Capitulo_3_Complejos
-
Upload
paulafigueroa -
Category
Documents
-
view
19 -
download
0
description
Transcript of Capitulo_3_Complejos
Capítulo 3
Números Complejos
Resolver la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0, es buscar un número que satisfaga la condición de
que x2 = �1. Pero sabemos que el cuadrado de un número real es un número real no negativo.Por tanto, el número x que es solución de x2 + 1 = 0 no puede ser un número real. Para que sea
posible la resolución de la ecuación introducimos un nuevo número dado por la siguiente de�nición
De�nición 3.1 La cantidadp�1 se llama unidad imaginaria y se denota por i =
p�1.
Observación 3.1 Ahora se puede de�nir las potencias de i:
i2 = �1 =) i =p�1
i3 = i2 � i = �i
i4 = i3 � i = �i � i = �i2 = 1...
i4k+p = ip, con 0 � p � 3
De�nición 3.2 Un número de la forma b i, donde b 2 R e i es la unidad imaginaria, se llama
número imaginario puro.
De�nición 3.3 Un número de la forma a+b i, donde a; b 2 R e i es la unidad imaginaria, se llamanúmero complejo.
Observación 3.2
1. Se denota y de�ne el conjunto de los números complejos por
C = fa+ b i = a; b 2 Rg
Los elementos del conjunto C se denotan por las letras z; w; :::;etc.
70
2. Si z = a+ b i, entonces
a) "a" se llama parte real del complejo z y se denota por Re z = a y
b) "b" se llama parte imaginaria del complejo z y se denota por Im z = b.
3. Notar que
b i = 0 + b i
Por tanto, los números imaginarios puros pertenecen al conjunto C. Es decir, todos los númeroscomplejos con parte real igual a cero son imaginarios puros.
4. Notar que
a = a+ 0 i
Por tanto, los números reales están incluídos en C. Es decir, todos los números complejos conparte imaginaria igual a cero son números complejos reales.
5. De 4: podemos decir que el conjunto R se puede mirar como un subconjunto del conjunto C.
De�nición 3.4 Dos números complejos z1 = a+b i y z2 = c+d i son iguales si y sólo si sus partes
reales y sus partes imaginarias son respectivamente iguales. Es decir:
z1 = z2 () a = c ^ b = d
Ejemplo 3.1 Sean z1 =�a2 + 2b2
�+ (a+ b) i y z2 = (ab+ 7) + 3i números complejos. Hallar los
valores de a y b tal que z1 = z2.
Solución De la de�nición anterior se tiene que
a2 + 2b2 = ab+ 7
a+ b = 3
)de la segunda ecuación, se tiene que b = 3� a. Reemplazando en la primera ecuación nos queda:
a2 + 2 (3� a)2 = a (3� a) + 7
3a2 � 12a+ 18 = 3a� a2 + 7
4a2 � 15a+ 11 = 0
Así,
a =15�
p225� 1768
=15�
p49
8=)
a =11
4a = 1
Por tanto, si
a = 1 =) b = 2 y
a =11
4=) b =
1
4
71
3.1. Representación geométrica de un número complejo
Geométricamente los números complejos se representan en el plano de Argand, o plano com-
plejo. En este plano rectangular llamamos eje real al eje X y eje imaginario al eje Y .
Observación 3.3 Existe una relación biunívoca entre los elementos del conjunto C y el conjunto
de puntos del plano R2. En efecto, si z = a+ b i 2 C, entonces
1. Si b = 0, entonces z = a. Este complejo se puede identi�car con el número real a. Geométrica-
mente se representa en el eje real X.
2. Si a = 0, entonces el complejo z = b i. Se representa geométricamente en el eje imaginario Y .
De�nición 3.5 Sea z = a+ b i 2 C y sea k 2 R, entonces se denota y de�ne el producto del escalark con el complejo z por
k z = k (a+ b i) = (k a) + (k b) i
De�nición 3.6 Si z = a + bi 2 C, entonces se denota y de�ne el número complejo conjugadode z por
z = a� bi
De�nición 3.7 Si z 2 C, entonces se denota y de�ne elmódulo de z por el número real no negativo
jzj =q(Re z)
2+ (Im z)
2
72
3.2. Operaciones con números complejos
De�nición 3.8 Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di dos números complejos dados. Se denotan y de�nen
en C las siguientes operaciones:
1. Suma
z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
2. Producto
z1 � z2 = (a+ bi)(c+ di) = (ac� bd) + (ad+ bc)i
Teorema 3.1 La suma y el producto en C satisfacen:
1. Clausura:
a) z1 + z2 2 C, 8z1; z2 2 C
b) z1 � z2 2 C, 8z1; z2 2 C
2. Conmutatividad:
a) z1 + z2 = z2 + z1, 8z1; z2 2 C
b) z1 � z2 = z2 � z1, 8z1; z2 2 C
3. Asociatividad:
a) ( z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), 8z1; z2; z3 2 C
b) ( z1 � z2) � z3 = z1 � (z2 � z3), 8z1; z2; z3 2 C
4. Existencia del elemento neutro:
a) 8z 2 C; 9! za 2 C tal quez + za = z
El neutro aditivo de z es za = 0 + 0i = 0.
b) 8 z 2 C , 9! zm 2 C tal quez � zm = z
El neutro múltiplicativo de z es zm = 1 + 0i = 1.
5. Existencia del elemento inverso:
a) Para cada z 2 C, existe �z 2 C tal que
z + (�z) = za = 0
El inverso aditivo de z = a+ bi es �z = �a� bi.
73
b) Para cada z 2 C, z 6= 0, existe z�1 2 C tal que
z � z�1 = zm = 1
El inverso múltiplicativo de z = a+ bi es z�1 =a
a2 + b2� b
a2 + b2i.
6. Distributividad:
z1 � (z2 + z3) = z1 � z2 + z1 � z3, 8 z1; z2; z3 2 C
Demostración: Ejercicio
De�nición 3.9 Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di dos números complejos dados. Se denotan y de�nen
en C las siguientes operaciones:
1. Diferencia
z1 � z2 = z1 + (�z2) = (a+ bi) + (�c� di)) = (a� c) + (b� d)i
2. División
z1z2= z1 � z�12 = (a+ bi)
�c
c2 + d2� d
c2 + d2i
�=ac+ bd
c2 + d2+bc� adc2 + d2
i, con z2 6= 0
Ejemplo 3.2 Dados los números complejos: z1 = �5 + 4i, z2 = 7 + 3i y z3 = 8i. Calcular:
1. z1 + z2 � z3
Solución
z1 + z2 � z3 = (�5 + 4i) + (7 + 3i)� (8i)
= �5 + 4i+ 7 + 3i� 8i
= 2� i
2. z1 � z2
Solución
z1 � z2 = (�5 + 4i) (7 + 3i)
= (�35� 12) + (28� 15)i
= �47 + 13i
3.z2z1
Solución
74
z2z1
=7 + 3i
�5 + 4i= (7 + 3i) (�5 + 4i)�1
= (7 + 3i)
��5
25 + 16� 4
25 + 16i
�= (7 + 3i)
��541� 4
41i
�=
��35 + 1241
�+
��28� 1541
�i
= �2341� 4341i
Teorema 3.2
1. z = z , z 2 R
2. z = z, 8z 2 C
3. z1 + z2 = z1 + z2, 8z1; z2 2 C
4. z1 � z2 = z1 � z2, 8z1; z2 2 C
5. z�1 = (z)�1 8z 2 C� f0g
6.�z1z2
�=z1z2, 8z1; z2 2 C, z2 6= 0
7. z + z = 2Re z, 8z 2 C
8. z � z = (2 Im z) i, 8z 2 C
9. z � z = (Re z)2 + (Im z)2, 8z 2 C
10.z1z2=
1
z2 � z2z1 � z2, 8z1; z2 2 C, z2 6= 0
Demostración: Se dejan de ejercicios todos los restantes
1:Sea z = a+ bi, entonces z = a� bi. Luego,
z = z
a+ bi = a� bi
2 bi = 0
b = 0
Por tanto, z = a 2 R
75
Teorema 3.3
1. jzj2 = z � z, 8z 2 C
2. jzj = jzj = j�zj, 8z 2 C
3. jz1 � z2j = jz1j jz2j, 8z1; z2 2 C
4.��z�1�� = jzj�1, z 6= 0
5.
����z1z2���� = jz1jjz2j , 8z1; z2 2 C, z2 6= 0
6. z�1 =z
jzj2, z 6= 0
7. Re z � jzj y Im z � jzj, 8z 2 C
8. jz1 + z2j2 = jz1j2 + jz2j2 + 2Re (z1z2), 8z1; z2 2 C
9. jz1 + z2j � jz1j+ jz2j, 8z1; z2 2 C (Desigualdad Triangular)
10. jjz1j � jz2jj � jz1 � z2j, 8z1; z2 2 C
Demostración: Se dejan de ejercicios todos los restantes
7: Sean z1; z2 2 C, entonces
jz1 + z2j2 = (z1 + z2) (z1 + z2)
= (z1 + z2) (z1 + z2)
= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2
= jz1j2 + z1z2 + z1z2 + jz2j2
= jz1j2 + 2Re (z1z2) + jz2j2
9: Sean z1; z2 2 C, entonces
jz1 + z2j2 = jz1j2 + 2Re (z1z2) + jz2j2
� jz1j2 + 2 jz1z2j+ jz2j2
= jz1j2 + 2 jz1j jz2j+ jz2j2
= jz1j2 + 2 jz1j jz2j+ jz2j2
= (jz1j+ jz2j)2
Por tanto, extrayendo raíz cuadrada se tiene que:
jz1 + z2j � jz1j+ jz2j
76
Observación 3.4 Si z1 = a+ bi y z2 = c+di 6= 0 son dos números complejos, entonces también:
z1z2=z1z2� z2z2=z1z2z2z2
=z1z2
jz2j2
3.3. Forma polar de un número complejo
Sea P (a; b) un punto del plano. OP es la representación geométrica de z = a+ bi. El módulo de
z es r, es decir: jzj = r, y el ángulo � es el ángulo que forma el eje real positivo con el lado terminalOP . Notar que por trigonometría:
a = r cos �
b = r sen �
Luego, todo número complejo z 6= 0; se puede escribir en la forma:
z = r (cos � + i sen �)
donde (r; �) se llaman las coordenadas polares de z.
Comp1
31:jpg
De�nición 3.10 El complejo z = a+ bi, escrito en la forma:
z = r (cos � + i sen �) ;
se llama forma polar o trigonométrica de z, donde a = r cos �, b = r sen � , r = jzj =pa2 + b2 y
� es el argumento de z.
Observación 3.5
77
1. Puesto que sen � y cos � son periódicos de período 2�; para r > 0 y todo k entero se tendrá
que
z = r [cos(� + 2k�) + i sen(� + 2k�)]
será también una forma polar del complejo z = a+ bi:
2. El único número real � que satisface la relación: �� � � � � se llama argumento principalde z y se denota por: Arg z = �. A menos que exista alguna razón particular para hacerlo de
otra forma, usualmente daremos únicamente el valor no negativo más pequeño del ángulo de
un número complejo.
3. El argumento de z, se puede determinar como sigue:
� =
8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:
Arctg
�b
a
�si z está en el cuadrante I
� �Arctg����� ba
����� si z está en el cuadrante II
� +Arctg
�b
a
�si z está en el cuadrante III
2� �Arctg����� ba
����� si z está en el cuadrante IV
Ejemplo 3.3
1. Escribir z = �1� ip3 en forma trigonométrica o polar.
Solución
r = jzj =r(�1)2 +
��p3�2=p4 = 2
Notar que z está en el cuadrante III, luego
� = � +Arctg
p3
1
!= � +
�
3=4�
3
Por tanto,
z = 2
�cos
4�
3+ i sen
4�
3
�2. Expresar el número complejo z = 2(cos 1500 + i sen 1500) en la forma a+ bi:
Solución Notamos que cos 1500 = �p3
2y sen 1500 =
1
2, luego tenemos que
z = 2(cos 1500 + i sen 1500)
= 2
�p3
2+1
2i
!= �
p3 + i
78
Ejercicio 3.4 Expresar el número complejo z = 2� 2i en forma polar.
Teorema 3.5 Si z1 = r1(cos �1 + i sen �1) y z2 = r2(cos �2 + i sen �2), entonces
1. z1� z2 = r1r2 [cos(�1 + �2) + i sen(�1 + �2)]
2.z1z2=r1r2[cos(�1 � �2) + i sen(�1 � �2)] , con z2 6= 0
Demostración: Sean z1 = r1(cos �1+i sen �1) y z2 = r2(cos �2+i sen �2) dos números complejos,
entonces
z1z2
=r1(cos �1 + i sen �1)
r2(cos �2 + i sen �2)
=r1r2
cos �1 + i sen �1cos �2 + i sen �2
cos �2 � i sen �2cos �2 � i sen �2
=r1r2
(cos �1 cos �2 + sen �1sen �2) + (sen �1 cos �2 � sen �2 cos �1) icos2 �2 + sen2 �2
=r1r2[(cos �1 cos �2 + sen �1sen �2) + (sen �1 cos �2 � sen �2 cos �1) i]
=r1r2[cos (�1 � �2) + i sen(�1 � �2)]
Se deja de ejercicio el 1:
Observación 3.6 Del teorema se deduce que:
1. jz1 � z2j = jz1j jz2j y que el Arg(z1 � z2) = Arg(z1) +Arg(z2)
2.
����z1z2���� = jz1jjz2j y Arg(
z1z2) = Arg(z1)�Arg(z2)
3. Como la forma polar de 1 es, 1 = cos 0 + i sen 0, entonces
z�12 =1
z2=
cos 0 + i sen 0
r2(cos �2 + i sen �2)
=1
r2(cos (��2) + i sen (��2))
=1
r2cos �2 � i sen �2
Ejemplo 3.4 Sean z1 = 1 + i y z2 = 1�p3i. Determinar, usando la forma polar, z1 � z2 y
z1z2.
Solución Forma Polar de z1 y z2:
jz1j =p12 + 12 =
p2
Notar que z1 está en el cuadrante I, luego
� = Arctg
�1
1
�= Arctg (1) =
�
4
79
Así,
z1 =p2�cos
�
4+ i sen
�
4
�Por otra parte,
jz2j =r12 +
��p3�2=p4 = 2
Notar que z2 está en el cuadrante IV , luego
� = 2� �Arctg p
3
1
!= 2� � �
3=5�
3
Así,
z2 = 2
�cos
5�
3+ i sen
5�
3
�Por tanto,
z1 � z2 = 2p2
�cos(
�
4+5�
3) + i sen(
�
4+5�
3)
�= 2
p2
�cos
23�
12+ i sen
23�
12
�y
z1z2
=
p2
2
�cos(
�
4� 5�3) + i sen(
�
4� 5�3)
�=
p2
2
�cos(�17�
12) + i sen(�17�
12)
�=
p2
2
�cos
17�
12)� i sen 17�
12)
�
3.4. Potencias y raíces de los números complejos
Teorema 3.6 (de De Moivre)Si n 2 Z, entonces
[r(cos � + i sen �)]n= rn(cos (n�) + i sen (n�))
Ejemplo 3.5 Determinar (1 + i)10
Solución Ya hemos visto que la forma polar de 1 + i es
1 + i =p2�cos
�
4+ i sen
�
4
�Luego, por teorema
(1 + i)10
=�p2�10 �
cos�10 � �
4
�+ i sen
�10 � �
4
��= 32
�cos
5�
2+ i sen
5�
2
�
80
De�nición 3.11 Si z 2 C; diremos que ! es una raíz enésima de z si !n = z:En tal caso
escribimos ! = npz = z1=n.
Teorema 3.7 El número complejo z = r(cos � + i sen �) tiene n raíces complejas que están dadas
por:
!k =npr
�cos
�� + 2k�
n
�+ i sen
�� + 2k�
n
��, con k = 0; 1; :::; (n� 1)
De�nición 3.12 Dado un ángulo � medido en radianes, se de�ne la exponencial ei � como:
ei� = cos � + i sen �
llamada fórmula de Euler.
Observación 3.7 Luego, si z = r(cos � + i sen �), entonces
z = r ei�
Ejemplo 3.6
1. Calcular las raíces cúbicas de z = 1 + i
Solución Sean
n = 3
r =p12 + 12 =
p2
� = Arctg
�1
1
�=�
4
Por tanto, las raíces cúbicas de z son:
!k =3
qp2
24cos0@ �4 + 2k�
3
1A+ i sen0@ �4 + 2k�
3
1A35 , k = 0; 1; 2es decir
!0 =6p2hcos� �12
�+ i sen
� �12
�i=
6p2e
�12
!1 =6p2
�cos
�3�
4
�+ i sen
�3�
4
��=
6p2e
3�4
!2 =6p2
�cos
�17�
12
�+ i sen
�17�
12
��=
6p2e
17�12
81
La representación grá�ca de estas raíces es:
Comp3
32:jpg
2. Calcular:
r2(cos
3�
4+ isen
3�
4)
Solución Notar que: n = 2; r = 2; � =3�
4:Luego,
!k =p2
264cos0B@ 3�4 + 2k�
2
1CA+ i sen0B@ 3�4 + 2k�
2
1CA375 , k = 0; 1
es decir:
!0 =p2
�cos
�3�
8
�+ i sen
�3�
8
��=p2e
3�8
!1 =p2
�cos
�11�
8
�+ i sen
�11�
8
��=p2e
11�8
Ejercicio 3.8
1. Calcularpi:
2. Calcular 4p�8:
3. Determinar las raíces quintas de la unidad.
82