Capitulo III

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Apostila de Eletrônica Digital

CAPÍTULO III

Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos

3.1 Introdução

No capítulo anterior, os circuitos lógicos foram tratados sem a preocupação da

simplificação, o que na prática deve ser realizado visando minimizar a quantidade de

portas lógicas do circuito.

Desta forma, deve-se realizar um breve estudo da álgebra de Boole, pois é

através de seus postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades que se

efetuam as simplificações. Na álgebra de Boole estão todos os fundamentos da

Eletrônica Digital.

3.2 Postulados

Serão apresentados os postulados da complementação, da adição e da

multiplicação da álgebra de Boole e suas identidades resultantes.

3.2.1 Postulados da Complementação

Este postulado mostra as regras da complementação na álgebra de Boole, onde

é o complemento de A.

1) Se A=0 Y

2) Se A=1 Y

Assim, pode-se estabelecer a seguinte identidade: .

O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o INVERSOR.

42


Apostila de Eletrônica Digital 3.2.2 Postulados da Adição

Este postulado mostra como são as regras da adição dentro da álgebra de Boole.

1) 0 + 0 = 0 2) 0 + 1 = 1

3) 1 + 0 = 1 4) 1 + 1 = 1

Desta forma, pode-se estabelecer as seguintes identidades:

A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A

O bloco lógico que executa o postulado da adição é o OU.

3.2.3 Postulados da Multiplicação

Este postulado determina as regras da multiplicação booleana.

1) 0 . 0 = 0 2) 0 . 1 = 0 3) 1 . 0 = 0 4) 1 . 1 = 1

Assim, pode-se estabelecer as seguintes identidades:

A . 0 = 0 A . 1 = A A . A = A O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é o E.

3.3 Propriedades

Serão estudadas as principais propriedades algébricas, úteis principalmente no

manuseio e simplificações de expressões e, conseqüentemente, de circuitos lógicos.

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Apostila de Eletrônica Digital 3.3.1 Propriedade Comutativa

Esta propriedade é válida na adição e na multiplicação.

A + B = B + A

A . B = B . A

3.3.2 Propriedade Associativa

Esta propriedade também é válida tanto na adição quanto na multiplicação.

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C

3.3.3 Propriedade Distributiva

A . (B + C) = A . B + A . C

3.4 Teoremas de Morgan

São empregados, na prática, para realizar simplificações em expressões

booleanas e são utilizados ainda no desenvolvimento de circuitos digitais.

3.4.1 1º Teorema de Morgan

O complemento do produto é igual à soma dos complementos

Pode ainda ser estendido para mais de duas variáveis:

3.4.2 2º Teorema de Morgan

O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.

Da mesma forma, este teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:

44


Apostila de Eletrônica Digital 3.5 Identidades Auxiliares

São mostradas três identidades úteis para a simplificação de expressões.

A + A . B = A

(A + B) . (A + C) = A + B . C

3.6 Quadro Resumo

POSTULADOS Complementação Adição Multiplicação

A=0 Y Y A=0

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1

0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1

IDENTIDADES Complementação Adição Multiplicação

A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A

A . 0 = 0 A . 1 = A A . A = A

PROPRIEDADES

Comutativa: A + B = B + A A . B = B . A

Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C

Distributiva: A . (B + C) = A . B + A . C

TEOREMAS DE MORGAN

IDENTIDADES AUXILIARES A + A . B = A

(A + B) . (A + C) = A + B . C

3.7 Simplificação de Expressões Booleanas

Utilizando os conceitos da álgebra de boole estudados é possível simplificar

expressões e conseqüentemente circuitos.

45


Apostila de Eletrônica Digital 3.8 Simplificação de Expressões Booleanas Através dos Mapas de Karnaugh

Quando são utilizados os teoremas e postulados Booleanos para simplificação de

expressões lógicas não se pode afirmar, em vários casos, que a equação resultante está

na sua forma minimizada.

Existem métodos de mapeamento das expressões lógicas que possibilitam a

simplificação de expressões de N variáveis. O diagrama ou mapa de Karnaugh é um

destes métodos e permite a simplificação mais rápida dos casos extraídos diretamente de

tabelas da verdade, obtidas de situações quaisquer. Serão estudados os diagramas para

2, 3, 4 e 5 variáveis.

3.8.1 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis

A figura abaixo mostra um diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis.

ABB

A

Diagrama para 2 variáveis.

Cada linha da tabela da verdade possui uma região definida no diagrama de

Veitch-Karnaugh. Essas regiões são os locais onde devem ser colocados os valores que

a expressão assume nas diferentes possibilidades.

Variáveis Casos

A B 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1

A

BCaso 0A B

00

Caso 1A B

10Caso 2A B

01

Caso 3A B

11A

B

Caso 0: 00 → __ __A B

Caso 1: 01 → __A B

Caso 2: 10 → __

A B

Caso 3: 11 → A B

Será utilizado um exemplo para melhorar o entendimento destes conceitos.

46


Apostila de Eletrônica Digital Exemplo 1) A tabela da verdade mostra o estudo de uma função de 2 variáveis,

onde os resultados serão colocados no diagrama de Karnaugh.

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Utilizando o método apresentado no capítulo II, pode-se obter a expressão

característica da função:

S = AB + AB + AB

A expressão acima é formada por termos verdadeiros e, desta forma, assumem

valor 1 na montagem do diagrama de Karnaugh. Assim:

ABB

A 1 1

10

A expressão simplificada é obtida do diagrama, cujo método consiste em

agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de agrupamentos. Os termos

que não puderem ser agrupados serão considerados isoladamente.

Para um diagrama de 2 variáveis, os agrupamentos possíveis são os seguintes:

• QUADRA: Conjunto de 4 regiões onde S=1. No diagrama de 2 variáveis é o

agrupamento máximo, proveniente de uma tabela onde todos os casos valem 1.

Desta forma, a expressão final simplificada obtida é S=1, assim como mostra a

figura.

47



ABB

A 1 1

11Quadra: S=1

• PARES: Conjunto de duas regiões onde S=1. Não podem ser agrupados na

diagonal. As figuras abaixo mostram exemplos de agrupamentos pares e sua

respectiva equação.

ABB

A 1 1

00

S=A Está exclusivamente

na região A.

ABB

A

1 1

00

S=A Está exclusivamente

na região A .

ABB

A

10

10

S=B Está exclusivamente

na região B.

ABB

A

1 0

1 0

S=B Está exclusivamente

na região B .

• TERMOS ISOLADOS: Região onde S=1, sem vizinhança para agrupamento.

São os próprios casos de entrada, sem simplificação. As figuras abaixo mostram

alguns exemplos e suas respectivas equações.

ABB

A 1 0

00

S=AB

ABB

A

1

0

0

0

S=AB

ABB

A

1 0

0

S=AB + AB

1

Retomando ao exemplo e efetuando os agrupamentos, tem-se:

ABB

A 1 1

10

Par 1

Par 2

Pode-se observar que o mesmo 1 pode

pertencer a mais de um agrupamento.

48


Apostila de Eletrônica Digital Para obter a expressão simplificada basta escrever a expressão de cada par e

posteriormente somar os termos obtidos.

• Expressão do Par 1: Par 1 = A

• Expressão do Par 2: Par 2 = B

Desta forma, tem-se que S = A +B.


O diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis é mostrado abaixo.

ABB

AC CC


Da mesma forma, cada linha da tabela da verdade possui uma região bem

definida no diagrama de Veitch-Karnaugh, assim como mostra as figuras abaixo.

Variáveis Casos A B C

0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1

A

BCaso 0A B C

00

Caso 1

Caso 4 Caso 5A

BCaso 3 Caso 2

Caso 7 Caso 6

C C C

0A B C

10 1A B C

00 1A B C

10 0

A B C01 0

A B C01 1

A B C11 1

A B C11 0

Para mostrar como é realizado o posicionamento das regiões, toma-se, por

exemplo, o caso 3, visto que os outros são análogos.

Caso 3: 011 → __A BC

49



Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações de saída da

tabela da verdade a seguir.

Tabela da verdade.

A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

Expressão extraída da tabela da verdade:

__ __ __ __ __ __ __ __ __S A B C A B C A BC A B C A B C= + + + +

Transpondo a tabela para o diagrama, tem-se:

ABB

AC CC

1 0 11

1 0 10

Para efetuar a simplificação, deve-se seguir os mesmos processos vistos

anteriormente, somente que, para 3 variáveis, os agrupamentos possíveis são os

seguintes:

• OITAVA: Agrupamento máximo, onde todas as localidades lavem 1. A figura

abaixo demonstra esta situação.

ABB

AC CC

1 1 11

1 1 11Oitava: S=1

50



• QUADRAS: agrupamentos de 4 regiões onde S=1, adjacentes ou em seqüência.

Segue abaixo alguns exemplos de possíveis quadras, num diagrama de 3

variáveis, e as relativas expressões.

ABB

AC CC

1 1 11

0 0 00

S=A

ABB

AC CC

1 1 00

1 1 00

S=B

ABB

AC CC

1 0 10

1 0 10

S=C

• PARES: Agrupamento de 2 regiões onde S=1. A figura abaixo mostra, como

exemplo, 2 pares entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis.

BB

C CC

1 0 10

0 1 01

S=AC+AC

Par ACPar AC

A

A

• TERMOS ISOLADOS: A figura a seguir mostra alguns exemplos de termos

isolados que, como apresentado anteriormente, são os casos que não admitem

simplificações e a expressão de saída do diagrama.

BB

C CC

0 10

0 0 0

S=ABC+ABC+ABC

Termo ABCTermo ABC

A

A

1

1

Termo ABC

51


Apostila de Eletrônica Digital Voltando ao exemplo, observa-se que é possível formar uma quadra e, logo

após, um par, conforme mostra a figura.

ABB

AC CC

1 0 11

1 0 10

Par AB

Quadra C

Para finalizar, somam-se as expressões referentes aos agrupamentos. Assim, a

expressão final minimizada será:

__ __S A B C= +


O diagrama para 4 variáveis é visto na figura abaixo.

A

A

D

C

D D

B

B

B

C


Neste tipo de diagrama, também existe uma região definida para cada caso da

tabela da verdade, assim como ilustra a figura seguir.

52



Variáveis Casos A B C D

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1

AB

Caso 0A B C D

00

C

0 0

AB

B

C

D DD

Caso 1A B C D

00 0 1

Caso 3A B C D

00 1 1

Caso 2A B C D

00 1 0Caso 4

A B C D10 0 0

Caso 5A B C D

10 0 1

Caso 7A B C D

10 1 1

Caso 6A B C D

10 1 0Caso 12A B C D

11 0 0

Caso 13A B C D

11 0 1

Caso 15A B C D

11 1 1

Caso 14A B C D

11 1 0Caso 8

A B C D01 0 0

Caso 9A B C D

01 0 1

Caso 11A B C D

01 1 1

Caso 10A B C D

01 1 0

Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações da tabela da

verdade abaixo.

Tabela da verdade.

A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

53


Apostila de Eletrônica Digital Expressão extraída da tabela da verdade:

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

__ __ __ __ __ __

S A B C D A B C D A B C D A B C D A BC D A B C D

A B C D A B C D A B C D A B C D A BC D

= + + + + +

+ + + + +

+

Transpondo a equação para o diagrama, tem-se:

A

A

D

C

D D

B

B

B

C0 1 1 1

0 1 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

Para efetuar a simplificação, segue-se os mesmos procedimentos adotados no

diagrama de 3 variáveis, somente que neste caso o principal agrupamento será a oitava.

Deve-se ressaltar que os lados extremos opostos podem ser utilizados para

formar oitavas, quadras e pares.

• Exemplos de PARES:

A

A

D

C

D D

B

B

C0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 0

0 1 0 0

BPar ABD

Par BCDS=ABD+BCD

54



• Exemplos de QUADRAS:

A

A

D

C

D

B

B

C0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

Quadra BD

Quadra BDS=BD+BD

B

D

A

A

C

B

C1 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

Quadra BD

S=BD

B

D

B

D D

• Exemplos de OITAVAS:

A

A

C

B

C1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

Oitava D

S=D

B

D

B

D D

A

AB

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

Oitava B

S=B

B

BC C

DD D

O agrupamento máximo (mapa totalmente preenchido com 1) constitui-se em

uma hexa e apresenta a expressão simplificada S=1.

Voltando ao exemplo, para simplificar a expressão obtida da tabela da verdade

utilizando o mapa de karnaugh, agrupam-se primeiramente as oitavas, posteriormente as

quadras, em seguida os pares e, por último, os termos isolados. Assim, tem-se:

55



A

A

D

C

D D

B

B

B

C0 1 1 1

0 1 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

Par

Quadra

Oitava

Oitava: D

Quadra: AC

Par: ABC

Somando os termos, tem-se a expressão final simplificada:

__ __ __S D A C A B C= + +

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Os agrupamentos realizados no diagrama de

Karnaugh podem ser efetuados de diversas formas e as equações obtidas, mesmo

aparentemente diferentes, possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade,

fato este comprovado levantando-se a tabela da verdade. É importante lembrar que, para

obter expressões mais simplificadas, agrupamentos com maior número de regiões

devem ser obtidos.


O diagrama de Karnaugh para simplificar expressões com 5 variáveis de entrada

é visto na figura abaixo.

AD

C

E

B

BC

C

D

EE

DC

E

B

BC

C

D

EE

A

56



De forma análoga, efetua-se a colocação das condições no diagrama de

Karnaugh. Para exemplificar, será analisado 4 casos.

• Caso 1: 00000 → __ __ __ __ __A B C D E

• Caso 2: 01100 → __ __ __A BC D E

• Caso 3: 11101 → __

A BC D E

• Caso 4: 10000 → __ __ __ __

A B C D E

AD

C

E

B

BC

C

D

EE

DC

E

B

BC

C

D

EE

A

Caso1

Caso2

Caso4

Caso3

Para simplificar expressões utilizando um diagrama de 5 variáveis deve-se

primeiramente tentar um agrupamento em hexas, em seguida em oitavas, em quadras,

em pares e, por último, em termos isolados.

Exemplo 1) Obter a expressão simplificada da tabela da verdade a seguir,

utilizando o método de karnaugh.

Tabela da verdade.

A B C D E S 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0

57



Tabela da verdade – continuação.

A B C D E S 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

Transpondo para o diagrama, encontra-se:

Par ACDE

AD

C

E

B

BC

C

D

EE

DC

E

B

BC

C

D

EE

A

1 0 1 0

1 1 1 0

0 1 0 1

1 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

1 1 1 1

0 0 0 0

Quadra ABC

Quadra CDEPar ABDE

Par ABDE

Par ABCD

58


Apostila de Eletrônica Digital Agrupando os termos, a expressão minimizada será:

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __S C D E ABC A B D E A B C D A BD E A B DE ACD E= + + + + + +

3.8.5 Diagramas com Condições Irrelevantes

Condição irrelevante (x) ocorre quando a saída pode assumir 0 ou 1

indiferentemente, para uma dada situação de entrada. Na prática, esta condição ocorre

principalmente pela impossibilidade da situação de entrada acontecer.

Desta forma, os valores irrelevantes da tabela da verdade devem ser

transportados para o diagrama de Karnaugh. Assim, para efetuar as simplificações, a

condição irrelevante x pode ser utilizada para completar um agrupamento, minimizando

a expressão característica e conseqüentemente o circuito lógico.

Por outro lado, se a condição irrelevante x representar um termo isolado, deverá

ser descartada.

Exemplo: Utilizando o método de Karnaugh, obter a expressão simplificada que

executa a tabela da verdade a seguir.

Tabela da verdade.

A B C D S 0 0 0 0 X 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 X 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 X 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 X 1 1 1 0 0 1 1 1 1 x

59


Apostila de Eletrônica Digital Transpondo para o diagrama de 4 variáveis, tem-se:

A

D

C

DB

CX 0 X 1

1 0 1 1

0 X X 0

0 1 0 X

B

D

BA

Utilizando-se 2 valores irrelevantes e abandonando outros 2, pode-se agrupar

duas quadras e um par, gerando a seguinte expressão:

__ __ __ __S A C A D A C D= + +

3.8.6 Casos que Não Admitem Simplificações

As funções OU EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA são exemplos de casos que

não admitem simplificações, pois suas equações característica estão minimizadas, como

ilustra a figura abaixo.

S=(B + D) = AB+AB S=(B D) = AB+AB

ABB

A 1 0

0 1 ABB

A 0

01

1

Como pode ser observado, em cada diagrama existem dois termos isolados que

são, portanto, as próprias expressões de entrada.

No caso de 3 variáveis, as expressões são:

S A B CS A B C

= ⊕ ⊕=

60


Apostila de Eletrônica Digital Para montar a tabela da verdade deve-se primeiramente efetuar as operações

entre 2 das variáveis e, com o resultado obtido, efetuar a operação com a terceira

variável. Este processo se deve ao fato de as funções OU EXCLUSIVO e

COINCIDÊNCIA não serem válidas para mais de 2 variáveis de entrada.

As tabelas abaixo mostram os resultados das operações em todas as

possibilidades.

A B C ( )A B⊕ ⊕ C ( )A B C⊕ ⊕ ( )A C B⊕ ⊕

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

A B C ( )A B C ( )A B C ( )A C B

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Passando a coluna S (iguais em todos os casos) para o diagrama, tem-se:

ABB

AC CC

0 0

0 01

1 1

1

Da mesma forma, não existe a possibilidade de simplificações, mas uma

propriedade muito importante pode ser observada. As funções OU EXCLUSIVO e

61


Apostila de Eletrônica Digital COINCIDÊNCIA, para 3 variáveis de entrada, apresentaram a mesma resposta para

todas as entradas possíveis.

Pode-se então afirmar que para um número ímpar de variáveis de entrada, estas

funções executam a mesma tabela da verdade, ou seja, estas funções são iguais.

A B C D E A B C D E⊕ ⊕ ⊕ ⊕ =

Por outro lado, para um número par de variáveis de entrada, tem-se que a função

OU EXCLUSIVO é o complemento da função COINCIDÊNCIA. Assim:

_________________A B C D A B C D⊕ ⊕ ⊕ =

3.8.7 Agrupamentos de Zeros

Pode-se agrupar as células que valem 0 no diagrama de Karnaugh, utilizando-se

as mesmas regras, para efetuar a simplificação. Porém, adotando esta prática, será

obtido o complemento da função, ou seja, a saída .

Para exemplificar esta situação, será simplificado a expressão da seguinte tabela

da verdade.

Tabela da verdade.

A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Passando para o diagrama e efetuando o agrupamento, tem-se:

62



BB

AC CC

0 1

1 11

1 0

1

A

Observa-se, na figura, um par formado por zeros, cuja expressão é:

__ __ __S A C=

Desenvolvendo esta expressão chega-se a:

S=(AC)

S=A+C

Convém observar que a mesma expressão seria obtida, resultado dos

agrupamentos de 2 quadras, caso fosse utilizado o procedimento convencional

anteriormente visto.

3.9 Exercícios do Capítulo III

3.9.1) Simplifique as expressões utilizando a álgebra de Boole.

a) S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC b) S = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD c)

S = [(B + C + D) (A + B + C) + C] + ABC + B(A + C) d) S = A[B(C + D) + A(B + C)] + CD + ABC + AB

63


Apostila de Eletrônica Digital e)

S = (A + B + BCD) [D + BC + D(A + B)] + AD f)

S = [(B + CD + D + AC) (A + B + C) + B(C + ABC + AC)] (A + B) g)

S = (AB + CD + AD) {B[C + D +A(B + C) + ABC] + A} h)

S = (A + B) {B + (B + C) [ABC + B(A + D) + BC + BD] + ABD} 3.9.2) Desenhe o circuito lógico para as seguintes expressões:

a) S = ABC + ABC

b) S = (A + B + C) (A + B + C)

Continuando o exercício, utilize a álgebra de Boole para simplificar as equações

e desenhe novamente o circuito lógico correspondente.

3.9.3) Simplifique a expressão abaixo e posteriormente desenhe o circuito

lógico.

S = (B + D) {B + C D +A[BC + BC + A + B(C + D)]}

3.9.4) Prove que:

A (B + C) = A + (B C)

A + B + C + D = A B C D

3.9.5) Através dos diagramas de Veitch-Karnaugh, determine a expressão

simplificada de S1 e S2 da tabela a seguir.

64



A B S1 S2

0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0

3.9.6) Simplifique as expressões de S1, S2, S3 e S4 das tabelas da verdade a

seguir, utilizando os mapas de Karnaugh.

Tabela 1.

A B C S1 S2 S3 S4

0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1

Tabela 2.

A B C D S1 S2 S3 S4

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

65



3.9.7) Simplifique as expressões utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh.

a) S A __ __ __ __ __ __B C A B C A BC A B C ABC= + + + +

b)

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

__ __ __ __

S A B C D A B C D A B C D A B C D A BC D A B C D

A BC D A B C D

= + + + + +

+ +

+

c) S __ __ __ __ __ __ __ __B D A A B C D A B C D A C= + + + +

d) S __ __ __ __ __ __

A BC A B A BC D BD C D B C D A B C D= + + + + + +

3.9.8) Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela abaixo.

A B C D E S1 S2

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Continua ...

66



1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

3.9.9) Simplifique as expressões de S1 e S2 da tabela a seguir

A B C S1 S2

0 0 0 X 1 0 0 1 0 X 0 1 0 1 0 0 1 1 X 0 1 0 0 1 0 1 0 1 X 1 1 1 0 X X 1 1 1 1 X

3.9.10) Determine as expressões simplificadas de S1, S2, S3 e S4 da tabela

abaixo.

A B C D S1 S2 S3 S4

0 0 0 0 1 X 0 X 0 0 0 1 X X 0 0 0 0 1 0 X 1 0 X 0 0 1 1 X 0 1 1 0 1 0 0 1 X X 1 0 1 0 1 0 1 X X 0 1 1 0 X 0 1 0 0 1 1 1 X 1 0 1 1 0 0 0 X 1 X 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 X X 0 0 1 0 1 1 1 1 0 X 1 1 0 0 X 0 1 1 1 1 0 1 X 1 0 1 1 1 1 0 1 1 X 1 1 1 1 1 0 X 1 X

67



3.9.11 Desenhe os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da

tabela da verdade.

A B C D E S1 S2

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 X 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 X 0 0 1 0 0 1 X 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 X 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 X 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 X 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 X 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 X 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 X 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 X

Resposta dos exercícios

3.9.1) Simplifique as expressões utilizando a álgebra de Boole.

a) S A __

C B= +

68



b) S A __

B C D= +

c) S C __ __ __

A B= +

d) S C __D AB AD AC= + + +

e) S A __ __ __ __ __

D A B C ABD= + + f) S B AC= +

g) S A __ __C D=

h) S A __ __

B B D= + 3.9.2) Desenhe o circuito lógico para as seguintes expressões:

Item a)

A CB

S

Equação simplificada: S AC=

SAC

Item b)

S

A CB

Equação simplificada: S B A C= +

S

A CB

3.9.3) Simplifique a expressão abaixo e posteriormente desenhe o circuito lógico.

A

DC S

69


Apostila de Eletrônica Digital 3.9.5) Através dos diagramas de Veitch-Karnaugh, determine a expressão

simplificada de S1 e S2 da tabela a seguir.

__S1 A B= +

__S2 A=

3.9.6) Simplifique as expressões de S1, S2, S3 e S4 das tabelas da verdade a seguir,

utilizando os mapas de Karnaugh.

Tabela 1:

__ __ __S1 B C AC A B= + +

__ __S2 B C= +

__ __S3 B C A C= +

__ __ __ __S4 A B C A C AB B C= + + + Tabela 2:

__ __ __S1 B C D CD= + +

__ __ __ __S2 A D BD A B C= + +

__ __ __ __ __S3 A B D B C D B C D= + +

__ __ __ __S4 A B C A CD ABC A C D= + + + 3.9.7) Simplifique as expressões utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh.

a) S A __ __B AC A B= + +

b) S __ __ __ __ __ __B C D A C D BCD A B C= + + +

c) S A __ __

B= +

d) S B __ __

C AC BD B C= + + +

70


Apostila de Eletrônica Digital 3.9.8) Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela abaixo.

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __S1 CE A B C B C D A BC D B C D E= + + + +

__ __ __S2 C E A B D= + + 3.9.9) Simplifique as expressões de S1 e S2 da tabela a seguir

S1 A B= + __ __

S2 A B AC= + 3.9.10) Determine as expressões simplificadas de S1, S2, S3 e S4 da tabela abaixo.

__ __S1 B D= +

__ __S2 BD AC B D= + +

__ __ __ __ __S3 B D A B C ABC A B CD= + + +

__S4 B C AD CD AB= + + + 3.9.11 Desenhe os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da tabela

da verdade.

C ED

S1

A CB

S2

E

71

Capitulo III

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