Capitulo v (Hidrodinamica)

Física General II Hidrodinámica Optaciano Vásquez García

293

CAPITULO V

HIDRODINAMICA

Un ciclista puede hacer disminuir intencionadamente el rozamiento aerodinámico al adquirir una

postura adecuada de carrera (encogiendo el cuerpo y usando ropa ajustada


294

5.1. INTRODUCCIÓN

La naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede

ser estudiada de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo

que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener

deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Las ecuaciones

básicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son:

El principio de conservación de masa, a partir del cual se obtiene la ecuación

de continuidad.

El principio de conservación de la energía.

El principio de conservación de la cantidad de movimiento que nos permite

determinar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

5.2. SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL.

5.2.1. Sistema.

Un sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija

limitada por el entorno a través de una frontera. Los contornos del sistema forman

una superficie cerrada, y ésta superficie puede variar con el tiempo, de manera que

contenga la misma masa durante los cambios en condición. El sistema puede

contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y

sólidos a voluntad del investigador. Un ejemplo lo constituye el sistema

constituido por el vapor dentro del cilindro de una máquina después del cierre de

la admisión como se muestra en la Fig.5.1. A medida que el pistón se mueve, el

volumen del sistema cambia pero no existen cambios en la cantidad de masa.

Fig5.1. Definición de sistema.

5.2.2. Volumen de control.

Es una región fija en el espacio, a través de cuyos límites puede fluir, masa,

momentum, energía, etc. El límite del volumen de control se denomina superficie

de control. El volumen de control puede ser de cualquier tamaño y forma. La

cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas.

Sistema

(Gas en el cilindro)

´pistón

Cilindro

Límite del sistema


295

En la Fig. 5.2, se muestra un volumen de control escogido para estudiar el flujo a

través de una boquilla.

Fig. 5.2. Volumen de control para un flujo de fluidos.

5.3. FLUJO DE FLUIDOS

Llamase flujo de fluidos al movimiento de un fluido. El flujo de fluidos puede ser:

permanente, no permanente, uniforme, no uniforme, laminar, turbulento,

unidimensional, bidimensional, tridimensional, rotacional e irrotacional.

5.3.1 Flujo permanente.

Se dice que un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las

condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. Así por

ejemplo, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan

ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por lo tanto, la velocidad es

constante respecto del tiempo, es decir, 0/ tv pero puede variar de un punto a

otro, es decir ser variable respecto de las coordenadas. De la misma manera las otras

magnitudes tales como la densidad, la presión y la temperatura no varían con el

tiempo, esto es, 0/ t , 0/ tp y 0/ tT .

Un ejemplo lo constituye el flujo de un líquido a través de una tubería larga recta de

sección constante y a caudal constante.

5.3.2 Flujo no permanente

Un flujo es no permanente cuando las propiedades del fluido y las

condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo, es decir, 0/ tv . Un

ejemplo de éste tipo de flujo lo constituye el movimiento de un fluido a través de

una tubería de sección constante pero a caudal variable.

5.3.3. Flujo uniforme.

Un flujo de fluidos es uniforme cuando el módulo, la dirección y el sentido

de la velocidad varían de un punto a otro del fluido, es decir, 0/ sv

siendo s un

Superficie de control

Volumen de control


296

desplazamiento en una dirección cualquiera. Esta suposición implica que las

otras magnitudes físicas del fluido no varían, o bien, 0/ s , 0/ sp . Un

ejemplo lo constituye el movimiento de un fluido bajo presión a través de tuberías

de sección constante y gran longitud.

5.3.4 Flujo no uniforme.

Se dice que un flujo es no uniforme, cuando la velocidad, la presión varían

de un punto a otro en la región del flujo, es decir, 0/ sv .

5.3.5 Flujo laminar.

Un flujo es laminar cuando las partículas del fluido se mueven a lo largo de

trayectorias lisas en capas o láminas, deslizándose una capa sobre la otra adyacente.

En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad dad por yv / .

5.3.6 Flujo turbulento.

En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven siguiendo

trayectorias aleatorias originándose un intercambio de momentun molecular. Es un

ejemplo la cascada de un río.

5.3.7 Flujo unidimensional.

En un flujo unidimensional se desprecian las variaciones de la velocidad,

presión, densidad, transversales a la dirección principal del movimiento del fluido.

El flujo a través de una tubería se puede considerar unidimensional.

5.3.8 Flujo bidimensional.

En este flujo se supone que todas las partículas siguen trayectorias idénticas

en planos paralelos, por lo tanto, no hay cambios en el flujo en la dirección normal a

dichos planos. Es un ejemplo el movimiento de un líquido a través de un vertedero.

5.3.9 Flujo tridimensional.

Es aquel tipo de flujo general en el que las componentes de la velocidad vx ,

vy y vz en direcciones perpendiculares son funciones del tiempo y de las

coordenadas espaciales.

5.4. FLUJO IDEAL.

En el estudio del movimiento de fluidos en muchos casos se puede considerar como

un flujo de fluidos ideal a aquel que cumple con las siguientes características:


297

El fluido debe ser absolutamente incompresible.

El fluido debe carecer de viscosidad o rozamiento interno.

5.5. LINEAS DE CORRIENTE.

Las líneas de corriente son líneas imaginarias dibujadas a través de un fluido en

movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de

fluidos. Debe observarse que la tangente en un punto a la línea de corriente nos da la

dirección instantánea de la velocidad de las partículas del fluido, en dicho punto. La

Fig 5.3, nos muestra tal aseveración.

Fig.5.3. Líneas de corriente en un flujo de fluidos.

Debido a que la velocidad en dirección normal a la línea de corriente no existe,

entonces en la dirección perpendicular a la línea de corriente no existe flujo. En la

Fig. 5.4, se muestra la forma de algunas líneas de corriente al colocarse diversos

sólidos del flujo de fluidos.

Fig5.4. Líneas de corriente para diferentes flujos.

5.6. TUBO DE CORRIENTE.

Es la parte de un fluido limitado por un haz de líneas de corriente. Todas las

partículas que se hallan en una sección de un tubo de corriente, al desplazarse

continúan moviéndose por su sección sin salirse del mismo. De igual forma ninguna

partícula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo. En la Fig,

5.5, se muestra un tubo de corriente.

v


298

Fig.5.5. Tubo de corriente formado por líneas de corriente.

5.7. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos

permanente y unidimensional, en un tubo de corriente, nos da la ecuación de

continuidad, la que expresa la continuidad del flujo de una sección a otra del tubo

de corriente. Para encontrar la expresión matemática considere un sistema físico

conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de

corriente, como se muestra en la Fig.5.6, a través del tubo para un flujo permanente,

unidimensional y compresible. Cerca de la sección (1) del tubo, el área de la sección

es A1 y la densidad ρ1, mientras que en la sección (2) el área de la sección es A2 y la

densidad es ρ2. El volumen de control está representado por las letras I y R, en tanto

que la superficie de control coincide con las paredes del tubo de corriente.

Fig. 5.6. Sistema para determinar la ecuación de continuidad.

De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema está compuesto por el fluido

dentro del volumen de control (I + R), en un tiempo t + dt el sistema se mueve

corriente abajo, de tal forma que según el principio de conservación de masa del

sistema se tiene que

dt t tiempo

un en

ttiempo

un en Ry I zonas

lasfluidoen del Masa

RyzonasO

lasenfluidodelmasa


299

Es decir:

dttROtRI mmmm (5.1)

Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del

espacio no son unciones del tiempo, de tal forma que

dttRtR mm (5.2)

Es decir, la ecuación (1) se escribe en la forma

dttOtI mm (5.3)

Estos dos términos se expresan fácilmente en función de otras variables como la

densidad, el área de la sección y el desplazamiento de la masa del fluido, es decir

222111 dSAdSA (5.4)

Si se divide la ecuación (5.4) entre el tiempo t, resulta

)/()/( 222111 dtdSAdtdSA (5.5)

Las derivadas de las cantidades S1 y S2 respecto del tiempo nos dan las velocidades

instantáneas en las secciones 1 y 2, por lo tanto, la ec. (5), se escribe

222111 vAvA (5.6)

Es a la cantidad ,Avm que se le conoce como Régimen de flujo de masa y

constituye la llamada ecuación de la continuidad, la misma que expresa: en un flujo

permanente, el régimen de flujo de masa que pasa a través de todas las secciones

de un tubo de corriente, es constante. La ec. (5.6) puede escribirse también en la

forma

0

tan

Avd

o

teconsAvm

(5.7)

Por otro lado si se multiplica a la ec. (5.6) por la aceleración de la gravedad local g

se obtiene el flujo ponderal (G)

AvgmG (5.8)

Para el caso en el cual el fluido es incompresible la densidad así como el peso

específico se mantiene constante. Entonces la ecuación de la continuidad se expresa

en la forma

teConsAvQ tan (5.9)


300

A la cantidad Q se le llama Caudal o gasto o régimen de flujo volumétrico o

volumen por unidad de tiempo que pasa a través de un área del tubo de flujo, cuyas

unidades son m3/s.

Para flujos bidimensionales el régimen de flujo se expresa por unidad de distancia

perpendicular normal al plano del flujo. Si b es la distancia entre dos planos de flujo

paralelos y h es la distancia entre líneas de corriente, la ec. (5.8), se escribe

hvb

G (5.10)

A la cantidad G/b, se le denomina régimen de flujo bidimensional ponderal.

Para el caso en el cual el flujo es permanente e incompresible, flujo en el cual la

velocidad no es uniforme, el caudal se obtiene mediante la ecuación

vdAQ (5.11)

5.8. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER.

Además de la ecuación de continuidad, otras ecuaciones que describen el

movimiento de fluidos es la ecuación de Euler, la ecuación de Bernoulli, la ecuación

de la energía. La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de

Newton al movimiento de las partículas de un fluido. Para obtener la ecuación de

Euler considérese un pequeño elemento de fluido de forma cilíndrica de masa,

dVdm , tal como se muestra en la Fig.5.7. Considerando despreciable la

viscosidad, las fuerzas que actúan sobre el cilindro y que tienden a acelerarlo son:

Fig.5.7. Tubo de corriente para determinar la ecuación de Euler.


301

Las fuerzas debido a la presión sobre las bases del cilindro expresadas por

)(F ; 21 dpppdAF (5.12)

La fuerza debido al peso del elemento en la dirección del movimiento

sendSdAgdW .... (5.13)

La aplicación de la segunda ley de Newton en la dirección tangente da θ

1 2

.

. .

. . . . . .

. . . . . . . (5.14)

t t

t

F m a

F F dW Sen dm a

dvp dA p dp dA g dA dS Sen dA dS

dt

dp g dA dS Sen dA v dv

Dividiendo la ec. (5.14) entre dA y teniendo en cuenta que ,. dzSendS resulta

dvvdzgdp .... (5.15)

Para un flujo incompresible esta ecuación se escribe, la ecuación anterior se escribe

en la forma

02

2

dzg

vd

dp (5.16)

O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme

02

2

zg

vpd (5.17)

5.9. LA ECUACIÓN DE BERNOULLI.

La ecuación de Euler, se puede integrar fácilmente entre dos puntos ya que γ y g son

constantes para un flujo incompresible de un fluido de densidad uniforme,

obteniéndose

2

2

22

1

2

11

22z

g

vpz

g

vp (5.18)

Debido a que los puntos 1 y 2 son arbitrarios cualquiera de una línea de corriente, se

puede escribir la ec.(5.18) en la forma

teconsHzg

vptan

2

2

(5.19)


302

La ec (5.19) se aplica a todos los puntos de la línea de corriente y provee una

relación útil entre la presión p, la magnitud de la velocidad v y la altura z sobre el

plano de referencia. A la cantidad H se le denomina carga total. La ec.(5.19) revela

además que las cantidades p/γ, v2/2g y z son distancias verticales. El experimento de

Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v2/2g), la carga de presión

(p/γ) así como la carga de altura z siempre permanece constante.

La línea de carga piezométrica o línea de gradiente hidráulico (L.G.H) trazada a

través de las partes superiores de las columnas piezométricas nos dan la imagen de

la variación de presión ver la Fig.5.8.

Fig.5.8. Trazado de la línea de gradiente hidráulico.

5.10. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.

5.10.1. La ecuación de la hidrostática.

Las ecuaciones deducidas en hidrostática son un caso especial del teorema

de Bernoulli, cuando la velocidad en todos los puntos es nula. Para determinar la

ecuación hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la

Fig. 5.9. Es decir

2

2

22

1

2

11

22z

g

vpz

g

vp (a)

Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión

atmosférica p0. Así mismo, debido a que el fluido está en reposo, v1 y v2 son nulas,

con lo que la ecuación anterior se escribe


303

011 2

1 0 2 1

1 0

0 0

. (b)

ppz z

p p z z

p p h

Fig.5.9. Determinación de la ecuación de la hidrostática

5.10.2. Teorema de Torricelli.

En la Fig. 5.10, se muestra a un líquido que sale por un orificio practicado en

la pared lateral de un depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie libre

del líquido. Para determinar la velocidad con que sale el líquido a través del orificio

se toma un punto 1 en la superficie libre del depósito en donde la altura y la presión

son conocidas y un punto 2 en la salida de la tobera en donde también se conocen la

presión y la altura.

Fig.5.10. Teorema de Torricelli


304

Aplicando el principio de conservación de masa entre los puntos mencionados, para

un flujo ideal proporciona

2211 vAvA (a)

Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene

2

2

22

1

2

11

22z

g

vpz

g

vp (b)

Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presión

atmosférica p0, la ecuación anterior se escribe.

2 2

0 01 21 2

2 2

2 1 2 1

2 2

2 1

2 2

2

2 (c)

p pv vz z

g g

v v g z z

v v gh

Remplazando la ec. (a) en (c), resulta

(d) /1

2

21

2

21

2

2

1

22

2

AA

ghv

ghA

Av

En general el área de la tobera A2 es mucho menor que el área de la sección

transversal del depósito A1, de tal forma que ,0/ 12 AA y la ec. (d) se escribe

ghv 22 (e)

La ec. (e) indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzaría

una partícula cayendo libremente sin fricción desde el punto 1 hasta el punto 2. En

otras palabras la energía potencial de la superficie libre se convierte en energía

cinética del chorro.

5.10.3. Efecto Venturi.

Supongamos que tenemos un flujo en el cual no existen diferencias

significativas de energía potencial del fluido en movimiento. Entonces en la

ecuación de Bernoulli se puede considerar que z1 = z2 = 0, con lo que se tiene

g

vp

g

vp

22

2

22

2

11 (a)


305

De donde

2 2

1 2 2 1

1

2p p v v (b)

En esta expresión, si v1 es mayor que v2, entonces también lo es. En

consecuencia, es negativo, lo que a su vez, es posible solo si p2 es mayor

que p1. En términos más simples, donde la velocidad sea mayor, la presión es

menor. A este fenómeno se le conoce como efecto Venturi.

Este efecto se aprecia con gran facilidad al soplar entre dos hojas de papel separadas

unos cuantos centímetros. La velocidad del aire entre las hojas será mayor que en

las caras externas y por tanto la presión en las caras externas será mayor,

uniéndolas.

El mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una hoja

dispuesta horizontalmente, levantándola; a su vez, este ejemplo explica el porqué

los techos arrancados de las casas con puertas y ventanas bien cerradas en un día de

viento de gran intensidad.

Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera que se roto

traslade como se observa en la Fig,5.11, que representa una mirada desde arriba.

Fig 5.11. Efecto Venturi en una pelota en movimiento

La pelota se mueve hacia la derecha girando en sentido contrario a las manecillas de

un reloj. El movimiento de rotación arrastra a una porción de aire en las cercanías de

la pelota, el que forma una capa rotatoria que adquiere una velocidad cuyas

direcciones están indicadas con vs y vi. El movimiento de traslación en cambio,

produce una corriente de aire viajando a la izquierda con una velocidad vv.

Se ve con claridad aquí que la velocidad será mayor en el lado 1 ( )v sv v que en el

lado 2 ( )v iv v y por tanto la presión será mayor en el lado 2, produciéndose una

curva en la trayectoria de la pelota, con radio de curvatura hacia el lado 1.


306

Una aplicación interesante del efector Venturi, lo constituye el denominado Tubo de

Venturi descrito en la siguiente sección

5.10.4. Tubo de Venturi

Este medidor mostrado en la figura 5.12 consiste en un tubo con un

estrechamiento en forma gradual y un aumento también gradual practicado con la

finalidad de evitar la formación de remolinos de tal manera que no se produzca

remolinos quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario (permanente).

Fig. 5.12. Esquema de un venturímetro

Para determinar el caudal en primer lugar se determina la velocidad de flujo del

fluido, para ello se aplica la ecuación de continuidad entre los punto 1 y 2

222111 vAvA (a)

Para un fluido incompresible, la ec anterior se escribe

2

1

2

2

2211

vA

Av

vAvA

(b)

Por otro lado aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene

2

2

221

2

11

22z

g

vpz

g

vp (c)

Observando la figura se ve que z1 y z2 se encuentran en un mismo nivel horizontal

por lo que

g

vp

g

vp

22

2

22

2

11

21

1

1

2

2

2pp

gvv (d)


307

Al remplazar la ec (b) en (d) y simplificar se tiene

2

1

2

21

2

1

2

A

A

ppgv

(e)

La diferencia de presiones se determina a partir de las lecturas de los piezometros,

es decir

101 hpp

202 hpp

2121 hhpp

hpp 21 (f)

Al remplazar la ec (f) en (e) resulta

2

1

2

2

1

2

A

A

ghv (g)

Entonces el caudal Q o régimen de flujo volumétrico se expresa en la forma

2

2

2

1

212211

2

AA

ghAAvAvAQ *

5.10.5 Tubo de Prandtl (Pitot).

Este dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo de un gas,

consiste en un tubo manométrico abierto e que va conectado a una tubería que lleva

un fluido como se muestra en la Fig. 5.13. La presión en la parte izquierda del

manómetro cuya abertura es paralela a la dirección del movimiento del gas es igual

a la presión de la corriente gaseosa por otro lado la presión en la rama derecha cuya

abertura es perpendicular al flujo del gas puede aplicarse aplicando el teorema de

Bernoulli a los puntos 1 y 2, esto es:

Siendo v, la velocidad de la corriente, γ el peso específico del fluido móvil y p1 la

presión en el punto 1, la presión en la punto 2 es p2 y a velocidad en dicho punto es

nula debido a que el gas no se mueve en el estancamiento, y los puntos 1 y 2 se

encuentran en el mismo nivel horizontal, entonces la ecuación anterior se escribe


308

2 12 ( )g p pv

La diferencia de presiones se determina a partir de la lectura del manómetro en el

tubo de Pitot, es decir

M 1p Hgp h

2N

M N

p p

p p

1 2Hgp h p

2 1 Hgp p h

Al remplazar esta +ultima ecuación en la velocidad resulta

2 Hgg hv

Fig. 5.13. Tubo de Pitot para medir la velocidad de un gas.

5.10.6 Sustentación del ala de un avión.

Con la finalidad de simplificar los cálculos consideremos en nuestra mente

que el ala del avión esta en reposo y que el aire es el que se mueve respecto al avión

hacia la derecha. El la figura 5.14, se muestra algunas líneas de corriente alrededor


309

del ala, estas líneas en la parte superior se encuentran más apretadas mientras que en

la parte inferior no es muy importante la perturbación.

Fig. 5.14. Sustentación del ala de un avión.

Esta distribución de las líneas de flujo nos induce a pensar que es semejante a un

venturímetro en donde la parte inferior (punto 1) es la garganta del venturímetro y el

punto 2 la parte ancha de dicho tubo, Es decir

1 2 1 2 v v p p (a)

Bajo estas circunstancias, la fuerza de sustentación es

2 1 2 1( )F F F p p A (b)

Donde A es el área del ala del avión que la consideramos iguales el parte superior e

inferior, respectivamente.

Si p y v son la presión y la velocidad del flujo de aire a una gran distanca del ala

(puntos 3 y 4); y p1 y v1 los correspondientes al punto 1(debajo del ala); p2 y v2 los

valores de la presión y la velocidad en en el punto 2 (sobre el ala), la aplicación de

la ecuación de Bernoulli nos da

22

1 11 entre 3 y 1

2 2

p vp vz z

g g (c)

22

2 22 entre 4 y 1

2 2

p vp vz z

g g (d)

De las ecuaciones (c) y (d) se tiene 2 2

1 1 2 21 2

2 2

2 1 1 2 1 2

2 2

2

p v p vz z

g g

p p v v z zg

(e)


310

Despreciando la diferencia de alturas entre la parte superior e inferior del ala se

tiene

2 2

2 1 1 22

p p v vg

(f

Finalmente, la sustitución de la ecuación (f) en (b) nos permite determinar la fuerza

de sustentación del ala

2 2

1 22

AF v v

g Rta

5.11. LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA.

La aplicación de los principios de trabajo-energía al flujo de fluidos produce una

valiosa relación entre las propiedades del fluido, el trabajo realizado y la energía

transmitida. Se ve entonces que la ecuación de Bernaulli es equivalente a la

ecuación trabajo–energía de la mecánica para el flujo de un fluido ideal.

Consideremos la sección de un tubo de corriente diferencial como se ve en la

fig.4.15, y el sistema fluido que ocupa las zonas I y R del volumen de control en el

tiempo t, y las zonas R y O en el tiempo t + dt. Para un fluido permanente la

ecuación de la continuidad establece (ρ = cte).

La relación trabajo-energía establece que el trabajo dW (expresado como una fuerza

actuando a distancia) realizado sobre un sistema, produce un cambio equivalente en

la suma de las energías cinéticas, Ek y potencial, Ep del sistema, esto es en un

tiempo dt.

Fig. 5.15. Sección diferencial de un tubo de corriente.


311

Remplazando (1) en (3) resulta

De igual forma se obtiene

Remplazando el segundo término de la ec. (1) en (5) resulta

El trabajo externo realizado sobre el sistema se lleva todo a cabo en las secciones

transversales 1-1 y 2-2 porque no hay movimiento perpendicular al tubo, de manera

que las fuerzas internas laterales no puedan realizar trabajo. Además, como todas las

fuerzas internas aparecen en pares iguales y opuestos, no se realiza trabajo neto

internamente. El trabajo realizado por el fluido que entra en I sobre el sistema en el

trabajo dt, es el trabajo de flujo.

Como el sistema realiza trabajo sobre el fluido en O en el tiempo dt, el trabajo

realizado sobre el sistema es

Reemplazando las ecuaciones (4), (6), (7), y (8) en (2), resulta:

Teniendo en cuenta la ec. (1) resulta:


312

Reacomodando términos en la ecuación anterior se tiene

Una vez más se ha obtenido la ecuación de Bernoulli, pero esta vez utilizando las

ideas energéticas por lo que ésta se constituye en a Ecuación de la energía mecánica.

Los términos v2/2g, p/γ y z quienes además tienen las unidades de metros o

m-N/N = Joule/New que representan energía por unidad de peso de fluido.

La adición a un flujo de fluido de energía mecánica por una bomba (EB), o una

extracción por una turbina (ET), altera la ecuación de Bernoulli la que debe

escribirse:

En la que las cantidades EB y ET están expresadas en términos de energía añadida o

sustraída por unidad de peso fluido en circulación y aparecen como elevaciones o

descensos abruptos de la línea de energía, a través de las respectivas máquinas.

En general el ingeniero requiere conocer la potencia total de dichas máquinas, la

cual se puede calcular a partir del régimen de flujo ponderal (G) o de la energía EB o

ET obteniéndose una potencia total dada por

5.12. FLUIDOS REALES.

Como señalamos al principio de esta unidad, muchas de las restricciones que hemos

considerado, son necesarias para encontrar los principales modelos rigen el

comportamiento de los fluidos en movimiento. Sin embargo, en muchos casos es

necesario abandonar estas restricciones, porque proporcionan aproximaciones

suaves al comportamiento de los fluidos reales

Por cierto, sin querer entrar en terrenos de la ingeniería, podemos aproximarnos a

aproximaciones un poco mejores considerando dos situaciones: primero, el hecho

de que el elemento de fluido encuentra resistencia a desplazarse en el interior del

tubo de flujo, fenómeno que describiremos con el nombre de viscosidad; y segundo,

el hecho de que se puede determinar hasta qué punto un fluido hasta que punto un

fluido se comporta de manera laminar, a través de un coeficiente sencillo

denominada numero de Reynolds.


313

5.13. VISCOSIDAD.

Una manera sencilla de entenderla es suponer un tubo de fluido, compuesto de tal

manera que se asemeja una resma de hojas de papel. Hasta ahora hemos supuesto

que se mueven con igual velocidad, como se observa en el dibujo siguiente:

Fig. 5. 16. Modelo de un fluido ideal

Este modelo puede ser mejorado considerado que en un fluido real, las hojas en

contacto con las paredes del tubo tendrán la velocidad de estas, y luego, las restantes

tendrán también distintas velocidades, considerando el roce entre ellas (viscosidad).

El comportamiento de los vectores velocidad en este caso, se representa en el

dibujo siguiente (flujo de Poiseuille).

Fig. 5.17. Modelo de un flujo real viscoso

Otra forma de apreciar este fenómeno es suponer que cada hoja es una columna de

personas caminando. Si cada hoja viaja a velocidad distinta, pero hay personas que

se cambian a otras hojas, se tendrá que aquellas que se cambian a columnas de

velocidad menor, provocaran un aumento de la velocidad promedio de esta ultima; e

contrario, si una persona se cambia a una columna que tiene velocidad mayor, le

provocará una disminución de su velocidad promedio. Este es el mecanismo básico

de la viscosidad.

El ejemplo más sencillo para estudiar el fenómeno de la viscosidad lo constituyen

dos placas paralelas entre las que se dispone un fluido viscoso. La placa superior


314

está moviéndose respecto de la inferior, que mantendremos en reposo (ver Fig.

5.18.)

Fig. 5.18. Fluido viscoso

La placa superior está moviéndose con velocidad constante y la inferior esta en

reposo. Se muestra que si el fluido está en contacto con estas paredes, se mueve con

igual velocidad que ellas.

Las rapideces de las capas intermedias aumentan uniformemente de una superficie a

otra como indican las flechas, a partir de la superficie en reposo.

Este es otra forma de ver nuestro flujo laminar. Observamos que esta acción

deformará cada vez más el flujo por cizalladura.

Supondremos que el área de la placa inferior es A y está separada de la otra por una

distancia y , por otro lado, si queremos mantener a la placa superior moviéndose a

una velocidad constante V se le debe aplicar una fuerza para compensar el roce, del

mismo modo que lo hacíamos con los rígidos en la mecánica.

Experimentalmente, se encuentra que esa fuerza es directamente proporcional al

área de la placa que se mueve.

También se encuentra que aumenta proporcionalmente con la velocidad y que es

inversamente proporcional a y. Lo anterior se puede expresar en forma matemática

como:

AvF

y (5.22)

Si la separación entre las placas es grande, la velocidad cambia a través del perfil

del flujo laminar y se tiene

dvF A

dy (5.23)

Donde η es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente de

viscosidad, o simplemente viscosidad.


315

Las unidades de n en el S.I. son Ns/m2 o lo que es lo mismo, Pa s, que se denomina

Pouseuille (PI) en honor al francés Jean Pouseuille (1799-1869) y a su trabajo con la

dinámica de fluidos, especialmente de la sangre. En el sistema CGS la unidad es

Dina s/cm2 que se denomina poise (P) como es una unidad muy grande, se

acostumbra usar el centipoise (cP), una centésima parte de un Poise.

Respecto a los lubricantes comerciales para motores, existe una indicación de

grados SAE (Society of Automotive Engineers) basados en la viscosidad. En

invierno se usa aceite de viscosidad baja SAE 10W; en cambio en verano es

necesario un aceite más viscoso SAE 30 o superior. También existen aceites

multigrados por ejemplo el SAE10-40, que contienen otras sustancias (polímeros)

permitiéndoles mantener una viscosidad constante.

Algunos valores del coeficiente de viscosidad se observan en a siguiente tabla, en

donde se resalta su variación con la temperatura.

Fluido η (Pa s)x10-3

T(°C)

Agua 1,8 0

Agua 1,0 20

Agua 0,3 100

Glicerina 830 20

Hidrógeno 0,009 0

Aceite de motor 250 30

Aire 0.0018 20

Mercurio 1,55 20

Alcohol etílico 1,2 20

Oxígeno 2,2 20

Plasma sanguíneo 2,5 20

Note que de (5.22.) se obtiene

Por lo que la unidad de viscosidad en el S.I. es:

Aunque a unidad más conocida es:


316

De lo anterior:

1 poise = 1[dina s cm2] = 10

-1[Nsm

-2]

La cantidad [F/A] es denominada esfuerzo constante, y la cantidad [v/y] es

denominada variación de la deformación.

En líquidos que fluyen fácilmente, como el agua o el petróleo, el esfuerzo cortante

es relativamente pequeño para una deformación dada, lo mismo que la viscosidad.

Para líquidos como la melaza o glicerina, se necesita un esfuerzo cortante mayor

para la misma variación de la deformación, y por tanto su viscosidad será mayor.

Los fluidos que se comparten según la ecuación (5.22.), se denominan Newtonianos.

5.14. NÚMERO DE REYNOLDS.

Existe una velocidad crítica, después de la cual el fluido deja de comportarse en

forma laminar. Entonces se observa que sólo las líneas de flujo muy cercanas a las

paredes, que forman una capa denominada capa límite, conservan las propiedades

del flujo laminar, conservan las propiedades del flujo laminar. Más allá de l la capa

límite el movimiento es muy irregular, cesa el sentido de líneas separadas

nítidamente. En el interior del fluido se originan corrientes circulares aleatorias

locales, denominadas vórtices, que dan lugar a un gran aumento de la resistencia al

movimiento. Un flujo así se denomina turbulento

Existe un parámetro asociado a la turbulencia, denominado Número de Reynolds,

que matemáticamente está expresado mediante la ecuación

Donde v es la velocidad del fluido, ρ es su densidad, η es su coeficiente de

viscosidad dinámico, L es una longitud asociada al flujo como por ejemplo el

diámetro del tubo, cuando el flujo es en un tubo. El Número de Reynolds es una

cantidad adimensional y tiene el mismo valor numérico para cualquier sistema

coherente de unidades-

En el caso de el número de Reynlds sea inferior a 2000 entonces se dice que el flujo

es laminar si el Número es mayor a 3000 el flujo es turbulento, pero si su valor

oscila entre 2000 y 3000 el flujo es inestable y pasa de un régimen a otro con

facilidad.

Para tener una idea, considérese que, en el caso del agua que pasa por un tubo de 1

cm de diámetro el número de Reynolds es 104v, de modo que el flujo se hace

turbulento cuando sólo es de 0,3 m/s.

Afortunadamente, un poco de turbulencia no cambia los valores predichos por la

ecuación de Bernoulli, de la misma forma que un poco de viscosidad no cambia la


317

conservación de la energía para períodos cortos de tiempo, de modo que pueden

seguirse aplicando las ecuaciones aquí vistas, sin grandes errores de aproximación.

5.15. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS.

Dada la naturaleza de los efectos de la viscosidad, resulta evidente que la velocidad

de un fluido viscoso que pasa a través de un tubo no es la misma en todos los puntos

de una sección transversal, Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre

las capa más externas del fluido, que a su vez actúa sobre la capa más inmediata y

así sucesivamente. Como consecuencia de esto, la velocidad es máxima en el centro

del tubo y disminuye hasta ser nula en las paredes.

Si la sección del tubo es circular, la distribución de velocidades es parabólica como

se muestra en la Fig. 5.19.

Fig. 5.19. Distribución de velocidades de un flujo en un tubo circular

Para calcular la velocidad en un fluido viscoso consideremos una porción de tubo de

radio R y longitud L. Supongamos además que el movimiento del fluido es de

izquierda a derecha debido a la diferencia de presiones (p1 – p2).

Separemos ahora mentalmente una capa cilíndrica de fluido de radio interno r y

espesor dr tal como se muestra en la Fig 5.20.

Fig. 5.20. Diagrama de una capa de fluido

En la parte interior de la capa cilíndrica actúa una fuerza de rozamiento interior

v

r

dr

r

R


318

Por la parte exterior de la capa actúa una fuerza de rozamiento dirigida

en sentido contrario a la fuerza f (la fuerza f acelera el movimiento de la capa y la

fuerza f1 lo frena. En la Fig 5.21 se observa esta situación

Fig. 5.21. Diagrama de fuerzas que actúan sobre la capa de fluido

La fuerza resultante debido a la viscosidad será

Como la velocidad es máxima en el centro del tubo, el valor de , será negativo y

la fuerza será positivo. Esta fuerza en estado de régimen estacionario

debe ser igual a la fuerza debido a la diferencia de presiones, esto es

Igualando las ecuaciones (5.27) y (5.28) resulta

r

dr

f1 f


319

Integrando en forma indefinida la ecuación anterior, resulta

Debido a que en el centro del tubo r =0; es nulo, entonces, el valor de C es nulo

por lo que la ecuación se escribe

Integrando la esta expresión resulta.

Determinemos ahora el volumen de fluido líquido que sale a través del tubo en un

tiempo determinado t. De la capa cilíndrica de radio r y espesor dr en el tiempo t

sale un volumen de fluido dado por

Al remplazar (5.30) en (5.31) resulta

Al integrar la ecuación anterior resulta que el volumen de fluido que sale a través

del tubo será

La ecuación (5.32) se conoce como ecuación de POISEUILLE


320

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 01

Un tanque cilíndrico contiene aire, aceite y agua.

El aire se mantiene a una presión manométrica p

= 5 lb/pulg2. ¿Cuál es la velocidad del agua que

sale si se ignora la fricción y la energía cinética

del fluido por encima de la elevación A? El

chorro de agua que sale tiene un diámetro d = 1 pie.

Solución

En primer lugar se determina la presión en el punto B.

2 2720 / 62,4 / 3

907,2 /

B A CG

B

p p h

lb pie lb pie pie

p lb pie

La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos B y C, proporciona.

2 2

2

2

2 2

0 00 10

2 2

907,210

2 62,4

39,75 / Rta

C C B B

C B

C B

C

C

p v p vz z

g g

v ppies

g g

v

g

v pies s

Problema 02

Un tanque grande contiene aire comprimido,

gasolina con una densidad relativa de 0,68, aceite

liviano con una densidad relativa de 0,80 y agua.

La presión manométrica del aire es p = 150 kPa.

Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el

régimen de flujo de masa m

de aceite a través de un chorro de 20 mm de

diámetro?.

Solución

De la ley de la hidrostática se observa que los

puntos A y B se encuentran a la misma presión

2 3 2150000 / 680 / 9,8 / 2

A B

gas gas B

B

p p

p gh p

N m kg m m s m p

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre

lospuntos B y C.

2 2

2

2

2 2

0 163328 03 0

2 800 9,8 2

20,83 32

18,695 / Rta

C C B B

C B

C

C

C

p v p vz z

g g

vm

g g

v

g

v m s

El régimen de flujo de masa está dado por

2

acei acei

23 3

m=

800 / 18,695 / 11.10

4,69 / Rta

C C Cv A v r

kg m m s m

m kg s

Problema 03.

A través de la tubería mostrada en la figura fluyen

trescientos litros por segundo de un líquido con

peso específico de 8 kN/m3. Determine la lectura

del manómetro en U si la densidad del mercurio

es 13600 kg/m3.


321

Solución

Datos e incógnitas

-3 3 3

3

Q=300.10 / ; =8000 N/m

13600 / ; h = ???Hg

m s

kg m

En primer lugar se determina las velocidades en

los puntos A y B.

A B

23

23

Q=A A

0,3 300.104

4,24 / 1

0,3 150.104

16,98 / 2

A B

A

A

B

B

v v

v

v m s

v

v m s

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los

puntos A y B nos da

2 2

2 2

2 2

32

A A B B

A B

A B A B

p v p vz z

g g

p p v vb h a

g

Del manómetro se tiene que

4

M N

A w B w hg

A B w hg w

p p

p b p a h

p p a h b

Remplazando la ec (4) en (3) nos da

2 2

2 2

2 2

2

(1 )2

13600 4,24 16,98(1 )

8000 19,6

880 Rta

w hg w A B

w

Hg A B

w

a h b v vb h a

g

v vh

g

gh

h mm

Problema 04.

Calcular el caudal ideal a través del sistema de

tuberías mostradas en la figura.

Solución

Datos e incógnitas.

Q = ¿???

Al tratarse de un fluido ideal se aplica la ecuación

de Bernoulli entre los puntos A y B

2 2

2

0

2 2

00,60 30 0

2 2

0,30 12

A A B B

A B

w w

A A B

w w

A B A

w

p v p vz z

g g

p v psen

g g

v p p

g

Enseguida se determina las presiones de los

puntos A y B

0

0 0

0 0

0 0

0

60

60 1,2 60

1,2 60 2

A w

B w w

B A w

p p z sen

p p z sen sen

p p sen

Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta

02

A

1,2 600,30

2

v =3,91 m/s 3

wA

w

senv

g

El caudal esta dado por


322

2

2

3

4

0,2 3,81 /4

0,12 / Rta.

A A AQ A v d v

m m s

Q m s

Problema 05.

En un torrente de agua se sumerge un tubo

doblado, según se muestra en la figura. La

velocidad de la corriente con respecto al tubo es v

= 2,5 m/s. la parte superior del tubo se encuentra a h0 = 12 cm sobre el nivel del agua del torrente z

tiene un pequeño agujero. Hasta que altura h

subirá el chorro de agua que sale por el agujero.

Solución

Datos e incógnitas

02,5 / ; h 12 ; h = ???v m s cm

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B se

tiene

2 2

A B

2 2

0A

0

p p

2 2

pp0 1

2 2

A B

A B

w w

B

w w

v vz z

g g

v vh z

g g

Utilizando hidrostática se determina la presión en

el punto A

0 2

A wp p z

Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta

2 2

0 0

0

2 2

0 0

0

2 2

2 2

p p

2 2

p p

2 2

(2,5 / )0,12

2 9,8 / 2 9,8 /

1,97 / 3

w B

w w

B

w w

B

B

z v vh z

g g

v vz h z

g g

m s vm

m s m s

v m s

Analizando el movimiento de las partículas de

fluido desde el punto B hasta C se tiene.

2 2

2

2

0 1,97 2 9,8

20 Rta.

C Bv v gh

h

h cm

Problema 06.

Determine la velocidad v1 del agua en el tubo

vertical que se muestra en la figura. Desprecie

todo tipo de perdidas.

Solución


puntos 1 y 2, se tiene

2

1 1 2

1

2

1 2 1

1

p p 00

2 2

p 1

2

w w

w

vz

g g

v pz

g

Se procede a determinar la diferencia de presiones

2 1

2 1

0,4 2 0,4

1,6 0,4 2

M N

w w Hg

w Hg

p p

p m a p m m

p p m a m

Remplazando (2) en (1), resulta


323

2

1

2

1

2

1

1

1

1,6 0,42

2

2 1,6 0,42

136000,4 0,4

2 1000

2 9,8 / 5,04

9,94 / Rta.

w Hg

w

Hg

w

m a mva

g

va m a m

g

v gm m

g g

v m s m

v m s

Problema 07.

A través de la tubería mostrada fluye gasolina

cuza densidad relativa es 0,85. Determine: (a) La

lecturas de los medidores de presión; (b) El

régimen de flujo de masa.

Solución

Se determina la presión del punto 1, utilizando el

manómetro en U de la derecha.

1 0

1,

3 2

2

1,

0,6

0,6

= 850 / 9,8 / 0,6

4998 / 1

M N

gas

man gas

man

p p

p m p

p m

kg m m s m

p N m

Se determina ahora la presión del punto 2

utilizando el manómetro en U de la izquierda.

2 3

2 0

2 0

3 2

2,

2

2,

0,9

0,9

850 / 9,8 / 0,9

7497 / 2

gas

gas

man

man

p p

p p m

p p m

p kg m m s m

p N m


puntos 1 y 2 resulta

2 2

1 1 2 2

1 2

2

1 2 2

2

1 2 2

2

1, 2,2

p p

2 2

p p03 0

2 2

p p3

2

3 32

gas gas

gas gas

gas gas

man man

gas

v vz z

g g

vm

g g

vm

g

p pvm

g

Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta

2 2 2

2

2 2

2 2

2

2

4998 / 7497 /3

2 850 / 9,8 /

2 9,8 / 3 1,5

5,42 / 4

v N m N mm

g kg m m s

v m s m m

v m s

El régimen de flujo de masa es

2

gas 2 2 gas 2

23

m=4

850 / 0,15 5,42 /4

61,44 / Rta.

A v d v

kg m m m s

m kg s

Problema 08.

A través del tubo vertical circula agua en

forma permanente z luego entra en la región

anular entre las placas circulares mostradas. Luego se mueve radialmente, saliendo como una

lamina libre. Si no se tiene en cuenta la fricción.

¿Cuál es el caudal de agua a través de la tubería si

la presión manométrica en el punto A es 69 kPa?.

Solución


324

Aplicando la ecuación de la continuidad entre los

puntos A y B se tiene

2

3

2

8

8 0,3 13.10

(0,2 )

0,78 1

A B

A

A B

rhv v

d

m m

m

v v

La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre

los puntos 1 y 2 nos da

2 2

A B

2 2

0A

2 2

A 0

2 2

A,man

p p

2 2

pp0

2 2

p

2 2

p 2

2

A B

A B

w w

A B

B

w w

A B

B

w

B A

B

w

v vz z

g g

v vz

g g

p v vz

g g

v vz

g

Remplazando la ec. (1) en (2), resulta

2

22

3 2

0,7869000N/m1,5

9800 / 2 9,8 /

16,65 / 3

B A

B

v vm

N m m s

v m s

El caudal estará dado por

3

3

2

2 0,3 13.10 16,65 /

0,408 / Rta.

B B

B

Q A v

rh v

m m m s

Q m s

Problema 09.

Para un régimen de flujo de aire de 2 m3/s de aire

cuyo peso especifico es 12 N/m3. ¿Cuál es la

mayor área A2 que hará que se aspire agua por la

abertura del piezómetro?. Desprecie los efectos de

compresibilidad.

Solución

Del manómetro en U se tiene

0

3 2

0

2

0

13600 / 98 / 0,025

3332 / 1

A Hg

A

p p gh

p kg m m s m

p p N m

La presión en el punto 1 ser[a igual a la presión

en el punto A por ser un gas el que se encuentra

en la tubería superior izquierda.

2

1 03332 / 2

Ap p p N m

Del piezómetro se tiene

0 2

2 0

3 2

0

2

2 0

1000 / 9,8 / 0,15

1470 / 3

w

w

p p gH

p p gH

p kg m m s m

p p N m


puntos 1 y 2, resulta 2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 2 2 1

p p

2 2

p p0 0

2 2

p 4

2

aire aire

aire aire

aire

v vz z

g g

v v

g g

p v v

g

Remplazando las ec. (2) y (3) en (4) resulta


325

2 2 2 2

0 0 2 1

2 22

2 1

3 2

2 22

2 1

3 2

2 2 2 2

2 1

p 3332 / 1470 /

2

4802 /

12 / 2 9,8 /

4802 /

12 / 2 9,8 /

7843, 27 / 5

aire

N m p N m v v

g

v vN m

N m m s

v vN m

N m m s

v v m s

Aplicando la ecuación de la continuidad entre los puntos 1 y 2 resulta

1 1 2 2

1

2 1

2

2 1

2

A

0,09 6

v A v

Av v

A

v vA

Calculo de la velocidad v1: de la definición de

caudal se tiene

1 1

3 2

1

1

2 / 0,09

22,22 / 7

Q Av

m s m v

v m s


2

2

2

2

0,0922,22 /

2 8

v m sA

vA

Sustituyendo la ec. (8) en (5) se tiene 2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

27843,27

222,22 7843,27

28336,99

0,022 Rta.

vA

A

A

A m

Problema 10

A través del túnel de agua pasa un flujo de 1,54

m3/s (peso especifico 9,81N/m

3, presión de vapor

6,9 kPa). La válvula está cerrada. Calcular la

magnitud z la dirección de la lectura del

manómetro después de que se abre la válvula. La presión atmosférica es 100 kPa.

Solución

Datos e incógnitas

3 3

w

2 2

, 0

1,54 / ; 9810 / ;

6900 / ; p 100000 / ; h=????v Hg

Q m s N m

p N m N m

En la figura se muestra la ubicación final de los fluidos en el tuvo en U, después de abrir la

válvula


puntos 1 y 2, se tiene

2 2

1 1 2 2

1 2

2

1 1 2

2

1 1 2

2 2

00 0

2 2

12

w w

w w

w w

p v p vZ Z

g g

p v p

g g

p v p

g


326

Calculo de la presión en el punto 1

1 ,

2 3

2

1

0,9

6900 / 9810 / 0,9

15729 / 2

v Hg wp p g m

N m N m m

p N m


2 0

2 0

0

2

2,4 2

2 2,4

13570 9,8 2 9810 2,4

76450 256162 3

M N

w Hg

Hg w

p p

p g h p g h

p p g h g h

p h h

p h

Se procede a determinar la velocidad del fluido en la posición 1

1 1

2

1

1

1,54 0,54

7,84 / 4

Q Av

v

v m s

Remplazando las ec (2), (3) y (4) en (1), resulta

215729 7,84 76456 256162

9810 2 9,8 9810

0,1169 5

h

h m

El signo menos indica que el mercurio en la rama

izquierda asciende una altura H

2 2 0,1169

234 Rta.

H h

H mm

Problema 11.

A través de la tubería mostrada en la figura fluye

agua. Determine el régimen de flujo volumétrico

Solución

Datos e incógnitas

3 3

Hg1000 / ; 13600 / ; Q=????

wkg m kg m


puntos 1(punto de estancamiento del Pitot) y 2

(extremo en la salida de la boquilla) se tiene

2 2

1 1 2 2

1 2

2

01 2

2

1 02

2 2

06 4,5

2 2

+1,5 12

w w

w w

w

p v p vZ Z

g g

pp vm m

g g

p pv

g


0 1

1 0

2 3 3

1 0

2

1 0

0,5 0,5

0,5 0,5

9,8 / 0,5 13600 / 1000 /

=61740N/m 2

M N

Hg w

Hg w

p p

p g m p g m

p p g m g m

p p m s m kg m kg m

p p

Remplazando las ec (2), en (1), resulta

2 2

2

32

2

6170 /+1,5m

9800 /2 9,8 /

v =12,36m/s 3

v N m

N mm s

El régimen de flujo será

2

2 2 2 2

2

3

4

0,05 12,36 /4

0,024 / Rta.

Q A v d v

m m s

Q m s

Problema 12.

Para la instalación del venturimetro y el

manómetro mostrado en la figura, deducir una

expresión que relacione el caudal con la lectura

del manómetro.


327

Solución

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 2 2 1

1 2

2 2

2 2

12

p v p vZ Z

g g

p v p vz z

g g

p p v vz z

g

La diferencia de presiones

1 2 1 2

1 2 1 2 2

M N

m

m

p p

p g a R p g z z g a g R

p p g z z g R gR

Aplicando la ecuación de la continuidad nos da

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

2

2

1 2

1

4 4

3

Av A v

d v d v

dv v

d

Remplazando las ec (2) y (3) en (1) se tiene

2

2 22

2 2

1 2 1

1 2

42

2 2

1

2

12

m

m

dv v

z z R R dz z

g

R R v d

g d

El caudal será

2

2 4

2

1

2 4

2

1

2

1

2

1

m

m

gRv

d

d

gRv

d

d

2

2 2 4

2

1

2 Rta.

41

mgR

Q Av dd

d

Problema 13.

Dentro de un tanque grande se encuentra agua con

una presión manométrica de 35 kPa en su

superficie libre. El agua se bombea a través de

una tubería como se muestra en la figura, y sale a

través de una boquilla para formar un chorro libre.

¿Cuál es la potencia requerida por la bomba?.

Solución

Aplicando la ecuación de la energía entre los

puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (salida de

la boquilla) se tiene

2 2

1, 2,1 2

1 2

22

2

3

2

2

2 2

35000 / 01,5 1,5

9800 / 2 2

3,57 12

man man

B

B

B

p pv vZ E Z

g g

vN m om E m

N m g g

vE m

g

Las partículas que salen de la boquilla describen un movimiento parabólico, por tanto

2 2

3 2

2

2

2 2

2

2

2

0 2

2 2 8,8 / 6

10,84 / 2

y y

y

y

y

v v gh

v gh

v gh m s m

v m s


328

La velocidad en la salida de la boquilla será

0

2 2

2

45 10,84 /

15,3 / 3

yv v sen m s

v m s

Remplazando la ec. (3) en (1)

2

2

(15,3 / )3,57

2 /

8,42 / 4

B

B

m sE m

m s

E J N

La potencia de la bomba si es que no haz pérdidas

2

2 2

2

4

9800 0,075 15,3 8,424

5610 Rta.

w B

w B

P QE

d v E

P Watt

Problema 14.

Calcular la potencia de la bomba, si a través de ella existe un flujo de agua

Solución


puntos A (superficie libre del agua) y B (punto en

la tubería a la altura del manómetro en U), resulta

2 2

2

0

2

0

2 2

00 2,4

2 2

2,4 12

A A B B

A B

w w

B B

w w

BB

w

p v p vZ Z

g g

p p vm

g g

p pvm

g

Se procede a determinar la diferencia de

presiones, para ello se analiza el manómetro en U

0

2

0

2

0

0,6 0,175

0,6 9810 0,175 134887,5

29182, /

29182,3 / 2

M N

B w Hg

B

B

B

p p

p p

p

p p N m

p p N m

Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene

2 2

3

2

B

29182,3 /2,4

2 9810 /

v = 0,5756 2 9,81

3,358 / 3

B

B

v N mm

g N m

v m s

Aplicando la ecuación de la energía entre B y el

punto D (punto de salida del agua).

2 2

2 2

0

2 2

0

2 22

3

2 2

2 2

2 2

( )2

29182,3 /0,9

9810 / 2

3,875 42

B B D D

B B D

w w

B B D

B B D

w w

B D B

B D B

w

D B

D B

B

p v p vZ E Z

g g

pp v vz E z

g g

p p v vE z z

g

v vN mm

N m g

v vE m

g

La aplicación de continuidad entre los puntos B z

D, nos proporciona

2 2

2

2

4 4

2003,358 /

75

23,879 / 5

B B D D

B B D D

B

D B

D

D

A v A v

d v d v

dv v

d

mmm s

mm

v m s

Remplazando la ec. (5) en (4) resulta

22

2

(23,879 / ) 3,358 /3,875

2 9,81 /

32,363 / 6

B

B

m s m sE m

m s

E J m


329

La potencia de la bomba será:

2

2 2

2

4

9800 0,075 23,879 32,3634

33458 Rta.

w B

w B

P QE

d v E

P Watt

Problema 15.

Determine la potencia producida por la Turbina

mostrada en la figura para una razón de agua

dulce de 0,6 m3/s. La turbina tiene una eficiencia de 90%.

Solución

Se procede a determinar la diferencia de

presiones, para ello se analiza el manómetro en U

1 2

1 2

0,8 0,8

0,8 0,8 1

M N

w w Hg

Hg w

p p

p a b m p b m

p p a


puntos 1 (entrada de agua en la turbina) y el punto

2 (punto inmediatamente en la entrada del Pitot).

2 2

1 1 2 2

1 2

2

1 1 2

1

2

1 2 1

2 2

00

2 2

22

T

w w

T

w w

T

w

p v p vZ E Z

g g

p v pz E

g g

p p vE a

g

Calculo de v1: de la definición de caudal se tiene

2

1 1 1 1

23

1

1

4

0,6 / 0,24

19,098 / 3

Q Av d v

m s m v

v m s

Remplazando la ec. (1) y (3)en (2) resulta

20,8 0,8 19,098

2 9,8

0,8 1 18,61

136000,8 1 18,6

1000

28,69 / 4

Hg w

T

w

Hg

w

T

aE a

E J N


9800 0,6 28,69 0,90

151827 Rta.

w TP QE

P Watt

Problema 16.

¿Cuál es la potencia requerida para que 30 pies3/s

de agua fluyan en la bomba de la figura

mostrada?. Desprecie la fricción en la tubería y

considere que el diámetro de la salida en la

boquilla tiene 10 pulgadas. Considere que el peso

específico del agua es 62,4 lb/pie3.

Solución

Aplicando la ecuación general de la energía entre

los puntos 1 (superficie libre del agua en el tanque

grande) y el punto 2 (extremo de salida de la

boquilla)


330

2 2

1 1 2 2

1 2

22 2

2

3 3

22

2

3

2 2

1440 / 0 8940 /20 0

62,4 / 2 62,4 / 2

7200 /20 1

62,4 / 2

B

w w

B

B

p v p vZ E Z

g g

vlb pie lb piepie E

lb pie g lb pie g

vlb pieE pies

lb pie g


2

2 2 2 2

2

3

1

1

4

1030 /

4 12

55 / 2

Q A v d v

pie s v

v pies s


2

2

3 2

55 /7200 /20

62,4 / 2 32,2 /

142,36 3

B

B

pies slb pieE pies

lb pie pies s

E pies


3 362,4 / 30 / 142,36

266497,9 . /

484 hP Rta.

w BP QE

lb pie pies s pies

lb pie s

P

Problema 17.

Calcular la altura h que producirá un régimen de

flujo de 85 lt/s y una producción de potencia de 15 kW por la turbina.

Solución

Datos e incógnitas

Q = 85 lt/s; P = 15 kW; w; = 1000kg/m3 ; h = ???

Aplicando la ecuación general de la energía entre

los puntos 1 (superficie libre del agua en el

tanque) y el punto 2 (extremo de la boquilla).

2 2

1 1 2 2

1 2

2

0 0 2

2

2

2 2

00

2 2

12

T

w w

T

w w

T

p v p vZ E Z

g g

p p vh E

g g

vh E

g


2

2 2 2 2

23

2

2

4

0,085 / 0,14

10,82 / 2

Q A v d v

m s m v

v m s

Se determina la energía que extrae la turbina. De

la definición de potencia se tien

2

2

2

23

4

15000 9800 / 0,1 10,82 /4

18 /

w T

w T

T

T

P QE

dP v E

Watts N m m m s E

E J s

Remplazando la ec. (2) y (3) en (1) resulta

10,82 /18 /

2 9,8 /

23,97 Rta.

m sh J s

m s

h m

Problema 18.

Determine la potencia mínima de la bomba que

hará pasar al chorro de agua sobre la pared.

Solución


puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (extremo

de la boquilla) se tiene


331

2 2

1 1 2 2

1 2

2

0 0 2

2

2

2 2

054 60

2 2

6 12

B

w w

B

w w

B

p v p vZ E Z

g g

p p vm E m

g g

vE m

g

Enseguida se determina la velocidad de salida del

agua por la boquilla utilizando el movimiento

parabólico de las partículas de agua, por tanto

Movimiento en X

0

2

0

2

0

2

cos 45

30 cos 45

30 2

cos 45

x v t

m v t

mt

v

Movimiento en Y

2

2

2

0

2 0 0

2 2

2

2

30 3015 cos 45

cos 45 2 cos 45

24,25 / 3

y

gty v t

m g mm v

v v

v m s

Remplazando la ec. (3) en (1)

2

2

(24,25 / )6

2 9,8 /

36 / 4

B

B

m sE m

m s

E J N

Despreciando las perdidas, la potencia de la

bomba será.

2

2 2

23

4

9800 / 0,075 36 / 36 /4

37,74 Rta.

w B

w B

P QE

d v E

N m m m s J N

P kW

Problema 19.

Un bloque de 1000 N de peso y 200 mm de lado

desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre

una película de aceite con un espesor de 0,005

mm. Si se utiliza un perfil lineal velocidades en

el aceite. Determine la velocidad terminal de

bloque. Considere que la viscosidad del aceite es

0,07 N/m2..

Solución

Datos e incógnitas

L1000 ; L = 0,2m; e = 0,005 mm; v ??

= 0,07 Pa.s

W N

En la figura se muestra el DCL del bloque; las

fuerzas que actúan sobre él son: el peso W, la

fuerza viscosa Fv la que se opone al movimiento

relativo del bloque y la fuerza NC ejercida por el

fluido sobre el bloque.

La aplicación de las ecuaciones de movimiento

según la dirección x nos da

20 1

x x

o

V x

F ma

Wsen F ma

Cuando se alcanza la velocidad límite la aceleración se vuelve nula, por lo tanto.

20 (2)o

VWsen F

Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene

. 3

V

V

V

F dv

A dy

F v

A e

AvF

e

De las ecuaciones (2) y (3), se tiene


332

0

0

6 0

2

. =Wsen20

. . 20

.

1000 5.10 20

7.10 .

0,6 m/s Rta

Av

e

W e senv

A

N m senv

Pa s

v

Problema 20

Un cilindro de 149,5 mm de diámetro y 150 mm

de longitud cae por su propio peso con una velocidad constante de 46 mm/s, dentro de un

tubo vertical lubricado de 150 mm de diámetro

interno. La holgura que se supone, está llena de

aceite. Suponiendo que la distribución de

velocidades en la película de aceite es lineal.

Determine la viscosidad del aceite.

Solución

Datos e incógnitas.

LD 150 ; d = 149,5 mm; v 46 /

9 ; ???

mm mm s

W N

En la figura se muestra el DCL del cilindro; las fuerza que actúan son el peso W, la fuerza viscosa

FV.

La aplicación de la ecuación de movimiento en la

dirección vertical nos da:

1

y y

V y

F ma

W F ma

Cuando se alcanza la velocidad Terminal la

aceleración del cilindro es nula.

(2)V

W F

Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene

De las ecuaciones (2) y (3), se tiene

V

lat

V

lat

V

lat L

L

3

2

F=

A

F

A

e.F e.W e.W= = =

v.A d.v .v 2

2

D - dW

2=

d.v .

0,15 0,14959

2

0,1495 46.10 / 0,15

0,6945 N.s/m Rta.

dv

dy

v

e

LdL

L

m mN

m m s m


333

PROBLEMAS PROPUESTOS.

1. En una tubería fluye agua. En un punto en la

línea en el que el diámetro es de 175 mm, la

velocidad es de 3,6 m/s y la presión es de 345

kPa. En un punto alejado 12 m del anterior el

diámetro se reduce a 75 mm. Calcular la

presión aquí cuando: (a) el tubo está

horizontal; (b) el tubo está vertical y el flujo

es ascendente.

2. Si a través de esta tubería circula petróleo

crudo, y la velocidad de éste en A es de 2,4

m/s, ¿en dónde estará en nivel del petróleo en

el tubo abierto C

3. A través del sistema de tuberías fluye agua.

Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lectura

del medidor de presión p(kPa).

4. El flujo es de agua. Calcular el diámetro

requerido de tubo d, para que los dos

medidores indiquen la misma lectura.

5. Un tanque cerrado contiene agua y aire arriba

de esta. El aire se mantiene a una presión de

103 kPa, y a 3 m debajo de la superficie del

agua, esta se descarga hacia la atmósfera por

una boquilla. ¿A qué velocidad saldrá el agua

desde la boquilla?.

6. A través de las tuberías fluye agua. Calcular

el régimen de flujo a través de esta tubería, así como las presiones en A, B, C y D.

7. Si a través de la tubería fluye agua. Calcular

la presión en el flujo en A; (a) Para el sistema

mostrado y (b) Para el tubo sin la boquilla.

8. Se usa un sifón consistente de una manguera

de 25 mm para extraer agua desde un tanque.

El extremo de salida de la manguera se

encuentra a 2,4 m debajo de la superficie del

agua y el doblez de la misma está a 0,9 m

sobre esa superficie del agua. Calcular la

presión en el doblez y el régimen de flujo.

9. Calcular el régimen de flujo mínimo que

pasará sobre la pared.


334

10. Un tubo horizontal de 75 mm está conectado

a una tanque con agua a 1,5 m debajo de la

superficie de la misma. El tubo se agranda de

un modo gradual hasta un diámetro de 88 mm

y se descarga libremente hacia la atmósfera.

Calcular el régimen de flujo y la presión en el

tubo de 75 mm.

11. Demostrar que para los dos orificios que

descargan como se muestra, h1y1 = h2y2 .

12. En esta tubería fluye agua a razón de tres

décimos de metro cúbico por segundo.

Calcular la lectura del manómetro, (a) usando el diagrama como se muestra, (b) cuando el

tubo del pitot está en la sec. 2 y la conexión

de presión estática está en la sección 1.

13. Calcule el régimen de flujo a través de esta

tubería.

14. A través de la tubería fluye gasolina. Calcular

el régimen de flujo.

15. A través del sistema fluye agua. Suponer que

el flujo entre los dos discos es radial y

calcular las presiones en A, B, C y D. El flujo

descarga hacia la atmósfera.

16. Si se ignora la fricción. ¿Cuál es la velocidad

del agua que sale del tanque como un chorro

libre?. ¿Cuál es el caudal de descarga.

17. A través de la tubería esta fluyendo 28 l/s de

agua. Calcular la potencia de la bomba.


335

18. A través de la tubería esta fluyendo 120 l/s de

combustible jet (JP-4). Calcular la potencia

de la bomba.

19. Calcular la producción de potencia de esta

turbina.

20. Una bomba de bomberos saca agua de mar

(DR = 1,025) mediante un tubo sumergido y

la descarga a través de una tobera, según se

representa en la figura. La pérdida total de carga es de 6,5 pies. Si el rendimiento de la

bomba es 75%. ¿a qué potencia se requiere

que funcione la bomba?.

21. Dos tanques abiertos A y F contienen el

mismo líquido. Un tubo horizontal BCD,

con una contracción en C y abierto al aire en

D, sale del fondo del tanque A. Un tubo

vertical E sale de la contracción en C y baja

al líquido del tanque F. Si el área transversal

en C es la mitad del área en D y si D está a

una altura h1 por debajo del líquido en A. ¿A

qué altura subirá el líquido en el tubo E?.

Exprese su respuesta en función de h1

22. Cuando la bomba mostrada en la figura

proporciona 220 m3/h de agua a 200C desde

el depósito, la pérdida total de carga por

fricción es 5 m. El flujo se descarga a la

atmósfera a través de una tobera de 5 cm de

diámetro. Estime la potencia en kilowatios

que la bomba proporciona al agua.

23. La bomba mostrada en la figura mueve querosene a 20ºC a 2,3 m/s. La pérdida de

carga entre los puntos 1 y 2 es de 8 pies y la

bomba proporciona al flujo 8 hp de potencia.

¿Cuál será la lectura h del manómetro en

pies?. Considere que la densidad relativa del

kerosene es 0,804; la densidad del agua 62,4

lb/pie3 y 1 hp = 550 lb.pie/s

24. Si a través de la bomba que se muestra en la

figura debe circular 10 pie3/s. ¿Cuál debe ser

la potencia en la bomba?. Desprecie la

fricción y considere que el peso específico

del agua es 62,4 lb/pie3.


336

25. Un eje de acero (7850 kg/m3) de 3 cm de

diámetro y 40 cm de longitud cae por su propio peso dentro de un tubo vertical de

3,02 cm de diámetro interior. La holgura, que

se supone uniforme, está llena de glicerina a

200C con un coeficiente de viscosidad de 1,5

N.s/m2. ¿Cuál será la velocidad terminal del

eje de acero?.

26. Sean dos cilindros coaxiales, uno fijo de

radio interno R2 y otro móvil de radio

exterior R1 y longitud L el cual se desplaza

longitudinalmente a una velocidad v0 por el interior del primero. El espacio comprendido

entre los cilindros que se supone uniforme se

llena con un liquido viscoso cuya densidad

es ρ y viscosidad η. Halle la fuerza de de

rozamiento producida por el aceite

27. Calcular la viscosidad aproximada del aceite.

28. El espacio entre dos cilindros concéntricos de

250 mm de altura y de diámetro de 150 mm y

de 156 mm, está lleno con petróleo crudo a

20 grados centígrados. ¿Qué par de torsión se

requiere para hacer girar al cilindro interior a

12 RPM, si el cilindro exterior permanece

estacionario?.

29. Una bola emerge con velocidad constante de

un líquido cuya densidad es 4 veces mayor que la del material de que está hecha la bola.

¿Cuántas veces es mayor la fuerza de

rozamiento que actúa sobre la bola que

emerge que el propio peso de éste?.

30. ¿Cuál será la velocidad máxima que puede

alcanzar una gota de lluvia de diámetro d =

0,3 mm si la viscosidad dinámica del aire es

igual a 1,2.10-4 g/cm.s?.

31. Una bolita de acero de 1 mm de diámetro cae

con la velocidad constante de 0,185 cm/s en

un gran recipiente lleno de aceite de Ricino.

Hallar la viscosidad dinámica del aceite de

Ricino.

32. En un depósito de 1 m de profundidad lleno

de glicerina se echa una mezcla de

perdigones de plomo entre los cuales unos

tienen 3 mm de diámetro y otros 1 mm. ¿Cuánto tiempo más tarde llegarán al fondo

los perdigones más pequeños que los de

diámetro mayor?. La viscosidad dinámica de

la glicerina a la temperatura que se hace el

experimento es igual a 14,7 g/cm.s.

33. Una bola de corcho de 5 mm de diámetro

emerge en un recipiente lleno de aceite re

ricino. ¿A qué serán iguales las viscosidades

dinámica y cinemática del aceite de ricino en

las condiciones del experimento si la bola emerge con una velocidad constante de 3,5

cm/s?.

34. Un recipiente cilíndrico de radio R = 2 cm

tiene en su pared lateral un orificio en la cual

va montado horizontalmente un tubo capilar

de radio interior r = 1 mm y longitud l = 2

cm. Este recipiente contiene aceite de ricino

cuya viscosidad dinámica es 12 g/cm.s.

Hallar la variación de la velocidad V, con

que desciende el nivel del aceite en el

recipiente, en función de la altura h de este nivel sobre el tubo capilar. Calcular el valor

numérico de esta velocidad cuando h = 26

cm.

35. En la pared lateral de un recipiente va

montado horizontalmente u tubo capilar de

radio interior r = 1 mm y l = 1,5 cm. El

recipiente contiene glicerina, cuya viscosidad

dinámica en las condiciones del experimento

es 1,0 N.s/m2. El nivel de la glicerina se mantiene constante a una altura h = 0,18 m

sobre el tubo capilar. ¿cuánto tiempo será

necesario para que por el tubo capilar salgan

5 cm3 de glicerina?.

Capitulo v (Hidrodinamica)

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