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IDENTIFICACION DE SISTEMAS

CAPITULO 7

Técnicas de identificación paramétrica

1

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CAPITULO 7 Técnicas de identificación paramétrica!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"7!1 INT#ODUCCI$N!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

7!1!1 Estr%ct%ra de& m'de&'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(7!) PE#TU#*ACION EN SISTEMAS LINEALES IN+A#IANTES EN ELTIEMPO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!7

7!)!1 Presencia de pert%r,aci'nes!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-7!)!) Caracteri.ación de &as pert%r,aci'nes!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1/

7!" P#EDICCI$N!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!117!"!1 Ec%aci'n 0enera& de predicci'n para %n sistema &inea&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!117!"!) Inerti,i&idad de& M'de&' de #%id'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1"7!"!" Predicción de v en e& si0%iente pas' de m%estre'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!127!"!( Predicción de y en e& si0%iente pas' de m%estre'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!17

7!( EST#UCTU#AS DE LOS MODELOS DE CA3A NE4#A LINEALES

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1-7!(!1 M'de&'s &inea&es 5 sets de m'de&'s &inea&es!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/7!(!) Fami&ias de m'de&'s de f%nci'nes de transferencia!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!))

7!6 MTODOS PA#A EL A3USTE DE PA#8MET#OS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)77!6!1 O,9eti's de &'s mét'd's de estimación paramétric's!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)-7!6!) Mét'd' de estimación p'r m:nim's c%adrad's ;LS

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CAPITULO 7: Técnicas de identificación paramétrica

7.1 INTRODUCCIÓN 

L's m'de&'s paramétric's> a diferencia de &'s m'de&'s n' parametric's>?%edan descrit's mediante %na estr%ct%ra 5 %n n@mer' finit' de parmetr's?%e re&aci'nan &as seBa&es de interés de& sistema ;entradas> sa&ida 5

 pert%r,aci'nes

En m%cas 'casi'nes es necesari' rea&i.ar &a identificación de %n sistema de&c%a& n' se tiene nin0@n tip' de c'n'cimient' prei'! En est's cas's> se s%e&erec%rrir a m'de&'s estndar> c%5a a&ide. para %n amp&i' ran0' de sistemas

dinmic's a sid' c'mpr',ada eperimenta&mente! 4enera&mente est'sm'de&'s permiten descri,ir e& c'mp'rtamient' de &'s sistemas &inea&es! Ladific%&tad radica en &a e&ección de& tip' de m'de&' ;inc&%5end' s% estr%ct%ra'rden de& mism'> n@mer' de parmetr's> etc!< ?%e se a9%ste satisfact'riamentea &'s dat's de entradasa&ida ',tenid's eperimenta&mente!

En este capit%&' n's dedicarem's a& est%di' de &'s mét'd's de estimación de parmetr's en e& d'mini' temp'ra& 5 en e& d'mini' frec%encia&! Est's met'd'sse ,asan en e& s%p%est' de ?%e e& sistema p%eda representarse p'r %na partedeterminista ' ca%sa& 5 %na parte est'cstica ?%e en0&',a &as dinmicas n'm'de&i.a,&es de& sistema! En 0enera& se as%me ?%e &a parte est'cstica p%edeser representada p'r %na aria,&e 4a%siana!

L's mét'd's de estimación en e& d'mini' temp'ra& ?%e se est%dian> tienen &a partic%&aridad de ?%e a partir de e&&'s se estiman m'de&'s discret's ;d'mini' z  %ti&i.and' técnicas frec%encia&es

 p'drem's estimar m'de&'s tant' c'ntin%'s c'm' discret's!

En 0enera&> &a ,ase de t'd's &'s mét'd's de estimación c'nsiste en minimi.ar %n's resid%'s ( )t ε  > definiend' ( )t ε   c'm'>

"

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( ) ( ) ( )t y t y t  ε    = − ;7!1!1<

siend' y;t < e& a&'r desead' de &a sa&ida> > 5 ( )F y t   e& a&'r de predicción> ?%e es

f%nción de& m'de&' estimad'! La minimi.ación se rea&i.a 0enera&mente%ti&i.and' %n criteri' c%adrtic'! La met'd'&'0:a de c&c%&' a %ti&i.ar depender de &a re&ación entre ( )t ε   5 &'s parmetr's ?%e se ?%ieren estimar!C%and' &a re&ación sea &inea& se p'dr %ti&i.ar %n mét'd' de c&c%&' ana&:tic'>mientras ?%e en e& cas' de %na re&ación n' &inea&> e& mét'd' de c&c%&' a%ti&i.ar> en 0enera&> ser iterati'!

Se de,e decir ?%e &'s m'de&'s estimad's> tant' en e& d'mini' temp'ra& c'm'frec%encia&> sern m'de&'s c'n dinmicas &inea&es! En &a ta,&a 7!1!1 se

m%estran ms c&aramente est's c'ncept's

Tabla 7.1.1! C&arificación de& términ' &inea&idad!

DIN8MICA P#OCESO E##O#  

Linea&  y' G ay = u

respect' a& c'eficiente a&inea& n'&inea&

H y ay uε  = + − y wε  = −Hw aw u+ =

 N'&inea& y' G ay" =

u"H y ay uε  = + −

 y wε  = −"Hw aw u+ =

7.1.1 Estructura del modelo

Partiend' de &a ,ase de ?%e para m'de&i.ar %n pr'ces' necesitam's &'s dat's',serad's> en e& cas' de %n sistema dinmic' c'n %na entrada en e& instante t den'minada c'm' u;t  u; N  y; N 

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E& pr',&ema de &'s mét'd's de identificación c'nsiste en enc'ntrar re&aci'nesmatemticas entre &as sec%encias de entrada 5 &as sec%encias de sa&ida! Otam,ién> si definim's &as ',seraci'nes de f'rma ms 0enera&

( ) ( ){ } N > y t t ϕ = t 1>!!! N  ;7!1!1!)<

&' ?%e n's pre'c%pa es c'm' determinar  y; N+1< a partir de ( )1 N ϕ    + ! En e&cas' de %n sistema dinmic'> e& termin' ( )t ϕ   c'ntendr:a &a inf'rmación de &asentradas 5 sa&idas anteri'res a t !

Ent'nces> e& pr',&ema matemtic' ?%e se f'rm%&a es &a c'nstr%cción de %na

f%nción ( )( ) > N  g t t ϕ   ta& ?%e a partir de e&&a p'dam's determinar ( )F y t 

( ) ( )( )F F   > N  y t g t t ϕ = ;7!1!1!"<

En 0enera& se ,%sca %na f%nción g ?%e sea parametri.a,&e> es decir ?%e ten0a%n n@mer' finit' de parmetr's! A est's  parámetros se &es den'mina c'n e&ect'r θ ! A t'da &a fami&ia de f%nci'nes candidatas se &as den'minaestructura del modelo> 5 en 0enera& estas f%nci'nes se escri,en c'm'

( )( )> > N  g t t θ ϕ  ! Esta f%nción permite ca&c%&ar e& a&'r y;t  > N  y t g t t θ ϕ ≈ ;7!1!1!(<

La ,@s?%eda de %na ,%ena f%nción se rea&i.a en términ's de& parmetr' θ > 5e& c&c%&' de& a&'r  N θ   c'nd%ce a

( )( )   ( )( ) > > > N N  g t t g t t ϕ θ ϕ = ;7!1!1!6<

6

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P'r e9emp&'> en e& cas' de %na estr%ct%ra de m'de&' simp&e c'm' e& A# de primer 'rden

( ) ( ) ( ) ( )1 )1 1 ) y t ay t b u t b u t + − = − + − ;7!1!1!2<

&a c'rresp'ndencia c'n &a f'rm%&ación 0enera& seria

[ ]1 )T 

a b bθ  = ;7!1!1!7<

( ) ( ) ( ) ( )1 1 )  T 

t y t u t u t  ϕ    = − − −

( )( )   ( ) ( ) ( )1 )> > 1 1 ) g t t ay t b u t b u t θ ϕ    = − − = − + −

( )( )   ( )> >   T  g t t t θ ϕ ϕ θ  =

E& e9emp&' anteri'r m%estra &a f'rm%&ación c'nenci'na& de &'s sistemas deidentificación> en ?%e &a estr%ct%ra de& m'de&' se c'rresp'nde c'n %nare0resión &inea&!

Sin em,ar0'> en 0enera&> &a estr%ct%ra de& m'de&' p'dr:a ser c%a&?%iera> desdere0resi'nes n' &inea&es ;cas' en ?%e g es n' &inea& respect' a θ  m'de&'s tip'tailor-made’ > a redes ne%r'na&es! Tam,ién p'dr:an inc&%irse m'de&'sdinmic's  Fuzzy en e& cas' en ?%e se reemp&a.ara ( )t ϕ    5  y;t < p'r a&'resc'm' “el or!o está muy calie!te">"el or!o está tibio"> “el agua está

irvie!do"> !!!> etc!

2

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7.2 PERTURBACION EN SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO 

4enera&mente &'s m'de&'s paramétric's se descri,en en e& d'mini' discret'>

 p%est' ?%e &'s dat's ?%e siren de ,ase para &a identificación se ',tienen p'r m%estre'!

En e& cas' de tiemp' discret' %n sistema &inea& p%ede epresarse c'm' %naec%ación en diferencias finitas de& tip'

( ) ( )   ( )   ( )   ( )1 /1 a ba a ! b ! y t ! a y t ! a y t b u t ! b u t + + + − + + = + + +L L

( ) ( )/ /

a b! !

# a $ b

# # 

a y t ! # b u t ! #  = =

+ − = + −∑ ∑ ;7!)!1<

En termin's de& 'perad'r de retard' %&1 > definid' c'm' ( ) ( )1 1% u t u t  − = − > seescri,e ;7!)!1< c'm'>

( ) ( )   ( ) ( ) ( )1 /1 a b! a d ! d b y t a y t a y t ! b u t ! b u t ! !+ − + + − = − + + − −L L

( )   ( )   ( )   ( )1 11 / 11  !a !d !b

!a !ba % a % y t % b b % b % u t  − − − − −+ + + = + + +L L  ;7!)!1a<

c'n> d a b! ! != − > e& retard' p%r' c'n ?%e aparece &a entrada en &a sa&ida! En0enera&> es p'si,&e escri,ir &a f%nci'n de transferencia1  de &a ec%aci'n;7!)!1< c'm'>

( )   ( )   ( )1 y t % u t −= ;7!)!)<

1 Estrictamente> &a f%nci'n de transferencia se define en termin's de &a aria,&e c'mp&e9a z !

7

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d'nde ( )1' %−  tiene &a f'rma)>

( )

11   / 1

111

!b

!b

!a!a

b b % b %

% a % a %

− −−

− −

+ + +

= + + +

L

L ;7!)!"<

Se dice ?%e e& sistema es causal " ;fisicamente rea&i.a,&e< c%and' !b !a≤ ! Enade&ante c'nsiderarem's s'&' sistemas ca%sa&es> si n' se dice &' c'ntrari'! Esdecir ;7!)!"< es %na f%nci'n de transferencia  propia(! Se dice ent'nces ?%e;7!)!"< es %na f%nci'n de transferencia realizable(! Para ?%e sea rea&i.a,&e esimp'rtante ase0%rarse ?%e e& c'eficiente de &a ma5'r p'tencia de&den'minad'r> ;   /% sea %n'2! De n' ser asi> es necesari' diidir &a f%nci'n p'r 

este c'eficiente para &&ear a& p'&in'mi' den'minad'r de &a f%nci'n detransferencia a &a f'rma m'nica!

La serie 1 )/ 1 ) g g % g %− −+ + + L  ?%e res%&ta de &a diisi'n de &'s p'&in'mi's

de& n%merad'r p'r e& den'minad'r ree&a &a resp%esta a& imp%&s' de& sistema>

( )   ( ) ( ) ( )1 1 )/ / 1 )1

!b

!b

!a

!a

b b % % g g % g %

a %

−− − −

−

+ += = + + +

+ +

LL

L;7!)!(<

En termin's de &a resp%esta imp%&sia> ( ) g t  > &a epresión 0enera& de %nm'de&' LTI discret' es de& tip'

) L's c'eficientes de ;7!)!"< en 0enera& n' s'n &'s mism's ?%e ;7!)!1 d'ndem%estra ep&icitamente e& retard' p%r' de &a entrada !d = !a ) !b!

" Un sistema es causal  si &a resp%esta de& sistema en %n instante t  depende só&' de &a entrada en ese instante 5anteri'res! Es decir> %n sistema es ca%sa& si &a resp%esta en %n instante dad' n' depende de instantes f%t%r's! A

est's sistemas tam,ién se &es den'mina !o a!ticipativos> 5a ?%e s% resp%esta n' anticipa a&'res f%t%r's de &aentrada!

( C%and' !b !a≤  se dice ?%e &a f%nci'n de transferencia ( )1' %−   es  propia! Si !b !a< ent'nces

( )1' %−  es estrictame!te propia!6 Una f%nci'n de transferencia c'm' ;7!)!"< es rea&i.a,&e si eiste %na rea&i.aci'n en aria,&es de estad' Q *

 , .R! Si &a f%nci'n de transferencia se epresa c'm' ;7!)!" ;n'te e& p'&in'mi' m'nic' de& den'minad'r5 es pr'pia> ent'nces es rea&i.a,&e2 C%and' e& c'eficiente de &a ma5'r p'tencia de %n p'&in'mi' es %n' se dice ?%e e& p'&in'mi' es mo!ico!

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( ) ( ) ( )( )/

l 

# 

 y t g # % u t ∞

−

=

= ∑ ;7!)!6<

En &a ma5'ria de &'s cas's c'nsiderarem's sistemas esta,&es> es decir sistemas?%e n' p'seen p'&'s f%era de& c:rc%&' %nitari'! Si e& sistema es esta,&eent'nces>

( )/# 

 g # ∞

=

< ∞∑ ;7!)!2<

7..1 Presencia de pertur!aciones

De ac%erd' c'n &a ec%ación ;7!)!)< &a sa&ida p%ede ser ca&c%&ada en f'rmaeacta %na e. c'n'cida &a entrada a& sistema! Per' en &a ma5'r:a de &'s cas'sest' es imp'si,&e de,id' a ?%e siempre eisten seBa&es esp%rias ?%e afectan a&sistema 5 se escapan de n%estr' c'ntr'&! A'ra> ,a9' %n marc' teóric' &inea&>

 p'dem's as%mir ?%e dic's efect's p%eden ser representad's p'r %n términ'

aditi' v;t < a &a sa&ida ;er fi0%ra 7!1!1 en 0enera&> v;t < es e& términ' ?%e m'de&a &a sa&ida de,ida a &as pert%r,aci'nes! a5 m%cas f%entes 5 ca%sas de pert%r,aci'nes> entre &asc%a&es p'dem's destacar &as diferentes c&ases de r%id' c'm' as: tam,ién &asentradas eó0enas a& sistema> ?%e se c'mp'rtan c'm' aria,&es de c'ntr'&

 per' ?%e n' p%eden ser c'ntr'&adas p'r e& %s%ari'!

-

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Figura 7.1.1 Sistema c'n pert%r,ación

7.. Caracteri"ación de las pertur!aciones

La caracter:stica ms imp'rtante de %na pert%r,ación es ?%e s% a&'r n' se p%ede c'n'cer de anteman'! Sin em,ar0'> inf'rmación acerca de pert%r,aci'nes pasadas p'dr:a res%&tar de m%ca %ti&idad para acer adec%adas

s%p'sici'nes acerca de a&'res f%t%r's! P'r &' tant'> c'm' si0%iente pas' sernecesari' emp&ear %n marc' pr',a,i&:stic' para descri,ir f%t%ras

 pert%r,aci'nes!

Una simp&e apr'imación de v;t < p'dr:a ser &a si0%iente

( )   ( )   ( )1v t / % e t  −= ;7!)!1!)<

( )   ( )1/

# 

# 

 / % # %∞

− −

=

= ∑ ;7!)!1!"<

d'nde e;t < es %n pr'ces' est'castic' de aria,&es a&eat'rias independientes dedistri,%ci'n n'rma& idénticamente distri,%ida 5 de media n%&a ;ruido bla!co

En tant' ?%e ( )1 / %−  c'rresp'nde a &a resp%esta de& m'de&' de r%id'> 5 d'nde

as%mim's ?%e es ca%sa& 5 esta,&e! Esta descripción es m%5 ersti& 5s%ficiente para &a ma5'r:a de n%estr's pr'pósit's prctic's! +a&e ac&arar ?%ee;t < 5> p'r &' tant'> v;t  s'n procesos estocásticos! Per' &as pert%r,aci'nes ?%e',seram's 5 ?%e s'n s%madas a &a sa&ida de& sistema s'n realizacio!es de&

 proceso estocástico v;t < ;+er fi0%ra 7!)!1

1/

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Figura 7.2.1 Sistema c'n pert%r,ación

En &'s mét'd's de estimación de parametr's discret's &'s err'res dem'de&i.ación se inc&%5en> a diferencia de 'tr's mét'd's de estimación> en e&términ' e;t 

7.3 PREDICCIÓN 

La descripci'n de& sistema dada en ;7!)!1!1< p%ede ser %ti&i.ada para res'&er %na 0ran ariedad de pr',&emas de diseB' re&aci'nad's c'n &'s sistemasrea&es! Sin em,ar0'> &a idea de predecir f%t%r's a&'res de sa&ida se a a t'rnar en %n tema de esencia& imp'rtancia en e& desarr'&&' de mét'd's deidentificación> es p'r es' ?%e a c'ntin%ación presentarem's &as ideas ,sicas

 para a&&ar %n predict'r de &a sa&ida en e& instante t > dad' ?%e se c'n'cen &asseBa&es de& sistema asta e& instante t   1!

7.#.1 Ecuacion $eneral de prediccion para un sistema lineal

C'nsiderem's e& m'de&' de r%id' ;7!)!1!)

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( )( )

1 1

1

1 / %

 / %

− −

−= ;7!"!1!1<

Ent'nces a partir de ;7!)!1!1 5 cam,iand' m'mentaneamente> en aras deacer mas c&ara &a n'taci'n de &as ec%aci'nes> e& ar0%ment' de &as f%nci'nesde transferencia 1%−  p'r %>

( ) ( ) ( ) ( ) y t % u t v t = + ;7!"!1!)<

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 / % y t / % % u t / % v t − − −= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 / % y t / % % u t / % v t − − − − + = +

( ) ( ) ( ) ( )   ( )   ( ) ( ) ( )1 1 1 11 y t / % y t / % ' % u t / % v t − − − − + − = +

Se despe9a ( ) y t 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 y t / % % u t / % y t / % v t − − − = + − + ;7!"!1!"<

Esta representa &a ec%aci'n 0enera& de predicci'n para %n sistema &inea&!

Sin em,ar0'> si se desea %ti&i.ar ;7!"!1!"< c'm' predict'r de& a&'r de sa&idaen e& si0%iente pas' de m%estre'> para predecir e& a&'r de y en e& instante t  sere?%iere ?%e &a t'ta&idad de& &ad' derec' de esta ec%aci'n p%eda ser c'n'cid'en e& instante t ) 1! Para ?%e est' se de> se de,en c%mp&ir ciert'sre?%erimient's ?%e c'nsiderarem's a c'ntin%aci'n!

1)

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En %na primera instancia de,erem's desarr'&&ar %n mét'd' ?%e n's permita predecir a&'res f%t%r's de ( )v t   en e& cas' de ?%e s% descripción sea

( )   ( )   ( ) ( ) ( )1/# 

v t / % e t # e t #  ∞

−

== = −∑ ;7!"!1!(<

Per' antes c'nsiderem's c'n ma5'r deta&&e e& as%nt' de &a inerti,i&idad de&m'de&' de r%id'!

7.#. In%erti!ilidad del &odelo de 'uido

Una pr'piedad m%5 imp'rtante de& m'de&' de r%id' ( )1 / %− > &a c%a& em'simp%est'> es ?%e sea i!vertible7! Est' ?%iere decir ?%e si es c'n'cida ( )v   τ 

 para t'd' t τ  ≤ > ent'nces es p'si,&e a&&ar ( )e t   c'm'

( )   ( )   ( )1 1e t / % v t  − −= ;7!"!)!1<

d'nde 1 / −  es %na f%nci'n de transferencia ca%sa&> definida c'm'

( )( )

  ( )1 11

/

1  # 

# 

 / % # % / %

∞− − −

−=

= = ∑ %   ;7!"!)!)<

Ademas> 1 / −   de,e ser esta,&e> 5a ?%e ( )e t    es %n pr'ces' est'castic'estaci'nari'! Es decir>

7 Un sistema 0  es inerti,&e si eiste 'tr' sistema> ?%e den'minam's 0 V1 ' sistema iners'> de f'rma ?%e a&c'm,inar&' en serie c'n e& primer' 5 %ti&i.ar &a resp%esta de& primer' ; 0 < c'm' entrada de& se0%nd' ;0 V1<',tenem's &a entrada inicia& de& sistema!

1"

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( )/# 

# ∞

=

< ∞∑   % ;7!"!)!"<

P'r &' tant'>

( ) ( ) ( )/# 

e t # v t #  ∞

=

= −∑ % ;7!"!)!(<

Requerimientos para la invertibilidad del Modelo de Ruido

Siend' ( )1 / %−  &a f%nci'n de transferencia de %n sistema ca%sa& 5 esta,&e> &a

epresi'n 0enera& para ( )1 / %−  es

( )  ( )

( )

1 11   / 1

11

11

!c

!c

!d 

!d 

- %   c c % c % / %

d % d % . %

− − −−

− −−

+ + += =

+ + +L

L;7!"!)!6<

D'nde para ?%e ( )1 / %−  sea ca%sa& de,e c%mp&irse ?%e !c !d  ≤  5 d'nde &'s p'&'s> es decir &as raices de& p'&in'mi' de& den'minad'r> s'n esta,&es!

A'ra ,ien> se0@n ;7!"!1!1< e& m'de&' iners' de /  de,e c%mp&ir ?%e>

( )( )

11 1   1

11

/ 1

1 1   !d !d !c

!c

d % d % / %

c c % c % / %

− −− −

− −−

+ + += =

+ + +L

L;7!"!)!2<

P'r &' tant'> para ?%e e& m'de&' iners' ten0a %na f%nci'n de transferenciaca%sa& 5 esta,&e de,e c%mp&irse ?%e

1(

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1! !d !c= ! Est' p'r?%e e& m'de&' iners' de,e ser ca%sa&> es decir !d !c≤

)! L's cer's de ( )1 / %−  de,en ser esta,&es! Est' p'r?%e e& m'de&' iners'

de,e ser esta,&e 5 s%s p'&'s s'n &'s cer's de ( )1 / %− !

"! Ademas> para mantener &a rea&i.a,i&idad de ( )1 / %−   e& c'eficiente /c

de,e ser i0%a& a %n'! Es decir> ( )1 / %−   se de,e epresar c'm' e&c'ciente de d's p'&in'mi's m'nic's!

P'r &' tant'> c'n respect' a& m'de&' de r%id'> para ?%e sea inerti,&e de,en

c%mp&irse &'s si0%ientes re?%erimient's adici'na&es>

1! E& m'de&' de r%id' ( )1 / %−   n' intr'd%ce nin0%n retard' en s%resp%esta! Es decir> es %na f%nci'n de transferencia pr'pia

)! E& m'de&' de r%id'   ( )1 / %−  es %n sistema de fase n' minima! Es decir de cer's esta,&es!

"! E& primer termin' de &a resp%esta a& imp%&s' a&e %n'> ( )/ 1   = > 5a ?%e

( )1 / %−  se de,e epresar c'm' e& c'ciente de d's p'&in'mi's m'nic's!Est' imp&ica ?%e e& m'de&' de r%id' se p%ede epresar c'm'>

( )   ( )11

 1G   # 

# 

 / % # %∞

− −

=

=   ∑ ;7!"!)!7<

16

8/18/2019 capitulo_07 (1)

16/44

7.#.# Predicción de v  en el si$uiente paso de muestreo(

S%p'n0am's a'ra ?%e em's ',serad' ( )v   τ   para t'd' 1t τ  ≤ −  ;es decir>asta e& instante anteri'r 1t  − < 5 ?%e ?%erem's predecir e& a&'r de ( )v t 

 ,asnd'n's en estas ',seraci'nes! Tenem's ent'nces>

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ 1

/# # 

v t # e t # e t # e t #  ∞ ∞

= =

= − = + −∑ ∑ ;7!"!"!1<

S%r0e a'ra tra,a9ar c'n &a espera!za co!dicio!al de ( )v t    ?%e se den'ta

( ) 1v t t  − ! Est' se refiere a& a&'r ?%e se predice de ( )v t   c'n &a inf'rmación',tenida de &'s instantes anteri'res a t ! C'm' e& a&'r esperad' de ( )e t    es

n%&'> ent'nces> dad's &'s a&'res de ( )e  τ   para 1t τ  ≤ −

( )   ( ) ( )1

1# 

v t t # e t #  ∞

=

− = −∑ ;7!"!"!)<

 N'tese ?%e ( )1e t  −   es e& a&'r mas reciente %ti&i.ad' en ;7!"!"!)< para

ca&c%&ar ( ) 1v t t  − ! A'ra> dad' ?%e ( )/ 1   = >

( )   ( ) ( )   ( )   ( )1 11

1 1# 

v t t # % e t / % e t  ∞

− −

=

− = = −   ∑

De &a inerti,i&idad de /  de &a ac%aci'n ;7!"!)!1<

( )   ( ) ( )   ( )1 1 1 1 1v t t / % / % v t  − − − − = −

 En in0&es OneStepaead predicti'n

12

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( )   ( )   ( )1 1 1 1v t t / % v t  − − − = − ;7!"!"!"<

La ec%aci'n ;7!"!"!"< n's pr'p'rci'na %n mét'd' ?%e n's permite predecir e&a&'r de ( )v t    en e& si0%iente pas' de m%estre' 5a ?%e ( )1 11  / %− − − intr'd%ce a& men's %n retard'!

7.#.) Predicción de y  en el si$uiente paso de muestreo

C'nsiderand' %na descripción de& sistema c'm' &a ;7!)!1!1

( )   ( )   ( ) ( )1 y t ' % u t v t −= + ;7!)!1!1<

si as%mim's ?%e ( )1 %−  es estrictamente pr'pia ;est' es> n' tiene %n termin'direct' de entradasa&ida 5 as%mim's ?%e tant' ( ) y   τ    c'm' ( )u   τ    s'nc'n'cidas para t'd' 1t τ  ≤ − > ent'nces> &'s termin's de &a dereca de &aepresi'n estan disp'ni,&es en e& instante t & 1! P'dem's decir ?%e

( ) ( )   ( )   ( )1v y ' % uτ τ τ −= − ;7!"!"!(<

Es decir> ( )v t   tam,ién es c'n'cida para 1t τ  ≤ − ! P'r &' tant' &a esperan.ac'ndici'na& de ( ) y t  > dada &a inf'rmación anteri'r> es

( )   ( )   ( )   ( )1 1 1 y t t % u t v t t −− = + −

Uti&i.and' ;7!"!"!"<

17

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18/44

  ( )   ( )   ( )   ( )   ( )1 1 1 1 1 y t t % u t / % v t − − − − = + −

  ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )1 1 1 11 % u t / % y t % u t  − − − − = + − −

L%e0'>

( )   ( ) ( )   ( )   ( )   ( )1 1 1 1 1 1 1 y t t / % % u t / % y t − − − − − − = + − ;7!"!"!6<

Esta epresi'n representa ent'nces e& predict'r de  y;t < c'n %n pas' de

anticipaci'n! La ec%aci'n ;7!"!"!6< ser> de a?%: en ade&ante> &a epresión ?%e%ti&i.arem's para predecir &'s a&'res f%t%r's de &a sa&ida de& sistema!

C'm' res%&tad'> p'dem's escri,ir>

( )   ( )   ( ) 1 y t y t t e t = − + ;7!"!"!2<

Esta ec%aci'n representa %na desc'mp'sici'n de ( ) y t   en %n termin' ( ) 1 y t t  −?%e esta disp'ni,&e en e& instante 1t  − > 5 %n termin' ( )e t    ?%e n' estadisp'ni,&e en ese m'ment'!

La me9'r predicci'n de ( ) y t   n' esta determinada de %na manera %ni'ca!Eisten arias p'si,i&idades a esc'0er> en dependencia de& si0nificad' de &'?%e sea &&amad' me9'r!

El Error de prediccion ε (t )

E& predict'r c'n %n pas' de anticipaci'n ;7!"!"!6< se a enc'ntrad' para &asit%aci'n en ?%e e& mecanism' 0enerad'r de dat's ?%e 0enera y;t < es descrit'

 p'r %n m'de&' c'n'cid' ;;%  / ;%

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( )   ( )   ( ) 1 y t y t t e t − − =

&' c%a& es %n res%&tad' direct' de ;7!"!"!6

En 0enera&> sin em,ar0'> ;;%  / ;%

C%and' s%stit%im's n%estra descripción de& sistema dada p'r &a re&aci'n;7!)!1!1< en ;7!"!"!< es inmediat' ?%e ( ) ( )t e t ε    = > per' est' p'r s%p%est's'&' es a&id' si e& sistema 0enerad'r de dat's es eactamente i0%a& a ;;%

LINEALES 

Un m'de&' de %n sistema c'nsiste en %na descripción c'neniente de a&0%nasde s%s pr'piedades> 5 de ac%erd' a %n pr'pósit' partic%&ar! E& m'de&' n'necesita ser %na eacta descripción de& sistema> 5 e& %s%ari' de,e sa,er est'

 para p'der &&ear a ca,' s% pr'pósit'! E& primer pas' en &a identificación de

1-

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20/44

sistemas es determinar %na c&ase de m'de&'s> dentr' de &a c%a& se a&&ar e&m'de&' ms c'neniente!

7.).1 &odelos lineales * sets de modelos lineales

Un m'de&' &inea& inariante en e& tiemp'> c'm' im's c'n anteri'ridad> p%edeser especificad' p'r s% resp%esta imp%&sia 5 e& m'de&' de r%id'! P'r &' tant'%n m'de&' c'mp&et' estar:a dad' p'r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t % u t / % e t = + ;7!(!1!1<

( )e 2 3 > &a f%nci'n densidad de pr',a,i&idad de e;t <

C'n

( )   ( )1/

# 

# 

% g # %∞

− −

=

= ∑   ( )   ( )11

 1G   # 

# 

 / % # %∞

− −

=

=   ∑ ;7!(!1!)<

En &a ma5'r:a de &'s cas's es p'c' practic' e& ec' de acer esta

especificación t'mand' &as sec%encias infinitas ( ){ } g #    5 ( ){ } # 

c'n9%ntamente c'n &a f%nción ( )e 2 3 ! En &%0ar de est' se e&i0e tra,a9ar c'nestr%ct%ras ?%e permitan &a especificación de  5 /  en términ's de %n n@mer'finit' de a&'res! Ta& es as: ?%e &as f%nci'nes de transferencia raci'na&es s'nt:pic's e9emp&'s de est'! Inc&%s' es m%5 c'm@n ?%e &a f%nci'n densidad de

 pr',a,i&idad ;pdf

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Es tam,ién m%5 c'm@n as%mir ?%e e;t  enc%5' cas' &a pdf  ?%eda enteramente especificada p'r ;7!(!1!"

La especificación ;7!(!1!1< en términ's de %n n@mer' finit' de a&'res> 'c'eficientes> se c'n'ce c'm' m'de&ad' paramétric' e in'&%cra mét'd's deestimación 5 predicción c'n'cid's c'm' m5todos de ide!ti2icaci6!

 param5trica!

M%5 a men%d' n' es p'si,&e determinar a pri'ri est's c'eficientes partiend'de& c'n'cimient' de &as &e5es f:sicas ?%e 0',iernan e& c'mp'rtamient' de&sistema! Es p'r es' ?%e &a determinación de t'd's ' a&0%n's de dic's a&'resse de,e de9ar a &'s pr'cedimient's de estimación! Est' ?%iere decir ?%e &'sc'eficientes en c%estión entran en e& m'de&' c'm'  parámetros a ser 

determi!ados! L&amarem's ent'nces θ   a& ect'r ?%e c'nten0a t'd's &'s parmetr's a estimar! O sea ?%e a'ra &a descripción de& m'de&' ser &asi0%iente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )> > > y t % u t / % e t θ θ θ = + ;7!(!1!(a<

( )>e 2 3 θ  > &a fdp de e;t  r%id' ,&anc' ;7!(!1!(,<

+a&e destacar ?%e este n' es %n m'de&' sin' %n  set de modelos> a%n?%e p'r &'0enera& am's a a,&ar despre'c%padamente de& m'de&' ;7!(!1!( &a n'tación se ace de &a si0%iente manera

( )   ( ) ( )   ( )   ( )   ( )1 1 1 1 1 > > > 1 > y t / % % u t / % y t θ θ θ θ  − − − − − = + − ;7!(!1!6<

)1

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O,serese ?%e &a f'rma de este predict'r n' depende de ( )>e 2 t  θ  ! Est' enra.'n a &as c'ndici'nes imp%estas para &&e0ar a esta epresi'n ;7!(!1!6 en &as?%e n' se icier'n c'nsideraci'nes pr',a,i&:sticas-!

A c'ntin%ación sern ana&i.ad's diferentes m'd's de descri,ir ;7!(!1!(a< entérmin's de θ !

7.). +amilias de modelos de funciones de transferencia

Una caracter:stica diferencia& de &as distintas estr%ct%ras deriadas de &aec%ación 0enera& ;7!)!1!1 es &a f'rma de m'de&i.ar &a parte est'cstica 'r%id'! P'r este m'ti' es p'si,&e a0r%par &'s m'de&'s en d's ,&'?%es

• M'de&'s en ?%e ( )1 1 / %− =

• M'de&'s en ?%e ( )1 1 / %− ≠

Modelos en que ( )1 1 / %− =

a< M'de&'s de media a9%stada> MA

( )   ( )   ( ) ( )1 y t , % u t !# e t −= − + ;7!(!)!1<

d'nde ( ) ( )1 1' % , %− −= > !#  representa e& retard' p%r' de& pr'ces' 5 ( )1 , %−

es %n p'&in'mi' de 0rad' !b ?%e tiene &a f'rma

( )1 1/ 1!b

!b , % b b % b %− − −= + + +L ;7!(!)!)<

- Es decir> t'd's &'s termin's de &a dereca de ;7!(!1!6< s'n c'n'cid's en e& instante t )  1!

))

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Se &es den'mina tam,ién m'de&'s de resp%esta imp%&s' finita ;FI#

 ,< M'de&'s de& err'r en &a sa&ida> OE

( )  ( )

( )  ( ) ( )

1

1

 , % y t u t !# e t 

 F %

−

−= − + ;7!(!)!"<

en este cas' ( )  ( )

( )

1

1

1

 , % %

 F %

−−

−= > d'nde  F  es %n p'&in'mi' a%t're0resi' de

'rden !2 

( )1 111  !2  

!2   F % 2 % 2 %− − −= + + +L

Modelos en que ( )1 1 / %− ≠

c< M'de&'s a%t're0resi's c'n aria,&es eó0enas> A#

( )   ( )   ( )   ( ) ( )1 1 * % y t , % u t !# e t − −= − + ;7!(!)!(<

en este m'de&' se c'nsidera ?%e &a parte determinista 5 &a parte est'csticatienen e& mism' den'minad'r

( )  ( )

( )

1

1

1

 , %' %

 * %

−−

−=

;7!(!)!6<

)"

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24/44

( )( )

1

1

1 / %

 * %

−

−=

E& p'&in'mi' ( )1 * %−  es e& p'&in'mi' a%t're0resi' de 'rden !a

( )1 111  !a

!a * % a % a %− − −= + + +L ;7!(!)!2<

d< M'de&'s a%t're0resi's de media mói& 5 aria,&es eó0enas> A#MA

( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )1 1 1 * % y t , % u t !# - % e t − − −= − + ;7!(!)!7<

A& i0%a& ?%e en c ( )1' %−  5 ( )1 / %− > tienen e& mism' den'minad'r

( )  ( )

( )

1

1

1

 , %' %

 * %

−−

−

=

;7!(!)!<

( )  ( )

( )

1

1

1

% / %

 * %

−−

−=

5 ( )1 %−  es %n p'&in'mi' m'nic' parecid' a ;7!(!)!2< de 'rden !c!

e< M'de&'s A#A#!

( )   ( )   ( )   ( )( )

  ( )1 11

1!#  * % y t % , % u t e t  . %

− − −

−= + ;7!(!)!-<

)(

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siend' ( )1 . %−  %n p'&in'mi' m'nic' a%t're0resi' de 'rden !d ! Un m'de&'ms 0enera& es &a estr%ct%ra A#A#MA

( )   ( )   ( )   ( )  ( )

( )  ( )

1

1 1

1

!#  %

 * % y t % , % u t e t  . %

−− − −

−= + ;7!(!)!1/<

f< M'de&'s *'3enWins> *3

( )  ( )

( )  ( )

  ( )( )

  ( )1 1

1 1

!#   , % - %

 y t % u t e t  F % . %

− −−

− −= + ;7!(!)!11<

Una pr'piedad partic%&ar de esta estr%ct%ra es ?%e ( )1' %−  5 ( )1 / %−  n' tienen parmetr's c'm%nes!

Resumen de los distintos tipos de modelos

T'da esta fami&ia de m'de&'s se p%ede representar p'r e& si0%iente m'de&'0enera&> ;7!(!)!1) es?%emati.ad' en &a fi0%ra 7!(!1!

( )   ( )  ( )

( )  ( )

  ( )( )

  ( )1 1

1

1 1

!#  , % %

 * % y t % u t e t  F % . %

− −− −

− −= + ;7!(!)!1)<

Esta estr%ct%ra es c'n'cida c'm' PEM! Esta estr%ct%ra es m%5 0enera&> per'es @ti& para e&a,'rar a&0'ritm's 5a ?%e s%s res%&tad's c%,ren t'd's &'s cas'sespecia&es!

)6

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Fi0%ra 7!(!1! Es?%ema de ,&'?%es de& m'de&' 0enera& ;7!(!)!1)<

Fina&mente> &a re&ación entre m'de&'s 5 &'s cas's partic%&ares se ep'nen en &a

ta,&a 7!(!1! En &as Fi0%ras 7!(!) 5 7!(!" se m%estran &'s dia0ramas de ,&'?%ese?%ia&entes para a&0%n's de &'s m'de&'s partic%&ares de &a ta,&a 7!(!1!

Ta,&a 7!(!1! #e&ación entre e& m'de&' 0enera& 5 &'s cas's especia&es!P'&in'mi's %ti&i.ad's de;7!(!)!1)<

 N'm,re de &a estr%ct%ra de& m'de&'

* FI#  A* A#A*C A#MAA*D A#A#

A*CD A#A#MA*F OE

*FCD *3

)2

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a< ,<Fi0%ra 7!(!)! Dia0ramas de ,&'?%es de &as estr%ct%ras a< Estr%ct%ra A#> ,<

Estr%ct%ra OE de &a ta,&a 7!(!1!

a< ,<Fi0%ra 7!(!"! Dia0ramas de ,&'?%es de &as estr%ct%ras a< Estr%ct%ra A#MA>

 ,< Estr%ct%ra *3 de &a ta,&a 7!(!1!

7.5 MÉTODOS PARA EL AJUSTE DE PARÁMETROS 

Para e&e0ir &a estructura de& tip' de m'de&'s c'nsiderad's a5 ?%e determinar e& 'rden de cada %n' de &'s p'&in'mi's anteri'res> es decir !a> !b> !c> !d > !2  5e& retard' entre &a entrada 5 &a sa&ida !# ! Una e. e&e0id's est's a&'res> só&'?%eda determinar e& ect'r de c'eficientes ;ai> bi> ci> d i 5  2 i < ?%e acen ?%e e&m'de&' se a9%ste a &'s dat's de entradasa&ida de& sistema rea&!

La an%&ación de a&0%n' de &'s p'&in'mi's> res%&tand' estr%ct%rassimp&ificadas> faci&ita e& pr'ces' de a9%ste de parmetr's! Cada %na de &asestr%ct%ras ;A#> A#MA> OE ' *3< tiene s%s pr'pias caracter:sticas 5 de,eser e&e0ida f%ndamenta&mente en f%nción de& p%nt' en e& ?%e se preé ?%e seaBade e& r%id' en e& sistema! En c%a&?%ier cas'> p%ede ser necesari' ensa5ar c'n arias estr%ct%ras 5 c'n ari's órdenes dentr' de %na misma estr%ct%raasta enc'ntrar %n m'de&' satisfact'ri'!

)7

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Ejemplo 7..1

S%pón0ase e& sistema de &a fi0%ra 7!6!1!

Fi0%ra 7!6!1! Sistema discret' 0enerad'r de seBa&

Dad' ?%e e& r%id' se s%ma directamente a &a sa&ida> e& tip' de estr%ct%ra msapr'piada para identificación de,e ser de& tip' O%tp%t Err'r ;OE e& n@mer' de parmetr's óptim' de &'s p'&in'mi's , 5 F  s'n &'s ?%ec'inciden c'n &a estr%ct%ra rea& de& sistema> es decir

( )  ( )

( )  ( ) ( )

1

1

 , % y t u t !# e t 

 F %

−

−= − +

( ) ( ) ( )) "

1 )

1 ) "

1 ) "1

b % b % y t u t e t 

 2 % 2 % 2 %

− −

− − −

+= +

+ + +

5 p'r tant' !b  )> !2   " 5 !#   )!

Sin em,ar0'> es imp'rtante tener en c%enta ?%e en &a ma5'r:a de &'s cas's e&

diseBad'r n' disp'ne de esta inf'rmación s',re e& sistema rea&> p'r &' ?%e sernecesari' ensa5ar c'n ari's tip's de estr%ct%ras 5 n@mer' de parmetr'sasta dar c'n e& m'de&' ?%e me9'r se a9%sta a &'s dat's de entradasa&idare0istrad's!

)

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7.,.1 O!-eti%os de los métodos de estimación paramétricos

Una e. e&e0ida &a estr%ct%ra de& m'de&' ;tant' e& tip' A#> A#MA> *3>OE!!! c'm' &'s órdenes de cada p'&in'mi'> es necesari' determinar e& a&'r 

de &'s parmetr's de& mism' ?%e a9%stan &a resp%esta de& m'de&' a &'s dat'sde entradasa&ida eperimenta&es!

T'd' m'de&' matemtic' de %n sistema dinamic' pretende predecir e& a&'r de&a sa&ida de& sistema en f%nción de &as entradas 5 sa&idas en instantesanteri'res! em's den'minad' error de predicci6!  ( )t ε   a &a diferencia entre&a sa&ida rea& de& sistema 5 &a sa&ida estimada p'r e& m'de&' en %n determinad'instante de tiemp'

( ) ( ) ( )t y t y t  ε    = − ;7!6!1!1<

d'nde ( )F y t   es &a sa&ida estimada p'r e& m'de&' en e& instante t !

L's mét'd's de estimación de parametr's tienen p'r ',9eti' ent'nces estimar &'s parmetr's de &'s p'&in'mi's  *>  , .  5X'  F   se0@n e& m'de&'c'nsiderad'> de f'rma ?%e> en a&0%n sentid'> e& err'r de predicción sea

m:nim'! Eisten ari's mét'd's ' criteri's para rea&i.ar este a9%ste de parmetr's> entre &'s ?%e ca,e destacar e& mét'd' de m:nim's c%adrad's 5 e&met'd' de &a aria,&e instr%ment'> &'s ?%e seran disc%tid's mas ade&ante!

En e& cas' de &a ec%ación 0enera& PEM> Ec! ;7!(!)!1) e& err'r dem'de&i.ación ' resid%'s se determina a partir de &a ec%ación>

( ) ( ) ( )t y t y t  ε    = −

 ( )( )

  ( )   ( )  ( )

( )  ( )

1 1

1

1 1

!#  . % , %

 * % y t % u t  % F %

− −− −

− −

  ÷= − ÷  

;7!6!1!)<

)-

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La ec%ación de &'s resid%'s ;7!6!1!)< se p%ede ea&%ar c'nsiderand' d'stérmin's

• Modeli!aci"n de la parte determinista!

Se ',sera ?%e a5 %na re&ación &inea& entre e& err'r de predicción 5 &'sc'eficientes de &'s p'&in'mi's  *  5  ,> mientras ?%e respect' a &'sc'eficientes de& p'&in'mi' F  &a re&ación es n' &inea&!

Este ec' c'mp'rta ?%e> para estimar &'s parmetr's de& p'&in'mi'  F >se de,e %ti&i.ar %n mét'd' de c&c%&' iterati'> mientras ?%e si s'&' esnecesari' estimar &'s parmetr's de &'s p'&in'mi's * 5 ,> &'s mét'd'sde c&c%&' a %ti&i.ar s'n ana&:tic's 5> p'r tant'> ms senci&&'s!

• Modeli!aci"n de la parte estoc#stica!

L's err'res de m'de&i.ación> representad's> en parte> en e;t  n' s'nc'n'cid's 5 &a re&ación ?%e a5 entre &'s c'eficientes de &'s p'&in'mi'sen ;7!6!1!)< 5 &'s resid%'s ( )t ε    n' es &inea&! C'nsec%entemente> sede,en estimar &'s a&'res de e;t < a& mism' tiemp' ?%e &'s a&'res de &'s

 parmetr's de &'s p'&in'mi's! En este cas'> p'r &' tant'> &'s mét'd's dec&c%&' sern iterati's!

7.,. &étodo de estimación por mnimos cuadrados /L0

$escripci"n del m%todo de m&nimos cuadrados

Las estr%ct%ras A# 5 FI# tienen &a pr'piedad ?%e &a predicción c'n %n pas'de anticipaci'n es %na f%nción &inea& de &'s c'eficientes de &'s p'&in'mi's> &'s?%e c'nstit%5en e& ect'r de parmetr's! Para %na estr%ct%ra A# e& m'de&'de predicción es>

( )   ( )   ( )   ( )   ( )1 1 1 1 y t t , % u t * % y t − − − = + − ;7!6!)!1<

"/

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Se ',sera ?%e en &a epresión de &a dereca> t'd's &'s términ's s'n simp&es pr'd%ct's de %na m%estra de &'s dat's 5 %n c'eficiente de &'s p'&in'mi's! Est'imp&ica ?%e esta es %na epresión de &a f'rma

( )   ( ) 1   T  y t t t ϕ θ − = ;7!6!)!)<

c'n ( )t ϕ   e& ect'r re0res'r ' inf'rmación> 5 θ  e& ect'r de parmetr's> &'sc%a&es satisfacen>

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1T  t y t y t !a u t u t u t !bϕ    = − − − − − − + L L

  ;7!6!)!"<[ ]1 1

T 

!a !ba a b bθ    =   L L

En e& mét'd' de &'s minim's c%adrad's e& pr',&ema a res'&er c'nsiste ena&&ar e& ect'r de parmetr's estimad's>  N θ  > partiend' de &as N ',seraci'nes

rea&i.adas ( ) ( )1 > 1 y   ϕ  > Y!> ( ) ( )> y N N ϕ  > ta& ?%e se minimi.e &a f%nci'nde c'st' ;'> 2u!cio! de perdidas

( )   ( ))1

1>

 N  N 

 N 

t 

7 Z t  N 

θ ε =

=   ∑ ;7!6!)!(<

d'nde>

( ) ( ) ( )T t y t t  ε ϕ θ = − ;7!6!)!6<

es e& err'r de predicci'n!

De &a ec%ación ;7!6!)!)< se ded%cen %n c'n9%nt' de ec%aci'nes &inea&es ?%e p%eden ser escritas en f'rma matricia& se0@n

"1

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8    θ = Φ   ;7!6!)!2<

siend' 8  e& ect'r de dimensión N ( ) ( ) ( )1 )  T 

8 y y y N  = L Z 5 Φ  %na

matri. de dimensión ; Nd  siend' d   e& n@mer' de parmetr's de& m'de&'>( ) ( ) ( )1 )

  T 

 N ϕ ϕ ϕ Φ = L ! E& ect'r err'r de predicción ' ect'r resid%' se define c'm'

 N  8 ε θ = − Φ ;7!6!)!7<

c'n ( ) ( ) ( )1 )

  T 

 N   N ε ε ε ε  = L

!

En estas c'ndici'nes &a f%nci'n de perdidas a minimi.ar> ( ) N 7    θ  > definida p'r &a ec%ación

( )   ( ))1

1 1>

 N  N T 

 N N N 

t 

7 Z t  N N 

θ ε ε ε  =

= =∑;7!6!)!

( )   ( ) ( )  )1 1

>  T  N 

 N 7 Z 8 8   N N 

θ θ θ ε  = − Φ − Φ =

De d'nde se ',tiene ?%e &a f%nción a minimi.ar es

( ) ( )

1> ) N T T T T 

 N 7 Z 8 8 8  

 N θ θ θ θ  

= − Φ + Φ Φ ;7!6!)!-<

La deriada de &a f%nción ;7!6!)!-< respect' a &'s parmetr's de,e ser n%&a>

")

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( )( )

> 1) /

 N 

 N    T T T T  7 Z 

8 8 8  N 

θ θ θ θ 

θ θ 

∂   ∂= − Φ + Φ Φ =

∂ ∂;7!6!)!1/<

Ded%ciénd'se ?%e e& a&'r de &'s parmetr's ?%e minimi.a ( ) N 7    θ   es

( ) ar0 min >   N  N N 7 Z θ 

θ θ = ;7!6!)!11<

( )  1   T T 

 N  8 θ   −

= Φ Φ Φ ;7!6!)!1)<

A fin de retener epresi'nes ?%e sean c'mp%taci'na&mente facti,&es paraseBa&es de entrada c%asiestaci'narias> es preferi,&e %sar &a epresión>

11 1F   T T 

 N    8  N N 

θ 

−  = Φ Φ Φ ÷  

;7!6!)!1"<

De esta manera &'s d's c'mp'nentes separad's de &a epresión de &a dereca permanecen ac'tad's para a&'res crecientes de N!

Una f'rma a&terna e?%ia&ente de epresar ;7!6!)!1"< es mediante &a epresi'n>

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 1  N N 

T 

 N 

t t 

t t t y t   N N 

θ ϕ ϕ ϕ  

−

= =

=

∑ ∑ ;7!6!)!1(<

A partir de ;7!6!)!1) c'n'cid' e& 'rden de& m'de&' !a> !b  5  !# > esfci&mente ca&c%&a,&e e& a&'r estimad' de s%s parmetr's!

""

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Se de,e tener en c%enta ?%e &a ec%ación p&anteada tiene s'&%ción si &a matri.T Φ Φ  tiene inersa> es decir si es de ran0' c'mp&et'> '> e?%ia&entemente> si

es definida p'sitia! En cas' c'ntrari' &a ec%ación tiene infinitas s'&%ci'nes!

 4l re%uisito !ecesario para gara!tizar u!a soluci6! 9!ica de la

ecuaci6! :; ta& ?%e

( ) ( ) ( )\T  y t t e t ϕ θ = + ;7!6!)!16<

d'nde e;t < es %n r%id' ,&anc' de media cer' 5 ariancia )λ  ! Las pr'piedadesestad:sticas de& mét'd' LS dem%estran ?%e

1!  N θ   c'ner0e a\θ   c%and' N  tiende a infinit'

)! &a aria,&e a&eat'ria ( )\ N  N   θ θ −  se c'mp'rta c'm' %na distri,%ciónn'rma& de media cer' 5 c'ariancia A LS

( )  1

)   T  AB0    λ   −

= Φ Φ ;7!6!)!12<

"! %n estimad'r de )λ   es

"(

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( ))

)   N 7 

 N d 

θ λ   =

−;7!6!)!17<

siend' d  e& n@mer' de parmetr's de& m'de&'!

Ta& 5 c'm' se dem%estra en QS[derstr[m-R!

Cbservacio!es

• #esa&tar c'm' pri!cipal ve!ta$a de este mét'd' ?%e &a c'nersión a %nm:nim' 0&',a& est 0aranti.ada 5 n' eisten m:nim's &'ca&es!

• = c'm' i!co!ve!ie!te resa&tar ?%e si &a pert%r,ación v;t < n' es %n r%id' ,&anc' 5 &a re&ación seBa& @ti&XseBa& r%id' es imp'rtante> &a c'ner0enciaa& a&'r rea& de \θ   n' est 0aranti.ada! Este ec' &imita s% %ti&i.aciónc'm' mét'd' 0enera& de estimación!

oluci"n de * utili!ando la ecuaci"n normal

La estimación de &'s parmetr's p'r e& mét'd' LS se rea&i.a a partir de &aec%ación ;7!6!)!1 c'n'cida c'n e& n'm,re de ecuaci6! !ormal !

( )  1   T T 

 N  8 θ   −

= Φ Φ Φ ;7!6!)!1<

• #esa&tar c'm' ve!ta$a ?%e &a res'&%ción directa de esta ec%ación essenci&&a 5 ?%e &'s c&c%&'s a&0e,raic's a rea&i.ar s'n senci&&'s!

• Presenta e& i!co!ve!ie!te  ?%e &a matri. T Φ Φ   p%ede estar ma&c'ndici'nada> partic%&armente si es de 0ran dimensión> &' c%a& c'mp'rtaerr'res n%méric's imp'rtantes en &a res'&%ción de &a ec%ación;7!6!)!1

 presentad' a&ternatias para res'&er esta ec%ación> %na de e&&as es p'r trian0%&ación 'rt'n'rma&!

"6

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Criterio de A2ai2e

Una ariante de& mét'd' LS> c'n'cid' c'm' riterio de *#ai#e c'nsiste enminimi.ar 'tra f%nción de pérdidas distinta a &a anteri'r> ?%e p%ede ',tenersea partir de ésta de& si0%iente m'd'

( ) ( )1 ) *D-  N N d 

7 7  N 

θ θ   = + ÷  

;7!6!)!1-<

siend' d  e& n@mer' de parmetr's de& m'de&' 5 N  e& n@mer' de m%estras de&'s dat's de entradasa&ida %ti&i.ad's para s% identificación!

Ejemplo 7..2

Uti&ice e& mét'd' de m:nim's c%adrad's para estimar &'s parmetr's de&m'de&' OE esc'0id' en e& e9emp&' 7!6!1> %ti&i.and' para e&&' &'s dat's deentradasa&ida 0enerad's p'r e& sistema! Estime tam,ién %n m'de&' A# de&mism' 'rden ?%e e& anteri'r> 5 c'mpare &'s parmetr's de &'s m'de&'s',tenid's c'n &'s de& sistema rea&!

0olucio!

numd = [0.5 – 0.3]E ]n%merad'r de &a f%nción de transferencia en z  dend = [1 0.2 0.16 0.24]E ]den'minad'r de &a f%nción de transferenciaen z 

 ]4eneración de %na entrada ,inaria pse%d'a&eat'ria c'n 1/// m%estrasu = idinput(1000,'PRBS',[0 0.25],[0 50])E

]O,tención mediante sim%&ación de &a sa&ida sin r%id' y_in = d!im(numd,dend,u)"

]4eneración de& r%id' a&eat'ri'> tam,ién c'n 1/// m%estrase = #$ndn(1000,1)E

"2

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 y = y_in%eE ]Adición de& r%id' a &a sa&ida!

d$t& = [y u]E ]C'nstr%cción de &a matri. c'n &'s dat's de entradasa&ida

] O,tenci'n de& m'de&'t_&e = &e(d$t&,[2 3 2])" p#eent(t_&e)

Se p%ede c'mpr',ar ?%e &'s parmetr's de& m'de&' OE ',tenid' s'n prcticamente idéntic's a &'s de& sistema rea&! Entre &a inf'rmación ',tenidade& m'de&' se enc%entran tant' &a f%nción de pérdidas p'r e& mét'd' dem:nim's c%adrad's simp&e ;/!-27< c'm' c'n e& criteri' de AWaiWe ;/!-727

A c'ntin%ación se rea&i.a &a estimación de& m'de&' A#

t_$# = $#(d$t&,[3 2 2])" p#eent(t_$#)

En este cas' &'s parmetr's se des:an ms ?%e en e& anteri'r p%est' ?%e ses%p'ne e& r%id' aBadid' en 'tr' p%nt' de& sistema ;er Fi0%ra 7!6!1

',serarse ?%e &as f%nci'nes de pérdidas s'n s%peri'res ?%e en e& cas'anteri'r!

7.,.# &étodo de la %aria!le instrumento

$escripci"n del m%todo de la variable instrumento

E& mét'd' de &a aria,&e instr%ment' ;I+< tiene c'm' ',9eti' apr'ecar &as

enta9as de& mét'd' LS 5 s%perar s%s &imitaci'nes! Tiene e& inc'neniente ?%e para s% %ti&i.ación es necesari' definir %na n%ea aria,&e &&amadainstr%ment'!

E& p&anteamient' de este mét'd' es m%5 senci&&'! C'nsiste en m%&tip&icar &aec%ación ;7!6!1!)< p'r %n ect'r instr%ment' z ;t <

"7

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T  z t y t z t t z t v t ϕ θ = + ;7!6!"!1<

?%e se de,e caracteri.ar p'r ser independiente de& r%id' v;t  per' dependientede &a entrada 5 &a sa&ida de& sistema! Esta pr'piedad permite p&antear e&si0%iente sistema de ec%aci'nes &inea&es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )T  z t t z t y t t ε ϕ θ = − ;7!6!"!)<

E& ect'r de parmetr's ?%e minimi.a &a f%nción pérdida ;7!6!)!-< a&e> en

este cas'

( )  1

F   T T  N    Z Z 8 θ 

  −= Φ ;7!6!"!"<

d'nde Z es %na matri. de &a misma dimensión ?%e Φ <

Para ?%e  N θ    c'ner9a a\θ    es necesari' ?%e &a aria,&e instr%ment' ten0a

c'm' pr'piedades

( ) ( )1

1   N  T 

t 

 z t t  N 

ϕ =

∑ sea trian0%&ar ;7!6!"!(<

( ) ( )1

1/

 N 

t 

 z t v t 

 N   =

=∑

En 'tras pa&a,ras> es necesari' ?%e &a aria,&e instr%ment' sea f%ertementedependiente de& ect'r re0resión> ( )t ϕ  > per' sea independiente de& r%id'!

"

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Este mét'd'> a& i0%a& ?%e e& LS> presenta e& inc'neniente de ?%e &a matri.T 

 Z   Φ   p%ede estar ma& c'ndici'nada c%and' s% dimensión es 0rande! P'r estem'ti' p%ede %ti&i.arse &a trian0%&ación 'rt'n'rma& para ca&c%&ar e& a&'r de&'s parmetr's!

Si se c'nsidera %n m'de&' c'n %na estr%ct%ra A#MA> %na f'rma de0aranti.ar &as c'ndici'nes ;7!6!"!(< es c'nsiderand' %n ect'r instr%ment'definid' p'r

( )   ( )   ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1T  z t B % 3 t 3 t !a u t u t !b−= − − − − − − L L;7!6!"!6<

d'nde B es %n fi&tr' &inea& 5 3;t < se 0enera a partir de& sistema &inea&

( )   ( )   ( )   ( )1 1 N % 3 t % u t − −= ;7!6!"!2<

E& pr',&ema c'nsiste en determinar e& fi&tr'> B> 5 e& m'de&' &inea&> ( )1 N %−  5

( )1  %− < Una f'rma senci&&a seria

1< Ap&icar LS

)< Uti&i.ar e& m'de&' estimad' c'm' p'&in'mi's N 5  > 5 determinar 3;t <c'n ;7!6!"!2<

"< C'nsiderand'  B1> definir  z ;t < se0@n ;7!6!"!6< 5 estimar e& ect'r de parmetr's a partir de &a ec%ación ;7!6!"!"

M%todo +, "ptimo propuesto por *jung

E& mét'd' de &a aria,&e instr%ment' óptim' pr'p%est' p'r L9%n0 QL9%n07R>tam,ién den'minad' de &a aria,&e instr%ment' en c%atr' etapas> 0enera e&instr%ment'>  z ;t  5 e& fi&tr'>  B> estimand' a& mism' tiemp' &a f%nción detransferencia de &a parte determinista 5 est'cstica!

"-

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Las pr'piedades estad:sticas de este mét'd' dem%estran ?%e &a aria,&e

a&eat'ria ( )\ N  N   θ θ −   tiende a %na distri,%ción N'rma& de media cer' 5arian.a ca&c%&a,&es!

7. COMANDOS RELEVANTES DE MATLAB

Se inc&%5en a c'ntin%ación &as principa&es f%nci'nes re&aci'nadas c'n &aidentificación paramétrica pr'p'rci'nadas p'r e& T''&,' de Identificación enMat&a,!

Tipos de modelos param%tricos

E& T''&,' de Identificación c'ntemp&a %na 0ran ariedad de m'de&'s paramétric's para sistemas &inea&es! T'd's e&&'s se a9%stan a &a estr%ct%ra0enera& de &a ec%aci'n ;7!(!)!1)

Esc'0er %na estr%ct%ra si0nifica esc'0er &'s órdenes de t'd's &'s p'&in'mi's?%e interienen! En m%cas 'casi'nes esta e&ección &&ea a simp&ificaci'nest:picas de &a estr%ct%ra 0enera& PEM de ;7!(!)!1)

Ejemplo 7.-.1

S%pón0ase %n sistema dinmic' c%5' c'mp'rtamient' p%ede apr'imarse p'r &a si0%iente ec%ación en diferencias

5;t< 1!65;t 1< G /!75;t )< )!6%;t )< G /!-%;t "<

La ec%ación anteri'r c'rresp'nde a %n m'de&' A# en e& ?%e

A;? 1< 1 1!6? 1 G /!7? )

*;? 1< / G /? 1 G )!6? ) G /!-? "

(/

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Funciones para identiicaci"n de modelos param%tricos

T'das &as f%nci'nes de& T''&,' de Identificación para identificación paramétrica resp'nden a& si0%iente f'rmat' de &&amada

t = un*i&n ([y u], t)

d'nde y  5 u  s'n ect'res c'&%mna ?%e c'ntienen &as m%estras de sa&ida 5entrada respectiamente> t es %n ect'r c'n inf'rmación s',re &a estr%ct%raesc'0ida 5 t es e& m'de&' estimad' en f'rmat' c'dificad' ; 2ormato teta

t = [n$ n+ n* nd n n]

siend' n$> n+> n*> nd 5 n  e& n@mer' de c'eficientes de &'s p'&in'mi's A>*> C> D 5 F de &a estr%ct%ra esc'0ida> 5 n  e& n@mer' de retard's entre &aentrada 5 &a sa&ida! En cas' de ?%e e& m'de&' esc'0id' n' ten0a a&0%n'Xs de&'s p'&in'mi's anteri'res> se s%primen de& ect'r anteri'r e&X&'s c'mp'nenteXsc'rresp'ndientes a dic'Xs p'&in'mi'Xs!

T'das &as f%nci'nes de%e&en &'s parmetr's de& m'de&' en f'rmat'c'dificad'! Para presentar dic's parmetr's en panta&&a p%ede %ti&i.arse &af%nción

 p#eent(t)

?%e m%estra p'r cada p'&in'mi' de& m'de&' %n ect'r ?%e c'ntiene &'sc'eficientes de& mism' c'men.and' p'r e& términ' independiente a &ai.?%ierda> 5 c'ntin%and' c'n &as p'tencias crecientes de& 'perad'r retard' ? 1!

(1

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La ta,&a 7!2!1 m%estra &as distintas f%nci'nes de identificación paramétricadisp'ni,&es en e& T''&,' de Identificación

Ta,&a 7!2!1! F%nci'nes para &a identificación paramétrica 5 presentación dem'de&'s paramétric's!

ar  Estimación de %n m'de&' A#\!arma3 Estimación de %n m'de&' A#MA\!ar3 Estimación de %n m'de&' A#\!b$ Estimación de %n m'de&' *'3enWins\!oe Estimación de %n m'de&' O%tp%t Err'r\!

 pem Estimación de %n m'de&' &inea& 0enéric'\!ivar Estimación de %n m'de&' A# %sand' aria,&es instr%menta&es!iv3 Estimación de %n m'de&' A# %sand' aria,&es instr%menta&es!ivG Estimación de %n m'de&' A# %sand' aria,&es instr%menta&es

de ( etapas! prese!

t 

Presentación de m'de&'s paramétric's en f'rmat' teta!

 \Usand' m:nim's c%adrad's rec%rsi's

Ejemplo 7.-.2

Uti&ice &'s dat's de entradasa&ida de& T''&,' de Identificaciónc'rresp'ndientes a %n secad'r de man' pr'p'rci'nad's en e& ficer' ;dr5er)

5;t< G a15;t T< G a)5;t )T< ,1%;t "T< G ,)%;t (T<

La ec%ación anteri'r c'rresp'nde a %n m'de&' A# c'n d's c'eficientes parae& p'&in'mi' *> d's para e& p'&in'mi' , 5 tres retard's entre &a entrada 5 &asa&ida! La f%nción ar3  permite ',tener &'s c'eficientes de& m'de&' p'r e&mét'd' de m:nim's c%adrad's rec%rsi's> para ?%e éste se a9%ste a &'s dat'sde entrada sa&ida c'ntenid's en &a matri. datosHide!t 

 t=$#(d$t&_ident,[2 2 3])"

()

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 p#eent(t)

Elecci"n de la estructura "ptima

La e&ección de &a estr%ct%ra de& m'de&' es %na de &as decisi'nes msimp'rtantes 5 dif:ci&es ?%e de,e t'mar e& diseBad'r! Si n' se tiene nin0@nc'n'cimient' de& sistema ?%e faci&ite dica e&ección> p%ede rec%rrirse a ariasf%nci'nes de& T''&,' de Identificación ?%e permiten ca&c%&ar &as f%nci'nes de

 pérdidas de m%cas estr%ct%ras> 5 esc'0er de entre e&&as a?%é&&a c%5' res%&tad'sea óptim'! Estas f%nci'nes se m%estran en &a ta,&a 7!2!)!

Ta,&a 7!2!)! F%nci'nes para &a se&ección de &a estr%ct%ra óptima de %n m'de&'!ar3struc C&c%&' de &as f%nci'nes de pérdidas de %n c'n9%nt' de estr%ct%ras

A#!ivstruc C&c%&' de &as f%nci'nes de pérdidas de %n c'n9%nt' de estr%ct%ras

OE! selstruc Se&ección de &a estr%ct%ra c'n men'r f%nción de pérdidas! struc 4eneración de %n c'n9%nt' de estr%ct%ras!

Ejemplo 7.-./

Para e& e9emp&' de& secad'r de man'> ',ten0a &a estr%ct%ra ?%e me9'r a9%sta e&c'mp'rtamient' de& sistema a %n m'de&' A#! La f%nción struc de%e&e %namatri. c'n t'das &as estr%ct%ras res%&tantes de c'm,inar &'s órdenes na> n, 5nW pasad's c'm' parmetr's de entrada! La f%nción ar3struc a &a c%a& se &e

 pasan &a matri. de dat's de identificación> &a de dat's de a&idación 5 &a deestr%ct%ras 0enerada anteri'rmente> de%e&e &as f%nci'nes de pérdidas det'das &as estr%ct%ras! P'r @&tim'> &a f%nción selstruc se&ecci'na de t'das &as

estr%ct%ras a?%é&&a ?%e presenta %na men'r f%nción de pérdidas!

nn=t#u*([1-10],[1-10],[1-10])" =$#t#u*(d$t&_ident,d$t&_$!,nn)"nn=e!t#u*()

("

8/18/2019 capitulo_07 (1)

44/44

d'nde se ',tiene ?%e nn = 10 5 2 &a estr%ct%ra A# óptima para&'s dat's de& secad'r de man' es a?%é&&a ?%e tiene die. c'eficientes para A;?1 6 para *;?1< 5 d's retard's entre &a entrada 5 &a sa&ida!

7.7 PROBLEMAS ! EJERCICIOS 

+er e& d'c%ment' Tema "^pr',&emes!pdf ,a9ad' de &a pa0ina _e, de& c%rs'Identificación de sistemas 'rientad' p'r &'s pr'fes'res Teresa Esc',et 5*ernard' M'rce0' de &a Esc'&a Uniersit`ria P'&itcnica de Manresa QEsc',etet al )//"R!

"UENTES 

• +an den 'f Pa%& M!3!> *'m,'is aier> S5stem Identibcati'n f'r C'ntr'&! Lect%re N'tes DISC C'%rse! De&ft Center f'r S5stems andC'ntr'&! De&ft Uniersit5 'f Tecn'&'05! Marc> )//(

• Esc',et Teresa> M'rce0' *ernard'> Identificación de sistemas! N'tas dec&ase! Departament dHEn0in5eria de Sistemes> A%t'm`tica i Inf'rm`ticaInd%stria&! Esc'&a Uniersit`ria P'&itcnica de Manresa! )//"

• %n%sc Cristian> Identificación de Sistemas de Dinamic's! Catedra deC'ntr'& 5 Ser'mecanism's! Uniersidad Naci'na& de La P&ata>Fac%&tad de In0enieria> Dpt'! de E&ectr'tecnia! )//"

• Lópe. 4%i&&én> M E&ena> Identificación de Sistemas! Ap&icación a&m'de&ad' de %n m't'r de c'ntin%a! Uniersidad de A&ca& de enares>Departament' de E&ectrónica! Ener'> )//)!

• #en0if' Car&'s Fe&ipe> Identificaci'n de Sistemas! N'tas de C&ase!Departament' de E&ectr'nica> C'ntr'& e Instr%mentaci'n! Uniersidadde& Ca%ca! Mar.' )//6!