Catatan Kecil Belajar

MATLAB Untuk Matematika Terapan dan Teknik

Arif Muchyidin

i

Kata Pengantar

Buku berjudul “Catatan Kecil Belajar MATLAB Untuk

Matematika Terapan dan Teknik” merupakan langkah kecil dalam

mempelajari program MATLAB. Buku ini dibuat sesederhana

mungkin, sehingga diharapkan dapat dipelajari secara mandiri oleh

pemula, baik mahasiswa (teknik ataupun non teknik), dosen,

ataupun praktisi.

Buku berjudul “Catatan Kecil Belajar MATLAB Untuk

Matematika Terapan dan Teknik” dibuat dalam 4 bab, mulai dari

mengenal MATLAB dan bagian – bagiannya, operasi – operasi yang

berkaitan dengan matematika, cara menggambar grafik (baik dua

dimensi ataupun 3 dimensi), persamaan diferensial, dan terakhir

integral. Tiap – tiap bagian selain diberikan penjelasan atau teori

penunjang, juga diberikan contoh – contoh yang berkaitan dengan

materi atau aplikasinya. Beberapa aplikasi yang dibahas tentunya

yang berkaitan dengan matematika, matematika terapan

(pemodelan matematika), fisika, ataupun teknik.

Buku ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis

sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi

penyempurnaan buku ini. Terima kasih.

Arif Muchyidin

ii

Daftar Isi

KATA PENGANTAR ..................................................................................... I

DAFTAR ISI ................................................................................................ III

BAB I PENDAHULUAN .............................................................................. 1

1.1 APA ITU MATLAB ? ............................................................................... 1

1.2 BAGIAN – BAGIAN MATLAB .................................................................. 3

1.3 OPERASI MATEMATIKA SEDERHANA PADA MATLAB ............................ 8

BAB II MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI .......................................... 19

2.1 MEMBUAT GRAFIK DUA DIMENSI ...................................................... 19

2.2 MEMBUAT GRAFIK TIGA DIMENSI ..................................................... 47

2.3 MEMBUAT GRAFIK DARI DATA EXCEL ............................................... 55

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL .................................................. 63

3.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL BISA ........................................................ 63

3.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE 2 ........................................ 71

3.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER ORDE 1 ................................................. 76

3.4 PLOT GRADIENT FIELD ...................................................................... 88

BAB IV INTEGRAL .................................................................................... 95

4.1 PENDAHULUAN LUAS DAN RSUM ....................................................... 95

4.2 MENENTUKAN NILAI INTEGRAL ...................................................... 100

4.3 APLIKASI INTEGRAL TENTU ............................................................. 102

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 120

1

Bab I ~ Pendahuluan

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Apa itu Matlab ?

Matlab merupakan sebuah singkatan dari Matrix

Laboratory. Matlab pertama kali dikenalkan oleh

University of New Mexico dan University of Stanford

pada tahun 1970. Matlab biasa digunakan untuk

kebutuhan analisis dan komputasi numerik karena

Matlab merupakan suatu bahasa pemrograman

matematika yang berdasar pada sifat dan betuk dari

matriks.

Pada awalnya, program ini merupakan interface untuk

koleksi rutin-rutin numerik dari proyek LINPACK dan

EISPACK, dan dikembangkan menggunkan bahasa

FORTRAN namun sekarang merupakan produk

komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. yang dalam

perkembangan selanjutnya dikembangkan menggunakan

bahasa C++ dan assembler (utamanya untuk fungsi-

fungsi dasar MATLAB). Saat ini, kemampuan dan fitur

yang dimiliki oleh Matlab sudah jauh lebih lengkap

2

Bab I ~ Pendahuluan

dengan ditambahkannya toolbox - toolbox yang sangat

luar biasa.

Software ini pertama kali digunakan untuk keperluan

analisis numerik, aljabar linier dan teori tentang matriks.

Selain itu, seiring dengan perkembangannya, Matlab

berubah menjadi sebuah environment bahasa

pemrograman yang canggih yang berisi fungsi – fungsi

untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier,

dan fungsi matematika lainnya. MATLAB bersifat

extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat

menulis fungsi baru untuk ditambahkan pada library

ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat

melakukan tugas tertentu. Kemampuan pemrograman

yang dibutuhkan tidak terlalu sulit bila Anda telah

memiliki pengalaman dalam pemrograman bahasa lain

seperti C, PASCAL, atau FORTRAN.

Karena kecanggihannya Matlab dapat digunakan

untuk hal sebagai berikut :

1. Perhitungan Matematika, baik yang sederhana

maupun yang kompleks

2. Komputasi numerik

3. Simulasi dan pemodelan

4. Visualisasi dan analisis data

3

Bab I ~ Pendahuluan

5. Pembuatan grafik untuk keperluan sains dan teknik

6. Pengembangan aplikasi

1.2 Bagian – Bagian Matlab

Untuk mulai bekerja dengan Matlab, bukalah program

Matlab yang sudah terinstal di laptop atau komputer,

maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

gambar 1. 1 : Jendela Utama Matlab

Dalam Matlab, menu utama yang dapat digunakan

dalam melakukan komputasi matematika adalah

Command Window dan menu M-file (dibahas kemudian).

Kedua menu tersebut mempunyai kelebihan dan

kekurangan masing – masing. Oleh karena itu dalam

menentukan pilihan menu terlebih dahulu melihat kasus

Command

Window

Menu bar

Direktori

yang aktif

4

Bab I ~ Pendahuluan

dan tujuan yang akan dicapai, sehingga pemilihan menu

disesuaikan dengan tujuan yang akan dicapai atau output

yang dihasilkan.

Ketika jendela utama Matlab terbuka, maka pada

Command Window akan terlihat command prompt :

>>

Dari prompt inilah kita dapat menuliskan command

Matlab, sama halnya command prompt pada aplikasi

DOS. Pada Command Window kita dapat menuliskan

operasi matematika apapun, sebagai contoh :

>> 2+5

Setelah itu jangan lupa untuk menekan Enter, sehingga

muncul hasil sebagai berikut :

ans =

7

Atau perintah lain, date untuk mengetahui tanggal hari

ini, maka cukup menuliskan perintah sebagai berikut :

>> date

dan hasilnya adalah sebagai berikut :

5

Bab I ~ Pendahuluan

ans =

12-Jul-2016

gambar 1. 2 : Perintah pada Command Window

sedangkan command clc adalah perintah untuk

membersihkan Command Window : (Widiarsono, 2005)

>> clc

dan tampilan Command Window akan kembali seperti

ketika awal membuka Matlab. Perhatikan gambar

berikut :

6

Bab I ~ Pendahuluan

gambar 1. 3 : Hasil command clc

Dari gambar 1. 3 terlihat bahwa command clc dapat

membersihkan Command Window atau menghilangkan

seluruh perintah beserta output sebelumnya. Meskipun

pada Command Window seluruh perintah dan outputnya

hilang, namun perintah – perintah yang sebelumnya ada

masih tercatat pada Command History (perhatikan pada

kiri bawah yang berwarna merah).

gambar 1. 4 : Command History

7

Bab I ~ Pendahuluan

Pada Command History terekam semua data aktivitas

yang dilakukan pada Matlab, mulai dari waktu membuka

program (tanggal dan jam) sampai dengan merekan

semua perintah yang dilakukan pada saat itu. Selain

merekam, kita juga dapat memanggil kembali perintah

yang dilakukan pada beberapa hari yang lalu, dengan

cara mengklik perintah yang ingin dimunculkan, dan

perintah akan tampil pada Command Window.

gambar 1. 5 : Command History

Perhatikan gambar 1. 5, pada Command History

terekam ada 3 perintah, yaitu 2 + 5, date, dan clc. Ketika

8

Bab I ~ Pendahuluan

memanggil perintah “date”, pada Command Window

akan muncul jawaban 14-Jul-2016. Jawaban ini sama

dengan tanggal dimana perintah “date” dipanggil

kembali.

1.3 Operasi Matematika Sederhana pada Matlab

Setelah program Matlab terbuka, tidak ada salahnya

kita mencoba beberapa operasi matematika sederhana,

misalnya :

a. Penjumlahan / Pengurangan

b. Perkalian

c. Pembagian

9

Bab I ~ Pendahuluan

Pada dasarnya, untuk operasi sederhana seperti di atas,

perintah yang dituliskan hampir sama dengan perintah

pada kalkulator atau perintah pada excel. Selain itu,

pada Matlab juga dapat melakukan beberapa operasi

sekaligus, dimana tiap perintah diberikan tanda koma (,)

sebagai pemisahnya. Perhatikan contoh berikut :

Selain itu, Matlab juga dapat menerima perintah

untuk menyimpan suatu bilangan pada sebuah variabel,

sebagai contoh :

Misalkan diketahui 𝑥 = 15,𝑦 = 0.75 dan 𝑥 =𝜋

4. Maka

tentukanlah :

a. −3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦

b. sin 𝑧

10

Bab I ~ Pendahuluan

c. 𝑦 ∗ cos 𝑧

Maka perintah yang dituliskan pada Matlab adalah

sebagai berikut :

Dari beberapa contoh operasi penjumlahan/pengurangan

dan perkalian/pembagian yang telah dijelaskan

sebelumnya, penulisan operasi pada Matlab tidak jauh

berbeda dengan penulisan operasi pada kalkulator atau

excel. Namun hal berbeda akan dijumpai ketika akan

melakukan operasi penjumlahan/pengurangan dan

perkalian/pembagian untuk fungsi polinomial. Hal ini

karena penulisan fungsi polinom pada Matlab ditulis

dalam bentuk matriks. Perhatikan contoh berikut :

11

Bab I ~ Pendahuluan

Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 30, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 8,𝑕 𝑥 =

𝑥 + 5 dan 𝑖 𝑥 = 𝑥 − 5. Tentukan 𝑓 + 𝑔,𝑔 − 𝑓,𝑓𝑥𝑔 ,𝑓/𝑕 dan

𝑓/𝑖 !

Jawab :

Langkah pertama untuk menyelesaikan masalah di atas

adalah dengan menuliskan setiap fungsi kedalam bentuk

matriks seperti yang terlihat berikut ini :

Angka-angka yang dituliskan pada Matlab untuk f, g dan

h merupakan koefisien-koefisien dari polinom yang

diketahui. Sebagai contoh, untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 30 yang

dituliskan adalah 1, -1, dan -30 saja. Untuk operasi

penjumlahan/pengurangan pada polinom tidak berbeda

dengan contoh sebelumnya, namun untuk

perkalian/pembagian terdapat perbedaan. Perhatikan

penulisan operasi berikut :

12

Bab I ~ Pendahuluan

Jadi hasil dari 𝑓 + 𝑔 = 2𝑥2 + 𝑥 − 38. Dengan cara yang

sama untuk 𝑔 − 𝑓 diperoleh hasil sebagai berikut :

Dengan kata lain 𝑔 − 𝑓 = 3𝑥 + 22.

Bagaimana dengan 𝑓𝑥𝑔? Untuk perkalian polinomial,

penulisan pada Matlab berbeda dengan operasi perkalian

biasa. Pada polinomial, perkalian yang dituliskan pada

Matlab menggunakan perintah “conv” atau “convolution”.

Secara aljabar, “convolution” mempunyai fungsi yang

sama seperti perkalian tetapi hanya digunakan pada

polinomial. Perhatikan penulisan operasi berikut :

Jadi hasil dari perkalian 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 30 dan 𝑔(𝑥) =

𝑥2 + 2𝑥 − 8 adalah 𝑥4 + 𝑥3 − 40𝑥2 − 52𝑥 + 240.

Jika pada perkalian polinomial menggunakan “conv”,

maka untuk pembagian pada polinomial menggunakan

“deconv” atau “deconvolution”. Perlu diingat bahwa pada

13

Bab I ~ Pendahuluan

pembagian polinomial, jika “f dibagi g”, maka akan

menghasilkan “hasil bagi” dan “sisa hasil bagi”.

Perhatikan contoh berikut :

Jadi hasil dari pembagian 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 30 oleh

𝑕 𝑥 = 𝑥 + 5 adalah 𝑞 𝑥 = 𝑥 − 6 dengan sisa hasil bagi

𝑟 𝑥 = 0. Jika masih penasaran dengan hasil yang

diperoleh, maka coba saja operasikan 𝑕 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑟 𝑥 .

Sehingga diperoleh

𝑕 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑟 𝑥 = 𝑥 + 5 𝑥 − 6 + 0

= 𝑥2 − 𝑥 − 30.

Pada contoh yang lain, pembagian 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 30 oleh

𝑖 𝑥 = 𝑥 − 5 akan menghasilkan sisa, perhatikan hasil

operasi berikut :

14

Bab I ~ Pendahuluan

Jadi hasil dari pembagian 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 30 oleh

𝑖 𝑥 = 𝑥 − 5 adalah 𝑞 𝑥 = 𝑥 + 4 dengan sisa hasil bagi

𝑟 𝑥 = −10. Sama halnya pada contoh sebelumnya, jika

akan membuktikan kebenaran hasil pembagian tersebut

maka operasikan

𝑖 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑟 𝑥 = 𝑥 − 5 𝑥 + 4 − 10

= (𝑥2 − 𝑥 − 20) − 10

= 𝑥2 − 𝑥 − 30

Selain operasi – operasi di atas, Matlab juga dapat

digunakan untuk menentukan akar – akar dari

polinomial. Misalkan terdapat polinom 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 6,

maka akar – akarnya adalah 𝑥 = 3 atau 𝑥 = −2. Untuk

operasi pada Matlab, perhatikan penulisan perintahnya

sebagai berikut :

15

Bab I ~ Pendahuluan

Penulisan perintah penentuan akar polinom pada Matlab

hanya ditulis koefisiennya saja yang disusun membentuk

sebuah matriks. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh

berikut :

Tentukan akar – akar persamaan 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 !

Maka perintah pada Matlab ditulis sebagai berikut :

Penulisan “0” pada perintah di atas merupakan

representasi dari koefisien 𝑥3, karena sejatinya polinom

di atas dapat ditulis menjadi 𝑦 = 𝑥4 + 0𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 2.

Selain menentukan akar dari polinom yang diketahui,

kita juga dapat membentuk polinom dari data yang

diketahui, atau dengan kata lain interpolasi. Misalkan

16

Bab I ~ Pendahuluan

terdapat data hasil dari sebuah pengamatan harga

bawang merah menjelang lebaran sebagai berikut :

Tabel 2. 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20 20 20.5 23 23 24.5 26.5 28 28 29.5 28 27

Dari data di atas, akan dicari persamaan polinom yang

cocok dengan printah sebagai berikut :

Diperoleh hasil sebagai berikut :

gambar 1. 6 : regresi dari data yang diketahui

0 2 4 6 8 10 1218

20

22

24

26

28

30

17

Bab I ~ Pendahuluan

Selain menampilkan grafik hasil regresi, perintah di atas

juga menampilkan persamaan hasil interpolasi dari data

yang ada. Dengan persamaan untuk interpolasi di atas

adalah sebagai berikut :

Sehingga diperoleh persamaan interpolasi untuk data

di atas adalah

𝑦 = −0.0001𝑥5 + 0.0021𝑥4 − 0.0435𝑥3 + 0.4950𝑥2 −

1.0082𝑥 + 20.4773

117

Bab IV ~ Integral

2) Memutar grafik mengelilingi sumbu x

118

Bab IV ~ Integral

3) Menentukan volume benda pejal yang terjadi

119

Bab IV ~ Integral

120

Bab IV ~ Integral

DAFTAR PUSTAKA

Boyce, W. E., & DiPrima, R. . (2000). Elementary Differential

Equation and Boundary Value Problems. New York: John

Willey & Sons.

Edwards, C., & Penney, D. (2008). Differential Equation and

Computer Modeling. New Jersey: Prentice – Hall.

Hanselman, D., & Littlefield, B. (2000). MATLAB Bahasa

Komputasi Teknis. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Howard, P. (2007). Solving ODE in MATLAB. Retrieved

March 13, 2017, from

http://www.math.tamu.edu/reu/comp/matode.pdf

Maneval, J. E. (2010). Using ODE45. Retrieved March 19,

2017, from

http://www.facstaff.bucknell.edu/maneval/help211/usingo

de45.pdf

Martono, K. (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga.

Penney, D. ., & Edward C, H. (2000). Differential Equations

and Boudary Value Problems. New Jersey: Prentice –

Hall.

Purcell, E. J., & Varberg, D. (1994). Kalkulus dan Geometri

Analitis (5th ed.). Jakarta: Erlangga.

Rachmatin, D. (2009). Petunjuk Praktikum Program Aplikasi

Matematika. Bandung: UPI.

Team. (2016). Interactive evaluation of Riemann sums -

MATLAB. Retrieved January 4, 2017, from

https://www.mathworks.com/help/symbolic/rsums.html?re

questedDomain=www.mathworks.com

121

Widiarsono, T. (2005). Tutorial Praktis Belajar Matlab.

Jakarta.

Zaelani, A., Cunayah, C., & Irawan, E. I. (2008). 1700 Bank

Soal Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung:

Yrama Widya.

Zhou, K., Doyle, J. C., & Glover, K. (2000). Robust and

Optimal Control. New Jersey: Prentice – Hall.

122

Bab IV ~ Integral

BIOGRAFI PENULIS

Arif Muchyidin, S.Si., M.Si., lahir di

Cirebon pada 6 Agustus 1983. Pendidikan

dasar dan menengah penulis habiskan di

Cirebon, dimulai dari SDN Weru Kidul I

(1989 – 1995), SLTPN 1 Cirebon Barat (1995

– 1998), dan SMAN 1 Cirebon (1998 – 2001).

Setelah menamatkan pendidikan dasar dan

menengah di Cirebon, penulis melanjutkan kuliah pada

Program Studi Matematika UPI Bandung (2001 – 2005). Dua

tahun kemudian penulis diberi kesempatan untuk

melanjutkan pendidikan pada Program Magister Matematika

ITB (2007 – 2009).

Pengalaman mengajar penulis mulai ketika masih duduk di

bangku kuliah sebagai guru privat matematika dan fisika.

Penulis juga pernah mengajar di SMA Alfa Centauri

Bandung, pengajar Bimbel SSC Bandung, pengajar Bimbel

Fokus – LPK KOPMA UNPAD, pengajar Program

Pemantapan Ujian Nasional tahun 2009 di SMA BPI 1

Bandung, dosen Universitas Komputer Indonesia (UNIKOM)

Bandung, dosen Universitas Swadaya Gunung Jati

(UNSWAGATI) Cirebon, dan sejak tahun 2011 penulis

tercatat sebagai dosen tetap pada Jurusan Pendidikan

Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Syekh

Nurjati Cirebon.