Capítulo 7: Resonadores en microondas · – Resonancia serie – Resonancia paralelo •...
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Capítulo 7:
Resonadores en microondas
Los circuitos resonantes (en baja y alta frecuencia)son muy utilizados en Los circuitos resonantes (en baja y alta frecuencia)son muy utilizados en ingeniería electrónica en una gran variedad de aplicaciones: filtros, osciladores, medidores de frecuencia y amplificadores sintonizados. El capítulo comienza recordando la teoría básica de circuitos resonantes, siendo la tecnología la que
diferencie los circuitos resonantes en las distintas bandas frecuencia.
Las tecnologías expuestas para realizar circuitos resonantes en microondas serán: líneas de transmisión, guías de onda formando cavidades resonantes y
guías dieléctricas constituyendo resonadores dieléctricos.
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ÍNDICE
• Introducción– Circuito resonante serie.
– Circuito resonante paralelo.
– Definiciones: factor de calidad cargado y descargado de un circuito.
• Circuitos resonantes en alta frecuencia
• Resonadores basados en líneas de transmisión.– Resonancia serie– Resonancia serie
– Resonancia paralelo
• Cavidades resonantes.– Cavidades rectangulares.
– Cavidades cilíndricas.
• Resonadores dieléctricos
• Excitación de resonadores
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INTRODUCCIÓN I: CIRCUITO RESONANTE SERIE
• Definición: – Resonancia serie o circuito resonante: en sus bornes hay mínimo de voltaje y máximo
de corriente lo que supone mínimo del módulo de la impedancia.
– Resonancia paralelo o circuito antirresonante: en sus bornes hay máximo de voltaje y mínimo de corriente lo que supone máximo del módulo de la impedancia.
• Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia
LR|Zin(ω)|
V I
Zin
CS
LSRS
ω/ ω0
|Zin(ω)|
BW
R
R/0.707
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INTRODUCCIÓN II: CIRCUITO RESONANTE SERIE
• Impedancia de entrada al circuito resonante
• Balance energético sssin C
jLjRZ⋅
⋅−⋅+=ω
ω 1
( )emlosss
ssinin WWjPCjLjRIIZIVP −⋅+=
⋅⋅−⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ωω
ω 212
1
2
1
2
1 22*
sm
sloss
LIW
IRP
⋅⋅=
⋅⋅=
2
2
4
12
1
• Un circuito resuena cuando la energía media almacenada por el campo magnético coincide con la almacenada por el campo eléctrico. Esto supone que la impedancia de entrada a dicha frecuencia de resonancia es real.
ssce
sm
CICVW
LIW
⋅⋅⋅=⋅⋅=
⋅⋅=
2
22 1
4
1
4
14
ω
( )2
2
2
loss m ein
P j W WZ
I
ω+ ⋅ −=
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INTRODUCCIÓN III: CIRCUITO RESONANTE SERIE, DEFINICIONES
• Pulsación de resonancia: aquella a la que se cumple la condición de resonancia.
• Factor de calidad o de sobretensión: relación existente entre la energía media almacenada en el circuito y la energía perdida por segundo.
• Definición en función del margen de frecuencias
ss
oCL ⋅
= 1ω
loss
em
P
WW
segundopordisipadaenergía
almacenadamediaenergíaQ
+⋅=⋅= ωω
• Definición en función del margen de frecuencias
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) sssosin
oo
sososin
ss
ssin
LjRLjRZ
d
dfj
d
dfj
CjLjRZ
fjRC
jLjRZ
oo
22
...!2
1
1
22
⋅∆⋅+=⋅−⋅+=
+⋅−
⋅+⋅−⋅+
⋅⋅−⋅+=
⋅+=⋅
⋅−⋅+=
==
ωωωωω
ωωω
ωωω
ωω
ωω
ωω
ωωωω
( ) ( ) ( )αω
ωω ⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅∆⋅+= QjRQRjRZ so
ssin 12
( ) αωω =⋅∆
o
2
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INTRODUCCIÓN IV: CIRCUITO RESONANTE PARALELO
• Definición: – Resonancia paralelo o circuito antirresonante: en sus bornes hay máximo de voltaje y
mínimo de corriente lo que supone máximo del módulo de la impedancia.
• Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia– Las expresiones que rigen su funcionamiento son las duales de las del circuito serie.
|Zin(ω)|
ω/ ω0
BW
R
R*0.707
V
I
Vg Zin
CPLPRPV
I
Vg Zin
CPLPRP
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FACTOR DE CALIDAD CARGADO, AISLADO Y EXTERIOR
LPGP CPGO GL
Circuito resonante de
factor Q
LPGP CPCPGO GL
Circuito resonante de
factor Q
GO GL
LPGP
CP
GO GL
LPGP
CPLP
GPCP
LPGP
CPLP
GPCPCPCP
factor Qfactor Q• La energía almacenada es única por lo que la variación del factor de calidad irá
ligada a la variación en las pérdidas que pueda haber. • Si pudieran separarse los efectos de las pérdidas dependiendo de si la causa fuera
interna o externa al circuito tendríamos:– Factor de calidad aislado o en vacío, Q: las pérdidas se deben exclusivamente al
circuito resonador.– Factor de calidad exterior, Qex, las pérdidas se deben a los circuitos exteriores a que se
conecta el resonador– Factor de calidad cargado: incluye todos los efectos de pérdidas, internos y externos, y
es el que realmente se puede medir, QL.Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, Microondas
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FACTOR DE CALIDAD: CONEXIÓN DE RESONADORES
• Hay tantos factores de calidad externos cuantas conexiones del resonador tengamos al exterior. Así se pueden clasificar los resonadores por su conexión:– Resonadores a reflexión: solo existe un terminal que aporta energía al resonador.
Tiene una configuración tipo dipolo y hay un solo Qext– Resonadores a transmisión: se aporta energía al resonador por un terminal y se extrae
por otro. Tiene una configuración tipo cuadripolo y hay dos Qext: Qext1 y Qext2• Si la energía almacenada es común y las pérdidas han podido separarse el factor
de calidad cargado, que es el que se puede medir, viene dado por:
• Si las resistencias exteriores son Rex1 y Rex2
• Que para el circuito paralelo resulta:
21
1111
exexL QQQQ++=
2222
1111 ;
ex
s
sex
sso
ex
soex
ex
s
sex
sso
ex
soex
R
RQ
RR
RL
R
LQ
R
RQ
RR
RL
R
LQ
⋅=⋅
⋅⋅=
⋅=
⋅=⋅
⋅⋅=
⋅=
ωω
ωω
p
ex
po
ex
ex
p
pex
ppo
ex
poex R
RQ
L
R
G
GQ
GG
GC
G
CQ 11
1111 ⋅=⋅
=⋅=⋅
⋅⋅=
⋅=
ωωω
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FACTOR DE ACOPLAMIENTO
• Relación entre los factores de calidad externo e interior: s
==⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅
⋅⋅
===
ex
p
p
ex
p
ex
s
ex
s
ex
ex
R
R
G
G
GV
GVparalelo
R
R
RI
RIserie
resonadorelenPérdidas
exteriorcircuitoelenPérdidas
Q
Qs
2
2
2
2
2
12
1
:
2
12
1
:
• Si se normaliza la resistencia exterior a un valor 1 resulta:– Resonador serie: s= 1/rs– Resonador paralelo: s=1/gp
• Clasificación de resonadores atendiendo al factor de acoplamiento:– Resonador subacoplado: s1 →Q>Qext (pérdidas en el resonador menores que en el
circuito exterior)– Acoplmiento crítico: s=1
⋅⋅ pGV2
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j0.2
j0.5
j1
j2
Cavidad subacoplada:RS>ZO
Cavidad sobreacoplada:RS
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RESONADORES EN ALTA FRECUENCIA
• Inconvenientes en alta frecuencia:– El aumento de la frecuencia de resonancia supone reducir la inductancia o capacidad:
caso límite, reducción a un hilo, concepto de línea de transmisión.
– Una bobina acaba siendo auto resonante: capacidades parásitas y resistencias parásitas
– En un circuito no cerrado el efecto de la radiación se hace no despreciable.
• Conclusiones sobre alta frecuencia:– Una sección de línea de transmisión puede resonar en determinadas circunstancias.– Una sección de línea de transmisión puede resonar en determinadas circunstancias.
– Se puede reducir las pérdidas cerrando la estructura y pasando al concepto de cavidad resonante.
– Los conceptos de resonancia serie y paralelo siguen siendo válidos pero se repiten cada media longitud de onda.
• Tipos de resonadores en alta frecuencia:– Basados en líneas de transmisión
– Cavidades resonantes
– Resonadores dieléctricos
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z=l z=0
Zin
Zo, β, α
l= n λ/2
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES
l= n λ/2
n=1
n=2
l
CONDICIÓNDE RESONANCIA
PARALELO
CONDICIÓNDE RESONANCIA
SERIE
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ANÁLISIS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES
• Valores de voltaje y corriente en cualquier punto de la línea:
• Supongamos que está acabada en cortocircuito
• Condición de resonancia:
( ) ( )( ) ( )zjzj
o
o
zjzjo
eeZ
VzI
eeVzV
⋅⋅−
⋅⋅−
⋅Γ−⋅=
⋅Γ+⋅=
ββ
ββ
( ) ( )( ) ( ) z
Z
Vee
Z
VzI
zVjeeVzV
o
ozjzj
o
o
ozjzj
o
⋅⋅=⋅+⋅=
⋅⋅⋅−=⋅−⋅=
⋅⋅−
⋅⋅−
β
β
ββ
ββ
cos2
sen2
• Condición de resonancia:
• Frecuencias de resonancia
oo
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅−⋅
⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
⋅⋅−⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅=
⋅⋅+⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅=
∫∫
∫
∫
222
0
*
0
*
2
0
*
2
0
*
2
2sen
2
1
2
1
2
2sen1
24
1
2
2sen1
24
1
ooo
ll
loss
ol
E
ol
H
ZGRl
lZGRlIzVzVGzIzIRP
l
llLIzVzVCW
l
llLIzIzILW
ββ
ββ
ββ
( ) ,...3,2,1;4
02sen =⋅=⇒=⋅ nnll λβeff
on
effonon
p
l
cnf
f
cn
f
vnnl
εελ
⋅⋅⋅=⇒
⋅⋅=⋅=⋅=
4;
444
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microondas
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z=l z=0
Zin
Zo, β, α
l= n λ/2
RESONANCIA SERIE (I)
LSRS
l= n λ/2
n=1
l
l/2
V I
Zin
CS
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RESONANCIA SERIE (II)
• Valor de la impedancia:
• Considerando una línea de bajas pérdidas:
( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )llj
ljlZljZ
lZZ
lZZZZ oo
ZLo
oLoin
L⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+
== βα
βαβαγγ
tgtgh1
tgtghtgh
tgh
tgh
0
( ) ll ⋅≅⋅ ααtgh ( )ooo
lω
πωω
πωω
πωπβ ⋅∆≈
⋅∆=
⋅∆+=⋅ tgtgtg
• Valor de la impedancia:
• Parámetros del resonador
⋅∆⋅+⋅⋅≈
⋅∆⋅⋅⋅+
⋅∆⋅+⋅
≈
-
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES CERRADAS POR AMBOS EXTREMOS
• En el caso de que las líneas de transmisión se encuentren cerradas por ambos extremos la resonancia existirá cuando se cumpla la condición en ambos lados. Esto quiere decir que será a múltiplos de media longitud de onda.
• La condición de resonancia en este caso será:
( ) ( ) 0=+ xZxZ iindin
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Zin
Zo, β, α
l l1
C
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES ACORTADAS
j0.2
j0.5
j1
j2
0.2 0.5 1 2
-j0.2
0
-j0.5
0
-j1
0
-j2
0
XC
2π-φc2θ
01
1tan
arctan2
2
ZCw
Z
X
o
CC
C
⋅⋅=
+=
=−
θ
πφ
πθφ
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CAVIDADES RESONANTES (I)
• Definición: volumen cerrado por paredes conductoras metálicas dentro del cual se introduce y extrae energía por diversos métodos.
• Análisis más complicado que en líneas de transmisión porque hay infinitos modos de propagación. – En modos TEM existen voltajes y corrientes definidos de forma unívoca
– El estudio se hace a partir del modo de la guía y se particulariza para unas condiciones de cierre determinadas.de cierre determinadas.
• Campo en una guía:
• Constante de fase en una guía
• Si se cierra en z=0 por un cortocircuito perfecto
( ) ( )[ ]zjzjt mnmn eAeAyxezyxE ββ −−+ += ,,,22
2
−
−=b
n
a
mkmn
ππβ
0=tE−+ −= AA
( ) ( ) 0sin2,,, =−= + djAyxedyxE mnt β ,...,3,2,1 == lldmn πβ
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CAVIDADES RESONANTES (II)
a
m=1
l=1
x
y222
222
+
+
=⇒+=d
l
b
n
a
mkkk mnlc
πππβ
a
b
d
d
x
y
z
z
222
22
+
+
==d
l
b
n
a
mcckf
rrrr
mnlmnl
πππεµπεµπ
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CAVIDADES RESONANTES (III)
222222
+
+
=⇒+=d
l
b
n
a
mkkk mnlc
πππβSi dividimos la expresión
por el número de onda de corte asociado al TE10 resulta
22
22
02
+
=d
al
k
k
c
af c
10
+
=
d
lkc c
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FACTOR DE CALIDAD DE UNA CAVIDAD RECTANGULAR CON EL MODO TE 101
d
zl
a
x
ak
EjH
d
zl
a
x
Z
jEH
d
zl
a
xEE
z
TEx
y
ππηπ
ππ
ππ
sincos
cossin
sinsin
0
0
0
=
−=
= ∫ == V yye Eabd
dvEEW 20*
164
εε
( )
+=+= ∫ 222
2
220
** 1
164 akZE
abddvHHHHW
TEV zzxxm η
πµµ
( ) ( )
( ) ( )[ ]=+=+=+==
∫∫
∫ ∫∫ ∫ = == =dxdzyHyHR
dydxHRdxdyzHRP
ad
d
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b
y zs
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y
a
x xsc
00
00
22
0 0
2
0 0
2
z
( ) ( )[ ]
+++=
=+=+ ∫∫ ==
a
d
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d
ablER
dxdzyHyHR
s
x zxzs
228
00
2
22
2
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220
0
22
0
ηλ
( )( )[ ]3323322
3
2
22
22
30
22
1
2
22
1
4
2
addalbdbalR
bkad
a
d
d
al
a
bd
d
ablR
abdk
P
WQ
s
sc
ec
+++=
+++
==
πη
πηω
δεεω
tan
12 =′′′
==d
ed P
WQ
111
−
+=
dc QQQ
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EXCITACIÓN DE RESONADORES (I)
Sonda magnética Sonda eléctrica Apertura
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EXCITACIÓN DE RESONADORES IMPRESOS (I)
I CS
LSRS
C
Zin
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BIBLIOGRAFÍA
• Apuntes de resonadores, Daniel Segovia
• Pozar, capítulo 6
• Collin, capítulo 7
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