CAPÍTULO 4. Epígrafe 9. 9.1-. Unidad Didáctica de Secundaria.

Unidad Didáctica “Ecuaciones de segundo grado” – Matemáticas 3º ESO © José Juan González Gómez – Mª Remedios Macías Hernández

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CAPÍTULO 4. Epígrafe 9.

9.1-. Unidad Didáctica de Secundaria.


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© José Juan González Gómez, Remedios Macías Hernández Este material pertenece al curso “Diseño de Unidades Didácticas en el marco de la L.O.E.”, homologado por la Consejería de Educación de la Junta de Extremadura y organizado por la Sociedad Extremeña de Educación Matemática SEEM. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley, la reproducción total o parcial de este documento, así como la edición de su contenido por medio de cualquier proceso reprográfico, electrónico, mecánico, por fotocopia, microfilm, por registro u otros métodos, sin la autorización previa y por escrito del titular del copyright. Reservados todos los derechos, incluido el de venta, alquiler, préstamo o cualquier otra forma de cesión del uso del ejemplar. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y ss. Del Código Penal). El Centro Español de los Derechos reprográficos vela por el respeto de los citados derechos.


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UUNNII DDAADD DDII DDÁÁCCTTII CCAA DDEE LL AA PPRROOGGRRAAMM AACCII ÓÓNN DDII DDÁÁCCTTII CCAA DDEE 33ºº DDEE EE..SS..OO..

UNIDAD DIDÁCTICA 6:

“ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO”.


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ÍNDICE 1

1-. COMENTARIOS INICIALES. 2-. INTRODUCCIÓN.

- DATOS GENERALES IDENTIFICATIVOS. - CONTEXTO. - RELACIÓN CON LOS D.C.B. Y PROGRAMACIÓN. - CONOCIMIENTOS PREVIOS. - TEMPORALIZACIÓN Y SECUENCIACIÓN GENERALES.

3-. OBJETIVOS DIDÁCTICOS. 4-. COMPETENCIAS BÁSICAS QUE SE TRABAJAN. 5-. CONTENIDOS.

5.1-. CONTENIDOS CONCEPTUALES (hechos, conceptos, principios) 5.2-. CONTENIDOS PROCEDIMENTALES (procedimientos, habilidades, destrezas, estrategias) 5.3-. CONTENIDOS ACTITUDINALES (Actitudes, valores y normas)

5.4 -. ELEMENTOS O CONTENIDOS TRANSVERSALES.

6-. METODOLOGÍA.

6.1-. Aspectos metodológicos particulares del tema. 6.2-. Recursos materiales y humanos.

6.2.1-. Uso de las TIC`s.

6.3-.Actividades de enseñanza/aprendizaje. Secuenciación.

7-. CRITERIOS Y PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN. 8-. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD – TRATAMIENTO DE A.N.E .A.E.s 9-. BIBLIOGRAFÍA. ANEXO I

1 Nota (RD 276/2007 de Acceso): El aspirante elegirá el contenido de la unidad didáctica de un tema entre tres de su propia programación, concretando:

• Objetivos. • Contenidos. • Actividades de enseñanza-aprendizaje. • Procedimientos de evaluación.


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1-. COMENTARIOS INICIALES.

Las distintas planificaciones curriculares tienen un último nivel de concreción: las Unidades Didácticas (U.D.). Como ya se ha señalado en capítulos anteriores, el conjunto de las U.D. conforman la programación de aula, y constituyen los documentos en los que el profesor concreta, principalmente, los objetivos, contenidos, competencias básicas, metodología, actividades, recursos, evaluación y temporalización para un período determinado de enseñanza.

Tercer nivel de concreción curricular

Esta colección de U.D. no puede entenderse como elementos aislados. Cada U.D. tiene relación con el resto de las U.D. de nuestra Programación, y tiene su ubicación concreta dentro de la programación de aula. Además, toda programación de las actividades ha de realizarse partiendo:

De las ideas pedagógicas del Proyecto Educativo, que es el marco donde se sitúan las líneas generales del trabajo pedagógico del centro.

De la secuenciación de contenidos, la opción metodológica, los criterios de

evaluación, el material, entre otros aspectos, definidos en el Proyecto Curricular de Área, de Etapa y de Centro.

Por lo tanto, antes de que los profesores se centren en la elaboración de las U.D.s habrán tenido que realizar un trabajo en otro nivel de concreción, en cuanto a la secuenciación de los contenidos, determinación de los objetivos y de la


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metodología general y sobre las intenciones educativas, recogidos todos ellos en el Proyecto Curricular de Área, que forma parte del Proyecto Curricular de Centro (P.C.C.)

En resumen,

La U.D. es un conjunto articulado de actividades que constituye un proceso completo de enseñanza-aprendizaje susceptible de ser evaluado globalmente, que tiene como elementos básicos:

o objetivos didácticos y competencias básicas que se trabajan,

o contenidos,

o estrategias metodológicas específicas del tema,

o recursos y materiales utilizados,

o actividades de enseñanza y aprendizaje, y de evaluación.

o procedimientos y criterios para la evaluación, así como los criterios calificadores.

Podemos decir que en el marco de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (L.O.E.), las unidades didácticas están configuradas por una serie de componentes relativos al qué, cómo y cuándo enseñar y evaluar la consecución de los objetivos y competencias básicas alcanzadas, así como el grado de asimilación de los distintos contenidos correspondientes a dicha unidad. Como síntesis general, podemos concretar que los elementos genéricos de una Unidad Didáctica (U.D.) son los que aparecen en el siguiente esquema relacional:

Además, el diseño de la U.D. es una labor que está siempre abierta y en continua revisión, ya que es susceptible de mejora o cambio, a partir de la constante reflexión e investigación de los profesores sobre su labor educativa. Por tanto, la elaboración de unidades didácticas puede convertirse en un pretexto o estrategia para el desarrollo profesional basado en la investigación, realizada por los propios profesores en torno a su propio trabajo.

La presente U.D. está diseñada sobre el Decreto que establece el “Currículo Extremeño de ESO” (Decreto 83/2007, de 24 de abril), que desarrolla y adapta los Reales Decretos de Enseñanzas Mínimas para la E.S.O. (Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre), a nuestra Comunidad Autónoma. En este currículo se incorporan por primera vez las competencias básicas, que permiten identificar aquellos aprendizajes que se consideran

COMPETENCIAS

BÁSICAS

Atención a la diversidad


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imprescindibles desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos, que el alumnado deberá desarrollar en la Educación Primaria y alcanzar en la Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O).

Finalmente, indicar que el proceso evaluador está regulado en la Orden de 26 de

noviembre de 2007 por la que se regula la evaluación del alumnado en la E.S.O. 2-. INTRODUCCIÓN. DATOS IDENTIFICATIVOS, CONTEXTO Y RELACIÓN CON LOS D.C.B.

Título de la Unidad: “ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO”

Área o materia: Matemáticas.

Nivel educativo: Tercero de Educación Secundaria Obligatoria.

Ubicación temporal: Segundo trimestre.

Tema específico.

En la presente Unidad Didáctica, nos centraremos fundamentalmente en el análisis y resolución de un tipo de ecuación específica: la ecuación de segundo grado. El tema, que se desarrollará desde dos perspectivas (una procedimental, y otra funcional y aplicada para la resolución de problemas), permite el tratamiento de otros contenidos y elementos transversales del currículo, como veremos más adelante. Además, con el desarrollo de las diferentes actividades de E/A que propondremos se desarrollarán, en mayo o menor medida, las ocho competencias básicas de la etapa de la E.S.O., como más adelante expondremos.

Justificación e importancia de la U.D.

La importancia de la presente U.D. en el desarrollo curricular de la materia, en 3º de

ESO, es evidente, no solo desde el punto de vista de la matemática, sino también del resto de ciencias aplicadas y experimentales: el uso de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales representa multitud de fenómenos de nuestro contexto real, a la misma vez que su manejo se hace necesario en asignaturas como Física y Ciencias Naturales. Por ejemplo, el estudio en física de los movimientos de objetos en caída libre, o los tiros parabólicos, requieren del análisis de ecuaciones de grado 2.

Características del grupo en el que se aplicará la U.D.

La Unidad didáctica está diseñada para ser desarrollada con un grupo de 20-25 alumnos, en un I.E.S. situado en un entorno semi-rural. La dotación del centro en cuanto a recursos materiales, tecnológicos y humanos es suficiente para garantizar en principio una educación de calidad, con una ratio de un profesor por cada 25 alumnos, y un ordenador por cada dos alumnos.

El grupo está conformado por una heterogeneidad de personalidades, estilos de

aprendizaje, capacidades e intereses personales. Hay tres alumnos con Necesidades Educativas Específicas de Apoyo Educativo(A.N.E.A.E.): uno con discapacidad auditiva, otro alumno con Alta Capacidad Intelectual pero con desmotivación y apatía por la materia, y por último un alumno inmigrante con carencias en la Lengua Castellana y en Matemáticas, con desfase curricular de 1 año, sin problemas aparentes de adaptación social. En el apartado 8, dedicado a la atención a la diversidad, expondremos las medidas específicas a tomar con estos alumnos.

En general, tras revisar los informes del curso anterior, el alumnado tiene un

rendimiento medio-bajo, lo cual deberá ser tenido en cuenta para realizar un diseño ajustado a su realidad y a sus conocimientos previos. Dos alumnos son repetidores, y otros tres tienen la


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asignatura pendiente del curso anterior, debiendo estar atendidos con un plan especial de recuperación ad hoc. Debemos realizar un análisis de la situación competencial de cada uno de los alumnos por separado, para realizar un tratamiento adecuado de la diversidad de nuestras aulas; partiremos, en este sentido, de la evaluación diagnóstica realizada al terminar 2º de ESO.2

La disposición en el aula, solo hace posible –en principio- que se dispongan por

parejas, al estar informatizada. No obstante, se llevarán a cabo actividades que necesiten de otras configuraciones y organizaciones espaciales, para las que deberán determinarse lugares adecuados (fuera del aula), o bien establecer medidas organizativas especiales (dentro del aula).

RELACIÓN CON LOS D.C.B.3 Y PROGRAMACIÓN.

En cuanto a la relación del tema con los D.C.B, el tema no aparece dentro del bloque “Álgebra” ni en 1º de E.S.O. ni en 2º de E.S.O., si bien es cierto que en 1º de ESO se imparten los siguientes contenidos relacionados (entre otros):

1. Empleo de letras para simbolizar números inicialmente desconocidos y números sin concretar.

2. Utilidad de la simbolización para expresar cantidades en distintos contextos. 3. Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.

En primero de E.S.O. no se imparte el concepto de ecuación de grado 1 como tal, ni

por supuesto el de ecuación de grado 2; sino que más bien se pretende adquirir la capacidad para utilizar letras que representen cantidades y para obtener valores numéricos a partir de fórmulas o expresiones que representen situaciones significativas para el alumno.

En 2º de ESO aparecen expresamente los siguientes contenidos relacionados:

1. Utilización del lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones.

2. Obtención del valor numérico de una expresión algebraica.

3. Uso de la hoja de cálculo para obtener valores de expresiones y para analizar regularidades.

4. Significado de las ecuaciones y de las soluciones de una ecuación. Resolución de ecuaciones de primer grado. Transformación de ecuaciones en otras equivalentes. Interpretación de la solución.

5. Traducción al lenguaje algebraico de relaciones entre magnitudes y de la información contenida en enunciados de problemas.

6. Utilización de las ecuaciones para la resolución de problemas. Resolución de estos mismos problemas por métodos no algebraicos: ensayo y error dirigido.

En este curso se pretende fundamentalmente que adquieran la capacidad para expresar

en términos algebraicos relaciones lineales frecuentes en la vida diaria (porcentajes, proporciones...) y la capacidad para resolver ecuaciones de primer grado independientemente del método utilizado. Es de destacar el uso de la hoja de cálculo a partir de este nivel de la ESO. No tendría cabida la resolución de ecuaciones de grado 2, si bien podría ser un contenido de ampliación para los que así lo requiriesen.

2 Se hará por primera vez en el curso 2008/2009 (ver calendario de implantación L.O.E.). 3 Diseños Curriculares Base, es decir, los currículos oficiales (nivel estatal, nivel autonómico).


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Ya en 3º de ESO aparecen los siguientes contenidos del bloque de “Álgebra” relacionados con la presente unidad:

1. Necesidad del lenguaje algebraico. Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico.

2. Expresiones algebraicas de uso frecuente, polinomios. Operaciones básicas con expresiones. Transformación de expresiones algebraicas. Igualdades notables.

3. Utilización de la hoja de cálculo para obtener el valor numérico de expresiones algebraicas.

4. Identidades y ecuaciones. Ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Soluciones.

5. Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y de sistemas de ecuaciones lineales utilizando diversos métodos: informales, algorítmicos, gráficos... Utilización de la hoja de cálculo.

6. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.

7. Formulación y resolución de problemas con enunciados cercanos al alumno en el contexto extremeño mediante ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y otros métodos personales, valorando si la solución o soluciones obtenidas son coherentes.

Fundamentalmente, al finalizar este bloque de contenidos, se pretende que el alumno adquiera la capacidad básica para utilizar ecuaciones y sistemas de ecuaciones en situaciones concretas que deben ser previamente traducidas al lenguaje algebraico. Dado que los métodos algebraicos no son los únicos que permiten resolver problemas, aquí se evalúa también la elección del procedimiento más adecuado: numérico, gráfico o algebraico. Hecho importante es que no aparecen las inecuaciones, aunque podría abordarse como contenido de ampliación.

Finalmente será en 4º de E.S.O. donde se realice un estudio más detallado del tema,

ampliando lo impartido en 3º, estudiando incluso sencillos sistemas de ecuaciones no lineales cuya resolución requerirá del conocimiento de las ecuaciones de grado 2, y potenciando aún más si cabe, el uso de la hoja de cálculo entre otras herramientas informáticas.

Asimismo, se ampliará con el concepto de inecuaciones lineales y no lineales, y el

estudio de otro tipo de ecuaciones (bicuadradas, irracionales), en la opción B. Mientras que en la opción A no es prescriptivo, aunque pueden abordarse como contenido de ampliación y profundización.

CONOCIMIENTOS PREVIOS NECESARIOS.

Es el profesor, tras la evaluación y diagnóstico inicial, quién debe determinar los aspectos a tratar y el nivel de profundidad. No obstante, al tratarse del quinto tema de la Programación Didáctica de la asignatura, el profesor controlará en mayor medida cual es el nivel de competencia con el que parte el alumno.

En 2º de ESO se han estudiado las expresiones algebraicas y las ecuaciones de grado

1. Además, se han abordado contenidos referentes a los contenidos citados y a los sistemas lineales (en la UD anterior). Por tanto, se debe presuponer que el alumno manejará con cierta soltura:


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a) Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones; ecuación de primer grado; solución de una ecuación de primer grado e interpretación gráfica.

b) Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos. Interpretación gráfica. c) Utilización de expresiones algebraicas para expresar enunciados verbales sencillos. d) Conocimientos básicos de geometría. e) Uso de las reglas básicas de la calculadora y manejo apropiado de la hoja de cálculo,

así como del uso del ordenador en general y la navegación por Internet.

En esta unidad resulta imprescindible que el alumno tenga cierta fluidez en las operaciones con números enteros, racionales y en el uso de paréntesis. Por otro lado, puesto que la aparición de este tipo de cálculos es constante a lo largo de todos los ejercicios propuestos, inevitablemente se afianzarán estas destrezas.

A pesar de que se ha tratado en cursos anteriores la resolución de ecuaciones de primer

grado, en el presente curso nos detenemos también en el repaso de estas técnicas para evitar que ningún alumno tenga problemas para comprender la materia por falta de conocimientos previos. Sin embargo, sí que es cierto que se pasa de una forma rápida por el tratamiento de las ecuaciones de primer grado, luego sería bueno que se insistiera en la importancia de que los alumnos que tengan problemas en este sentido realicen ejercicios de repaso y refuerzo para adquirir al nivel deseado.

Es importante también que los alumnos recuerden las propiedades básicas del cálculo algebraico: suma y producto de monomios y binomios e igualdades notables.

TEMPORALIZACIÓN y SECUENCIACIÓN.

La UD se desarrolla en el segundo trimestre del curso, siendo la tercera del bloque

de “Álgebra”, y la primera de la segunda evaluación. En cuanto a la temporalización y secuenciación generales, y dentro del desarrollo lógico de esta Programación Didáctica Anual, el tema se concibe para ser desarrollado tras el tema referente “Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado”, abordado en la U.D. anterior. Así garantizamos un manejo adecuado de las expresiones algebraicas, que se presupone el alumno posee.

Nota: Otro modo de abordar la secuencia de UDs podría ser centrarse en las ecuaciones de grado 1 y grado 2 en la unidad anterior; como sus métodos de resolución son bastante independientes, hemos optado por introducir primero los sistemas de ecuaciones lineales, y dejar para la presente U.D. las ecuaciones de grado 2.

Se estiman necesarias unas 7 sesiones de 50 minutos, más 2 de ampliación, si se aprecia conveniente; aunque esto es variable, en función de la evolución de los alumnos, de los conocimientos previos y del desarrollo de las actividades. Cada sesión se desarrolla como sigue:

FASE DE PRESENTACIÓN-MOTIVACIÓN. DETECCIÓN DE IDEAS PREVIAS. - Introducción o repaso de la clase anterior. Aclaración de dudas en común si ha

lugar (5 minutos).

FASE DE ANÁLISIS DE LOS CONTENIDOS.

- Exposición teórica de conceptos y procedimientos. Fase de exposición y contraste de ideas, debate. (unos 20 minutos).

FASE DE SÍNTESIS Y TRANSFERENCIA. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO.

- Ejercicios, Actividades y Problemas de transferencia del conocimiento (25

minutos).


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No debemos centrarnos en uno de estos tres aspectos únicamente, ya que corremos el riesgo de que el alumno se aburra y desmotive al avanzar la sesión. Además, cada alumno tiene unas características específicas, y con esta división de trabajo se fomenta y favorece el respeto de dicha diversidad. No obstante, se recomienda un progresivo aumento del tercer apartado a medida que se desarrolle la U.D., para que el alumno profundice en la ejecución de actividades y resolución de problemas, desde un punto de vista cercano, motivador y significativo. 3-. OBJETIVOS.

a) De Área en la etapa de ESO y de Área en 3º de ESO.

La U.D. tiene como fin que el alumno consiga los siguientes objetivos generales del

área de Matemáticas de la etapa de la ESO, en términos de capacidades, estrechamente ligados a la misma: 1 Mejorar la capacidad de pensamiento

reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana.

2 Reconocer y plantear situaciones

susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos y abordarlas siguiendo los protocolos habituales en matemáticas.

3 Utilizar técnicas y procedimientos

matemáticos para interpretar la realidad, cuantificándola con el tipo de número más adecuado y analizando los datos mediante los cálculos apropiados a cada situación.

4 Identificar los elementos matemáticos

(datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información valorando críticamente su utilidad a la hora de facilitar la comprensión de los mensajes.

5 Identificar las formas y relaciones geométricas presentes en la vida cotidiana, analizar sus propiedades y elementos característicos y apreciar la belleza y utilidad de las mismas.

6 Utilizar de forma adecuada los distintos

medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa.

7 Actuar ante los problemas que se plantean en la

vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

8 Elaborar con flexibilidad estrategias personales

a la hora de analizar situaciones o identificar y resolver problemas, utilizando las herramientas matemáticas a su alcance y revisando las propias estrategias cada vez que las evidencias así lo aconsejen.

9 Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas.

10 Integrar los conocimientos matemáticos en el

conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas materias, dándoles sentido, utilizándolos cada vez que la situación lo requiera y percibiendo las aportaciones de las matemáticas a otras áreas de conocimiento.

11 Valorar las Matemáticas como parte integrante

de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual.

12 Aplicar las competencias matemáticas

adquiridas para analizar y comprender la realidad circundante y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica.

Nota. Estos objetivos de la etapa de la E.S.O. son de tipo general, y en principio es difícil para el que expone la U.D. decir cuál no se desarrolla en la U.D., pues seguramente lo hacen todos, en uno u otro grado. Deberán, por tanto, ser concretados en la Programación Didáctica del Departamento, para el curso de 3º de E.S.O., y estos sí que podrán citarse y relacionarse a la hora de exponerla. Esta Unidad Didáctica no trabajará, presumiblemente, todos esos objetivos que propongamos para 3º, que por otra parte mucho más concretos que los generales y


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orientados ya por bloques de contenido. Aconsejamos por este motivo, que en la exposición de la U.D., nos centremos en aquellos con los que tiene estrecha relación.

A continuación exponemos, de entre los objetivos generales de 3º de E.S.O para el área

de Matemáticas (propuestos en la Programación Didáctica), los que se desarrollarían en esta U.D.:

1. Incorporar, al lenguaje y a formas habituales de argumentación, las distintas formas de expresión

matemática (numérica, algebraica, de funciones, geométrica...) con el fin de mejorar su comunicación en precisión y rigor. (concreción del Obj. Área 1).

2. Valorar las virtudes del lenguaje algebraico y valerse de él para representar situaciones diversas y

facilitar la resolución de problemas. (concreción de los Obj. Área 2, 6, 7, 8, 9 y 12).

3. Utilizar algoritmos y procedimientos de polinomios y fracciones algebraicas para resolver problemas. (concreción de los Obj. Área3 y 8).

4. Resolver ecuaciones de grado 1, grado 2 y sistemas lineales de ecuaciones en un contexto de

problemas reales cercanos al alumno. (concreción de los Obj. Área 2, 7 y 9).

5. Actuar en los procesos de resolución de problemas al modo de trabajo matemático, como la formulación de conjeturas, la realización de inferencias y deducciones, organizar y relacionar información. (concreción de los Obj. Área 1, 2, 3, 7, 8 y 9).

6. Conocer técnicas heurísticas para la resolución de problemas y desarrollar estrategias personales,

utilizando variados recursos y valorando la riqueza del proceso matemático de resolución. (concreción de los Obj. Área 3, 7 y 9).

7. Utilizar los medios tecnológicos e informáticos adecuados a cada situación y problema, de manera

racional y crítica, entre los que cabe destacar la calculadora, la hoja de cálculo y la navegación y búsqueda de información a través de Internet. (concreción del Obj. Área 6).

b) Específicos de la U.D. (concreción de los anteriores)

Al finalizar la U.D. el alumno habrá desarrollado los siguientes objetivos en términos de capacidades:

1.-Aplicar con soltura y corrección las técnicas básicas de resolución de las ecuaciones de grado 2, interpretando las soluciones adecuadamente. (concreción del objetivo 6).

2.-Identificar y aplicar correctamente en cada clase de ecuación de grado 2 el método de resolución de la misma (despeje, sacar factor común, utilizar la fórmula general). (concreción del objetivo 6). 3.-Conocer el lenguaje algebraico para representar y resolver situaciones de la vida cotidiana.(concreción de los objetivos 1, 2 y 3). 4.-Trasladar al lenguaje simbólico frases sencillas de contenido numérico, y viceversa. (concreción de los objetivos 1 y 2). 5.-Manejar y utilizar con rigor la terminología y nomenclatura de las ecuaciones de segundo grado. (concreción del objetivo 1). 6.-Distinguir y resolver los diferentes tipos de ecuaciones de grado dos incompletas. (concreción de los objetivos 4 y 6). 7.-Resolver ecuaciones de grado dos completando cuadrados y mediante la fórmula general.(concreción de los objetivos 3, 4 y 6). 8.-Reconocer si un valor dado es solución o no de una ecuación de segundo grado.(concreción de los objetivos 6 y 7). 9.-Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de segundo grado.(concreción de los objetivos 4 y 5).


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10.-Resolver ecuaciones de segundo grado por los distintos métodos: algebraico, gráfico,... (concreción de los objetivos 1 y 6).

Los objetivos de ampliación por grados de dificultad podrían ser:

- Interpretar gráficamente, utilizando la representación gráfica de la parábola asociada, el

concepto de solución de una ecuación de grado 2 (ampliación, nivel 1).

- Resolver ecuaciones bicuadradas (ampliación, nivel 2). 4-. COMPETENCIAS BÁSICAS QUE SE TRABAJAN.

Las competencias básicas definidas en el RD de Enseñanzas Mínimas de la E.S.O. son ocho:

C1. Competencia en comunicación lingüística. C2. Competencia matemática. C3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. C4. Competencia en el tratamiento de la información y competencia digital. C5. Competencia social y ciudadana. C6. Competencia cultural y artística. C7. Competencia para aprender a aprender. C8. Competencia para la autonomía e iniciativa personal.

En la presente U.D. se trabajan las siguientes competencias básicas en Matemáticas, que aparecen referidas al resto de las competencias básicas con las que tienen mayor relación:

• Analizar fenómenos físicos, sociales o provenientes de la vida cotidiana que puedan ser expresados mediante ecuaciones para comprender la utilidad de saber plantear y resolver ecuaciones (C2, C3).

>> Relacionado con los objetivos didácticos 3 y 9.

• Conocer y comprender los distintos métodos de resolución de ecuaciones y saber decidir cuál es el más apropiado para cada caso concreto (C2, C7, C8).

>> Relacionado con los objetivos didácticos 1, 2, 6 y 7.

• Valorar la riqueza que supone el hecho de que no haya un único modo de abordar y obtener la solución de un problema, y apreciar las ventajas de analizar una situación desde distintos puntos de vista (C2, C5).

>> Relacionado con el objetivos didáctico 7.

• Utilizar las relaciones entre los métodos gráficos y algebraicos de resolución de ecuaciones para conocer y comprender la interacción entre las distintas ramas de las matemáticas (C2, C4).


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>> Relacionado con el objetivo didáctico 10.

5-. CONTENIDOS:

Distinguiremos los siguientes contenidos relacionados fundamentalmente con el bloque

de “Álgebra” del Currículo de la ESO para Matemáticas, si bien también lo están con otros bloques como el de “Contenidos comunes” (que engloba procedimientos y actitudes generales).

5.1-. Conceptuales (hechos, principios, teorías):

Conceptos Sesión

Introducción histórica. Ecuaciones de segundo grado. Tipos. Soluciones.

1ª

Resolución de ecuaciones incompletas.

a-. Tipo I. Despejando directamente “x2”.

1ª

Resolución de ecuaciones incompletas (continuación)

b-. Tipo II. Sacando factor común “x”.

2ª

Resolución de ecuaciones completas. Fórmula general.

3ª

Resolución de ecuaciones completas. Fórmula general (continuación). Clasificación de las soluciones según el discriminante.

4ª

Método de completar cuadrados. Factorización. Relaciones de Cardano

5ª

Diferentes tipos de problemas donde aparecen:

Geométricos. Proporcionalidad inversa.

6ª

Diferentes tipos de problemas donde aparecen (continuación):

Numéricos. Trayectorias parabólicas. Caída libre de un cuerpo.

7ª

Actividades de síntesis, refuerzo, repaso y /o profundización.

8ª / 9ª


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Contenidos de ampliación: Nivel 1-. Interpretación gráfica de las soluciones: representación de una parábola (con Descartes). Nivel 2-. Resolución de ecuaciones bicuadradas.

8ª / 9ª

Nota. Por ser un contenido nuevo (primera vez que se ve en toda la ESO), es posible que algunos alumnos tengan dificultades a la hora de resolver dichas ecuaciones y necesiten de sesiones de profundización y refuerzo. Por tanto, para aquellos alumnos, que hayan alcanzado los objetivos (mínimos) propuestos verán los contenidos de ampliación en función de sus capacidades, si bien los alumnos con dificultades se centrarán en realizar otras dos sesiones de problemas para reforzar los conocimientos y superar las dificultades. 5.2-.Procedimentales (habilidades, estrategias, destrezas):

Los siguientes se trabajarán con respecto a los conceptuales, pero no en sesiones

concretas, sino a lo largo de toda la U.D.:

1. Interpretación de ecuaciones y soluciones de una ecuación.

2. Transformación de ecuaciones en otras equivalentes.

3. Resolución de ecuaciones de primer grado.

4. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas.

5. Reconocimiento de coeficientes de una ecuación de segundo grado.

6. Cálculo del número de soluciones de una ecuación de segundo grado en función del signo del discriminante.

7. Planteamiento de ecuaciones para la resolución de problemas sencillos.

8. Interpretación de las soluciones de una ecuación en el contexto de la resolución de problemas.

9. Uso del método de resolución geométrico de Al- Khwarizmi.

Contenidos procedimentales de ampliación serán:

1. Representación gráfica y análisis de una parábola con el ordenador.

2. Resolución de ecuaciones bicuadradas.

5.3-.Actitudinales (actitudes, valores y normas):

1. Valorar la utilidad de los métodos de resolución de ecuaciones para representar,

comunicar o resolver situaciones de los ámbitos cotidianos, científicos y técnicos.

2. Curiosidad e interés por enfrentarse a problemas que comportan el uso del lenguaje

algebraico.

3. Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de solución a los problemas.

4. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias

personales de cálculo.

5. Interés por la Historia del Álgebra.

6. Gusto por la presentación ordenada de los procesos y resultados obtenidos en la

resolución de problemas.


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7. Reconocimiento y valoración crítica de los medios tecnológicos como instrumentos

útiles para el conocimiento matemático.

5.4-. Elementos o contenidos transversales. Algunas propuestas sobre actividades que desarrollen transversales: 1. Educación para el consumidor: Trabajaremos con porcentajes, generalmente en

situaciones de compra y venta. Puede aparecer en los ejercicios y problemas el tema de los impuestos, como el IVA. Trataremos de crear en ellos actitudes de consumo crítico y responsable. Otra posibilidad son los conocidos problemas de mezclas.

2. Educación vial. Mediante el planteamiento de problemas de móviles, se hará hincapié

en la necesidad de respetar las normas viales. 3. Educación para la igualdad entre los sexos. Mediante actividades donde se haga

referencia a personas de distinto género.

4. Educación para la salud. Sobre todo la psíquica, fomentando el orden y el rigor en las actividades programadas. También ecuaciones de la masa corporal en función de la estatura y el peso, que vienen bien para tratar el tema de la bulimia y la anorexia.

5. Educación para el respeto de otras culturas. En la unidad se estudia el papiro de

Rhind y los métodos algebraicos y geométricos del matemático árabe Al-Khwarizmi. Comentar la enorme importancia del legado árabe en la transmisión cultural, no sólo en las matemáticas sino en otros aspectos de la cultura. Despertar en los alumnos el interés por conocer otras culturas, sus creencias, instituciones y conocimientos y desarrollar en ellos actitudes de convivencia pacífica, respeto y colaboración con grupos culturalmente diferentes.

6. Educación por el valor del propio esfuerzo personal. En la tenacidad y autoconfianza

para la resolución de los problemas que aparezcan.

7. Educación por el respeto hacia los demás. Valorando positivamente los diferentes puntos de vista de los compañeros en la resolución de las distintas actividades y planteamientos de las mismas.

6-. METODOLOGÍA. 6.1-. Aspectos metodológicos particulares del tema.

En el desarrollo de la Programación Didáctica se tratarán los principios metodológicos

más generales; en esta Unidad Didáctica resaltamos, por su importancia:

1. Debido a la introducción de las competencias básicas se deberá plantear los contenidos desde una perspectiva integradora y funcional.

2. Un diseño que respete a la diversidad. 3. La metodología deberá fomentar el desarrollo del sentido crítico, la confianza

en sí mismo y la capacidad para el autoaprendizaje, la toma de decisiones y la asunción de responsabilidades, así como el trabajo en equipo.

4. Facilitar la construcción de aprendizajes significativos, sobre los conocimientos

previos y esquemas del alumno.


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5. Garantizar la funcionalidad de los aprendizajes. La intervención educativa se

dirigirá a garantizar la funcionalidad de los aprendizajes, es decir, que las competencias básicas y los conocimientos que se adquieran en el aula puedan ser utilizados en cualquier situación real que lo requiera.

6. Se utilizarán metodología que fomenten la motivación del alumno: el grado

de motivación del alumno afecta directamente a su rendimiento. 7. Trabajar desde el punto de vista de la resolución de problemas cercanos los

intereses del alumno, a la hora de introducir los contenidos. 8. Búsqueda de estrategias superiores por parte del alumno.

Finalmente, recordar que el aumento progresivo del alumnado procedente de otras

culturas permite trabajar de manera más activa la necesaria sensibilidad hacia una convivencia intercultural, basada en la tolerancia y en el rechazo a la marginación por motivos culturales, étnicos, religiosos, de género o sociales, desde el conocimiento de esas realidades diferentes

La unidad se iniciará con explicaciones y actividades que persiguen un doble objetivo: evaluar los conocimientos previos y motivar a los alumnos por la consolidación de estos contenidos. El profesor debe diseñar las clases de modo que el alumno no se aburra ni desmotive, mezclando explicaciones teóricas con el trabajo práctico, y proponiendo una amplia gama de actividades, problemas, lecturas, trabajos de investigación en grupo, discusiones y debates, etc.

En este sentido, se pueden realizar las siguientes actividades EN GRUPO:

Señalar la presencia de las ecuaciones de grado 2 en contextos reales (sociales,

económicos, relacionados con ciencias de la salud, la física…).

Traducir al lenguaje algebraico expresiones en castellano, que se traduzcan en ecuaciones de segundo grado.

Resolver a “ojo” sencillas ecuaciones de grado 2 (por ejemplo, x2-1=0).

Para intentar salvar las dificultades que puedan aparecer, será conveniente realizar las

siguientes actividades INDIVIDUALMENTE :

Resolver ecuaciones de grado 2 por los métodos habituales, analizando cada uno como el más adecuado.

Traducir y resolver problemas reales al lenguaje algebraico de las ecuaciones de

grado 2.

Interpretar gráficamente las soluciones de las ecuaciones de segundo grado (actividad de ampliación).

Resolver geométricamente dichas ecuaciones (actividad de ampliación).

El tema debe abordarse incluyendo numerosos problemas prácticos que permitan

afianzar los conceptos significativamente, no debe abusarse de la justificación teórica de los métodos o interpretaciones geométricas.

Resumen general del proceso expositivo.

El estudio de las ecuaciones y su resolución resulta de vital importancia por su

aplicación en diferentes campos de conocimiento. La resolución de ecuaciones es una técnica imprescindible para el alumno. Se inicia su estudio en primero de ESO, en segundo se incide de


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nuevo en el mismo punto, y en tercero, los alumnos deberían alcanzar bastante destreza en la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

Partimos del conocimiento de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, que se han tratado en cursos anteriores. Una vez introducidas, pasamos a las formas de resolución de ecuaciones de segundo grado, en primer lugar las ecuaciones incompletas y después las ecuaciones completas, siempre bajo el análisis previo del discriminante.

Otro de los aspectos importantes del tema es la resolución de problemas. Es fundamental que los alumnos aprendan a traducir a lenguaje algebraico situaciones diversas: que a partir de una lectura detenida busquen las incógnitas, interpretando los datos del enunciado en función de esa elección, y que una vez que hayan resuelto la ecuación planteada, interpreten los resultados en el contexto del problema. Exposición de las diferentes fases.

Algunas indicaciones que se proponen serán: a) Fase de presentación y motivación inicial: al comienzo, se repasarán

conocimientos previos necesarios para el tema, comprobando las lagunas de aprendizaje y dificultades, que permitirán al profesor reajustar su intervención docente y la realización de adaptaciones si son necesarias. Se presentarán actividades sobre aspectos conocidos por el alumno, y que por tanto sirvan de estímulo motivador para ellos (ver actividades de iniciación-motivación).

Dentro de esta fase, se entiende que debe aparecer la presentación de un

esquema inicial y objetivos: es importante que el alumno conozca el índice de contenidos de la UD., mediante un esquema, y los objetivos a alcanzar en la misma. Partimos de unos conocimientos previos, más o menos asentados, al ser un tema que ya se ha tratado en cursos anteriores.


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b) Análisis de los contenidos: se utilizarán en la medida de lo posible métodos inductivos, que hagan inducir al alumno pensamientos generales, aunque sin abandonar el método deductivo cuando así se considere oportuno. El alumno ya tiene asimilados conceptos como el de igualdad algebraica, identidad y ecuación; ecuación equivalente; la “ regla de la suma y del producto” para obtener equivalencias, y las normas de la “transposición de términos”. Así como lo referente a la resolución de los sistemas de ecuaciones.

En el tema anterior nos centramos en gran medida en resolver problemas,

intentando generalizar una estrategia superior a la hora de abordarlos (comprensión, planteamiento, resolución, comprobación), que el alumno asimile claramente. Estos esquemas y estrategias serán transferidos ahora a otros problemas con ecuaciones de grado dos.

Ni que decir tiene que, si el alumno sigue teniendo dificultades a la hora de

manejar expresiones algebraicas sencillas y de grado 1, deberemos seguir reforzando estos contenidos con actividades de repaso. Algunos comentarios metodológico-didácticos sobre el tema son:

1.- ¿Cómo introducir la ecuación de segundo grado? A la hora de introducir la expresión general de una ecuación de grado dos se

suele utilizar la figura del polinomio ordenado de grado dos; de modo que lo que hacemos es igualarlo a cero y por tanto hallar sus raíces. Se recordará que, según el teorema del álgebra, pueden tener como máximo dos raíces reales.

Las ecuaciones de segundo grado suponen el primer acercamiento de los

alumnos a ecuaciones en las que podemos tener varias soluciones; se trata de un cambio muy significativo respecto a las ecuaciones de primer grado. Es importante que los alumnos sean conscientes de que hay muchos tipos de ecuaciones y de que el tipo de ecuación determina las técnicas para su resolución y su posible número de soluciones.

2-. Concepto de equivalencia.

El estudio de la equivalencia en ecuaciones de segundo grado ayudará a profundizar en el concepto de solución y es útil en la simplificación de ecuaciones previa a la resolución.

3-. Tipos de ecuaciones incompletas.

Es importante que los alumnos perciban la importancia de resolver cada nuevo problema que se presente con el método más sencillo posible, y en este sentido, el estudio de las ecuaciones de segundo grado incompletas con métodos particulares resulta especialmente interesante. Los métodos de resolución en este caso no presentan ninguna técnica nueva, pues utilizan recursos conocidos por los alumnos: extracción de factor común y aislamiento del término desconocido de la ecuación.

Se presentarán al alumno los tres tipos de ecuaciones incompletas y los

métodos para resolverlas, incidiendo especialmente en el hecho de las dos soluciones que posee toda raíz cuadrada (donde suelen tener problemas). También suelen tener dificultades a la hora de extraer el factor común en las del


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tipo: ax2+bx=0. Será momento de recordar este procedimiento que suelen aplicar erróneamente.

Resulta útil plantear este estudio de ecuaciones incompletas como previo a la introducción de la fórmula general de resolución para que los alumnos comprendan la imposibilidad de aplicar métodos básicos, como los que se utilizan aquí, para la resolución de las ecuaciones de segundo grado completas.

4-. La ecuación completa.

La fórmula general de resolución se introducirá sin demostrarla, y en todo

caso, se hablará del discriminante para clasificar la ecuación según sus soluciones. El método de completar cuadrados está directamente en relación con el

conocimiento de las fórmulas notables, y aunque al introducirlo suele causar algún tipo de problema, con un entrenamiento adecuado el alumno termina por controlarlo bien.

Ejemplo: Resuélvase x² - 6x + 5 = 0 por el método de completar cuadrados.

Solución : x² - 6x = - 5. � x² - 6x + 9 = - 5 +9 � (x - 3)² = 4� x - 3 = 2 ó x - 3 = - 2,

y el conjunto solución es {1,5}.

5-. La factorización:

Se presentará la forma estándar para factorizar según las dos raíces obtenidas; si se cree conveniente, por su sencillez y utilidad para comprobar las soluciones obtenidas, se pueden indicar las relaciones de Cardano-Viete.

6-. La interpretación geométrica: método de Al-Khwarizmi. En la actividad llamada “Tablero de Al-Khwarizmi” (ver anexo) se trabajará la

resolución geométrica de una ecuación por completación de cuadrados. Es un interesante ejercicio que hace ver al alumno la utilidad del álgebra en geometría y viceversa, encontrando otro método tan válido como el algebraico para resolver ecuaciones de grado 2. (ver actividades de ampliación).

7-. La interpretación gráfica. Dentro de la UD puede explicarse la representación gráfica de una parábola,

estudiando únicamente vértice y puntos de corte con OX; el alumno deberá inferir que las soluciones obtenidas por la aplicación de los métodos algebraicos son precisamente los puntos de corte de la parábola con el eje de las X.

8-. Resolución de problemas. Tras una fase (debe ser el menor tiempo posible) donde solo resolveremos

ecuaciones independientes de contexto alguno, será en la resolución de problemas contextualizados donde centraremos el esfuerzo mayor. En problemas donde aparece más de una cantidad, medida o número desconocido, hay que hacer ver al alumno que siempre existe una forma de elegir la incógnita para poner la ecuación más sencilla.

La resolución de problemas es un aspecto básico del uso de ecuaciones, es la

finalidad fundamental de esta unidad, que todos los alumnos consigan ser capaces de resolver problemas sencillos, de enunciado directo y corto.


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Sin embargo, este es un punto en el que el nivel de dificultad es muy variado. Por ello se pueden presentar problemas de muy diferentes tipos: desde los más elementales hasta los más complicados, dependiendo del nivel de la clase en general y de cada alumno en particular. El carácter lúdico de este tipo de ejercicios puede resultar muy importante si los alumnos perciben la resolución de problemas como un juego.

Es muy importante, en esta unidad, la resolución de problemas. Se intentará

generalizar una estrategia superior a la hora de abordarlos (comprensión, planteamiento, resolución, comprobación), que el alumno asimile claramente, mediante los cuatro pasos lógicos:

Metaestrategia Acción

- Se debe hacer ver al alumno la importancia de comprobar la solución obtenida como un proceso que permite depurar errores cometidos.

- Se debe insistir en que la lectura comprensiva del enunciado es básica para poder traducir un determinado problema al lenguaje algebraico.

c) Fase de síntesis y transferencia: son aquellas actividades que permiten al alumno

recapitular, aplicar, generalizar los aprendizajes. Nos centraremos en las actividades más adelante.

6.2-. Recursos materiales y humanos.

La utilización de diversos recursos en el desarrollo del proceso de E/A favorece sin duda el

quehacer docente y el rendimiento del alumno, al acercar por diferentes medios y canales educativos un mismo contenido. Esto produce una mejor asimilación de contenidos y consecución de objetivos. En cuanto a los recursos espaciales generales, utilizaremos el aula habitual (informatizada), ya que no se requiere de otro espacio para ninguna actividad. Utilizaremos los siguientes recursos y medios didácticos:

Lectura y comprensión

Toma de datos

Traducción al lenguaje algebraico

Planteamiento de la ecuación o

sistema

Obtención de la solución Resolución de

la ecuación o sistema

Comprobación de la solución

Sustitución en la ecuación de la

solución obtenida


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libro de texto.

diversos libros de lectura.

la calculadora científica y el ordenador.

la pizarra.

medios audiovisuales (proyector del ordenador).

otros recursos manipulables (por ejemplo, juegos de dominó en los que intervengan

ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones; tablero

de Al-Kwarizmi).

Distintos medios de comunicación : tv, prensa, internet.

6.2.1-. Uso de las TIC`s.

La aplicación de las NNTT a los procesos de E/A debe contribuir a la mejora de la

calidad en la educación, al aumentar la formación de la persona y su motivación hacia el aprendizaje, y por otra parte, la posibilidad de crear, manipular, investigar y trabajar autónomamente. Así, en nuestro Currículo de E.S.O. se afirma…:

“Las tecnologías de la información y la comunicación constituyen un eje transversal del currículo que debe afectar a todas las actividades del proceso de enseñanza-aprendizaje, en concordancia con la estructura, ordenación y principios pedagógicos del modelo educativo extremeño.”

(Introducción al Currículo de Extremadura)

Pero esta utilización debe ser racional y crítica, claramente justificada en la situación en que se utilice, pues quizás otro recurso en esa situación permitiría una mejor aproximación al contenido: es decir, estarán al servicio del alumno y del profesor, nunca al revés. No deben, por tanto, ser un fin en sí mismos.

Algunos programas informáticos adecuados a esta U.D. pueden ser: el uso de la

Calculadora en el ordenador (Calculadora Linex, o Wiris) , del programa para presentaciones “Impress”, de los programas multimedia “Clic” y “Descartes”, el programa “Geogebra” (Linex) y la Hoja de Cálculo “Cáparra” (Linex). El programa Descartes.

1-. En la Web

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuacion_segundo_grado_interpretacion_geometrica/Ecuacion_segundo_grado_interpretacion.htm

se encuentra diseñada una UD práctica para la clase, sobre las ecuaciones de segundo grado. Fundamentalmente, con la misma podremos trabajar de manera sencilla y directa la resolución gráfica de las soluciones:


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2-.También en la web http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Cardano/index.htm puede trabajarse la resolución de ecuaciones de segundo grado a través de las fórmulas de Cardano:

Presentaciones en Impress. El Grupo de trabajo “DICOTIC”, tiene una web donde podemos descargar una presentación en Impress (es el equivalente del PowerPoint en Linex) sobre las ecuaciones de segundo grado; está accesible en: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~cephu3p/modules.php?name=Downloads&d_op=getit&lid=27

Presentación en Office-Impress


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Actividades con JAVACLIC.

Igualmente, en JAVACLIC , tenemos una página web en la que se puede estudiar las soluciones de una ecuación de primer y segundo grado; está accesible en

http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3319

Ejercicio en el que se pide calcular el discriminante; el ordenador responde si la respuesta es o no correcta. Se valora el tiempo, lo cual motiva al alumno a mejorar cada vez que “juega”.

Videos didácticos.

- Otro medio y otra actividad podría ser la visualización del video “Fermat, el margen

más famoso de la historia”, de la serie Universo Matemático, donde se habla de la famosa ecuación diofántica de Fermat, que se resolvió recientemente. Se visualizaría a través del ordenador del alumno.


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Imagen del video “Fermat, el margen más famoso de la historia” También el medio audio-visual podría ser adecuado aquí: algún video como “Del

baloncesto a los cometas” (Serie Universo Matemático), en el que se habla de los movimientos parabólicos y de las aplicaciones en la ciencia de las parábolas y las superficies parabólicas.

Geogebra. También Geogebra es un software que funciona en LINEX y es muy útil para la resolución

gráfica de ecuaciones. En la web:

http://linex.educarex.es/moodle/

tenemos acceso a multitud de aplicaciones interesantes. Por ejemplo:


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Interpretación gráfica de una ecuación con Geogebra

Uso de la calculadora WIRIS.

Se trata de una calculadora científica muy potente puede verse en la web de la Comunidad de Madrid (accesible desde el navegador Grulla de Linex):

http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

Podremos utilizar la calculadora WIRIS para resolver ecuaciones de grado 1 y 2.


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Otros recursos TIC en Extremadura. Finalmente, existen algunas aplicaciones diseñadas por compañeros docentes de IES en

Extremadura, entre las que destacamos por su interés:

- Cd “Matemáticas para la ESO aplicadas a la realidad extremeña”. Cd de actividades y problemas contextualizados en aspectos de la realidad extremeña.

- Aplicación 'Matemáticas para 3º de la ESO en Extremadura' . Los problemas y

ejercicios recogidos en este trabajo se plantean en distintas localidades de la Comunidad Autónoma Extremeña, o bien, tienen que ver con características propias de Extremadura.

Los colores azulados han sido utilizados para los problemas del bloque de Álgebra y Aritmética; los colores rosados para los problemas del bloque de Geometría; los colores verdes se han destinado para los ejercicios de Funciones y Gráficas; y los colores marrones han sido utilizados para los problemas de Estadística y Probabilidad. Entre otros recursos, esta aplicación cuenta con un juego que consiste en adivinar el nombre de distintos matemáticos, indicando las posibles letras que componen su nombre.

- Web “Matemáticas interactivas en la ESO Extremeña”. Incluye contenidos de todos los temas del currículum de 3º de ESO, y actividades sobre los mismos (tipo test, preguntas abiertas, etc.).

http://www.extremate.es/


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- “Zurbarán + ” para las matemáticas. Aplicación multiplataforma que ha sido especialmente diseñada para el estudio y resolución de problemas matemáticos planteados en Extremadura.

- “Álgebra con papas”. Plataforma con multitud de actividades del bloque de álgebra para la ESO, desde la que el alumno puede autoevaluarse y desarrollar distintas actividades de refuerzo. Accesible desde Linex.

http://www.iesjosehierro.org/Actividades/Algebraconpapas/ 6.3 -. Actividades de enseñanza-aprendizaje propuestas. Secuenciación.

Las actividades que se planteen deberán responder a las capacidades y objetivos y a

los contenidos expuestos, con el fin de alcanzar las competencias básicas en matemáticas. Las actividades serán diversas, para atender adecuadamente a la variedad de intereses, capacidades y motivaciones del aula. Deberán ir encaminadas también a favorecer la motivación por el


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aprendizaje de las Matemáticas, y a despertar el interés por el tema en cuestión. Siempre se tendrá en cuenta, a la hora del diseño, la capacidad, estilos de aprendizaje y conocimientos previos del alumno, entre otros factores contextuales:

En cuanto a la secuenciación, el desarrollo de las actividades propiciará un aprendizaje progresivo y gradual del alumno: debemos secuenciarlas de modo que el alumno se vaya enfrentando, paulatinamente, a tareas cada vez más complejas. Antes de comenzar la actividad: se comprobarán los conocimientos previos del alumno y su capacidad para realizarla; se dispondrán las acciones necesarias para despertar la motivación e interés por la misma. Fomentarán tanto el trabajo colaborativo como el autónomo, impulsando la interacción en el aula (verdadero motor del aprendizaje) y el aprendizaje por descubrimiento.

Nota. Las actividades podrán clasificarse por tipos en nuestra exposición, como aparece a continuación. Otro tipo de organización es secuenciándolas en las distintas sesiones donde deben desarrollarse según el contenido a impartir (véase el ANEXO I). En los treinta minutos que tenemos para exponer no da tiempo a relacionarlas todas con objetivos, contenidos, competencias, etc. Pero lo que sí podemos hacer es analizar profundamente una de ellas, como se expone en dicho ANEXO I.

Se proponen diversos tipos de actividades y ejercicios:

a) Actividades de iniciación, motivación y detección de ideas previas:

Como se trata de una continuación natural de las ecuaciones de grado 1 y sistemas de ecuaciones, no haremos aquí ninguna prueba inicial, pues el profesor debe disponer de suficiente información sobre las posibles dificultades del alumnado.

Act. Nº 1. Actividad de iniciación y motivación. Comenzaremos con una breve introducción histórica del Álgebra y del problema de la resolución de ecuaciones (Ferro, Scipio, Dalembert, Ruffini y Abel).

Ejemplo de introducción histórica.

La aparición del tratado Kitāb al-jabr wa al-muqābala, escrito por Mohammed ibn-Musa

al-Khwarizmi a principios del siglo IX, marca el comienzo del álgebra como tal disciplina matemática. En esta obra, Al-Kwarizmi elabora una teoría de de las ecuaciones de primer y segundo grado, resolubles por radicales, presentes en la resolución de un gran número de problemas de los más variados campos: aritméticos, geométricos, comerciales, reparto de herencias, partición de tierras, etc.

Sin restar méritos a la obra de de Al–kwarizmi, debe señalarse que fué deudora, como el

resto de la ciencia árabe, de las culturas que confluyeron en ella, principalmente la griega y la hindú, aunque también, a través de esta última, se detectan influencias de las matemáticas chinas. Los matemáticos árabes alcanzaron un alto nivel en el desarrollo del álgebra. Entre otras figuras prominentes cabe destacar la del poeta y matemático Omar Jayyam, que resolvió algunas ecuaciones de tercer grado por procedimientos geométricos (intersección de cónicas). La convergencia del álgebra hindú y la geometría griega en los inicios del álgebra planteó, a la larga, importantes limitaciones al pleno desarrollo de esta disciplina como, por ejemplo, la no

Capacidades ¿Hasta dónde puede llegar?

Conocimientos previos ¿De dónde partimos?

Estilo de aprendizaje ¿Cómo se siente más cómodo

aprendiendo?


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aceptación de soluciones negativas o complejas, de las que no pudo librarse hasta bien entrado el siglo XVII.

El álgebra pasó a Europa a través de la escuela de traductores de Toledo, donde se

trasladan del árabe al latín, entre otros, el Almagesto de Tolomeo y la obra de Al-Kwarizmi. Otra vía, no menos importante, fue el Liber abaci (1202) de Leonardo de Pisa (Fibonacci), compendio de las matemáticas aprendidas por el autor en sus viajes comerciales por el norte de África.

El desarrollo del álgebra en la Italia renacentista fue fulgurante. Ars Magna, publicada por

Girolamo Cardano en 1545, contenía la solución de la ecuación cúbica, hallada por Scipione del Ferro y la de cuarto grado, debida a Ludovico Ferrari.

El lenguaje algebraico, inicialmente retórico, sufrió una lenta evolución y, tras pasar por

una fase intermedia, que se ha denominado álgebra sincopada, fue emergiendo y estabilizándose el lenguaje simbólico actual. A ello contribuyeron de forma importante los franceses Vieta y Descartes.

Hasta el primer tercio del siglo XIX, la teoría algebraica de resolución de ecuaciones

intenta hallar una “solución general” para las ecuaciones de grado superior a 3. En ello trabajaron, entre otros, Euler y Lagrange. Éste, fracasó en su intento de resolver la ecuación de quinto grado por reducción a una de grado inferior pero abrió las puertas al trabajo de Abel y Galois. Éstos, en lugar de buscar la “solución general” se plantearon: 1º) hallar todas las ecuaciones de cualquier grado resolubles algebraicamente y 2º) dada una ecuación, determinar si es o no resoluble por procedimientos algebraicos.

A partir de la obra de Galois, el álgebra deja de ser el estudio de las ecuaciones y los

procedimientos para resolverlas y pasa a ser el álgebra moderna abstracta, cuyo objeto es el estudio de las estructuras algebraicas: grupos, anillos, cuerpos, etc.

Act. Nº 2. Actividad de detección de conocimientos previos.

Debemos introducir las ecuaciones de segundo grado con problemas que resulten

cercanos a los intereses y motivaciones del alumno, para después introducir el tema más formalmente: caída libre de un cuerpo, trayectorias parabólicas, algún problema de áreas, etc.

Ejemplos: 1-. El teorema de Pitágoras es una ecuación de segundo grado con tres incógnitas x,y,z. Los

griegos ya conocían que el triángulo 3-4-5 era rectángulo. 2-. La caída libre de un cuerpo viene dada por una ecuación de segundo grado en función

del tiempo. h(t)=1/2gt2 3-. Galileo Galilei estudió, aparte de las anteriores, las trayectorias parabólica seguidas por

las balas de cañón, según la ecuación: e(t)=v0t - 1/2gt2. 4-. Si un grifo llena una bañera en 2 horas, y otro en 5 horas; ¿cuánto tardarán en llenarla a

la vez?

Act. Nº 3. Actividad de iniciación y motivación.

También, como propuesta de investigación, se propondrá al alumno realizar algún trabajo

sobre el tema, realizando búsquedas en Internet . Un resumen de los contenidos del tema estará colgado en la web del profesor, junto con ejercicios y problemas. También podemos acceder directamente a las siguientes páginas Web que tratan específicamente el tema:

1º.- Componentes de una historia del álgebra:


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http://www.uv.es/~didmat/luis/mexico96revisado03.pdf 2º.- Un poquito de la historia del álgebra: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate3a/mate3a.htm 3º.- Origen del álgebra: http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html 4º.- Álgebra: http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/algebra.html 5º.- Álgebra geométrica, notas históricas: http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/Topicos/AlgebraGeometrica/AlgebraGeometrica1.asp

Act. Nº 4. Actividad de motivación y detección de conocimientos previos.

Por supuesto, si se ha comenzado la lectura de algún libro en UD anteriores, como “El diablo de los números” o “El hombre que calculaba”, se continuará en esta unidad didáctica. Nos centraremos en la lectura de un pasaje del libro en el que aparezcan problemas resolubles mediante ecuaciones.

Esta actividad está enmarcada dentro del Plan de Fomento de la Lectura (Proyecto

Curricular de Centro).

b) Actividades y ejercicios de desarrollo y adquisición de nuevos aprendizajes: En ellas se trabajan los conceptos teóricos y los procedimientos de la U.D. Por ejemplo:

1. Plantear ecuaciones de segundo grado a partir de distintos enunciados.

2. Resolver numerosas ecuaciones de grado dos (completas / incompletas), clasificando según el discriminante, mediante:

a. Métodos algebraicos: para incompletas, con la fórmula general y completar

cuadrados. b. Métodos gráficos: representar la parábola y calcular los cortes con los ejes

(Mediante el ordenador, con Descartes). (ampliación)

c. Métodos geométricos: utilizar el método de Al-Kwharizmi para completar cuadrados (ver anexo al final, actividad “Tablero de Al-Khwarizmi ” (ampliación)).

3. Plantear, como ejercicio de investigación, la demostración de la fórmula general,

tanto algebraica como geométricamente.

4. Ejercicios de cálculo mental: búsqueda directa de soluciones.

5. Factorizar todas las ecuaciones de grado dos de los apartados anteriores.

6. Utilizar programas informáticos, tanto para evaluar como para afianzar conceptos y procedimientos (CLIC, Descartes, búsqueda de información en la red, etc).

Todas las actividades anteriores deberán aparecer con diferentes niveles de

graduación de dificultad, para atender efectivamente a los distintos ritmos de aprendizaje.


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c) Actividades de aplicación de conocimientos y resolución de problemas:

En las sesiones intermedias y finales se propondrán actividades de mayor complejidad y problemas, que ayuden a sintetizar el contenido y afianzar las capacidades, y centren en la transferencia de aprendizajes a contextos reales (en los que se trabaje todos los conceptos y procedimientos). Por ejemplo, problemas donde aparezcan ecuaciones de grado dos:

Se exponen a continuación, y a título de ejemplo, un listado de problemas de cada uno de los tipos (el orden de presentación anterior no es obligatorio, debiendo tener en cuenta que la presentación se hará en orden creciente de dificultad y mezclando los tipos).

Problemas de tipo histórico.

TIPOS DE PROBLEMAS RESOLUBLES MEDIANTE ECUACIONES D E SEGUNDO GRADO

Problemas de números y cifras

Problemas de edades.

Problemas de fuentes.

Problemas de repartos, interés y porcentajes.

Problemas de cinemática.

Problemas de geometría.

Problemas históricos.


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d) Actividades de síntesis. Podemos plantear, entre otras:

• Elaboración de mapas conceptuales y resúmenes del tema. • Trabajo sobre las aplicaciones del tema a la resolución de problemas reales. • Problemas y actividades que engloben la mayor parte de conceptos y procedimientos abordados.

e) Consolidación, repaso y refuerzo. Ampliación.

Para atender adecuadamente la diversidad y favorecer la evaluación continua, se propondrán actividades de refuerzo y consolidación para que se afiancen definitivamente los contenidos y se superen las posibles dificultades de aprendizaje; así como también actividades de ampliación para aquellos que deseen profundizar en el tema y hallan superado los objetivos didácticos. e.1-. De consolidación, repaso y refuerzo: deben incidir en comprensión de los conceptos y métodos de resolución; son ejercicios básicos pero necesarios: sobre cálculo mental, planteamiento de problemas, asimilación de estrategias, interpretaciones gráficas y geométricas,…Pueden aparecer en forma de “Hojas de actividades”, que el profesor entregará al alumno con el fin de que las realice de manera autónoma, ayudándole cuando sea preciso:

1-. Expresar en la forma ax2 + bx + c = 0, la ecuación

2-. Resolver las ecuaciones: a) 2x2 + 4x = 0; b) -3x2 + 2x = 0; c) x2 - x = 0.

d) 3x2 - 27 = 0; e) 3x2 + 27 = 0; f) -25x2 + 4 = 0.

3-. Resolver las ecuaciones: a) x2 - 5x + 6 = 0; b) 3x2 + 3x - 18 = 0; c) x2 + x + 1 = 0


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4-. Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus soluciones:

5-. Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6.

------------------------ PROBLEMAS------------------------- 6-. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

7-. Determinar el valor de m para que la ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tenga una raíz doble. 8-. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?

e.2-. De ampliación: Se propondrán a algunos alumnos que hayan alcanzado sin dificultad los objetivos iniciales previstos; actividades que podrían proponerse son:

1-. Problemas de mayor complejidad que los propuestos. Ejemplo: Demostración de la expresión de la fórmula general.

2-. Planteamiento de algún sistema sencillo de grado dos (no lineal). 3-. Resolver ecuaciones de grado mayor que dos que aparezcan ya factorizadas. 4-. Demostrar las fórmulas de Cardano y encontrar las soluciones a través de ellas. Ejemplo:

a-. Demostrar las relaciones de Cardano:

Resolución.


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b-. Encuentra las soluciones de x2-2x+1=0 por las relaciones anteriores.

5-. Demostración de la factorización de un trinomio de segundo grado. Resolución:

6-. Finalmente, las ecuaciones bicuadradas serán un contenido de ampliación para alumnos con altas capacidades.

7-. Una actividad de investigación podría consistir en la elaboraración de una hoja de cálculo que sea capaz de resolver ecuaciones de segundo grado.

Además se debe programar en una celda para que avise si el sistema no tiene solución real, cuando el discriminante (b² - 4ac) es menor que 0. Un ejemplo de lo que se propone es:

Resolución con “Cáparra” (Linex) de una ecuación de segundo grado.


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f) Actividades de evaluación.

Están encaminadas específicamente a la evaluación del proceso de aprendizaje del alumno (pruebas individuales, autoevaluaciones, pruebas orales y exposiciones de trabajos de investigación, etc.). Esto no quita que el resto de actividades que se hayan desarrollado no deban entenderse también como actividades de evaluación, ya que son vehículo natural para la observación sistemática y la evaluación continua del aprendizaje del alumno, y del funcionamiento de la U.D.

Un buen recurso son las autoevaluaciones on-line, desde el navegador de Linex (ver

sección de las TICs). No obstante, suele ser habitual la presencia de pruebas de evaluación escritas, que se diseñan sobre los contenidos mínimos del tema, y teniendo como referencia los criterios de evaluación que expondremos en el epígrafe posterior.

El profesor debe ser muy cuidadoso a la hora de diseñar este tipo de pruebas, e incluso

deberá diseñar más de una, estableciendo los grados de dificultad pertinentes en su aula. Es muy importante que el alumno conozca los criterios de calificación de la prueba, que deberán estar en consonancia con los determinados en la programación didáctica del Departamento, y ser consensuados, en la medida de lo posible, con el resto de compañeros.

Además, la aplicación de estos criterios calificadores y los propios de evaluación

deberán ser aplicados de manera flexible a la hora de calificar la prueba, dado que no es el único factor -referente al estudio del alumno- el que influye únicamente en el resultado final de la misma. A continuación exponemos un ejemplo de prueba objetiva que podríamos plantear en este grupo-clase, tras finalizar la U.D.

EXAMEN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA “ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO” – 3º ESO

NOMBRE:_________________________________________________________ Tiempo : 55 minutos

Criterios de calificación: � Se puntuará 2,25 cada problema, como máximo. � Se deben plantear todos y cada uno de ellos. El planteamiento se valorará únicamente con 0,5. � Se valorarán negativamente las faltas de ortografía, restando 0,1 por cada una de ellas. � La limpieza y claridad en la redacción serán aspectos a tener en cuenta positivamente.

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7-. CRITERIOS Y PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN.

Como ya hemos visto en el libro del curso, la evaluación del proceso de aprendizaje del

alumnado de la Educación Secundaria Obligatoria será continua, formativa, integradora y diferenciada según las distintas materias y, en su caso, ámbitos del currículo.

La evaluación continua se concretará a lo largo del curso en una evaluación inicial, en

el seguimiento y desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje a lo largo del mismo y en una síntesis final al concluir el proceso ordinario o, en su caso, tras la prueba extraordinaria.

Como ya hemos indicado, a lo largo del desarrollo de la UD, deberán existir una serie

de actividades introductorias que aportarán información al docente y al alumno sobre los conocimientos previos, preconcepciones y posibles dificultades de aprendizaje (en el mismo sentido que la evaluación inicial lo es para el curso en total). A lo largo de todo el proceso de E/A de la UD, las diferentes actividades propuestas deberán entenderse como actividades que sirven para evaluar el progreso del alumno, ayudando en cada caso a tomar medidas que permitan tratar dificultades surgidas o bien para modificar la propia UD para mejorarla.

En el proceso de evaluación respondemos a tres preguntas:

a) ¿Qué vamos a evaluar? Tendremos en cuenta el logro de los Objetivos del Área de Matemáticas en la etapa, los del curso de 3º de ESO y los objetivos didácticos propuestos en esta U.D. A la misma vez se valorará el grado de consecución de las distintas competencias básicas que se trabajan en la UD.

Para ello, se tendrán como referencia los mínimos de suficiencia establecidos en los criterios de evaluación de la UD.

b) ¿Cómo vamos a evaluar? Para favorecer la atención a la diversidad y las medidas adoptadas a tal respecto, los procedimientos e instrumentos de evaluación serán variados y descriptivos, garantizando así la evaluación de los distintos tipos de objetivos y contenidos, y para adoptar las medidas de apoyo adecuadas. De modo que permitan al alumno tomar conciencia de su nivel de aprendizaje, sus dificultades de aprendizaje, etc., permitiéndoles regular así su proceso de aprendizaje.

Cada tipo de prueba y cada instrumento de evaluación evalúan algún tipo de

conocimiento, de capacidad, de contenido. Dichos procedimientos de evaluación, que garantizarán la efectiva evaluación continua del alumno, serán para esta U.D.:

� Observación sistemática / asistemática. La observación de los alumno/as es un

procedimiento esencial de la evaluación. Tanto porque algunos tipos de contenidos,


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como los actitudinales, se evalúan principalmente a través de este método, como porque proporciona información acerca de la posible actuación de los alumno/as en situaciones y tareas diversas.

� Análisis de tareas y de la producción de los alumno/as. Se debe realizar un

registro continuo de datos sobre la realización de las actividades y los aprendizajes adquiridos: el cuaderno de clase en el que se van realizando los ejercicios y problemas propuestos, se recogen las notas o apuntes que se utilizarán después como referencia para revisar ideas, relaciones, clasificaciones, etc..; trabajos de investigación, donde el alumno/a demuestra su capacidad de autonomía o de trabajo en grupo, etc.

� Intercambios orales, interrogación y pruebas específicas. La evaluación

sumativa que se lleva a cabo al final del proceso, requiere generalmente la realización de actividades encaminadas específicamente a la evaluación; las pruebas escritas (objetivas, abiertas, etc.) son de gran utilidad para valorar la adquisición de las capacidades cognitivas y de los contenidos procedimentales, y en este sentido, se conveniente establecerla para esta U.D.

Los ejercicios propuestos en dicha prueba deben exigir, aparte del control de

procedimientos y destrezas, razonamientos con posibilidad de utilizar diferentes estrategias de resolución. Los exámenes orales, los diálogos, el debate, la intervención en las puestas en común son medios básicos para identificar los conocimientos, los contenidos actitudinales y las capacidades en general.

� Autoevaluación. Los alumno/as deben tener capacidad para expresar sus criterios y

opiniones sobre las facilidades o dificultades encontradas en el aprendizaje de los contenidos, sobre los aspectos que les atraen o, por el contrario, no les han gustado.

� Coevaluación. Procedimiento que enfocamos hacia la constante retroalimentación

que nos facilita el diálogo mediante entrevistas con los alumno/as: sobre sus necesidades de ayuda, sobre su participación e implicación, sobre la asistencia que le prestamos, entre otros aspectos.

Criterios de calificación en pruebas, trabajos, etc.

Se aplicarán los siguientes criterios generales de calificación consensuadas por el Departamento, en pruebas de evaluación objetivas, así como en trabajos y diferentes tareas: - Se valorará la limpieza y orden en la presentación de exámenes, trabajos y ejercicios, y se

penalizará la falta de ésta, al considerarse contenidos actitudinales importantes en nuestra materia.

- Se restará 0.1 por cada falta de ortografía (escala 0 a 10), siendo la penalización total por

faltas de ortografía de 0.5 como máximo. Cada falta se contará una única vez, según las pautas dictadas por la C.C.P.

- Se valorará positivamente el rigor y la precisión en la resolución de los ejercicios, así

como una correcta utilización del vocabulario matemático. Habrá, al menos, una pregunta teórica en cada examen, para valorar consecuentemente los contenidos conceptuales.

- La resolución de los ejercicios debe hacerse de manera razonada y justificando los pasos

dados. La citada valoración dependerá del ejercicio, y será especificada previamente en cada prueba objetiva.

- Los errores en los cálculos serán penalizados con la pérdida de una parte de los puntos del

ejercicio correspondiente. La cantidad de puntos perdidos dependerá de la magnitud del error y del razonamiento del ejercicio.


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Evaluación sumativa de la U.D. Nota obtenida en la U.D.

Para llevar a cabo una evaluación continua mucho más efectiva, es preciso evaluar globalmente cada U.D.; es decir, es conveniente que no sea la nota del examen de la U.D. la única calificación en cada U.D. En este sentido, obtendremos una calificación de 0-10 para cada U.D., aplicando los siguientes porcentajes:

60% de la nota obtenida en la prueba objetiva.

20% del interés y actitud. Evaluando en todo caso los ítems:

NOTA Respecto a la materia y el tema (nivel de trabajo, tareas, puntualidad, etc.). Respecto a la interacción social: de respeto a la comunidad educativa. Respecto a la asistencia a clase: puntualidad, faltando lo menos posible. Respecto al cuidado del material propio y del centro (mesas, ordenadores…).

NOTA MEDIA

20% de las calificaciones obtenidas mediante observación sistemática / asistemática.

Evaluando en todo caso los ítems:

NOTA Preguntas orales y salidas a pizarra. Cuaderno de clase. Tareas realizadas (investigaciones, hojas de actividades,…)

NOTA MEDIA Nota: en cada uno de los ítems anteriores se colocará una nota entre 0-10. Posteriormente se hará la nota media de dichas calificaciones.

Inclusión de la evaluación de esta U.D. en la evaluación total del trimestre.

Suponiendo que en el trimestre en que se desarrolle la U.D. se tengan programadas cuatro U.D. en total, los porcentajes aplicados para obtener la nota final de evaluación, son:

U.D. Nº 1 25% de la nota final U.D. Nº 2 25% de la nota final

U.D. Nº 3 25% de la nota final U.D. Nº 4 25% de la nota final

Evaluación de la práctica docente.

Por otra parte, se producirá una evaluación del proceso de E/A en todas sus vertientes y también de la propia práctica docente, en relación con la consecución de los objetivos propuestos en la UD. Esto permitirá al docente reajustar su intervención didáctica en función de los resultados, fomentándose así la calidad en la educación. Remitimos al lector interesado al capítulo correspondiente del libro, en su anexo.


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d) ¿Cuándo vamos a evaluar? En el proceso evaluador se distinguen tres momentos:

1. Evaluación inicial: se realiza al comienzo de la U.D. para, sobre los conocimientos

previos del alumno, poder reestructurar si es necesario la U.D. original y tomar las medidas pertinentes. Por ejemplo, una prueba escrita o bien preguntas orales.

2. Evaluación continua durante el proceso de E/A: se realiza por diferentes

procedimientos, como son la observación sistemática, realización de trabajos y actividades diarias, resolución de ejercicios en la pizarra, ejercicios optativos, ejercicios de autoevaluación, etc. Además, al finalizar la misma se realizará una prueba objetiva específica (como hemos visto en las actividades de evaluación).

3. Evaluación sumativa final: será la síntesis de toda la información obtenida en el

proceso evaluador, que permitirá evaluar si el alumno ha logrado conseguir o no el nivel propuesto en cuanto a objetivos. Si no fuese así, se propondrán medidas educativas de refuerzo que permitan superarla.

Finalmente, la evaluación debe atender a la diversidad: el profesorado evaluará los

aprendizajes del alumnado teniendo en cuenta los diferentes elementos del currículo, así como la particular situación inicial y las capacidades, ritmos, actitudes y estilos de aprendizaje de cada alumno, y tendrá en consideración el contexto sociocultural en que se desenvuelve. Los siguientes criterios de evaluación valorarán el grado de adquisición de las competencias básicas y el grado de logro de los objetivos. Al finalizar la UD habremos alcanzado los objetivos didácticos que nos proponíamos inicialmente, junto con el desarrollo esperado de las competencias básicas indicadas, si el alumno…:

Grado Criterios de evaluación NC C AC

� Utiliza las técnicas y procedimientos básicos del cálculo algebraico para resolver

ecuaciones de segundo grado algebraica y geométricamente, en contextos de resolución de problemas. (1)

>> Evalúa los objetivos 1, 2, 3, 4, 6, 7 y 9.

� Construye expresiones algebraicas sencillas a partir de sucesiones numéricas, tablas o

enunciados e interpretar relaciones numéricas que se den implícitamente o en una fórmula. (2)

>> Evalúa el objetivo 8.

� Analiza las soluciones del problema y ve si son admisibles.

>> Evalúa los objetivos 4, 8 y 9.

� Utiliza con corrección el cálculo mental y la jerarquía de operaciones y los paréntesis en

los problemas. >> Evalúa el objetivo 5.

� Posee una buena actitud frente al tema y la asignatura y desarrolla los contenidos

actitudinales propuestos.

>> Evalúa la adquisición de los contenidos actitudinales.


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Nota: otro modo de redactar los criterios de evaluación, igualmente válido, es utilizar el infinitivo.

Leyenda: NC=No conseguido; C= Conseguido; AC=Altamente conseguido.

Observaciones:

(1) Ver si el alumno es capaz de dominar la resolución de ecuaciones y sistemas, y de plantear y resolver problemas, traduciendo el lenguaje habitual al algebraico y analizando si la solución se ajusta o no a las condiciones del enunciado.

(2) Trasladar, organizar e interpretar información y enunciados de unos códigos a otros, expresar algebraicamente el enunciado de un problema, etc.

En cuanto al grado de desarrollo y adquisición de las competencias matemáticas, plantearemos

una tabla similar a la siguiente:

Competencia a adquirir…/ Alcanzada… SI EC C AC

• Analizar fenómenos físicos, sociales o provenientes de la vida cotidiana que puedan ser expresados mediante ecuaciones para comprender la utilidad de saber plantear y resolver ecuaciones (C2, C3).

>> Relacionado con el criterio de evaluación 1 y 3.

• Conocer y comprender los distintos métodos de resolución de ecuaciones y saber decidir cuál es el más apropiado para cada caso concreto (C2, C7, C8).


• Valorar la riqueza que supone el hecho de que no haya un único modo de abordar y obtener la solución de un problema, y apreciar las ventajas de analizar una situación desde distintos puntos de vista (C2, C5).


Leyenda: EC= Escasamente conseguida; C=Conseguida; AC=Altamente conseguida.

Caso de no haber alcanzado los niveles mínimos exigidos, se propondrán medidas de atención individual al alumno, para que en el desarrollo de posteriores UD se alcancen los objetivos propuestos en esta, así como el desarrollo de las competencias básicas relacionadas.

IMPORTANTE : Los criterios anteriores deben entenderse como mínimos exigibles que el alumno debe haber alcanzado para superar positivamente la evaluación de la U.D., si bien deben aplicarse de manera flexible, respetando las circunstancias personales del alumno en cuanto a capacidades, ritmos, estilos, etc…


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8-. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD – TRATAMIENTOS DE A.N. E.A.E.s

El diseño de la U.D. no puede dirigirse a un alumno “inexistente” dejando a un lado a los alumnos, que por diferentes motivos, tienen dificultades de aprendizaje en la materia. En nuestras aulas tenemos alumnos con problemas de aprendizaje asociados a deficiencias cognitivas, alumnos con déficit de atención y bajo rendimiento, con desmotivación y apatía hacia el aprendizaje (p.e., alumnos con altas capacidades cognitivas, motivados por la inadaptación al estilo de enseñanza de la asignatura), etc. Todos estos alumnos se denominan, en el marco L.O.E., “Alumnos con Necesidades Específicas de Apoyo Educativo”, A.N.E.A.E.s. La tipología existente dentro de esta categoría ya ha sido analizada con detenimiento en el libro del curso, y no la desarrollaremos de nuevo.

Con respecto a nuestra U.D., deberemos hacer referencia en este apartado a qué

medidas específicas de atención a la diversidad hemos de tomar con los A.N.E.A.E.s que tenemos en el aula. En el apartado 2, de introducción y exposición de los datos identificativos de la unidad, se expusieron los casos de alumnos que requería atención específica: un alumno con discapacidad auditiva, otro alumno con altas capacidades y otro alumno con desfase curricular de 1 año y de origen inmigrante. Todos requieren adaptaciones curriculares individuales: � Para el primero, de A.C.I. de acceso al currículo (modificando los materiales, recursos,

espacios...). En este sentido, es conveniente que el alumno se encuentre lo más cerca posible del profesor; se deben poner a su servicio todos los recursos personales del centro (por ejemplo, recibir un apoyo de la profesora de Audición y Lenguaje, A.L.). Esta situación requiere, por nuestra parte, una coordinación con el profesor/a de A.L. para el mejor aprovechamiento del apoyo.

� Para el segundo y tercero, una A.C.I. de ampliación y una A.C.I. significativa -debido al

desfase- respectivamente.

Hay que tener en cuenta que el alumno con Alta Capacidad Intelectual está matriculado de 3º de ESO como medida extraordinaria, tras la evaluación del mismo por personal cualificado de la Consejería de Educación, si bien debería estarlo por edad en 2º de ESO. Deberá trabajar la correspondiente A.C.I. de ampliación, y evaluarse respecto a los criterios y objetivos expuestos en la misma. Estos alumnos requieren, al igual que los otros, una especial atención dada su tendencia a la desmotivación y apatía si se trabaja con niveles que ya tiene asimilados.

El otro alumno, con desfase curricular de 1 año y problemas con la Lengua, deberá

trabajar con la correspondiente A.C.I., y posiblemente pueda ser objeto de alguna clase de apoyo externo impartida por un miembro del departamento implicado (Matemáticas). Se podría impartir en otro aula, dado que no se percibe peligro de inadaptación social por parte de este alumno; aunque es aconsejable que, dentro de lo posible, el apoyo tenga lugar con el resto del grupo-clase.

Todas estas A.C.I. deberán diseñarse en directa colaboración con el Departamento

de Orientación (Educación Secundaria Obligatoria), y con los Equipos de Orientación Educativa y Psicopedagógica (Infantil y Primaria).

Nota. Las características de todas y cada una de estas Adaptaciones Curriculares Individuales, se organizan en documentos independientes con respecto a esta U.D., al constituir un nivel más de concreción curricular. El opositor no debe desarrollarlos en su exposición, únicamente es aconsejable realizar indicaciones genéricas sobre su sentido (en qué consistirían, cómo se llevarían a cabo, etc.). Para su diseño, deberá tomarse como punto de partida la presente U.D., para ir concretando y adecuando objetivos, contenidos, metodologías, actividades y criterios de evaluación a la realidad de alumno.


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Si bien todo lo anterior se refiere a un tipo de alumnado muy específico, la atención a la diversidad quedará reflejada, ante todo, en la actividad diaria del profesor con los alumnos y con la modificación de las metodologías de enseñanza, en unas condiciones que garanticen el trato más individualizado posible, y teniendo en cuenta siempre el grado de competencia previa del alumno y sus diferentes ritmos y estilos de aprendizaje.

Las medidas de refuerzo deben ser vehículos naturales para esta atención, y se

adoptarán en cualquier momento del desarrollo de la U.D., en cuanto se detecten las dificultades. Como ya indicamos en su momento, tendrán carácter individualizado y estarán dirigidas a garantizar la adquisición de los aprendizajes imprescindibles que permitan a cada alumno continuar con éxito su proceso educativo. En este sentido, siempre que sea posible, será interesante que cualquier alumno con dificultades de aprendizaje en nuestra materia pueda recibir clases de apoyo en los planes de refuerzo educativo y de mejora del éxito escolar (Plan P.R.O.A. y similares).

Es muy importante que el centro procure, mediante la oportuna comunicación, la colaboración de las familias para que el alumnado supere las dificultades detectadas, ya que en multitud de ocasiones los docentes nos vemos abandonados por la falta de compromiso de la familia del alumno.

9-. BIBLIOGRAFÍA.

Melvilla Seguí, V. (2005): La Historia de las matemáticas como recurso didáctico. Edita FESPM. Paenza, Adrián (2005). Matemática...¿estas ahí?: sobre números, personajes, problemas y curiosidades. Edita Siglo XXI: Editores Argentina. Grupo Azarquiel (1981): La calculadora de bolsillo como instrumento pedagógico. ICE de la UAM, Madrid. AA.VV: Ideas para enseñar álgebra. Síntesis 33, Madrid, 1987 G. Polya: Cómo plantear y resolver problemas. Trillas. Madrid 1982. Gallego Gil, D. J (2000): El ordenador como recurso didáctico. UNED. Madrid. Diferentes libros de texto (distintas editoriales).


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ANEXO I Secuenciación de las actividades por sesiones

Sesiones 1ª y 2ª. En las sesiones 1ª /2ª, vemos los contenidos:

Introducción histórica. Ecuaciones de segundo grado. Tipos. Soluciones. (sesión 1ª)

Resolución de ecuaciones incompletas.

a-. Tipo I. Despejando directamente “x2. (sesión 1ª)

b-. Tipo II. Sacando factor común “x”. (sesión 2ª) Actividades:

Tras realizar una pequeña introducción histórica, repasar los conceptos

fundamentales de una ecuación de grado 2 y proponer algunas ecuaciones de grado 2 que aparecen en las ciencias (Física, Química, etc.), analizaremos el concepto de solución de una ecuación de segundo grado.

Estas actividades de introducción han sido descritas en la U.D. (véase), y abarcarían la

primera media hora de la sesión. A título de ejemplo, expongamos una de ellas: 1. Actividad de iniciación y motivación. La caída libre de un cuerpo. INTRODUCCIÓN.


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EJEMPLIFICACIÓN.

ACTIVIDADES PROPUESTAS.


50

En la segunda parte de la primera sesión, y en toda la segunda sesión, se estudiarán

los algoritmos de resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas. Para practicar propondremos a los alumnos las siguientes actividades:

Actividad de iniciación. Dada la ecuación:


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Sesiones 3ª /4ª. En las sesiones 3ª /4ª, vemos los contenidos:

• Resolución de ecuaciones completas. Fórmula general. • Clasificación según el discriminante.

Actividades:

Estudiaremos los métodos de resolución de las ecuaciones de grado 2 completas, clasificando en todo caso según el discriminante.

1

Actividad inicial.


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Actividad 5. Realizar una hoja de cálculo (proyecto que debe realizar el alumno) para comprobar las soluciones obtenidas en una ecuación de grado 2.

Sesión 5ª. En la sesión 5ª, vemos los contenidos:

• Método de completar cuadrados. Factorización. Relaciones de Cardano.

Actividades:

Trabajaremos actividades referentes al método de completar cuadrados y mediante factorización y las relaciones de Cardano. Vamos a trabajar tres actividades exactamente:

Actividad 1-. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Completando Cuadrados.

Para resolver una ecuación cuadrática con este método debemos completar un binomio al cuadrado y luego despejar utilizando nuestros principios matemáticos. Veamos un ejemplo:

x2 + 6x + 5 = 0

x2 + 6x + 5 +4= 0 +4 Hemos sumado 4 en ambos lados de la igualdad.

x2 + 6x + 9 = 4 Observamos que a la izquierda: (x +3)2 = x2 + 6x + 9

(x +3)2 = 4 Además en el término de la derecha 22 = 4

(x +3)2 -22 = 0 Llevaremos todos los términos a un solo lado de la igualdad, mientras que al otro lado dejaremos simplemente 0 (cero).

[(x +3) -2] [(x +3) +2] = 0 (x +3 -2) (x +3 +2) = 0

(x +1) (x +5) = 0

Factorizamos. Observe que en el primer factor se respetan todos los signos, mientras que en segundo factor se cambia el signo solo al término independiente (número).

(x +1) = 0 (x +5) = 0 x +1 = 0 x +5 = 0

x = -1 x = -5

Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados.


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Actividad 2ª-. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización.

Para resolver una ecuación cuadrática por factorización, primero debemos llevar todos los términos a un lado de la igualdad y en el otro lado dejar simplemente un 0 (cero). Una vez realizado esto debemos elegir un método de factorización adecuado.

Veamos un ejemplo:

8x2 -16x = 2x +5 Ecuación Cuadrática a resolver.

8x2 -16x -2x -5 = 0 Llevamos todos los términos a un lado de la igualdad.

8x2 -18x -5 = 0 Reducimos términos semejantes.

8x2 -18x -5 = 0 Buscaremos un método de factorización adecuado para la primera parte.

8x2 -18x -5 = 0 4x 1 2x -5 8x2 -5

Emplearemos el método de factorización por aspa simple. Buscamos primero dos números que multiplicados me den 8, y luego dos números que multiplicados me den -5. Para el primer caso escogemos (4x)(2x) = 8x2, y luego (1)(-5) = -5

8x2 -18x -5 = 0 4x 1 2x 2x -5 -20x aaaaaaaaa-18x

Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados cumpla con la condición de ser igual al segundo término, es decir, igual a -18x.

(4x +1) (2x -5) = 0 Procedemos a colocar los factores.

(4x +1) = 0 (2x -5) = 0 4x + 1 = 0 2x - 5 = 0

4x = -1 2x = 5 x = -1 x = 5 4 2

Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados.

Actividad 3ª-. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado utilizando las Fórmulas de Cardano.

a) 01272 =+− xx b) 01582 =+− xx c) 01242 =−− xx d) 0156 2 =+− xx

e) 015

8

15

142 =−− xx

f) 021183 2 =−− xx g) 0464 2 =+− xx h) 025102 =+− xx


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Sesión 7ª. En la sesión 7ª, vemos los diferentes tipos de problemas donde aparecen:

Geométricos. Proporcionalidad inversa. Numéricos. Trayectorias parabólicas. Caída libre de un cuerpo, etc.

Actividades:

Las dedicaremos a la resolución de problemas contextualizados:


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Sesión 8ª/9ª. Actividades de síntesis, refuerzo, repaso y /o profundización.

Actividad de síntesis y profundización. El “Tablero de Al-Khwarizmi”. OBJETIVO DE LA ACTIVIDAD:

El objetivo de la actividad es analizar la resolución geométrica de una ecuación de grado 2 por el método de Al´Khwarizmi.

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En primer lugar realizaríamos una introducción histórica del Álgebra y el problema de la resolución de ecuaciones. Entre otros hablaremos del método de Al-kwarizmi, muy importante en la resolución de ecuaciones, y de la importancia del legado árabe en las matemáticas.

A continuación explicaremos en que consiste dicho método y cómo debe usarse,

para posteriormente construirlo y practicar con él: utilizaremos en esta actividad el recurso denominado “Tablero de Al-Khwarizmi” (pueden utilizarse recortables en papel o madera, como veremos más adelante). Por último podemos utilizar programas diseñados para utilizar interactivamente dicho tablero; páginas web interesantes para buscar información sobre la actividad son:

http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/matematicos/alkhwarizmi.htm

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/alkwacion2.htm

Finalmente exponemos un breve análisis de las relaciones con los diferentes elementos curriculares dentro de la actividad señalada.

De su aritmética, posiblemente denominada originalmente "Kitab al-Jam'a wal-Tafreeq bil Hisab al-Hindi", sólo conservamos la versión latina, Algoritmi de Numero Indorum, del siglo XII


56

INTRODUCCIÓN A LA ACTIVIDAD.


57

EJEMPLIFICACIÓN.


58

ACTIVIDAD PROPUESTA. Resolver la ecuación x2+2x = 3 de forma geométrica y algebraica Solución: Construcción del tablero: cuadrados de lado “x” (área “x2”); varios cuadrados de lado “1”, (área “1”); rectángulos de base “x” y altura “1” (área “x”). Para cada ecuación se deben construir tantos como sea necesario. Primera parte: en primer lugar, y tras construir el alumno/a el tablero, disponemos las piezas en el mismo de modo que tengamos representada geométricamente la situación algebraica dada por la correspondiente ecuación de grado 2.

Segunda parte: posteriormente completamos cuadrados hasta que podamos factorizar la expresión algebraica como el cuadrado de un binomio. Tras factorizar el correspondiente término independiente, y debido a la unicidad salvo el signo de dicha factorización, se observan directamente las dos posibles soluciones a la ecuación inicial.


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ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD.

Objetivos de etapa de la E.S.O. relacionados principalmente

Competencias más desarrolladas

Áreas Objetivos de área en la etapa de E.S.O. relacionados

Matemáticas

(tomados del Currículo Oficial ESO)

1-. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana. 2-. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos y abordarlas siguiendo los protocolos habituales en matemáticas. 3-. Utilizar técnicas y procedimientos matemáticos para interpretar la realidad, cuantificándola con el tipo de número más adecuado y analizando los datos mediante los cálculos apropiados a cada situación. 4.- Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa. 5.- Actuar ante los problemas que se plantean en la vida confianza de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones. 6.- Elaborar con flexibilidad estrategias personales a la hora de analizar situaciones o identificar y resolver problemas, utilizando las herramientas matemáticas a su alcance y revisando las propias estrategias cada vez que las evidencias así lo aconsejen. 7.- Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual.

(tomados del Currículo Oficial ESO)

� Desarrollar y consolidar

hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

� Fortalecer sus capacidades

afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos.

� Adquirir una preparación

básica en el campo de las tecnologías, utilizando las Tecnologías de la Información y la comunicación, para el desarrollo personal, adquirir conocimientos, resolver problemas y facilitar las relaciones personales, valorando críticamente su utilización.

� Apreciar la creación artística

y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

Entre otras competencias básicas, las más desarrolladas en la presente UD son:

-Competencia en matemáticas. -Competencia en comunicación lingüística. -Tratamiento de la información y competencia digital. -Competencia social y ciudadana.

Ciencias sociales,

Geografía e Historia.

1-. Situar en el tiempo y en el espacio los periodos y hechos trascendentes y procesos históricos relevantes que se estudian en este curso identificando el tiempo histórico en el mundo, en Europa y en España, aplicando las convenciones y conceptos habituales en el estudio de la Historia.


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-Competencia cultural y artística.

Educación Plástica y

Visual

1-. Expresarse con creatividad, mediante las herramientas del lenguaje plástico y visual diversos soportes y procedimientos artísticos bi o tridimensionales y/o audiovisuales para producir mensajes diversos y saber relacionarlas con otros ámbitos de conocimiento.

Objetivos de 3º de ESO de Matemáticas relacionados

Contenidos relacionados del DCB de 3º de ESO

Tipo de soporte de la actividad

Criterios de evaluación

(tomados de la programación

didáctica para este curso)

� Incorporar, al lenguaje y a formas habituales de argumentación, las distintas formas de expresión matemática (numérica, algebraica, geométrica...) con el fin de mejorar su comunicación en precisión y rigor.

� Valorar las virtudes del

lenguaje algebraico y valerse de él para representar situaciones diversas y facilitar la resolución de problemas.

� Utilizar algoritmos y

procedimientos de polinomios para resolver problemas.

� Resolver ecuaciones de grado

2 en un contexto de problemas reales cercanos al alumno.

� Actuar en los procesos de

resolución de problemas al modo de trabajo matemático.

� Conocer técnicas heurísticas

para la resolución de problemas y desarrollar estrategias personales, utilizando variados recursos.

� Utilizar los medios

tecnológicos e informáticos adecuados a cada situación y problema, de manera racional y crítica, entre los que cabe destacar la calculadora y la navegación y búsqueda de información a través de Internet.

CONTENIDOS COMUNES. - Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines y comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada. - Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o simbólico o sobre elementos o relaciones espaciales. -Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas desde distintos puntos de vista y en la mejora de las encontradas.

ÁLGEBRA. - Necesidad del lenguaje algebraico. Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico. - Identidades y ecuaciones. Ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Soluciones. - Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y de sistemas de ecuaciones lineales utilizando diversos métodos: informales, algorítmicos, gráficos... Utilización de la hoja de cálculo. - Valoración de la precisión y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.

Ordenador e Internet, con la actividad diseñada y para búsqueda de información sobre Al-khwarizmi. Hoja y/o tablero con las figuras que utilizaremos en la actividad.

-Capta la importancia del legado árabe en nuestra cultura, y en particular, en la resolución de ecuaciones. -Resuelve algunas ecuaciones de segundo grado mediante el método de Al-khwarizmi. - Adquiere la visión geométrica de la formación de los cuadrados, cuando sea posible. -Resuelve problemas de la vida cotidiana donde aparezcan ecuaciones de segundo grado utilizando el método más adecuado.

NOTA. Sería conveniente realizar este tipo de análisis para las actividades más notables, desde el punto de vista pedagógico y didáctico, de cada U.D.


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Sesión 8ª/9ª. Contenidos de ampliación. Contenidos de ampliación son:

Nivel 1-. Interpretación gráfica de las soluciones: representación de una parábola (con el software Descartes). Nivel 2-. Resolución de ecuaciones bicuadradas.

Actividad de ampliación (Nivel 1). Interpretación gráfica de las soluciones: representación de una parábola (con el software Descartes o Geogebra). En la dirección web de Descartes:

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuacion_segundo_grado_interpretacion_geometrica/Ecuacion_segundo_grado_interpretacion.htm , puede verse la interpretación de una ecuación de grado 2 con Descartes:

Igualmente con Geogebra en la web:

http://linex.educarex.es/moodle/mod/resource/view.php?id=23


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Actividad de ampliación de nivel 2.

La actividad consiste en la exposición del método de resolución de ecuaciones bicuadradas y resolución de casos sencillos (primera fase), para pasar posteriormente a la resolución de problemas contextualizados (segunda fase). Fase 1. Adquisición de destrezas y habilidades para su cálculo.

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuaciones2grado/eg24.htm Fase 2. Resolución de problemas. En un rectángulo conoces el área, que vale 12 cm2, y la diagonal vale 5 cm. ¿Podrías hallar los lados?


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OTRAS ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN QUE PODRÍAN PROP ONERSE

Actividad nº 1. “EJERCICIO COMPLICADO” (Cuadro del pintor Bogdanov-Belski, 1895).

Escuela del profesor S. Rachinski, que abandonó la cátedra de la Universidad para ser maestro de escuela rural.

¿Existen otros números con esta propiedad?

Tras resolverla, el alumno/a comprobará que existe otro número que la cumple, aparte del 10.

Solución rápida al cálculo…


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Actividad nº 2. “UNA PROPIEDAD CURSIOSA: SUMA DE CUADRADOS”

1ª FASE: OBSERVACIÓN Y ESTABLECIMIENTO DE CONJETURA S.

2ª FASE: PLANTEAMIENTO DEL CORRESPONDIENTE PROBLEMA ALGEBRAICO.

¿QUÉ OCURRIRÁ CON LA EXPRESIÓN?

3ª FASE: RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA.

ESA PROPIEDAD ES SIEMPRE CIERTA (HEMOS LLEGADO A UN A IDENTIDAD)


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OTRAS ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN QUE PODRÍAN PROPONERSE

1-. Demostración de la expresión de la fórmula general.

2-. Planteamiento de algún sistema sencillo de grado dos (no lineal), e interpretarlo gráficamente. X2 + Y2 = 16 X + Y = 4 3-. Resolver ecuaciones de grado mayor que dos que aparezcan ya factorizadas. 4-. Sobre las fórmulas de Cardano.

a-. Demostrar las relaciones de Cardano:

b-. Encuentra las soluciones de x2-2x+1=0 por las relaciones anteriores.

c-. Encontrar la ecuación de segundo grado si sus raíces son 4 y -7.

CAPÍTULO 4. Epígrafe 9. 9.1-. Unidad Didáctica de Secundaria.

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