Capítulo 9 – Rotação de corpos rígidos - if.ufrj.brcapaz/fisica1/AulaMagna9.pdf · Capítulo...
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Capítulo 9 – Rotação de corpos rígidos Definição de corpo rígido (CR):
um sistema de partículas especial, cuja estrutura é rígida, isto é, cuja forma não muda, para o qual duas partes sempre
estão igualmente distantes
Neste capítulo vamos analisar apenas o movimento de rotação do CR em torno de um eixo fixo.
9.1 – Velocidade angular e aceleração angular
x
z
y
Vamos considerar a rotação de um CR em torno do eixo z
Qual variável descreve o movimento de rotação?
P
θ
1. Escolhe-se um ponto de referência arbitrário (P) no CR
2. A projeção da posição de P no plano xy faz um ângulo θ com o eixo x 3. A coordenada angular θ (medida em radianos) descreve completamente a orientação do CR
Lembrando do ângulo em radianos (rad): r
s θrs
=θ
Velocidade angular média: se o CR gira de θ1 a θ2 entre os instantes t1 e t2, então
tttz ∆∆
=−−
=θθθω
12
12m
(o índice z indica rotação em torno do eixo z)
Velocidade angular instantânea:
dtd
ttzθθω =
∆∆
=→∆ 0
limNote a analogia com a cinemática em 1D: zxv
xωθ
↔↔
Note que todos os pontos do CR têm a mesma velocidade angular, mas podem ter diferentes velocidades escalares. Exemplo: rotação da Terra
A e B têm a mesma velocidade angular, mas têm velocidades escalares diferentes
Velocidade angular como vetor: direção ao longo do eixo de rotação e sentido dado pela regra da mão direita
dtd
zθω =
Note que esta convenção é consistente com o sinal da derivada:
x
z
yθ
Mas e a coordenada angular θ, é também um vetor?
Não podemos associar um vetor ao deslocamento angular, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece neste caso.
xyyx ˆˆˆˆ 1221 θθθθ ∆+∆≠∆+∆
(a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais)
ABBA
+=+Por exemplo, a soma vetorial é comutativa ( ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes!
Aceleração angular média: se a velocidade angular varia de ω1z a ω2z entre os instantes t1 e t2, então
tttzzz
z ∆∆
=−−
=ωωωα
12
12m
Aceleração angular instantânea: dt
dt
zztz
ωωα =∆∆
=→∆ 0
lim
Continuando a analogia com a cinemática em 1D:
zx
zx
avx
αωθ
↔↔↔
Aceleração angular também é um vetor: dt
dωα
=
Aceleração e velocidade angulares no mesmo sentido: rotação acelerada
Aceleração e velocidade angulares em sentidos
opostos: rotação retardada
9.2 – Rotação com aceleração angular constante Usando a analogia com a cinemática em 1D, obtemos:
Movimento retilíneo com aceleração constante
Rotação em torno de um eixo fixo com aceleração angular constante
( )
( )tvvxx
xxavv
tatvxx
tavva
xx
xxx
xx
xxx
x
00
020
2
200
0
21
221
constante
+=−
−+=
++=
+==
( )
( )t
tt
t
zz
zzz
zz
zzz
z
00
020
2
200
0
21
221
constante
ωωθθ
θθαωω
αωθθ
αωωα
+=−
−+=
++=
+==
Exemplo: Y&F 9.3
9.3 – Relação entre cinemática linear e cinemática angular
Lembrando que: r
s θrsrs θθ =⇒=
Derivando: rdtd
dtds θ
= rdtd
dtds θ
=⇒ rv ω=⇒
Onde:
escalar)angular e(velocidad
escalar) e(velocidad
ωθ=
=
dtd
vdtds
Derivando mais uma vez: rv ω= rdtd
dtdv ω
=⇒ ratg α=⇒
Onde:
escalar)angular e velocidadda variacaode (taxa
)aceleracao da l tangenciae(component
αω=
=
dtd
adtdv
tg
(Note que: ) zz αααα =≠ mas ,
Finalmente, lembramos que:
rrvarad
22
ω== (aceleração centrípeta)
9.4 – Energia no movimento de rotação Considere um CR em rotação com velocidade angular ω
A energia cinética do CR será a soma das energias cinéticas de todas as partículas que compõem o CR:
∑=i
iivmK 2
21
Sabemos que (todas as partículas têm a mesma vel. ang.) ii rv ω=
Assim: 22
21 ω
= ∑
iiirmK 2
21 ωI=
Onde definimos o momento de inércia do CR em relação ao eixo de rotação: ∑=
iiirmI 2 Unidades S.I.:
kg.m2
Notem uma nova analogia entre o movimento linear de translação de uma partícula e a rotação de um CR em torno de um eixo fixo:
2
21 ωIK =
2
21 mvK = (translação)
(rotação)
Momento de inércia: • Define a inércia para o movimento de rotação (inércia rotacional) • Não depende apenas da massa do CR, mas também de como ela está distribuída (dois objetos de mesma massa podem ter momentos de inércia diferentes) • Não é uma propriedade intrínseca do CR, mas depende da escolha do eixo de rotação
Exemplo: sistema com 2 massas m de dimensões desprezíveis (partículas) unidas por uma haste fina de comprimento l e massa desprezível
m m l
Eixo 1
222
222
1mllmlmI =
+
=Eixo 1:
( ) ( ) 2222 0 mllmmI =+=Eixo 2:
Eixo 2
Eixo 3
( ) ( ) 000 223 =+= mmIEixo 3:
Exemplo: Y&F 9.9
Energia potencial gravitacional para um corpo com massa distribuída:
M
y
g
imiy
∑=i
ii gymU ∑=i
ii ymg cmgMY=
c.m. cmY
Como se toda a massa estivesse concentrada na posição do c.m.
9.5 – Teorema dos eixos paralelos
M
c.m.
imiy
ix
P
Vamos relacionar os momentos de inércia Icm (em relação a um eixo que passa pelo c.m.) e IP (em relação a um eixo que passa por um ponto P qualquer, paralelo ao eixo que passa pelo c.m.)
y
x ( )∑∑ +==i
iiii
iicm yxmrmI 222
b
a
( ) ( )[ ]∑ −+−=i
iiiP byaxmI 22
( )∑ +−++−=i
iiiiiP bbyyaaxxmI 2222 22
( ) ( )∑∑∑∑ ++−−+=i
ii
iii
iii
iiiP mbaymbxmayxmI 2222 22
( )2222 baMbMYaMXII cmcmcmP ++−−=
M
c.m.
imiy
ix
P
y
x
b
a
( )2222 baMbMYaMXII cmcmcmP ++−−=
0 0 d
2MdII cmP +=
Teorema dos eixos paralelos
Vamos verificar que funciona para uma haste fina:
2
121 MLIcm =
2222
31
4122MLMLMLLMII cmeextremidad =+=
+=