Carl Gustav Carl Gustav JACOBI JACOBI (1804-1851)(1804-1851)

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JACOBI (1804-1851)

Carl Gustav Jakob JacobiJacobi  (n. 10 de diciembre de 1804 en Potsdam, Prusia, actual Alemania, † 18 de febrero de 1851 en Berlín) fue un matemático alemán. Autor muy prolífico, contribuyó en varios campos de la matemática, principalmente en el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuaciones diferenciales. También destacó en su labor pedagógica, por la que se le ha considerado el profesor más estimulante de su tiempo. Jacobi estableció con Niels Henrik Abel la Teoría de las funciones Elípticas. Demostró la solución de integrales elípticas mediante la aplicación de las funciones, series exponenciales introducidas por él mismo. Desarrolló los determinantes funcionales, llamados después jacobianos, y las ecuaciones diferenciales. El padre de Jacobi era banquero y su familia era muy próspera, fue así como él recibió una buena educación en la Universidad de Berlin. Obtuvo su Doctorado en 1825 y enseñaba matemática en Koningsberg desde 1826 hasta su muerte, fue denominado para una cátedra en 1832. En 1834 probó que si una función uni valuada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los periodos es imaginaria. Este resultado impulsó enormemente el trabajo en esta área, en particular por Liouville y Cauchy. Jacobi tenía la reputación de ser un excelente maestro, atraía a muchos estudiantes. Introdujo un método de seminario para enseñar a los estudiantes los últimos avances matemáticos. Jacobi nació en Potsdam en 1804 en el seno de una familia judía en Alemania. Su padre era un próspero banquero y su hermano mayor, Moritz Jacobi, llegaría a ser un físico eminente. Un tío materno se encargó de su educación con éxito, pues en 1817, en cuanto entró en el Gymnasium a la edad de 11 años, le situaron en el último curso. Sin embargo, en la Universidad de Berlín la edad mínima de acceso era de 16 años, por lo que su ingreso tuvo que esperar hasta 1821. Durante los años en los que permaneció en el Gymnasium destacó también en griego, latín e historia. Para cuando finalmente empezó sus estudios universitarios, ya había leído y asimilado los trabajos de eminentes matemáticos como Euler y Lagrange, e incluso había empezado a investigar una forma de resolver …

ecuaciones quinticas, por lo que el nivel de las clases le pareció bajo y siguió estudiando por su cuenta fuera de las aulas. En 1824, a pesar de ser judío, se le ofreció una plaza como profesor en una prestigiosa escuela de enseñanza secundaria de Berlín. En 1825 presentó su tesis doctoral, una discusión analítica de la teoría de fracciones. Como la enseñanza universitaria estaba vetada a judíos, decidió convertirse al cristianismo, tras lo que obtuvo una plaza como Privatdozent. Para entonces contaba con 20 años. Tras un año en la Universidad de Berlín, y ante la carencia de posibilidades de promoción decidió, aconsejado por sus colegas, trasladarse a Königsberg (actual Kaliningrado, Rusia) en 1826, donde se encontraría con Franz Neumann y Friedrich Bessel, que por aquel tiempo tenía un gran prestigio en matemáticas y astronomía. Una vez en Königsberg se puso en contacto con Gauss para informarle de su trabajo sobre los residuos cúbicos y escribió a Legendre acerca de sus resultados en el área de las funciones elípticas. Ambos quedaron impresionados por el talento del joven Jacobi. En 1829 publicó Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum trabajo en el que asentó nuevas bases para el análisis de funciones elípticas, fundamentado en el uso de la función theta de Jacobi, que había desarrollado recientemente y que fue nombrada en su honor. Sus trabajos en este campo gozaron del apoyo de Legendre, el mayor experto de la época en funciones elípticas, lo que le facilitó optar a la plaza de profesor asociado. Los principios que había establecido habían sido desarrollados de forma independiente por el matemático noruego Niels Henrik Abel, con el que entablaría una cierta competición que resultó ser muy beneficiosa para las matemáticas, y que se interrumpiría debido al temprano fallecimiento de Abel en

1829, a la edad de 27 años. Durante el verano de ese año, Jacobi realizaría un viaje a París durante el cual se reuniría con algunos de los más eminentes matemáticos de su tiempo: Fourier, Poisson y Gauss. En 1831 contrajo matrimonio con Marie Schwinck. Dos años más tarde, su hermano Moritz se fue a vivir también a Königsberg. La influencia de su hermano mayor le causó un gran interés por la física. Durante esta época trabajó principalmente en ecuaciones diferenciales y determinantes, estudiando, entre otros asuntos, el concepto que hoy en día se conoce como jacobiano. Publicó el fruto de estos años en Sobre la formación y propiedades de los determinantes. En 1842 visitó Cambridge y Manchester junto con Bessel, en representación de Prusia, invitado por la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia. A su vuelta dio una conferencia en la Academia de Ciencias Francesa. Se hizo célebre su respuesta a la pregunta de, quién, a su juicio, era el matemático vivo más grande de Inglaterra, que le formularon a su regreso: «No hay ninguno». Al preguntarle sobre su extraordinaria dedicación a su trabajo contestó «Ciertamente, algunas veces he puesto en peligro mi salud a causa del exceso de trabajo pero ¿y qué? Solamente los vegetales carecen de nervios y preocupaciones. ¿Y qué obtienen de su perfecto bienestar?». Al año siguiente, probablemente a causa del exceso de trabajo, su salud empeoró y se le diagnosticó diabetes. El medicó le aconsejó mudarse a Italia, donde el clima era más benigno. Por aquel tiempo Prusia estaba sumida en una grave crisis económica y, pese a que Jacobi había nacido en una familia rica, otro matemático, Dirichlet tuvo que interceder, ayudado por Alexander von Humboldt, ante Federico Guillermo IV de …

Prusia para que éste ayudara económicamente a Jacobi. En Italia recobró la salud y se dedicó al estudio de la Arithmetica de Diofante. En 1844 volvió a Berlín, donde el clima no era tan extremo como en Königsberg. En los años venideros se apreciaría un cambio en el punto de vista de Jacobi, que pasaría a interesarse más por los aspectos físicos de la mecánica, abandonando la interpretación puramente axiomática que había desarrollado Lagrange. En 1848, a consecuencia del derrocamiento de Luis Felipe I de Francia en París, se desencadenó una serie de movimientos revolucionarios que sacudieron Europa, conocidos como las revoluciones de 1848. Jacobi dio en Berlín un discurso político que disgustó tanto a republicanos como a monárquicos, lo que trajo como resultado que le vetaran para la enseñanza en Berlín y más tarde le retiraran la ayuda económica que le permitía permanecer allí, por lo que Jacobi decidió mudarse a Gotha. Más tarde se le restablecería parte de la asignación económica, que le permitiría volver a dar clases en Berlín, aunque su familia permanecería en Gotha. En 1851 contrajo una gripe que le debilitó gravemente. Poco tiempo más tarde contraería viruela, enfermedad que le mataría pocos días más tarde.

Ecuación QUINTICA:

(reducida por Jacobi) (Tomado de la enciclopedia WIKIPEDIA)

Carl Gustav Jacob JacobiCarl Gustav Jacob Jacobi (December 10, 1804 – February 18, 1851) was a Prussian mathematician, widely considered to be the most inspiring teacher of his time and one of the greatest mathematicians of all time. He was born of Jewish parentage in Potsdam. He studied at Berlin University, where he obtained the degree of Doctor of Philosophy in 1825, his thesis being an analytical discussion of the theory of fractions. In 1827 he became extraordinary professor and in 1829 ordinary professor of mathematics at Königsberg University, and this chair he filled until 1842. Jacobi suffered a breakdown from overwork in 1843. He then visited Italy for a few months to regain his health. On his return he moved to Berlin, where he lived as a royal pensioner until his death. During the Revolution of 1848 Jacobi was politically involved and unsuccessfully presented his parliamentary candidature on behalf of a Liberal club. This led, after the suppression of the revolution, to his royal grant being cut off – but his fame and reputation were such that it was soon resumed. In 1836, he was elected a foreign member of the Royal Swedish Academy of Sciences. Jacobi's grave is preserved at a cemetery in the Kreuzberg section of Berlin, the Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde (61 Baruther Street). His grave is close to that of Johann Encke, the astronomer. The crater Jacobi on the Moon is named after him. Jacobi's greatest work was his investigation of elliptic functions, particularly his development of the theta function. Second in importance are his researches in differential equations and rational mechanics, notably the Hamilton-Jacobi theory. It was in algebraic development that Jacobi’s peculiar power mainly lay, and he made important contributions of this kind to many areas of mathematics, as shown by his long list of papers in Crelle’s Journal and elsewhere from 1826 onwards. One of his maxims was: 'Invert, always invert' ('man muss immer umkehren'), expressing his belief that the solution of many hard problems can be clarified by re-expressing them in inverse form. His theory of theta and elliptic functions is given in his great treatise Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), and in later papers in Crelle's Journal. In his 1835 paper, Jacobi proved the following basic result classifying periodic (including elliptic) functions: If a univariate single-value …

function is periodic, then the ratio of the periods cannot be a real number, and that such a function cannot have more than two periods. He proved the functional equation for the theta function. He proved the Jacobi triple product formula and many other results in q-series and hypergeometric series. Theta functions are of great importance in mathematical physics because of the need to "integrate second order kinetic energy equations". The motion equations in rotational form are integrable only for the three cases of the pendulum, the symmetric top in a gravitational field, and a freely spinning body, wherein solutions are in terms of Jacobi's elliptic functions. He applied theta functions to Abelian varieties. The solution of the Jacobi inversion problem for the hyperelliptic Abel map by Weierstrass in 1854 required the introduction of the hyperlliptic theta function and later the general Riemann theta function for algebraic curves of arbitrary genus. The complex torus associated to a genus g algebraic curve, obtained by quotienting by the lattice of periods is referred to as the Jacobian variety. This method of inversion, and its subsequent extension by Weierstrass and Riemann to arbitrary algebraic curves, may be seen as a higher genus generalization of the relation between elliptic integrals and the Jacobi, or Weierstrass elliptic functions. Jacobi was the first to apply elliptic functions to number theory, for example proving the 2 square and four-square theorems of Pierre de Fermat, and similar results for 6 and 8 squares. His other work in number theory continued the work of K. F. Gauss: new proofs of quadratic reciprocity and introduction of the Jacobi symbol; contributions to higher reciprocity laws, investigations of continued fractions, and the invention of Jacobi sums. Jacobi was one of the early founders of the theory of determinants; in particular, he invented the Jacobian determinant formed of the n² differential coefficients of n given functions of n independent variables, and which has played an important part in many analytical investigations. In 1841 he reintroduced the partial derivative ∂ notation of Legendre, which was to become standard. Students of vector fields and Lie theory often encounter the Jacobi identity, the analog of associativity for the Lie bracket operation. Planetary theory and other particular dynamical problems likewise occupied his attention from time to time. While contributing to celestial mechanics, Jacobi (1836) introduced the Jacobi integral for a sidereal coordinate system. His theory of the ``last multiplier is treated in Vorlesungen über Dynamik, edited by Alfred Clebsch (1866).

He reduced the general quintic equation to the form:

He left a vast store of manuscripts, portions of which have been published at intervals in Crelle's Journal. His other works include Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839), and Opuscula mathematica (1846–1857). His Gesammelte Werke (1881–1891) were published by the Berlin Academy.

(Tomado de la enciclopedia WIKIPEDIA)

JacobianaENUNCIADO: Calcular ∫ ∫ (x 2 + y 2) dx dy en donde R se muestra en la figura.

x - y = 1

x - y = 9

x y = 4 x y = 2

R

y

x 0

Solución: Para simplificar la región R, procedo a efectuar la siguiente transformación u = x u = x 2 2 - y - y 2 2 v = xy v = xy

Entonces: x 2 - y 2 = 1 u = 1 Se reduce de esta forma la región R en x 2 - y 2 = 9 u = 9 una nueva región S del plano uv, cuya forma geométrica es más simple por sus curvas fronteras. xy = 2 v = 2 xy = 4 v = 4

Procedo a calcular la JACOBIANA de transformación: J (x, y / u, v)

PROPIEDAD de la Jacobiana: J (x, y / u, v) = 1 / J (u, v / x, y) siempre que sea ≠ 0.

u 0 (1 , 0 ) (9 , 0 )

v

(0 , 2 )

(0 , 4 )

S

P L A N O u v

J (u, v / x, y) = │∂u /∂x ∂u /∂y │= │2 x -2y │ = 2 (x 2 + y 2 ) │∂v /∂x ∂v /∂y │ │ y x │

J (x, y / u, v) = 1 / 2 (x 2 + y 2 ) ECUACIONES de TRANSFORMACION:

u = x 2 - y 2 → u 2 = x 4 - 2 x 2 y 2 + y 4 v = xy → v 2 = 4 x 2 y 2 u = x 2 - y 2 → u 2 = x 4 - 2 x 2 y 2 + y 4

u 2 + 4 v 2 = (x 2 + y 2 ) 2

o sea, x 2 + y 2 = √ (u 2 + 4 v 2 ) Siguiendo el cálculo de la integral tengo:

J (x, y / u, v) = 1 / 2 √ (u 2 + 4 v 2 ) Por lo tanto,

∫ ∫ (x 2 + y 2 ) dx dy = ) dx dy = ∫ ∫ √ (u 2 + 4 v 2 ) (1 /2 √ (u 2 + 4 v 2 ) du dv R S

9 4 Libro: Integrales Múltiples (1973) ∫ ∫ (x 2 + y 2 ) dx dy = ½ ) dx dy = ½ ∫ du ∫ dv = ½ (8) (2) = 8 CUJAE, Cuba.8 CUJAE, Cuba. 1 21 2

Coordenadas POLARES (1)

ENUNCIADO: Calcular ∫ ∫ x /(x 2 + y 2) dx dy S

siendo S = { (x, y) : 9 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 ; x ≥ 0, y ≥ 0 }

x

y

0 (3 , 0 ) (5 , 0 )

(0 , 5 )

(0 , 3 ) S

Solución: La frontera de la región está integrada por dos curvas coordenadas del SISTEMA POLAR: dos circunferencias y dos segmentos de semirrectas.

La variable ρ siempre varía de una circunferencia a otra, mientras que la variable θ va del eje x al eje y. x = ρ cos θ x = ρ cos θ y = ρ sen θy = ρ sen θ

Tenemos entonces: x 2 + y 2 = 9 ρ = 3 x 2 + y 2 = 25 ρ = 5 y = 0 θ = 0 x = 0 θ = π/2

f (x, y) = x / (x 2 + y 2) f (x, y) = ρ cos θ / ρ 2

f (x, y) = cos θ / ρ y además, dx = ρ d ρ d θ

Sustituyo en la integral doble de partida:

∫ ∫ x / (x 2 + y 2) dx dy = ∫ ∫ (ρ cos θ / ρ 2 ) (ρ d ρ d θ) S S

5 π/2

∫ ∫ x / (x 2 + y 2) dx dy = ∫ dρ ∫ cos θ dθ S 3 0

5 π/2

∫ ∫ x / (x 2 + y 2) dx dy = ∫ dρ (sen θ) ] S 3 0

5

∫ ∫ x / (x 2 + y 2) dx dy = ∫ dρ

S 3

5

∫ ∫ x / (x 2 + y 2) dx dy = ρ ] S 3

∫ ∫ x / (x 2 + y 2) dx dy = 2

COORDENADAS POLARES (2)

ENUNCIADO: Hallar el área de la región R = {(x, y): x 2 + y 2 ≤ r 2} siendo r una constante cualquiera.

x

y(0 , r)

(r, 0 )

(0 , - r)

(- r, 0 ) 0

Solución: La región dada es un CIRCULO de radio r. ρ = r

La única curva que conforma a la región es una CURVA COORDENADA POLAR 2π r

A R = ∫ ∫ ρ dρ dθ = ∫ dθ ∫ ρ dρ

. R 0 0

2π

r 2π 2π

A R = ∫ dθ. (ρ 2 / 2) ] = (½) r 2 ∫ dθ = (½) r 2 θ]

0 0 0 0

A R = (½) r 2 (2π) O sea: A A R R = π r = π r 2 2

INTEGRALES 1

ENUNCIADO: Calcular el valor de 2 x

I = ∫ dx ∫ (x 2 + xy) dy 0 0

2 x 2 x

Solución: I = ∫ dx ∫ x 2 dy + ∫ dx ∫ xy dy 0 0 0 0 2 x 2 x

I = ∫ x 2 [y] dx + ∫ xdx [y 2/ 2] (integrando primero en y) 0 0 0 0

2 2

I = ∫ x 2 (x – 0) dx + ∫ x (x 2/2 – 0/2) dx → (EVALUANDO) 0

I = ∫ x 3 dx + ½ ∫ x 3 dx 0 0

2 2

I = 4x 4/ 4 ] + ( ½) x 4 / 4 ] (integrando respecto a x) 0 0

I = ¼ (16 – 0) + 1/8 (16 – 0)

I = 4 + 2

I = 66

Respuesta. El valor de la integral es 6

INTEGRALES 2

ENUNCIADO: Calcular el valor de las integrales ITERADAS (sucesivas) de la función f (x, y) = x y 2 en la región que se muestra en la figura.

x

y

0 3 6

3

y = x y = 6 - x

Solución: S = { (x, y) Є R 2: y ≤ x ≤ 6 – y, 0 ≤ y ≤ 3 } 3 6 - y

I = ∫ dy ∫ xy 2 dx 0 y

3 6 - y

I = ∫ y 2 [x 2/2] dy 0 y

3

I = ½ ∫ y 2 (6 – y) 2 – y 2 dy 0

3

I = ½ ∫ y 2 (36 – 12y + y 2 - y 2 ) dy 0

3

I = ½ ∫ (36 y 2 – 12y 3) dy 0

3

I = ½ [36 (y 3/3) – 12 (y 4/4)] (INTEGRANDO respecto a y ) 0

3

I = ½ [12 y 3- 3 y 4 ] 0

I = ½ [12 (3) 3- 3 (3)4]

I = ½ [324 - 243]

I = 81 / 2 I = 81 / 2

INTEGRALES (3) ENUNCIADO: a) Plantear las integrales necesarias para calcular:

B

∫ {(y 2 + x) dx + (y – 2x) dy} siendo C C A la curva dada por

r(t) = (t 2 + 1) i + ( t + 1) j

entre los puntos A = (1, 1) y B = (2, 2) b) Calcular la integral.

Solución: x = t 2 + 1 → dx = 2t dt y = t + 1 → dy = dt Para punto (1, 1) : x = 1 → 1 = t 2 + 1 Para punto (2,2) : x = 2 → 2 = t 2 + 1 t 2 = 0 t = 1 t = 0 y = 2 → 2 = t + 1 y = 1 → 1 = t + 1 t = 1 (LIMITE INFERIOR) t = 0 (LIMITE SUPERIOR) 1

∫ {[(t + 1) 2 + t 2 + 1] 2t dt + (t + 1) – 2 (t 2 + 1) dt} 0

1

∫ {(t2 + 2t + 1 + t2 + 1) 2t dt + t + 1 – (2t2 + 2) dt} 0

1

∫ {(2t2 + 2t + 2) 2t dt + (t + 1 - 2t2 – 2) dt} 0

1

∫ {(4t3 + 4t2 + 4t) dt + (t + 1 - 2t2 – 2) dt} 0

1

∫ {(4t3 + 4t2 + 4t) dt + (t + 1 - 2t2 – 2) dt}

0

1

∫ (4t3 + 4t2 + 4t + t + 1 - 2t2 – 2) dt 0

1

∫ (4t3 + 2t2 + 5t – 1) dt → (4t4/4 + 2/3 t3 + 5/2 t2 – t) ] 1

0 0

(1) 4 + 2/3 (1) 3 + 5/2 (1) 2 – 1 = 1 + 2/3 + 5/2 – 1

= 2/3 + 5/2

= (4 + 15)/6

= 19/6

INTEGRALES (4)

ENUNCIADO: Plantear las integrales necesarias para calcular el volumen de la región S = { (x, y, z): 0 ≤ z ≤ 9 – x 2, 0 ≤ x ≤ y, y ≤ 3 }Solución: V = ∫ ∫ ∫ d (x, y, z) dx dy dz W

(Siendo W la región) 3 x 9 – x 2

W = ∫ dx ∫ dy ∫ dz 0 0 0

INTEGRALES (5)

ENUNCIADO:

Calcular ∫ ∫ f (x, y) dx dy S siendo f : R 2 → R (x, y) → x

y S = { (x, y) Є R 2 : y ≤ x 2 , 0 ≤ y ≤ 1 , x ≤ 2 }

R eg ión de in tegrac ión

x

y

(0 ,4 )

(0 ,1 )

0

y = x

y = 1

x = 2

(1 , 0 ) (2 , 0 )

Solución: (Integro primero en x)

1 2

∫ ∫ f (x, y) dx dy = ∫ dy ∫ x dx S 0 √ y

1 2

∫ ∫ f (x, y) dx dy = ∫ [x 2 / 2] dy S 0 √ y

1

∫ ∫ f (x, y) dx dy = ½ ∫ (4 – y) dy S 0

1 1

∫ ∫ f (x, y) dx dy = ½ [∫ 4 dy - ∫ y dy] S 0 0

1

∫ ∫ f (x, y) dx dy = ½ [4y – y 2 / 2] S 0

∫ ∫ f (x, y) dx dy = ½ (4 – ½) S

∫ ∫ f (x, y) dx dy = ½ (7/2) = 7 / 4 S

INTEGRALES (6)

ENUNCIADO: Calcular I = ∫ ∫ (sen x / x) dx dy S

siendo S = {(x, y) Є R 2 : x 2 ≤ y ≤ x }

y = x

y = x

x

y

(0 , 1 )

0 (1 , 0 )

ORDEN de INTEGRACION: primero en y, y luego en x

Solución: 1 x2

I = ∫ (sen x / x) dx ∫ dy 0 x 1

I = ∫ (sen x / x) (x2 - x) dx 0

1

I = ∫ (x sen x - sen x) dx

0

1 1

I = ∫ x sen x dx - ∫ sen x dx 0 0

1

I = sen x - x cos x + cos x ] 0

I = sen 1 – 1

Respuesta. El valor de la integral es sen 1 – 1

Nota. Si hubiera comenzado a integrar en x primero, se habría tenido 1 √ y

I = ∫ dy ∫ (sen x / x) dx 0 y

y la función (sen x / x) hubiera tenido una difícil solución. No es posible dar el valor de la integral doble a través de la integral iterada planteada.

INTEGRALES (7)

ENUNCIADO: Calcular el área de la región

S = { (x, y) Є R 2 : x ≤ y ≤ 2 - x 2 , - 2 ≤ x ≤ 1 }

y

x

y = x

(1 , 0 )

(1 , 0 ) ( 2 , 0 )

(-2 , 0 )

(0 , - 2 )

(0 , 2 )

y = 2 - x

Solución: (área) A S = ∫ ∫ dx dy

S

ORDEN de INTEGRACION: integro primero en y y luego en x. 1 2 - x

2

A S = ∫ dx ∫ dy

- 2 x

1

A S = ∫ (2 - x 2 - x) dx

- 2

1

A S = [ 2x - x 3/ 3 - x 2 / 2 ]

- 2

A S = 2 - 1/3 - ½ + 4 - 8/3 + 2

A A S S == 9/2 9/2

INTEGRALES (8)

ENUNCIADO: Calcular el área de la región S = {(x, y) Є R 2 : y 2/8 ≤ x ≤ 2 }

Tengo que calcular el valor de la integral A S = ∫ ∫ dx dy

S

x

y

x = 2 (R E C TA )

(0 , - 4 )

(0 , 4 )

0 (2 , 0 )

PA R A B O L A y = 8 x co n v é rtic e en e l o rig en y cu y o e je fo ca l co inc ide co n e l e je x

Solución: Para calcular la integral doble A S solamente se necesita una integral

ITERADA (o sucesiva), cualquiera sea el orden elegido para la integración.

ORDEN de INTEGRACION → primero en x; luego en y

La variable x se mantiene siempre entre la parábola y la recta (la y varía entre - 4 y 4)

4 2

A S = ∫ dy ∫ dx

- 4 y2/8

La región S es SIMÉTRICA respecto al eje x.

4 2

área TOTAL de la región: A S = 2 ∫ dy ∫ dx

0 y2/8

4 2

INTEGRANDO en x: A S = 2 ∫ dy [ x ]

0 y2/8

4

A S = 2 ∫ (2 - y 2 / 8) dy

0

4

INTEGRANDO en y: A S = 2 [ 2y - y 3 / 24 ]

0

A S = 2 [8 - 64/24]

A S = 32 / 332 / 3 Respuesta. El área de la región es 32 / 332 / 3 unidades cuadradas.

INTEGRALES (9)

ENUNCIADO: Hallar la MASA de la región R = { (x, y) Є R 2 : 0 ≤ y ≤ 2 √ x ; x ≤ 4 }

sabiendo que la densidad superficial de masa viene dada por la expresión d (x, y) = 2 x

x = 4

(4 , 4 )y = 2 x

0 (4 , 0 )x

y

(0 , 4 )

Solución: (x, y) Є R x > 0 M = ∫ ∫ 2x dx dy R

4 2√ x

M = 2 ∫ x dx ∫ dy (√x = x ½ ) 0 0

4

M = 4 ∫ x 3 / 2 dx 0

4

M = 4 (2/5) [x 5/2] = (8/5) (√4 5) 0

MASA = 256/5 unidades

INTEGRALES (10)

ENUNCIADO: Hallar el MOMENTO de primer orden respecto al eje y producido por la masa de la región R = {(x, y) Є R 2 : 0 ≤ x ≤ 4 - y 2 }

La densidad superficial de masa está dada por d (x, y) = x

y

x

x = 4 - y (0 , 2 )

(0 , - 2 )

0

R 1

R 2

(4 , 0 )

Solución: La región está determinada por dos curvas: el ejeeje y y una PARABOLA. La parábola x = 4 - y 2 también puede expresarse de la forma y 2 = - (x - 4). Su vértice se encuentra en el punto (4, 0) que abre HACIA la PARTE NEGATIVA del eje x.

Planteamiento de las integrales iteradas: M Y = ∫ ∫ x.x dx dy

R

M Y = ∫ ∫ x.2 dx dy

R

Para calcular la integral doble planteo una integral ITERADA: 2 4 - y

2

M Y = ∫ dy ∫ x 2 dx

- 2 0

2 4 - y

2

Cálculo de la integral iterada: M Y = ∫ dy [x 3/ 3]

- 2 0 2

M Y = 1/3 ∫ (4 - y 2) 3 dy

- 2

2

M Y = 1/3 ∫ (64 - 48y 2 + 12y 4 - y 6) dy

- 2

2

M Y = 1/3 [64y - 16y 3 + (12/5) y 5 - (1/7) y 7] - 2

M Y = 4096 / 105

Nota. Es posible aplicar la propiedad de SIMETRIA en el cálculo de la masa, los momentos o cualquier otra aplicación de las integrales dobles. Se pudo haber planteado el problema anterior: 2 4 - y

2

M Y = 2 ∫ dy ∫ x 2 dx

0 0

Cumplen las dos condiciones necesarias para aplicar la propiedad de simetría:

1) Simetría de la región → R 1 = R 2

2) Simetría de la función → x 2 = (-x 2 )

Con esto, se ahorra la evaluación de la última integral para el límite x = - 2

FORMULA del BINOMIO: (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

INTEGRALES (11)

ENUNCIADO: Hallar las coordenadas del centro de masas de la región

R = {(x, y): ½ (x 2 - 1) ≤ y ≤ 4}

sabiendo que: d (x, y) = 3x

x

y

y = 1 /2 (x - 1 )

y = 4(0 , 4 )

(0 , 1 /2 ) (- 3 , 0 ) (3 , 0 )

R 2 R 1

Solución: La representación geométrica de la ρ igual a cero coincide con el eje y (3x = 0 → x = 0). La región R queda sub-dividida en dos sub-regiones: R1 y R2, siendo d (x, y) > 0 para la primera y d (x, y) < 0 para la

segunda. Momento de primer orden de la región R respecto a y es CERO: M y = ∫ ∫ x d(x, y) dx dy = 0

ABSCISA del centro de masa igual cero: x = M y / M = 0

MOMENTO M x → M x = ∫ ∫ y d (x, y) dx dy

R

La variable y se mantiene con signo positivo en toda la región R

M x = 2 ∫ ∫ y d (x, y) dx dy

R1

3 4

M x = 2 ∫ 3x dx ∫ y dy

0 ½ (x 2 - 1)

3 4

Integro primeramente en y: M x = 6 ∫ x [ y 2 / 2 ] dx

0 ½ (x2 - 1) 3

M x = 3 ∫ x [16 - { ½ (x 2 - 1)} 2 ] dx

0

3

M x = 3 ∫ {(63/4) x - (1/4) x 5 + (1/2) x 3 }dx

0

3

M x = 3 [(63/8) x 2 - (1/24) x 6 + (1/8) x 4] 0

M x = 1215 / 8 (MOMENTO)(MOMENTO)

Calculo de la MASA: aplico propiedad de SIMETRIA M = ∫ ∫ d (x, y) dx dy R

M = 2 ∫ ∫ d (x, y) dx dy R

1

3 4

M = 2 ∫ 3x dx ∫dy 0 ½ (x 2 - 1) 3 3

M = 6 ∫ x [4 - ½ (x 2 - 1)] dx M = 6 ∫ (9/2 x - ½ x 3) dx 0 0

3

MM = 6 [9/4 x 2 - 1/8 x 4] = 6 (81/4 - 81/8) = 243/4 Coordenadas del CM : 0

yy = M x / M = (1215/8) / (243/4) = 5 /2 5 /2 (0, 5/2)

INTEGRALES (14)

ENUNCIADO: Calcular el VOLUMEN de la región

W = { (x, y, z) : 0 ≤ z ≤ 1 - x - y; x ≥ 0; y x ≥ 0 }

x

y

z

(1 , 0 , 0 )

(0 , 1 , 0 )

(0 , 0 , 1 )z = 1 - x - y

0

Solución: La región de integración es el triángulo sombreado en amarillo en la figura. (Proyección del sólido en el plano xy)

V W = ∫ ∫ f (x, y) dx dy f (x, y) = z f (x, y) = 1 - x - y

S = { (x, y) : x + y ≤ 1, x ≥ 0; y x ≥ 0 } Por tanto, V W = ∫ ∫ (1 - x - y) dx dy (integro primero en x)

S

1 1 - y

V W = ∫ dy ∫ (1 - x - y) dx

0 0

1 1 - y

V W = ∫ [x - x2/2 - yx] dy

0 0

1

V W = ∫ [1 - y - (1 - y) 2/ 2 - y (1 - y)] dy

0

1

V W = ∫ ½ (y - 1) 2 dy

0 1

V W = 1/6 (y - 1) 3 ] = 1/6 1/6 → → (VOLUMEN de la regiónVOLUMEN de la región)

INTEGRALES (15) 2 y

ENUNCIADO: Calcular ∫ dy ∫ 3 (x + y) 2 dx 1 0

y

Función de la variable en y → f (y) = ∫ 3 (x + y) 2 dx 0

y

f (y) = (x + y) 3 ] 0

y

(x + y) 3 = (x 3 + 3x2y + 3xy2 + y 3) ] = y 3 + 3 y 3 + 3 y 3 + y 3 - y 3 = 7 y 3

0

f (y) = 7 y 3

Valor de la integral ITERADA:

2 y 2

∫ ∫ 3 (x + y) 2 dx dy = ∫ 7 y 3dy 0 0 0

2 y 2

∫ ∫ 3 (x + y) 2 dx dy = (7/4) y 4 ] 0 0 0

I = I = 2828

INTEGRALES (16) 2 2x

ENUNCIADO: Calcular ∫ dx ∫ x 2 e xy dy 1 1

2 2x

I = ∫ dx ∫ x 2 e xy dy 1 1

2 2x

I = ∫ ∫ x 2 e xy dy dx 1 1

Se integra primero en y (x CONSTANTE)

2 2x

I = ∫ x 2 ∫ e xy dy dx 1 1

2 2x

I = ∫ x 2 [(1/x) e xy ] dx 1 1

2 2x 2

I = ∫ x (e - e x ) dx 1

2x 2 2

I = (¼) e - e x (x - 1)] 1

I = (¼) eI = (¼) e2 2 (e(e6 6 - 5)- 5)