CÁC CÔNG TH O HÀM Nh

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

Nhắc lại

1. Quy tắc tính đạo hàm

➢ ( ) ' ' 'u v u v = +

➢ ( ) ' ' 'uv u v v u= + ( ) ' 'ku ku= ,k

➢

/

2

' 'u u v v u

v v

− =

2

1 v

v v

= −

.

2. Công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp

Hàm sơ cấp Hàm hợp

( ) 1n nx nx −= ( ) 1. 'n nu nu u−

= .

( ) 1

2x

x

= ( ) '

2

uu

u

=

( )sin cosx x = ( )sin '.cosu u u = .

( )cos sinx x = − ( )cos '.sinu u u = − .

( ) 2

2

1tan tan 1

cosx x

x = = + ( ) ( )2

2

'tan ' tan 1

cos

uu u u

u = = + .

( ) ( )2

2

1co t cot 1

sinx x

x = − = − + . ( ) ( )2

2

'co t '. cot 1

sin

uu u u

u = − = − +

.

Tóm tắt lý thuyết §1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. Tính đơn điệu của hàm số: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng K.

Thế thì:

✓ f ’(x) > 0, x K f (x) đồng biến trong khoảng K

✓ f ’(x) < 0, x K f (x) nghịch biến trong khoảng K

Mở rộng:Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng K. Thế thì:

➢ Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng gọi là hàm số đơn điệu.

➢ Quy tắc :

❖ Ý nghĩa hình học của hàm đơn điệu.

➢ f ’(x) 0, x K f (x) đồng biến trong khoảng K

➢ f ’(x) 0, x K f (x) nghịch biến trong khoảng K .

➢ Dấu “ =” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

➢

✓ Tìm tập xác định

✓ Tính đạo hàm f ’(x).Tìm các điểm xi làm cho đạo hàm triệt tiêu hoặc vô nghĩa.

✓ Lập bảng biến thiên của hàm số.

✓ Dựa vào bảng biến thiên kết luận về tính tăng giảm của hàm số.

- Hàm tăng trong khoảng K thì tại mọi điểm thuộc khoảng K tiếp

tuyến đổ sang bên phải

- Hàm số có thể tăng trong vùng này, giảm trong vùng kia.

A. Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm khoảng đơn điệu các hàm số sau:

a/ 2 3 4y x x= − + + b/ 3 213 8 2

3y x x x= − + −

c/ 4 22 3y x x= − +

d/ 3 1

1

xy

x

+=

− e/

2 2

1

x xy

x

+=

− f/

2 4

xy

x=

+

Giải: a) 2 3 4y x x= − + + . Ta có D =

✓ 3

' 2 3 ' 02

y x y x= − + = =

✓ Bảng biến thiên :

- Hàm giảm trong khoảng K thì tại mọi điểm thuộc khoảng K tiếp

tuyến đổ sang bên trái.

Hàm tăng trong khoảng 3

;2

−

, giảm trong khoảng 3

;2

+

b) 3 213 8 2

3y x x x= − + −

Ta có D =

✓ 2

1 2' 6 8 ' 0 2, 4y x x y x x= − + = = = ✓ Bảng biến thiên :

Hàm giảm trong khoảng (2;4), tăng trong khoảng (–;2) và (4;+)

c) 4 22 3y x x= − + Ta có D =

✓ 3

1 2 3' 4 4 ' 0 1, 0, 1y x x y x x x= − = = − = = ✓ Bảng biến thiên :

Hàm giảm trong khoảng (–;–1) và (0;1), tăng trong khoảng (–1;0) và (1;+)

d) 3 1 3 1

1 1

x xy

x x

+ += =

− − +

( )

'

2

ax b ad bc

cx d cx d

+ − =

+ +

Ta có D = \ {1}

✓ ( )

2

4' 0, 1

1y x

x=

− +

✓ Mặt khác lim ( ) 3, lim ( ) 3x x

f x f x→− →+

= − = − và 1 1lim ( ) , lim ( )x x

f x f x− +→ →

= + = −


Hàm tăng trong các khoảng (–;1) và (1;+) .

e) 2 2

1

x xy

x

+=

−

Ta có D = \ {1}

✓ ( )

2

1 22

2 2' ' 0 1 3, 1 3

1

x xy y x x

x

− −= = = − = +

−

✓ Mặt khác lim ( ) , lim ( )x x

f x f x→− →+

= − = + và 1 1lim ( ) , lim ( )x x

f x f x− +→ →

= − = +


Hàm tăng trong các khoảng (–;1 3− ) và (1 3+ ;+) và giảm trong các khoảng (1 3− ;1) và (1;1 3+ )

f) 2 4

xy

x=

+

Ta có D =

✓ ( )

2

1 222

4' ' 0 2, 2

4

xy y x x

x

− += = = − =

+

✓ Mặt khác lim ( ) 0x

f x→

=


Hàm giảm trong các khoảng (–; –2) và (2;+) và tăng trong khoảng (–2;2) .

Bài 2 Tìm khoảng đơn điệu của hàm 22y x x= −

Giải : Ta có D = [0 ;2]

2

1' ' 0 1

2

xy y x

x x

−= = =

−

Bảng biến thiên

Bài 3. Tìm a để hàm : 3 2 1y x ax x= − + +

a) Đồng biến x b) Nghịch biến trên khoảng (1;2)

Giải : Ta có D = , 2' '( ) 3 2 1y f x x ax= = − +

a) Hàm đồng biến x 23 0

' 0, ' 0 3 0 3 3' 0

y x a a

− −

b) Nghịch biến trên khoảng (1;2) ' 0, (1;2)y x .

Theo ycbt nếu gọi S là tập nghiệm của ' 0y thì (1;2) S. Muốn vậy ta xét 2 trường hợp :

Cách 1 : (lớp 10)

TH1 : S = thì 3 0

' 0,' 0

ay x

=

a

TH2 : 1 2[ ; ]S x x= thì để (1;2) S ta cần có 1 21 2x x

Vì a = 3 > 0 nên

1 2

20 '(1) 0 4 2 0 13

' 0, (1;2) 131 2 '(2) 0 13 4 0 4

4

af a

y x ax x f a a

−

−

Hội 2 kết quả của 2 trường hợp ta suy ra 13

4a

Cách 2 : (lớp 12) ycbt 23 1 1 1

'( ) 0 2 3 2 , (1;2) max 3 2 , (1;2)x

f x a x a x x a xx x x

+ + +

Xét hàm 1

( ) 3g x xx

= + trên khoảng (1;2), ta có 2

1'( ) 3 0, (1;2)g x x

x= −

Bảng biến thiên của g(x)

Dựa vào bbt ta thấy 13

( ) , (1;2)2

g x x

Vậy ta phải có 13 13

22 4

a a

Bài 4. Tìm a để hàm : 3 23 3 2y ax x x= − − + nghịch biến x

Giải : Ta có D = , 2' '( ) 3 6 3y f x ax x= = − −

✓ Xét a = 0 23 3 2 ' 6 3y x x y x= − − + = − − 1

' 02

y x = = −

✓ Xét a 0 2' '( ) 3 6 3y f x ax x = = − − có ' 9 9a = +

Theo ycbt ' 0y ,x3 0 0 0

1' 0 9 9 0 1

a a aa

a a

−

+ −

Bài 5. Tìm điều kiện của a, b để hàm sin cosy a x b x x= + + đồng biến trên

Giải: Hàm đồng biến trên ' 0, ' cos sin 1 0,y x y a x b x x = − +

Ta cần tìm a, b để GTNN của cos sin 1a x b x− + lớn hơn hoặc bằng 0.

Vì 2 2 2 2 2 2cos sin ( )(cos sin )a x b x a b x x a b− + + = +

2 2 2 2 2 2 2 2cos sin 1 cos sin 1 1a b a x b x a b a b a x b x a b− + − + − + − + + +

Vậy ( ) 2 2 2 2cos sin 1 min 1 0 1a x b x a b a b− + = − + +

Cách khác. Áp dụng công thức đã biết

Ta có : 2 2cos sin 1 cos( ) 1a x b x a b x − + = + + +

Vì cos(x + ) –1 nên 2 2 2 2cos( ) 1 1a b x a b+ + + − + +

Từ đó 2 2 2 21 0 1a b a b− + + +

Bài 6. Cho hàm 4mx

yx m

+=

+ a) Tìm m để hàm tăng trên từng khoảng xác định (m < –2 2 < m)

b) Tìm m để hàm tăng trên khoảng (2, + ) (m > 2 )

c) Tìm m để hàm giảm trên khoảng (– ,1) ( –2 < m – 1).

Giải: TXĐ D = \{ }R m−

✓ ( )

2

2

4'

my

x m

−=

+

• Nếu m = 2 thì y là hàm hằng nên hàm không thỏa ycbt.

• Xét m 2

a) Để hàm tăng trên từng khoảng xác định thì 2' 0, 4 0 2 2y x m m m m − − −

b) Để hàm tăng trên khoảng (2;+ ) ta cần phải có ' 0, 2y x

Nghĩa là tập nghiệm của bpt y’ > 0 chứa khoảng (2;+)

(2;+ ) (–;– m)(– m;+)

Lúc này ta có bảng biến thiên

2 2cos sin cos( )a x b x a b x − = + + với 2 2 2 2cos ;sin

a b

a b a b = =

+ +

Mà tập nghiệm trong trường hợp này là (–;– m) (–m;+)

Ta có

2 4 0' 0, 2 2

2

my x m

m

−

−

c) Để hàm giảm trên khoảng (– ;1) ta cần phải có ' 0, 1y x

Nghĩa là tập nghiệm của bpt y’ < 0 chứa khoảng (–;1)

(– ;1) (–;– m)(– m;+)

Lúc này ta có bảng biến thiên

Ta có

2 4 0' 0, 1 2 1

1

my x m

m

− − −

−

Bài 7. Cho hàm y = f(x) có đồ thị ( )f x như hình vẽ bên.

Hàm số y = f(3 – 2x) + 2022 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. (1;2). B.(2;+). C.(−;1). D. (−1;1).

HD: Dựa vào đồ thị ( )f x ta nhận thấy ( ) 0f x khi x (−;−1) (1;4).

Vì (1;2) (1;4) nên chọn A.

Bài 7. Chứng minh các bất đẳng thức sau 0;2

x

:

a) tan x x b) 3

tan3

xx x +

HD:

a)

Để chứng minh: ( ) ( ),f x g x x T

Ta xét hàm ( ) ( ) ( )h x f x g x= − trên T.

Xét tính đơn điệu của hàm ( )h x trên T

Suy ra ( ) 0,h x x T

Xét hàm ( ) tanh x x x= − trên khoảng 0;2

.

Ta có: 2 2( ) (tan 1) 1 tan 0h x x x= + − = , 0;2

x

Suy ra hàm ( ) tanh x x x= − đồng biến trên khoảng 0;2

.

Nên 0;2

x

: (0) ( ) ( ) (0) 02

h h x h h x h

=

Hay tan x x , 0;2

x

.

b) 3 3

tan tan 03 3

x xx x x x + − −

Xét hàm 3

( ) tan3

xh x x x= − − trên khoảng 0;

2

.

Ta có: 2 2( ) tanh x x x = − , trên khoảng 0;2

( )( )( ) tan tanh x x x x x = − +

Ta nhận thấy 0;2

x

thì x > 0; tanx > 0

Hơn nữa theo câu a thì tan x x , 0;2

x

. Do đó ( ) 0h x , 0;2

x

Suy ra hàm ( )h x là hàm đồng biến trên khoảng 0;2

.

Nên 0;2

x

: (0) ( ) ( ) (0) 02

h h x h h x h

=

Hay 3

tan3

xx x + , 0;

2x

.

c) sin x x ;

CÁC CÔNG TH O HÀM Nh

Documents

Transcript of CÁC CÔNG TH O HÀM Nh