Fenómenos de Trensporte I

1. Propiedades de los fluidos1.1 Tipos de flujo de fluidos1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos1.3 Fluidos no−newtonianos

2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)Cálculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geométricos sencillos. Velocidad media y máxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.2.1 Balances de envolventes de cantidad de movimiento Condiciones límite, estado estacionario.2.2 Flujo de una película descendente. Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas cartesianas.2.3 Flujo a través de un tubo circular. Presión y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilíndricas.2.4 Flujo a través de un anillo cilíndrico. Condiciones límite.2.5 Flujo a través de una rejilla vertical. Coordenadas cartesianas.2.6 Película descendente por el exterior de un tubo. Coordenadas cilíndricas.2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del tubo interior. Coordenadas cilíndricas.2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida. Coordenadas esféricas.

1

1. Propiedades de los fluidos

1.1 Tipos de flujo de fluidos

El experimento de Reynolds(1883) con agua fluyendo en una tubería transparente. Se inyecto un chorro de tinta negra en la dirección del flujo y se observan dos situaciones diferentes:1. A velocidades del agua suficientemente bajas la tinta fluye en líneas rectas y paralelas.2. A velocidades mayores la masa entera de agua se colorea. Las partículas hipotéticas individuales del líquido, en lugar de fluir de manera ordenada y paralela al eje longitudinal de la tubería, fluyen de manera errática causando el mezclado completo de la tinta y el agua.

El primer tipo de flujo se llama laminar o flujo de líneas de corriente. El movimiento se semeja a láminas de espesor infintesimal deslizándose en relación a las capas de fluido adyacentes.

Fig. 1.1. Flujo laminar

El segundo tipo de flujo se llama flujo turbulento. El movimiento del fluido es irregular y es acompañado por fluctuaciones locales de la velocidad.

a) b)

Fig 1.2. Flujo turbulento

En a) se muestra la trayectoria errática de la partícula durante un intervalo de tiempo.

En b) se muestra que la velocidad en un punto fijo del fluido, , fluctúa al azar alrededor de

un valor promedio temporal:

Reynolds sugirió el parámetro como el criterio para predecir el tipo de flujo en tubos

cilíndricos.

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dondeD: Diámetro de la tuberíaV: Velocidad promedio del fluido: Viscosidad cinemática

El parámetro es adimensional y se le llama número de Reynolds, Re. El valor de Re al cual ocurre la transición de laminar a turbulento es de 2100.

Fig. 1.3. Perfiles de velocidad en losregímenes laminar y turbulento

En la figura se muestra la distribución de velocidades para ambos regímenes de flujo. En ambos tipos de flujo la velocidad del fluido en la interfase fluido−pared es cero. Para el flujo laminar el perfil de velocidades es parabólico y para el flujo turbulento, la curva del perfil de velocidades en más achatada en la parte media

1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianosConsidérese un fluido contenido entre dos placas paralelas separadas una pequeña distancia (Y)

t = 0 tpequeño tgrande

Fig. 1.4. Flujo laminar de un fluido entre dos placas paralelas.

La placa superior se encuentra fija y la inferior se pone en movimiento al tiempo t = 0. Por experiencia se sabe que el fluido adyacente a las placas tendrá la misma velocidad que las placas.Así pues, el fluido adyacente a la placa inferior se mueve con una velocidad V, en tanto que el adyacente a la placa superior tiene una velocidad nula.

A medida que pasa el tiempo el fluido gana movimiento y finalmente se alcanza un estado estacionario, en el cual, con el fín de mantener la placa en movimiento, se debe aplicar una fuerza constante F y dada por la siguiente expresión:

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=

F: Fuerza de corteF/A: Esfuerzo cortante

De forma más general,

yx =

Dondeyx es el esfuerzo de corte entre dos láminas delgadas de fluido es el gradiente de velocidad o velocidad de deformación es la viscosidad del fluido

Unidades de la viscosidad

En el sistema cgs1 poise (P) = 1 dina·s/cm2 = gm/cm·s

El centipoise, cP, es la unidad más común. Algunas viscosidades usuales son (a 20 oC):

ViscosidadAire 0.018 cPBenceno 0.647 cPAgua 1 cPGlicerina 1070 cP

Otras unidades

1 cP = 2.42 lbm/h·ft1 cP = 2.09 10−5 lbf·s/ft2

1 cP = 6.72 10−4 lbm/ft·s

Ejemplo. En referencia a la fig 1.4 calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario, yx, expresada en kgf /m2, cuando la velocidad V de la lámina inferior, en la dirección positiva del eje x, es 0.3 m/s, la distancia entre las láminas, Y, 0.0003 m, y la viscosidad del fluido, , 0.7 cP.

Soln.:Convertimos todos los datos a unidades de kgf -m-s

4

Ley de Newton de la

viscosidad

Como el perfil de velocidades es lineal,

Observar que el momentum (ganancia en velocidad o cantidad de movimiento) se transfiere en la dirección negativa del gradiente.

Esto tiene una correspondencia literal con los fenómenos de conductividad de calor y difusividad de especies químicas:

qy = − k

jAy = − cDAB

qy Densidad de flujo de calorjAy Densidad de flujo de flujo molar de la especie Ayx Densidad de flujo de cantidad de movimiento

Notar que estas expresiones son de naturaleza empírica, y, salvo para el caso de gases ideales, no tienen un fundamento teórico, las constantes de proporcionalidad (, k y DAB) deben obtenerse mediante métodos experimentales.

Otra magnitud empleada en fenómenos de flujo es la viscosidad cinemática, que se define:

= /

Unidades en el sistema cgs

1 stoke = 1 cm2/s

El centistoke es la unidad más común. El agua tiene una viscosidad cinemática de 1 centistoke.

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Ley de Fourier de la conducción de

calor

Ley de Fick de la difusividad

1.2 Fluidos no−newtonianos

De acuerdo a la ley de Newton de la viscosidad, la gráfica del esfuerzo de corte contra el gradiente de velocidad debe ser una línea recta que pasa por el origen.Esto es verdadero para todos los gases y una gran parte de los líquidos no poliméricos de una sola fase. A este tipo de fluidos se les conoce como newtonianos.Sin embargo un gran número de fluidos no tienen ese comportamiento como se puede apreciar en la siguiente gráfica.

Fig. 1.5 Curvas de esfuerzo−velocidadde deformación para fluidos independientesdel tiempo. g = − dvx/dy

La reología es una disciplina de la ciencia que estudia el comportamiento mecánico (flujo y deformación) de gases, líquidos y sólidos incluyendo a los gases y líquidos newtonianos en un extremo y los sólidos hookianos por el otro

El comportamiento reológico de la mayoría de los fluidos en la figura se puede expresar de forma generalizada como

yx = −

donde ya no es constante y puede ser función del gradiente de velocidad o del esfuerzo.De la figura vemos que− si disminuye al aumentar el gradiente tenemos un comportamiento pseudoplástico (catsup, suspensiones(catsup, suspensiones)− si aumenta al aumentar el gradiente tenemos un fluido dilatante (arenas movedizas,(arenas movedizas, jaleas)jaleas)− si es independiente de la velocidad de deformación el comportamiento es newtoniano con = .− Los fluidos que requieren un esfuerzo de corte finito para iniciar el flujo se denominan plásticos de Bingham. Ejemplos de este tipo son la pasta de dientes y las suspensiones de polvo fino de carbón en agua.

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Flujo newtoniano generalizado

− Plásticos: Goma, asbestos− Seudoplásticos: purés, pulpa de papel− Newtonianos: agua, aceite−Dilatantes: arenas, jaleas

Modelo Ecuación

Bingham

Ostwald−de Waele

Eyring

Ellis

Reiner−Philippoff

Fluidos viscoelásticos

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Este tipo de fluidos no se comportan como fluidos newtonianos generalizados, ya que sus propiedades dependen del tiempo. Exhiben recuperación elástica después de una deformación, esto es, recuperan su conformación original en contraste con los fluidos newtonianos generalizados, que no se recuperan.

Dentro de los fluidos viscoelásticos se encuentran:Fluidos tixotrópicos. La viscosidad disminuye con el tiempo y se aproxima a un valor asintótico al aplicar repentinamente un esfuerzo cortante.

Fluidos reopécticos. La viscosidad aumenta con el tiempo.

La siguiente tabla muestra ejemplos comunes de los diferentes tipos de fluidos.

Tabla 1.1. Ejemplos de fluidos comunes exhibiendo diversas características reológicas.Newtonianos No−newtonianosAgua Seudoplástico

sPlásticos Tixotrópicos Reopécticos Dilatantes

Aceites minerales Salsa catsup Goma de mascar

Gel de sílice Bentonita Arena movediza

Hidrocarburos Tinta para impresión

Asbesto en aceite

La mayoría de las pinturas

Yeso en agua

Mantequilla de cacahuate

Soluciones salinas acuosas

Pulpa de papel Pegamento Jaleas

Suspensiones ligeras de tintes

Melaza

MantecaJugos concentrados de frutas naturalesAsfaltos

1.3 Influencia de la presión y la temperatura sobre la viscosidad

Para los líquidos, la viscosidad depende mucho de la temperatura debido a que las fuerzas de cohesión desempeñan un papel dominante; véase la figura 1.9.

8

En muchos casos las curvas se aproximan con la ecuación de Andrade: , donde A y B son constantes ajustables (T debe estar en unidades absolutas).

En el caso de un gas son los choques moleculares los que originan los esfuerzos internos, de modo que, al aumentar la temperatura y con ella la actividad molecular, la viscosidad aumenta. Esto se observa en la fig. 10.

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Tarea. La viscosidad del agua a 20°C es de 0.001 N·s/m2, y a 80°C es de 0.000357 N·s/m2. Utilizando la ecuación de Andrade estime la viscosidad del agua a 40°C. Determine el porcentaje de error. Sugerencia: Utilice temperatura absoluta.

Cuando se carece de datos experimentales de viscosidad y no se dispone de tiempo para obtenerlos, ésta se puede estimar por métodos empíricos usando otros datos de la sustancia en cuestión.

Un método, que usa una correlación basada en el análisis de un gran número de datos experimentales de diferentes fluidos, se fundamenta en el principio de estados correspondientes.

La fig. 1.3-1 es una representación de la viscosidad reducida, r = /c (que es la viscosidad a una cierta T y P, dividida por la viscosidad en el punto crítico), frente a la Tr y la Pr.

Se observa que la viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de un líquido disminuye al aumentar ésta.Si no se dispone de c, se puede estimar por dos métodos:

a) conociendo el valor de a ciertas Tr y pr, de ser posible a las condiciones lo más cercanas a las que se desean, c se calcula con c = /r.

b) conociendo sólo los valores críticos de p-V-T, c se estima con

ó

donde

c [=] micropoisespc [=] atmTc [=] K

[=] mL/gmol

10

Ejm 1.3-1. Estimación de la viscosidad a partir de las propiedades críticas.Calcule la viscosidad del N2 a 50°C y 854 atm, siendo M = 28.0 g/gmol, pc = 33.5 atm y Tc

= 126.2 K.Soln.:

189.1 micropoises = 189.1× 10-6 g/(cm·s)

De la fig. 1.3-1 se lee

El valor estimado de la viscosidad es

g/(cm·s)

El valor experimental es 455 × 10-6 g/(cm·s)

Ejm 1.3-2. Efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases.La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3°C es 1800×10-7 poise. Estime el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3°C utilizando la fig.1.3-1Soln.:

;

De la fig.:

Para la otra presión

De la fig.:

g/(cm·s)

11

El valor experimental es 5.8 × 10-4 g(cm·s)

Tarea. Prediga la viscosidad del oxígeno, nitrógeno y metano a presión atmosférica y 20°C. Use la ec. anterior (para estimar c) y la fig. 1.3-1. Exprese los resultados en cP.

Tarea. Estimar la viscosidad del N2 a 20°C y 67 atm. Expresar el resultado en kgm/(m·s).

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2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)

Cálculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geométricos sencillos. Velocidad media y máxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.

Metodología general1. Análisis del problema físico2. Modelo matemático del problema3. Solución matemática4. Interpretación física del resultado

Tipo de problemasFlujo en estado estacionario

Geometrías simplesFlujo newtonianoFlujo unidimensional

2.1 Balances envolventes de cantidad de movimiento.

Condiciones límite, estado estacionario.

Balance de cantidad de movimiento aplicado a una delgada capa de fluido (estado estacionario)(2.1.1)

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Ley de Newton de la viscosidadBalance de cantidad de movimiento

(unidimensionales)Condiciones límite

Perfiles de velocidad

Velocidad mediaFlujo

Esfuerzo cortante en superficies

Estado estacionario:Las condiciones en cada punto del sistema no cambian con el tiempo.Una fotografía en tiempo = t es igual a otra tomada a t + t

velocidad de entrada de cantidad de movimiento

velocidad de salida de cantidad de movimiento

+ = 0

Cantidad de movimiento

Fuerzas: Fuerzas de presión (actuando sobre superficies)Fuerzas de gravedad (actúan sobre el volumen)

Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso:

− Escribir el balance de cantidad de movimiento de acuerdo a la ec. (2.1.1) para una envoltura de espesor finito.

− Se hace tender a cero el espesor y, empleando la noción de derivada, se obtiene la ecuación diferencial que describe la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento.

− Se introduce la expresión newtoniana para la densidad de flujo de cantidad de movimiento y se obtiene una ecuación diferencial para la distribución de velocidad.

− Se integran las ecuaciones para obtener los perfiles de esfuerzos y velocidad.

− Se calculan las magnitudes de interés (velocidad promedio, esfuerzo en superficies límite, etc.).

Condiciones límite para la integración de ecuaciones diferenciales de flujo:

a. En las interfases sólido−fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie; es decir, se supone que el fluido está adherido a la pared sólida con la que se halla en contacto

b. En las interfases líquido−gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento y por consiguiente el gradiente de velocidad en la fase líquida es cero.

c. En las interfases líquido−líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento, como la velocidad, son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos lados de la interfase

2.2 Flujo de una película descendente.

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por transporte de acuerdo a la expresión newtoniana(transporte difusivo o molecular)

por movimiento global del fluido (convectivo)

suma de las fuerzas que actúan sobre el sistema

Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas cartesianasFlujo de una película que desciende por una superficie inclinada

Fig. 2.1. Flujo de una película bajo la acción de la gravedad.

Capa de espesor x sobre la que se aplica el balance de cantidadde movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.Aplicación− Torres de pared mojada− Evaporación de película delgada− Absorción de gases− Aplicación de capas de pintura

Se hace el balance de cantidad de movimiento en una lámina de ancho W, Longitud L y espesor x:

Note que las direcciones de «entrada» y «salida» se toman en las direcciones positivas de los ejes x y z.

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Velocidad de entrada de cantidadde movimiento a través de la superficie situada en x

(LW)xz│x

Velocidad de entrada de cantidadde movimiento a través de la superficie situada en z = 0

Velocidad de salida de cantidadde movimiento a través de la superficie situada en z = L

(LW)xz│x + x

(Wxvz)(vz)│z = 0

(Wxvz)(vz)│z = L

Fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido

(LWx)(g cos )

Velocidad de salida de cantidadde movimiento a través de la superficie situada en x + x

Sustituyendo los términos en la ecuación del balance (2.1.1),

(LW)xz│x − (LW)xz│x + x + (Wxvz)│z = 0 −(Wxvz)│z = L + LWx)(g cos ) = 0

ya que vz vale lo mismo para z = 0 que para z = L, los términos 3 y 4 se anulan y la ecuación queda,

(LW)xz│x − (LW)xz│x + x + (LWx)(g cos ) = 0

dividiendo entre LWx, cambiando de signo, y tomando el límite cuando x tiende a cero.lím = g cos esto es,xz = g cos

Ec. diferencial para la densidad de flujode cantidad de movimiento

Integrando la ecuación se obtienexzgx cos c1

La constante de integración se evalúa con la C.L. correspondiente a la interfase líquido−gas:C.L. 1: x = 0 xz

Sustituyendo en (3) se obtiene c1 = 0. Por lo tanto la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es

xzgx cos

Ya que el fluido es newtoniano, la densidad de flujo de cantidad de movimiento se relaciona con el gradiente de velocidad mediantexz = − Sustituyendo en la ecuación (2.2.2),

= − x (2.2.3)

Ec. diferencial para ladistribución de velocidad

que puede integrarse para obtenervz = − x2 + c2

La constante de integración se evalúa con la condición límite correspondiente a la interfase sólido−fluidoC.L. 2: x = vz = 0De aquí se obtiene que c2 = 2

Por consiguiente, la distribución de velocidad es

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vz = [1 − (x/)2 ] (2.2.4)

Perfil parabólico de velocidades

Ya que se tiene la distribución de velocidad se pueden calcular las siguientes cantidades,i) La velocidad máxima, vz,máx

ii) La velocidad media < vz>iii) El flujo volumétrico Qiv) El espesor de la película en función de lavelocidad mediav) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre lasuperficie

i) La velocidad máxima, vz,máx

Por el perfil parabólico, es evidente que la velocidad máxima ocurre en x = 0; por tanto

vz,máx =

ii) La velocidad media < vz>

Se calcula sumando todas las velocidades en una sección transversal y dividiendo por el área de dicha sección:

< vz> =

= ∫vz dx

Sustituyendo vz,< vz> = ∫[1 − (x/)2]dxpasando 1/ al término integral y definiendo la nueva variable de integración como x/:

< vz> = ∫[1 − (x/)2]d() (2.2.5)

La integral produce∫[1 − (x/)2]d() = ∫d() − ∫(x/)2d()

= ] − ] = 1 − 1/3= 2/3

sustituyendo en ec. 2.2.5< vz> =

iii) El flujo volumétrico Q

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Se puede calcular a partir de la velocidad media:Q = W<vz>

Q = (2.2.6)

iv) El espesor de la película en función de la velocidad media.

De la expresión de la velocidad media =

v) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre la superficie.

Se obtiene integrando la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre la interfase fluido−sólido.

Fz = ∫∫xz│x = dy dz

De la ecuación del perfil de esfuerzos, ec 2.2.2= ∫∫gx cos │x = dy dz= ∫∫g cos dy dz

= g cos ∫∫dy dz= LWg cos

Esta cantidad es la componente en z del peso de todo el fluido contenido en la película.Experimentalmente se ha encontrado que para paredes verticales se tienen los siguientes regímenes de flujo.

Flujo laminar sin ondulaciones Re < 4 a 25Flujo laminar con ondulaciones 4 a 25 < Re < 1000 a 2000Flujo turbulento Re > 1000 a 2000

Donde Re = 4<vz>/

2.3 Flujo a través de un tubo circularPresión y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilíndricasFlujo de fluidos en tuberías. Problema muy común en las áreas:− Ingeniería− Física− Química− BiologíaSe desea conocer el perfil de esfuerzos y velocidades, el flujo, caída de presión y esfuerzo en la interfase sólido−fluido.

El flujo laminar se puede analizar mediante el balance de cantidad de movimiento, ec. (2.1.1). Para este problema es más conveniente emplear coordenadas cilíndricas.

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Considérese el arreglo siguiente:

Fig 2.2. Elemento cilíndrico de un fluido sobre el cualse aplica el balance de cantidad de movimiento.

Bases del análisis− Estado estacionario− Flujo laminar− No existen efectos finales− Operación isotérmica (densidad y viscosidad constantes)

Eligiendo una envoltura cilíndrica de espesor r y longitud L, los términos del balance de cantidad de movimiento son

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(2rL)rz│r

(2rL)rz│r + r

(2rrvz)(vz)│z = 0

Velocidad de entrada de cantidadde movimiento a través de la superficie cilíndrica situada en r

Velocidad de salida de cantidadde movimiento a través de la superficie cilíndrica situada en r + r

Velocidad de entrada de cantidadde movimiento debida al flujo deentrada a través de la superficie situada en z = 0

Las direcciones de entrada y salida deben tomarse siempre en la dirección positiva de los ejes.

Sustituyendo en el balance de cantidad de movimiento

(2rL)rz│r − (2rL)rz│r + r + (2rrvz)│z = 0 − (2rrvz)│z = L + (2rrL)g + (2rr)p0 − (2rr)pL = 0

Ya que el fluido es incompresible vz no cambia con z, los términos 3 y 4 se anulan entre sí.

(2rL)rz│r − (2rL)rz│r + r + (2rrL)g +(2rr)p0

− (2rr)pL = 0

Dividiendo entre 2Lr:

+ gr +(r/L)p0 − (r/L)pL = 0

= ( + g) r

Tomando límites

lím = ( + g) r

rrz = ( + g) r

Rearreglando los términos de presión

rrz = [] r = () r

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(2rrvz)(vz)│z = L

(2rrL)g

(2rr)p0

− (2rr)pL

Fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z = 0

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z = L

Velocidad de salida de cantidadde movimiento debida al flujo desalida a través de la superficie situada en z = L

rrz = () r

Ec. diferencial de densidad de flujode cantidad de movimiento

donde P = p + gh (Efecto combinado de presión estática yo P = p − gz fuerza de gravitación). h debe ser medida"hacia arriba" desde un plano cualquieraque se toma como referencia. En estecaso z = L

Resolviendo la ec. diferencial

d(rrz) = () rdr

rrz = ()+ c1

rz = () r +

Notar que c1 debe ser cero ya que el esfuerzo sería infinito cuando r sea cero. Entonces,

rz = () r

Distribución de la densidad de flujode cantidad de movimiento

Para obtener el perfil de velocidad sustituimos la ley de Newton de la viscosidad,

rz = − = () r

= − () rEc. diferencial para la velocidad

Integrando,

vz = − () r2 + c2

Para evaluar la constante se emplea la condición límite de que la velocidad en la interfase es cero,C.L. vz = 0 en r = Rsustituyendo en la expresión de vz,

c2 = () R2

Por lo tanto

21

vz = () R2 − () r2

= ()(R2 − r2)vz = [1− (r/R)2]

Perfil de velocidades para elflujo en tubos cilíndricos

Fig. 2.3. Distribuciones de velocidad y densidad de flujo decantidad de moviento para el flujo en tubos cilíndricos.

Se desean calcular las siguientes magnitudesi) La velocidad máxima, vz,máx

ii) La velocidad media < vz >iii) El flujo volumétrico Qiv) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre lasuperficie mojada de la tubería

Solución:

i) La velocidad máxima, vz,máx

Esta tiene lugar para r = 0, esto es,vz,máx =

ii) La velocidad media < vz>Se suman todas las velocidades en una sección transversal y se divide por el área de dicha sección< vz > =

22

∫vz r dr = ∫ r dr

= [R2∫rdr − ∫r3dr ]= [R2( R2/2) − (R4/4)]= [R4/4] = Entonces,

∫∫vz r dr d∫d

Por otra parte∫ r dr = R2/2∫∫r dr d R2/2∫d = 2 (R2/2)

Por consiguiente la expresión para vz queda,

< vz > =

< vz > =

Notar que < vz > = vz,máx / 2

iii) El flujo volumétrico QEs el producto del área por la velocidad media, por lo tanto

Q = Aflujo< vz > = R2

Q =

Ley de Hagen Poiseville

iv) El componente−z de la fuerza Fz del fluido sobre lasuperficie mojada de la tubería.

Es el esfuerzo evaluado en la interfase por el área:Fz = 2RL (− )│r = R

De la ec. diferencial para la velocidad:

│r = R = − () RLa fuerza es entonces,

Fz = 2RL () R

23

Relaciona el flujo con las fuerzas que originan dicho flujo (fuerzas gravitacionales y de presión)

Fz = R2 (P0 − PL)

Este resultado indica que las fuerzas debidas a la presión y gravedad se equilibran exactamente con las fuerzas viscosas que tienden a oponerse al movimiento del fluido.

Experimentalmente se ha encontrado que para el flujo en tuberías, el flujo laminar se presenta para Re (= D < v > ) < 2 100

Resumen de suposiciones en el desarrollo de la Ley de Hagen−Poiseville

a) El flujo es laminar (Re < 2 100)b) La densidad es constantec) Estado estacionariod) El fluido es newtonianoe) Efectos finales despreciables

2.4 Flujo a través de un anillo cilíndrico. Condiciones límite

− Coordenadas cilíndricas− condiciones límite− estado estacionario− fluido newtoniano− Aplicaciones:intercambiadores de calor de doble tuboreómetros (medición de viscosidad)

Fig. 2.4 Flujo ascendente a través dedos tubos concéntricos.

Se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una delgada envoltura cilíndrica, y se llega a la misma ecuación diferencial que se obtuvo en el caso de un tubo cilíndrico verticalrrz = () r (2.4.1)

24

Esta ecuación se integra directamente para dar

rrz = ()+ c1

rz = () r + (2.4.2)

Evaluación de c1:

Sabemos que la velocidad del fluido en las paredes que lo rodean es cero y por lo tanto su velocidad alcanzó un máximo en algún punto intermedio, digamos r = R. Consecuentemente, la densidad de flujo de cantidad de movimiento (el esfuerzo) fué cero en ese punto:

rz = () R + = 0

de aquí, c1 = − () (R)2

Entonces la ec. 2.4.2 queda:

rz = () r +

= (r − )rz = (− 2) (2.4.3)

Sustituyendo la expresión de Newton de la viscosidad,

− = (− 2)

= − (− 2) (2.4.4)

Ec. diferencial para la distribuciónde velocidades

Integrando (2.4.4)

vz = − ( − 2Rln r + c2)

nos interesa que nuestra variable independiente sea r/R por lo quemultiplicamos y dividimos por R

vz = − ( − 2ln r + c2')

= − ( − 22ln r + c2")

sumando y restando −2 ln R,

25

vz = − [ ()2

− 22ln (r/R) + c2"'] (2.4.5)

Ahora se evaluarán las constantes de integración y c2"' con las siguientes condiciones límite

C.L. 1: para r = R vz = 0C.L. 2: para r = R vz = 0

Sustituyendo ambas condiciones en la ec. (2.4.5)

0 = − [ 2 − 22ln () + c2"']

0 = − [ 1 + c2"']

de la última ecuación, se ve que c2"' = −1. Sustituyendo en la primera:

0 = 2 − 22ln () −1

de aquí,0 = 2 + 22ln (1/) −1

22 = (2.4.6)

Sustituyendo estos valores en las ecs. de esfuerzos y velocidad, ec. 2.4.3 y 2.4.5:

rz = [ − ] (2.4.7)

vz = [ 1 − ()2

+ ln (r/R) ](2.4.8)

Observar que cuando se hace cero estas ecuaciones se transforman en las correspondientes al tubo cilíndrico.

Ya que se tienen los perfiles de esfuerzos y velocidades, se desean obtener las siguientes magnitudes:

i) La velocidad máxima, vz,máx

ii) La velocidad media < vz >iii) El flujo volumétrico Qiv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido.

i) La velocidad máxima, vz,máx

vz,máx = vz│r = R = [ 1 − 2 + ln () ]

de la ec. 2.4.62 =

26

y tambiénln = ln

sustituyendo en la expresión para vz,máx

vz,máx = [ 1 − + ln ]={1 − [1 − ln ]}ii) La velocidad media < vz >< vz > =

Evaluamos primero la integral

∫vz r dr = ∫[1 − ()2

+ ln (r/R) ]r dr

= A{r2 │− r4│+ ∫ln(r/R)r dr}

= A{R2(1 − 2) − R2(1 − 4) + ∫ln(r/R)r dr }

factorizando A R2(1 − 2) = B

∫vz r dr = B[ 2 − + ∫ln(r/R)r dr] (2.4.9)

Evaluando por partes la integral∫ln(r/R)r dr = [ln r/R − ∫dr] │u = ln r/R ; dv = r drdu = () = dr ; v =

∫ln(r/R)r dr = (ln r/R − ∫r dr) │= (ln r/R − r2) │= (ln r/R − ) │= (− ) − (ln − )

= [ − − 2(ln − )]

∫vz r dr =

= B{ 2 − + [ − − 2(ln − )]}

= B{ 2 − + [ − − 2(ln −)]}

27

A

= B{ 2 − − − 2 [(ln −)]}

= B{ 2 − − − 2 [− ln 1/ −]}= B{ 2 − − − 2 [−2 − ]}= B[ 2 − − + 22 + ]

= B(2 − − + 22)= B[ − ]= B[ − ]= B[ − ]

Por otra parte,

∫r dr = │ = (1 − 2)

Sustituyendo en ec. para <vz> y considerando que la velocidad no es función de :

<vz> = B[ − ]

sustituyendo B = A R2 (1 − 2)

<vz> = [ − ]= [ − ]

Sustituyendo el valor de A

<vz> = [ − ]

iii) El flujo volumétrico Q

El área de flujo está dada porA = R2 − (R)2 = R2 (1 − 2)

El flujo es entoncesQ = A<vz> =R2 (1 − 2) <vz>

= [ 1− 4 − ]

iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido.

Se obtiene sumando las fuerzas que actúan sobre los cilindros exterior e interior:

Fz = − rz│r = R ·2RL+ rz│r = R·2RL

= − [ − ]· 2RL +

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[1 − ]· 2RL= R2(P0 − PL)(− 2 + + 1 − )= R2(P0 − PL)(1− 2)

Tarea2.5 Flujo laminar en una rejilla estrecha.

Un fluido viscoso circula con flujo laminar por dos paredes planas separadas por una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento (momentum) y de velocidad.xz = () x

vz = [1− (x/B)2]

En las que P = p + gh = p − gz.

¿Cuál es la relación de la velocidad media a la máxima en la rendija? Obtener la ecuación de flujo para la rendija (equivalente a la ley de Hagen−Poiseville).Respuesta:<vz> = vz, máx ; Q =

Fig. 2.5. Flujo a través de una rendija.

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2.6 Flujo laminar en una película que desciende por el exterior de un tubo cilíndrico.En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo (Véase figura).

Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor r, tal como se indica en la figura. Obsérvese que las flechas de «entrada de cantidad de movimiento» y «salida de cantidad de movimiento» se toman siempre en la dirección r positiva, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa.a. Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es

vz = [1 − ()2+ 2a2 ln() ]

b. Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.

Fig. 2.6. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad demovimiento para una película que desciende por el exterior

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de un tubo cilíndrico.

2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del tubo interior.

Considere el sistema de la figura. La varilla cilíndrica se mueve con velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en el estado estacionario y la velocidad volumétrica de flujo. Este tipo de problemas se presenta en el recubrimiento de alambres con barniz.

Respuesta: = ; Q = ( − 22)

Fig 2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axialdel cilindro interior.

2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida

Puesto que el problema de flujo alrededor de una esfera implica líneas de flujo curvas, no puede resolverse por las técnicas que hemos visto en este capítulo. Sin embargo, lo trataremos brevemente sin deducir las expresiones pertinentes.

Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible que asciende verticalmente hacia una esfera de radio R y diámetro D. El fluido tiene una viscosidad μ y una densidad ρ y asciende a una velocidad uniforme v∞.

Analíticamente se ha encontrado que para un flujo lento la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es

(2.8-1)

La distribución de presión es

(2.8-2)

Y los componentes de la velocidad son

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(2.8-3)

(2.8-4)

En (2.8-2) p0 es la presión el el plano z = 0 alejado de la esfera,−ρgz es la contribución del peso del fluido (efecto hidrostático),Y el término que contiene v∞ es la contribución debida al flujo alrededor de la esfera.

Estas ecuaciones son válidas para flujo reptante, es decir para . Cuando

no hay remolinos aguas abajo de la esfera.

Observe que las ecuaciones satisfacen las condiciones límite parar = R y r = ∞.

Integrando la fuerza normal (perpendicular a la superficie) ejercida por el fluido sobre la esfera resulta en

(2.8-5)

{Fuerza de flotación} {Resistencia de forma}

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Integrando la fuerza tangencial debida al esfuerzo cortante se obtiene

{Resistenca de fricción} (2.8-6)

Sumando las ecs. 2.8-5 y 2.8-6 se tiene

(2.8-7)

{Fuerza estática} {Fuerza cinética}

La fuerza estática (de flotación o sedimentación) se ejerce aunque el fluido esté en reposo.

La fuerza cinética, que resulta del movimiento del fluido, es la conocida ley de Stokes.

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