Caso Principio de La Tetera

8/16/2019 Caso Principio de La Tetera

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Proyecto FONDEF D05l-10211

¿Con cuántos decimales debo aproximar?ó

El Principio de la Tetera.

Bernardo es un profesor de mediana edad, lleva aproximadamente 15 años haciendo

clases de matemáticas en varios colegios. Según él, siempre ha tenido buenos

resultados. Cuenta con orgullo que los buenos alumnos lo vienen a visitar, luego de

algunos semestres en la universidad, para agradecerle sus enseñanzas. Siempre fue

un buen estudiante en la escuela de pedagogía. Se interesó en tomar cursos electivos

de matemáticas en vez de cursos de formación didáctica, como lo hacían la mayoría de

sus compañeros. Mientras más aprendía, más se percataba que la matemática que leenseñaron en el colegio esconde asuntos teóricos profundos, que tal vez no podría

transmitir a sus estudiantes. Además se daba cuenta que muchos tópicos no los había

asimilado con la claridad suficiente y su seguridad, al comienzo de la práctica, no era

del todo sólida.

Sin embargo, después de varios años de profesión, se dio cuenta que su preparación

era mejor que la de muchos colegas, y que ellos ni siquiera se daban cuenta de la

profundidad de los problemas. Además, tampoco ha pasado mayor zozobra con susestudiantes. Por lo general no hacen muchas preguntas y con lo que él les enseña, les

basta y les sobra para sentirse abrumados.

Este año imparte clase a terceros y cuartos medios. En general, no le gusta trabajar

con los cuartos medios, porque están preocupados de otras cosas: giras de estudios,

PSU, graduaciones, etc. No se hace mala sangre con ellos, pero pone todo su esfuerzo

y profesionalismo en el tercero medio.

El colegio tiene programas propios que se han ido perfeccionando muy lentamente en

el tiempo, pero que tiene a todo el departamento de matemática bastante orgulloso.

Los resultados en SIMCE y PSU hacen que ese orgullo sea justificado.

En tercero medio, según el programa del colegio, es necesario ver el tema de

Comparación y estimación de raíces, que está inserto en la unidad de Álgebra y

Funciones. Pese a que Bernardo participó en la confección del programa, le resulta


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complicado interesar a sus alumnos en el cálculo de raíces, tarea que, como bien sabe

Bernardo, puede realizarse fácilmente con una calculadora de bolsillo.

Además, siempre ha sido partidario de privilegiar en sus clases el desarrollo de

métodos de razonamiento antes que simples cálculos. Las aproximaciones con uno,

dos, tres o más decimales van algo en contra de su sensibilidad y le producen una

especie de rechazo, el cual reconoce, no logra del todo evitar traspasar a sus alumnos,

lo que aumenta su dificultad para enseñar el tema.

Bernardo plantea sus dudas a Claudia, una colega con quien ha tenido discusiones muy

enriquecedoras.

Bernardo: “La estimación de raíces siempre me ha parecido un tema difícil de enseñar

y, personalmente, lo encuentro bastante aburrido, yo preferiría dejar expresadas las

respuestas con raíces”.

Claudia: “Yo no soy partidaria de dejar siempre cantidades expresadas. De hecho, eso

te impide conectar el contenido con problemas reales. Así, si un terreno con forma de

cuadrado de lado 1 kilómetro quiere dividirse en 2 partes iguales, con una cerca sobre

la diagonal del cuadrado, no puedes decir a tus alumnos que deben comprar 2

kilómetros de alambrado, sino que debes aproximar 2 ” .

Bernardo: “Es verdad, pero la aproximación de 2 la hace la calculadora, es difícil

convencer a los adolescentes actuales de la utilidad de hacer tal cosa a mano” .

Claudia: “Los alumnos deben desarrollar su propia capacidad de cálculo. Además, la

aproximación de raíces requiere calcular “a mano” sólo algunas fundamentales, y las

otras se pueden obtener mediante las propiedades formales de la función raíz

cuadrada”.

Claudia explica a Bernardo cómo ella, en su clase, sólo aproxima por encajonamientos

sucesivos, los valores de 2 , 3 y 5 , para luego aproximar otras raíces usando

esos valores.


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Claudia: “Más aún, el mismo hecho de poder aproximar las raíces aplicando sus

propiedades básicas, te permite enseñar de mejor manera las propiedades en sí

mismas. Así, por ejemplo, una buena ilustración de que baab = es calcular

,2224248 =•=•= usando luego la aproximación (ya conocida) de 2 para

aproximar 8 .

Bernardo entiende perfectamente el punto planteado por Claudia y queda muy

entusiasmado al ver cómo el problema de aproximar raíces puede utilizarlo para

aplicar las propiedades de la función raíz.

1. Manos a la Obra

En su primera clase sobre el tema, introduce las raíces usando la misma situación

problemática planteada en la programación del tema y realiza el trabajo “pesado” de

obtener aproximaciones con 2 decimales para 2 y 3 , usando encajonamientos

sucesivos,

41,12 ≈ 73,13 ≈

Bernardo no deja de mencionar que se debe tener cuidado con las aproximaciones,pues, dependiendo de la unidad de medida que se use, la cantidad de decimales a

utilizar puede crecer. Así, un error de 0,01 puede ser significativo o no, dependiendo

de la situación y de las unidades.

Su segunda sesión sobre el tema comienza con una mención introductoria a las

propiedades básicas para manipular raíces, luego propone a sus alumnos el siguiente

ejercicio:

Ejercicio 1. C alcular 8 con 2 decimales.

Bernardo observa triunfante como sus alumnos creen estar frente a otro tedioso

cálculo como los de la clase anterior y comienzan con desgano a aproximar la raíz por


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“ensayo y error”. Bernardo espera unos minutos y luego, triunfante, les cuenta la

historia del Principio de la Tetera1 (logra sacar una tibia sonrisa de 3 de sus alumnos).

“Ya hemos hecho el trabajo duro, el resto es cosa de ingenio”, les dice. Procede a

mostrarles el cálculo

,2224248 =•=•=

Ahora podemos utilizar la aproximación que ya tenemos de 2 ”

=8 2 · 1,41 = 2,82.

Ejercicio 2. Calcular 5,0 con 2 decimales.

Bernardo utiliza el desarrollo:

71,0705,0

2

41,1

2

2

2

15,0 ≈=≈==

Luego de varios ejemplos del estilo, dedica su tiempo al estudio de las propiedades

formales del precursor.

Bernardo está contento de haber encontrado por fin la manera adecuada de enseñar

raíces, incluyendo técnicas de racionalización, para las cuales el ejercicio 2 es un

excelente el tema y se lo agradece a Claudia.

1 Un matemático preguntó a un físico: “Ante usted hay una tetera vacía y un hornillo de gas apagado; ¿Qué hacer para

hervir el agua?”. “Hay que llenar la tetera con agua, prender el gas y poner la tetera sobre el hornillo”, contestó el físico.“Correcto”, dijo el matemático. “Un segundo problema: ante un hornillo encendido se halla una tetera llena. ¿Cómo hervir

el agua?”. “Esto es más sencillo: hay que poner la tetera sobre el hornillo”. “¡De ninguna manera!” exclamó elmatemático. “Hay que apagar el hornillo, vaciar la tetera, y llegamos así al primer problema, que ya sabemos resolver”.


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2. Un problema Especial.

Bernardo continua con sus clases (trabaja más el tema de raíces, y continua condesigualdades) y, al finalizar una de ellas, Magdalena y Natalia le piden que les ayude

en el siguiente ejercicio, que apareció en el último torneo de matemáticas en el que

participa Magdalena, una de las mejores alumnas del curso. Es el siguiente:

Ejercicio Especial. E ncontrar el número entero más cercano a la cantidad

)22415(87 −

Magdalena: “Y o lo resolví usando lo que vimos en clase. Para aproximar 224 ,

tenemos 7247216224 =••= ”

Bernardo: (Contento porque lo visto en clase le sirvió a Magdalena). “Sí , en clase

también vimos la aproximación para ≈7 2,65”.

Magdalena: “¡Sí! y haciendo los cálculos, obtenemos que 95,14224 ≈ . Luego,

87 · (15− 224 ) ≈87 · 0,05 = 4,35, y la respuesta a la pregunta es 4”.

Natalia, una alumna muy participativa pero cuyas notas siempre rondan el cuatro, dice

que ella llegó a una solución diferente por otro método:

Natalia: “Y o me di cuenta que 15 2 = 225. Luego, el entero que más se aproxima a

224 es 15, por lo cual la diferencia es 0 y la respuesta a la pregunta es 0”.

Bernardo, luego de un hondo suspiro, percibe la mirada impaciente de Magdalena,

trata de explicarle a Natalia que su aproximación para 224 fue muy descuidada y

felicita a Magdalena cuando ésta lo interrumpe...

Magdalena: “El problema profe, es que si usamos la calculadora, lo que resulta es

2,9. Por lo tanto el número entero más cercano es 3, ni 4 ni 0.

¿Qué pasa? Suena la campana y Bernardo debe irse a clases”.

Bernardo: “M añana seguimos conversando ¿Les parece?”


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Bernardo piensa y piensa en el problema y no saca nada en limpio. Estudia los textos

escolares y tampoco encuentra luces. Como último recurso, visita a su profesor de launiversidad, el Dr. Tapia, que además es uno de los organizadores del torneo de

matemática. Nunca le gustó recurrir al Dr. Tapia, que siempre tiene poco tiempo y

usualmente, cuando le pregunta algo, lo mira como pensando, ¡Qué pregunta tan

trivial! Nuevamente, el profesor lo observa como esperaba y le dice: “Bernardo, los

errores se acumulan, debes tener cuidado con eso... eh... ¡Perdón! Debo ir a una

reunión. ¡Adiós!”.

Bernardo recuerda el principio de la tetera “...debo recurrir a alguien que tenga el

problema ya resuelto... ¡Claudia!”. ‘ ‘Nunca me han gustado mucho esas competencias

de matemáticas. No puedo planificar mis clases sólo para unos pocos alumnos

talentosos, ni voy a modificar mi metodología sólo porque mis alumnos no pueden

resolver problemas que en general ni yo misma puedo resolver”, le responde Claudia.

“Pero yo no hablo de planificación, ni de metodología, hablo de qué hacer en estos

casos, cuando los estudiantes talentosos, que son pocos pero hay, se dan cuanta que

algo está fallando... ” Suena la campana, y Claudia se encoge de hombros y mueve la

cabeza de izquierda a derecha. Con el índice derecho apunta a su muñeca izquierda,

como diciendo, “me tengo que ir”, se da media vuelta y se va...

¿Estoy condenado a calcular siempre con 10 o 20 decimales para que los resultados

estén correctos? , se pregunta Bernardo. ¿Cómo le explico esto a Magdalena y al resto

del curso?

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