CAZURILE CAZURILE DE DE

CONGRUENŢĂCONGRUENŢĂALE ALE

TRIUNGHIURILORTRIUNGHIURILOR

DEFINIŢIEDEFINIŢIE

Două triunghiuri suntDouă triunghiuri sunt congruentecongruente dacă audacă au laturilelaturile şişi unghiurileunghiurile respectivrespectiv congruentecongruente

PC

NB

MAMPAC

NPBC

MNAB

MNPABC ][][

][][

][][A

B CM

PN

PROPRIETĂŢIPROPRIETĂŢI REFLEXIVITATE: REFLEXIVITATE:

SIMETRIE:SIMETRIE:

TRANZIVITATE: TRANZIVITATE:

ATENŢIE!!!ATENŢIE!!! În două triunghiuri congruente la laturi În două triunghiuri congruente la laturi congruente se opun unghiuri congruente (şi reciproc!!!)congruente se opun unghiuri congruente (şi reciproc!!!)

ABCABC

ABCMNPMNPABC

MNPABCMNPDEFDEFABC

CAZURILE DE CAZURILE DE CONGRUENŢĂCONGRUENŢĂ

CAZUL I: LULCAZUL I: LUL Două triunghiuri sunt congruente au două perechi de laturi Două triunghiuri sunt congruente au două perechi de laturi

congruente şi unghiurile formate de aceste laturi congruentecongruente şi unghiurile formate de aceste laturi congruente CAZUL II: ULUCAZUL II: ULU Două triunghiuri sunt congruente au o pereche de laturi Două triunghiuri sunt congruente au o pereche de laturi

congruente şi unghiurile învecinate acestora respectiv congruentecongruente şi unghiurile învecinate acestora respectiv congruente CAZUL II: LLLCAZUL II: LLL Două triunghiuri sunt congruente au o laturile respectiv Două triunghiuri sunt congruente au o laturile respectiv

congruentecongruente

CAZUL I:CAZUL I: LUL LUL

A B

C

M N

P

][][

][][

][][

NPBC

NB

PC

MNPABC

MA

MPAC

MNABLUL

OBSERVAŢIE!!!OBSERVAŢIE!!!

Cazul Cazul LLULLU nu estenu este, în general, valabil; , în general, valabil; Desenul de mai jos vă oferă un contraexemplu;Desenul de mai jos vă oferă un contraexemplu; Avem: Avem: 1)1) (latură comună), (latură comună), 2)2)

(unghi comun), (unghi comun), 3)3) ; ; Se observă că Se observă că AC < ADAC < AD, deci triunghiurile , deci triunghiurile ABC ABC si si ABDABD nu nu

sunt congruente. sunt congruente.

][][ ABAB

A B

D

][][ BDBC

C

BADBAC

CAZUL IICAZUL IIULUULU

A B

C

M N

P

][][

][][

][][

MPAC

NPBC

PC

MNPABC

NB

MA

MNABULU

OBSERVAŢIIOBSERVAŢII

1)1) Este necesar ca suma Este necesar ca suma celor două unghiuri să fie celor două unghiuri să fie mai mică decât ; mai mică decât ;

2)2) Cazul Cazul LUU LUU (sau (sau UULUUL) ) este de asemenea valabil este de asemenea valabil (folosim suma (folosim suma unghiurilor unui unghiurilor unui triunghi).triunghi).

o180

CAZUL IIICAZUL IIILLLLLL

A B

C

M N

P

PC

NB

MA

MNPABC

MPAC

NPBC

MNABLLL

][][

][][

][][

OBSERVAŢIIOBSERVAŢII

1)1) Este necesar ca suma oricăror Este necesar ca suma oricăror două laturi să fie mai mare decât două laturi să fie mai mare decât a treia (“pe matematiceşte” a treia (“pe matematiceşte” a + b a + b > c> c (şi alte două inegalităţi); (şi alte două inegalităţi);

2)2) Este necesar ca diferenţa Este necesar ca diferenţa oricăror două laturi să fie mai oricăror două laturi să fie mai mică decât a treia (“pe mică decât a treia (“pe matematiceşte” matematiceşte” a – b < ca – b < c (şi alte (şi alte două inegalităţi). două inegalităţi).

CAZURILE DE CONGRUENŢĂ CAZURILE DE CONGRUENŢĂ PENTRU PENTRU TRIUNGHIURILE DREPTUNGHICETRIUNGHIURILE DREPTUNGHICE

Pentru ca două triunghiuri Pentru ca două triunghiuri dreptunghice să fie congruente dreptunghice să fie congruente sunt necesare doar două sunt necesare doar două perechi de elemente perechi de elemente congruente;congruente;

Distingem patru cazuri de Distingem patru cazuri de congruenţă:congruenţă:

CC, CI, CU, IUCC, CI, CU, IU

CAZUL I: CAZUL I: CCCC

A B

C

M N

PP

PC

MB

NPBC

NMPBACMPAC

MNAB CC][][

][][

][][

CAZUL II:CAZUL II:CICI

A B

C

M N

P

PC

NB

MPAC

NMPBACNPBC

MNAB CI][][

][][

][][

CAZUL IIICAZUL IIICUCU

A B

C

MN

P

PC

NPBC

MPAC

NMPBACNB

MNAB CU

][][

][][][][

CAZUL IV:CAZUL IV:IUIU

A B

C

M N

P

PC

MNAB

MPAC

NMPBACNB

NPBC IU

][][

][][][][

OBSERVAŢIIOBSERVAŢII

1)1) Dacă două triunghiuri sunt Dacă două triunghiuri sunt congruentecongruente, atunci înălţimile , atunci înălţimile corespunzătoare laturilor corespunzătoare laturilor congruentecongruente sunt sunt congruentecongruente;;

2)2) Afirmaţia de mai sus este valabilă Afirmaţia de mai sus este valabilă şi pentru şi pentru bisectoarebisectoare (respectiv (respectiv medianemediane););

3)3) Dacă avem trei perechi de elemente Dacă avem trei perechi de elemente congruentecongruente (laturi, unghiuri, linii (laturi, unghiuri, linii importante), atunci cele două importante), atunci cele două triunghiuri triunghiuri sunt congruentesunt congruente;;

EXEMPLUL 1EXEMPLUL 1

]'[]'[',', PPCCMNPPABCCMNPABC

A B

C

M NC’

P’

P

DEM: ][][, NPBCNBMNPABC , dar PNPCBC '' (= 90o)

]'[]'['' PPCCPNPCBCIU

EXEMPLUL 2EXEMPLUL 2

DSQABC , AP, DT bisectoare ][][ DTAP

A

B C S Q

D

PT

DEM: ][][,, DQACQCDASDQABC

][][,, DQACQCTDQPAC ][][ TDAPTDQPACULU

EXEMPLUL 3EXEMPLUL 3

MNPABCMQADPCMNAB ][][,],[][

A

B CD

M

N PQ

][][][][

][][NQBDNQMBDA

MNAB

MQAD CI

(1) ;

][][],[][][][

MPACQPDCMQPADCMQAD

PC CU

(2);

Din (1) şi (2) rezultă BD + DC = NQ + QP ][][ NPBC (3); Din (1), (2) şi (3) rezultă MNPABC (LLL)

SĂ NE DISTRĂM PUŢIN!!!SĂ NE DISTRĂM PUŢIN!!!

Haideţi să învăţăm cazurile de congruenţă Haideţi să învăţăm cazurile de congruenţă cântând! Aveţi mai jos versurile (în cântând! Aveţi mai jos versurile (în română, dar şi în engleză)! Ascultaţi-le!!! română, dar şi în engleză)! Ascultaţi-le!!!

Cum??? Cum??? Foarte simplu! Foarte simplu! Daţi un dublu click pe difuzor! Daţi un dublu click pe difuzor! Dacă aveti voce, puteţi să şi cântaţi! Dacă aveti voce, puteţi să şi cântaţi! Poate aşa o să-nvăţaţi!Poate aşa o să-nvăţaţi! Dar să nu păţiţi ca miliţienii din banc: să Dar să nu păţiţi ca miliţienii din banc: să

învăţaţi melodia şi… să uitaţi versurile!!!!!învăţaţi melodia şi… să uitaţi versurile!!!!!

TRIUNGHIURILE CONGRUENTETRIUNGHIURILE CONGRUENTE

DouDouăă triunghiuri sunt congruente – bis triunghiuri sunt congruente – bis

DacDacăă, dac, dacăă şişi numai dac numai dacăă, ,

DacDacăă, dac, dacăă, dac, dacă…ă…

Laturile sunt conguenteLaturile sunt conguente

DouDouăă c cââte doute douăă

Unghiurile sunt congruenteUnghiurile sunt congruente

DouDouăă c cââte doute douăă

Sunt suficienteSunt suficiente

TTrei elemente congruenterei elemente congruente

Pentru ca douPentru ca douăă triunghiuri triunghiuri

Sa fie congruenteSa fie congruente

LaturLaturăă, Unghi, Latur, Unghi, Latură,ă,

Unghi, LaturUnghi, Laturăă, Unghi, Unghi,,

LaturLaturăă, Latur, Laturăă, Latur, Latură,ă,

Da, da, da, daDa, da, da, da!!

DouDouăă triunghiuri dreptunghice triunghiuri dreptunghice

Sunt congruenteSunt congruente

Cu douCu douăă perechi de elemente perechi de elemente

Ce sunt cCe sunt congruenteongruente..

IpotenuzIpotenuză,ă, Catet Catetă,ă,

CatetCatetăă, Catet, Catetă,ă,

CatetCatetăă, Unghi, Unghi,,

IpotenuzIpotenuzăă, Unghi, Unghi..

CONGRUENT TRIANGLESCONGRUENT TRIANGLES

Two triangles are congruentTwo triangles are congruent

If and only if – bis If and only if – bis

Their sides are congruentTheir sides are congruent

Two by twoTwo by two

Their angles are congruentTheir angles are congruent

Two by two Two by two

If three pairs of elementsIf three pairs of elements

Are congruentAre congruent

Then two trianglesThen two triangles

Are congruentAre congruent

Side, Angle, SideSide, Angle, Side

Angle, Side, AngleAngle, Side, Angle

Side, Side, Side Side, Side, Side

Yeah, Yeah, Yeah!!!!Yeah, Yeah, Yeah!!!!

Only two pairs of elementsOnly two pairs of elements

If their are congruentIf their are congruent

Then two right-angle trianglesThen two right-angle triangles

Are congruent!Are congruent!

I & CI & C

C & CC & C

C& AC& A

I & AI & A