Capítulo Marco Bellocchio

7/23/2019 Captulo Marco Bellocchio

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Modelo de Dornbusch

Marco Bellocchio y Nahuel Peretti1

1Se agradece la ayuda brindada por parte de los profesores y ayudantesde las catedras Garca Fronti y Bernardello de Matematica para Econo-mistas de la Universidad de Buenos Aires, y a los integrantes del Centrode Investigacion en Metodos Cuantitativos Aplicados a la Economa y laGestion.

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Este trabajo desarrolla didacticamente el modelo de Over-

shooting cambiario de Rudiger Dornbusch2

siguiendo la sntesistanto de Giancarlo Gandolfo3 como la de David Golden4.

El objetivo del mismo es explicar la resolucion matematica yla dinamica de ajuste del tipo de cambio y del nivel de preciosante una perturbacion de ndole monetaria.

Se plantea graficamente el mismo, y tambien se analiza la es-tabilidad del sistema y la forma de su rama estable.

2 Expectations and Exchange Rate Dynamics, Rudiger Dornbusch(1976).3International Finance and Open-Economy Macro-economics, Giancarlo

Gandolfo.4Modelo de Overshooting Cambiario (de Dornbusch), Davis Golden

(2005).

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Introduccion

El Modelo de Overshooting Cambiario realizado por Rudi-ger Dornbusch (1976) recurre a las ideas basicas del modeloMundell-Fleming5 (1968) e intenta explicar las fluctuaciones ob-servadas en los tipos de cambio, dado un contexto en el que talesfluctuaciones son consistentes con la formacion de expectativasracionales. En el mismo se trabaja con economas pequenas yabiertas de tipo de cambio flexible. Que se trabaje con economaspequenas y abiertas significa que las variables del exterior se con-sideran variables exogenas dadas.

A diferencia del modelo de Mundell-Fleming, Dornbusch intro-duce la paridad entre la tasa de interes local y las expectativasde ajuste cambiario con la tasa de interes del exterior.

Tambien se asume que el tipo de cambio y el mercado de ca-pitales ajustan mas rapidamente que el mercado de bienes. Demanera que los precios de los bienes responden gradualmente alos excesos de demanda u oferta y existe un equilibrio perma-nente del mercado de dinero.

Es interesante el enfoque que hace Dornbusch en relacion ala sobrerreaccion (overshooting) que sufre el tipo de cambiocuando intenta alcanzar un nuevo valor de equilibrio a largo pla-zo.

5Capital Movility and Stabilization Policy under Fixed and Flexible Ex-change Rates, Robert Mundell(1968).

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El Modelo

Movilidad de Capitales y Expectativas Racionales

Una perfecta movilidad de capitales y una perfecta sustitui-bilidad de los mismos nos definen a la tasa de interes local (i),como la suma de la tasa de interes internacional (if) y la tasaesperada de depreciacion del tipo de cambio (x).

i= if+x (1)

x rr

Por ser una economa pequena y abierta, ifes exogeno al mo-delo. Si consideramos expectativas consistentes, la tasa esperaday la tasa actual de depreciacion del tipo de cambio coinciden.

e= dlnr

dt =

r

r e= x (2)

Combinando (1) y (2):

i= if+ e (3)

El Mercado Monetario

Teniendo en cuenta la condicion de equilibrio del mercadomonetario:

M

P =Y exp(i)

SiendoMla oferta monetaria,Pel nivel de precios, la semi-elasticidad6 de la demanda monetaria respecto de la tasa de in-teres, y la elasticidad de la demanda monetaria respecto al

6elasticidad porcentual, 0<


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ingreso Y. Expresada en terminos logartmicos:7

m p= y i

Reordenandop m= i y (4)

Combinando la ecuacion anterior con (3) obtenemos:

p m= y+if+e (5)

Donde el nivel de ingreso a pleno empleo esta dado por y. Enel largo plazo, el equilibrio con una oferta monetaria constanteesta definido por:

p m= y+if (6)

Debido a que la tasa esperada y actual de depreciacion deltipo de cambio es nula en el largo plazo. Si despejamos pen (6)y la combinamos con (5) obtenemos:

p= p+e

o

e=(p p)

(7)

Esta es una de las ecuaciones clave del sistema, en tanto ex-presa la dinamica de la tasa actual de cambio del tipo de cambioen terminos de la desviacion del nivel de precios actual de suequilibrio a largo plazo.

7ln(MP

) =lnM lnP =m p; ln[Yexp(i)] = lnY i= y i

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El Mercado de Bienes

La demanda de bienes domesticos depende del precio relativode los bienes domesticos con respecto a los bienes extranjeros, enterminos logartmicos (e +pfp); la tasa de interes; y el ingresoreal.

ln D d = u+(e p) +y i (8)

Dondeu es un parametro de cambio yPfes normalizado, por lotantopf =lnPf= 0. Teniendo en cuenta que los precios cambianen respuesta a los excesos de demanda, en terminos logartmicos:

p= (d y) , >0 (9)

Reemplazando (8) en (9):

p= [u+(e p) + ( 1)y i] (10)

Si consideramos el largo plazo, p= 0, p= p, finalmente obte-nemos el equilibrio a largo plazo de la tasa de cambio.

e= p+1

[if+ (1 )y u] (11)

i= if en el largo plazo

Para encontrar la otra ecuacion clave del sistema reemplazamosel interes despejado de (4) en (10).

p= [u+(e p) +(m p)

(1 +

)y] (12)

Si consideramos el equilibrio a largo plazo, p= 0, y despejando

obtenemos:

(+

)p e= u+

m

(1 +

)y

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Reemplazamos lo anterior en (12) para obtener p en funcion

solo de p y e.

p= (+

)(p p) +(e e) (13)

Finalmente obtuvimos las dos ecuaciones que rigen la dinamicadel modelo:

p= (+ )(p p) +(e e) (13)

e= (pp)

(7)

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Resolucion del Modelo

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones para obtenerp(t) y e(t):

p

e

=

(+

)

1 0

.

p p

e e

Aplico el metodo de resolucion por ecuacion eliminante8:

I- Derivo ey reemplazo p:

e= p

=

(+

)(p p) +

(e e)

II- Sabemos que e= (pp) , entonces despejamos y reemplazamosen la ecuacion anterior

e= (+

)e+

(e e)

III- Reordeno para que quede en forma de ecuacion diferencialde segundo orden y expreso la ecuacion homogenea asociada:

e+(+

)e (

)e= (

)e

e+(+

)e (

)e= 0

IV- Expreso la ecuacion caracterstica y calculo las races:

r2

+(+

)r (

) = 0

8Metodo de resolucion deMatematica para economistas con Excel y Mat-lab, A. Bernardello, M. J. Bianco, M. Casparri, J. Garca Fronti y S. Oliverade Marzana. Editorial Omicron 2010.

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r1,2= (

2

)(+

) {[(

2

)(+

)]2 + (

)}1/2

V- Ya que la sucesion de los signos de los coeficientes es ++ ,van a existir dos races reales, una positiva y una negativa. Estonos va a decir que se trata de un punto de ensilladura con unarama convergente (la de la raz negativa) y una divergente (la dela raiz positiva).

r1= (

2)(+

) + {[(

2)(+

)]2 + (

)}1/2 >0

r2= (

2 )(+

) {[(

2 )(+

)]2

+ (

)}1/2


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Si consideramos e(0) =e0 y p(0) =p0, podemos obtener C1 y

C2C1= [1

r1

(r2 r1)](e0 e)

(p0 p)

(r2 r1)

C2 = (p0 p)

(r2 r1) [

r1

(r2 r1)](e0 e)

IX- Reemplazamos lo anterior en la soluciones generales y ob-tenemos para estas condiciones iniciales la solucion del sistema.

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Estabilidad

Consideramos la parte del sistema de ecuaciones que nos dael ajuste dinamico, es decir, la parte homogenea del mismo.Para calcular la estabilidad del sistema aplicamos las condi-ciones de estabilidad para sistemas de ecuaciones de la formaX(t) =AnxnX(t)

9.

I- la traza de A tiene que ser negativa:

T r(A) =T r

(+

)

1 0

=(+

)< 0

cumple esta condicion necesaria.

II- el determinante de A debe tener el mismo signo que ( 1)n.

Det(A) =

(+

)

1

0

=

0

no cumple esta segunda condicion necesaria de estabilidad, porlo tanto, el sistema no es estable.

Como vimos en la resolucion del modelo, tenemos una razpositiva y otra negativa, con lo cual sabemos que se trata de unpunto de ensilladura, con una rama convergente (< 0) y otra

divergente (>0).

9Metodo extrado de Matematica para economistas con Excel y Matlab ,A. Bernardello, M. J. Bianco, M. Casparri, J. Garca Fronti y S. Olivera deMarzana. Editorial Omicron 2010.

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Diagrama de Fase

Proseguiremos ahora a encontrar las rectas p= 0 y e= 0, conel proposito de esquematizar el diagrama de fase del modelo10.Entonces, igualamos las dos ecuaciones que rigen nuestro modeloa cero, es decir,

(13) p= (+ )(p p) +(e e) = 0

(7) e= (pp)

= 0

Despejando obtenemos, la recta p= 0:

p= (

+)e+ p (

+)e

Podemos observar que se trata de un polinomio de primerorden, una lnea recta como es sabido puede expresarse y =mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen,por lo tanto vemos que m = ( + ) y b = p (

+ )e.

Despejando tambien obtenemos, la recta e= 0:

p= p

Vemos que se trata de una recta paralela al eje de abscisas e,con ordenada p.

Es facil de distinguir que la recta p= 0 tiene pendiente positivay la recta e= 0 no tiene pendiente. Con esto podemos armar lasdos rectas de demarcacion del diagrama de fase correspondientea nuestro modelo. En el cual se relaciona el tipo de cambio y lavariacion de los precios.

El tipo de cambio en el largo plazo provoca que el precio ac-tual y el de largo plazo sean iguales debido a las expectativas

10Chiang, A.C.Metodos Fundamentales de Economa Matematica.Cuar-ta edicion. Ed Mcgraw-Hill, 2006.

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racionales y a la perfecta movilidad de los capitales. La dinamica

de los precios en el largo plazo es positiva, ya que ante un creci-miento del tipo de cambio en esta economa pequena y abierta setraduce en un alza del nivel de producto. Si recordamos la fun-cion de demanda de los bienes domesticos, vemos que los preciosreaccionan de manera positiva (por su pendiente).

Se asume que el nivel de precios de los bienes domesticos reac-ciona de manera mas lenta que el tipo de cambio. Los preciosresponden gradualmente a los excesos de demanda u oferta, sinembargo, existe un equilibrio permanente del mercado de dinero.

Con esto es aun mas facil de poder llegar a relacionar lamatematica del modelo con una leve induccion economica. Algraficar las dos curvas en el plano de fase, con los valores de lasvariables endogenas al modelo en sus ejes, notaremos que nosqueda nuestro plano dividido en 4 regiones.

Sentido de las Regiones

Buscamos en este caso el sentido de los flujos en las 4 regiones

que nos han quedado luego de hallar las rectas p = 0 y e = 0.Una forma es introduciendo valores con el proposito de conocerel signo de p y e. Otras veces un tanto mas practico es derivar,es decir, realizar las derivadas parciales de cada una de las ecua-ciones del sistema respecto de su variable11,

d pdp

=(+

)

dede = 0

Con este metodo encontramos que la relaciones es negativa depcon respecto ap, con lo cual si estamos en un punto por encima

11Chiang, A.C.Metodos Fundamentales de Economa Matematica.Cuar-ta edicion. Ed Mcgraw-Hill, 2006.

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de la recta p= 0 la dinamica del modelo nos dira que este punto

se movera con una tendencia inversa. Si estamos por arriba de larecta p= 0 nos moveremos hacia abajo, y si estamos por abajode la recta p= 0 nos moveremos hacia arriba.

Aunque este metodo nada nos dice de la relacion entre la tasaesperada y la tasa actual de depreciacion del tipo de cambio, yaque nos da 0, o mejor dicho, nos dice queno existe relacionentrela tasa del tipo de cambio y el tipo de cambio actual en cuantoa su variacion a traves del tiempo.

Esto podra justificarse con induccion economica, aunque no

es necesario, ya que introduciendo valores podemos descubrir sudinamica en el tiempo. Si p > p, e < 0 ; y si p < p, e > 0. Siestamos por arriba de la recta e= 0 vamos a tener una relaciondirecta, es decir, nos moveremos hacia la derecha y si estamospor abajo de e= 0 nos moveremos a la izquierda.

Por lo tanto, acabamos de descubrir analticamente que exis-ten dos regiones de convergencia y dos de divergencia, tal cualhabamos descubierto anteriormente, se trata de un sistema ines-table. Ademas en la resolucion de modelo tenemos una raz ne-gativa y otra positiva, en consecuencia, obtuvimos un punto de

ensilladura, con una rama estable y otra inestable. La rama es-table del modelo es la que brindara el unico camino que conduceal equilibrio de largo plazo.

Autovectores del Modelo

Para realizar esta busqueda tendremos que hacer uso nueva-mente del sistema de ecuaciones formado por las dos ecuacionesque rigen la dinamica del modelo, sin embargo, esta vez lo rees-

cribiremos de la siguiente manera:

X=Ax+b

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p

e

=

(+

)

1

0

.

p

e

+

(+

)

1

0

.

p

e

La ecuacion caracteristica esta dada por el siguiente determi-nante |A I|igualado a 012:

(+ )

1 0

= 0

2 +(+

)

= 0

Como vemos esta ecuacion caracterstica es muy parecida a laque obtuvimos en la seccion 3.IV. Por lo tanto, las raices seranlas mismas, una raz es positiva y otra negativa.

Lo que debemos hacer ahora es reemplazar estas raices en(A I)x= ,

Para 1 > 0 tenemos el sistema

(+

) 1

1

0 1

.

p

e

=

0

0

p

1e= 0 e =

p

1

12

Metodo de resolucion deMatematica para economistas con Excel y Mat-lab, A. Bernardello, M. J. Bianco, M. Casparri, J. Garca Fronti y S. Oliverade Marzana. Editorial Omicron 2010

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V1 =

1

1

1>0 >0

Para 2 < 0 tenemos el sistema

(+

) 2

1 0 2

.

p

e

=

0

0

p

2e= 0 e =

p

2

V2 =

1

1

2


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Interpretacion Economica

En esta seccion desarrollaremos una interpretacion de la sobre-reaccion del tipo de cambio ante un shock monetario. O sea,analizaremos que sucede con nuestro modelo cuando aumenta lamagnitud de M.

Suponemos que el modelo se encuentra en un equilibrio inicial,es decir p= 0 y e= 0. Un aumento en la oferta monetaria (M)generara una perturbacion en el equilibrio inicial ( p= 0, e= 0).Ante este shock el tipo de cambio reacciona instantaneamente,

dado que hay expectativas racionales, para asegurar la paridadde interes descubierta (i = if). El nivel de precios no ajusta demanera instantanea, sino que responde gradualmente.

Debido a que las variables endogenas de nuestro modelo (eyp)ajustan a velocidades distintas, observamos que el tipo de cambiosobre reacciona ante el shock. Esto es una sobre depreciacion dela moneda local.

Ante este nuevo nivel de tipo de cambio, la tasa de variaci ondel nivel de precios es positiva, p >0. En otras palabras, el nivel

de precios tiende a subir. Como nos encontramos en un nivelde precios menor al nivel de precios del equilibrio final, p < p,segun las ecuaciones de nuestro modelo, e


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Conclusiones

Hemos presentado un modelo pequeno a modo de ilustracionpara abordar la problematica existente en la fluctuacion del tipode cambio, bajo la formacion de expectativas racionales, en unaeconoma pequena y abierta con tipo de cambio flexible. Re-solvimos matematicamente el mismo y pasamos a analizar unconjunto resultados analticos y economicos interesantes, comola inestabilidad del mismo, en funcion de su condicion de puntode ensilladura.

Ademas, se cito una expresion clave, para entender la relaciondinamica entre la tasa de cambio del tipo de cambio y la variacionde los precios, como es el over-shooting cambiario.

Por lo tanto, a pesar de no representar un gran desafo laresolucion analtica del modelo, es de vital importancia advertirla sobrerreaccion del tipo de cambio, ante un shock monetarioexpansivo, para luego converger al nuevo valor de equilibrio delargo plazo, dado un contexto de expectativas racionales.

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Lecturas Futuras

Buiter, W. H. (1984). Saddlepoint problems in continuoustime rational expectations models: A general method andsome macroeconomic examples. Econometrica: Journal ofthe Econometric Society 52(3): 665-680.

Dornbusch, R. (1975). A portfolio balance model of theopen economy. Journal of Monetary Economics 1(1): 3-20.

Dornbusch, R. (1976). Expectations and exchange ratedynamics. The Journal of Political Economy 84(6): 1161-1176.

Dornbusch, R. (1980). Open economy macroeconomics, Ba-sic Books.

Dornbusch, R. (1987). Exchange rates and prices. TheAmerican Economic Review 77(1): 93-106.

Dornbusch, R. and S. Fischer (1980). Exchange rates andthe current account. The American Economic Review 70(5):960-971.

Driskill, R. A. (1981). Exchange-rate dynamics: an em-

pirical investigation. The Journal of Political Economy89(2): 357-371.

Engel, C. M. (1998). Exchange rates and prices. NBERReporter, Winter 9: 13-17.

Miller, M. H. and P. Weller (1990). Currency bubbleswhich affect fundamentals: A qualitative treatment. TheEconomic Journal 100(400): 170-179.

Mussa, M. (1982). A model of exchange rate dynamics.The Journal of Political Economy 90(1): 74-104.

Papell, D. H. (1988). Expectations and exchange rate dy-namics after a decade of floating. Journal of InternationalEconomics 25(3-4): 303-317.

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Bibliografa

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Gandolfo. G. International Finance and Open-EconomyMacro-economics.

Golden, D. (2005).Modelo de Overshooting Cambiario (deDornbusch).

Mundell, R.(1968). Capital Movility and Stabilization Po-licy under Fixed and Flexible Exchange Rates.

Bernardello, A., Bianco, M., Casparri, M., Garca Fronti,J., Olivera de Marzana, S. Matematica para economistascon Excel y Matlab. Editorial Omicron 2010.

Chiang, A.C.Metodos Fundamentales de Economa Matem atica. Cuarta edicion. Ed Mcgraw-Hill, 2006.

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