CAPÍTULO 5. LA RELACIÓN DE PARALELISMO....
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 5. LA RELACIÓN DE PARALELISMO. RESULTADOS
PREVIOS AL V POSTULADO DE EUCLIDES
Introducción
Al introducirse la definición de rectas paralelas y los primeros teoremas que se relacionan con
ella, se incursiona en uno de los temas cruciales en la Geometría Euclidiana y que diera lugar a
las polémicas históricas más perdurables en el tiempo y posteriormente a los resultados de
mayor relevancia en las matemáticas. Se completan ya todos los resultados de la geometría
Euclidiana que no se derivan del postulado de las paralelas. Mantiene su importancia el Método
de Reducción al absurdo como una estrategia importante cuando se trata de la demostración de
teoremas de trascendencia, como es el caso en este tema del teorema de los Ángulos alternos
internos y el teorema del Ángulo exterior en su primera versión entre otros.
Objetivos Específicos.
1. Presentar en forma clara y precisa la noción de rectas paralelas en su forma más
general mostrando como la condición de intersección vacía no es suficiente para el
paralelismo.
2. Enriquecer el trabajo didáctico mostrando como en este punto de la teoría, se
pueden formular múltiples problemas cuya solución puede abordarse por el
Método de Reducción al absurdo, contrastando como elemento de validez, el
Teorema de los Ángulos alternos internos.
3. Aprovechar el nivel de desarrollo teórico para plantear que no es posible
demostrar algo que parece tan simple como lo es el teorema recíproco de los
Ángulos alternos internos, e ir ambientando la necesidad del Postulado de la
Paralela única.
4. Plantear como problema a resolver el hecho de que en la demostración del
teorema donde se prueba la existencia de una recta paralela a una recta dada por
un punto exterior a ella, que pasa con la unicidad dado que en el teorema no se
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menciona. Así se inicia un tránsito más natural hacia la necesidad del Postulado V
de Euclides.
5. Probar señalando claramente porque puede hacerse en este nivel de la teoría y no
antes que un triángulo rectángulo tiene un único ángulo recto y hacer lo propio
con el cuarto caso de congruencia de triángulos (L-A-A).
6. Mostrar una síntesis de los casos generales de congruencia y señalar algunas
designaciones particulares en los triángulos rectángulos, presentando además el
caso Hipotenusa-cateto, aprovechando la distribución de sus elementos para abrir
la discusión sobre la razón por la cual el caso L-L-A no conduce en general a
congruencia de triángulos.
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5.1 LA RELACIÓN DE PARALELISMO
Definición 27. Rectas Paralelas.
Sean 𝑙 y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y
lo denotamos como si:
i. l es la misma recta r ó
ii. l es diferente a r y .
Consecuencia: Sean 𝑙 y 𝑟 dos rectas contenidas en un mismo plano.
𝑙 ∦ 𝑟 si y solo si 𝑙 ≠ 𝑟 y 𝑙 ∩ 𝑟 ≠ ∅
De otra forma:
𝑙 ∦ 𝑟 si y solo si 𝑙 ∩ 𝑟 = {𝑃} , donde 𝑃 es único.
Definición 28. Recta secante a otras dos rectas.
Sean ≠ ; , ⊂ 𝜋 ; , , , entonces se dice que la
recta 𝑡 es secante las rectas y . (Ver figura 77).
Figura 77.
Definición 29. Tercera clasificación angular. Criterio: Posición relativa de los ocho
ángulos determinados por una secante con las dos rectas intersectadas.
Dadas dos rectas cualesquiera cortadas por una secante, se llaman ángulos alternos
internos aquellos que:
1. Tienen exactamente un segmento común.
2. Sus interiores no se intersectan.
rl //
rl
1l 2l 1l 2l Atl 1 Btl 2 BA
1l 2l
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3. No son adyacentes.
Figura 78.
En la Figura 78: los ángulos y 𝐵′��𝐶 son alternos internos. y también lo
son.
Los ángulos y son alternos externos; 𝐷′��′𝐶′ y también lo son.
Los ángulos y 𝐵𝐵′𝐶′ son correspondientes, 𝐷′��′𝐶′ y 𝐵′��𝐶 , y 𝐴′��′𝐵 , y
𝐴′��′𝐷′también lo son.
Los ángulos y son colaterales interiores, 𝐶��𝐵′ y 𝐶𝐵′𝐵 también lo son.
Los ángulos y 𝐷′��′𝐶′ son colaterales exteriores, y también lo son.
BBA 'ˆ' BBC 'ˆ' 'ˆBBA
''ˆ' DBA DBC ˆ DBA ˆ
''ˆ' CBD DBA ˆ 'ˆBBA
BBA 'ˆ' 'ˆBBA
CBD ˆ DBA ˆ ''ˆ' DBA
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5.2 PRIMER CRITERIO DEL PARALELISMO. TEOREMA DE LOS ÁNGULOS
ALTERNOS INTERNOS. (PRIMERA VERSIÓN).
Demostración.
Sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta que corta a l y r en los
puntos B y B' respectivamente y de modo que:
.
Figura 79.
Vamos a demostrar que o lo que es lo mismo .
Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que los ángulos alternos internos
son congruentes y que l no es paralela a r.
Entonces se cortarán en un punto D. Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano
respecto a t en que están C y C' (Ver Figura 79).
Consideremos el triángulo . Como (hipótesis) entonces,
(1). (Teorema 24).
'ˆ'ˆ' BBCBBA
rl // rl
DBB '
'ˆ'ˆ' BBCBBA ABBDBB ˆ''ˆ
TEOREMA 25. Teorema de los ángulos alternos internos. ( ).
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella una pareja de ángulos
alternos internos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
IAT ..
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Ahora, por el axioma de construcción de segmentos, existe E en la semirrecta tal que
.
Unamos B con E. los triángulos y son congruentes (L-A-L), de donde:
pero por (1 ).
Luego .
Y como y están en el mismo semiplano respecto a t, por el axioma de construcción del
ángulo , lo que nos dice a la vez que , es decir E pertenece a la recta l.
Pero también . Luego y como la recta es la misma r, se tiene finalmente que
.
Contradicción con la hipótesis ya que habíamos supuesto que l y r eran dos rectas diferentes.
Demostración.
Sean y , . Demostremos que .
'' AB
BDEB '
DBB '
EBB '
DBBBBE 'ˆ'ˆ
ABBDBB ˆ''ˆ
ABBBBE ˆ''ˆ
BE BA
BABE BAE
lD DEl DE
lr
tl tr trl ,, rl //
COROLARIO 1.
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos
correspondientes congruentes, entonces, dichas rectas son paralelas.
COROLARIO 2.
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos alternos
externos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
COROLARIO 3.
Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, todas ellas coplanarias, entonces las
dos primeras son paralelas entre sí. Materia
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Figura 80.
Como , entonces es recto.
Como entonces es recto y por la tanto su ángulo adyacente es recto. Así
que por ser ambos rectos. Se sigue entonces que la secante t hace con las rectas 1
y r ángulos alternos internos congruentes, luego por el teorema de los ángulos alternos
internos, .
Definición 30. Ángulo exterior de un triángulo.
En un triángulo todo ángulo que hace par lineal con algún ángulo interior del triángulo, se
llama ángulo exterior del triángulo.
tl 'ˆBBA
tr BBA 'ˆ' BBC 'ˆ'
BBCBBA 'ˆ''ˆ
rl //
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5.3 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR. (PRIMERA VERSIÓN).
Demostración.
En un triángulo consideremos el ángulo exterior 𝐴��𝐷 . Dicho ángulo es adyacente al
ángulo 𝐴��𝐵 del triángulo.
Figura 81.
Vamos a demostrar:
i. .
ii. .
Veamos i). Basta demostrar que no puede darse que:
y .
a. Supongamos que . Entonces existe una semirrecta en el interior de y
tal que .
Ahora como está en el interior de , por el T.B.T., corta a en un punto
G, G entre B y C.
CBA
DCAA ˆˆ
DCAB ˆˆ
ADCA ˆˆ ADCA ˆ
ADCA ˆˆ AM CAB ˆ
MACDCA ˆˆ
AM CAB ˆ AM BC
TEOREMA 26. Teorema del ángulo exterior. ( ).
Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores
no adyacentes a el.
ET .
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Consideremos las rectas , y la secante . Como y y son
ángulos alternos internos, entonces por el T. de A. I., ∥ , contradicción ya
que y se cortan en G.
b. Supongamos ahora que . Si consideremos las rectas y y la secante ,
como , por T. A. I. se tendría que: . Contradicción,, ya que y
se cortan en B.
Figura 82.
Con a. y b. queda demostrado i).
ii) La prueba de que es completamente similar y se deja como ejercicio.
Demostración.
es un ángulo exterior del triángulo . Luego pero , de donde se
concluye que: .
Figura 83.
AG CD AC GACDCA ˆˆ DCA ˆ GAC ˆ
CD AG
CD AG
ADCA ˆˆ AB CD AC
ADCA ˆˆ CDAB // AB CD
DCAB ˆˆ
DBA ˆ CBA
DBAC ˆˆ CBADBA ˆˆ
CBAC ˆˆ
COROLARIO.
En todo triángulo rectángulo, los ángulos interiores diferentes del ángulo recto son agudos.
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De la misma manera se demuestra que el ángulo .
Queda probado en consecuencia que todo triángulo rectángulo tiene únicamente un ángulo
recto.
CBAA ˆˆ
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5.4 EXISTENCIA ÚNICA DE LA PERPENDICULAR A UNA RECTA, POR UN
PUNTO EXTERIOR A ELLA.
Demostración.
1. Existencia.
Sea . Tomemos A y B en l, unimos P con A y consideremos el ángulo .
Por el axioma de construcción del ángulo, existe y tal que:
(1).
Figura 84.
Con puede ocurrir:
i. Que sea opuesta a .
ii. Que no sea opuesta a .
i. Si es opuesta a entonces el ángulo es recto ya que y hacen
par lineal y son congruentes. Por lo tanto y pasa por P.
lP BAP ˆ
PlAM :~
MABBAP ˆˆ
AM
AP
AP
AM AP BAP ˆ BAP ˆ MAB ˆ
lAP
TEOREMA 27.
Por un punto exterior a una recta 𝑙 se puede trazar una perpendicular a la recta y sólo
una.
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Figura 85.
ii. Supongamos ahora que no es opuesta a (Figura 84). Tomemos sobre el
punto T de modo que . Es claro que P y T están en semiplanos distintos
respecto a la recta l. Por tanto, corta a l en Q
Ahora, (L-A-L). Luego y por opuestos por el
vértice. O sea que: . De donde es recto, entonces se tiene que la recta es
perpendicular a la recta l.
2. Unicidad.
Supongamos que por P se pueden trazar dos perpendiculares y a 1. Consideremos
el triángulo . Como y son rectos, entonces, . Contradicción ya
que por el T. E. .
Definición 31.
1. La longitud del segmento perpendicular trazado desde un punto a una recta es
llamada distancia del punto a la recta.
2. El segmento trazado desde el vértice de un triángulo y perpendicular a la recta
que contiene al lado opuesto es llamado altura del triángulo.
AM AP AM
APAT
PT
QATQAP
AQTAQP ˆˆ BQPAQT
BQPAQP ˆˆ BQP ˆ PT
PQ PR
RQP
MRP ˆ RQP ˆ RQPMRP ˆˆ
MRPRQP ˆˆ
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5.5 EXISTENCIA DE LA PARALELA A UNA RECTA, POR UN PUNTO
EXTERIOR A ELLA.
Nota: Obsérvese que la proposición asegura que se puede trazar al menos una paralela a la
recta dada. Acerca de la unicidad o sea que esa paralela sea única o no, la proposición no
afirma nada.
Demostración.
Sea . Demostremos que existe una recta r que pasa por P y tal que .
Sea t la perpendicular a l bajada por P.
Figura 86.
Por P trazamos la recta r perpendicular única a t y contenida en el plano . Entonces
ya que r y l forman con t una pareja de ángulos A.I. congruentes.
Es importante una pregunta que podemos plantearnos al respecto de este resultado. Si como
hemos observado, la demostración se fundamenta en dos teoremas de existencia única.
¿No podríamos garantizar que la demostración “hereda la unicidad” y esta no puede también
afirmarse?
¿Podría explorarse la demostración de la unicidad por el Método de Reducción al absurdo?
lP lr //
Pl, lr //
TEOREMA 28.
Por un punto exterior a una recta l se puede trazar una paralela a la recta.
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Trate de plantearlo y muestre si llega a una contradicción.
Posteriormente tendremos la oportunidad de observar, la importancia que tiene este
planteamiento.
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5.6 CUARTO CASO GENERAL DE CONGRUENCÍA DE TRIÁNGULOS (L-A-A)
Figura 87.
Demostración.
Bastará con demostrar que ya que de aquí se concluye que (L-A-
L).
Razonemos por reducción al absurdo.
Supongamos que no es congruente a . Entonces:
i) ó
ii) .
Veamos que en cualquiera de los casos se llega a una contradicción.
i) Si entonces existe un M entre A y B de modo que . Por tanto,
de donde . Pero por hipótesis , luego y se
DEAB FEDCBA
AB DEABDE
DEAB
ABDE
DEAB DEAM
FEDCMA
EAMC ˆ
EB ˆˆ BAMC ˆ
TEOREMA 29. Caso Lado-Ángulo-Ángulo ( L-A-A).
Sean los triángulos y tales que: y . Si
ó entonces:
CBA
FED
FDECAB ˆˆ FEDABC ˆˆ
DFAC FECB
FEDCBA
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tiene en el triángulo que el ángulo exterior es congruente con el ángulo ,
donde es ángulo interior en contradicción con el T. . E.
ii) Un razonamiento similar para el caso en que conduce de nuevo a una
contradicción.
BMC
AMC
B
B
ABDE
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5.7 LA CONGRUENCIA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Demostración.
Sean y tal que y . Como (por ser rectos),
(L-A-L).
Figura 88.
Demostración.
En efecto, en un caso se tiene congruencia por A-L-A y en el otro caso, se tiene congruencia por
L-A-A.
Figura 89. Figura 90.
CBA
FED
DEAC DFAB DA ˆˆ
EDFCAB
TEOREMA 30. Los cuatro casos de congruencia de triángulos rectángulos.
i) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes sus catetos, son congruentes.
ii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes un cateto y un ángulo agudo, son
congruentes (el cateto puede ser adyacente o no al ángulo agudo).
iii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo,
son congruentes.
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Figura 91.
Demostración.
En efecto, sean los triángulos rectángulos y tales que:
y .
Figura 92.
Tomemos de modo que B esté entre G y C y además . Entonces
(catetos congruentes) (1). De donde (hip.). Luego, , de
aquí se sigue que y por lo tanto:
(L-A-L) (2).
De (1) y (2) se concluye que .
Es importante anotar que la estructura que presenta este caso con relación a los elementos
respectivamente congruentes, se puede identificar como L-L-A. Surge entonces una pregunta
CBA
FDE
DEAB DFAC
BCG EFBG
FEDGBA
AGDF AGAC
CG ˆˆ
GBACBA
FEDCBA
iv) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un cateto, son
congruentes.
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obligada: ¿Es la situación planteada en este caso L-L-A un caso general de congruencia de
triángulos? . La respuesta es no. Dejo al lector la construcción de un contraejemplo.
Nota: Decimos, en este caso, que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos
los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Demostración.
Basta aplicar los casos iii) y iv) de congruencia de triángulos rectángulos.
Figura 93.
COROLARIO.
Dado un ángulo , cualquier punto de su bisectriz equidista de los lados del ángulo,
e inversamente, cualquier punto en el interior del ángulo que equidista de los lados
pertenece a la bisectriz del ángulo.
BOA ˆ
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5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas: Paralelismo (Resultados previos al V.P.E)
Perpendicularidad.
Congruencia de triángulos.
Primeras consecuencias del V.P.E.
1. En la figura sean t secante a y a respectivamente.
Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas.
1.1 y son ángulos correspondientes.
1.2 Si entonces .
1.3 Si entonces .
1.4 conlleva necesariamente a .
1.5 Si y entonces .
1.6 Si entonces .
1.7 Si entonces .
1l 2l
' '
'ˆ'ˆ 21 // ll
'ˆˆ 21 // ll
21 // ll
' 21 // ll
21 // ll
'ˆ'ˆ 21 // ll
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2. En la figura dada, t es secantes a las rectas y .
2.1 Demostrar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son
falsas.
2.1.1 Si entonces .
2.1.2. Si entonces .
2.1.3. Si entonces y .
2.1.4. Si y entonces .
2.2 Cada uno de los siguientes grupos de premisas conllevan a una contradicción
con alguna propiedad establecida en la figura. Partiendo de las premisas
dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una contradicción.
2.2.1 Premisas: .
2.2.2 Premisas: y .
2.2.3 Premisas: .
2.2.4 Premisas: es bisectriz de , .
1l 2l
DBABAC ˆˆ 2lBD
LBKDABKAD ˆ'ˆˆ 21 // ll
ABLKAC ˆ1lt 2lt
ADCA DBAABC ˆˆ 21 // ll
DBABAC ˆˆ
BDCA ADCB
BDABAC ˆˆ
BA BDC ˆ DAKKACABC ˆˆˆ Materia
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3. En la figura se tiene:
i. .
ii. .
iii. M: punto medio de
.
iv. .
v. : bisectriz de .
Demostrar:
3.1 .
3.2 .
3.3 es obtuso.
4. En la figura se tiene:
i. .
ii. .
iii. A está entre K y C, T entre P y C.
Demostrar:
4.1. .
4.2. Si entonces .
4.3. Si entonces .
5. Demostrar el siguiente teorema:
5.1 En un triángulo isósceles las alturas asociadas a los lados congruentes, son
congruentes.
5.2 Demuestre el reciproco del punto 1.
PSBAQ
APAB
BP
SRQABH ˆˆ
QT RQP ˆ
MBARTQ ˆˆ
QTAM //
SRQ ˆ
ABC
CBAIntBL ˆ
CCTL ˆˆ
PABLTP ˆˆ TLPBAK ˆˆ
BAKLPA ˆˆ 3
ˆˆˆˆ CABmBCAmCBAmLPAm
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6. Demostrar: Si en los triángulos y se tiene ; y la
altura desde C es congruente con la altura desde F, entonces
7. Demostrar: Si es una mediana en el , entonces los segmento “bajados”
desde B y C a , perpendiculares a esta semirrecta, son congruentes.
8. Si A, B, C, D, E son colineales, , , , probar que
9. Sean: l, k, m, n rectas coplanares, si , , , probar que . ¿Es
posible demostrar que la tesis pedida sin recurrir al V.P.E?
10. En la figura K, L, M son colineales, , , biseca a
. Demostrar que
11. En la figura: F es un punto medio de , E es punto medio de , ,
. Demostrar que .
ABC DEF DEAB EFBC
DEFABC
AM ABC
AM
EFBC BEAD DFAC
EFBC //
ml // ln mk kn //
NLKL NmKmNLMm ˆˆˆ LQ
LNM ˆ KNLQ//
CD AB BA ˆˆ
BCAD ABCD //
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12. Demostrar que toda recta paralela a la base de un triángulo isósceles pasando por
un vértice, biseca al ángulo exterior asociado al vértice.
13. Demostrar el teorema del ángulo exterior (Versión 2). La medida de cualquiera de
los ángulos exteriores de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos
ángulos interiores no adyacentes.
14. Utilizando el teorema del punto interior, demostrar: la suma de los ángulos
interiores de todo triángulo es 180°.
Nota: Como puede observarse los teoremas 13 y 14 son consecuencias del V.P.E.
similarmente buena parte de los problemas siguientes, requieren de estos dos teoremas.
Indique en cuales de los problemas siguientes, se requieren necesariamente
consecuencias del V.P.E.
15. En la figura se tiene , , . Calcular .
16. En la figura se tiene: , . Demostrar que .
'ˆˆ 'ˆˆ 130Dm Cm ˆ
BA ˆˆ ABDE Eˆ
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17. En la figura , . Demostrar que .
18. En la figura , biseca a , biseca a . Demostrar que
.
19. En la figura es isósceles, , , , .
Demostrar que .
ACBC ABDC ˆˆ
CDAB // FG EFB ˆ EG FED ˆ
GFEG
ABC BCAC ABIntF ACDF BCEF
EFBDFA ˆˆ
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20. En la figura , . Demostrar que .
BCAC ECFC ABDE
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5.9 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
En la figura 𝑡 es secante a las rectas 1y a 2
Cada uno de los siguientes grupos de premisas conlleva a una contradicción con alguna
propiedad establecida en la figura; cuando se anexan a ésta.
Partiendo de las premisas dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una
contradicción.
i. 𝐶𝐴 ≅ 𝐵𝐷
ii. 𝐶𝐵 ≅ 𝐴𝐷
1. Agregamos las premisas
dadas a la gráfica en
consideración.
2. ∆𝐶𝐴𝐵 ≅ ∆𝐾𝐷𝐵(L-L-L);de i. ,
ii. y figura.
Consecuencias: ≅⏟ 2′
CAB
KBD
Premisas
1
2
𝑡
1
2
𝑡
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3. 1//𝐵𝐷 ; de 2´ y T A.I, pero esto es absurdo porque 1∩ 𝐵𝐷 = {𝐷} de acuerdo a la
figura.
Ilustración N° 2
En la figura se tiene: 𝐴𝐷 bisectriz de ; 𝐵𝐷 bisectriz de ; 𝑚 = 130°.
Calcule 𝑚 .
1. 𝛼 = 𝛼′; de la hipótesis definición de bisectriz.
2. 𝛽 = 𝛽′; de la hipótesis definición de bisectriz.
3. 𝛼 + 𝑚 + 𝛽 = 180°; Teorema suma ángulos interiores en el ∆𝐴𝐷𝐵.
4. (𝛼 + 𝛼′) + 𝑚 + (𝛽 + 𝛽′) = 180°; Teorema suma ángulos interiores ∆𝐴𝐶𝐵.
5. 2𝛼 + 𝑚 + 2𝛽 = 180°; sustitución de la hipótesis de 1 y 2 en 4.
6. 𝛼 + 𝛽 = 180° − 130° = 50°; sustitución de la hipótesis en 3 y despeja.
7. 𝑚 = 180° − 100° = 80°; de 6 y 5, ¿por qué?
Ilustración N° 3
En la figura se tiene:
i. 𝐴𝐵 //𝐶𝐷 .
ii. 𝐹𝐺 es bisectriz de
iii. 𝐸𝐺 es bisectriz de
CAB
CBA
)(ADB
)(C
)(ADB
)(C
)(C
)(C
BFE
DEF
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Demuestre que 𝐸𝐺 𝐺𝐹
Demostración
1. 𝛼 = 𝛼′; de ii. definición de bisectriz.
2. 𝛽 = 𝛽′; de iii. definición de bisectriz.
3. ≅ ; de i. teorema recíproco A.I.
4. 𝑚 = 𝑚 ; de 3 consecuencia de la medida angular.
5. 𝑚 = 2𝛼; de suma angular y 2.
6. 𝑚 = 𝑚 ; propiedad ángulos suplementarios.
7. 𝑚 = 2𝛽; de suma angular y 2.
8. 𝑚 = 2𝛼; transitividad 4 y 5.
9. 2𝛼 + 2𝛽 = 180°; sustitución 7 y 8 en 6.
10. 𝛼 + 𝛽 = 90°; despejando en 9.
11. 𝑚 = 90°; suma interiores en∆𝐹𝐺𝐸 y 10.
12. es recto; de 11 consecuencia de la medida.
13. 𝐹𝐺 𝐸𝐺 ; de 12 definición general de rectas perpendiculares.
BFE
FEC
)(BFE
)(FEC
)(BFE
)(FEC
)(FED
)(FED
)(FEC
)(FGE
FGE
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Hipótesis
Hipótesis
Ilustración N° 4
En un ∆ 𝐴𝐵𝐶 rectángulo en 𝐴 se dan los puntos 𝐴 − 𝐹 − 𝐵; 𝐴 − 𝐷 − 𝐶; 𝐵 − 𝐸 − 𝐶, tales que
𝐶𝐷 ≅ 𝐶𝐸 , 𝐵𝐹 ≅ 𝐵𝐸 . Hallar la medida del ángulo DEF.
i.∆ 𝐴𝐵𝐶, recto.
ii. 𝐶𝐷 ≅ 𝐶𝐸 , 𝐵𝐹 ≅ 𝐵𝐸
iii.𝐶 − 𝐷 − 𝐴; 𝐴 − 𝐹 − 𝐵; 𝐵 − 𝐸 − 𝐶.
Tesis: determinar 𝑚 ( )
Demostración
1. 𝛼 = 𝛽, 𝜆 = 𝜃; de 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 ; 𝐵𝐹 = 𝐵𝐸
2. 𝛽 + 𝜔 + 𝜃 = 180°; de y son complementarios.
3. 𝑚 ( ) + 𝑚 ( ) = 90°; de suma de ángulos interiores en ∆ 𝐶𝐴𝐵 y de i.
4. 180° − 𝛼 − 𝛽 + 180° − 𝜆 − 𝜃 = 90°; de 𝑚 ( ) = 180° − 𝛼 − 𝛽¿Por qué?
𝑚 ( ) = 180° − 𝜆 − 𝜃. ¿Por qué?
5. 270° = 2(𝛽 + 𝜃); de sustitución de 1 en 4 y simplificación.
𝛽 + 𝜃 = 135°
6. 135° + 𝜔 = 180° ; sustitución de 5 en 2.
7. 𝜔 = 45°; de 6 simplificación.
A
DEF
C
B
C
B
C
BMateria
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial