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1 Capítulo 9 Maximización del Beneficio
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Capítulo 9
Maximización del Beneficio
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Modelando el
Comportamiento de la Firma• La mayor parte de los economistas
tratan a la firma como una sola unidad
tomadora de decisiones
– Las decisiones son realizadas por un solo
una persona, un dictador racional que
persigue objetivos explícitos
• Es muy útil suponer que dicho objetivo es la
maximización del beneficio económico
• Podríamos también modelar otros objetivos
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Maximización del Beneficio
• Una firma maximizadora del beneficio
escoge tanto su nivel de producto como
su nivel de insumos con el solo
propósito de lograr la mayor cantidad
de beneficios económicos
– Busca maximizar la diferencia entre el
ingreso total y los costos totales
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Maximización del Beneficio
• Si las firmas son estrictamente
maximizadoras de beneficios, tomarán
decisiones de manera “marginal”
– Sopesarán el beneficio marginal que
podrían obtener de producir una sola
unidad adicional de producto, o de
contratar un trabajador más
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Elección del nivel de producto
• El ingreso total de una firma está dado
por
R(q) = p(q)q
• Durante la producción de q, incurrimos
en ciertos costos económicos [C(q)]
• Los beneficios económicos () son la
diferencia entre ingreso total y costos
totales:
(q) = R(q) – C(q) = p(q)q –C(q)
¿Qué significa
p(q)?
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• Las condiciones necesarias para elegir
los niveles de q que maximizan los
beneficios pueden ser encontradas al
igualar a cero la derivada de la función
de beneficios con respecto a q:
0)('
dq
dC
dq
dRq
dq
d
dq
dC
dq
dR
Elección del nivel de producto
7
• Es decir, para maximizar los beneficios
económicos, la firma deberá seleccionar
el nivel de producción para el cual el
ingreso marginal (MR) es igual al costo
marginal (MC):
MCdq
dC
dq
dRMR
Elección del nivel de producto
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Condiciones de Segundo Orden
• MR = MC es solamente una condición necesaria
para la maximización del beneficio
• Para ser suficiente, también requiere que:
0)('
**
2
2
qqqqdq
qd
dq
d
• El beneficio “marginal” debe ser
decreciente en el nivel óptimo de q
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Maximización del Beneficio
producto
Ingresos y costos
R
C
q*
Los beneficios se maximizan cuando la
pendiente de la función de ingresos es igual
a la pendiente de la función de costos
La condición de
segundo orden
evita que tomemos q0
como un máximo
q0
10
Ingreso Marginal
Aquí cabe parar a reflexionar unos segundos…
¿Qué pasa con el precio del producto a medida
que la firma produce?
Si lo pensamos, la respuesta dependerá del
tamaño de la firma
11
Ingreso Marginal
• Si una firma puede vender todo lo que desee sin afectar el
precio de mercado, el ingreso marginal deberá ser igual al
precio (Demanda Horizontal para la firma)
• Si, por el contrario, una firma enfrenta una curva de
demanda con pendiente negativa, más producto solo
puede ser vendido si la firma reduce el precio del bien
[ ( ) ]Ingreso Marginal ( )
dR d p q q dpMR q p q
dq dq dq
[ ]Ingreso Marginal
dR d p qMR p
dq dq
12
Ingreso Marginal
• Si una firma enfrenta una curva de
demanda con pendiente negativa, el
ingreso marginal será una función del
producto
• Si el precio cae a medida que la firma
incrementa el producto, el ingreso
marginal será menor que el precio
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Ingreso Marginal
• Suponga que la curva de demanda para
sándwiches viene dada por:q = 100 – 10p
• Resolviendo para el precio tenemos:
p = -q/10 + 10
• Esto significa que el ingreso total es:
R = pq = -q2/10 + 10q
• El Ingreso Marginal estará dado por:
MR = dR/dq = -q/5 + 10
14
Maximización del Beneficio
• Para determinar el nivel de producto que
maximiza los beneficios, debemos conocer
previamente los costos de la firma
• Si los sándwiches pueden ser producidos a
un costo promedio y marginal de $4,
entonces:
MR = MC
-q/5 + 10 = 4
q = 30
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Ingreso Marginal y Elasticidad
• El concepto de Ingreso Marginal se
encuentra directamente relacionado con la
elasticidad de la curva de demanda que la
firma enfrenta
• La elasticidad precio de la demanda es igual
al cambio porcentual en la cantidad que
resulta de un cambio porcentual del precio:
,
/
/q p
dq q dq p
dp p dp q
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Ingreso Marginal y Elasticidad
• Esto significa qué:
,
11 1
q p
q dp q dpMR
pp p p
q p dqpd
– Si la curva de demanda tiene pendiente
negativa, εq,p < 0 y MR < p
– Si la demanda es elástica, εq,p < -1 y el
ingreso marginal será positivo
• Si la demanda es infinitamente elástica,
ε q,p = - y el ingreso marginal será igual al precio
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Ingreso Marginal y Elasticidad
εq,p < -1 MR > 0
εq,p = -1 MR = 0
εq,p > -1 MR < 0
18
La regla de la Inversa de la
Elasticidad• Debido a que MR = MC cuando la firma
maximiza el beneficio, podemos ver qué:
,
11
q p
MC p
,
1
q p
p MC
p
• El tramo entre el precio y los costos
marginales caerá a medida que la
demanda que enfrenta la firma se torna
más elástica
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La regla de la Inversa de la
Elasticidad
,
1
q p
p MC
p
• Si εq,p > -1 (Segmento Inelástico de la
Demanda), MC < 0 ¡Absurdo!
• Esto significa que las firmas elegirán
operar solamente en puntos donde la
demanda es elástica
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Curva de Ingreso Promedio
• Si asumimos que la firma debe vender
todo su producto a un solo precio,
podemos pensar que la curva de
demanda que la firma enfrenta es en
realidad su curva de ingresos promedio
– Esta curva muestra el ingreso por unidad
que resulta de seleccionar diferentes
niveles de producción
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Curva de Ingreso Marginal
• La Curva de Ingreso Marginal muestra
el ingreso extra que provee la última
unidad vendida
• Si la demanda tiene pendiente negativa,
la curva de ingreso marginal se
encontrará por debajo de la curva de
demanda
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Curva de Ingreso Marginal
producto
precio
D (ingreso promedio)
MR
q1
p1
A medida que el producto se incrementa de
0 a q1, el ingreso total crece tal que MR > 0
A medida que el producto se incrementa
más allá de q1, el ingreso total decrece
tal que MR < 0
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Curva de Ingreso Marginal
• Cuando la curva de demanda cambia,
su curva de ingreso marginal cambiará
también
– Una curva de ingreso marginal no puede
ser calculada sin referirnos a una curva de
demanda específica
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
producto
precio SMC Costo Marginal @ CP
SAC Costo Promedio @ CP
SAVC Costo Variable @ CP
p* = MR
q*
El beneficio máximo
ocurre donde
p = SMC
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
producto
precio SMC
SAC
SAVC
p* = MR
q*
Dado que
p > SAC,
beneficio > 0
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
producto
precio SMC
SAC
SAVC
p* = MR
q*
Si el precio sube
a p**, la firma
producirá q**
y > 0
q**
p**
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
producto
precio SMC
SAC
SAVC
p* = MR
q*
Si el precio cae a
p***, la firma
producirá q***
q***
p***La maximización del
beneficio requiere que p =
SMC y que SMC tenga
pendiente positiva< 0
Pero la firma
no cierra
operaciones
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
• La porción con pendiente positiva de la
curva de costo marginal a corto plazo
es la curva de oferta de corto plazo
para una firma tomadora de precios
– Muestra cuánto producirá la firma a cada
posible precio de mercado
– Las firmas solo operan en el corto plazo si
el ingreso total recupera los costos
variables
• La firma no producirá si p < SAVC
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
• Así, la curva de oferta de corto plazo de
una firma tomadora de precios es la
porción positiva de la curva de costos
marginales de corto plazo de la firma
por encima del punto de costos
promedio variables mínimos
– En precios por debajo de este nivel, la
firma maximizadora de beneficios cerrará
la planta y no producirá nada
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
producto
precio SMC
SAC
SAVC
La curva de oferta de
corto plazo de la firma
es la curva SMC que
se encuentra por arriba
de SAVC
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Oferta de Corto Plazo
• Suponga que la curva de costos totales
de una firma en el corto plazo es de:
SC(v,w,q, k1) = vk1 + wq1/k1-/
donde k1 es el nivel de capital que se
mantiene constante en el corto plazo
• Los costos marginales de corto plazo son:
/
1
/)1(
1),,,( kqw
q
SCkqwvSMC
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Oferta de Corto Plazo
• Una firma tomadora de precios
maximizará sus beneficios en p = SMC
pkqw
SMC
/
1
/)1(
• Por lo tanto, su cantidad ofrecida será:
)1/()1/(
1
)1/(
pk
wq
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Oferta de Corto Plazo
• Para encontrar el precio en el que la firma
cerraría sus operaciones, necesitamos
despejar SAVC
SVC = wq1/k1-/
SAVC = SVC/q = wq(1-)/k1-/
• SAVC < SMC para todos los valores en
que < 1
– No existe un precio lo suficientemente bajo
en el que la firma querría cerrar operaciones
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Oferta de Corto Plazo de una Firma Tomadora de Precios
producto
precio SMC
SAC
SAVC
Dado qué:
SAVC < SMC
No existe un
precio lo
suficientemente
bajo en el que la
firma querría
cerrar
operaciones
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Funciones de Beneficio
• El beneficio económico de una firma puede
ser expresado como una función de los
insumos
= pq - C(q) = pf(k,l) - vk - wl
• Dado que solo las variables k y l se
encuentran bajo el control de la firma
– La firma elige los niveles de dichos insumos con
la finalidad de maximizar sus beneficios
económicos
• Trata a p, v, and w como parámetros fijos
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Funciones de Beneficio
• La función de beneficio de una firma
muestra el máximo nivel de beneficios
como una función de los precios que la
firma enfrenta:
]),([),(),,(,,
lllll
wvkkpfMaxkMaxwvpkk
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Propiedades de las Funciones de Beneficio
Las Funciones de Beneficio son:
1. Homogéneas
– La función de beneficio es homogénea de
grado 1 en precios
• Al existir inflación pura la firma no cambiará
sus planes de producción y sus niveles de
beneficio se compensarán con el alza del
precio del producto que vende en el mercado
( , , ) ( , , )v w P v w P
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Propiedades de las Funciones de Beneficio
Las Funciones de Beneficio son:
2. No Decrecientes en los Precio del Producto
– Una firma siempre puede responder a un
incremento del precio de su producto con la
decisión ingenua de no cambiar su mezcla de
insumos y sus planes de producción
• Y aun en ese caso, los beneficios económicos
deberán subir
( , , )0
v w P
P
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Propiedades de las Funciones de Beneficio
Las Funciones de Beneficio son:
3. No Crecientes en los Precios de los
Insumos
– Si la firma respondiese a un incremento en
el precio de un insumo no cambiando los
niveles que demanda de dicho insumo, sus
costos subirán
• Y por lo tanto, los beneficios caerán
( , , ) ( , , )0, 0
v w P v w P
v w
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Propiedades de las Funciones de Beneficio
Las Funciones de Beneficio son:
4. Convexas en Precios del Producto
(Complejo de verificar usando cálculo)
– Los beneficios que se obtienen al
promediar beneficios obtenidos de la venta
de dos productos serán por lo menos tan
grandes como el promedio de los precios
de esos dos diferentes productos:
wv
ppwvpwvp,,
22
),,(),,( 2121
41
Resultados producto del
Teorema de la Envolvente• Ahora, pasaremos a aplicar el Teorema de la Envolvente
para ver cómo responden los beneficios ante cambios en
los precios tanto del producto como de los insumos. Los
resultados principales son:
( , , )( , , )
v w Pq v w P
p
( , , )( , , )
v w Pk v w P
v
( , , )( , , )
v w Pl v w P
w
Lemma de Hotelling
(-) Demanda por K
(-) Demanda por L
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Excedente del Productor en el Corto Plazo
• Debido a que la función de beneficio es
no decreciente en los precios de los
productos, sabemos que si p2 > p1
(p2,…) (p1,…)
• Las ganancias para la firma producto de
este incremento de precios pueden ser
medidas a través de:
Ganancia = (p2,…) - (p1,…)
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Excedente del Productor en el Corto Plazo
producto
precio SMC
p1
q1
Si el precio de
mercado es p1, la
firma producirá q1
Si el precio de
mercado sube a p2,
la firma producirá q2
p2
q2
44
Los beneficios de
la firma se
incrementen en el
equivalente del
área gris
Excedente del Productor en el Corto Plazo
producto
precio SMC
p1
q1
p2
q2
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Excedente del Productor en el Corto Plazo
• Excedente del Productor es el ingreso
adicional en que los productores
incurren al realizar ventas de su
producto a los precios de mercado, por
sobre lo que ganarían si no produjeran
nada
– Es el área por debajo del precio de
mercado y por arriba de la curva de oferta
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Maximización del Beneficio y Demanda por Insumos
• El nivel de producción de una firma se determina por
el monto de insumos que decide utilizar
– La relación entre insumos y producto se
encuentra sintetizada por la función de producción
• Los beneficios económicos de una firma también
pueden ser expresados como una función de los
insumos
(k,l) = pq –C(q) = pf(k,l) – (vk + wl)
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Maximización del Beneficio y Demanda por Insumos
• Las Condiciones de Primer Orden para
un Máximo son:
/k = p[f/k] – v = 0
/l = p[f/l] – w = 0
• Una firma maximizadora de beneficios
deberá contratar cualquier insumo sólo
hasta el punto en el que su contribución
marginal a los ingresos es igual al costo
marginal de contratar dicho insumo
48
Maximización del Beneficio y Demanda por Insumos
• Estas condiciones de primer orden para
la maximización de los beneficios
también implican la minimización de los
costos:
– Implican que TMST = w/v
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Maximización del Beneficio y Demanda por Insumos
• Para asegurarnos que nos encontramos frente a un
verdadero máximo, las Condiciones de Segundo
Orden requieren que:
kk = fkk < 0
ll = fll < 0
kk ll - kl2 = fkkfll – fkl
2 > 0
– Los insumos Capital y Trabajo deben exhibir productividades
marginales lo suficientemente decrecientes como para
garantizar que el costo marginal se incremente a medida que
el nivel de producción se expande… ¿Porqué?
50
Funciones de Demanda por Insumos
• En principio, los CPO pueden ser
resueltas para generar funciones de
demanda por los insumos:
Demanda por Capital = k(v,w,P)
Demanda por Trabajo= l(v,w,P)
• Estas funciones de demanda no son
condicionadas
– Implícitamente, permiten a la firma ajustar
su escala de producción ante variaciones de
los precios (de insumo y producto)
51
El Caso de un solo Insumo
• Intuitivamente, l/w 0
– Una productividad marginal decreciente
del insumo trabajo
• La CPO para la maximización del
beneficio era:
/l = p[f/l] – w = 0
• Tomando el diferencial total obtenemos:
dww
fpdw
l
l
l( , , )Pues l f P w v
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El Caso de un solo Insumo
• Esto se reduce a:
wfp
lll1
• Arreglando
ll
l
fpw
1
• Y dado que fll 0, y p>0, entonces
l/w 0
• Para el caso de dos (o más) insumos, la
historia es mucho más compleja
– Si w cae, no solo habrá un cambio en l
sino también un cambio en k durante la
elección de la nueva combinación de
insumos que minimiza los costos
• Cuando k cambia, la función fl entera cambia
• Pero, aun en este caso, l/w 0• Veamos porqué…
53
Dos Insumos y fk cambia
54
Dos Insumos
• Cuando w cae, ocurren dos efectos
– Efecto Sustitución (Mantiene q0)
• Si el producto se mantiene constante, habrá
una tendencia de parte de la firma a querer
sustituir l por k en el proceso productivo
– Efecto Producto (Cambia q0)
• Un cambio en w cambiará el sendero de
expansión de la firma
• Las curvas de costo de la firma cambiarán y
entonces un nivel diferente de producción será
elegida
55
Efecto Sustitución
q0
l por período
k por período
Si el producto es constante en q0 y w
cae, la firma sustituirá l por k en el
proceso productivo
Debido a que la TMST
es decreciente a lo largo
de una isocuanta, el
efecto sustitución
siempre será negativob
a
56
Efecto Producto
producto
precio
Una caída en w disminuirá el MC
MC
MC’
Consecuentemente, la
firma elegirá un nuevo
nivel de producción
superiorP
q0 q1
57
Efecto Producto
q0
l por período
k por períodoY así, el efecto producto
también implica una
relación negativa entre l y w
El producto sube a q1
q1
Pues necesito
más l para
producir más q!!
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Efectos Cruzados
• Por otra parte, nada podemos decir sobre cómo
responde la utilización de capital ante cambios en los
salarios
– Una caída en los salarios ocasionará que la firma
busque sustituir trabajo por capital (consumir
menos capital, más trabajo)
– El efecto producto causará que se demande más
capital a medida que la firma expande su
producción
?k
w
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Efectos Sustitución y Producto
• Recordando, tenemos dos conceptos de
demanda por insumos:
– Una Demanda Condicionada por trabajo,
lc(v,w,q)
– Una Demanda NO Condicionada por
trabajo, l(p,v,w)
• Pero en el nivel de producción que
maximiza los beneficios, ocurre qué:
lc(v,w,q) = l(p,v,w)
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Efectos Sustitución y Producto
• Diferenciando con respecto a w tenemos:
w
q
q
qwv
w
qwv
w
wvp cc
),,(),,(),,( lll
Efecto
Sustitución
Efecto
Producto
Efecto Total
( , )q f k l
61
¡Puntos Importantes!
• Para maximizar los beneficios, la firma
debe escoger niveles de insumos para
los cuales los ingresos marginales son
iguales a los costos marginales de la
contratación de dicho insumo
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¡Puntos Importantes!
• Si una firma es tomadora de precios,
sus decisiones de producción no
afectarán el precio del producto
– El ingreso marginal es igual al precio de
mercado
• Si la firma enfrenta una demanda con
pendiente negativa por su producto, el
ingreso marginal será menor que el
precio
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¡Puntos Importantes!
• El ingreso marginal y la elasticidad
precio de demanda se encuentran
vinculados mediante la fórmula:
pqepMR
,
11
64
¡Puntos Importantes!
• La curva de oferta para una firma
tomadora de precios que busca
maximizar sus beneficios se encuentra
dada por la porción con pendiente
positiva de su curva de costo marginal
por arriba del punto de Costo Variable
Promedio Mínimo (AVC)
– Si el precio cae por debajo de AVC, la
decisión de la firma será cerrar
operaciones y dejar de producir
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¡Puntos Importantes!
• La reacción de la firma ante cambios
en los precios que enfrenta puede ser
analizada mediante su función de
beneficios
– Esta muestra el máximo nivel de
beneficios para la firma dados los precios
de sus productos, los precios de sus
insumos, y la tecnología de producción de
que dispone
66
¡Puntos Importantes!
• La función de Beneficios de la firma
produce resultados de envolvente muy
útiles
– Diferenciándola con respecto al precio de
mercado obtenemos la función de oferta
– Diferenciándola con respecto al precio de
cualquier insumo obtenemos la función de
demanda (inversa) por dicho insumo
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¡Puntos Importantes!
• La maximización del beneficio nos
provee una teoría de las Demandas
Condicionadas por insumos:– La firma contratará insumos hasta el punto en
que el valor de su producto marginal sea igual al
precio de mercado de dicho insumo
– Incrementos en el precio de un insumo crearán
efectos sustitución y producto, que llevarán a la
firma a reducir la contratación de dicho insumo
