Lを含むK の最小種数ザイフェルト曲面、及びK を含む Lの最小種数ザイフェルト曲面が存在するときをいう。

例えば、31 と 819 は友愛結び目であるが、31 と 41 は友愛結び目でない。どの結び目にも、友愛結び目となる相手が存在するかどうかは今のところ分かっていない。但し、自明な

結び目は孤独であるので除外する。

第IV部

付録

99

第9章結び目と曲面の表

第 III部で述べた結び目と曲面の関係をまとめると、次の表になる。4.4.1 本質的曲面の 4つの種類で述べたように、結び目と曲面の関係は、∂F = K、F ⊃ K、F t K、

F ∩ K = ∅の 4つに分類される。それぞれについて、本質的曲面である場合と、ヒーガード曲面である場合の 2つに分けられる。

Table of knots and surfaces

101

第10章結び目理論の未解決問題

結び目理論にはまだまだ魅力的な予想が沢山ある。しかし、その殆どが全ての結び目に対する予想である為、非常に難しい。現時点では我々はまだ全ての結び目を扱える段階に入っていないのだ。結び目理論の問題は、分類前と後で大きく二つに分かれる。

1. 同値問題：　与えられた二つの結び目が同値かどうかの判定。もし同値ならば、どのような変形で移り合うか。

2. 構造問題：　結び目全体からなる集合にある構造を与え、それを調べる。

結び目理論において、知られている主な予想は以下のものがある。尚、文献 [51]は低次元トポロジーに関する問題集である。以下、Kirby Problemとして参照する。

1. Additivity problem (crossing number, unknotting number, e.t.c.)

2. Nakanishi conjecture (unknotting on minimal diagrams)

3. Lin ’s nugatory crossing conjecture

4. Cabling conjecture

5. Berge conjecture

6. Fox ’s slice-ribbon conjecture

7. Kashaev ’s volume conjecture

8. Garoufalidis ’s Jones Slope conjecture

9. Lopez conjecture

10. Neuwirth conjecture

Additivity problem

一般に、結び目の連結和に関して不変量（交点数や解消数等）がどう振る舞うか（加法性等）。

• 交点数

Crossing number (knot theory) - Wikipedia, the free encyclopedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Crossing number (knot theory)

一部、結び目の交点数の加法性について書かれています。Kirby Problem 1.65参照。

102 第 10章結び目理論の未解決問題

• 結び目解消数

Unknotting number - Wikipedia, the free encyclopedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Unknotting number

結び目解消数について。Kirby Problem 1.69 (B)参照。

• 上昇数

[0705.3337] Ascending number of knots and links

http://arxiv.org/abs/0705.3337

Conjecture 2.5. a(K1#K2) = a(K1) + a(K2)が成り立つか？

• トランク

[0905.4340] Waist and trunk of knots

http://arxiv.org/abs/0905.4340

Problem 1.8. trunk(K1#K2) = max{trunk(K1), trunk(K2)}が成り立つか？

Nakanishi conjecture

任意の非自明な結び目に対して、結び目解消数を下げる交点を含む最小交点の正則表示が存在する。

Lin’s nugatory crossing conjecture

結び目Kを交差交換して再びKが得られたならば、その交差は無効なものに限る。Kirby Problem 1.58を参照。

[math/0610440] Cosmetic crossing changes of fibered knotshttp://arxiv.org/abs/math/0610440fibered knotに関して、Lin’s nugatory crossing conjectureは正しい。

Cabling conjecture

S3内の結び目に沿ったデーン手術で、可約な多様体が得られたならば、その結び目はケーブル結び目に限る。Kirby Problem 1.79を参照。最近、Hempel distanceが 3以上の結び目について成り立つことが証明された。[1209.0197] Bridge distance, Heegaard genus, and Exceptional Surgerieshttp://arxiv.org/abs/1209.0197

Berge conjecture

S3内の結び目に沿ったデーン手術で、レンズ空間が得られたならば、その結び目はバーギ結び目に限る。Berge conjecture - Wikipedia, the free encyclopediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Berge conjecture

103

Fox’s slice-ribbon conjecture

スライス結び目はリボン結び目である。Ribbon knot - Wikipedia, the free encyclopediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Ribbon knot

Kashaev’s volume conjecture

Volume conjecture - Wikipedia, the free encyclopediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Volume conjectureKashaev不変量（Colored Jones多項式）と結び目補空間の双曲体積の間の関係式に関する予想。

Garoufalidis’s Jones Slope conjecture

任意の結び目に関して、ジョーンズスロープの 2倍は常に境界スロープである。[0911.3627] The Jones slopes of a knothttp://arxiv.org/abs/0911.3627

Lopez conjecture

スモールな 3次元多様体はスモールな結び目を含む。The Lopez Conjecturehttp://www.aimath.org/research/projects/lopez.htmlLopez conjectureは、閉 3次元多様体についてであるが、これを境界付き 3次元多様体に拡張すると、次

の予想が考えられる。Small knot conjecture. スモールな結び目外部には、スモールな結び目が存在する。

Neuwirth conjecture

任意の非自明な結び目Kに対して、K を含む閉曲面 F で、F ∩E(K)が連結かつ本質的であるものが存在する。

[1103.2576] On the Neuwirth conjecture for knotshttp://arxiv.org/abs/1103.2576現在までの Neuwirth conjectureに関する結果が網羅されている。[1211.5941] Coexistence of coiled surfaces and spanning surfaces for knots and linkshttp://arxiv.org/abs/1211.5941uniformly twisted knotに関して、Neuwirth conjectureが正しいことが示されている。

注 10.0.6. これらは、連結和・交差交換など結び目間の変形で状態がどのように変わるか（1, 2, 3）、デーン手術や分岐被覆で結び目と 3次元多様体がどのように対応するか（4, 5）、ジョーンズ多項式など代数的不変量がどれだけ幾何的な情報を含んでいるか（7, 8）、圧縮不可能曲面や境界スロープなど位相的な性質の存在について（9, 10）、などに分類される。

104 第 10章結び目理論の未解決問題

Rank versus Genus Conjecture

3次元多様体M の基本群の階数（生成元の最小数）を r(M)とし、ヒーガード種数（二つのハンドル体に分けたときの最小種数）を g(M)とする。このとき、r(M) ≤ g(M)が明らかに成り立つが、Waldhausenは、等号が成り立つか？、即ち、r(M) = g(M)か？という問題を提起した。この問題は、r(M) = 0のとき、ポアンカレ予想である。Boileau–Zieschangは、ザイフェルトファイバー空間M で、r(M) = 2かつg(M) = 3を満たすものを見付けた。Schultens–Weidmannは、グラフ多様体M で、g(M)− r(M) が任意に大きく取れるものを見付けた。

Rank and genus of 3-manifoldshttp://www.ams.org/journals/jams/2013-26-03/S0894-0347-2013-00767-5/home.htmlhttp://arxiv.org/abs/1106.6302この論文で、g(M) − r(M) が任意に大きい双曲多様体が初めて構成された。Waldhausen の問題は、結び目外部について未解決である。即ち、結び目 K の外部 E(K) について、

r(E(K)) = g(E(K))が成り立つか？という問題である。ここで、Kのトンネル数を t(K)とすると、t(K)+1 =g(E(K))である。この問題に関連して、Cappell–Shanesonは、結び目の橋数と、結び目群のメリディアンによる生成元の

最小数は等しいか？という問題を提起している。

105

第11章結び目の構成方法

11.1 まえがき～How to construct all knots and links～ピタゴラスの定理を満たすような３つの数を、ピタゴラス数という。ピタゴラス数は、木を用いて構成す

ることができる。Tree of primitive Pythagorean triples - Wikipedia, the free encyclopediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Tree of primitive Pythagorean triples

The tree of primitive Pythagorean triples

このように、構成的に全ての結び目を作り出す方法はないだろうか？但し、構成過程において、重複は有限個であり、その間の関係が明らかであるとする。

11.2 ファイバー結び目の構成How to construct all fibered knots and linkshttp://www.sciencedirect.com/science/article/pii/004093838290009X任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプランビング、及び、

ツイスティングの系列により得られる。

106 第 11章結び目の構成方法

Hopf plumbing

On the stable equivalence of open books in three-manifoldshttp://www.msp.warwick.ac.uk/gt/2006/10/p004.xhtml任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプランビングの系列に

より得られる。

11.3 Thurston Norm Minimizing Surfaceを用いた全ての結び目の構成

Thurston norm minimizing surfaces and skein trees for links in S3

http://www.ams.org/journals/proc/1989-106-04/S0002-9939-1989-0969321-3/Harerの結果は、Thompsonにより一般化されている。即ち、任意の非分離的絡み目 Lに対し、自明な

結び目が張るディスクから始まる、Thurstonノルムが最小であるザイフェルト曲面の系列 {S1, ..., Sn}が存在し、Si は Si−1 から、ホップアニュラスのプランビングか、または、ツイスティングにより得られる。

Twisting and plumbing

11.4. トンネル数１の結び目の構成 107

11.4 トンネル数１の結び目の構成The tree of knot tunnelshttp://arxiv.org/abs/math/0611921任意のトンネル数１の結び目は、自明な結び目から唯一つのケーブリング構成の系列によって得られる。

Cabling construction

11.5 トンネル数nの結び目の構成Tunnel complexes of 3―manifoldshttp://www.msp.warwick.ac.uk/agt/2011/11-01/p010.xhtmlトンネル数 1の結び目に関する Cho-McCulloughの結果は、トンネル数 nの結び目へ一般化されている。

但し、構成は一意的ではない。

Tunnel complex

11.6 結び目射影図による半順序A Partial Order of Knots

108 第 11章結び目の構成方法

http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.tjm/1270133558結び目の構成方法ではないが、全ての結び目からなる集合に対して、半順序が定義されている。

Partial order of knots

109

第12章結び目の表

01 31 41

51 52 61

62 63 71

110 第 12章結び目の表

72 73 74

75 76 77

81 82 83

111

84 85 86

87 88 89

810 811 812


813 814 815

816 817 818

819 820 821

113

関連図書

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