CAPÍTULO 11 - NÚMEROS ÍNDICE

1. a) Sabemos que para construir um índice, devemos multiplicar o valor por 100 e dividir

pelo valor da base (que no nosso caso é 1.825.621):

1994: 62,67621.825.1

100567.234. =×1

1995: 69,73621.825.1

100234.345. =×1

1996: 26,56621.825.1

100123.027. =×1

1997: 100621.825.1

100621.825. =×1

1998: 21,108621.825.1

100454.975. =×1

1999: 08,96621.825.1

100141.754. =×1

Portanto, o índice referente ao valor das exportações desse país é:

ano índice de valor das exportações (base:

1997=100) 1994 67,62 1995 73,69 1996 56,26 1997 100,00 1998 108,21 1999 96,08

b) Para mudarmos a base do índice para 1994, basta procedermos da mesma forma que no

item a, a única diferença é que partiremos de uma seqüência de dados que já estão na forma de número índice. Para cada ano, então, basta multiplicarmos por 100 e dividirmos pelo valor do ano-base, que agora é 67,62 (1994):

1994: 67,62×62,67

100 =100

1995: 73,6962,67

100× =108,96

1996: 56,2662,67

100× =83,20

1997: 10062,67

100× =147,88

1998: 108,2162,67

100× =160,01

1999: 96,0862,67

100× =142,09

ano índice de valor das

exportações (base: 1994=100)

1994 100,00 1995 108,96 1996 83,20 1997 147,88 1998 160,01 1999 142,09

2. a) Para calcularmos a variação percentual em cada mês, basta dividirmos o índice do

período t pelo índice do período t-1, subtrairmos 1 e multiplicarmos por 100:

mês índice (base: jan/96=100)

Variação percentual

jan/99 410 fev/99 430

1001410430

×

−

4,88

mar/99 427 1001

430427

×

−

-0,70

abr/99 450 1001

427450

×

−

5,39

mai/99 478 1001

450478

×

−

6,22

jun/99 490 1001

478490

×

−

2,51

jul/99 465 1001

490465

×

−

-5,10

ago/99 481 1001

465481

×

−

3,44

b) Para transformar a base do índice, como já sabemos, basta multiplicar cada valor por

100 e dividir pelo valor do ano base (agosto de 1999 = 481). Portanto, temos:

Jan/99: 410 =481100

× 85,24

Fev/99: 430 =481100

× 89,40

Mar/99: 427 =481100

× 88,87

Abr/99: 450 =481100

× 93,56

Mai/99: 478 =481100

× 99,38

Jun/99: 490 =481100

× 101,87

Jul/99: 465 =481100

× 96,67

Ago/99: 481 =481100

× 100

mês índice (base: ago/99=100)

jan/99 85,24 fev/99 89,40 mar/99 88,77 abr/99 93,56 mai/99 99,38 jun/99 101,87 jul/99 96,67

ago/99 100,00 3. a) Índice de Laspeyres Sabemos que o índice de Laspeyres utiliza as quantidades iniciais. Portanto temos que:

L = 0370,11350014000

42000315001100032000415002

≅=×+×+××+×+×1000

Portanto a variação de preços calculada através do índice de Laspeyres é de 3,70%.

Índice de Paasche: Sabemos que no índice de Paasche, utilizamos a quantidade do período final. Portanto:

P = 9433,01410013300

4250031200150032500412002500

≅=×+×+××+×+×

Portanto, pelo índice de Paasche, a variação de preços foi de -5,67%.

Índice de Fisher: Este índice é a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche:

9890,09433,00370,1PLF ≅×=×= Portanto, pelo índice de Fisher, temos uma variação de preços de aproximadamente

-1,10%. Índice de Marshall-Edgeworth: Neste índice, utilizamos a média das quantidades iniciais e finais:

ME = ( )

( )∑

∑

=

=

+

+

n

1i

1i

0i

0i

n

1i

1i

0i

1i

qqp

qqp

Portanto, temos:

ME = 9891,02760027300

)20002500(4)15001200(3)1000500(1)20002500(3)15001200(4)1000500(2

≅=+×++×++×+×++×++×

Desse modo, pelo índice de Marshall-Edgeworth, temos uma queda de 1,09% nos preços. b) índice de Laspeyres:

L = 3469,12450033000

550023000320001010004500330005200012

≅=×+×+×+×

1000 ×+×+×+×

Portanto, pelo índice de Laspeyres, temos uma variação nos preços de

aproximadamente 34,69%. Índice de Paasche:

P = 3048,12100027400

57002250031500108004700325005150012800

≅=×+×+×+××+×+×+×

Dessa forma, pelo índice de Paasche, temos uma variação nos preços de 30,48%.

Índice de Fisher: F = 3257,1757,13048,13469,1PL ≅≅×=× Portanto, pelo índice de Fisher temos uma variação nos preços de 32,57%. Índice de Marshall-Edgeworth:

ME = 3275,1)500700(5)30002500(2)20001500(3)1000800(10)500700(4)30002500(3)20001500(5)1000800(12≅

+×++×++×++×+×++×++×++×

Portanto, pelo índice de Marshall-Edgeworth, a variação de preços foi de 32,75%.

c) Índice de Laspeyres:

L = 12350023500

100041500815005100041500615007

==×+×+××+×+×

Portanto, pelo índice de Laspeyres não houve variação nos preços. Índice de Paasche:

P = 0550,12180023000

8004120081800580041200618007

≅=×+×+××+×+×

Portanto, pelo índice de Paasche, houve uma variação de 5,5%.

Índice de Fisher: F = 0271,10550,11PL ≅×=×

Portanto, pelo índice de Fisher, houve uma variação nos preços de 2,71%. Índice de Marshall-Edgeworth:

ME = ≅+×++×++×+×++×++×

)1000800(4)15001200(8)15001800(5)1000800(4)15001200(6)15001800(7 1,0265

Portanto, pelo índice de ME houve uma variação de 2,65% nos preços.

4. Índice de Laspeyres:

L = 0739,16,179,18

3,0224,0203,0103,0254,0183,014

≅=×+×+××+×+×

L = 1014 0,3 + ×

2018

×0,4 + 2225

×0,3 ≅ 1,1209

Portanto, a variação de preços pelo índice de Laspeyres foi de 12,09%. Índice de Paasche:

P = 20,0

252260,0

182020,0

1410

1

×+×+×≅ 1,0147

Portanto, a variação de preços pelo índice de Paasche foi de 1,47%. 5. Para calcularmos a participação de cada bem no gasto total, devemos multiplicar o preço pela quantidade de cada bem e dividir pela soma do preço multiplicado pela quantidade de todos os bens, ou seja:

∑=

= n

i

ii

1

97i

97i

9797i97

qp

qpw

Portanto, teremos:

1997 preços quantidades pxq w % do gasto

bem 1 $15 1000 15000 0,21 21% bem 2 $20 1200 24000 0,33 33% bem 3 $25 800 20000 0,28 28% bem 4 $22 600 13200 0,18 18%

soma 72200 6. Como temos não as quantidades, mas as participações relativas no gasto em cada período, devemos calcular o índice de Laspeyres como uma média aritmética (ponderada) dos preços relativos:

≅×+×+×+×=×= ∑=

18,0222228,0

252433,0

202221,0

1516w

ppL

1i

97

i97

i

98

i98

n

1,0358

Portanto, em 1998 houve uma variação de preços de 3,58% em relação a 1997.

L99 = ∑ = =

×n

i 1

97

i97

i

99

i wpp

≅×+×+×+× 18,0222328,0

252333,0

202521,0

1518 1,11

Portanto, em 1999 houve uma variação de preços de 11% em relação a 1997.

L00 = ∑ = =

×n

i 1

97

i97

i

00

i wpp

≅×+×+×+× 18,0222528,0

252233,0

202621,0

1520 1,16

Portanto, em 2000 houve uma variação de preços de 16% em relação a 1997. 7. Sabemos que o índice de Fisher é a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche:

PLF ×= O critério de reversibilidade implica a seguinte condição:

1FF 1001 =× Para atender a este critério, teríamos que:

1010010110100101 PLPLPLPL ×××=××× =

= 1101

00

11

10

10

11

00

01

==×××∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

Portanto, o índice de Fisher atende ao critério de reversibilidade. O critério de circularidade implica que 021201 III =× . Vejamos se isto vale para o índice de Fisher:

≠×××=×××=×

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

qp

qp

qp

qp

qp

qp

qp

qpPLPLFF

1

12

1

22

1

11

1

12

1

10

1

11

1

00

1

01

121201011201 I02

Portanto, o índice de Fisher não atende ao critério de circularidade.

Vejamos agora se ele tem a propriedade de que o índice de preços vezes o de quantidade é igual ao índice de valor:

Fp ×Fq = qq PLPL ××× = ∑∑

∑∑

∑∑

∑∑ ×××

01

11

00

10

00

11

00

01

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

= ( )( )200

211

∑∑

qp

qp =

∑∑

00

11

qq

pp

= índice de valor

Portanto, esta propriedade é satisfeita pelo índice de Fisher.

8. Índice de Marshall-Edgeworth: ( )

( )∑

∑

=

=

+

+

n

1i

1i

0i

0i

n

1i

1i

0i

1i

qqp

qqp

Critérios de Fisher: I) Identidade: ME00 = 1

( )

( )1

qqp

qqpn

1i

0

i

0

i

0

i

n

1i

0

i

0

i

0

i

=+

+

∑

∑

=

=

Portanto, o índice de ME atende a esse critério. II) Homogeneidade: este critério implica que o valor do índice não deve ser alterado por alterações nas unidades de medida. O índice de ME atende a este critério, pois se trocarmos as unidades dos preços ou das quantidades, essa mudança se dará tanto no denominador quanto no numerador, mantendo o resultado final inalterado.

III) Proporcionalidade: se 0

i

1

i

pp são todos iguais a um certo valor, o índice também o será.

É fácil verificar que o índice de ME atende a este critério. IV) Determinação: O índice de ME atende a este critério, visto que tanto o numerador quanto o denominador são somatórios e, portanto, se apenas um preço ou quantidade for zero o total não o será. V) Reversibilidade: ME01 ×ME10 = 1

( )

( )∑

∑

=

=

+

+

n

1i

1i

0i

0i

n

1i

1i

0i

1i

qqp

qqp×

( )

( )∑

∑

=

=

+

+n

1i

1

i

0

i

1

i

n

1i

1

i

0

i

0

i

qqp

qqp=1

Portanto, o índice de ME atende a este critério. VI) Circularidade: ME01 × ME12 = ME02

( )

( )∑

∑

=

=

+

+

n

1i

1i

0i

0i

n

1i

1i

0i

1i

qqp

qqp×

( )

( )∑

∑

=

=

+

+n

1i

2

i

1

i

1

i

n

1i

2

i

1

i

2

i

qqp

qqp≠

( )

( )∑

∑

=

=

+

+n

1i

2

i

0

i

0

i

n

1i

2

i

0

i

2

i

qqp

qqp= ME02

Portanto, o índice de ME não atende a esse critério.

Índice de preços × Índice de quantidade = índice de valor

( )

( )∑

∑

=

=

+

+

n

1i

1i

0i

0i

n

1i

1i

0i

1i

qqp

qqp×

( )

( )∑

∑

=

=

+

+n

1i

1

i

0

i

0

i

n

1i

1

i

0

i

1

i

ppq

ppq≠ ∑

∑

=

=n

1i

0

i

0

i

n

1i

1

i

1

i

qp

qp=V

Portanto, o índice de Marshall-Edgeworth não atende a essa propriedade. 9. Índice geométrico simples:

IG = n

n

n

pp

pp

pp

0

1

0

2

1

2

0

1

1

1 ××× …

I) Identidade: IG00 = 1 Este critério é atendido pelo índice geométrico simples, pois nesse caso teremos raiz enésima de 1, que é igual a 1. II) Homogeneidade: Este critério é atendido pelo índice geométrico simples, pois se alterarmos a unidade de medida dos preços essa se dará tanto no numerador quanto no numerador e não alterará o resultado final. III) Proporcionalidade: Este critério também é atendido pelo índice geométrico simples, pois se todos os preços relativos forem iguais a um valor, o índice também o será. IV) Determinação: Este critério não é atendido pelo índice geométrico simples, uma vez que um único valor zero anula o valor total, já que estamos multiplicando os preços relativos. V) Reversibilidade: IG01× IG10 = 1

n

n

n

pp

pp

pp

0

1

0

2

1

2

0

1

1

1 ××× … × n

n

n

pp

pp

pp

1

0

1

2

0

2

1

1

0

1 ××× … =1

Portanto, IG atende ao critério de reversibilidade. VI) Circularidade: IG01 × IG12 = IG02

n

n

n

pp

pp

pp

0

1

0

2

1

2

0

1

1

1 ××× … × n

n

n

pp

pp

pp

1

2

1

2

2

2

1

1

2

1 ××× … = n

n

n

pp

pp

pp

0

2

0

2

2

2

0

1

2

1 ××× …

Portanto, o índice geométrico simples atende ao critério de circularidade. 10. a) mês salário

nominal (R$) Variação percentual dos salários nominais

janeiro 1.000,00 fevereiro 1.100,00 10% março 1.300,00 18,18% abril 1.650,00 26,92% maio 1.700,00 3,03% junho 2.000,00 17,65% b) mês índice de preços

(base: janeiro = 100)

Taxa de inflação (mensal)

janeiro 100 fevereiro 120 20% março 140 16,67% abril 170 21,43% maio 190 11,76% junho 220 15,79% c) Para determinar a variação percentual dos salários reais precisamos, antes de mais nada,

determinar os salários reais (!). E sabemos que para transformar valores nominais em valores reais, devemos deflacionar a série. Para fazer isso, basta multiplicarmos o salário nominal pelo índice do período-base e dividir pelo índice do mês em questão (tomaremos janeiro como período-base).

mês salário nominal

(R$) índice de preços (base: janeiro = 100)

salários reais (preços constantes de janeiro)

janeiro 1.000,00 100 1000,00 fevereiro 1.100,00 120 916,67 março 1.300,00 140 928,57 abril 1.650,00 170 970,59 maio 1.700,00 190 894,74 junho 2.000,00 220 909,09 E a variação percentual dos salários reais é mostrada abaixo: mês salários reais (preços

constantes de janeiro)

Variação percentual dos salários reais

janeiro 1000 fevereiro 916,6667 -8,33

março 928,5714 1,30 abril 970,5882 4,52 maio 894,7368 -7,81 junho 909,0909 1,60 11. a) Ano índice de valor das

importações (base: 1997=100)

1996 86,55 1997 100,00 1998 130,52 1999 99,18

b) Ano índice de

preços(base: 1990 = 100)

Taxa de inflação

1996 127 -1997 150 18,11%1998 171 14,00%1999 187 9,36%

c) Ano importações

(X$) índice de preços(base: 1990 = 100)

Valores reais das importações (a preços constantes de 1999)

1996 978.503 127 1.440.787,881997 1.130.544 150 1.409.411,521998 1.475.612 171 1.613.680,961999 1.121.300 187 1.121.300,00

12. Sabemos que:

Índice de valor = ∑∑

00

11

qpqp

Índice de quantidade de Laspeyres = ∑∑

00

10

qpqp

Índice de preços de Paasche: ∑∑

00

11

qpqp

Dividindo o índice de valor pelo índice de quantidade de Laspeyres, obtemos:

∑∑

00

11

qpqp

÷∑∑

00

10

qpqp

=∑∑

00

11

qpqp

×∑∑

10

00

qpqp

=∑∑

10

11

qpqp

Que é exatamente o índice de preços de Paasche. Portanto, temos que o índice de Paasche será 1,5 (120 80, índice de valor dividido pelo índice de quantidade de Laspeyres), o que significa uma variação de preços de 50%.

÷

13. Note que o exercício pede o percentual do orçamento representado por este produto na época do período base. Portanto, devemos utilizar o índice de preços de Laspeyres:

L = ∑ × 0i0

i

1i w

pp

Como houve um aumento de 20% no preço de um produto que significou um aumento de 0,5% no custo de vida, temos que:

2,5%0,0250,200,005w0,0050,20w 00 ===⇒=

Portanto, o percentual do orçamento representado por este produto na época do período base é de aproximadamente 2,5%. 14. a) Falso. Se há inflação o salário real sempre cai, desde que os salários nominais

aumentem menos que a inflação, ou se mantenham fixos. b) Falso. O índice de preços de Laspeyres compara o custo de aquisição em um certo

período da cesta de bens do período base com o custo de aquisição dessa cesta no período base.

c) Verdadeiro. O índice de Paasche compara o custo de aquisição num certo período de uma cesta de bens com o custo de aquisição desta mesma cesta (cesta essa do certo período) no período base.

d) Falso. O índice de preços de Laspeyres será maior que o de Paasche apenas se o coeficiente de correlação entre preços e quantidades for menor que zero.

e) Falso. Sendo uma média geométrica do índice de preços de Laspeyres e de Paasche, o índice de Fisher ficará situado entre esses dois índices.

f) Verdadeiro.