Carlos Hugo Soto Morote

Estabilidade e Deformação de Taludes de Solo sob

Carregamento Sísmico

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de concentração: Geotecnia.

Orientador: Celso Romanel

Rio de Janeiro, 04 de agosto de 2006

Carlos Hugo Soto Morote

Estabilidade e Deformação de Taludes de Solo sob

Carregamento Sísmico

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Celso Romanel Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Francisco Cláudio Pereira de Barros Comissão Nacional de Energia Nuclear - CNEN

João Luís Pascal Roehl Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, 04 de agosto de 2006

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Carlos Hugo Soto Morote

Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Nacional de Engenharia (UNI-PERU) em 1997, onde participou de programa de iniciação científica na área de ensaios geotécnicos de laboratório. Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil da PUC-Rio no ano de 2003, atuando na linha de pesquisa Geomecânica Computacional. Desenvolveu estudos sobre a estabilidade e servicibilidade de taludes de solo sujeitos a carregamentos sísmicos, com publicação de artigos sobre o tema em congressos do Brasil e do Peru.

Ficha Catalográfica

Soto Morote, Carlos Hugo

Estabilidade e Deformação de Taludes de Solo sob Carregamento Sísmico/ Carlos Hugo Soto Morote; orientador: Celso Romanel – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2006.

v. , 136 f. :il ;29.7 cm.

1. Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil

Incluí referências bibliográficas.

Engenharia Civil – Teses. 2. Análise sísmica de taludes de solo. 3. Terremoto. 4. Deformação de taludes de solo. 5. Estabilidade de taludes de solo. 6. Elementos finitos. I. Romanel, Celso. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. III. Título.

CDD: 624

Agradecimentos

A Deus, por que tudo é por sua graça e nada seria possível sem sua benção. D’Ele são todos os caminhos. À Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro(PUC-Rio) e ao CNPq por terem me concedido a valiosa oportunidade de realizar este trabalho. Ao professor Celso Romanel, por sua orientação, amizade e muita paciência , meus mais sinceros agradecimentos. À Paola Regina Dalcanal por ter providenciado a geração dos sismos artificiais utilizados nesta dissertação Ao Denys Parra por sua amizade, estímulo e apoio brindado durante toda a etapa de estudos e na minha vida profissional. Á minha mãe Sara por seu sacrifício e apoio incondicional durante todo este tempo. A todos os amigos e companheiros de estudos do curso de Mestrado em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aos funcionários da Secretaria do Departamento de Engenharia Civil, em especial à Ana Roxo e Rita de Cássia, pela atenção, dedicação e paciência..

Resumo

Soto Morote, Carlos Hugo. Romanel, Celso. Estabilidade e Deformação de Taludes de Solo sob Carregamento Sísmico. Rio de Janeiro, 2006. 136p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

O comportamento sísmico de taludes tem sido um tópico de grande

interesse da engenharia geotécnica nos últimos 40 anos. Durante este período, a

prática da engenharia nesta área evoluiu do emprego de técnicas elementares para

procedimentos numéricos bastante complexos. A abordagem mais simples é a

análise pseudo-estática na qual o carregamento do terremoto é simulado por uma

aceleração horizontal estática “equivalente” atuando na massa de solo deslizante,

utilizando-se um procedimento de equilíbrio limite (método das fatias),

geralmente conservativo. O parâmetro que descreve o comportamento dinâmico

do solo é referido como coeficiente sísmico k, e sua seleção depende fortemente

da experiência e normas técnicas locais, porque não há maneira simples e segura

de se escolher um valor adequado. O segundo procedimento é conhecido como

método de Newmark, que envolve o cálculo de uma aceleração de escoamento,

definida como a força inercial necessária para o fator de segurança atingir 1 em

uma análise pseudo-estática pelo método de equilíbrio limite. O procedimento

então usa os registros de aceleração do terremoto de projeto e o integra

duplamente no tempo para calcular os deslocamentos permanentes acumulados.

O terceiro método é referido como análise de Makdisi-Seed, que procura definir a

estabilidade sísmica do talude em termos de deslocamentos aceitáveis em vez de

um fator de segurança tradicional através de uma versão modificada do método de

Newmark. Esta técnica apresenta uma maneira racional de calcular uma

aceleração de escoamento média, necessária para produzir um valor do coeficiente

de segurança do talude igual a 1. Gráficos específicos foram também

desenvolvidos para estimativa dos deslocamentos permanentes, tendo sido

bastante aplicados em aterros rodoviários, barragens e aterros sanitários.

Finalmente, o mais sofisticado método para análise de estabilidade sísmica de

taludes é conhecido como análise dinâmica, que normalmente incorpora modelos

de elementos finitos e relações tensão x deformação complexas numa tentativa de

obter melhores representações para o comportamento mecânico de taludes sob

cargas cíclicas Os resultados destas análises podem incluir a história no tempo dos

deslocamentos e tensões, bem como das freqüências naturais, efeitos de

amortecimento, etc. Este trabalho apresenta uma comparação entre os métodos

mencionados anteriormente, analisando o comportamento sísmico dos taludes da

estrutura de contenção dos resíduos de lixiviação de minério de urânio, na Bahia,

e dos taludes do bota-fora sul da mina de cobre Toquepala, situada no Peru.

Palavras-chave Análise sísmica de taludes de solo; terremoto; deformação de taludes de

solo; estabilidade de taludes de solo; elementos finitos.

Abstract

Soto Morote, Carlos Hugo. Romanel, Celso (advisor). Stability and Deformation of Soil Slopes under Seismic Load. Rio de Janeiro, 2006. 136p. M.Sc. Thesis – Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

The seismic stability of slopes has been a topic of considerable interest in

geotechnical engineering for the past 40 years. During that period, the state of

practice has moved from simples techniques to more complicated numerical

procedures. The simplest approach is the pseudo-static analysis in which the

earthquake load is simulated by an “equivalent” static horizontal acceleration

acting on the mass of the landslide, according to a generally conservative limit

equilibrium analysis. The ground motion parameter used in a pseudo-static

analysis is referred to as the seismic coefficient k, and its selection has relied

heavily on engineering judgment and local code requirements because there is no

simple method for determining an appropriate value. The second main procedure

is known as the Newmark displacement analysis which involves the calculation of

the yield acceleration, defined as the inertial force required to cause the static

factor of safety to reach 1 from the traditional limit equilibrium slope stability

analysis. The procedure then uses a design earthquake strong-motion record which

is numerically integrated twice for the amplitude of the acceleration above the

yield acceleration to calculate the cumulative displacements. These displacements

are then evaluated in light of the slope material properties and the requirements of

the proposed development. The third method is referred to as the Makdisi-Seed

analysis sought to define seismic embankment stability in terms of acceptable

deformation instead of conventional factors of safety, using a modified Newmark

analysis. Their method presents a rational means to determine yield acceleration,

or the average acceleration required to produce a factor of safety of unity. Design

curves were developed to estimate the permanent earthquake-induced

deformations of embankments, which have since been applied to sanitary landfill

and highway embankments. Finally, the most sophisticated method for seismic

slope stability calculations is known as the dynamic analysis, which normally

incorporates a finite element model and a rather complex stress-strain behavior for

geological materials in an attempt to obtain a better representation of the behavior

of soils under cyclic loading. The results of the analysis can include a time

history of displacements and stresses, as well as natural frequencies, effects of

damping, etc. This work presents a comparison of the results obtained by the

aforementioned approaches, considering the seismic behavior of the slopes of an

uranium lixiviation pad situated in Bahia, Brazil, and the South embankment of

the waste landfill of the Toquepala Mine, Peru.

Keywords Soil slope seismic analysis; earthquake; soil slope deformation; soil slope

stability; finite elements.

Sumário

1 INTRODUÇÃO 17

1.1 Objetivos da pesquisa e estrutura da dissertação 21

2 MÉTODOS PSEUDO-ESTÁTICOS 23

2.1. Método das fatias 23

2.1.1 Coeficiente sísmico 28

2.2 Método de Sarma (1973) 30

2.3. Análise pós-sismo 34

2.4. Comentários finais 35

3 Métodos de Newmark 38

3.1. Método de Newmark convencional (1965) 38

3.2. Consideração da flexibilidade do solo 45

3.2.1. Modelos desacoplados 45

3.2.2. Métodos acoplados 47

3.3. Comentários finais 53

4 MÉTODO DE MAKDISI E SEED (1978) 56

4.1 Método simplificado 56

4.2. Caso de taludes íngremes 59

4.3. Comentários finais 62

5 Método dos Elementos Finitos 64

5.1. Introdução 64

5.2. Aspectos da modelagem 67

5.3. Modelos constitutivos 68

5.3.1. Modelo linear equivalente 69

5.3.2. Modelo não-linear simplificado 73

5.3.3. Modelos cíclicos 74

5.3.4. Modelos elasto-plásticos 75

5.4. Programa computacional de elementos finitos 75

6 TALUDES ANALISADOS 79

6.1. Célula 2 do sistema de Contenção de Rejeitos de Urânio do IMB 79

6.2 Propriedades dos materiais 80

6.3 Sismo de projeto 81

6.4 Comportamento da seção 2-2 94

6.5 Comportamento da seção 7-7 103

6.6 Taludes do bota-fora da mina Toquepala, Peru 109

7 Conclusões 128

8 Referências bibliográficas 130

Lista de Símbolos

i'ψ Ângulo de atrito levando-se em conta a segurança

�

N=σ Tensão média na base da fatia

σ ′ Tensão normal efetiva

FSc

c ii

''= Coesão minorada pelo fator de segurança FS

φ iii c'ru ',,

Valores médios dos parâmetros para a seção i

0K Coeficiente en repouso

),(..

tyu Aceleração no modelo de viga de cisalhamento.

)(ynφ Fator de participação modal.

eqave )(γ Deformação cisalhante média equivalente

M∆ Peso de uma fatia individual (Ashford e Sitar)

r vetor que define a superfície de ruptura

0r vetor que define o ponto mais alto da superfície de ruptura

θ ângulo desde o eixo das abscissas até a posição do vetor r

0θ ângulo medido desde o eixo “x” até a posição do vetor 0r

it tempo na qual começará a ocorrer o movimento

ix�� primeiro movimento de aceleração positiva

x� velocidade de movimento

)(u~

b ω�� transformada de Fourier de bu�� (t)

η relação de amortecimento

ω freqüência particular de vibração.

TN Funções de Forma

'cσ tensão de confinamento efetivo antes do sismo.

12

y∆ maior tamanho vertical do elemento da malha do MEF.

máxf máxima freqüência de interes (cutoff frequency)

β Ângulo do talude.

λ Fator de escala desconhecido

ν Coeficiente de Poisson

ρ densidade de massa

λ amortecimento

(γave)max Deformação cisalhante média máxima.

φ’ Resistência ao cisalhamento em termos de tensão efetiva

γave Deformação cisalhante média

αi Ângulo de BXC com a horizontal

βn valor zero da equação de freqüência.

λn fração de amortecimento crítico.

bu�� (t) tempo história da aceleração na base

α , β coeficientes de Rayleigh

[C] Matriz de amortecimento global.

[Cnodo] Matriz diagonal para condições de amortecimento nodal

[K*] matriz de rigidez complexa

[K] matriz de rigidez global.

[M] Matriz de massa

{H(ω)} vetor de funções de transferência

{u} vetor de deslocamentos nodais

a Aceleração

A1, A2 forças hidrostáticas

Aa Amplificação Aparente

AE Análise dinâmica com modelo de resposta elástica.

13

affc máxima aceleração de campo livre detrás da cresta.

afft máxima aceleração de campo livre no frente do pé do talude.

ALE Análise dinâmica com modelo de resposta linear equivalente.

amax Aceleração máxima na base do talude (Hynes e Franklin)

amax aceleração pico

amax máxima aceleração na cresta.

ap aceleração pico (g)

As Amplificação de Solo

At Amplificação Topográfica

ay aceleração de escoamento

bi Largura de fatia

c coesão

c, φ Parâmetros de resistência

c´, φ´ Parâmetros de resistência em termos de tensões efetivas

c’ coesão efetiva

Cface Amortecimento na face

Co Coesão no topo do talude

Cu resistência ao cisalhamento não-drenada

D força aplicada na superfície do talude

dFx, dFy componentes de forças ortogonais de uma camada de solo

dh espessura do solo.

E Módulo de Young

E1, E2 Componente horizontal das forças entre as fatias

E1, E2 componente horizontal das forças entre as fatias

Ei , Ei+1 Forças normais entre fatias, atuando nas seções i e i+1

f função adimensional

14

F(t)amort. Força Amortecida

fn freqüência natural do perfil de solo detrás da cresta do talude.

FS Fator de segurança

g Aceleração da gravidade

G/Gmáx relação do Modulo Cisalhante

Gmax módulo de cisalhamento máximo

H Altura do talude

hi Altura de fatia

Ia Aria intensity (m/s) (Medida de Intensidade Sísmica)

Jo, J1 funções de Bessel de primeira classe de ordem zero e um.

K Matriz de rigidez

kav Coeficiente Sísmico médio.

Kh Coeficiente sísmico ou aceleração horizontal média

KhW Força de inércia

kmax máximo coeficiente sísmico médio

Kv Aceleração vertical média

kx, ky coeficientes sísmicos nas direções x,y respectivamente

Ky coeficiente de escoamento

l comprimento da base da fatia

l comprimento da camada infinitesimal do solo

m Número de estabilidade

M função do ângulo de inclinação do talude (Majumdar)

M massa total da cunha

m(y) massa da fatia á uma profundidade y

MEF Método dos elementos finitos.

N Força normal à base da fatia

15

N´ Força normal efetiva

N1 , N2 Números de estabilidade

Neq N° de ciclos equivalente de um movimento uniforme na base

Q Resultante das forças paralelas na fatia (Zi)

R Raio do arco circular

S ângulo do talude

S =Τ � Força tangencial à base da fatia

Sa Resistência ao cisalhamento

Sm Parcela mobilizada da resistência ao cisalhamento

Svn Velocidade espectral.

T período (s)

T1, T2 componente vertical das forças entre as fatias

Ti Força cisalhante atuando na base da fatia

u Vetor deslocamento

u Poropressão

ü Aceleração

� Velocidade

U = u .�� Força decorrente da poropressão

üa(y) aceleração absoluta da fatia.

Uα Força causada pela pressão da água nos poros

Uβ Força causada pela pressão da água na superfície

Vmax velocidade de onda de cisalhamento

Vn (t) integral de Duhammel

Vs Velocidade de onda secundária

W Peso da massa do solo

W Função de carga aplicada sobre uma superfície de deslizamento.

16

Wi Peso da fatia de solo i

Wn freqüência natural do enésimo modo.

Xi Forças verticais entre fatias

xi Distância horizontal do centro da fatia a ponto O

Xi , Xi+1 forças tangenciais entre fatias

Z Profundidade

Z/H relação profundidade do semi-espaço visco elástico.

αR e βR Coeficientes de Rayleigh

β ângulo de inclinação do talude

φ ângulo de atrito

φd ângulo de atrito mobilizado

φm ângulo de atrito modificado (Majumdar)

γ Peso específico do material do talude

γ peso específico

� Comprimento da base da fatia

τf Resistência ao cisalhamento

ζ amortecimento

1 INTRODUÇÃO

Há quatro métodos geralmente citados na literatura para análise do

comportamento de taludes de solo, englobando aspectos de estabilidade e de

deslocamentos permanentes (servicibilidade) sob ação de carregamentos sísmicos.

O primeiro deles se refere às análises pseudo-estáticas nas quais os efeitos

do terremoto são representados por pseudo-acelerações horizontal e vertical

constantes que produzem forças inerciais aplicadas no centro de gravidade da

massa deslizante. A primeira aplicação deste procedimento foi atribuída a

Terzaghi (1950). É um método simples, atualmente incorporado em muitos

programas computacionais para análise da estabilidade sísmica de taludes,

considerando superfícies potenciais de ruptura planas, circulares e curvas, mas

com precisão dos resultados dependente da precisão dos coeficientes sísmicos,

empregados para definição das componentes da força de inércia, na representação

das condições reais do problema.

É evidente que a utilização de um método onde as forças de inércia são

admitidas constantes constitui-se, à primeira vista, numa abordagem simplificada

para a complexa tarefa de analisar-se os efeitos dinâmicos transientes causados

por excitações sísmicas em taludes de solo. Além disso, por tratar-se de um

método de equilíbrio limite, onde o solo é idealizado como material rígido-

perfeitamente plástico, nenhuma informação a respeito dos campos de deformação

e de deslocamento pode também ser obtida.

Se o solo fosse realmente rígido, as forças inerciais induzidas pelo

terremoto seriam iguais ao produto das acelerações pela massa de material

instável. No entanto, reconhecendo o fato de que solos não são materiais rígidos, e

de que a aceleração máxima esperada é momentânea e atua apenas em um único

sentido, os coeficientes sísmicos utilizados na prática devem corresponder a

valores inferiores. Vários pesquisadores sugeriram valores de projeto (Seed, 1979;

Hynes-Griffin e Franklin, 1984; Marcuson, 1981) mas não há uma regra fixa,

única e simples para a seleção adequada destes coeficientes, a não ser o

18

conhecimento de que devem estar baseados no nível antecipado de acelerações e

correspondam a uma fração da aceleração horizontal máxima (MHEA – maximum

horizontal equivalent acceleration) esperada no sismo de projeto.

As limitações do método pseudo-estático são conhecidas (este conceito

para análise dos efeitos de terremotos em taludes é muito impreciso, para dizer o

mínimo – Terzaghi, 1950) e uma detalhada análise de deslizamentos históricos

(Seed et al., 1969, 1975) mostraram casos de ruptura de taludes mesmo quando o

fator de segurança pseudo-estático calculado foi superior a 1. Exemplo é o colapso

da barragem Lower San Fernando (figura 1.10), sul da Califórnia, responsável na

época por 80% do abastecimento d´água da cidade de Los Angeles, onde a crista

da barragem foi rebaixada em 30 pés com deslizamento de talude na face de

montante (figura 1.2), Para esta obra, o fator de segurança pseudo-estático

calculado no projeto foi igual a 1,3 considerando-se um coeficiente sísmico de

0,15.

Devido a estas dificuldades, tem sido empregados procedimentos

alternativos para análise da estabilidade de taludes que levem em conta a

ocorrência de deslocamentos permanentes do talude, como o clássico método de

Newmark (1965), representativo do segundo tipo de método referenciado na

literatura.

Figura 1.1 Vista panorâmica da barragem de Lower San Fernando

(http://quake.wr.usgs.gov/prepare/factsheets/LADamStory/SanFerValley.gif0

19

Desde que a servicibilidade de um talude é controlada pelos

deslocamentos permanentes causados pelo carregamento sísmico, procedimentos

que permitam calculá-los fornecem em geral informações mais úteis do que

apenas um fator de segurança. O método clássico de Newmark (1965) envolve a

determinação de uma aceleração de escoamento, definida com base na força

inercial necessária para que o fator de segurança pseudo-estático atinja o valor FS

= 1. Em seguida, o procedimento utiliza o registro da história das acelerações do

terremoto de projeto, integrando-o numericamente no tempo por duas vezes

sempre que a amplitude da aceleração ultrapassar o valor da aceleração de

escoamento previamente estabelecida. Como resultado destas integrações, obtém-

se os deslocamentos permanentes acumulados, já que para fatores de segurança

pseudo-estáticos inferiores a 1 (correspondentes a acelerações superiores à de

escoamento) a massa de solo não está mais em equilíbrio, sofrendo aceleração

devido às forças não balanceadas. Percebe-se assim que os deslocamentos

permanentes são afetados pela duração do sismo bem como pela amplitude das

acelerações.

Figura 1.2 Seção transversal da barragem de Lower San Fernando antes e após o sismo de 1971 (http://quake.wr.usgs.gov/prepare/factsheets/LADamStory/Xsection.gif)

20

A terceira classe geral de métodos é baseada no trabalho de Makdisi e

Seed (1978) que apresenta um procedimento simplificado para previsão dos

deslocamentos permanentes com base em algumas hipóteses simplificadoras e

análises dos resultados obtidos com o método dos elementos finitos e o modelo de

vigas de cisalhamento.

A resposta dinâmica do talude de aterro ou barragem é obtida por meio de

gráfico construído em função da profundidade da superfície de ruptura,

normalizada em relação à altura do talude, e da aceleração horizontal máxima

nesta superfície normalizada em relação à aceleração horizontal máxima da crista

do aterro.

Investigando o comportamento de vários taludes de barragens e aterros,

reais e hipotéticas, considerando-se diferentes registros de acelerações reais e

sintéticas, Makdisi e Seed (1978) determinaram a variação dos deslocamentos

horizontais permanentes em taludes de solo como função da magnitude do

terremoto (M = 6,5; 7,5 e 8,25) e da razão entre a aceleração de escoamento e

aceleração horizontal máxima na superfície de deslizamento.

O quarto método para investigação do comportamento sísmico de taludes

envolve a análise tensão x deformação do problema dinâmico, normalmente

executada com auxílio do método dos elementos finitos ou outra técnica

numérica. Os resultados podem descrever a história de tensões, efeitos de

amortecimento, freqüências naturais e a variação temporal do campo de

deslocamentos no talude, entre outros aspectos, mas a precisão dos mesmos

dependerá fundamentalmente de uma representação satisfatória do

comportamento tensão x deformação dos solos que formam o talude.

Modelos constitutivos para representação do comportamento sísmico de

solos podem ser agrupados em 3 classes: modelo linear equivalente, modelos não-

lineares cíclicos e modelos elasto-plásticos avançados.

O modelo linear equivalente é o mais simples e mais freqüentemente

utilizado (GeoStudio 2004), mas, devido à sua natureza elástica, sua habilidade é

limitada para representação do comportamento real do material.

Nos modelos não-lineares cíclicos (Finn et al., 1977; Pyke, 1979, 1985;

Vucetic, 1990) a rigidez do solo depende não apenas da amplitude das

deformações cisalhantes, como no caso do modelo linear equivalente, mas

também da história de tensões, o que então permite prever a geração,

21

redistribuição e eventual dissipação de poropressões durante e após o

carregamento sísmico.

1.1 Objetivos da pesquisa e estrutura da dissertação

Esta dissertação tem como objetivo principal a análise do comportamento

sísmico de taludes de solo, empregando alguns dos métodos citados anteriormente

e comparando os resultados obtidos nos diversos procedimentos. No caso de

métodos que incluem a representação tensão x deformação de solos, foram

utilizados os modelos disponíveis no programa comercial de elementos finitos

GeoSlope v.6 (modelo linear, modelo linear equivalente).

Os exemplos considerados incluem a investigação do comportamento dos

taludes de solo da célula nº 2 do sistema de disposição de efluentes líquidos da

Unidade de Concentração de Urânio das Indústrias Nucleares do Brasil S.A.,

situado no município de Caetité no Estado da Bahia (fig. 1.3), bem como um

talude de grande altura, situado no sul do Peru, formado por rejeitos do

processamento de minérios de cobre por técnica de lixiviação.

Figura 1.3 – Construção da célula n° 2 para disposição de resíduos de urânio (Caetité, BA)

O trabalho desenvolvido está apresentado de acordo com a seguinte

estrutura, sob forma de capítulos:

Capítulo 1 – breve revisão dos métodos de análise para comportamento

sísmico de taludes, apresentação dos objetivos da dissertação e de sua estrutura;

Capítulo 2 – descrição geral dos métodos pseudo-estáticos, vantagens e

desvantagens, com apresentação de propostas publicadas na literatura para seleção

do coeficiente sísmico;

22

Capítulo 3 – apresentação do método clássico de Newmark (1965) para

cálculo dos deslocamentos permanentes em taludes de solo a partir da analogia de

um bloco rígido deslizando sobre plano inclinado com atrito;

Capítulo 4 – descrição do método simplificado de Makdisi e Seed (1978)

para cálculo de deslocamentos permanentes com base em resultados obtidos em

análises por elementos finitos e pelo modelo de viga de cisalhamento. Uma

adaptação deste método, aplicável para taludes íngremes de solos granulares

fracamente cimentados, é também apresentada neste capítulo, tendo em que vista

que tais tipos de taludes são comuns ao longo da costa do Pacífico em regiões de

atividade sísmica, como na cidade de Lima – Peru.

Capítulo 5 – discussão da aplicação do método dos elementos na análise

sísmica de taludes, incluindo aspectos relacionados com modelos constitutivos

utilizados na modelagem de problemas dinâmicos em solos.

Capítulo 6 – aplicação do método dos elementos finitos para análise do

comportamento sísmico de dois taludes situados no Brasil e no Peru, com

apresentação detalhada do modelo constitutivo linear equivalente;

Capítulo 7 – conclusões gerais do trabalho e apresentação de sugestões para

prosseguimento das pesquisas na área do comportamento sísmico de taludes de

solo.

2 MÉTODOS PSEUDO-ESTÁTICOS

As diversas soluções de equilíbrio limite para análise das condições de

estabilidade de taludes de solo sob carregamento estático, que podem ser

consideradas familiares ao engenheiro geotécnico, são possíveis de serem

estendidas para um contexto pseudo-estático adicionando-se forças aplicadas no

centróide da massa instável conservando-se o mesmo módulo, direção porém

sentido oposto ao das forças inerciais geradas pela propagação da excitação

sísmica (princípio de d’Alembert). Neste tipo de análise geralmente a

componente vertical da força de inércia é desprezada em função da hipótese de

que as ondas cisalhantes incidentes SV são verticais, e a componente horizontal é

obtida pela multiplicação do coeficiente sísmico horizontal k pelo peso total da

massa de solo instável.

No caso de taludes formados por solo homogêneo são disponíveis algumas

soluções analíticas publicadas na literatura, como o método de Majumdar (1971),

baseado na incorporação de uma força de inércia horizontal no tradicional método

de círculo de atrito (Taylor, 1937), o método de Prater (1979), onde a potencial

superfície de ruptura tem forma de espiral logarítmica, e o método de Koppula

(1984) para taludes formados por solo na condição φ=0.

2.1. Método das fatias

Para taludes com diferentes tipos de solo a análise é executada através do

método das fatias, onde a região de solo delimitada pela potencial superfície de

ruptura é dividida em um número qualquer de fatias verticais, analisando-se as

condições de equilíbrio em cada fatia isoladamente. O método tem várias versões

na literatura, dependendo das hipóteses adotadas para satisfazer parcial ou

totalmente as equações de equilíbrio de forças e de momentos.

A análise através do método das fatias parte da definição de uma superfície

de deslizamento qualquer para toda a massa do talude. Esta superfície é dividida

24

em um número de fatias verticais, mostrando-se na figura 2.1 as forças que agem

em uma fatia genérica.

Figura 2.1 – Forças atuantes em uma fatia vertical e a superfície potencial de ruptura

onde:

W : peso da fatia

kW : componente horizontal da força de inércia

N : força normal à base da fatia

S : força tangencial à base da fatia (S = τ l )

E1, E2 : componente horizontal das forças entre as fatias

T1, T2 : componente vertical das forças entre as fatias

D : força aplicada na superfície

b : largura da fatia

l : comprimento da base da fatia

A1, A2 : forças hidrostáticas

O fator de segurança pseudo-estático local é definido por

τs

FSlocal = (2.1)

onde s representa a resistência ao cisalhamento e τ a tensão cisalhante

atuante.

25

Considerando o critério de resistência de Mohr-Coulomb, é possível

reescrever-se a equação acima como

[ ]'tan)u('cFS

lFS

l sl S

locallocalφστ −+=== (2.2)

onde:

lN=σ tensão normal média na base da fatia

u poropressão atuante no centro da base da fatia

c′, φ′ parâmetros de resistência em termos de tensões efetivas

Fatores de segurança pseudo-estáticos globais FS podem ser determinados

com base nas equações de equilíbrio de forças ou momentos.

Considerando o equilíbrio de momentos em relação a um ponto qualquer,

causados pelas forças que atuam em todas as fatias,

� � � � � =±±+−−=

0hAd De kWf NrSxW2

1i

i (2.3)

onde x, r, f, e, d, h representam os braços de alavanca dos momentos das

diferentes forças em relação ao ponto selecionado.

Admitindo-se, como usualmente, que os fatores de segurança pseudo-

estáticos local (FSlocal) e global (FS) são iguais em todos os pontos da superfície

potencial de ruptura, é possível combinar-se as equações 2.2 e 2.3 para produzir:

[ ]

� � � �

�

=

±±+−

−+= 2

1i

i

momentos

hAd De kWf Nx W

'tanr )l uN(r l'cFS

φ

(2.4)

Considerando-se o equilíbrio das forças horizontais que atuam em todas as

fatias, obtém-se por sua vez:

26

� � � � � =±−−+−−=

0AcosDkWcosSsenN)EE(2

1i

i21 ωαα (2.5)

Novamente combinando-se as equações 2.2 e 2.5 é possível escrever

observando-se que a parcela �(E2 – E1) é nula para toda a massa deslizante.

[ ]

� � �

�

=

++

−+= 2

1i

i

forças

AcosDkWsenN

cos'tan )l uN( cosl'cFS

�ωα

αφα

(2.6)

Ambas as equações para cálculo dos fatores de segurança pseudo-estáticos

globais (FSmomentos e FSforças) são não lineares, visto que a força normal N atuante

em cada base da fatia é também dependente do fator de segurança.

As equações (2.4) e (2.6) são gerais, porém contendo um número excessivo

de incógnitas (problema hiperestático). Como equações adicionais que considerem

o comportamento tensão-deformação dos materiais não são admitidas nos

métodos de equilíbrio limite, hipóteses simplificadoras devem então ser

introduzidas. Os diferentes métodos de fatias propostos na literatura (Bishop

Simplificado, 1955; Janbu Simplificado, 1968; Morgenstern & Price, 1965; entre

outros) se diferenciam conforme as hipóteses adotadas no processo de cálculo,

geralmente em relação às forças entre fatias e no modo de se determinar a força

normal N na base das mesmas.

A sugestão de Terzaghi (1950) de aplicar a força pseudo-estática no centro

de gravidade das fatias implica que a aceleração é constante, mas análises

sísmicas em taludes (principalmente de barragens) indicam que a mesma cresce

com a altura do talude, atingindo-se o pico da aceleração na crista do talude. Seed

(1979) mostrou que a variação do ponto de aplicação da força pseudo-estática

pode ter um pequeno efeito no valor do fator de segurança pseudo-estático do

talude (variando entre 1,32 a 1,21 na análise da Sheffield Dam para um

coeficiente sísmico de 0,1), concluindo que o fator de segurança cresce quando a

força pseudo-estática é aplicada acima do centro de gravidade da fatia. Esta

redução se verifica porque em método de equilíbrio limite baseado nas equações

de momentos, como no método de Bishop Simplificado (1955), ocorre um

decréscimo do momento devido ao menor braço de alavanca da força pseudo-

27

estática em relação ao centro de rotação (é evidente que o ponto de aplicação da

força pseudo-estática não tem nenhuma influência se o método de equilíbrio limite

empregado envolver apenas equilíbrio de forças).

Embora a hipótese de Terzaghi (op.cit.) possa ser levemente conservativa

em alguns casos, de maneira geral a força pseudo-estática é assumida atuar no

centro de gravidade da fatia.

Porque terremotos são de curta duração, é razoável assumir, exceto para

pedregulhos e enrocamentos, que a resistência ao cisalhamento não drenada deve

ser usada nos métodos pseudo-estáticos para análise da estabilidade de taludes.

Makidisi e Seed (1977) recomendaram para solos argilosos, solos granulares

secos ou parcialmente saturados e para solos granulares densos saturados, onde

não se espera significativa perda de resistência devido ao fenômeno da liquefação,

a utilização de 80% da resistência não drenada estática como valor da resistência

dinâmica do solo. Observaram em ensaios de laboratório um comportamento

elástico das amostras de solo quando submetidas a um grande número de ciclos

(superior a 100 ciclos) de até 80% da resistência não drenada estática.

Deformações permanentes substanciais foram produzidas para carregamentos

cíclicos próximos do valor total da resistência não drenada estática. Outros

pesquisadores (Hynes-Griffin e Franklin, 1984; Kavazanjian et al., 1997) também

sugeriram uma redução de 20% do valor da resistência ao cisalhamento estática,

não drenada, para utilização nos métodos de cálculo pseudo-estáticos.

Duncan e Wright (2005) consideram que esta redução pode ser ignorada

para materiais não propensos à liquefação devido aos efeitos da velocidade de

aplicação do carregamento sísmico. A maioria dos solos sujeita a rápidos

carregamentos cíclicos exibe uma resistência não drenada de 20% a 50% superior

àquela determinada em ensaios estáticos convencionais de laboratório, onde o

tempo para atingir a ruptura pode ser de vários ou muitos minutos. O aumento da

resistência devido à velocidade de aplicação do carregamento dinâmico poderia

contrabalançar a redução proposta por Makidisi e Seed (1977) para estimativa da

resistência dinâmica de solos argilosos, solos granulares secos ou parcialmente

saturados e para solos granulares densos saturados.

28

2.1.1 Coeficiente sísmico

Nas equações (2.4) e (2.6) a força pseudo-estática é suposta conhecida e o

valor do coeficiente sísmico k deve ser fornecido. A escolha de k representa o

aspecto mais importante, e o mais difícil, do emprego de métodos pseudo-

estáticos. Várias sugestões foram feitas na literatura, comparando-se os resultados

de análises pseudo-estáticas com a experiência de campo e valores obtidos com

métodos baseados no cálculo de deformações. A maior dificuldade na aplicação

do método pseudo-estático, isto é, na seleção de um coeficiente sísmico adequado,

é que há muitos critérios e distintas recomendações sobre como selecionar este

valor.

Dentre as principais recomendações da literatura, listadas a seguir, o valor

mínimo aceitável do coeficiente de segurança pseudo-estático varia entre 1 a 1,15.

Para aterros de resíduos sólidos (landfills) as normas americanas exigem ao menos

um valor 1,2 (Bray et al., 1995).

a) Seed (1979) recomendou que para aterros compostos por materiais que

não apresentam significativa perda de resistência em conseqüência de

carregamentos sísmicos “é necessário apenas executar uma análise

pseudo-estática considerando um coeficiente sísmico igual a 0,1 para

terremotos com magnitude 6,5, ou igual a 0,15 para terremotos com

magnitude 8,25, e obter um fator de segurança da ordem de 1,15 para

assegurar deslocamentos permanentes suficientemente pequenos”.

b) Marcuson (1981) sugeriu um valor do coeficiente sísmico para barragens

entre 1/3 a 1/2 da aceleração horizontal máxima esperada no solo PHAsolo

incluindo, portanto, os efeitos de amplificação (ou atenuação) do solo, o

que requer uma estimativa da resposta sísmica do talude.

c) Hynes–Griffin e Franklin (1984) recomendaram o valor 0,5PHArocha/g,

após aplicação do método de Newmark (1965) considerando 350

acelerogramas. Caso o coeficiente de segurança pseudo-estático resulte

superior a 1, admite-se que o talude não seja susceptível ao

desenvolvimento de grandes deformações permanentes. O critério foi

29

desenvolvido para taludes de barragens, considerando materiais não

passíveis de liquefação sob ação de sismos de magnitude 8 ou inferior.

d) Bray et al. (1998) recomendaram para aterros o uso do valor

0,75PHArocha/g considerando os parâmetros residuais de resistência.

e) Kavazanjian et al. (1997) sugeriram o valor 0,17PHAsolo quando uma

análise da resposta dinâmica do talude for executada; caso contrário,

adotar o valor do coeficiente sísmico igual a 0,5PHAsolo .

A figura 2.2 mostra a variação dos valores dos coeficientes sísmicos

recomendados na literatura, em função do fator de segurança pseudo-estático e

magnitude do terremoto. De acordo com Kramer (1996), ainda que julgamento de

engenharia seja fundamental em todos os casos, o critério de Hynes-Griffin e

Franklin (1984) deve ser apropriado para a maioria dos taludes. Observe da figura

2.2 que uma análise pseudo-estática não é necessária, de acordo com Hynes-

Griffin e Franklin (1984), caso o fator de segurança estático FSestático seja superior

a 1,7.

Figura 2.2 – Intervalo de variação do coeficiente sísmico k em função do fator de segurança, conforme propostas da literatura (Special Publication 117, Califórnia’s Seismic Hazards Mapping Act)

30

Em áreas de intensa atividade sísmica, como no Peru, valores da aceleração

máxima do substrato rochoso podem ser obtidos com base em análises de perigo

sísmico, empregando-se geralmente métodos probabilísticos (Cornell, 1968) para

quantificar a probabilidade de que a aceleração exceda a certo valor durante um

prazo de tempo determinado, conhecido como Tempo de Recorrência,

expressando os resultados em termos de probabilidades de excedência. Isto

permite ao engenheiro a oportunidade de escolher uma alternativa de projeto que

represente, a seu critério, a melhor combinação entre o custo e o risco. A precisão

do método depende fundamentalmente da confiabilidade dos dados disponíveis.

Castillo e Alva (1993) publicaram o estudo do Perigo Sísmico do Peru,

considerando uma abordagem probabilística (McGuire, 1976) que integra

informações sismotectônicas, parâmetros sismológicos e leis de atenuação

regionais para diferentes mecanismos de ruptura. Os resultados foram expressos

sob forma de curvas de perigo sísmico, fornecendo valores de aceleração máxima

na base rochosa para todo o país considerando vários tempos de recorrência,

selecionados conforme o tipo de obra e sua importância (tabela 2.1).

Em outros países, como nos Estados Unidos, valores da aceleração

máxima podem ser obtidos diretamente do U.S. Geological Survey Geohazards

Internet Web (http://eqhazmaps.usgs.gov) informando as coordenadas de latitude

e longitude ou código de endereçamento postal.

2.2 Método de Sarma (1973)

O método de Sarma representou uma mudança de filosofia em relação aos

métodos das fatias então existentes para cálculo de fatores de segurança no

contexto de problemas dinâmicos. Em vez de determinar o fator de segurança

pseudo-estático como uma razão entre forças resistentes e atuantes (ou entre

momentos resistentes e atuantes), procura calcular a aceleração horizontal

necessária para trazer a massa de solo delimitada pela superfície potencial de

ruptura a um estado de equilíbrio limite. O valor desta aceleração crítica, ou de

escoamento, representa uma medida do fator de segurança pseudo-estático do

talude em relação à aceleração máxima de projeto. A superfície potencial de

ruptura pode ser de forma qualquer.

31

Tabela 2.1: Valores representativos de critérios de projeto considerando

perigo sísmico.

TIPO DE OBRA

VIDA ÚTIL

(t anos)

PROBABILIDADE

DE EXCEDÊNCIA

TEMPO

DE

RETORNO

(anos)

- Instalações essenciais com capacidade muita

limitada para resistir a deformações não

elásticas e perigo de poluição

- Equipamento de subestações elétricas de alta

voltagem

- Pontes ou viadutos de estradas principais.

Barragens

- Tanques de armazenamento de combustível

- Prédios para moradia

- Construções provisórias que não ameacem

obras de maior importância

50 a 100

50

100

30

50

15

0.01

0.03

0.10

0.05

0.10-0.20

0.30

>5000

1600

950

590

225-500

40

Sarma propôs um procedimento para calcular o coeficiente sísmico k que,

multiplicado pela aceleração da gravidade, fornece a aceleração de escoamento da

massa potencialmente instável. As acelerações são função do fator de segurança

pseudo-estático FS, correspondendo o valor da aceleração de escoamento a FS =

1.

Para o cálculo das forças entre fatias, assumiu que os valores relativos das

forças verticais Ti entre fatias fossem conhecidos, determinados pela

multiplicação da função específica Q por um fator de proporcionalidade λ*.

ii QT *λ= (2.7)

32

Da análise do equilíbrio de forças no diagrama de corpo livre de uma fatia

genérica i, obtém-se a seguinte expressão para o equilíbrio de toda a massa de solo

instável, subdividida em fatias, ignorando-se as forças hidrostáticas A1, A2 e a

força D aplicada na superfície do talude:

�� � =+−∆ iiiii RWktgT )'( αψ (2.8)

onde

[ ] )'sec(..'cos.')'(. iiiiiiiiiii senULctgWR αψψψαψ −−+−= (2.9)

iii TTT −=∆ +1 (2.10)

iii EEE −=∆ +1 (2.11)

com

��

���

� φ=ψ −

FStan

tan' i1i ângulo de atrito minorado pelo fator de segurança;

FS'c

'c ii = coesão minorada pelo fator de segurança;

iiii secW*ruU α= força desenvolvida pelas poropressões;

iru parâmetro de poropressão.

O equilíbrio de momentos pode ser efetuado em relação a um ponto

qualquer, mas Sarma (1973) sugeriu que este ponto fosse o centro de gravidade da

massa deslizante, com coordenadas (xG, yG), pois assim a soma dos momentos

produzidos pelos pesos Wi e forças de inércia kWi é identicamente nula. Após

algumas operações algébricas, resulta:

[ ]� −+� −

=� −+−−∆

)()(

)()'tan()(

GyiymiR

GxixmiW

GxixmiiG

yiymiT αψ (2.12)

33

onde )ym,xm( ii são as coordenadas do ponto de aplicação da força normal

Ni no ponto médio da base da fatia i.

Existem infinitas possibilidades para a função Q, porém somente poucas

delas fornecem soluções aceitáveis para o problema. O tipo de função sugerida

por Sarma (op.cit.) foi:

�

��

+φ−= ii

iiiiii Hc

HruKfQ '

2)'tan)('( 2

iγ (2.13)

onde

ii

ii

iiiii

i sensenH

csenrusen

K'1

)'cos'4(')21(1

'φ+

�

��

φ+φ−−=

βγ

β

(2.14)

com

=if constante a ser selecionada, geralmente igual a 1;

=φ iiii c'ru γ,',, valores médios dos parâmetros do solo na fatia i;

iii '2 φ−= αβ (2.15)

Da expressão (2.7) vem:

)( 1*

iii QQT −=∆ +λ (2.16)

ou '*

ii PT λ=∆ (2.17)

ou ,

)( 1'

iii QQP −= + (2.18)

Na ausência de forças externas, tem-se ainda que

0=∆� iE (2.19)

Substituindo-se as equações (2.16) e (2.19) em (2.8) e (2.12), obtêm-se as

seguintes expressões após algumas manipulações algébricas:

34

3

4*

ss=λ (2.20)

�−=

iWss

k).( 2

*1 λ (2.21)

onde

[ ] �� −φ+φ−+= ii

i

iiiiii W

FS

ruWbcFS

s ααα

tan.tan.tan

1

sec'tan)1.(.'

1 2

1 (2.22)

� −= )'tan('2 iiiPs αψ (2.23)

� −+−−= )]()'tan()[('3 GiiiGii xxmyymPs αψ (2.24)

�� −+−= )()(4 GiiGii yymRxxmWs (2.25)

Notar que o método de Sarma (1973) não é iterativo, pois as incógnitas não

se repetem em ambos os lados das equações acima, o que elimina problemas

associados com a convergência da solução. O cálculo é feito através da seleção de

diversos valores do fator de segurança pseudo-estático FS, seguindo-se a

avaliação dos correspondentes valores do coeficiente sísmico k. Como já

mencionado, com a condição FS =1 é possível avaliar o valor da aceleração de

escoamento.

2.3. Análise pós-sismo

Após a ocorrência do sismo, a estabilidade do talude pode diminuir em

consequência da perda de resistência ao cisalhamento do solo devido ao

terremoto. Para solos não sujeitos à liquefação, esta redução deve ser estimada

em ensaios de laboratório, nos quais as amostras são consolidadas sob tensões

comparáveis às de campo antes do terremoto, sujeitas a carregamento cíclico não

drenado para simulação do carregamento dinâmico e finalmente cisalhadas até a

ruptura sob carregamento estático.

Para alguns solos, a resistência não drenada após o carregamento sísmico

representa o valor mínimo de resistência, a qual tende a crescer gradualmente com

o tempo após cessado o terremoto. Para outros, especialmente aqueles que

35

dilatam sob cisalhamento, a resistência ao cisalhamento pode diminuir com o

tempo, à medida que a água drena das zonas de altas para as de baixas

poropressões. Este foi o caso da barragem de Lower San Fernando (Seed, 1979)

onde o fator de segurança calculado com a resistência ao cisalhamento não

drenada imediatamente após o terremoto foi igual a 1,4 e o fator de segurança

calculado após drenagem e redistribuição de poropressões foi somente de 0,8.

Em casos onde as resistências não-drenada e drenada controlam a

estabilidade, deve-se executar uma análise de estabilidade com o menor dos

valores da resistência, em procedimento semelhante ao caso da análise de

estabilidade de taludes de barragens de terra na condição de rebaixamento rápido

do nível d’água do reservatório.

De acordo com o Federal Guidelines for Dam Safety – Earthquake Analyses

and Design of Dams - FEMA 65 (2005), para taludes de barragens de terra, um

fator de segurança estático em análise pós-sismo igual ou superior a 1,25 indica

que as deformações serão pequenas e que a barragem operará satisfatoriamente.

2.4. Comentários finais

Por muitos anos, a análise da segurança de taludes de barragens durante

terremotos foi avaliada exclusivamente pelo método pseudo-estático,

empregando-se coeficientes sísmicos ky bastantes baixos, entre 0,05 e 0,15 nos

Estados Unidos, mesmo em áreas como no norte da Califórnia onde grandes

terremotos são esperados, e valores inferiores a 0,20 no Japão. Nenhuma

consideração especial era dada à natureza dos solos dos taludes ou da fundação, e

um fator de segurança pseudo estático determinado superior a 1 era suficiente para

concluir que a questão da estabilidade da barragem estava satisfatoriamente

resolvida.

Uma das razões desta aceitação generalizada por parte dos engenheiros,

segundo Seed (1979), foi que nenhuma grande barragem projetada com o método

pseudo-estático havia apresentado grandes problemas de segurança, seja porque

poucas estruturas realmente estiveram sob a ação de carregamentos sísmicos ou

porque não se produziram relatórios técnicos detalhados sobre o comportamento

destas durante ou após a ocorrência do terremoto. Quando barragens entravam em

36

colapso, geralmente se atribuía ao fato de que eram estruturas velhas ou mal

construídas, sem qualquer crítica sobre o método empregado para análise de sua

estabilidade.

Esta situação perdurou até 9 de fevereiro de 1971, quando o terremoto de

San Fernando (magnitude 6,6 na escala Richter) atingiu o sul da Califórnia e

provocou deslizamentos em duas grandes barragens – Upper San Fernando (fator

de segurança pseudo-estático entre 2 a 2,5 considerando coeficiente sísmico de

0,15, resultou em deslizamento de aproximadamente 6 pés do talude de jusante e

da crista da barragem) e Lower San Fernando (fator de segurança pseudo-estático

de 1,3 considerando coeficiente sísmico de 0,15, resultou na ruptura do talude de

montante). Ironicamente, cinco anos antes a barragem Lower San Fernando havia

sido avaliada por consultores e agências reguladoras americanas que a

consideraram segura para qualquer terremoto que viesse a ser submetida no

futuro.

Se métodos pseudo-estáticos demonstraram-se incapazes de prever a

ruptura, então algum outro procedimento mais confiável ou uma melhor

compreensão de suas limitações eram urgentemente necessários.

Outras metodologias foram então desenvolvidas (método de Newmark,

método de Makdisi e Seed, método dos elementos finitos) enquanto se buscou um

melhor entendimento do comportamento dinâmico dos solos através de ensaios de

campo, laboratório e retroanálises de casos históricos como os deslizamentos

verificados em Anchorage (terremoto do Alasca em 1964), ruptura da barragem

de Sheffield (Santa Bárbara, Califórnia, 1925), barragem de rejeitos em Oshima

(Japão, 1978), entre outras, além das barragens de San Fernando..

Constatou-se finalmente que o método pseudo-estático é um procedimento

de cálculo aceitável para certos tipos de solo (argilas, solos argilosos, solos

granulares secos ou parcialmente saturados, solos granulares saturados densos)

que não apresentem degradação de resistência de mais de 20% devido aos ciclos

de carregamento imposto pelo terremoto ou por altas poropressões (Seed, 1979).

O método pseudo-estático não deve ser usado em taludes formados por

solos granulares saturados fofos ou medianamente densos, necessitando-se de um

método mais sofisticado de análise para previsão do desenvolvimento de

proropressões, redistribuição com o tempo e total perda de resistência

(liquefação). Solos granulares altamente permeáveis podem ser considerados um

37

caso particular, onde as poropressões induzidas pelo terremoto são dissipadas

rapidamente. Por outro lado, em solos granulares saturados finos (siltes, areias) há

considerável evidência de que a condição crítica de estabilidade nem sempre

ocorre durante o terremoto mas pode, de fato, acontecer minutos ou horas após o

sismo, justificando a necessidade de análises pós-sismos especiais com especial

atenção à redistribuição das poropressões.

3 Métodos de Newmark

3.1. Método de Newmark convencional (1965)

O método pseudo-estático, como todos os métodos de equilíbrio limite,

calcula um fator de segurança pseudo-estático FS contra a ruptura, mas não

fornece informações sobre as deformações do talude causadas pela ação do

carregamento sísmico. As condições de servicibilidade pós-sismo dependem dos

deslocamentos permanentes ocorridos no talude e, em termos da prática da

engenharia, a "ruptura" do talude com base nos deslocamentos permanentes serem

aceitáveis ou não.

O fato de que as acelerações induzidas pelo sismo variam com o tempo, faz

com que as forças de inércia e os correspondentes fatores de segurança pseudo-

estáticos também variem durante o terremoto. Se as forças de inércia atuantes na

potencial massa de solo instável tornaram-se grandes o suficiente de modo que a

resultante das forças ativas (estáticas e dinâmicas) seja superior à resistência ao

cisalhamento desenvolvida ao longo da potencial superfície de deslizamento,

então o fator de segurança pseudo-estático será inferior a 1 e a massa de solo não

estará mais em equilíbrio estático.

A situação é análoga à de um bloco rígido sobre um plano inclinado (figura

3.1), analogia usada por Newmark (1965) para desenvolver o método que hoje

leva o seu nome.

O método de Newmark está baseado em várias hipóteses simplificadoras,

quais sejam:

a) o solo comporta-se como material rígido-perfeitamente plástico;

b) os deslocamentos do talude ocorrem ao longo de uma única e bem definida

superfície plana;

c) o solo não sofre perda de resistência em conseqüência do carregamento

sísmico;

39

d) a resistência ao cisalhamento é igualmente mobilizada ao longo da

superfície potencial de deslizamento.

Adicionalmente, na prática da engenharia as seguintes hipóteses também são

usualmente assumidas:

e) as resistências estática e dinâmica do solo são iguais;

f) a aceleração de escoamento ay permanece constante;

g) os deslocamentos do bloco (massa de solo instável) ocorrem somente no

sentido descendente;

h) embora as superfícies de deslizamento em taludes de solo sejam curvas, a

analogia do bloco rígido deslizante sobre uma superfície plana é ainda

aplicável, admitindo-se que as mesmas não apresentam curvatura muito

acentuada.

De acordo com o California’s Seismic Hazards Mapping Act – Special

Publication 117 (1997), taludes que apresentam um fator de segurança pseudo-

estático superior a 1,1, determinado usando um coeficiente sísmico apropriado,

podem ser considerados estáveis1. Se FS < 1,1 o engenheiro projetista deve usar o

método de Newmark, ou outro método baseado em análises tensão x deformação,

para determinar a magnitude dos deslocamentos do talude induzidos pelo

terremoto ou então tomar providências para minimizar seus efeitos.

A primeira etapa de cálculo consiste em determinar a aceleração de

escoamento ay da massa de solo instável (figura 3.1-a) usualmente expressa em

função do coeficiente sísmico de escoamento ky = ay/g. O coeficiente sísmico de

escoamento é aquele que produz um coeficiente de segurança FS = 1, sendo

determinado com auxílio dos métodos pseudo-estáticos já apresentados no

capítulo 2. Neste ponto vale lembrar, como ressaltado por Duncan e Wright

(2005), que em vez de se tentar localizar a superfície potencial de ruptura com

menor fator de segurança estático, as análises pseudo-estáticas são executadas

para localizar a superfície potencial de deslizamento com o mínimo valor de ky.

Ambas as superfícies não são geralmente coincidentes.

1 Para aterros de resíduos sólidos (landfills) ao menos um valor 1,2 (Bray et al., 1995).

40

A condição de equilíbrio limite (FS = 1) na massa de solo de peso W é

causada por uma excitação que se propaga, em relação à figura 3.1-a da direita

para a esquerda, com aceleração de escoamento ay. Este valor de aceleração é

limitado pela resistência ao cisalhamento desenvolvida ao longo da potencial

superfície de deslizamento; caso a aceleração aumente, então a massa desliza

talude abaixo. Pelo princípio de d’Alembert, a aceleração de escoamento é

representada por uma força de inércia g/Wa y (ou Wk y ), aplicada pseudo-

estaticamente no centro de gravidade da massa instável, formando ângulo θ com

a horizontal, no sentido oposto ao da aceleração. A figura 3.1-b mostra o polígono

de forças para a condição de equilíbrio limite, onde o ângulo de inclinação θ da

força de inércia pode ser determinado como aquele que minimiza ky. Seu valor é

usualmente alguns graus diferentes de zero, sendo geralmente admitido nulo

(Franklin e Chang, 1977), o que implica na desconsideração da componente

vertical da aceleração de escoamento. O ângulo α indica a direção da resultante

S das tensões cisalhantes na interface da massa de solo instável sendo

determinado com base na análise de estabilidade pseudo-estática do talude de

solo.

O mesmo polígono de forças se aplica ao modelo de Newmark (figura 3.1-c)

onde o bloco rígido deslizante em plano inclinado com ângulo α representa a

massa de solo em deslizamento no talude. É usualmente assumido que a

resistência aos deslocamentos talude acima é bastante grande ( yy kk >' ) tal que

todos os deslocamentos do bloco são descendentes (figura 3.1-d).

Se a base é sujeita a uma seqüência de pulsos de aceleração (registro

sísmico) grandes o suficiente para induzir o deslizamento do bloco, então pela

segunda lei de Newton a equação da aceleração arel do bloco em relação à base

pode ser escrita e integrada numérica (duas vezes), em relação ao tempo, para

obtenção dos deslocamentos permanentes.

( )[ ]δδθα coscos))(( −−−= ybrel atua �� ou

β))(( ybrel atua −= �� (3.1)

onde δ é o ângulo de atrito na interface com o plano inclinado e )(tub�� a

aceleração da base, correspondente àquela atuante na profundidade da massa de

41

solo instável, assumida como a aceleração conhecida do terremoto multiplicada

por um fator de amplificação (ou atenuação) que considere a resposta dinâmica do

talude de solo. É também assumido que α, δ e θ não variem com o tempo, i.e. β é

constante. Ao final da integração da parcela ))(( yb atu −�� o valor final é

multiplicado pela constante β, cujo valor depende das propriedades do solo e do

resultado da análise de estabilidade pseudo-estática. Para a maioria dos problemas

práticos, de acordo com Franklin e Chang (1977), β pode ser assumido igual a 1,

e geralmente difere da unidade em menos do que 15%.

A segunda etapa do método de Newmark convencional é o processo de

integração, ilustrado graficamente na figura 3.1-d, onde é mostrada a variação da

velocidade da base em relação ao tempo. Como a tangente à curva de velocidades

representa uma aceleração, então os segmentos de reta com inclinação ay, traçados

a partir dos pontos onde ay é ultrapassado, definem as curvas de velocidade de

deslizamento do bloco. A área hachurada entre as curvas (figura 3.1-d) representa

o valor do deslocamento permanente do bloco. Note que o bloco continua a se

mover em relação à base mesmo quando bu�� torna-se menor do que ay. O valor

absoluto da velocidade do bloco continua a variar linearmente com o tempo até

que as velocidades do bloco e da base coincidam.

Este processo de dupla integração também é ilustrado na figura 3.3 para um

registro de acelerações observado durante o sismo de Loma Prieta em 1989, na

ilha Treasur, onde ay = 0,125g (Smith (1995). O movimento do bloco somente se

inicia no ponto 1, quando a aceleração de escoamento é ultrapassada,

possibilitando, a partir deste instante, o cálculo da velocidade e do deslocamento

relativos do bloco em relação ao plano inclinado pela integração no tempo do

registro das acelerações. A velocidade relativa atinge um valor máximo quando a

aceleração aplicada retorna ao valor da aceleração de escoamento ay (ponto 2),

produzindo deslocamentos que somente cessam no ponto 3, quando a velocidade

relativa torna-se nula.

No artigo original de Newmark (1965) a força de inércia é aplicada no

centro de gravidade da massa de solo instável, paralela ao plano inclinado (ou na

direção do movimento inicial do centro de gravidade) mas na maioria das

aplicações da literatura a força de inércia é admitida horizontal. Kramer e Lindwal

(2004) compararam os resultados obtidos considerando ambas as hipóteses e

42

concluíram que a estabilidade não é sensível à direção da força de inércia,

podendo-se obter resultados com boa aproximação através da usual hipótese de

acelerações horizontais. Sarma (1975) também concluiu que o fator de segurança

pesudo-estático e os deslocamentos permanentes são insensíveis à inclinação da

força de inércia e, conseqüentemente, as acelerações horizontais podem ser usadas

em análises de estabilidade sem provocar muito erro. Yan et al. (1996) e Ling et

al. (1997) observaram também apenas modestas variações de deslocamento

permanente do talude quando acelerações verticais são consideradas.

Figura 3.1 – Principais componentes do modelo de bloco rígido deslizante (Hynes-Griffin e Franklin, 1984). .

43

Várias modificações foram feitas desde 1965 para melhorar a capacidade

de previsão de deslocamentos do método de Newmark, dentre as quais as

propostas por Lemos e Coelho (1991) e Tika-Vassilikos et al (1993) que

sugeriram métodos para incorporar um ângulo de atrito dependente da taxa de

deformação de modo a considerar a variação da resistência ao cisalhamento

durante o terremoto. Outra proposição da literatura é admitir a resistência ao

cisalhamento do solo dependente do nível das deformações permanentes, visto

que solos reais exibem propriedades de endurecimento (strain-hardening) ou

Figura 3.2 – Procedimento da dupla integração no tempo no método de Newmark - Smith (1995)

44

amolecimento (strain-softening) plásticos não incorporados no modelo de

Newmark original.

O método de Newmark (1965) incorpora dois dos principais fatores que

influenciam os deslocamentos permanentes provocados em taludes por

terremotos, i.e. a estabilidade do talude (aceleração de escoamento ay) e as

características do registro sísmico (amplitude e duração). Todavia, sua precisão é

limitada pela hipótese de bloco rígido pois solos são materiais deformáveis.

Para taludes de solo muito rígido e/ou taludes submetidos a movimentos

de baixa freqüência (uma combinação que produz grandes comprimentos de onda)

e/ou massas instáveis de pequena espessura (deslizamentos superficiais), os

deslocamentos horizontais ao longo da superfície potencial de deslizamento

estarão aproximadamente em fase (figura 3.3a) e a hipótese de bloco rígido será

aproximadamente satisfeita. Entretanto, para solos de baixa rigidez e/ou taludes

sujeitos a excitações de alta freqüência (uma combinação que resulta em pequenos

comprimentos de onda) e/ou massas instáveis de grande espessura (deslizamentos

profundos), os deslocamentos laterais do talude estarão fora de fase (figura 3.3b),

com forças de inércia agindo em sentidos opostos em diferentes pontos da massa

de solo instável. A força de inércia resultante para toda a massa de solo poderá

ser significativamente menor do que aquela obtida com a hipótese de bloco rígido.

Figura 3.3 – Efeito da freqüência e/ou rigidez no movimento induzido em taludes. a) Baixa freqüência, longo comprimento de onda; b) alta freqüência, curto comprimento de onda (Kramer e Smith, 1997)

45

3.2. Consideração da flexibilidade do solo

3.2.1. Modelos desacoplados

Chopra (1966) através de análises dinâmicas por elementos finitos

integrou os valores das componentes de tensão horizontais (normal e cisalhante)

ao longo da potencial superfície de deslizamento para determinar uma força

resultante, variável no tempo, aplicada na superfície de deslizamento. Dividindo o

valor desta força pela massa de solo instável calculou então um valor da

aceleração média, referenciada como HEA (horizontal equivalent acceleration)

que fornece valores mais realistas para a história de acelerações no tempo a ser

duplamente integrada. Neste tipo de análise os efeitos da flexibilidade do solo

(elementos finitos) e os deslocamentos permanentes do talude (método de

Newmark) são calculados separadamente, justificando a terminologia de método

desacoplado.

Um procedimento uni-dimensional análogo (Bray et al., 1993; Augello et

al., 1995) foi aplicado para depósitos de resíduos sólidos (landfills). A

estabilidade sísmica de taludes neste tipo de depósito é um importante problema

contemporâneo, tendo em vista suas características especiais (grande tamanho,

materiais relativamente moles) que fazem com que seus períodos naturais de

vibração sejam mais altos do que na maioria das encostas naturais ou taludes de

aterros. A história das tensões cisalhantes horizontais τh(t) no nível do

revestimento do depósito foi computada e a aceleração que causaria a mesma

história de tensões se o material acima do revestimento fosse rígido (HEA),

determinada pela equação (3.2), onde σv é a tensão vertical na profundidade do

revestimento. A aceleração HEA é utilizada então no método de Newmark.

gt

tHEAv

h

στ )(

)( = (3.2)

Uma implementação computacional freqüentemente referenciada na

literatura deve-se a Houston et al. (1987). A resposta dinâmica do solo devido à

excitação sísmica imposta na base rochosa (ponto R da figura 3.4) é obtida

utilizando-se programas computacionais para propagação de ondas elásticas 1-D

46

(Schnabel et al., 1972 - SHAKE) que, segundo aqueles autores, produzem

resultados geralmente muito próximos dos obtidos com programas mais

complexos para propagação de ondas 2D.

O bloco deslizante rígido é simulado admitindo-se a existência de uma

camada de material mole imediatamente abaixo da superfície potencial de

deslizamento. As propriedades desta camada são obtidas por processo de

tentativa-e-erro até que as acelerações horizontais máximas em alguns pontos

(como B1, B2 e B3) sejam aproximadamente iguais entre si para satisfazer a

hipótese de rigidez do bloco deslizante. Quando esta condição é obtida, então a

correspondente história de acelerações do ponto A é comparada com a aceleração

de escoamento para aplicação da dupla integração do método de Newmark.

Houston et al. (1987) avaliaram os deslocamentos permanentes do talude em

ao menos três perfis de solo (figura 3.4) localizados próximos à crista, ao pé e na

altura média do talude. Em virtude da rigidez do bloco, o deslocamento final do

talude foi tomado como uma média dos deslocamentos calculados nestes perfis,

ainda que seja boa prática de engenharia levar também em conta o deslocamento

máximo calculado.

Uma outra característica deste programa para microcomputadores

desenvolvido em FORTRAN (listagem disponível em Houston et al., 1987) é que

os cálculos são feitos duas vezes, adotando-se na segunda execução do programa

um sinal reverso para a história de acelerações, com o objetivo de considerar

casos onde este registro seja fortemente assimétrico. Os dois valores calculados

são considerados válidos, como indicadores do provável intervalo de resposta do

talude.

Houston et al. (1987) também consideram a componente ascendente da

aceleração de escoamento para determinar movimentos do bloco “talude acima”.

Entretanto, de acordo com Ordoñez (2004), os resultados obtidos são bastante

similares aos obtidos somente com movimentos descentes, hipótese usualmente

empregada no modelo de Newmark.

47

Uma das críticas feitas em relação às metodologias desacopladas do

método de Newmark é que as forças na superfície potencial de deslizamento não

são modeladas corretamente, i.e. os deslocamentos relativos entre o bloco (massa

de solo deslizante) e a interface não são, e não poderiam ser pela própria natureza

do método, representados na primeira etapa de cálculo em que se investiga a

resposta dinâmica do aterro. As forças ativas, implícitas na segunda etapa,

poderiam então ultrapassar a resistência ao cisalhamento na interface, levando, em

geral, a uma superestimativa dos deslocamentos permanentes do talude.

3.2.2. Métodos acoplados

Kramer e Smith (1997) sugeriram uma adaptação do método de Newmark

para análises sísmicas de depósitos de resíduos sólidos, onde a flexibilidade da

massa de solo instável é representada por um sistema formado por um sistema

discreto com um grau de liberdade (figura 3.5a) composto por massa (m1), mola

(rigidez k) e amortecedor (coeficiente de amortecimento c) ligado a um bloco

inferior de massa m0 . Note que dinamicamente se comporta como um sistema

amortecido sujeito à vibração da base e considerando-se m1 = 0 ou ∞→k

recupera-se o modelo de Newmark convencional.

3 2 1

B1

B2B3

A

Zona decisalhamento

Base rochosaR

üb Figura 3.4 – Superfície de deslizamento típica para a qual a analogia do bloco rígido é aplicada (Houston et al., 1987)

48

. O ângulo de atrito na interface com o plano inclinado é designado por δ e o

ângulo de inclinação do plano inclinado é denotado por α. Na figura 3.5b estão

ilustrados o deslocamento da base (plano inclinado) ub, o deslocamento

permanente do bloco inferior em relação à base u0 e o deslocamento permanente

do bloco superior em relação ao bloco inferior u1.

Porque a hipótese de rigidez do bloco é relaxada, o processo de dupla

integração deve ser baseado em forças e não mais em valores de aceleração

diretamente.

A equação diferencial do movimento é expressa por

)( 011111 uumkuucum b ������� +−=++ (3.3)

onde 1u�� é a aceleração do bloco superior em relação ao inferior, 1u� a respectiva

velocidade, )( 0uub ���� + a aceleração total do bloco inferior, correspondente à soma

da aceleração da base bu�� e de sua aceleração relativa 0u�� em relação à mesma.

As forças atuantes sobre o bloco inferior estão ilustradas na figura 3.6,

subdividas entre uma força resultante atuante FD (força estática Festática, força da

mola Fs, força do amortecedor Fd e a força de inércia Fi, conforme equação 3.4) e

uma força resistente FR. A aceleração de escoamento ay pode ser neste contexto

interpretada como a razão entre a força resistente FR e a massa do bloco inferior

Figura 3.5 – Modelo de Kramer e Smith (1997) - a) ilustração esquemática; b) notação dos deslocamentos.

49

m0, devendo ser considerada variável no tempo pois FR depende da história das

acelerações no tempo, conforme equação 3.5.

)( 0011 uumuckusenmg

FFFFF

b

idsestáticaD

����� +−++=+++=

α (3.4)

δtanNFR = onde

[ ]αα senugmN b��−= cos (3.5)

Quando FD > FR o bloco inferior não se mantém em equilíbrio e acelera

proporcionalmente ao valor da força não balanceada FD - FR. Deslocamentos

permanentes ocorrerão e continuarão a crescer até que a velocidade relativa do

bloco em relação à base tornar-se nula ( 00 =u� ). Estes deslocamentos podem ser

computados pela dupla integração da aceleração do bloco inferior, como realizado

no método de Newmark convencional.

A resposta dinâmica do bloco superior e o deslocamento permanente do

bloco inferior devem ser computados simultaneamente (ou acopladamente).

Kramer e Smith (1997) usaram um algoritmo de Runge-Kutta de 4ª ordem para

Figura 3.6 – Forças atuando sobre o bloco inferior no modelo de Kramer e Smith (1997).

50

determinação da resposta do bloco superior e um algoritmo de quadratura

trapezoidal para os deslocamentos do bloco inferior. O comportamento do sistema

é avaliado considerando-se pequenos incrementos de tempo, sendo os efeitos dos

deslocamentos do bloco inferior nas forças de inércia, da mola e do amortecedor

incorporados a cada instante de tempo.

A aplicação do modelo a problemas de estabilidade de taludes requer que

as principais propriedades do sistema discreto (massa do bloco superior m1,

rigidez de mola k e coeficiente de amortecimento c) sejam adequadamente

estimadas para reproduzir a mesma freqüência natural do sistema contínuo. Para

depósitos de solo de altura H e forma trapezoidal, Kramer e Smith (1997)

sugerem, com base na solução de Ambraseys (1960) para viga de cisalhamento:

a) Massa do bloco superior m40,0m1 =

b) Freqüência natural do sistema fn

ns

n aHv

41

fπ

= (3.6)

onde vs é a velocidade de propagação da onda S e an um valor tabelado em função

da geometria e do número do modo de vibração.

Conhecendo-se m1, m e fn, as quantidades m0 e k são facilmente

determinadas. O valor do coeficiente de amortecimento c é estimado

considerando-se que a razão de amortecimento do depósito real deve ser mantida

no sistema discreto.

Rathje e Bray (2000) generalizaram o modelo de Kramer e Smith (1997)

através de um sistema discreto massa – mola – amortecedor com múltiplos graus

de liberdade, onde a rigidez do solo é simulada através de molas com

comportamento hiperbólico (Matasovic e Vucetic, 1995) para representar a

resposta não linear histerética do solo. Em um artigo anterior, Rathje e Bray

(1999) haviam considerado um modelo acoplado com múltiplos graus de

liberdade porém com propriedades linearmente elásticas.

Wartman, Bray e Seed (2003) conduziram uma série de ensaios

experimentais de laboratório comparando a resposta dinâmica de um bloco rígido

51

(aço) e duas colunas de solo (ambas de argila saturada considerando 2 diferentes

teores de umidade para representação de solo mole e rígido) sobre um plano

inclinado excitado por uma mesa vibratória, conforme ilustração da figura 3.7.

Ensaios foram executados considerando-se 10 movimentos harmônicos

(freqüência entre 1,33 a 12,8Hz) e o registro sísmico do terremoto de Kobe

(Japão, 1995).

A figura 3.8 apresenta a variação da razão dos deslocamentos (medidos,

computados com modelos acoplado e desacoplado) e obtidos com o método de

Newmark convencional em relação à razão de sintonia (tuning ratio) definida

como o quociente entre as freqüências da excitação e da massa de solo instável.

No caso de terremotos, a freqüência da excitação pode ser estimada como a

freqüência predominante ou a freqüência quadrática média, como definida por

Schnabel (1973).1

As implicações práticas das comparações destes resultados foram

resumidas por Wartman, Bray e Seed (2003) em:

a) a tendência dos modelos acoplados é similar à observada nos ensaios

experimentais, indicando que estes capturam a resposta real de massas de

solo deformáveis. Para projetos importantes, este tipo de modelagem deve

ser empregado, incluindo simulações pelo método dos elementos finitos;

b) para razões de sintonia muito baixas (< 0,2) os deslocamentos calculados

com a hipótese de bloco rígido foram bastante similares aos observados

experimentalmente;

c) o modelo de bloco rígido subestima os deslocamentos permanentes para

razões de sintonia entre 0,2 a 1,3, aproximadamente. Nestes casos, um

modelo desacoplado deve fornecer uma estimativa mais confiável, ainda

que muito superestimada, dos deslocamentos;

d) o modelo de bloco rígido pode ser usado como estimativa conservadora

dos deslocamentos para razões de sintonia superiores a 1,3 ou,

alternativamente, o modelo desacoplado pode ser empregado para

obtenção de valores mais precisos.

52

1 A terminologia, embora empregada, é enganosa porque as freqüências não são elevadas ao quadrado (Rathje et al., 1998)

Figura 3.7 – Bloco rígido, coluna de solo, esquema de ensaio e instrumentação

(Wartman, Bray e Seed, 2003)

53

3.3. Comentários finais

O método de Newmark convencional deve ser usado somente como um

indicador do comportamento sísmico de taludes de solo ou para obtenção da

ordem de grandeza dos deslocamentos permanentes esperados (centímetros,

decímetros ou metros). Como recomendação geral (California’s Seismic Hazards

Mapping Act – Special Publication 117 de 1997), taludes estáveis apresentam

deslocamentos permanentes inferiores a 10cm enquanto que taludes com

deslocamentos superiores a 100cm devem ser classificados como instáveis. No

intervalo entre estes valores (10cm a 100cm), os deslocamentos do talude podem

para causar trincas ou perda de resistência ao cisalhamento que resultem em

movimentos progressivos pós-sismo até a ruptura do talude.

Figura 3.8 – Comparação dos resultados experimentais de Wartman, Bray e Seed (2003) com valores obtidos por modelos desacoplados e acoplados de Kramer e Smith (1997) e

Rathje e Bray (1999, 2000).

54

A característica do método de Newmark em fornecer um indicador é que o

torna muito utilizado atualmente na elaboração de mapas de risco regionais de

instabilidades de taludes induzidas por terremotos.

Um exemplo deste tipo de aplicação é o método de Newmark Simplificado

(Jibson, 1993) que desenvolveu a equação (3.7) para estimativa dos

deslocamentos permanentes dn (em centímetros) em função da aceleração de

escoamento ay e da intensidade Arias (1970) Ia do terremoto, que representa uma

medida de intensidade obtida pela integração no tempo do quadrado dos valores

das acelerações do registro sísmico.

546,1alog993,1Ilog521,1dlog yan −−= (3.7)

A correlação acima foi determinada analisando-se 555 histórias de

acelerações horizontais, registradas em 280 sismógrafos e 13 terremotos de

magnitude entre 5,1 a 7,5. Para cada registro, a intensidade Arias foi calculada e

os deslocamentos permanentes foram obtidos pelo método de Newmark

convencional, admitindo-se acelerações de escoamento entre 0,02g a 0,40g. Por

regressão estatística dos resultados, a equação 3.7 foi obtida por Jibson (1993)

com coeficiente de regressão r2 = 0,83, o que representa um nível de significância

estatística alta.

Na prática, mapas digitais de fatores de segurança estáticos são

primeiramente produzidos (figura 3.9) com base na hipótese de talude infinito,

estimando-se os parâmetros de resistência a partir de mapas geológicos digitais e a

inclinação dos taludes com base nos mapas de terreno digitais. Em seguida, para

cada valor de FSestático é calculada a correspondente aceleração horizontal de

escoamento através da equação 3.8, apresentada por Newmark (1965),

αsengFSa estáticoy )1( −= (3.8)

onde α é o ângulo com a horizontal que o centro de massa do solo instável

primeiramente se move, geralmente considerado igual à inclinação do plano

inclinado.

55

Os mapas indicadores de deslocamentos permanentes (figura 3.10) podem

ser construídos aplicando-se a equação (3.7) para o terremoto do qual se conhece

a intensidade Arias.

Figura 3.9 – Exemplo de mapa de fatores de segurança estáticos (Jibson et al., 1998)

Figura 3.10 – Exemplo de mapa dos indicadores de deslocamentos permanentes (Jibson et al., 1998)

4 MÉTODO DE MAKDISI E SEED (1978)

4.1 Método simplificado

Makdisi e Seed (1978) apresentaram um método simplificado para cálculo

dos deslocamentos permanentes em taludes de barragens de terra ou aterros

baseado numa adaptação (modelo desacoplado) do método de Newmark. Os

resultados foram apresentados sob formas de gráficos, obtidos após a aplicação do

modelo desacoplado a várias barragens de terra e aterros construídos com solos

granulares e coesivos compactados, de 30 a 60m de altura, podendo seus

resultados serem também "aplicáveis a aterros mais altos (Makdisi e Seed, 1978)".

O procedimento é muito utilizado por engenheiros geotécnicos em todo o mundo.

A base do modelo foi desenvolvida em duas etapas de cálculo, a saber: a)

obtenção da história no tempo da aceleração horizontal média na massa de solo

instável; b) cálculo dos deslocamentos permanentes com a dupla integração das

parcelas das acelerações superiores à aceleração de escoamento ay, conforme

método de Newmark convencional (1965).

Na determinação da aceleração de escoamento, removeram a hipótese de

que as resistências estática e dinâmica do solo são iguais, considerando para

argilas, solos argilosos, solos granulares secos ou parcialmente saturados e solos

granulares saturados densos (solos não propensos à liquefação) o valor

correspondente a 80% da resistência ao cisalhamento não-drenada determinada na

condição estática.

Para a primeira etapa de cálculo, Makdisi e Seed (1978) usaram o método

dos elementos finitos (Idriss et al. (1973) – programa QUAD-4) para obtenção da

resposta dinâmica 2D de aterros, considerando o modelo tensão x deformação

linear equivalente onde o módulo de cisalhamento G do solo e a razão de

amortecimento � variam em função das deformações cisalhantes calculadas (Seed

e Idriss, 1970). A história no tempo das acelerações horizontais médias da massa

de solo instável a diversas profundidades, a partir da crista dos aterros, foi

57

estimada através da metodologia de Chopra (1966), mencionada no capítulo

anterior. O valor máximo da aceleração horizontal média para cada potencial

superfície de deslizamento situada na profundidade y a partir da crista foi

denominada amax (modernamente HEA) e a máxima aceleração calculada na crista

do aterro (ou barragem) designada por maxu�� .

Além destas análises por elementos finitos, foram também compiladas as

variações das acelerações máximas com a altura H do aterro publicadas por Seed

e Martin (1966) e Ambraseys e Sarma (1967) com o modelo de viga de

cisalhamento. Os resultados obtidos por ambos os tipos de análise são mostrados

na figura 4.1, onde a diferença entre a curva média e as envoltórias obtidas com

os modelos de vigas de cisalhamento variam entre 10% a 20% para y/H < 0,5 e

entre 20% a 30% para y/H > 0,5.

Figura 4.1.- Variação da razão de aceleração com a profundidade da superfície potencial de

deslizamento.

Na segunda etapa de cálculo (aplicação do método de Newmark

convencional) os registros sísmicos de vários terremotos de grande magnitude (M

= 6,5, 7,5 e 8,25), reais ou sintéticos, foram aplicados em aterros, reais ou

hipotéticos, com altura entre 23m a 46m, taludes de várias inclinações e

58

diferentes propriedades dos materiais. Makdisi e Seed (1978) então observaram

que para um mesmo valor da razão de escoamento, definida como o quociente

entre a aceleração de escoamento ay e a aceleração horizontal máxima amax os

deslocamentos permanentes do talude variavam proporcionalmente entre um valor

máximo na crista e um valor mínimo em uma superfície potencial de deslizamento

se estendendo através de toda a altura do aterro. Com isto, decidiram ser

suficiente determinar os deslocamentos apenas nas profundidades relativas y/H =

0 e y/H =1.

Os resultados nesta etapa de cálculo estão mostrados na figura 4.2 e 4.3,

onde u representa o deslocamento horizontal permanente e T0 o primeiro período

natural de vibração do aterro. As linhas tracejadas nas curvas de deslocamentos

permanentes médios indicam que os resultados obtidos com a hipótese de

elasticidade podem ser não realistas (ay/amax � 0,1 para M = 6,5; ay/amax � 0,2 para

M = 7,5 e 8,25).

A partir destes resultados, um procedimento simplificado foi então

proposto por Makdisi e Seed (1978) para cálculo dos deslocamentos permanentes

em um aterro ou barragem de terra, onde é suficiente determinar apenas a máxima

aceleração da crista maxu�� e o primeiro período natural de vibração T0 . Com base

nestes valores, a aceleração horizontal máxima amax pode ser determinada da

figura 4.1 para qualquer superfície de deslizamento na profundidade relativa y/H.

Determinado o valor da aceleração de escoamento ay em método de equilíbrio

pseudo-estático, os deslocamentos horizontais permanentes do talude podem ser

finalmente estimados da figura 4.3.

Valores de maxu�� e de T0 podem ser determinados em análises dinâmicas

pelo método dos elementos finitos (por exemplo, programa programa QUAD-41 –

Idriss et al., 1973), programas para análise 1D da resposta dinâmica causada por

terremotos (por exemplo, programa SHAKE2 – Schnabel et al., 1972) mas

Makdisi e Seed (1977) apresentaram um procedimento mais simples baseado no

modelo de viga de cisalhamento para calcular ambas as quantidades, como

descrito no apêndice desta dissertação.

1 Ou sua versão mais recente QUAD-4M 2 Ou sua versão mais recente SHAKE 2000

59

Figura 4.2.- Envoltórias da variação dos deslocamentos permanentes normalizados com a razão de escoamento ay/amax .

.

4.2. Caso de taludes íngremes

Taludes íngremes (inclinação superior a 60º) de solos granulares fracamente

cimentados são comuns na costa do Pacífico, ao longo das Américas do Norte e

do Sul. Um exemplo bastante ilustrativo são os taludes da Costa Verde (figura

4.4), localizados na cidade de Lima - Peru, onde se situa importante rodovia

municipal. São formados por material granular fracamente cimentado

(conglomerado aluvionar originado por sedimentos do rio Rímac) com

intercalações de material fino e aterros superficiais.

Solos granulares cimentados apresentam comportamento de materiais

frágeis, com pouca ocorrência de deformações permanentes significativas antes da

ruptura, ao contrário de materiais que se deformam plasticamente, como os solos

que constituem barragens de terra e aterros em geral. Tipicamente, rompem por

tombamento ou por trincas de tração junto à crista seguida de superfície de

cisalhamento junto à base do bloco de solo instável.

60

Figura 4.3.- Variação da média dos deslocamentos permanentes normalizados

com a razão de escoamento ay/amax .

.

Figura 4.4 - Vista panorâmica da Costa Verde, Lima – Peru.

61

O método simplificado de Makdisi e Seed (1978) não é aplicável para a

análise de tais taludes, principalmente porque o comportamento de materiais

frágeis não é condizente com um modelo baseado no cálculo de deformações

permanentes (plasticidade perfeita após atingir a aceleração de escoamento).

Logo, uma análise de estabilidade baseada em critério de ruptura (método de

equilíbrio limite pseudo-estáticos) seria mais indicada do que uma análise em

termos de deslocamentos (método de Newmark).

Ashford e Sitar (2002) desenvolveram uma adaptação do método de

Makdisi e Seed (1978) para determinação da variação da razão de aceleração amax ⁄

maxu�� com a profundidade normalizada da superfície de ruptura em relação à altura

do talude (y/H), à semelhança da figura 4.1, porém considerando as características

específicas de taludes com extensão infinita e constituído por material granular

fracamente cimentado.

A resposta dinâmica de três taludes situados na costa da Califórnia (Seacliff

State Beach, com 27m de altura e 75º de inclinação; Daly City com 116m de

altura e 45º de inclinação e Pacific Palisades com 61m de altura e 60º de

inclinação) foram computadas em análises numéricas 2D considerando-se, para

cada um deles, os registros sísmicos dos terremotos de El Centro (18 de maio de

1940 com magnitude M = 6,9), de Loma Prieta (17 de outubro de 1989, com

magnitude M = 7,1) e de Landers (28 de junho de 1992, com magnitude M = 7,5).

Nas análises numéricas foi considerado o modelo linear equivalente, utilizando as

relações estabelecidas por Wang (1986) para variação do módulo de cisalhamento

e da razão de amortecimento do material com o nível das deformações cisalhantes.

Em cada análise foram determinadas as histórias de aceleração na crista do

talude, na superfície do terreno em ponto distante da crista e no pé do talude.

Considerando-se os valores máximos das duas primeiras histórias foi possível

avaliar a amplificação da aceleração horizontal devido à topografia do talude e

comparando-se as acelerações máximas no pé e na crista do talude foi possível

estimar-se a amplificação da aceleração horizontal devido ao solo. Ashford e Sitar

(2002) constataram para os casos analisados que a amplificação topográfica é

menos importante do que a amplificação do solo, com um valor correspondendo,

em média, a 50% da amplificação do solo.

62

Os resultados obtidos estão apresentados na figura 4.5, podendo-se observar

que os mesmos apresentam um maior intervalo de variação do que os obtidos por

Makdisi e Seed (1978), com a razão de aceleração aumentando com a inclinação

do talude (envoltória superior para o talude Seacliff State Beach, com inclinação

de 75º ).

Ashford e Sitar (2002) recomendaram o seguinte procedimento simplificado

para taludes íngremes:

a) análise 1D da resposta dinâmica de pontos da superfície do terreno

situados distantes da crista do talude, empregando-se programas

computacionais como o SHAKE (Schnabel et al., 1972);

b) para considerar efeitos de amplificação topográfica, a máxima

aceleração da crista do talude maxu�� pode ser estimada aumentando

em 50% o valor da aceleração máxima determinada no passo a);

c) valores normalizados de amax⁄ maxu�� , para determinada profundidade

y da superfície de ruptura, podem ser estimados da figura 4.5. O

valor de kmax = amax⁄g deve ser ainda multiplicado por 0,65, como

sugerido por Seed e Martin (1966), para obtenção do coeficiente

sísmico médio kmédio par a massa de solo instável;

d) utilizar o valor de kmédio em análises de estabilidade pseudo-

estáticas que sejam específicas para taludes íngremes (superfícies

de ruptura planas, trincas de tração) como, por exemplo, o método

de Hoek e Bray (1981).

4.3. Comentários finais

De acordo com Kramer (1996), o método de Makdisi e Seed (1978) é

baseado nas características da resposta dinâmica de aterros (rodoviários,

sanitários) e barragens de terra, devendo seus resultados ser interpretados com

cautela no caso da aplicação deste procedimento a outros tipos de taludes.

Ashford e Sitar (2002) mencionam também que a hipótese de distribuição

uniforme das tensões de cisalhamento em planos horizontais de barragens de terra

ou aterros, adotada no modelo de viga de cisalhamento (figura 4.1), não se aplica

para outros tipos de talude.

63

Figura 4.5. Comparação das razões de aceleração nos métodos simplificados de Makdisi e Seed (1978) e Ashford e Sitar (2002).

Wartman, Bray e Seed (2003) comentam que o método desacoplado

proposto por Makdisi e Seed (1978) em geral produz estimativas muito

conservativas para razões de sintonia inferiores a 2 (observar tendência geral dos

métodos desacoplados na figura 3.7), sendo mais preciso para previsão de

deslocamentos permanentes com valores da razão de sintonia acima deste limite.

Uma adaptação do método de Makdisi e Seed (1978) para taludes

íngremes de solos granulares fracamente cimentados foi proposta por Ashford e

Sitar (2002), com base na constatação de que, sendo o comportamento mecânico

do material do tipo frágil, é mais adequada uma análise de estabilidade em termos

de ruptura do que com base no cálculo de deslocamentos permanentes induzidos

pelo carregamento sísmico. A proposta, embora razoável, sofre entretanto da

grande dispersão dos resultados obtidos nos poucos casos analisados e de uma

comprovação de sua eficiência na análise de outras configurações de taludes e

registros sísmicos.

64

5 Método dos Elementos Finitos

5.1. Introdução

As equações globais do movimento no método dos elementos finitos são

expressas por

)}({}]{[}]{[}]{[ tRuMuCuK =++ ��� (5.1)

onde [M] é a matriz de massa, [C] a matriz de amortecimento, [K] a matriz de

rigidez, {R} o vetor dos carregamentos nodais e }{},{},{ uuu ��� os vetores dos

deslocamentos, velocidades e acelerações nodais, respectivamente.

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]� �

� �

� �

=

=

=

dAJNNM

dAJNNcC

dAJBCBK

T

A

T

A

T

A

ρ][

][

][

(5.1a)

onde [ ]B é a matriz deformação x deslocamento, [ ]C a matriz tensão x

deformação, [ ]N a matriz das funções de interpolação, J o determinante da

matriz Jacobiana, c o coeficiente de amortecimento, ρ a massa específica e Σ

indica que se trata de um somatório das contribuições dos diversos elementos do

sistema.

Para o caso de movimentos sísmicos com aceleração aplicada na base da

malha, as equações acima são re-escritas como

)}(]{][[}]{[}]{[}]{[ tuIMuMuCuK b����� −=++ (5.2)

65

onde [I] é a matriz identidade e bu}{ �� o vetor das acelerações nodais da base

da malha.

Em problemas lineares a equação do movimento pode ser expressa no

domínio da freqüência, aplicando-se a transformada de Fourier (operador linear)

na equação (5.2) para obter-se a formulação complexa, onde a parte imaginária

está associada à perda de energia por amortecimento

( ) )}(]{][[}{][][][ 22 ωωωω bUIMUMCiK =−− (5.3)

onde ω representa a freqüência, }{U o vetor dos deslocamentos nodais no

domínio da freqüência e )}({ ωbU os deslocamentos nodais da base da malha na

frequência ω .

Um dos problemas com a formulação acima é a possibilidade de ocorrência

de super-amortecimento numérico para altas freqüências, adotando-se então

geralmente um amortecimento histerético (independente da freqüência) através da

introdução de um módulo de cisalhamento complexo

)21(* ςiGG −= (5.4)

onde G é o módulo de cisalhamento do solo e ς a razão de amortecimento

do material, independente da freqüência. Observe que a razão de amortecimento

geométrico devido à radiação das ondas está contemplada na própria

representação espacial da malha de elementos finitos e condições de contorno

especiais (contornos silenciosos, no item 5,2).

A equação discretizada no domínio da freqüência é expressa então por

( ) )}(]{][[}{][][ 22* ωωω bUIMUMK =− (5.5)

Os resultados de deslocamentos obtidos para as diversas freqüências

analisadas são convertidos para o domínio do tempo através de uma transformada

66

de Fourier inversa, executada numericamente através de algoritmo FFT (Fast

Fourier Transform) desenvolvido por Cooley e Tukey (1965).

No domínio do tempo (equação 5.2) a matriz de amortecimento pode ser

construída com base na formulação de Rayleigh, através da combinação linear

entre as matrizes de massa [M] e de rigidez [K],

][][][ KMC βα += (5.6)

onde � e � são os parâmetros de amortecimento de Rayleigh.

Como o amortecimento de solos depende do estado de deformações, como

já discutido, Idriss (1973) sugeriu a aplicação da formulação de Rayleigh a nível

de elemento (identificado pelo subescrito e) como

eeeee KMC ][][][ βα += (5.7)

onde os parâmetros de amortecimento para cada elemento são definidos com

base na razão de amortecimento local (função das deformações cisalhantes

efetivas no elemento) e da freqüência natural fundamental do sistema ω1 obtida a

partir do cálculo dos autovalores em um problema de vibração livre não

amortecida ou estimada mediante o modelo de viga de cisalhamento (apêndice

A).

1

1

ωξβ

ωξα

ee

ee

=

= (5.8)

A matriz de amortecimento global [C] é obtida através do processo

convencional de montagem de matrizes do método dos elementos finitos.

A integração no tempo da equação do movimento (equação 5.2) é

normalmente feita através dos métodos implícitos de Wilson θ ou o método de

Newmark. Para uma descrição mais detalhada destes algoritmos, o leitor

interessado pode consultar alguns livros textos sobre o método dos elementos

finitos como Bathe (1996), Cook et al. (2002), entre outros.

67

5.2. Aspectos da modelagem

Na aplicação do método dos elementos finitos para determinação da

resposta dinâmica de maciços de solo alguns cuidados especiais devem ser

tomados em relação ao tamanho do elemento e condições de contorno da malha de

elementos finitos.

Kuhlemeyer e Lysmer (1973) verificaram que a dimensão do elemento na

direção de propagação da onda é de fundamental importância na modelagem, pois

elementos grandes são incapazes de transmitir movimentos produzidos por

excitações de altas freqüências. Recomendaram então, como sugestão empírica,

que o tamanho do elemento para uma eficiente transmissão do movimento não

ultrapasse 1/8 do menor comprimento de onda esperado no problema. Em estudos

mais detalhados, Celep e Bazant (1983) e Mullen e Belytschko (1982), concluíram

que a relação 1/10 é um valor bastante razoável para muitas configurações de

malha e tipos de elementos.

. Este precaução na modelagem é importante porque a faixa de frequências

dos terremotos peruanos é relativamente alta (2-10Hz), exigindo a utilização de

malhas discretizadas adequadamente.

Para maior eficiência computacional, é desejável que o número de

elementos finitos seja o menor possível. Como o tamanho do elemento é

controlado pelo critério referido acima, a minimização do número de elementos

se converte em um problema de minimização do tamanho da malha de elementos

finitos.

Análises efetuadas pelo método dos elementos finitos sempre encontraram

dificuldades na representação de domínios onde o substrato rochoso situa-se

muito além da região de interesse do problema. Uma técnica bastante utilizada em

análises estáticas é truncar a malha a alguma grande distância e empregar

contornos elementares (rígidos) como “aproximação” da real geometria do

problema. De fácil implementação, produz resultados desastrosos em análises

dinâmicas devido às reflexões de onda ocorridas nos contornos rígidos

artificialmente introduzidos.

Várias técnicas para contornos especiais (silent boundaries) para problemas

dinâmicos foram propostas na literatura, dentre as quais a utilização de elementos

68

infinitos (Medina e Penzien, 1982; Medina e Taylor, 1983), contornos de

transmissão imperfeita (amortecedores) propostos por Lysmer e Kuhlemeyer

(1969), contornos de transmissão perfeita (Lysmer e Waas (1972), Kausel e

Roesset (1977)), técnicas híbridas associando o método dos elementos finitos com

soluções analíticas (Gupta, 1980) ou com o método dos elementos de contorno

(Mita e Takanashi, 1983), etc.

Na formulação consistente do método dos elementos finitos, a matriz de

massa [M] é uma matriz em banda cujos termos não nulos fora da diagonal

principal indicam acoplamento da forças de inércia. Em problemas de dinâmica, a

diagonalização (lumping) da matriz de massa é freqüentemente usada devido às

vantagens computacionais associadas com a manipulação de uma matriz diagonal.

De acordo com alguns estudos (Kuhlemeyer e Lysmer, 1973), a diagonalização da

matriz de massa fornece resultados com precisão comparável àqueles obtidos com

a formulação consistente.

Uma investigação comparativa mais detalhada sobre as diferenças entre

ambas as formulações foi realizada por Mullen e Belytschko (1982). Os resultados

da investigação mostram que a diagonalização da matriz de massa reduz o

desempenho do modelo numérico, produzindo erros no cálculo da velocidade de

fase com magnitude máxima aproximadamente duas vezes maior a dos erros

obtidos com a formulação consistente.

5.3. Modelos constitutivos

A resposta dinâmica de taludes submetidos a carregamentos sísmicos

depende de uma série de condicionantes, dentre os quais a não-linearidade do

comportamento mecânico dos materiais, a topografia do relevo, a heterogeneidade

dos solos que compõem o talude e o maciço de fundação, o conteúdo de

freqüências do registro sísmico, sua duração e amplitudes, etc.

Um dos fatores mais importantes, conforme discutido nas diversas

adaptações do modelo de Newmark (1965) apresentadas nos capítulos anteriores,

é que solos são materiais deformáveis, podendo apresentar comportamento tensão

x deformação altamente linear quando dinamicamente carregados por terremotos

de grande magnitude.

69

A utilização de métodos numéricos para análise da resposta dinâmica de

maciços de solo dependerá portanto do modelo constitutivo implementado no

programa computacional. Os principais modelos propostos na literatura são

apresentados a seguir.

5.3.1. Modelo linear equivalente

É o modelo utilizado na maioria das aplicações e implementado em grande

parte dos programas computacionais elaborados para investigação da resposta

dinâmica de maciços de solo.

A relação tensão x deformação de solos sob carregamento cíclico exibe

normalmente um laço de histerese entre as trajetórias de carregamento e de

descarregamento, que pode ser mecanicamente modelado descrevendo-se as

trajetórias ou considerando-se parâmetros do material que possam representar de

maneira aproximada a forma geral do laço. Na segunda alternativa, adotada no

modelo linear equivalente, a inclinação do laço de histerese, proporcional à

rigidez do solo, é descrita pelo módulo de cisalhamento secante e a abertura do

laço, com área proporcional à energia dissipada no ciclo, pela razão de

amortecimento.

Ambos os parâmetros, referidos como parâmetros lineares equivalentes, são

atualizados iterativamente em função dos níveis de deformação cisalhante

induzidos na massa de solo. Para a seleção dos novos valores, utiliza-se uma

distorção média ou efetiva empiricamente estimada como 2/3 da deformação

cisalhante máxima (0,65 de acordo com Seed e Martin (1966), ou (M-1)/10, de

acordo com Idriss e Sun (1992) onde M é a magnitude do terremoto). Em

programas de elementos finitos a seleção dos parâmetros lineares equivalentes é

feita a nível de elemento, de acordo com o seguinte procedimento:

Os valores iniciais do módulo cisalhante (Gmax) e do amortecimento são

estimados para cada elemento finito da malha. A resposta dinâmica do sistema é

então determinada, calculando-se a deformação cisalhante máxima na história do

tempo em cada elemento. A partir destes resultados, as amplitudes da deformação

cisalhante efetiva em cada elemento são computadas, consultando-se as curvas do

material correspondente para observar se o nível de deformação é compatível com

70

os valores das propriedades dinâmicas utilizadas na avaliação da resposta. Se as

propriedades do solo não foram compatíveis, as propriedades lineares

equivalentes são atualizadas e o processo é repetido até atingir a convergência, o

que ocorre geralmente após 3 a 5 iterações. Este modelo foi implementado em

vários programas comerciais (GeoStudio 2004) e acadêmicos como os elaborados

na Universidade da Califórnia, Berkeley - SHAKE (Schnabel et al., 1972),

QUAD-4 (Idriss et al., 1973), FLUSH (Lysmer et al., 1975), dentre outros.

Entretanto, como apenas o valor da deformação cisalhante máxima não

fornece informações a respeito de toda a história de deformações, é possível que

este procedimento possa levar a sistemas artificialmente amortecidos e enrijecidos

⁄ amolecidos. No caso de movimentos relativamente uniformes, por exemplo, a

tendência é de subestimar a razão de amortecimento λ e a superestimar o módulo

de cisalhamento G.

Como o método é essencialmente linear, é também possível que uma das

freqüências predominantes da excitação possa coincidir com uma das freqüências

naturais do talude, com tendência ao desenvolvimento de ressonâncias espúrias.

Como o método é essencialmente elástico, não tem condições de calcular

deformações ou deslocamentos permanentes, necessitando ser complementado por

outra técnica aplicada separada ou desacopladamente (Newmark, 1965; Makdisi e

Seed, 1978).

Diferenças entre os resultados de análises com o modelo linear equivalente e

não-lineares depende, naturalmente, do grau de não-linearidade da resposta do

solo. Para problemas onde o nível de deformações permanece baixo (solos rígidos

e⁄ou movimentos sísmicos de baixa magnitude), ambas as análises devem produzir

estimativas razoáveis da resposta dinâmica do solo, No entanto, para situações

onde o valor das tensões cisalhantes induzidas pelo terremoto aproximam-se da

resistência ao cisalhamento do solo, as análises não lineares devem fornecer

resultados mais confiáveis.

De acordo com Bray et al. (1995) o programa SHAKE91 (Idriss e Sun,

1992), em virtude da incorporação do modelo linear equivalente, somente deve ser

empregado para movimentos com PHArocha � 0,35g. De acordo com informações

da literatura, o modelo linear equivalente não produz resultados confiáveis para

situações onde PHAsolo > 0,4g (Ishihara, 1986) ou a deformação cisalhante de pico

exceder aproximadamente 2% (Kavazanjian et al., 1997). Segundo Dakoulas e

71

Gazetas (1992) em barragens modernas análises lineares podem ser suficientes

para movimentos com PHAsolo � 0,2g.

A relação entre a variação dos parâmetros lineares equivalentes com o nível

das deformações cisalhantes foi estudada por vários autores. Até vinte anos atrás

as reduções de módulo para solos coesivos e granulares eram tratadas

separadamente (Seed e Idriss, 1970), conforme mostra a figura 5.1 para o caso das

areias. Para as areias, Seed e Idriss (op.cit.) propuseram a seguinte expressão para

cálculo do máximo valor do módulo de cisalhamento Gmax,

( ) 2/1max2max '1000 mKG σ= em psf

2/1

max2max

'7,21 ��

�

����

�=

a

ma P

pKGσ

em Pa (5.9)

onde σm’ e a tensão efetiva principal média, pa a pressão atmosférica.e o

coeficiente adimensional K2max (no intervalo entre 30 a 70) é obtido de tabelas

(Seed e Idriss, 1970) em função do índice de vazios ou densidade relativa da areia.

Para pedregulhos, Seed et al. (1984) indicaram valores de K2max no intervalo entre

80 a 180 enquanto que para solos coesivos estimativas preliminares de G são

obtidas com base no índice de plasticidade IP, razão de pré-adensamento OCR e

da resistência ao cisalhamento não-drenada.

72

80

70

60

50

40

30

20

10

0

10- 4

10- 3

10- 2

10- 1

1

Deformação Cisalhante ( % )

K2

G = 1000 K ( ' ) psfσ 1/ 22 mDr 90%

Dr 75%

Dr 45%

Dr 60%

Dr 40%

Dr 30%

Figura 5.1 – Curvas de variação do módulo de cisalhamento para areias sob diferentes densidades relativas – Seed e Idriss (1970).

A partir da década de 1980, estudos de Dobry e Vucetic (1987), Sun et al.

(1988), Vucetic e Dobry (1991), entre outros, concluíram que há uma transição

gradual entre o comportamento de materiais granulares e coesivos, sendo que a

forma das curvas de redução de módulo de cisalhamento é mais afetada pelo

índice de plasticidade do que pelo índice de vazios. Na figura 5.2 a curva para IP

= 0 é muito semelhante à curva média para areias de Seed e Idriss (figura A.2).

Para pedregulhos, apesar da dificuldade experimental da execução de ensaios em

laboratório, algumas evidências indicam que a curva média de degradação de G

tem forma similar, porém mais achatada, do que a curva média das areias (Seed et

al., 1986).

As características de plasticidade também influenciam a razão de

amortecimento do solo, como também constatado Kokushu et al. (1982), Dobry e

Vucetic (1987), Sun et al. (1988), Vucetic e Dobry (1991), entre outros. A figura

5.3 mostra que a razão de amortecimento para solos coesivos altamente plásticos é

menor do que para solos granulares, sendo a curva correspondente a IP = 0

bastante próxima da curva média para areias proposta por Seed e Idriss (1970) -

figura A.2. De acordo com Seed et al. (1984) o amortecimento em pedregulhos é

muito similar aos das areias.

73

OCR = 1-15 015

3050

100IP = 200

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.00.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

GG max

Deformação cisalhante cíclica (%) Figura 5.2 – Curvas de variação do módulo de cisalhamento para diferentes índices de

plasticidade – Vucetic e Dobry (1991)

OCR = 1-8

Deformação cisalhante cíclica (%)

Raz

ão d

e am

orte

cim

ento

(%)

Figura 5.3 – Curvas de variação da razão de amortecimento para diferentes índices de

plasticidade – Vucetic e Dobry (1991)

5.3.2. Modelo não-linear simplificado

Dakoulas e Gazeta (1985) propuseram um método não-linear, porém

essencialmente elástico, que evita duas das limitações do método linear

74

equivalente: a definição arbitrária da amplitude da deformação cisalhante média

ou equivalente e o efeito de "ressonâncias espúrias". A hipótese básica do método

é atualizar a razão de amortecimento e módulo de cisalhamento do solo em vários

intervalos de tempo, de acordo com a deformação cisalhante efetiva calculada

pela equação (5.10). Em outras palavras, a atualização dos parâmetros do solo é

feita em vários instantes de tempo, em contraste com a única atualização do

método linear equivalente realizada com as deformações cisalhantes calculadas

com base apenas nos resultados da iteração anterior.

)(2 trmse γγ = (5.10)

onde )(trmsγ é a raiz quadrada da média dos quadrados das deformações

cisalhantes no tempo t.

A análise numérica é executada em duas fases consecutivas. Na primeira, a

história das deformações cisalhantes )(trmsγ é determinada; na segunda, a resposta

do solo é computada através de uma seqüência de análises lineares utilizando a

deformação cisalhante efetiva (equação 5.10) para atualização do módulo de

cisalhamento e da razão de amortecimento.

5.3.3. Modelos cíclicos

O comportamento não-linear do solo é representado por um modelo cíclico

que segue a trajetória tensão – deformação durante a aplicação do ciclo de

carregamento. Vários modelos cíclicos foram propostos na literatura (Iwan, 1987;

Finn et al., 1977; Vucetic, 1990; Pyke (1990), dentre outros) baseados na

existência de uma curva tensão x deformação geral (backbone curve) e uma série

de regras que governam o comportamento de carregamento – descarregamento, a

variação da rigidez do solo, o desenvolvimento de poropressões sob condições

não-drenadas, etc. Vários modelos seguem as regras estendidas de Masing

(Kramer, 1996) que estabelecem a forma do ciclo para representação das situações

de carregamento inicial, descarregamento e recarregamento.

Os modelos cíclicos tem vantagens na medida que conseguem representar

deformações permanentes e a variação da rigidez do solo também em função da

75

história de tensões e não somente da amplitude das deformações cisalhantes como

no modelo linear equivalente. Entretanto, sua aplicabilidade está ainda restrita a

determinadas trajetórias de tensão.

5.3.4. Modelos elasto-plásticos

Modelos constitutivos elasto-plásticos avançados são os mais precisos e

gerais para representação do comportamento do solo, permitindo análises com

uma grande variedade de história de tensões, comportamento drenado e não-

drenado, carregamento cíclico, etc., mas a avaliação experimental dos parâmetros

necessários à completa descrição do modelo pode ser difícil de ser feita em

ensaios de laboratório. Apesar desta dificuldade de ordem prática, o uso de

modelos constitutivos elasto-plásticos avançados tende a aumentar, assim como já

vem ocorrendo nas aplicações geotécnicas envolvendo apenas carregamentos

estáticos.

5.4. Programa computacional de elementos finitos

Nesta dissertação foi utilizado o programa computacional Quake⁄W,

módulo do pacote de elementos finitos GeoStudio 2004, que possui as seguintes

características principais para análise da resposta dinâmica de obras e estruturas

de terra:

i) Modelo Linear Equivalente – a variação do módulo de cisalhamento G

definido pela expressão proposta por Ishibushi e Zhang (1993), ou outra

função fornecida pelo usuário,

76

( )

( )

707015150

0

107,2100,71037,3

0,0

)(

000556,0lntanh1272,0,

)(000102,0lntanh15,0),(

),(

115,15

976,17

404,16

3,1145,,0

4,0

0

492,0

0),('

max

>≤<≤<

=

�

�

×××

=

��

��

���

�

���

����

����

�−=−

��

��

���

�

���

����

����

� ++=

=

−

−

−

−

−

IP

IP

IP

IP

IP

IP

IPIPn

emIPm

IPnIPK

IPKG

G

IP

mIPm

m

γγ

γγ

σγ γ

(5.11)

A função que controla a variação da razão de amortecimento, dependente

do índice de plasticidade IP, da redução do módulo de cisalhamento G⁄ Gmax e

indiretamente da tensão normal octaédrica 'mσ , também foi apresentada por

Ishibushi e Zhang (1993),

��

�

�

��

�

�+−��

�

����

�+=−

1547,1586,02

1333,0

max

2

max

3,10145,0

GG

GGe IP

ς (5.12)

Em ambas as equações (5.11 e 5.12) tensão efetiva média 'mσ é expressa em kPa.

A variação do módulo de cisalhamento e da razão de amortecimento com as

deformações cisalhantes não é, entretanto, um processo local a nível de elemento,

como sugerido por Idriss (1973). As deformações cisalhantes em cada ponto de

Gauss são calculadas em todos os instantes de tempo em que se subdivide a

duração total do terremoto e as normas destes vetores são computadas. A maior

destas normas γ é utilizada para atualização dos parâmetros do modelo linear

equivalente através das equações 5.11 e 5.12.

O valor da razão de amortecimento pode ser informado como constante,

caso no qual o programa utiliza a formulação de Rayleigh (equação 5.6) para

construção da matriz de amortecimento.

ii) Fator de Segurança – o cálculo do fator de segurança em todos os

instantes de tempo é feito pelo método de equilíbrio limite aperfeiçoado, que

77

aplica na superfície potencial de ruptura determinada por método de

equilíbrio limite (método de Bishop Simplificado, por exemplo) os valores

de tensão cisalhante e de resistência calculados com base no método dos

elementos finitos.

As figuras 5.4 e 5.5 ilustram o método de maneira sucinta. Na potencial

superfície de ruptura AB da figura 5.4, a variação da resistência ao cisalhamento

(s) é representada pela curva superior na figura 5.5, enquanto que a distribuição

das tensões cisalhantes mobilizadas (τ) é representada pela curva inferior. Ambas

as distribuições ao longo da superfície AB foram calculadas com base nos

resultados de análise por elementos finitos.

O fator de segurança FS do talude é definido pela equação 5.13 que,

geometricamente, representa a relação entre as áreas compreendidas entre as

distribuições da resistência ao cisalhamento s e da tensão cisalhante mobilizada τ

mostradas na figura 5.5. �

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]�

�

�

�

�

�

=

=

=

=

+=≈= n

1i

ii

n

1i

iiii

n

1i

i i

n

1i

ii

B

A

B

A

l

l )tanc(

l

l s

ld

ldsFS

∆τ

∆φσ

∆τ

∆

τ (5.13)

onde

ixyi

xiyi

i 2cos2sen2

)(i ατασστ +−= (5.14)

ixyii2

yii2

xii 2sencossen ατασασσ −+= (5.15)

implicando que as componentes de tensão σy , σx e τxy calculadas nos pontos de

Gauss dos elementos finitos devam ser convenientemente interpoladas para a

superfície potencial de ruptura AB e, em seguida, transformadas nas componentes

σi e τι atuantes no plano tangente à superfície com inclinação αι (figura 5.4).

78

Figura 5.4: Tensões atuantes na superfície potencial de ruptura

Figura 5.5: Distribuição de tensões cisalhantes (τ e s) ao longo da superfície potencial de

ruptura (A→B)

A resistência ao cisalhamento ao longo da superfície potencial de ruptura

(numerador da equação 5.13) é calculada uma única vez com os valores das

tensões estáticas atuantes antes da excitação sísmica, o que implicitamente

corresponde a assumir-se que durante o terremoto o comportamento do solo é

não-drenado.

iii)Deslocamentos permanentes – de acordo com o manual do módulo

Quake/W do programa computacional GeoStudio 2004, a aceleração média na

massa de solo instável é determinada integrando-se as tensões cisalhantes

dinâmicas ao longo da superfície de deslizamento e dividindo o valor da força

de inércia assim calculada pelo valor da massa de solo instável. A aceleração

média correspondente ao fator de segurança FS =1 define então a aceleração

de escoamento ay. A aplicação da dupla integração pelo método de Newmark

(1965) corresponde então a acelerações orientadas na direção do movimento

da massa e não em relação a acelerações horizontais (EHA) como em várias

aplicações da literatura (Chopra, 1966; Makdisi e Seed, 1978). De acordo

com Sarma (1975) e Kramer e Lindwal (2004) o fator de segurança pseudo-

estático e os deslocamentos permanentes do talude não são sensíveis à direção

da força de inércia.

79

6 TALUDES ANALISADOS

6.1 Célula 2 do sistema de contenção de rejeitos de urânio da INB

A unidade de concentração de urânio da INB - Indústrias Nucleares do

Brasil S.A., situada no município de Caetité – BA, é atualmente composta por

duas células (ponds) destinadas a receber os efluentes líquidos resultantes do

processo de extração de urânio por lixiviação, conter a fração sólida e filtrar a

parte líquida que será drenada para um tanque de água clarificada. A capacidade

útil da célula 2 foi projetada para 100.000 m3, suficientes para atender as

demandas daquela instalação industrial por um período aproximado de 4 anos. A

figura 6.1 mostra a célula 1 já em fase operacional, ao lado da qual foi construída

uma estrutura similar aqui referida como célula ou pond 2.

Figura 6.1 – Vista da célula 1 da Unidade de Concentração de Urânio em Caetité – BA.

80

A geometria básica da célula 2 (figura 6.2) é caracterizada por diques com

inclinação 1V:2H, altura de 7m, fundo impermeabilizado de barreira dupla para

receber efluentes líquido com peso específico estimado de 11,9 kN/m3 , após 4

anos de adensamento. Neste trabalho serão estudadas a estabilidade e resposta

dinâmica de seções situadas no dique sudeste SE (seção 2-2) e no dique nordeste

NE (seção 7-7), indicadas na figura 6.2. Em ambas as seções foram necessárias

escavações do terreno natural e execução de aterros com solo coluvial

compactado. A seção B-B corresponde ao dique que separa as células vizinhas 1 e

2 (figura 6.2).

6.2 Propriedades dos materiais

Vários ensaios de campo e de laboratório foram feitos no local para

obtenção dos parâmetros geotécnicos do subsolo e do aterro dos diques da célula 2

(GEA, 2003). Dentre estes ensaios, citam-se: a) três sondagens mistas, à

percussão em solo e rotativas em rocha, até 33m de profundidade, executadas

entre fevereiro e abril de 1997; b) abertura, na mesma época, de 3 poços de

inspeção com coleta de blocos indeformados para realização de ensaios de

laboratório para determinação da permeabilidade, resistência e caracterização dos

materiais; c) escavação de 5 trincheiras com cerca de 4m de profundidade, em

março de 2003, na faixa de implementação dos diques da célula 2; d) execução de

novas sondagens mistas entre as células adjacentes 1 e 2, também em março de

2003, para verificação da possível existência, afinal não comprovada, de um

espigão de rocha na fundação.

De maneira geral, destes ensaios constatou-se que o subsolo local é

composto por uma camada superficial de solo coluvial (argila silte-arenosa

avermelhada), seguida de solo residual maduro (areia silte-argilosa amarelada),

solo residual jovem (areia siltosa com fragmentos de rocha) e um substrato

profundo de rocha gnáissica pouco fraturada. Na tabela 6.1 são apresentadas as

propriedades geotécnicas dos materiais utilizadas na investigação do

comportamento das seções dos diques NE e SE. Os valores de Gmax foram

estimados com base na proposta de Seed e Idriss (1970) de acordo com a equação,

assumindo valores conservadores do coeficiente k2,max (30 – 40).

81

( ) ( ) 5.0',28.218 cmáxmáx kkPaG σ= (6.1)

Tabela 6.1 - Parâmetros geotécnicos utilizados nas análises de estabilidade (estática e sísmica)

Solo γγγγ (kN/m³) c’ (kPa) φφφφ' ( 0) Gmáx (kPa) νννν Colúvio

Compactado 18,0 60 27 33.900 0,35

Colúvio Natural

13,6 3 27 79.258 0,35

Solo Residual Maduro

14,7 10 33 125.317 0,35

Solo Residual Jovem

17,0 20 35 177.228 0,35

6.3 Sismo de projeto

A sismicidade brasileira é pequena quando comparada à existente na costa

Andina (figura 6.3) onde terremotos de grande magnitude (>6) ocorrem

freqüentemente devido ao mergulho da placa tectônica de Nazca sob a placa Sul

Americana. Os focos destes sismos de subducção se aprofundam do oceano

Pacífico em direção ao continente, explicando a ocorrência, como ilustrado na

figura 6.4 dos sismos profundos na região do Estado do Acre. De acordo com o

Observatório Sismológico da Universidade de Brasília, nos últimos 100 anos

cinco terremotos com magnitude superior a 7 na escala Richter ocorreram nesta

zona sismogênica, porém sem causar danos aparentes na superfície da região

amazônica.

A grande maioria dos sismos intra-placa1 no Brasil é de pequena

magnitude (< 5) e de baixa profundidade (< 30km), embora mais de uma dezena

de terremotos com magnitude superior a 5 tenham sido registrados no país desde

1922 (tabela 6.2). De maneira preliminar, no território brasileiro podem ser

identificadas 5 províncias sismotectônicas, ilustradas conforme figura 6.5: as

províncias do Sudeste, do Nordeste, da faixa Goiás-Tocantins, da borda Brasil-

Paraguai e da Bacia Amazônica.

1 O Brasil está situado no interior da placa Sul Americana, delimitada entre as bordas do Pacífico e da cadeia Meso-Atântica.

82

PONDS 02

5 5

5

57

7

2

2

� �� �� � � � � � � � �

ATERRO EXISTENTE

COLUVIO+SOLO RESIDUAL MADURO 1 + 2

SOLO SAPROLITICO3

� � �� � ����� �� ����

�� �

�

ESCAVAR

� � � � � �� � � � �

CL EIXO

� � �� � �� � � � � �� � �� � � �� � �� � � � � �

� �� � � � �� ���� �

�� �� � � � �� ���� �

� �� �� �� �����

� � � ��!�

� � � �� !�

� � � � � �� � � � �

� � " � �# � � �

ESTRADA

ESCAVAÇAO

� � � � �

� � �$ � � �� $ � � %�� �� �� ��� �� �

1

2

3

6

6

� � �� � �� � � � � �� � �� � � �� � �� � �� �� � � � � � � ��� � � � � � � � �������������

�� ��

� ��

� ��

� ��

EIXO DO PONDLC

EL 914,00

EL 914,002,9 2,9

2.0

3.0

Figura 6.2 – Geometria da célula 2 e das seções 2-2 e 7-7 dos diques da Unidade de Concentração de Urânio em Caetité – BA.

83

Tabela 6.2 – Terremotos no Brasil com magnitude superior a 5 entre 1922 e 2005

Data Hora Local Magnitude (escala Richter)

27/01/1922 3:50:40 Mogi Guaçu - SP 5,1

28/06/1939 8:32:22 Tubarão - SC 5,5

21/01/1955 02:03:07 Serra Tombador - MT 6,6 1

28/02/1955 22:46:18 Litoral Vitória - ES 6,3 1

13/12/1963 21:05:42 Manaus - AM 5,1

13/02/1964 08:21:46 NW Mato Grosso do Sul 5,4

20/11/1980 00:29:42 Paracajus - CE 5,2

05/08/1983 03:21:42 Codajás - AM 5,5

Figura 6.3 – Sismos na Placa Sul Americana entre 1975 – 1995, com magnitude superior a 4,5 (USP - Departamento de Geofísica).

1 Os dois maiores terremotos acontecidos no Brasil, com intervalo de 5 semanas.

84

Magnitude

>= 6.5

5.5 - 6.4

4.5 - 5.4

3.5 - 4.4

Intensidade

>= IV

< IV

si sismos

profundos

Figura 6.4 – Sismos ocorridos no Brasil da época colonial ao ano 2000 (J. Berrocal, 1984).

Figura 6.5 – Províncias sismotectônicas brasileiras (Diniz de Almeida, 2002)

85

De acordo com o documento CNEN.NE.1.10 – Segurança de Sistemas de

Barragem de Rejeito contendo Radionuclídeos (item 6.3.1.1), a estabilidade dos

taludes de barragens destinadas a receber rejeitos deve ser investigada com

relação a movimentos sísmicos, considerando para efeitos destas análises um

terremoto com magnitude 5,5 na escala Richter, que corresponde a uma

aceleração horizontal máxima (PHA) na base rochosa de aproximadamente 0.1g,

conforme indicam, por exemplo, as funções de atenuação desenvolvidas por Toro

et al (1995) para terremotos de magnitude M = 5.5, 6.5 e 7.5 na crosta continental

do centro e da costa leste dos Estados Unidos (figura 6.6).

Figura 6.6 – Funções de atenuação propostas por Toro et al. (1995) para o centro e costa leste dos Estados Unidos – apud Kramer (1996). .

Como na região de Caetité – BA (14,04° S, 42,29° O) não há informações

sobre ocorrência de sismos, então terremotos com aceleração horizontal máxima

(PHA) de 0.1g foram artificialmente gerados, com base nos registros fornecidos

pelo Instituto Astronômico e Geofísico da USP (Berrocal, 2006) para 2 diferentes

estações sismológicas:

a) Sismo de Areado – MG (AR) com epicentro (21,32° S, 46,20° O)

registrado pela estação ESAR (23,02° S, 44,44° O)

b) Sismo de Telêmaco Borba – PR (TB) com epicentro (24,43° S, 50,69° O)

registrado pela estação Rio Claro (22,42° S, 47,53° O)

Como a recomendação de projeto é utilizar sismos com aceleração

horizontal máxima de 0.1g, foi feita primeiramente a normalização das

acelerações registradas nas direções vertical, N-S e L-O.

86

Em seguida, foram geradas as funções densidade de espectro de potência

(FDEP) dos sismos normalizados e então determinada uma função FDEP média

para cada direção, conforme ilustram as figuras 6.7 a 6.9.

f (Hz)

ΦΦ ΦΦff (

m2 /s

3 )

0.01 0.1 1 10 1001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

1E-2

1E-1

FDEP TBFDEP ARFDEP media (TB_AR)

Figura 6.7 – FDEP dos sismos AR, TB e valores médios na direção vertical.

f (Hz)

ΦΦ ΦΦff (

m2 /s

3 )

0.01 0.1 1 10 1001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

1E-2

1E-1

FDEP TBFDEP ARFDEP media (TB_AR)

Figura 6.8 – FDEP dos sismos AR, TB e valores médios na direção N-S

87

f (Hz)

ΦΦ ΦΦff (

m2 /

s3 )

0.01 0.1 1 10 1001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

1E-2

1E-1

FDEP TBFDEP ARFDEP media (TB_AR)

Figura 6.9 – FDEP dos sismos AR, TB e valores médios na direção L-O

Em seguida, com a média das funções de densidade espectro de potência

para cada direção, foram gerados pelo método da superposição de oscilações

harmônicas 4 sismos artificiais para cada direção, atendendo-se as condições

iniciais e finais pré-determinadas. As figuras 6.10 a 6.21 mostram os registros de

aceleração assim calculados.

88

.

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.10 – Acelograma artificial (sismo 1) na direção vertical para a localidade de Caetité – BA.

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.11 – Acelograma artificial (sismo 2) na direção vertical para a localidade de Caetité – BA.

.

89

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.12 – Acelograma artificial (sismo 3) na direção vertical para a localidade de Caetité – BA.

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.13 – Acelograma artificial (sismo 4) na direção vertical para a localidade de Caetité – BA.

90

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.14 – Acelograma artificial (sismo 1) na direção N-S para a localidade de Caetité – BA.

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.15 – Acelograma artificial (sismo 2) na direção N-S para a localidade de Caetité – BA.

.

91

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.16 – Acelograma artificial (sismo 3) na direção N-S para a localidade de Caetité – BA.

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.17 – Acelograma artificial (sismo 4) na direção N-S para a localidade de Caetité – BA.

92

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.18 – Acelograma artificial (sismo 1) na direção L-O para a localidade de Caetité – BA.

t (s)

a (m

/2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.19 – Acelograma artificial (sismo 2) na direção L-O para a localidade de Caetité – BA.

93

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.20 – Acelograma artificial (sismo 3) na direção L-O para a localidade de Caetité – BA.

t (s)

a (m

/s2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.21 – Acelograma artificial (sismo 4) na direção L-O para a localidade de Caetité – BA.

.

94

6.4. Comportamento da seção 2-2

6.4.1 Análise pseudo-estática

Para as análises pseudo-estáticas um valor inicial do coeficiente sísmico k

= 0.05 foi selecionado com base no critério de Hynes-Griffin e Franklin (1984),

segundo o qual deslocamentos permanentes no talude não devem ocorrer quando

o fator de segurança peudo-estático calculado for igual ou superior a 1 para um

coeficiente sísmico correspondente à metade da aceleração horizontal máxima

considerada (no caso, PHA = 0.1g). Na análise o fator de segurança resultou

superior a 2.

Em seguida, o valor do coeficiente sísmico foi majorado até atingir o valor

máximo k = 0.1, quando o valor do fator de segurança pseudo-estático resultou

em FS = 1.876 (figura 6.22). A possibilidade de ocorrência de deslocamentos

permanentes no talude pode, em princípio, ser então descartada.

O coeficiente sísmico continuou sendo aumentado para determinação da

aceleração de escoamento, obtendo-se na condição FS = 1 o valor ay = 0,57g.

Observe na figura 6.23 que na condição estática FSestático = 2.4. Para cálculo da

aceleração de escoamento foram empregados os métodos de Morgenstern-Price

(1965) e Sarma (1973), obtendo-se por ambos praticamente os mesmos resultados.

6.4.2 Malha de elementos finitos e tensões iniciais

Na figura 6.24 apresenta-se a malha de elementos finitos utilizada para a

determinação das respostas estática e dinâmica da seção 2-2, formada por 7

elementos triangulares T3 e 282 elementos finitos quadrangulares Q4. A malha de

elementos finitos atende aos requisitos de tamanho máximo de elemento

(Kuhlemeyer e Lysmer, 1973) para uma adequada representação da propagação

das ondas sísmicas através do maciço de solo.

É necessário conhecer-se antecipadamente o estado inicial de tensões na

seção 2-2 (Seed, 1979; Marcuson et al., 1990, Duncan 2005) para em seguida

determinar-se a resposta dinâmica do talude. O estado de tensões iniciais foi

calculado pelo método dos elementos finitos considerando-se uma resposta linear

95

elástica dos diferentes materiais geológicos. Três pontos da figura 6.25 serão

considerados como pontos de controle para comparação da resposta do talude

devido à excitação sísmica.

Quatro registros de aceleração horizontal gerados artificialmente na

direção N-S foram considerados neste estudo (figuras 6.14 a 6.17)..

Figura 6.24 – Seção 2-2 do dique da célula 2 e correspondente malha de elementos finitos.

Figura 6.25– Estado de tensões iniciais na seção 2-2 e indicação dos 3 pontos de controle.

96

6.4.3 Resposta sísmica

Para a avaliação da resposta sísmica da seção 2-2 foi utilizado o módulo

Quake/W do programa computacional GeoSlope/W, considerando-se os modelos

constitutivos elástico linear e linear equivalente. Na simulação elástica, o

deslocamento horizontal máximo na crista do talude atingiu o valor de 3.7cm

(figura 6.26).

.

Figura 6.26 –Malha de elementos finitos deformada com deslocamento máximo de 3.7cm na crista do talude considerando modelo linear elástico.

O fator de segurança mínimo obtido com o modelo linear equivalente foi

obtido com o registro sísmico 2 e igual a FS = 2.55, conforme figura 6.26.

As respostas da seção 2-2 em termos de acelerações, história de tensões,

velocidades, deslocamentos, períodos predominantes e história de tensões são

apresentadas nas figuras seguintes.

3.7 cm

97

2.552

Coluvio Natural

Análise Dinámico Linear EquivalenteTalude (Seção 2-2) para conter Rejeito de UranioFile Name: FS_ALE_M_2.slzAnalysis Method: Finite Element StressSlip Surface Option: Grid and Radius

Solo Residual Maduro

Solo Residual Joven

Coluvio Compactado

Coluvio Compactado

Figura 6.26– Fator de segurança considerando análise linear equivalente para o sismo 2 na direção N-S com aceleração horizontal máxima de 0.1g.

a) Acelerações

Nas figuras 6.27 e 6.28 apresentam-se as respostas de acelera������������

��� �� ���� ����������� �� � ��� �� � ����� ����� �� ����� ����� ����� ����� ��

� �� ����� ������� � ���� � � � ���� � ��� �� ��� ��� ������� ����� ��� ��� �� �����

� ���������� �������� ���������������������� ��� �� ���������� �����������

�� ����!"� ������������� �� � #���$����� �������� �� ���� ������ ��������!" �

��������� ������% ��# �&���������������������� '�� ������� (�� ����������

��� �������� �� ������ �������� ����)�� ������#��� ��$����� ������ ������

�� �����*������������������ ��� �� ���������� ������

98

X-Acceleration vs. Time

X-A

cceler

ation ( g

)

Time

-0.1

-0.2

-0.3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15

Figura 6.27– Resposta das acelerações na crista do talude com o sismo 1 na direção N-S considerando o modelo elástico linear

X-Acceleration ( g ) vs. Time

X-A

ccel

erat

ion

( g

)

Time

-0.05

-0.10

-0.15

-0.20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 5 10 15

Figura 6.28 – Resposta das acelerações na crista do talude com o sismo 1 na direção N-S considerando o modelo linear equivalente.

b) História de tensões cisalhantes

Para ambos os modelos constitutivos (elástico linear e linear equivalente)

são apresentadas nas figuras 6.29 e 6.30 as histórias das tensões cisalhantes

observadas no ponto central do talude, considerando o sismo 1 da direção N-S. O

valores de pico calculados são de 22.5kPa, correspondente à resposta elástica

mostrada na figura 6.29, e 18.5kPa, relativo à resposta linear equivalente ilustrada

na figura 6.30, refletindo novamente a influência da variação das propriedades do

solo (módulo de cisalhamento, razão de amortecimento) incorporada no modelo

linear equivalente.

99

X-Y Shear Stress vs. Time

X-Y Shear Stress

Time

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15

Figura 6.29– Variação das tensões cisalhantes no centro do talude considerando modelo elástico linear e sismo 1 da direção N-S.

X-Y Shear Stress vs. Time

X-Y Shear Stress

Time

-5

0

5

10

15

20

0 5 10 15

Figura 6.30 – Variação das tensões cisalhantes no centro do talude considerando modelo linear equivalente e sismo 1 da direção N-S.

c) Espectros de aceleração

Na figura 6.31 são mostrados os resultados das análises dinâmicas em

termos de espectros de aceleração e períodos predominantes. A razão de

amortecimento inicial do solo foi considerada igual a 5% . Observa-se que nas

análises com o modelo linear equivalente as amplificações, mais próximas da

realidade, correspondem a quase metade dos valores correspondentes ao modelo

elástico linear, com a diferença mais significativa observada para o sismo 2 (TNS-

2), com valor da aceleração espectral de pico igual a 2.16 no modelo elástico

100

linear representando mais do que o dobro do valor determinado com o modelo

linear equivalente.

Também nesta figura nota-se uma variação no período predominante, de

0.24s (análise elástica linear) para 0.35s (análise linear equivalente). A

importância destes valores será também observada no cálculo dos fatores de

segurança dinâmicos apresentados a seguir.

RDE VP1 TNS-1

0.24, 1.73

0.24, 1.10

0.000.200.400.600.801.00

1.201.401.601.802.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção

Esp

ectr

al CristaCentro

RD Linear Equiv VP1 TNS-1

0.36, 0.99

0.36, 0.61

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)A

cele

raçã

o Es

pec

tral

Crista

Series2

RDE VP1 TNS-2

0.24, 2.16

0.24, 1.31

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral Crista

Centro

RD Linea Equiv VP1 TNS-2

0.36, 0.94

0.36, 0.67

0.000.10

0.200.30

0.400.500.60

0.700.80

0.901.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

RDE VP1 TNS-3

0.24, 1.75

0.26, 1.10

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

RD Linea Equiv VP1 TNS-3

0.36, 0.97

0.36, 0.61

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

RDE VP1 TNS-4

0.24, 1.61

0.24, 1.03

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

RD Linea Equiv VP1 TNS-4

0.36, 0.98

0.38, 0.61

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

Figura 6.31 – Comparação dos espectros de aceleração na seção 2-2. A sigla TNS se refere a ‘terremoto N-S’ , RDE à ‘análise elástica linear’ e RD significa ‘análise linear equivalente’.

101

O resumo da resposta dinâmica da seção 2-2 está apresentado na tabela 6.3.

Os valores máximos de aceleração horizontal amax , período predominante T e

aceleração espectral aespectral se referem à crista do talude enquanto que as tensões

de cisalhamento máximas τmax são relativas a um ponto no centro do mesmo.

Tabela 6.3 Resumo dos resultados da resposta dinâmica na seção 2-2

SISMO amax (g)

(crista)

T (s)

(crista)

aespectral

(crista)

τmax kPa

(centro)

Modelo elástico linear (RDE)

TNS-1 0.31 0.24 1.73 22.5

TNS-2 0.45 0.24 2.16 24.5

TNS-3 0.38 0.24 1.75 23.5

TNS-4 -0.37 0.24 1.61 25.0

Modelo linear equivalente (RD)

TNS-1 -0.18 0.36 0.99 17.8

TNS-2 0.21 0.36 0.94 17.0

TNS-3 0.20 0.36 0.97 16.0

TNS-4 0.24 0.36 0.98 16.0

d) Fatores de segurança

Nesta seção apresenta-se nas figuras 6.32 e 6.33 a variação no tempo dos

fatores de segurança calculados nas análises dinâmicas considerando o modelo

elástico linear e linear equivalente, respectivamente, através do método de

equilíbrio limite aperfeiçoado.

Na análise elástica linear o valor do fator de segurança inicia em 2.4 (igual

ao valor obtido em análise estática pelo método de Morgenstern-Price) e

permanece oscilando em torno deste valor, acompanhando a reversão do sinal das

forças horizontais de inércia. O valor mínimo atingido é FS = 1.5.

Comportamento similar observa-se nos resultados da análise linear

equivalente, porém o valor do fator de segurança mínimo é limitado em FS = 1.8.

102

Factor of Safety vs. Time

Fac

tor o

f Saf

ety

Time

1

2

3

4

5

0 5 10 15

Figura 6.32– Variação no tempo dos fatores de segurança com o modelo elástico linear e sismo TNS-1.

Factor of Safety vs. Time

Fac

tor

of S

afet

y

Time

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 5 10 15

Figura 6.33– Variação no tempo dos fatores de segurança com o modelo linear equivalente e sismo TNS-1.

Na figura 6.34 a variação no tempo dos valores dos coeficientes de

segurança são comparados com os determinados em análises pseudo-estáticas pelo

método das fatias de Morgentern-Price (1965). As linhas retas representam

resultados considerando coeficiente sísmico k = 0 (solução estática com FS = 2.4),

k = 0,05 (Hynes-Griffin e Franklin, 1984 com FS = 2.10), k = 0 e redução de 20%

na resistência ao cisalhamento dos solos (condição pós-sismo com FS = 1.82) e k

103

= 0.05 com redução na resistência ao cisalhamento dos solos de 20% (solos com

desenvolvimento de altas poropressões com FS = 1.62).

Observa-se que a recomendação de Hynes-Griffin e Franklin (1984) se

comporta aproximadamente como uma envoltória inferior dos valores

determinados nas análises dinâmicas, enquanto que a introdução da hipótese

adicional de redução dos parâmetros de resistência implica em um valor do fator

de segurança mais conservador.

A análise pós-sismo mostra-se adequada, comportando-se também como

uma envoltória inferior dos valores dos fatores de segurança durante a excitação

sísmica.

Fator de Segurança vs Tempo

5.00

3.04

2.3982.1011.8191.622

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50

0 2 4 6 8 10 12Tempo (s)

Fato

r de

Seg

uran

ça

FS (AE)

FS (ALE)

kh = 0

Kh = 0,05

Kh = 0 (20% red)

Kh = 0.05 (20% red)

Figura 6.34– Comparação de fatores de segurança na seção 2-2 através de análises pseudo-estáticas e dinâmicas.

6.5. Comportamento da seção 7-7

6.5.1 Análise pseudo-estática

Resultados similares aos apresentados para a seção 2-2 agora são obtidos

para a seção 7-7, com a importante diferença de que os sismos artificiais

considerados são aqueles na direção L-O (figuras 6.18 a 6.21).

104

Figura 6.35– Análise pseudo-estática considerando k = 0.05 pelo método de Morgenstern-Price (1965). FS = 2.079.

6.5.2 Malha de elementos finitos e tensões iniciais

Figura 6.36 – Malha de elementos finitos para a seção 7-7.

Tensões Iniciais Talude S7_7Talude para conter Rejeito de UranioFile Name: TI_Talude_S7_7_V1_I.qkzAnalysis Type: Initial Static

Figura 6.37– Distribuição de tensões iniciais no talude da seção 7-7 .

105

6.5.3 Resposta sísmica

1.922

Coluvio Natural

Solo Residual Joven

Fatores de Segurança com Análise ElásticoTalude Seção 7-7File Name: FS_AE_01_05_T_S7_7_V1.slzAnalysis Method: Finite Element Stress

Coluvio Compactado

Figura 6.38 – Fator de segurança considerando análise elástica para o sismo 1 na direção L-O com aceleração horizontal máxima de 0.1g. FS = 1.922

2.157

Coluvio Compactado

Fatores de Segurança com Análise Linear EquivalenteTalude Seção 7-7File Name: FS_ALE_01_05_T_S7_7_V1.slzAnalysis Method: Finite Element Stress

Coluvio Natural

Solo Residual Joven

Figura 6.39 – Fator de segurança considerando análise linear equivalente para o sismo 1 na direção L-O com aceleração horizontal máxima de 0.1g. FS = 2.167.

106

a) Espectros de aceleração

RDE VP1 TLO-1

0.20, 1.80

0.20, 1.21

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção

Esp

ectr

al

CristaCentro

RD Linear Equiv VP1 TLO-1

0.28, 1.15

0.28, 0.80

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção

Espec

tral

Crista

Centro

RDE VP1 TLO-2

0.22, 1.58

0.22, 1.12

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção

Esp

ectr

al

CristaCentro

RD Linear Equiv VP1 TLO-2

0.30, 1.06

0.30, 0.74

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

RDE VP1 TLO-3

0.22, 1.71

0.22, 1.18

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção

Esp

ectr

al

Crista

Centro

RD Linear Equiv VP1 TLO-3

0.28, 0.85

0.28, 0.58

0.00

0.100.20

0.30

0.400.50

0.60

0.700.80

0.90

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

RDE VP1 TLO-4

0.22, 2.26

0.22, 1.58

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção

Esp

ectr

al

CristaCentro

RD Linear Equiv VP1 TLO-4

0.30, 1.18

0.30, 0.82

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Periodo (s)

Ace

lera

ção E

spec

tral

Crista

Centro

Figura 6.40 – Comparação dos espectros de aceleração na seção 7-7. A sigla TLO se refere a ‘terremoto L-O’ , RDE à ‘análise elástica linear’ e RD significa ‘análise linear equivalente’.

107

Tabela 6.4 Resumo dos resultados de resposta dinâmica da seção 7-7

SISMO amax (g)

(crista)

T (s)

(crista)

aespectral

(crista)

τmax kPa

(centro)

Modelo elástico linear (RDE)

TLO-1 -0.33 0.20 1.80 22.0

TLO-2 -0.44 0.22 1.58 23.6

TLO-3 0.34 0.22 1.71 22.5

TLO-4 -0.47 0.22 2.26 27.0

Modelo linear equivalente (RD)

TLO-1 0.23 0.28 1.15 18.0

TLO-2 -0.26 0.30 1.06 18.0

TLO-3 -0.20 0.28 0.85 16.8

TLO-4 -0.34 0.30 1.18 18.5

b) Fatores de segurança

Na figura 6.41 pode-se notar que os fatores de segurança na análise

dinâmica apresentam-se menores com o modelo constitutivo linear equivalente do

que na hipótese de comportamento linear elástico dos materiais geotécnicos que

formam a seção 7-7.

Observa-se que o fator de segurança na condição pseudo-estática

considerando coeficiente sísmico k = 0,05 (Hynes-Griffin e Franklin 1984) se

comporta como um valor médio (FS = 2.03) dos fatores de segurança calculados

nas análises dinâmicas.

. Os fatores de segurança pseudo-estáticos determinados com a condição k =

0 e redução da resistência ao cisalhamento de 20% (análise pós-sismo com FS =

1.80) e k = 0,1 com redução de resistência ao cisalhamento de 20% (FS = 1.85) se

comportam como envoltória dos valores mínimos calculados nas análises

dinâmicas.

Os efeitos combinados de se considerar k = 0,05 e redução de 20% da

resistência ao cisalhamento dos solos resulta em valor do fator de segurança (FS =

1.62) mais conservador.

108

1.429

3.365

2.499

1.727

2.251

2.0291.8461.8021.624

1.00

1.40

1.80

2.20

2.60

3.00

3.40

3.80

0 2 4 6 8 10 12

Tempo (s)

Fato

res d

e Se

gura

nça

FS (AE)FS (ALE)Kh = 0Kh = 0,05Kh = 0,1Kh = 0 (red 20%)Kh = 0.05 (red 20%)

Figura 6.41– Fatores de segurança na condição pseudo-estática e dinâmica para a seção 7-7.

c) Deslocamentos permanentes

Com base nos resultados das análises dinâmicas pelo método dos

elementos finitos e o cálculo da aceleração de escoamento, conclui-se que ambas

a seções (2-2 e 7-7) não apresentam deslocamentos permanentes sob excitação

sísmica com aceleração horizontal máxima de 0.1g.

Pela aplicação do critério de Hynes-Griffin e Franklin (1984) poderia-se

antecipar este resultado visto que o fator de segurança resulta superior a 1 para uma

aceleração pseudo-estática de 0,05g. A figura 6.42 mostra que FS permanece

superior a 1 mesmo considerando-se redução da resistência ao cisalhamento do

solo.

2,031,85

1,621,48

1,521,38

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Coeficiente Sismico

Fato

res

de S

egur

ança

c fi

c fi 20% red

c fi 25% red

Figura 6.42– Fatores de segurança pseudo-estáticos incluindo redução dos parâmetros de resistência para a seção 7-7.

109

6.6. Talude do Bota-Fora da Mina Toquepala - Peru

6.6.1. Introdução

Na literatura são poucas as análises disponíveis relativas ao desempenho da

estabilidade de taludes de aterro elevados. Neste sentido apresenta-se a avaliação

estática e dinâmica da estrutura do bota-fora de material de lixiviação da mina a

céu aberto de Toquepala, situada no Peru.

Um dos bota-foras está localizado ao Sul da mina de Toquepala, como

ilustrado nas figuras 6.43 a 6.45. Estes aterros de pilhas de minério consistem de

rocha granular britada ou blocos de rocha run-of-mine colocados em camadas

sucessivas e em seguidas lixiviados por solução ácida para extração do cobre.

Figura 6.43– Localização do bota-fora Sul da mina de Toquepala – Peru.

110

Figura 6.44– Planta de situação do bota-fora Sul da mina de Toquepala – Peru.

Figura 6.45– Vista parcial dos taludes do bota-fora Sul.

Os taludes do bota-fora atingem alturas de até 300m e têm a inclinação de

suas faces livres controladas pelo ângulo de repouso do material. Fenômenos de

recalques e rachaduras no topo do bota-fora Sul em janeiro de 1996 revelaram

possíveis problemas de estabilidade da estrutura.

111

6.6.2. Seção representativa do bota-fora Sul

A seção representativa do talude do bota-fora Sul, e de sua fundação, está

mostrada na figura 6.46. O talude tem altura de 300m, inclinação 1.42 (H): 1 (V)

e o material de fundação é assumido rígido. O material que compõem o bota-fora

tem suas propriedades mecânicas dependentes do estado de tensão atuante, tendo

sido neste estudo subdividido em 7 camadas denominadas de A a G.

.

Figura 646 – Modelo da seção do talude do bota-fora Sul da mina de Toquepala – Peeru. .

Os parâmetros de resistência foram determinados a partir das investigações

de Leps (1970) e Marachi et al. (1972) considerando um grande número de

ensaios sobre aterros granulares e materiais rochosos. Conforme figura 6.47

pode-se notar que estes variam com a tensão vertical de confinamento e tendem a

diminuir sob tensões muito elevadas,

Dadas as incertezas que existem nestes parâmetros em relação ao processo

de lixiviação, 4 possíveis casos foram admitidos para determinação dos valores do

ângulo de atrito, estabelecendo-se uma faixa de valores apresentada na figura.

Neste estudo serão assumidos os valores correspondentes à linha de Leps mínima,

justificado pelo fato de que as resistências de aterros de pilhas de minério de cobre

são geralmente menores do que as resistências de minério de pilhas de prata ou

ouro, devido à lixiviação do cobre com ácidos e à erosão química acelerada que

afeta a qualidade de rocha das partículas do aterro (Breitenbach, 2004).

112

Os parâmetros de resistência adotados são listados na tabela 6.5. O caso 1

corresponde à linha de resistência média, os casos 2 e 3 representam situações

intermediárias enquanto que o caso 4 se refere aos menores valores de resistência

ao cisalhamento

Figura 6.47– Parâmetros de resistência de Leps (1970) utilizados nos materiais do talude. ( Review of Shearing Strength of Rockfill - T. M. Leps, F – ASCE, 1970).

Tabela 6.5 Ângulos de atrito considerados para as análises do talude de Toquepala (Leps, 1970) Zona Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

A 45° 44° 43° 42°

B 42° 41° 40° 39°

C 40° 39° 38° 37°

D 37° 36° 35° 34°

E 36° 35° 34° 33°

F 35° 34° 33° 32°

G 34° 33° 32° 31°

113

Curvas de variação de módulo cisalhante G/Gmáx e do amortecimento

ξ, são difíceis de avaliar para o material do talude em estudo. Pesquisas de

laboratório feitas por Yasuda e Matsumoto (1993) e Konno et al. (1993) indicam

que as curvas de degradação dos módulos cisalhantes para muitos pedregulhos e

materiais de enrocamento estão mais próximos das curvas das areias médias

apresentadas por Seed e Idriss (1970) do que das curvas para pedregulhos obtidas

por Seed et al. (1984). Conseqüentemente, as curvas dos módulos cisalhante e de

amortecimento dependentes da deformação para areias médias foram consideradas

apropriadas para o material do talude em estudo. Na figura 6.48 são representadas

as curvas de variação do módulo cisalhante e amortecimento usados para as

análises de resposta dinâmicas de sitio da mina Toquepala.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.000 0.001 0.010 0.100 1.000 10.000

Deformação cisalhante (%)

G/G

máx

;

Am

orte

cim

ento

/25

G/Gmax

Amortecimento/25

Figura 6.48 - Curvas de variação dos parâmetros dinâmicos do material do talude (Seed e Idriss

(1970).

Para levar em conta a variação do módulo cisalhante com as tensões

confinantes, o talude, subdividido em 7 camadas, apresentou os seguintes

resultados de propriedades mecânicas (tabela 6.6) em função do estado de tensão

inicial

114

Tabela 6.6 Propriedades do material do talude usadas nas análises.

ZONA σσσσm Gmáx E νννν γγγγ Vs

(kPa) (kPa) (kPa) (Poisson) (kN/m3) (m/s)

A 240,97 305962 795502 0,30 19 397

B 485,48 434282 1129134 0,30 19 473

C 712,78 526216 1368163 0,30 19 521

D 976,06 615779 1601025 0,30 19 564

E 1262,7 700385 1821000 0,30 19 601

F 1644,8 799361 2078340 0,30 19 642

G 1769,4 829086 2155624 0,30 19 654

Fundação 5051020 12627551 0,25 22 1500

Nota: ( ) ( ) ,8.2185.0'

,2 cmáxmáx kkPaG σ= onde 'cσ (em kPa) é a tensão

de confinamento efetiva e 90,2 =máxk para o material do talude em

estudo.

Os cálculos das tensões de confinamento iniciais foram feitos de forma

análoga ao exemplo anterior, calculando-as numericamente pelo método dos

elementos finitos no contexto de um problema de deformação plana (figuras 6.49

e 6.50).

Figura 6.49- Distribuição das tensões confinantes octaédrics iniciais.

115

Figura 6.50- Distribuição das tensões cisalhantes iniciais.

6.6.3. Sismo de projeto

A costa do oceano Pacífico, junto ao Peru, está permanentemente afetada

por movimentos sísmicos de subducção gerados pelo mergulho da placa de Nazca

sob a placa Continental Sul-Americana. Castillo e Alva (1993) publicaram o

estudo do perigo sísmico do Peru, utilizando uma metodologia que integra

informações sismotectônicas, parâmetros sismológicos e leis de atenuação

regionais para diferentes mecanismos de ruptura. Os resultados foram expressos

sob forma de curvas de perigo sísmico, relacionando a aceleração com a sua

probabilidade anual de excedência. A figura 6.51 mostra os epicentros de

movimentos sísmicos que ocorreram na mina Toquepala em um raio de 200 km,

evidenciando que se encontra em uma zona altamente sísmica.

116

Legenda4 ≤ Μ ≤ 8

8 ≤ Μ < 9

9 ≤ Μ

Figura 6.51– Epicentros de movimentos sísmicos nas proximidades da mina fr Toquepala (centro).

A seleção do sismo de projeto depende basicamente do tipo de obra sendo

considerada. Para as análises de estabilidade dos taludes do bota-fora da mina

Toquepala a aceleração máxima do sismo de projeto foi estimada em 0.40g e o

registro das acelerações do terremoto de Lima (1974), mostrado na figura 6.52,

foram normalizados em relação a este valor máximo.

Figura 6.52 - Registro de acelerações do terremoto de Lima de 03/outubro/1974, com epicentro

de 33km, aceleração máxima de 0.196g e duração de 88s.

117

6.6.4. Tamanho máximo do elemento finito

Como em todas as análises dinâmicas pelo método dos elementos finitos, o

maior tamanho do elemento está limitado pelo menor comprimento de onda do

movimento sísmico (Kuhlemeyer e Lysmer, 1973; Celep e Bazant, 1983) que

pode ser transmitido através da discretização. Tendo em vista que as ondas

sísmicas consideradas são cisalhantes com propagação na direção vertical, tem-se:

máx

s

fv

y81=∆ (6.2)

onde sv é a velocidade de onda cisalhante e máxf é a máxima freqüência de

interesse (cutoff frequency), estimada das freqüências naturais do talude e

utilizando o máximo valor do módulo de cisalhamento para cada região em que o

talude foi subdividido. As velocidades de ondas cisalhantes foram calculadas

como se mostra na tabela 6.7, estimando-se as 3 primeiras freqüências naturais

como :

( )Hv

f s404.221

1 π= , ( )

Hv

f s52.521

2 π= , ( )

Hv

f s654.821

3 π= (6.3)

onde H é a altura do aterro ou talude.

Tabela 6.7 Cálculo do Tamanho Máximo do Elemento.

Região Gmáx Vs f1 f2 f3 ∆∆∆∆ymáx (Elem)

(kPa) (m/s) (Hz) (Hz) (Hz)

A 305962 397 0,51 1,16 1,82 16,55 fmax =3,0

B 434282 473 0,60 1,39 2,17 16,90 fmax = 3,5

C 526216 521 0,66 1,53 2,39 16,28 fmax = 4,0

D 615779 564 0,72 1,65 2,59 14,09 fmax = 5,0

E 700385 601 0,77 1,76 2,76 15,03 fmax = 5,0

F 799361 642 0,82 1,88 2,95 16,05 fmax = 5,0

G 829086 654 0,83 1,92 3,00 27,25 fmax = 5,0

Fundação 5051020 1500 1,91 4,39 6,89 18,75 fmax = 10

118

Usando uma freqüência de interesse de 10 Hz e as velocidades de onda

estimadas na tabela 6.7 então a maior dimensão vertical do elemento foi calculada

em 18 m. A malha de elementos finitos do modelo do talude foi formada por 561

nós e 543 elementos Q4.

6.6.4. Resultados das análises dinâmicas

A avaliação da análise dinâmica do talude do bota-fora Sul da mina de

Toquepala foi feita numericamente através do módulo Quake/W do programa

computacional GeoSlope/W. Os modelos constitutivos elástico linear e linear

equivalente foram ambos utilizados.

A figura 6.53 mostra a respostas de acelerações obtidas em três pontos

característicos do talude considerando o modelo elástico linear. Pode-se notar que

os valores máximos de aceleração calculados são de 1,06g na crista, 0,59g no

centro do talude e 0,57g no pé do talude. Estes valores de aceleração, por sua vez,

correspondem a amplificações de 2,65 na crista, 1,475 no centro e 1,425 no pé do

talude, respectivamente.

Quando se considerou a análise com o modelo constitutivo linear

equivalente, que leva em conta a variação dos parâmetros dinâmicos com as

deformações cisalhantes, os valores encontrados não foram muito diferentes,

conforme mostra a tabela 6.8.

A semelhança dos valores de aceleração e amplificação na crista pode estar

refletindo o fato de que em ambas as análises prepondera o comportamento da

rocha sobre a qual o talude descansa e admitida possuir um comportamento

elástico linear e baixos valores de amortecimento.

As diferenças mais notáveis entre ambos os tipos de análise se apresentam

no centro do talude, sendo que as maiores respostas de aceleração correspondem à

análise linear equivalente.

119

Figura 6.53 – Resposta de acelerações em três pontos característicos do talude da análise

dinâmica com o programa Quake/W.

Tabela 6.8 Resposta de acelerações calculadas no talude.

Cresta Centro Pé

Amáx (AE) 1,06

-0,97

0,59

-0,57

0,57

-0,53

Amplificação (AE) 2,65 1,475 1,425

Amáx (ALE) 0,95

-1,00

0,65

-0,73

0,41

-0,51

Amplificação (ALE) 2,50 1,825 1,275

Na figura 6.54 é mostrado o espectro de acelerações na crista para diferentes

valores de amortecimento, admitindo-se na análise dinâmica o modelo linear

equivalente. Observa-se nesta figura um período fundamental de 0,42s e um

período predominante de 0,74s. Quando se considerou a análise dinâmica linear

Acelerações (Centro)

0 ,5 9

-0 ,5 7- 0 ,8 0- 0 ,6 0- 0 ,4 0- 0 ,2 00 ,0 00 ,2 00 ,4 00 ,6 00 ,8 0

0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0

Te m po (s )

A celeração (C resta)

1,06

-0,97- 1, 2 0

- 0 , 8 0

- 0 , 4 0

0 , 0 0

0 , 4 0

0 , 8 0

1, 2 0

0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0

T empo (s)

Aceleração (Pé)

0 ,5 7

-0 ,5 3- 0 , 6 0

- 0 , 4 0

- 0 , 2 0

0 , 0 0

0 , 2 0

0 , 4 0

0 , 6 0

0 , 8 0

0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0

T e m p o ( s )

120

elástica também se calculou um período predominante de 0,74s enquanto que o

valor do período fundamental baixou para 0,32s, com uma diferença de 0,10s em

relação ao valor determinado na análise linear equivalente.

Figura 6.54 – Espectro de acelerações da análise de resposta dinâmica linear equivalente na

crista do talude.

6.6.4.1. Resultados de cálculo de deslocamentos permanentes

Os cálculos de deslocamentos permanentes foram feitos com base no

método de Newmark (1965). Com este objetivo, utilizou-se o programa Geo-

Slope importando-se os valores das acelerações e tensões cisalhantes computados

na análise dinâmica (módulo Quake\W). Pelo método do equilíbrio limite

aperfeiçoado, a variação dos fatores de segurança e o valor acumulado dos

deslocamentos permanentes, por dupla integração no tempo, puderam ser

computados.

A figura 6.55 mostra o talude com a superfície potencial de deslizamento,

considerando uma resposta baseada no modelo linear equivalente (ALE).

.

0.74

0.42 0.74

0.70

0.68

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Periodo (s)

Ace

lera

ção

Esp

ectr

al (g

)

Amort = 2%

Amort = 5%

Amort = 10%

Amort = 20%

CrestaAnálise Linear Equivalente

121

Figura 6.55 – Superfície potencial de deslizamento e fator de segurança mínimo, considerando o modelo linear equivalente (ALE)..

Fator de Segurança vs. Tempo

Fato

r de

Seg

uran

ça

Tempo

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100

Figura 6.56 – Variação no tempo dos fatores de segurança considerando superfície de ruptura circular e modelo linear equivalente.

122

Velocidade vs. Tempo

Vel

ocid

ade

Tempo

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 20 40 60 80 100

Figura 6.57 – Variação da velocidade com o tempo , considerando superfície de ruptura circular e modelo linear equivalente.

Deformação vs. Tempo

Def

orm

ação

Tempo

0.0

0.5

1.0

1.5

0 20 40 60 80 100

Figura 6.58 – Deslocamentos permanentes no tempo considerando superfície de ruptura circular e modelo linear equivalente (ALE).

As figuras 6.56, 6.57 e 6.58 mostram o processo de calculo de

deslocamentos permanentes. Na figura 6.56 pode-se observar como em vários

pontos (correspondendo às fases mais intensas do sismo) os fatores de segurança

situam-se abaixo de 1. Assim as acelerações da massa potencialmente instável,

123

que excedem à aceleração de escoamento, são duplamente integradas fornecendo

os resultados de velocidade (figura 6.57) e de deslocamentos permanentes (figura

6.58). Os resultados destas figuras, mencione-se mais uma vez, foram obtidos

considerando parâmetros de resistência mínimo (caso 4) dos gráficos da figura

6.47.

Deformação vs Tempo

Def

orm

ação

Tempo

0.0

0.5

1.0

1.5

0 20 40 60 80 100

Figura 6.59 – Deslocamentos permanentes vs tempo (ALE) para superfície de ruptura circular

com o modelo linear equivalente.

Na figura 6.59 apresenta-se a variação do deslocamento permanente no

tempo para uma superfície de ruptura circular com o mínimo valor do fator de

segurança. A posição desta potencial superfície de ruptura foi ligeiramente

diferente daquela obtida na análise da estabilidade estática. Pode-se notar que o

deslocamento permanente aumenta em até 30% com respeito a uma superfície de

ruptura circular determinada pela análise estática. A diferença entre as superfícies

consideradas é devido ao fato de que as superfícies críticas variam conforme

aumenta o valor do coeficiente sísmico nas análises pseudo-estáticas.

As figuras 6.60, 6.61 e 6.62 apresentam resultados de deslocamentos

permanentes similares ao apresentados nas figuras anteriores, mas agora

considerando uma superfície de ruptura planar. O valor de deslocamento

permanente calculado foi de 0,56m, quase a metade do valor calculado para uma

superfície de ruptura circular.

124

Figura 6.60 – Superfície de ruptura planar para o mínimo fator de segurança calculado na análise dinâmica.

Fator de Segurança vs. Tempo

Fato

r de

Seg

uran

ça

Tempo

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100

Figura 6.61 – Variação dos fatores de segurança no tempo considerando modelo linear equivalente e superfície de ruptura planar.

125

Deformação vs. Tempo

Def

orm

ação

Tempo

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 20 40 60 80 100

Figura 6.62 – Deslocamento permanente vs Tempo (ALE) para superfície de ruptura planar considerando modelo linear equivalente.

As tabelas 6.9 e 6.10 resumem e listam os valores determinados para todas

as faixas de valores de resistência ao cisalhamento estabelecidas por Leps (1970).

São mencionados os fatores de segurança ao final do sismo (FS), as acelerações

de escoamento (ay) calculadas segundo uma análise de equilíbrio limite

aperfeiçoado e os deslocamentos permanentes segundo método baseado em

Newmark (1965).

Os valores da tabela 6.9 correspondem a uma superfície de ruptura circular

que é consistente (escolhida deliberadamente) com uma superfície de ruptura

calculada por análise estática, já que as superfícies de ruptura variam com o

incremento do coeficiente sísmico. Assim, garante-se que os valores da aceleração

de escoamento sejam referentes a uma superfície de ruptura em particular. Pode-

se notar nesta tabela que os maiores deslocamentos correspondem a uma análise

linear equivalente, com valor máximo de 1,017m para os parâmetros de

resistência do limite inferior da faixa de Leps (1970). Na tabela 6.10 foram

listados os valores para uma superfície de ruptura correspondente a um fator de

segurança mínimo. Esta superfície de ruptura se localiza em uma posição

ligeiramente mais próxima à face livre do talude. O valor de deslocamento

permanente para esta superfície de ruptura foi de 1,343m que, como já

mencionado, chega a ser ate 30% maior do que o valor calculado anteriormente.

126

Tabela 6.9 Deslocamentos permanentes para uma superfície de ruptura circular

Tipo de Análise Caso a y FS Deslocamento

Permanente (m)

Linear elástica

(AE)

C1

C2

C3

C4

0,19784

0,17232

0,14747

0,12327

1,374

1,326

1,278

1,232

0,095

0,186

0,349

0,611

Linear

equivalente

(ALE)

C1

C2

C3

C4

0,19784

0,17232

0,14747

0,12327

1,352

1,304

1,257

1,231

0,220

0,374

0,619

1,017

Tabela 6.10 Deslocamentos permanentes para uma superfície de ruptura circular com fator de segurança mínimo

Tipo de Análise Caso ay FS Deslocamento

Permanente (m)

Linear elástica

AE

C1

C2

C3

C4

0,19767

0,17155

0,14616

0,12143

1,359

1,311

1,265

1,219

0,151

0,276

0,486

0,811

Linear

equivalente

(ALE)

C1

C2

C3

C4

0,19766

0,17155

0,14615

0,12142

1,335

1,288

1,242

1,218

0,317

0,519

0,827

1,343

Na tabela 6.11 foram listados de forma similar os valores calculados de

deslocamentos permanentes para uma superfície de ruptura planar.

Pode-se notar, comparando as tabelas 6.10 e 6.11 para o caso 4, que o maior

deslocamento permanente para uma superfície de ruptura plana é até 50% menor

do que os valores obtidos para uma superfície de ruptura circular. As acelerações

de escoamento, em ambas as análises, diferem bastante entre si.

127

Tabela 6.11 Deslocamentos permanentes para uma superfície de ruptura planar.

Tipo de Análise Caso ay FS Deslocamento

Permanente (m)

Linear elástica

AE

C1

C2

C3

C4

0,2258

0,2010

0,1768

0,1532

1,451

1,401

1,352

1,304

0,034

0,054

0,110

0,213

Linear

equivalente

ALE

C1

C2

C3

C4

0,2258

0,2010

0,1768

0,1532

1,426

1,377

1,329

1,283

0,112

0,210

0,347

0,563

Na figura 6.63 foram plotados todos os valores de deslocamentos

permanentes avaliados, considerando a faixa de parâmetros de resistência de Leps

(1970) compreendida entre a linha de valores médios e a linha de valores

mínimos. Os fatores de segurança mostrados correspondem ao instante final do

sismo, os quais poderiam ser tomados como fatores de segurança estáticos na

condição pós-sismo. Pode-se observar, nesta figura, que existe uma certa

regularidade ou tendência entre os deslocamentos permanentes calculados e os

fatores de segurança ao final do sismo.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.20 1.24 1.28 1.32 1.36 1.40 1.44 1.48

Fatores de Segurança

Des

loca

men

tos P

erm

anen

tes (

m) AE_C

AE_C_MD

ALE_C

ALE_C_MD

AE_SP

ALE_SP

Figura 6.63 – Deslocamentos permanentes calculados em todas as análises investigadas.

128

7 Conclusões

Neste trabalho o comportamento de taludes sob carregamento sísmico

foram estudados, envolvendo diques da célula 2 do sistema de contenção de

rejeitos de urânio da INB – Indústrias Nucleares do Brasil S.A., situada no

município de Caetité – BA, e os taludes do bota-fora Sul da mineração Toquepala,

tratados por processo de lixiviação para obtenção de cobre.

Na análise sísmica dos diques da célula 2 do INB, ainda que de pequena

altura (7m), foi empregado um procedimento para geração de terremotos

artificiais com base nos registros de aceleração medidos no sismo de Areado –

MG e do sismo de Telêmaco Borba – PR. Em ambos os casos, as funções

densidade de espectro de potência dos sismos normalizados para aceleração

horizontal máxima de 0.1g foram bastante próximas entre si, para as direções

vertical e horizontal N-S e L-O.

De modo geral, a partir de uma análise pseudo-estática associada ao critério

de Hynes-Griffin e Franklin (1984) pôde-se antecipadamente concluir que os

taludes não apresentariam deslocamentos permanentes.

A resposta dinâmica dos solos dos taludes é mais significativa no caso do

modelo elástico linear, visto que este não introduz nenhuma hipótese sobre a

degradação do módulo de cisalhamento e majoração da razão de amortecimento

do material com os níveis de deformação cisalhantes verificados no maciço de

solo durante a excitação sísmica.

Os fatores de segurança determinados com a recomendação de Hynes-

Griffin e Franklin (1984) ou os determinados para a condição pós-sismo (k=0 com

20% de redução da resistência ao cisalhamento) apresentaram-se como envoltórias

inferiores dos fatores de segurança calculados nas análises dinâmicas pelo método

dos elementos finitos. Valores mais conservadores resultaram para a condição k =

0,05 combinado com redução em 20% da resistência ao cisalhamento dos solos.

Os períodos fundamentais para resposta máxima das acelerações

determinados pelo modelo linear equivalente resultaram em aproximadamente

129

metade dos valores calculadas com a hipótese de elasticidade linear. O

conhecimento desta diferença de valores é importante nas situações em que se

deseja calcular, com boa precisão, as freqüências ou períodos naturais para

avaliação das respostas máximas e dos efeitos relacionados com as freqüências de

ressonância.

.A comparação dos valores dos fatores de segurança e deslocamentos

permanentes obtidos pelo método dos elementos finitos e formulações pseudo-

estáticas não é simples porque as potenciais superfícies de ruptura estabelecidas

por ambas as abordagens não são em geral coincidentes. Esta constatação foi mais

facilmente verificada nas análise de altos taludes (330m de Toquepala) do que em

baixos aterros e/ou encostas (7m da célula 2 do INB).

Especificamente, observou-se também que a resposta dinâmica determinada

no talude Toquepala com os modelos elástico linear e linear equivalente não se

diferenciaram muito entre si, provavelmente devido à influência da grande base

rochosa considerada linear elástica e de alta resistência.

Os deslocamentos permanentes calculados com base em superfície de

ruptura plana ou circular foram, no entanto, bastante diferentes, refletindo a

influência da geometria da massa instável e dos valores obtidos para as

acelerações de escoamento para ambas as situações. Esta informação é importante

porque no caso do talude de Toquepala – Peru, e em outros taludes de grande

altura, é freqüente observar-se a ocorrência de rupturas planares.

130

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