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電路學

第六章

多相電路

2

三相交流系統

前一章所討論的交流是屬於所謂單相交流系統，在此一系統裡，功率為脈動分布，當負載功率因數為1時，每週有兩次功率為零值，當功率因數小於1時，每週有兩次功率為負值，也就是指每週有四次功率為零值，由此可知單相系統所供應之功率甚不穩定，對若干用途頗為不利。

除了單相系統以外，目前在供電系統裡使用最多的就是三相交流系統，所謂三相交流系統是以三個彼此間相差120°的的單相交流所合成之系統。

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三相交流系統

三相系統具有以下之優點：效率高，每一瞬間之功率穩定不變。三相平衡時，各相間相差120°，若每相電壓及電流之大小與某一單相交流相等，則其視功率將為單相的三倍。就相同額定機械設備和控制設備而言，三相系統較單相系統為小，重量較輕，成本較低。在輸配電系統裡，就相同負載功率及線路損失而言，三相系統之用銅量僅為單相之75%。三相馬達起動較為方便，具有穩定之轉矩，運轉情況較單相馬達為穩定。

4

三相交流系統

在三相系統裡，電源部分是為三相發電機或三相變壓器，它們提供一組平衡的正弦三相電壓，這些正弦電壓具有相同的波幅及頻率，但相互間相位差120o。基本上三相電源等效於三個互相連接的單相電源，每一單相電源產生不同相位但波幅及頻率相同的電壓。工業界所使用的電力系統一般都是三相系統，對家用電力而言一般都是單相系統，以台灣來講，目前家用的電力系統以1φ60Hz110V為主，也就是指目前台灣所使用的電力系統是單相(1φ)，頻率為60Hz及電壓大小為110V。雖然一般家用電力系統是用110V，但某些電氣用品需要220V，例如冷氣機，因此家用電力系統必須要同時能提供110V及220V兩種電壓。為解決此一問題，可採用所謂的單相三線系統也就是1φ3w系統。

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雙下標表示法

在單相系統裡只用單一下標就可以表示該電量所表示的意義，例如VO(IO)表示輸出電壓(流)，VS(IS)表示電源電壓(流)，VP(IP)表示峰值電壓(流)，因為是單相所以不需要考慮相的問題。但對多相系統(如圖6-1的Y形電路)而言，因同時有幾個相存在，所以在考量某一電量時，必須要指明它是屬於哪一相。

圖6-1 Y形電路

6

雙下標表示法

在圖6-1的Y形電路，它有多個電壓，如果以單一下標來表示，例如VA、VB或VC，雖然可以表示ABC等點的電壓，但却無法顯示其相對的基準點，因為基準點的不同所得到的電壓值就不相同。如果採用雙下標表示法，則可以很明確的表示出真正的電壓值。例如VAN表示A點相對於中性點(也就是接地點)N點的電壓，在多相系統裡此一電壓表示A相的相電壓，相似的VBN及VCN分別表示B點及C點相對於接地點N點的電壓，如同A相的相電壓，也就是指它們分別表示B相及C相的相電壓。

7

雙下標表示法

除了上述的相電壓以外，在圖6-1裡還有三個與A、B及C點電壓有關的電壓。它們分別是VAB、VBC及VCA，這三個電壓基本上是兩個相電壓之和，例如

VAB＝VAN＋VNB＝VAN＋(－VBN)＝VAN－VBN[V]這三個電壓稱為線電壓，基本上相電壓是某一相相對於接地點所得到的電壓，而線電壓則是兩個相所合成而顯示於輸出導線之間的電壓。若以單一下標則無法區分這些電壓，但如果利用雙下標則很容易的把它們分辦出來。在雙下標表示法裡，某一電壓VAN即表示A點對N點的電壓，而某一電流IAB即表示從A點流向B點的電流。

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單相三線系統

所謂的單相三線系統，是指在一系統裡含有兩個大小及相位均相同的互聯正弦電壓。圖6-2所示為一個單相三線式電力系統，它具有三個輸出端A、B及N。在圖6-2的單相三線式電力系統裡，⎜VAN⎜＝⎜VBN⎜＝⎜VNB⎜[V]及VAB＝VAN＋VNB[V]

圖6-2 單相三線式電力系統

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單相三線系統

若⎜VAN⎜是一般家用的110V(一般家用的電壓稱呼是指均方根或有效值)，則⎜VAB⎜＝2⎜VAN⎜＝220V。若加上負載則得則完整的單相三線系統，如圖6-3所示。 圖6-3 加上負載的

單相三線系統

10

單相三線系統

由圖6-3上可得：

及

由KCL可知在N點的電流為：

也就是指在單相三線系統裡，中性線上並沒有電流流過，因此將它移走也不會影響到系統的其他部分。

]A[ZVI

LAa = ]A[Z

VIL

Bb −=

0ZV

ZV)II(I

LLBbAaNn =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+−=

11

例6-1

今有一家用單相三線系統，包含有三迴路如圖6-4所示，其中an分支的純電阻性負載為11Ω，此一分支每天平均使用5小時。nb分支的純電阻性負載為55Ω，此一分支每天平均使用10小時。而ab分支的純電阻性負載為2.2Ω，，此一分支每天平均使用3小時。試求此一系統每天消耗多少能量？

圖6-4 例6-1的電路

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例6-1(續)

[解]：流過三迴路的電流分別為：

三迴路所消耗的功率分別為：

此一系統每天消耗的能量為：WT＝5Pan＋10 Pnb＋3 Pab＝(5h×1.1kW)＋(10h×0.22kW)＋(3h×22kW)＝5.5kWh＋2.2kWh＋66kWh＝73.7[kWh]

]A[1011

V110ZVI

an

anan =Ω

== ]A[255

V110ZVI

nb

nbnb =Ω

== ]A[1002.2V220

ZVI

ab

abab =Ω

==

]kW[1.1W110011)A10(ZIP 2an2anan ==Ω×==

]kW[22.0W22055)A2(ZIP 2nb2nbnb ==Ω×==

]kW[22W220002.2)A100(ZIP 2ab2abab ==Ω×==

13

三相電源

三相系統有三種連接法，分別為Y形連接，Δ形連接及V形連接。

圖6-5所示為一平衡三相Y形連接系統，在此一系統裡，各相的電壓可以表示為：

VAN＝VAN∠0°[V]

]V)[23j

21(V

32V120VV BNBN

oBNBN −−=π−∠=−∠=

]V)[23j

21(V

34V240VV CNCN

oCNCN +−=π−∠=−∠=

14

三相電源

三個電壓的關係如圖6-6所示。當此一系統為平衡時，VAN＝VBN＝VCN＝Vp[V]

Vp表示為相電壓的均方根或有效值。若以瞬間值來表示，則這些電壓可以表示為：

]V[tsinV)t(v pAN ω=

]V)[32tsin(V)120tsin(V)t(v p

opBN π−ω=−ω=

]V)[34tsin(V)240tsin(V)t(v p

opCN π−ω=−ω=

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三相電源

圖6-5 平衡三相Y形連接系統

圖6-6 Y形連接系統三個相電壓的關係

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三相電源

Y形連接三個電壓共同連接到一稱為中性節點的N點上。電壓VCN、VBN及VCN稱為相電壓，在平衡條件下：

VAN＋VBN＋VCN＝0此一關係如圖6-7所示。

圖6-7 Y形連接三個相電壓的相量和

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例6-2

試證明vAN(t)＋vBN(t)＋vCN(t)＝0。[解]：由公式sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ可知

0)23

23(tcos)

21

211(tsinV

tcos23tsin

21tcos

23tsin

21tsinV

)]34sin(tcos)

34cos(t[sin

)]32sin(tcos)

32cos(t[sintsin

V

)34tsin()

32tsin(tsinV)t(v)t(v)t(v

p

p

p

pCNBNAN

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−ω−−−ω=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ω+ω−ω−ω−ω=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

πω−πω+

πω−πω+ω=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ π−ω+π−ω+ω=++

18

三相電源

在應用三相系統時，有一點必須加以考慮，即所謂相序，也就是指在三相系統裡，三個波形行進的先後次序，或指各相電壓之相量反時針轉動時，經過一固定點之先後次序。

圖6-8(a)所示的相圖，其相序為A－B－C(B－C－A或C－A－B)，稱為正相序圖6-8(b)所示的相圖其相序為C－B－A，稱為負相序。在一般應用裡若沒有說明相序，則指正相序而言。在一般輸配電系統裡，相序的變化對電壓、電流及功率之大小沒有影響，但在馬達運轉裡，相序的改變可使馬達的轉向改變。欲改變相序只需要改變電源的接線順序即可。

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三相電源

圖6-8 相序

20

三相電源對正相序的Y形連接系統而言，其各相電壓可用前述各式來表示，但對負相序而言，則其各相電壓的關係則為：

VAN＝VAN∠0°[V] VBN＝VBN∠120°[V]＝VBN∠－240°[V] VCN＝VCN∠240°[V]＝VCN∠－120°[V]

而其對應的相量圖如圖6-9所示。

圖6-9 負相序

21

三相電源每一電源所產生的電壓稱為相電壓，而線與線之間的電壓則稱為線電壓。在圖6-5裡線電壓是指A與B之間、B與C之間或A與C之間的電壓。今以A與B之間的電壓來考量，即其間的線電壓為：VAB＝VAN＋VNB＝VAN－VBN＝ Vp∠30°＝VL∠30°[V]其中VL為線電壓的均方根或有效值，它的大小為Vp的 倍。相似的，B與C之間的相電壓VBC及C與A之間的線電壓VCA可分別計算為：VBC＝VBN＋VNC＝VBN－VCN＝ Vp∠－90°＝VL∠−90°[V] VCA＝VCN＋VNA＝VCN－VAN＝ Vp∠150°＝VL∠150°[V]由上述各式可知：VAB＋VBC＋VCA＝(VAN－VBN)＋(VBN－VCN)＋(VCN－VAN)＝0 也就是指在平衡三相裡相電壓之和及線電壓之和均等於零。同時由上述各式可知，對Y形連接而言，線電壓的大小為相電壓的倍，同時線電壓與相電壓之間有30°(π/6)的相差，而其線電壓超前相電壓30°，圖6-10所示為Y形連接的相量圖。

33

33

3

3

22

三相電源

圖6-10 Y形連接的相量圖

23

三相電源在Y形連接裡其相電壓並不等於線電壓，但其相電流是與線電流相等。除了相電流以外，在圖6-5裡同時表示有一從電源中性點流向負載中性點的電流IN，但在一完全平衡的三相系統裡此一電流並不存在，因為若對中性點N應用KCL可得：

IN＝(IA＋IB＋IC)＝(1/Z) (VAN＋VBN＋VCN)＝0 其中Z表示負載阻抗，在平衡三相裡ZA＝ZB＝ZC＝Z。若負載為純電阻，則每一電源所提供的瞬間功率可以表示為：

則總瞬間功率為：

由此發現在三相系統裡，在任何一瞬間其功率都是一定值。

]W)[t2cos1(RV

)t(p2p

A ω+= ]W)][120t2cos(1[RV

)t(p o2p

B −ω+=

]W)][120t2cos(1[RV

)t(p o2p

C +ω+=

]W[RV3)t(p)t(p)t(p)t(p

2P

CBA =++=

24

三相電源

除了Y形連接以外，電源也有Δ形連接，又稱為三角形連接，如圖6-11所示。此一接法是將各相作為三角形的一個邊接成閉合迴路，然後再由各連接點向外引出導線與負載相連。

圖6-11 三相電源Δ形連接

25

三相電源

在Δ形連接裡相電壓與線電壓相等，而線電流是由相電流所組成。設IAB、IBC及ICA表示其相電流，假設以IAB來作為基準時，IAB、IBC及ICA可以表示為：

當此一系統為平衡時，IAB＝IBC＝ICA＝Ip[A]

其中Ip稱為相電流。

]A)[23j

21(I

32I120II BCBC

oBCBC −−=π−∠=−∠=

]A)[23j

21(I

34I240II CACA

oCACA +−=π−∠=−∠=

]A[0II oABAB ∠=

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三相電源若以瞬間值來表示則相電流可以表示為：

各線電流可以表示為：IA＝IAB－ICA＝ Ip∠－30°＝IL∠－30°[A]IB＝IBC－IAB＝ Ip∠−150°＝IL∠−150°[A]IC＝ICA－IBC＝ Ip∠－270°＝IL∠－270°[A]

其中IL稱為線電流。由此可知，在Δ形連接裡線電流的大小為相電流的 倍，同時線電流與相電流之間有30°(π/6)的相差，而其線電流落後相電壓流30°，圖6-12所示為Δ形連接的相量圖。在圖上θ角表示其相電壓VAB(VBC、VCA)與相電流IAB(IBC、ICA)間的相角。

]A[tsinI)t(i pAB ω=

]A)[32tsin(I)120tsin(I)t(i p

opBC π−ω=−ω=

]A)[34tsin(I)240tsin(I)t(i p

opCA π−ω=−ω=

333

3

27

三相電源

圖6-12 Δ形連接的相量圖

28

三相電源

因此由上面的討論可以得到以下之結論：

在Y形連接裡相電流與線電流相等，而線電壓之大小為相電壓的 倍，同時線電壓領先相電壓30o。在Δ形連接裡相電壓與線電流相等，而線電流之大小為相電流的 倍，同時線電流落後相電流30o。

3

3

29

三相電源

除了Y形連接及Δ形連接以外，還有V形連接。所謂V形連接就是將圖6-11所示的Δ形連接的一個相拿掉所產生的結果，此一連接法可得到與Δ形連接同樣的三相電壓。圖6-13所示為拿掉C相來作V形連接的電路結構，在此一結構裡VAB及VBC與Δ形連接相同，為其相電壓，由此可知在V形連接裡

VCA＝－(VAB＋VBC)[V]圖6-14所示為V形連接的相電壓關係圖。由此可知V形連接也可以得到大小相等，相位互差120o的對稱三相電壓，也就是指若採用V形連接，則只需要兩台變壓器就可以得到三相交流電源，而在Y形連接及Δ形連接裡需要三台變壓器。如同Δ形連接一樣，V形連接的相電壓是等於線電壓。

30

三相電源

圖6-13 V形連接的電路結構

31

三相電源

圖6-14 V形連接的相電壓關係圖

32

三相電源

除了電壓以外，今考慮V形連接的電流關係。今以圖6-13的電路結構作為考慮的對象，在此一電路裡，V形連接的電源與Δ形連接負載相連接，各部分的電流如圖上所示。由圖上電流的關係可知A相的線電流IA與B相的線電流IC分別以IA＝IAB及IC＝－IBC的關係來流動，由此，在V形連接線電流等於相電流。圖6-15所示為對應於圖6-13電路的相量圖。 圖6-15 V形連接的相量圖

33

例6-3

在圖6-16的三相電路裡Zy＝2＋j4Ω，VAN＝480∠0°，VBN＝480∠−120°，VCN＝480∠120°，試求電源提供給負載的功率為多少？

圖6-16 例6-3的電路

34

例6-3續

因為是平衡三相，所以從N點流過10Ω電阻器到達n點的電流為零，就是指此一分支可不加予考慮。對一平衡三相而言，考慮其中一相則其結果也可以應用到其他的兩相。若只考慮一相則可使電路簡化成如圖6-17所示。

圖6-17 只考慮一相的電路

35

例6-3續由圖6-17可知Pa＝I2RL[W]而IL為：

因此

Pa＝(84.85)2×2＝14400W＝14.4[kW]對整個系統而言，其總功率為：

Ptotal＝3Pa＝3×14.4kW＝43.2[kW]

]A[4585.844566.50480

4j220480

2Z

oo

o

o

y

AL

−∠=∠∠

=

++∠

=+

=VI

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三相電源—負載連接

基本上所謂的三相電路是指對稱三相電源與對稱三相負載連接在一起所構成的電路。在對稱三相負載裡，任一相可依與單相電路相同的方法來計算，而其他相只要使所求的相角互相差120o[(2π/3)rad]即可。三相電源與負載之間的連接方法有多種，如Y—Y、Δ—Δ、Y—Δ、Δ—Y等各種不同的型式。

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Y—Y連接電路

圖6-18的示為Y—Y連接電路的基本型式。在這一電路裡除了三條提供線電流流通而連接電源與負載的導線以外，還有一條將電源與負載的中性點連接在一起的導線，此一導線稱為中性線。具有此一中性線的三相電路稱為三相四線系統，一般以3φ4w來表示。對平衡三相而言，因為中性線的電流為零，因此此一中性線基本上可忽略，省去中性線的電路如圖6-19所示，因只有三條導線，所以圖6-19的電路稱為三相三線系統，一般以3φ3w來表示。

38

Y—Y連接電路

圖6-18 Y—Y連接三相四線系統

39

Y—Y連接電路

圖6-19 Y—Y連接三相三線系統

40

Y—Y連接電路

在對稱三相負載裡，任一相可依與單相電路相同的方法來計算，而其他相只要使所求的相角互相差120o即可。圖6-20所示就是取出一相(a相)作為基礎來求其相電流(＝線電流)。

圖6-20 取a相作為基礎來計算

41

Y—Y連接電路

每一相的負載阻抗為：Z＝Z∠θ [Ω]因此流過每一相負載阻抗的電流為：

若連接電源與負載的導線不存在有電阻，則跨於每一相負載阻抗的電壓等於電源的相電壓，也就是Van＝VAN。同時負載相電流也等於電源所流出的線電流。線電壓與線電流之間的相位差為(30o＋θ) ，如圖6-21所示。

]A[Z

VZVI ananan

θ−∠=

θ∠=

]A[Z

)120(VZVI

obnbn

bn

−θ−∠=

θ∠=

]A[Z

)240(VZVI

ocncn

cn

−θ−∠=

θ∠=

42

Y—Y連接電路

圖6-21 對應於圖6-19電路的相量圖

43

Δ—Δ連接電路圖6-22所示為電源與負載都是對稱Δ形連接的三相電路，在這一電路裡電源的相電壓等於線電壓，直接加在負載上，如圖6-23所示。負載的相電流(＝電源相電流)為：

而各線電流為：

Ia＝Ip∠(－θ－30°)＝IL∠(－θ－30°)[A] Ib＝Ip∠(－θ−150°)＝IL∠(－θ−150°)[A] Ic＝Ip∠(－θ－270°)＝IL∠(－θ－270°)[A]

如同Y形連接，其線電壓與線電流之間的相位差為(30o＋θ)。

]A[IZV

ZV

I ppp

ab θ−∠=θ−∠=θ∠=

]A)[120(I120ZV

ZV

I opopp

bc −θ−∠=−θ−∠=θ∠=

]A)[240(I240ZV

ZV

I opopp

ca −θ−∠=−θ−∠=θ∠=

44

Δ—Δ連接電路

圖6-22 Δ—Δ連接電路

45

Δ—Δ連接電路

圖6-23 相電壓等於線電壓直接加在負載上

46

Y—Δ連接電路

圖6-24 Y形電源Δ形負載連接法

47

Y—Δ連接電路在Y-Y形連接的電路裡負載與電源均為Y形連接，所以跨於每一阻抗兩端的電壓為相電壓，而在Y-Δ連接電路裡跨於每一阻抗兩端的電壓為線電壓，例如跨於Zca兩端的電壓為Vca。因此流過每一負載的電流為：

其中ZΔ表示Δ形連接的負載。

]A[Z

30V3ZVI

opab

ab θ∠∠

==ΔΔ

]A[Z

90V3ZVI

opbc

bc θ∠−∠

==ΔΔ

]A[Z

210V3ZVI

opca

ca θ∠−∠

==ΔΔ

48

Y—Δ連接電路(Ia)Δ＝Iab－Ica[A] ，(Ib)Δ＝Ibc－Iab[A] ，(Ic)Δ＝Ica－Ibc[A]表示在Δ連接負載裡線電流[(Ia)Δ，(Ib)Δ及(Ic)Δ]與相電流[Iab，Ibc及Ica]之間的關係。這些關係可表示為：

]A[ZV3

II)I( pcaaba θ−∠=−=Δ

Δ

]A)[120(Z

)( ob θ−−∠=Δ

Δp3VI

]A)[120(Z

3)( oc θ−∠=

Δ

ΔpVI

49

Y—Δ連接電路對一Y形連接負載而言，其線電流可以表示為：

]A[ZZ

)(yy

anyan θ−∠==

pVVI

]A)[120(ZZ

)( oyy

bnybn θ−−∠==

pVVI

]A)[240(ZZ

)( oyy

cnycn θ−−∠==

pVVI

50

Y—Δ連接電路若使Y形連接負載的線電流(Ian)y等於Δ連接負載的線電流(Ia)Δ，則

ZΔ＝3Zy[Ω]就是指在相同的電源之下，若Y形連接負載需要與Δ形連接負載得到相同的線電流時，Δ形連接負載每一個分支(ZΔ)的阻抗必須為Y形連接負載每一個分支的阻抗(ZY)的三倍，如圖6-25所示。相反的，若Y形連接負載每一分支的阻抗(ZY)與Δ形連接負載每一個分支的阻抗(ZΔ)相等時，Δ形連接負載將可得到三倍的電流，也就是三倍的功率。

51

Y—Δ連接電路

圖6-25 對稱三相負載的變換

52

V—Δ連接電路

圖6-26 V—Δ連接電路

53

V—Δ連接電路在V—Δ連接電路電路裡電源的C相被移走使它成為V形連接，其剩餘的兩相之相電壓分別為：

Vab＝Vp∠0o[V] 及 Vbc＝Vp∠－120o[V] 因此 Vca＝－(Vab＋Vbc)＝Vp∠－240o[V] 若負載的阻抗為Z∠θ，則各負載的相電流為：

]A[Z

VZVI pabab θ−∠=θ∠

=

]A)[120(ZV

ZVI opbcbc −θ−∠=θ∠

=

]A)[240(Z

VZVI opcaca −θ−∠=θ∠

=

54

V—Δ連接電路因此，各線電流為：

圖6-27所示為其對應的相量圖。

]A)[30(I3III opcaaba −θ−∠=−=

]A)[150(I3III opabbcb −θ−∠=−=

]A)[270(I3III opbccac −θ−∠=−=

圖6-27 圖6-26電路對應的相量圖

55

例6-4

試求圖6-28所示Δ—Y連接電路的線電流Ia、Ib及Ic，並繪其相量圖。設VAB＝200∠0o，VBC＝200∠－120o及VCA＝200∠－240o，電路的負載阻抗為Z＝10＋j17.3Ω。

圖6-28 例6-4的電路

56

例6-4(續)

[解]：首先將Δ形連接電源轉變成Y形連接電源，使其架構如圖6-29所示。轉變後Y形連接電源的相電壓大小為，並落後Δ形連接電源相電壓30o。

圖6-29 電源轉變成Y形連接電源的電路架構

57

例6-4(續)

負載阻抗為：

若以Δ形連接電源的相電壓作為基準，則各線電流：

][6020)10

3.17(tan)3.17()10(3.17j10Z o122 Ω∠≈∠+=Ω+= −

]A[903

106020

30)3/200(I ooo

a −∠=∠−∠

=

]A[2103

106020

)12030()3/200(I oooo

b −∠=∠−−∠

=

]A[303

103303

106020

)24030()3/200(I ooooo

c ∠=−∠=∠−−∠

=

58

例6-4(續)

相對應的相量圖如圖6-30所示。在圖中同時表示了Δ形連接電源的相電流IAB，此一相電流大小是IA的 ，但領先IA 30o。

圖6-30 相對應的相量圖

)3/1(

59

例6-5

有一Y—Δ平衡三相系統，Y電源的VA＝120∠30oV，Δ形連接的負載其每相的阻抗為10+j7.54Ω。試求Δ形連接的負載每相的電流及線電流。[解]：對Y形連接電源而言，其線電壓為

其中θ＝30o。此一線電壓等於Δ形連接負載的相電壓，因此負載每相的電流可以表示為：

Ibc＝16.60∠(22.98o－120o)＝16.60∠－97.02o[A]Ica＝16.60∠(22.98o－240o) ＝16.60∠－217.02o＝16.60∠142.98o[A]

]V[603120)30(V3V ooAAB ∠=+θ∠=

]A[98.2260.1602.375.12603120

54.7j10603120I oo

oo

ab ∠=∠∠

=+∠

=

60

例6-5(續)

欲求線電流，可將Δ形連接負載轉變成為Y形連接，因ZΔ＝10+j7.54Ω，所以ZY可求得為：

因此各線電流可以表示為：

IBb＝28.78∠(－7.01o－120o)＝28.78∠－127.01o[A]ICc＝28.78∠(－7.01o－240o)＝28.78∠－247.01º

＝28.78∠112.99o[A]

][01.3717.451.2j33.3)54.7j10(31Z

31Z oY Ω∠=Ω+=+×== Δ

]A[01.778.2801.3717.4

30120ZVI o

o

o

Y

AAa −∠=∠

∠==

61

三相電路的功率在三相電路裡，無論負載是Y形或Δ形連接，每一相的實功率及無功功率分別為：

P＝VpIpcosθ[W] Q＝VpIpsinθ[VAR] 其中Vp及Ip分別表示相電壓及相電流，θ表示相電壓與相電流之間的相角。若以線電壓VL及線電流IL來表示，則實功率及無功功率分別為：

整體三相電路的總實功率及無功功率分別為：

]W[cos3IVP LL θ= ]VAR[sin3

IVQ LL θ=

]W[cosIV3cosIV3P ppLLT θ=θ=

]VAR[sinIV3sinIV3Q ppLLT θ=θ=

62

三相電路的功率

傳送到平衡Y連接負載的總複功率為：

而視功率可以表示為

]VA[)Q3()P3(Q3jP3jQPS 22TTT θ∠+=+=+=

]VA[IV3IV3

sin)IV(cos)IV(3S

LLPP

22pp

22ppT

==

θ+θ=

63

例6-6

假若在例6-3的電路裡再加入一個每分支阻抗為ZΔ＝5－j2的Δ形連接負載，而使其電路如圖6-31所示時，則這兩個並聯的負載總共取用的功率為多少？

圖6-31 例6-6的電路

64

例6-6(續)[解]：在此一電路裡共有兩個負載，其一為Y形連接，而每一分支的阻抗為：ZY＝2＋j4[Ω]另一為Δ形連接，其每一分支的阻抗為：ZΔ＝5－j2[Ω]求解此一電路最簡單的方法就是採用Y－Δ轉換法將Δ形連接負載轉換成Y形連接法。此一轉換關係如圖6-32所示。

圖6-32 負載轉換

65

例6-6(續)

經過轉換後，負載為兩個並聯的Y形連接負載，其中一個的分支阻抗為ZY，而另一個的分支阻抗為(ZΔ/3)。因為是平衡三相，所以只需考慮其中一相就可以。當只考慮一相時，電路可簡化如圖6-33所示。

圖6-33 只考慮一相的電路

66

例6-6(續)

每一相的總阻抗為

][64.062.13.4287.146.4108.24

10j116j18

10j1120j4j810

)324(j)

352(

)25j

35)(4j2(

)3

2j5()4j2()3/Z(Z

o

o

o

Y

Ω−∠=

∠∠

=++

=

++−+

=

−++

−+=

−+=Δ

67

例6-6(續)

流過每一相的電流為

每一相的實功率為：

Pa＝Ia2RL＝(132.6)2×1.62＝28.482[kW]因此總功率為：

PT＝3Pa＝85.45[kW]

]A[29.06.13229.062.3

0480018.0j62.12

048064.062.12

0480

oo

o

o

o

o

a

∠=−∠∠

=

−+∠

=−∠+

∠=I

68

例6-7

試求圖6-34三相電路所消耗的總實功率？

圖6-34 例6-7的電路

69

例6-7(續)

[解]：當只考慮一相時，電路可簡化如圖6-35所示。由此可得每相的阻抗為：

因此相電流為：

電路消耗的總實功率為：

Pa＝3Ip2RL＝3×(40)2×24＝115.2[kW]

圖6-35 只考慮一相的電路

][25625)815()24(Z 22 Ω==−+=

]A[4025

V1000ZV

I pp =Ω==

70

例6-8

有一三相電路，其負載是由兩個平衡負載並聯而成，其中一個是Y形連接，它每一相的阻抗為ZY＝6－j8Ω。另一個是Δ形連接，它每一相的阻抗為ZΔ＝8＋j6Ω。電路的線電壓為 ，整個電路的架構如圖6-36所示，試求電路的實功率、無功功率及視功率？

圖6-36 例6-8的電路

)0t120sin(22.173)t(v oAB +π=

71

例6-8(續)

[解]：電路的線電壓為

若改用相量表示，即為：VAB＝173.2∠0o[V]此一線電壓也等於Δ形連接負載的相電壓，因此Δ形連接負載的相電流可以求得為：

對Y形連接負載而言，其相電壓VaY並不等於線電壓VAB，兩者間的關係為：

)0t120sin(22.173)t(v oAB +π=

]A[87.3632.176j802.173

ZVI o

oAB

ab −∠=+∠

==Δ

Δ

]V[30100303

2.173)300(3

VV ooooABaY −∠=−∠=−∠=

72

例6-8(續)

Y形連接負載的相電流可以表示為：

因此電路的總實功率為：

PT＝3×{[(10)2×6]＋[(17.32)2×8]}＝9000[W]總無功功率為：

QT＝3×{[(10)2×(－8)]＋[(17.32)2×6]}＝3000[VAR]總視功率為：

ST＝PT＋jQT＝9000＋j3000＝9486.8[V]A因ST的相角為正，所以電路的整體負載為電感性。

]A[13.23108j630100

ZVI o

o

Y

aYaY ∠=−

−∠==

73

不平衡三相電路

所謂不平衡三相電路是指由不平衡三相電源或不平衡三相負載所構成的電路。不平衡三相電路的電壓或電流可用克希荷夫定律來計算。

74

不平衡Y—Y連接電路

圖6-37所示為一不平衡Y—Y連接電路，假設在此一電路裡電源為平衡，負載為不平衡。因負載不平衡所以負載的中性點n與電源中性點N之間存在有電壓VNn。

圖6-37 不平衡Y—Y連接電路

75

不平衡Y—Y連接電路

對各相應用克希荷夫定律可得：ZaIa＝Va－VNn ， ZbIb＝Vb－VNn ， ZcIc＝Vc－VNn

Ia＋Ib＋Ic＝0 由上述各式可得各線電流為：

其中Vab＝Va－Vb ， Vbc＝Vb－Vc ， Vca＝Vc－Va

]A[ZZZZZZ

VZVZIaccbba

cababca ++

−=

]A[ZZZZZZ

VZVZIaccbba

abcbcab ++

−=

]A[ZZZZZZ

VZVZIaccbba

bcacabc ++

−=

76

不平衡Δ—Δ連接電路

圖6-38 不平衡Δ—Δ連接電路

77

不平衡Δ—Δ連接電路在不平衡Δ—Δ連接電路裡各相負載的相電流為：

各線電流為相關相電流之差，因此

]A[ZVI

a

aa = ]A[Z

VIb

bb = ]A[Z

VIc

cc =

]A[ZV

ZVIII

ca

ca

ab

abcaaba −=−=

]A[ZV

ZVIII

ab

ab

bc

bcabbcb −=−=

]A[ZV

ZVIII

bc

bc

ca

cabccac −=−=

78

不平衡三相電路的功率三相電路的功率在負載不平衡時仍然為各相功率之和。設各相電壓為Va、Vb及Vc，及各相電流為Ipa、Ipb及Ipc，而各相電壓與相電流之間的相角為θa、θb及θc，則不平衡三相電路的總實功率為：PT＝Pa＋Pb＋Pc＝VaIpacosθa＋VbIpbcosθb＋VcIpccosθc[W] 及無功功率為：QT＝Qa＋Qb＋Qc＝VaIpasinθa＋VbIpbsinθb＋VcIpcsinθc[VAR] 視功率為：

若以複數來表示即視功率為：ST＝PT＋jQT[VA]

]VA[QPS 2T2

YT +=

79

例6-9試求圖6-39電路中負載的各相電流(Iab、Ibc、Ica)、各線電流(Ia、Ib、Ic)及三相功率，並繪出其相量圖。設三相電源是為平衡，其各相電壓分別為：VAB＝200∠0oV，VBC＝200∠－120oV，VCA＝200∠－240oV。

圖6-39 例6-9的電路

80

例6-9(續)

[解]：負載的各相電流分別為：

因此，各線電流為：

Ia＝Iab－Ica＝4－(－5 ＋j5)＝12.66－j5＝13.6∠－21.6o[A]Ib＝Ibc－Iab＝(－6.83－j1.83)－4＝10.83－j1.83＝10.98∠－170.4o[A]

]A[0450

V0200ZVI o

o

ab

abab ∠=Ω

∠==

]A[16507.783.1j83.6)20j20(

120200ZVI o

o

bc

bcbc −∠=−−=+

−∠==

]A[210105j35)10j310(V240200

ZVI o

o

ca

caca −∠=+−=Ω−

−∠==

3

81

例6-9(續)

Ic＝Ica－Ibc＝(－5 ＋j5)－(－5 ＋j5)＝1.83＋j6.83＝7.07∠－255o[A]

電路的總實功率為：PT＝[(4)2×50]＋[(7.07)2×20]＋[(10)2×10]＝3,532W

計算無功功率前，先求各負載相角的正弦值，他們分別為：sinθa＝0，sinθb＝0.707，sinθc＝－0.5

因此無功功率為：QT＝(200×4×0)＋(200×7.07×0.707)＋[200×10×(－0.5)]＝0[VAR]

視功率為：

3 3

]VA[3532)0()3532(QPS 222T2

TT =+=+=