Caracterizaci on de Funciones C oncavas y...
Transcript of Caracterizaci on de Funciones C oncavas y...
-
Caracterizacion de Funciones Concavas y Convexas
Alejandro Lugon
20 de agosto de 2010
1. Definiciones y preliminares
1.1. Concavidad
Una funcion:f : S R
con dominio S Rn convexo, es:
Concava si para todos x, y S y [0, 1] se tiene:
f((1 )x+ y) (1 )f(x) + f(y)
Estrictamente Concava si para todos x, y S, x 6= y y ]0, 1[ se tiene:
f((1 )x+ y) > (1 )f(x) + f(y)
Convexa si para todos x, y S y [0, 1] se tiene:
f((1 )x+ y) (1 )f(x) + f(y)
Estrictamente Convexa si para todos x, y S, x 6= y y ]0, 1[ se tiene:
f((1 )x+ y) < (1 )f(x) + f(y)
Todas estas definiciones son relativas al conjunto S, es decir lo apropiado sera decir concava/convexaen S.
Toda funcion estrictamente concava es concava y toda funcion estrictamente convexa es convexa. Podemostener funciones que no sean ni concavas ni convexas y funciones que sean concavas y convexas, estas ultimasson las funciones afn-lineales: f(x) = a x+ b.
1
-
CCV
ST-CCV
CVX
ST-CVX
AFIN
1.2. Hessiana
Si el dominio S es abierto y la funcion f es de clase C2 podemos definir la matriz Hessiana de segundasderivadas:
Hf (x) = D2f(x) =[
2f
xixj(x)]
=
2f
x1x1
2fx1x2
2f
x1xn
2fx2x1
2fx2x2
... 2f
x2xn...
. . ....
2fxnx1
2fxnx2
2f
xnxn
la cual es simetrica (
2fxixj
= 2f
xjxi)
A partir del Hessiano determinamos los menores principales de la siguiente manera. Consideremos unsubconjunto no vaco cualquiera I {1, 2, ..., n} del conjunto de ndices, si consideramos solamente las filasy columnas de Hf (x) con ndices en I y calculamos el determinante, tenemos un menor principal:
I(x) = 2fxixj
i,jI
El numero de elementos en I es el orden del menor principal.Por lo tanto tenemos tantos menores principales como subconjuntos no vacos de {1, 2, ..., n}, es decir
2n 1.Si consideramos subconjuntos de ndices de la forma I = {1, 2, ..., k} para k = 1, 2, . . . , n tenemos los
menores principales dominantes:Dk(x) =
Dk(x) = 2fxixj
i,jk
=
2fx1x1
2fx1x2
2f
x1xk
2fx2x1
2fx2x2
... 2f
x2xk...
. . ....
2fxkx1
2fxkx2
2f
xkxk
Por lo tanto tenemos solamente n menores principales dominantes.
1.3. Valores propios
Dada una matriz cuadrada A un valor propio (real) de A es un R tal que existe v Rn, v 6= 0 quecumple:
Av = v
2
-
Una matriz de orden n n tiene a lo mas n valores propios (reales).Si la matriz es simetrica, como la Hessiana, tiene exactamente n valores propios (reales).
1.4. Matrices Definidas
Una matriz simetrica A es:
Definida negativa si para todo x 6= 0 se tiene: xTAx < 0.
Semidefinida negativa si para todo x se tiene: xTAx 0.
Definida positiva si para todo x 6= 0 se tiene: xTAx > 0.
Semidefinida positiva si para todo x se tiene: xTAx 0.
Con estas definiciones toda matriz definida negativa es semidefinida negativa y toda matriz definidapositiva es semidefinida positiva. Podemos tener matrices indefinidas (que no son semidefinidas positivas ninegativas) y la unica matriz que es semidefinida positiva y negativa a la vez es la matriz nula.
2. Caracterizacion para n general
Proposicion 1 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:
1. f es concava en S.
2. Hf es semidefinida negativa en todo punto de S
3. Hf tiene todos sus valores propios no positivos ( 0) en todo punto de S
4. Todos los menores principales de Hf en todo punto de S cumplen
(1)#(I)I 0
Proposicion 2 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:
1. f es convexa en S.
2. Hf es semidefinida positiva en todo punto de S
3. Hf tiene todos sus valores propios no negativos ( 0) en todo punto de S
4. Todos los menores principales de Hf en todo punto de S cumplen
I 0
Proposicion 3 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:
3
-
1. Hf es definida negativa en todo punto de S
2. Hf tiene todos sus valores propios negativos (< 0) en todo punto de S
3. Todos los menores principales dominantes de Hf en todo punto de S cumplen
(1)kDk > 0
Cualquiera de estas propiedades implica (pero no es equivalente a) que f es estrictamente concava en S.
Proposicion 4 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:
1. Hf es definida positiva en todo punto de S
2. Hf tiene todos sus valores propios positivos (> 0) en todo punto de S
3. Todos los menores principales dominantes de Hf en todo punto de S cumplen
Dk > 0
Cualquiera de estas propiedades implica (pero no es equivalente a) que f es estrictamente convexa en S.
De manera esquematica:
fccv Hsdn (1)#(I)I 0 i 0
fst ccv Hdn (1)kDk > 0 i < 0
yfcvx Hsdp I 0 i 0
fst cvx Hdp Dk > 0 i > 0
4