Capitulo xi camada l
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Capítulo XI – Teoria da Camada Limite
1. Rotação de um fluido em um ponto
w
Uma partícula, movendo-se em um campo de escoamento tridimensional, geralmente,
pode girar em torno dos três eixos de coordenadas.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annousA rotaçãorotação, , de uma partícula é definida pela velocidadevelocidade angularangular médiamédia de duas
linhas mutuamente perpendiculares, que se cortam no centro da partícula.
pode girar em torno dos três eixos de coordenadas.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
1o
b
a∆x
∆y
y
x
tempo t tempo t +∆ t
o
α
b
a
β
η
∆ξ
∆
∆∆
∆ x
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
w = wx ex + wy ey + wz e z
onde: wx é a rotação em torno do eixo xwy é a rotação em torno do eixo ywz é a rotação em torno do eixo z
(1)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Expressão matemática da rotaçãonos fluidos
Componentes da velocidade no campo de escoamento:
vx (x,y) e vy(x,y)
movimento de um elementofluido no plano xy
2
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Rotação do elemento de fluido em tal campo de escoamento:(rotação em sentido anti-horário positivo)
b
∆y
y
yy
vv x
x ∆∂
∂+
xx
vv
yy ∆
∂
∂+
α
b
a
β
η
∆ξ
∆
∆∆
+
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
* As linhas mutuamente perpendiculares, oa e ob giram no intervalo de tempo t
Consideremos inicialmente, a rotação da linha oa de comprimento ∆∆∆∆x
* Estas linhas giram perpendiculares se as velocidades nos pontos a e b
forem diferentes em o.
o a∆x x
tempo t
x∂
tempo t +∆ t
o
α η∆∆
∆ x
3
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A rotação desta linha é devida a variação da componente da velocidadesegundo o eixo dos y.
Se esta componente, no ponto o, vyo
a velocidade no ponto a, segundo o eixo y, pode ser escrito (usando série deTaylor)
xx
vvv y
yoy ∆∂
∂+= (2)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
4
A velocidade angular da linha oa:
como
(comprimento)
x∂
t
x/lim
tlimw
0t0toa
∆
∆η∆=
∆
α∆=
→∆→∆
txx
v y∆∆
∂
∂=η∆
(3)
(4)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A rotação da linha ob de comprimento ∆∆∆∆y resulta da componenteda velocidade seguindo o eixo dos x.
Se a componente x da velocidade, no ponto o for designada por vxo,a componente da velocidade em b (série de Taylor):
yy
vvv x
xox ∆∂
∂+=
y/ ∆ξ∆β∆
(5)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
A velocidade angular da linha ob:
como (comprimento)
ty/
limt
limw0t0t
ob∆
∆ξ∆=
∆
β∆=
→∆→∆
tyy
v x ∆∆∂
∂−=ξ∆
( )y
v
t
y/tyy/vw xx
ob∂
∂−=
∆
∆∆∆∂∂−=
(6)
(7)
(8)
5
O O sinalsinal negativonegativo é é aplicadoaplicado parapara dardar positivopositivo aa wwobob..
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
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e T
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angularmédia das duas linhas mutuamente perpendiculares oa e ob do elemento,no plano xy:
Considerando a rotação das duas linhas perpendiculares nos planos yz exz, podemos mostrar que:
∂
∂−
∂
∂=
y
v
x
v
2
1w xy
z(9)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
xz, podemos mostrar que:
e
então:
∂
∂−
∂
∂=
z
v
y
v
2
1w
yzx
∂
∂−
∂
∂=
x
v
z
v
2
1w zx
y
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂= z
xyy
zxx
yz ey
v
x
ve
z
v
z
ve
z
v
z
v
2
1w
rrrr
(10)
(11)6
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
O termo entre colchetes é o RotacionalRotacional V = ∇x V
A notação vetorial pode ser escrita: w= 12 ∇ x V
1. O desenvolvimentodesenvolvimento dede rotaçãorotação em uma partícula fluida, inicialmente sem rotação,
requer uma ação da tensãotensão tangencialtangencial nana superfíciesuperfície desta partícula;
2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
O fator meio (1/2) pode ser eliminado na notação vetorial definindo:
Vórtice, ζ ζ = 2 w = ∇x V
A vorticidade é a medida da rotação de um elemento fluido em um campode escoamento.
(12)
7
2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das
forçasforças viscosasviscosas, significando que o escoamento é rotacional.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
EmEm queque casocaso devedeve--se se esperaresperar o o escoamentoescoamento irrotacionalirrotacional??
A irrotacionalidade só é válida para aquelas regiões de escoamento
nas quais as forças viscosas são desprezíveis.
8
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Esta região existe, por exemplo, fora da camada limite do
escoamento, sobre uma superfície sólida.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
2. Função Corrente
* formas das linhas de correntes (inclusive das de fronteira)
Descrição matemática que descreva qualquer configuração típica deescoamento
descrição adequada
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
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e I
* escala das velocidades nos pontos representativos do escoamento
Instrumento matemático ϕ
EstaEsta função é formulada pela relação entre as linhas de corrente e função é formulada pela relação entre as linhas de corrente e o o
enunciado enunciado do princípio da conservação de massado princípio da conservação de massa
Função Corrente, Função Corrente,
9
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Para o escoamento bidimensional de um fluido incompressível no
plano xy, a equação que traduz o princípio da conservação de massa, é
dada:
0yyv
xxv
v =∂
∂+
∂
∂=∇ •
r
Portanto, o Princípio da conservação de Massa indica:
(13)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
ou seja, vx e vy estão relacionados entre side algum modo
Admitindo, que vx = F (x,y), tem-se:
y
v
x
v yx
∂
∂−=
∂
∂
x
)y,x(F
x
v
y
vxy
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂
(14)
(15)
10
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Logo,
dyx
)y,x(Fv y ∫ ∂
∂−=
No entanto, se for admitido que:
onde funções contínuas para t=to
y
yxvyxF x
∂
∂==
),(),(
ϕ
),(
),( yx
eyx ∂∂ ϕϕ
(16)
(17)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
onde funções contínuas para t=to
Para qualquer t, a função corrente ϕ( x,y,t),
então:
),(
),(
y
yxe
x
yx
∂
∂
∂
∂ ϕϕ
)y,x(ϕ
∫∫∫ ∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂−=
x
y)(x,-dy
y
y)(x,
x-dy
y
y)(x,
xdy
x
y)F(x,vy
ϕϕϕ
(18)
(19)
11
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
x
y)(x,-vy
∂
∂=
ϕ
Portanto, utilizando as equações (19) e 20) ao invés de ter duas incógnitas
vx e vy tem-se uma incógnita ϕ(x,y) a ser determinada, para descrever o
escoamento.
Logo, voltando ao escoamento bi-dimensional rotacional, onde :
(20)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
combinando as equações (19) e (20) e derivando:
∂
∂−
∂
∂=
y
v
x
v
2
1w xy
z
2
2y ),(),(
x
v
x
yx
x
yx
x ∂
∂−=
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂ ϕϕ(21)
12
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
combinando as equações (17) e (20) e derivando:
2
2x ),(
y
v
y
yx
∂
∂=
∂
∂ ϕ (22)
de modo que:
ou seja,
∂
∂−
∂
∂−=
2
2
2
2 y)(x,y)(x,
2
1
yxwz
ϕϕ
∂
∂+
∂
∂=−
2
2
2
2 y)(x,y)(x,2
yxwz
ϕϕ
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
como:
então :
No escoamento irrotacional: ∇2ϕ = 0 (Equação de Laplace)
∂∂ 222 yx
∂∂ 22 yx
∂
∂+
∂
∂=∇
2
2
2
22
y
y)(x,y)(x, ϕϕϕ
x
( )yx,2w 2z ϕ∇=−
(23)
(24)
13
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
3. Camada Limite
No escoamento irrotacional ∇x v = 0
todas as componentes de gradiente v sejam nulas, e isso ocorre com o termo
dada viscosidadeviscosidade da equação de Navier-Stokes ( µ∇2 V ) também será nulo de modo
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
que o escoamento torna-se invíscidoinvíscido e e uniformeuniforme na seção considerada.
Se o fluidofluido forfor invíscidoinvíscido nãonão haveráhaverá tensãotensão dede cisalhamentocisalhamento. Fluidos de viscosidade
muito baixa (ex.: o ar) pode ser admitido que o escoamento é irrotacional, onde não
foram encontradas grandes gradientes de velocidade.
14
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Considerando-se um corpo sólido no ar inicialmente escoando semdistúrbios,
A
Escoamento do ar em torno de um corpo sólido
v ∞
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Mesmo a viscosidade sendo baixa, pelo princípio da aderência , os fluidos reais
aderem a superfície de um corpo sólido.
Portanto, no ponto A a velocidade do fluido, em relação ao corpo sólido é zero,
e dentro de uma distância relativamente pequena, a velocidade do ar atinge
a velocidade do ar na corrente livre ( )v ∞15
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Logo, nesta região fina, adjacente a parede do corpo sólido existe umgradientegradiente dede velocidadevelocidade, e apesar da viscosidade do fluido ser muitobaixa, nessa região o escoamento é rotacional.
Região adjacente a fronteira sólido-fluido Camada limite
ForaFora dada CamadaCamada LimiteLimite,, nãonão háhá gradientegradiente dede velocidadevelocidade ee oo escoamentoescoamento ééirrotacionalirrotacional
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
No escoamentoescoamento turbulentoturbulento em um tubo, também se verifica umaregião de turbulência
0v x =∇r
Escoamento irrotacional em um tubo16
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Em 19041904,, PrandtlPrandtl apresentou um trabalho onde se afirmava que para umescoamento com poucopouco atritoatrito (baixas viscosidades) ou elevadoselevados númerosnúmeros dedeReynoldsReynolds há um decréscimodecréscimo nana regiãoregião dede influênciainfluência dada tensãotensão dedecisalhamentocisalhamento
Precisamente, Prandtl discutiu sobre escoamentos em torno de objetos paraelevados números de Re (baseados na dimensão característica do objeto euma velocidade de escoamento do fluido). Para tal escoamento, Prandtlverificou as seguintes observações:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I verificou as seguintes observações:
1. Os efeitos de atrito são confinados a uma camada muito fina, próximaao contorno do objeto, chamada Camada Limite
2. O escoamento externo a essa camada pode ser considerado sematrito, ou seja irrotacional
17
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
4. Camada Limite numa Placa Plana
δ
V�
V�
V�
sub-camada laminar
x∞v
∞v ∞v
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Laminar TurbulentoTransição
x
* espessura da camada limite está apresentada exageradamente
* distância x é a distância a partir do canto esquerdo da placa
18
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
À maiores valores de x, observa-se uma região de transição na qual severificam flutuações entre o regime laminar e turbulento na camada limite.
Região da Camada Limite Laminar
A região laminar começa no canto da placa e aumenta em espessura,a medida que se avança na placa. A região onde o escoamento próximo aparede da placa ainda é laminar,
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Finalmente, para x ainda maiores exitirá uma fina camada de fluido onde o
escoamento continua sendo laminar e verificam-se elevados gradientes de velocidade.
Sub-camada laminar
Zona de transição
19
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
O critério para se determinar o tipotipo de de camadacamada limitelimite que está presente é o n°
Reynolds LocalReynolds Local, definido por:
Rex ≡x v∞
νonde:
Re x = n° de Reynolds localx = distância a partir do canto da placa
= velocidade da corrente livre do fluido
(25)
v∞
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
= velocidade da corrente livre do fluidoν = viscosidade cinemática do fluido
Portanto:- camada limite laminar Re x = 2 105
- camada limite laminar ou turbulenta : 2 10 5 < Rex< 3 106
- camada limite turbulenta : Rex = 3 106
A espessura da camada limite (δ) é arbitráriarmente da superfície, onde a
velocidade atinge 99% da velocidade da corrente livre,
v∞
v∞
20
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
5. Equações da Camada Limite Laminar
O fato do conceito da camada limite envolver uma camada fina leva
algumas importantes simplificações nas equações de Navier-Stokes.
Considerando um escoamento bidimensional (nas direções x e y) sobre
placa plana, as equações de Navier-Stokes são:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Direção x:
Direção y:
∂
∂+
∂
∂µ+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ
2x
2
2x
2x
yx
xx
y
v
x
v
xp
y
vv
x
vv
t
v
∂
∂+
∂
∂µ+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ
2y
2
2y
2y
yy
xy
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vv
t
v
21
(26)
(27)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Admitindo que o escoamento seja incompressível e que as forças de campopossam ser desprezadas.
Como a espessura da camada limite é muito pequena as variáveis na direçãox tem ordem de magnitude(grandeza) maior do que na direção y.
5.1. Estudo da Ordem de Grandeza de Magnitude (ou Grandeza)
Considerando as variáveis na direção x tenha ordem φ
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Considerando as variáveis na direção x tenha ordemde magnitude 1
φ (1)
Ordem de magnitude das variáveis na direção y,dentro da camada limite é muito menor e da ordem de δ
φ( δ)
sendo δδδδ <<1
O valor comparativo 1 é referente ao comprimento máximo 1 ea velocidade máxima envolvida neste problema. 22
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
)(~v,y
)1(~v,x
y
x
δφ
φ
)1(x
v x φ→∂
∂
Então,
)1
(y
v x
δφ→
∂
∂)1(
y
v yφ→
∂
∂)(
x
v yδφ→
∂
∂
2 2 v2∂ v2∂
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
)1(x
v2x
2φ→
∂
∂)
1(
y
v22
x2
δφ→
∂
∂)
1(
y
v2y
2
δφ→
∂
∂)(
x
v2y
2
δφ→∂
∂
De modo que a equação de Navier-Stokes na direção x:
∂
∂+
∂
∂µ+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ
2x
2
2x
2x
yx
xx
y
v
x
v
xp
y
vv
x
vv
t
v
23
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Dividindo por “ρ” e admitindo que o escoamento seja permanente:
∂
∂+
∂
∂ν+
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂2x
2
2x
2x
yx
xy
v
x
v
xp1
y
vv
x
vv
tem-se, pelo estudo de ordem de magnitude:
( ) ∂ 1p11
(28)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
( )
δφ+φν+
∂
∂
ρ−=
δ
φδφ+φφ2
11
x
p11)()1()1(
ou seja:
( )
δφ+φν+
∂
∂
ρ−=φ+φ
2
11
x
p1)1()1(
24
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
mas, como
δ << 1 1
δ2>> 1
δφ<<φ
2
1)1(
Com base na análise acima despreza-se
Equação de Equação de NavierNavier--StokesStokes na direção x torna-se:
2x
2
x
v
∂
∂
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
2x
2x
yx
xy
v
x
p1
y
vv
x
vv
∂
∂ν+
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂
Repetindo o mesmo estudo de ordem de grandeza para a direção y da equação deNavier-Stokes chega-se a conclusão que essa equação é de magnitude de modoque ela pode ser desprezada em relação a equação na direção x.
φ(δ)
25
(29)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
OBS:
como δ <<<1 gradiente de pressão vertical é desprezível
Portanto, as equações a serem usadas para determinar o perfil develocidades na camada limite laminar sobre uma placa plana são:
)φ(y
p ; φ(1)
x
pδ=
∂
∂=
∂
∂
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
2x
2x
yx
xy
v
x
p1
y
vv
x
vv
∂
∂ν+
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂Equação do movimento:
0y
v
x
v yx =∂
∂+
∂
∂Equação da continuidade:
26
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Solução da camadacamada limitelimite laminar laminar em placa plana
Condições de Contorno adotadas: y = 0 vx = 0 vy = 0
BlasiusBlasius (1908)(1908)
y = δ vx = V (constante)8
6. Solução de Blasius para a Camada Limite
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Aplicação à equação de Bernoulli entre os pontos x1 e x2, em y = δ
y = δ vx = V (constante)8
2
2xx
1
2xx
gy2
v
ρ
pgy
2
v
ρ
p2211 ++=++
27
(30)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
para y1 = y2
Admitindo que x1e x2 sejam tão próximos que se possam escrever:
2
v
2
v
ρ
p
ρ
p2x
2xxx 1221 −=−
∆xxx 12 +=
2
vv
ρ
pp2x
2∆xxxxx 1111 −+∆+−
=
(31)
(32)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
0∆x quando limite o tomandoe∆x,por Dividindo →
x2∆
vvlim
ρ∆x
plim
2x
2∆xx
0x
px
0x
11∆x1x1 −+
→∆
−
→∆=
+
Então:dx
dv
2
1
dx
dp
ρ
1 2x=
28
(33)
(34)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Sabendo que:dx
dv2v
dxdv x
x
2x =
Então:dxdp
ρ
1dx
dv2v
21 x
x −=dxdp
ρ
1dx
dvv x
x −=
Na extremidade da camada limite:
y = δ v = V (constante) dv x = 0dp
=
(35)
(36)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
y = δ vx = V (constante)8 0dx
dv x = 0dxdp
=
As equações a serem utilizadas para descrever o perfil de velocidade nacamada limite sobre uma placa plana são:
e2x
2x
yx
xy
vν
dy
dvv
dx
dvv
∂
∂=+ 0
dy
dv
dx
dv yx =+
29
(37)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Com as seguintes condições de contorno:
c.c. I) y = 0 vx = vy = 0
∞∞ →∞→== v vyou v vδy c.c.II) xx
Blasius integrou as equações diferenciais acima para acharvx e vy, em função x e y, utilizando o conceito de função corrente:
ϕ (x, y) - função corrente
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
ϕ (x, y) - função corrente
x
y)(x, ve
y
y)(x,v yx
∂
∂=
∂
∂=
ϕϕ
obtém-se:
y
y)(x,
y
y)(x,
x
y)(x, -
yx
y)(x,
y
y)(x,3
3
2
22
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂ ϕν
ϕϕϕϕ (38)
30
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Para resolver esta equação, BlasiusBlasius usouusou o o MétodoMétodo de de CombinaçõesCombinações de de VariáveisVariáveis:
Esse método é um truque para resolver equações derivadas parciais (EDP)
As vezes a situação física do problema permiteassociar x e y em uma só variável adimensional
geralmente chamadachamada ηη
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
equação de derivada parcial transforma-se em uma equação diferencialordinária (EDO)
31
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A técnica tem muito de intuitivo, mas pode ser racionalizada da seguinte maneira:
1) propõem-se combinar as variáveis independentes na forma::
(variável dependente)ηxKy mn =
2) substitui-se na equação (38) e procura-se um ajuste com liberdade deescolher K, n e m de maneira a transformar a EDP em EDO
32
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
4) resolve-se a EDO
3) verifica-se as condições de contorno
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Blasius fez este trabalho e encontrou :
η (x, y) = y V
∞ν x
portanto n = 1/2 , m = 1 ,
Desta maneira a situação física fez com que ele conseguisse uma EDO(também chamado de soluçãosolução porpor similaridadesimilaridade).
1/2
ν
vK
= ∞
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
A equação de Blasius é complexa, mas fica na forma simplificada, utilizandoa função corrente e em termos de η
.f(η) =
ϕ (x, y)
x νV∞
ou ϕ (x, y) = x νV∞f(η)
33
(39)
Ver solução em material complementar
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Resumindo:
f'''(η ) + 12
f''( η ) f(η) = 0
c.c. I) 0
0f =( )η
0f =( )η′⇒=η
c.c. II) η = ∞ ⇒ f'(η ) = 1
Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hoje
(40)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hojepode-se resolver através de métodos computacionais.
Através de tabelas encontra-se valores de f"(η), f'(η) e f(η) de modo que,como η está relacionado com y e f'(η) vx / v , usando vários valores deη, tem-se os correspondentes valores de f' (η) e consequentemente osvalores de vx.
.
∞
(tabela 12.3, Sissom)34
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Tabela 12.3: Função f(η) e suas derivadas (Sissom)
35
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
6a. Espessura da Camada Limite Laminar
Pela definição da espessura da camada limite:
pela tabela f(η) e suas derivadas - quadro 12.3 Sissom
vxV∞
= 0,9915 η = 5,0
y =δ vx = 0,99 v∞
v∞ 1/2
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
V∞= 0,9915 η = 5,0
η= y v∞x ν
1/2
y = δ
5,0v ∞ x
ν
1/2= δ
xδx= 5,0
RexRe x =
v∞
x
ν
Espessura da camada limite laminar em qualquer ponto a partir do canto da placa36
5,0 = δv∞x ν
1/2
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
6b. Gradiente de Velocidade e Tensão de Cisalhamento na Superfície
da Placa Plana
Gradiente de velocidade na superfície da placa plana é dado por:
(0)fxν
vv
y
v 1/2
0y
x ′′
=
∂
∂ ∞∞
=
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Do quadro (12.3) η= 0 f''(0) = 0,332061/2
0y
x
xν
vv33206,0
y
v
=
∂
∂ ∞∞
=
37
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Portanto, se a tensão de cisalhamento na parede da placa plana for:
0y
xo y
v
=∂
∂µ=τ
2/1
0y
x
x
vv33206,0
y
v
ν=
∂
∂ ∞∞
=
2/1
o x
vv33206,0
νµ=τ ∞
∞
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
6.c. Força de arraste na superfície da placa plana (devida a tensão
de cisalhamento)
A força de arraste é causada pela tensão de cisalhamento na superfície deum objeto sólido movendo-se num fluido viscoso.
Sendo Fk a força de arraste sobre a placa plana dAF
A
oK ∫ τ=
38
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
sendo a área da placa dada por: A = B. L
onde B = comprimento na direção z (não há escoamento)L = comprimento na direção x
dA = B dL
de modo que: dxv0,33206 µ,BF
1/2L
= ∞∫
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I de modo que:
x
dx
xν
v0,33206 µ,BF
0 K
= ∞
∞∫
ρµ= ∞∞ LvBv664,0FK
39
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
7.Coeficiente de Atrito Local e Médio
Coeficiente de atrito adimensional:
de modo que para uma placa plana:
2/v2/v
A/FC
2o
2K
f∞∞ ρ
τ=
ρ=
2/1328,1LvBv664,0 µρµ ∞∞
Coeficiente de atrito médio
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
e para qualquer ponto x sobre a placa:
L
2/1
2f Re
328,1
Lv328,1
2/vBL
LvBv664,0C =
ρ
µ=
ρ
ρµ=
∞∞
∞∞
Coeficiente de atrito local
x
2/1
2
22/1
2f Re
664,0
xv
v664,0
x
v
v
v332,0C =
ρµ
µ=
νρ
µ=
∞
∞∞
∞
∞
40
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
8.Solução Integral da Camada Limite - Laminar(Método de Kárman - Pohlhausen)
Partindo da Equação da Continuidade, da Quantidade de Movimentoe da Lei da viscosidade de Newton, obtêm-se:
( )ρ
τdyvvv
xo
δ
x2x −=−
∂
∂
∫ ∞Forma integral para camada limite:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I ( )
ρdyvvv
x 0 xx −=−
∂ ∫ ∞Forma integral para camada limite:
Para resolução desta integral aproxima-se v (x,y) para um polinômiocom a seguinte forma:
vx (x, y) = a(x) + b(x) y + c(x) y2 + d(x) y 3
(ver resolução m folhas em anexo)41
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
1) y = 0 vx (x,y) = 0 a(x) = 0
2) y = δ vx (x, y) = V 8
3) y = δ 0y
vx =∂
∂
v2∂
Condições de contorno:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
4) y = 0 0y
v2x
2=
∂
∂ Supondo perfil linear próximo a superfície
δx = 4,64
Rex 1/2Camada Limite Laminar
42
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
9.Camada Limite Turbulenta
Numa placa plana a espessura da camada limite turbulenta podeser obtida pelo método integral, onde se utiliza o perfil power-lawpara velocidade.
n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universal
7/1
xy
vv
= ∞
O perfil do escoamento turbulenta através de um tubo liso pode serrepresentada pela relação empírica
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universalxy
vv
δ
= ∞
e a relação de Blasius para a tensão de cisalhamento:
(tubos)
4/1
.max.maxx
2.maxxo
yvv0225,0
νρ=τ Retubo<105
Resuperfície plana<107
ymax.= R (tubos) ymax.= δ (superfície plana)43
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Gradiente de pressão zero, a relação integral de von Kárman é:
( )ρ
τdy vvv
xo
δ
0 x
2x −=−
∂
∂
∫ ∞
Aplicando estas três equações, e integrando, obtêm-se:
δ 0,376 Espessura da camada limite
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
δx= 0,376
Rex( )1/5Espessura da camada limiteturbulenta
Coeficiente de atrito local5/1x
fxRe
0576,0C =
Rex<107 Placas planas lisas44
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
10.Escoamento com diferença de pressão
A solução de Blasisus para escoamento laminar sobre uma placaplana admitiu que a pressão era constante, e consequentemente ogradiente de pressão era nulo.
No entanto, se o gradiente de pressão não for nulo, a equação deNavier-Stokes na direção x é:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I Navier-Stokes na direção x é:
2x
2x
yx
xy
vν
x
p1
y
vv
x
vv
∂
∂+
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂
na superfície, onde y = 0 e vx = vy= 0 será:
2x
2
y
v
x
p1
∂
∂µ=
∂
∂
ρ45
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
δ(x)
0x
p<
∂
∂
0x
p=
∂
∂0
x
p>
∂
∂
V∞
V∞
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Fluxoinvertido
ponto de descolamento
Perfis de velocidade em escoamento com separação de fluxo
0y
v
0y
x =∂
∂
=
46
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Para o caso O resultado é a diminuição da quantidade de movimento,não é sendo suficiente para levar a partícula ao repouso.
0x
p=
∂
∂
y y y
vxy
v x
∂
∂
2x
2
y
v
∂
∂
Saída da camada limite
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
v x - +
2x
2
y
v
∂
∂y
v x
∂
∂
Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada limite quando 0
x
p=
∂
∂
superfície
47
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Comentários:
Quando , mostra que esses dois gradientes são diretamenteproporcionais
2x
2
y
v
x
p1
∂
∂µ=
∂
∂
ρ
0y
v e 0
x
p2x
2=
∂
∂=
∂
∂
Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
A medida em que se aproxima do fim da camada limite o gradiente de velocidade
vai diminuindo até tornar-se nulo.
A segunda derivada é nula na superfície da placa, negativa no interiorda camada limite e volta a ser nula a saída da camada limite.
Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear
O decréscimo na 1° derivada implica que a segunda derivada seja negativa.
48
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Para o caso
Gradiente de pressão favorável
A pressão atrás da partícula (auxiliando seu movimento) é maior do que aoposta ao seu deslocamento. A partícula é "desacelerada segundo a pressãoem colina", mas sem perigo de ter sua velocidade anulada.
y y y
0x
p<
∂
∂ gradiente de pressão negativa, na superfície
Saída da
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
y
vx
y
- +
Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada limite quando
2x
2
y
v
∂
∂
y
v x
∂
∂
0x
p<
∂
∂
superfície
Saída da camada limite
49
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A derivada segunda da velocidade será diferente de zero e será negativa, mas a medida que :
)tetancons(v vsejaou 0y
v e 0
y
v δy x
x2x
2
∞→→∂
∂→
∂
∂⇒→
Para o caso 0x
p>
∂
∂Na superfície da placa
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
O gradiente de pressão se diz adversa se a pressão cresce no sentido do escoamento.
A partícula poderia ser levada ao repouso provocando em suas vizinhanças oafastamento do fluido do contorno sólido. Quando acontece, diz-se que o fluxodescola da superfície.
0x
p1
y
v
0y2x
2>
∂
∂
ρ=
∂
∂µ
=50
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
.de modo que , e considerando que
quando , sempre pelo
0y
v
0y2x
2>
∂
∂µ
=
0y
v2x
2→
∂
∂µ
δ→y lado negativo ter-se-á o comportamento da figura abaixo
y y y Saída da camada limite
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
v x- +
superfície
2x
2
y
v
∂
∂
y
v x
∂
∂
Variação da velocidade e seus gradientes na camada limite quando 0x
p>
∂
∂51
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Este último caso analisado é característico de um escoamento comseparação de fluxo, que se verifica no escoamento em torno de corpossólidos de geometria não plana. Nesse tipo de escoamento verificam-seperfis de velocidade onde se caracteriza um ponto de separação e umaregião de separação.
Para que haja uma região de separação é imprescindível que
mas somente a existência de um gradiente de pressão adverso,
0x
p>
∂
∂
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
não é suficiente para garantir que se verifique uma região de separação.
É necessário também que a geometria favoreça o aparecimentodessa região.
região de vórtices(região de separação)
Região de vórtices num escoamentoem torno de um corpo sólido
52
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
11.Coeficiente de Atrito para Escoamento na Entrada de Tubos
Quando um fluido entra num tubo forma-se uma camada limite junto asuperfície interna deste, e a medida em que se aumenta para o interior do mesmo,verifica-se que essa camada limite vai aumentando em espessura, até um pontoem que a camada limite preenche totalmente a área de escoamento.
A partir desse ponto o perfil de velocidade não mais se altera e o escoamento é chamado plenamente desenvolvido.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I é chamado plenamente desenvolvido.
A velocidade do fluido no centro do tubo é 2v (veloc. do fluido na corrente livre)
LexV�
Variação do perfil de velocidade de entrada de um tubo
(Comprimento de entrada)
53
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
No escoamento laminar o comprimento de entrada é dado pela expressão deLanghaar:
LeD
= 0,0575 Re Onde, D = diâmetro interno do tubo
No escoamento turbulento não existe uma expressão para o comprimentode entrada, mas os estudos experimentais levaram a conclusão que:
Le = 50D
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I Le = 50D
Os resultados indicaram um maior coeficiente de atrito próximo da entrada,que vai diminuindo a medida em que se caminha para o interior do tubo. Essasobservações são devidas aos elevados gradientes de velocidade próximos aparede do tubo na entrada.
(Langhaar)Coeficiente de atrito para escoamento laminar na região de entrada
54
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Relação entre o coeficiente de atrito na região de entrada e o coeficientede atrito no escoamento plenamente desenvolvido em função darazão entre a distância a partir da entrada e o diâmetro do tubo para o
escoamento laminar.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Le/D
Cfent.
Cf desnv.
10
0
0
escoamento laminar plenamente desenvolvido
Coeficiente de atrito na região de entrada no escoamento laminarx/D
55
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Cfent.
Cf desnv.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Le/D
10
0
0
escoamento turbulento desenvolvidocamada limite laminar
camada limite turbulenta
x/D
Perfil de velocidade e variação do fator de fricção em escoamento turbulento na região próxima a entrada do tubo
É importante observar que em algumas situações o escoamento nunca atinge acondição de plenamente desenvolvido. Nessas situações o coeficiente de atrito serásempre maior do que os preditos pelos gráficos como de Moody.
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