Capítulo 5 Derivadas Parciais e Direcionais -...
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Cálculo II- 1
Capítulo 5 – Derivadas Parciais e Direcionais
1. Conceitos
Sabe-se que dois problemas estão relacionados com derivadas:
Problema I: Taxas de variação da função. Problema II: Coeficiente angular de reta tangente.
Seja ( ) uma função a uma variável. A taxa de variação instantânea de
em relação a quando e o coeficiente angular ( ) da reta tangente ao
gráfico ( ) no ponto ( ), onde ( ) são problemas resolvidos
pelo cálculo do mesmo limite:
( ) ( )
( ) ( )
Este limite recebe a terminologia especial de DERIVADA.
Sejam ( ) uma função à duas variáveis independentes, e e
( ) um ponto sobre o gráfico de onde ( ) é um ponto do domínio
da função e ( ). Desejamos resolver os dois problemas relacionados
com derivadas: taxa de variação da função quando e e
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto Sendo uma função à duas variáveis surgem as questões:
Deseja-se calcular taxa de variação da função em relação a qual direção de variação do ponto do domínio ( )?
Há infinitas retas em que tangenciam a superfície no ponto . Qual a
direção da reta que se deseja calcular o coeficiente angular?
( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 2
Inicialmente, vamos estudar as taxas de variação da função apenas em
relação às variáveis independentes e . Estas taxas recebem a terminologia
de DERIVADAS PARCIAIS.
Notações:
( ) ( )
( ) ( )
O gráfico de uma função de duas variáveis ( ) é, em geral uma
superfície em . Considere: ( ) um ponto sobre o gráfico da função;
uma curva obtida pela interseção da superfície ( ) com o plano
e uma curva obtida pela interseção da superfície ( ) com o plano
.
A curva é uma curva plana contida no plano , paralelo ao plano , e
satisfaz às condições:
{ ( )
Assim, a curva representa o gráfico de uma função de uma variável na forma:
( ) ( )
Se o valor da variável é mantido constante e igual a , então a variação da função se dá apenas em relação à variação da variável independente .
Nestas condições há apenas uma reta contida no plano que tangencia
a superfície no ponto
( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 3
A taxa de variação instantânea da função na direção de , quando e e o coeficiente angular ( ) da reta contida no plano e tangente
ao gráfico ( ) no ponto ( ) são problemas resolvidos pelo cálculo
do mesmo limite:
( )
( )
( ) ( )
que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A .
Analogamente, a curva está contida num plano paralelo ao plano no qual
todos os pontos têm coordenadas Esta curva representa o gráfico de uma função do tipo ( ) ( ). A variação da função se dá apenas
em relação à variação da variável independente e há apenas uma reta
contida no plano que tangencia a superfície no ponto
Se a taxa de variação instantânea de em relação a quando e
o coeficiente angular ( ) da reta contida no plano e tangente ao
gráfico da função ( ) no ponto ( ) são problemas resolvidos pelo
cálculo do mesmo limite:
( )
( )
( ) ( )
que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A .
2. Definição:
Derivadas parciais de funções a n variáveis
Seja uma função a n variáveis e ( ) um ponto do ao domínio de
, então a derivada parcial de em relação j-ésima variável é a função
( ) definida por:
( )
( ) ( ))
Se o limite existir.
Observe que no cálculo das derivadas parciais todas as variáveis
independentes, exceto a variável em relação a qual se deseja calcular a derivada parcial, são consideradas constantes. Porém, a função derivada depende dos valores a elas atribuídos. Assim a derivada parcial de uma
função a variáveis também é uma função a variáveis.
Cálculo II- 4
3. Revisão de Derivadas de Funções a uma Variável
( ) ( ) ( )
( ( )) ( )
Derivada da Função Co-Seno Combinada com a Regra da
Cadeia
( ) ( ) ( )
( ( )) ( )
Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Derivada da Função Logarítmica Combinada com a Regra da Cadeia
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia
( ) ( )
( )
Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia
Cálculo II- 5
4. Técnicas para o cálculo das derivadas parciais
As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções ordinárias (funções a uma variável), exceto que
todas as variáveis independentes, que não aquela em relação a qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente como constantes.
1) Derivada de uma constante é zero
) ( )
) ( )
2) Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função
) ( )
( )
( )
( )
) ( ) √
( √ ) √
( ) √ ( ) √
( √ ) √
( ) √ √
( √ )
(√ ) (
)
√
3) Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções
( ) ( ) ( )
) ( )
( ( ))
( )
( ( )) ( ) ( )
( ( ))
( )
( ( ))
Cálculo II- 6
) ( )
( )
( ( ))
( )
( )
( )
( )
( ( ))
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ( ))
( )
( ( ))
( )
( )
4) Derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira multiplicada
pela segunda mais a derivada da segunda multiplicada pela primeira
( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
( )
( ( )) ( ) [
( ) ( )
( ( )) ]
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ( )) ( ) ( )
5) Derivada da divisão de duas funções é a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denominador menos a derivada da função do
denominador multiplicada pela função do numerador, dividido pela função do denominador ao quadrado
( ) ( )
( )
Cálculo II- 7
) ( ) ( )
(
( )
)( ( )
)
( )
[
( ( ))
( ) ( )
( ) ]
( )
[
( )
] ( )
[
( )
]
( )
[
( ( ))
( ) ( )
( ) ]
( )
[ ( ) ( )
]
( ) ( )
( ) ( )
6) Transcrição direta da regra da cadeia
( ) ( ) ( ( ))
( )
a) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
b) ( ) √
( ) √
√
√
√
√
c) ( ) ( )
[ ( )]
( ) ( )
[ ( )]
( ) ( )
[ ( )]
( ) ( )
Cálculo II- 8
Exemplos:
1) Se ( ) , encontre ( ) e ( )
( )
( )
2) Se ( ) , encontre
,
( )
3) Se , encontre
,
4) Se ( ) ( ) ( ) , encontre
( ( ) )
( ( ) )
( ( )) ( )
( )
[
( ) ( )
( ( )) ] ( )
( ) ( ) ( )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
[
( ) ( )
( ( )) ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
( ( ) )
( ( ) ) ( )
( )
( )
Cálculo II- 9
5) A pressão ( ), o volume ( ) e a temperatura ( ) de 1 mol de
gás ideal estão relacionados pela equação:
a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura
quando o volume do gás for de e a temperatura de .
( )
( )
Quando o volume do gás confinado é de 150 e a temperatura é de
se a temperatura aumentar de a pressão aumentará de
.
b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando o
volume for de 150 e a temperatura de .
( )
( )
Quando o volume do gás confinado é de 150 e a temperatura é de
se o volume do gás aumentar de , a pressão diminuirá de
.
c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão, quando o
gás a temperatura de 400 K está sujeito a uma pressão 100
( )
( )
O volume de um gás, a 400 K sujeito a uma pressão de 100 , diminui de
0,332 litros para cada 1 de aumento de pressão.
Cálculo II- 10
6) Encontre as equações das retas tangente às curvas de interseção entre a superfície e os planos e no ponto ( ).
a) Interseção entre a superfície e o plano :
A equação da curva formada pela interseção do plano com a superfície é:
A curva de interseção é uma parábola no plano . A reta tangente a esta parábola no ponto ( ) ( )) está, então, contida no plano e
sua equação é dada na forma: ( )
O coeficiente angular ( ) da reta tangente é o valor de
quando e
.
( )
( )
( ) ( ) ( )
Equação da reta:
b) Interseção entre a superfície e o plano
A curva formada pela interseção do plano com a superfície é a parábola no plano . O coeficiente angular ( ) da reta
tangente a esta parábola no ponto (1,2,8) é o valor de
quando e
.
( )
( )
A reta tangente está contida no plano e sua equação é da forma
( ) ( )( )
Equação da reta:
7) Encontre a equação da reta contida no plano e tangente à curva
obtida pela interseção do gráfico de com o plano no ponto
(2,2,8).
a) Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a
superfície e o plano
( )
b) Equação da reta: ( ) ( )
Cálculo II- 11
5. Derivadas de ordem superior
Se é uma função a duas variáveis, as suas derivadas parciais também
são funções a duas variáveis. Assim podemos considerar as derivadas
( ) ( ) ( ) ( )
que são chamadas derivadas parciais de segunda
ordem da função f.
Se ( ), temos as notações
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
A notação significa que primeiro diferenciamos em relação a e depois em
relação a A notação significa que primeiro diferenciamos em relação a
e depois em relação a .
De forma análoga, podemos definir derivadas parciais de terceira ordem,
quarta ordem e assim por diante, por exemplo:
[
(
)]
Igualdade das derivadas parciais mistas de segunda ordem
Em termos gerais, se as derivadas de primeira ordem de uma função
existirem e forem contínuas, a ordem na qual sucessivas derivadas parciais
são tomadas quando forem derivadas de ordem superior é irrelevante (Teorema de Clairaut). Exemplos
Cálculo II- 12
Exemplos:
1) Calcule as derivadas de segunda ordem da função:
( )
( )
( )
( )
( )
2) Calcule onde ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ( )) ( )
( ) ( )
( ( )) ( )
( )
( )
( ( ))
( ( ))
[
( ) ( )
( ( )) ]
[ ( ) ( ) ( ( )
( ) ) ]
[ ( ) ( ( ) ) ]
( ) ( )
3) Seja ( ) ( ), calcule:
( )
( ) ( )
( ( )) ( )
( )
( )
( ( )) ( )
( )
( )
Cálculo II- 13
6. Primeira Regra da Cadeia
Suponha que ( ) seja uma função a duas variáveis e que sejam
funções a uma outra variável , ou seja, ( ) ( ). Então, ( )
pois ( ) ( ( ) ( )) ( ). Assim, a derivada de em relação à
variável é:
Generalização da Primeira Regra da Cadeia
Se é uma função a variáveis, ou seja, ( ) e cada uma
dessas variáveis é, por sua vez, função de uma variável , então
( ) e
Exemplos: Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas indicadas:
) √
(( ) )
( )
( )
√
(( ) )
( )
( )
√
√
√
Cálculo II- 14
) ( )
( ) (
)
( )
( ( ) )
) (
) ( ) ( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ( ))
( ) ( )
4) A pressão ( ), o volume ( ) e a temperatura ( ) de 1 mol de
gás ideal estão relacionados pela equação: . Encontre a taxa de
variação da pressão em relação ao tempo, quando a temperatura é de
e está aumentando numa taxa de e o volume é de e
está aumentando numa taxa de
( )
Cálculo II- 15
A temperatura é e está aumentando na taxa:
O volume é e está aumentando na taxa:
( )
Para
( )
A pressão decresce de aproximadamente de a cada 1 segundo.
5) A voltagem ( ) de um circuito elétrico diminui com o tempo ( ) numa taxa de devido ao desgaste da bateria enquanto a resistência ( ) aumenta numa taxa de devido ao
aquecimento do resistor. Use a lei de Ohm para encontrar a taxa de variação da corrente ( ) em relação ao tempo, no instante em que
e
( )
( )
Quando
( )
( )
A corrente decai de 0,000031 a cada segundo.
Cálculo II- 16
7. Segunda Regra da Cadeia
Suponha que ( ) com ( ) e ( ). Então, ( ) pois
( ) ( ( ) ( )) ( ). Assim, possui derivadas parciais em
relação a e em relação a dadas por:
Generalização da Segunda Regra da Cadeia
Se é uma função a variáveis, ou seja, ( ) e cada uma
dessas variáveis é, por sua vez, função a outras variáveis, ou seja,
( ). Então ( ) e
Exemplos:
Utilize a regra da cadeira para determinar as derivadas indicadas:
)
⁄ ⁄
(
)
( ) (
) ( )
Cálculo II- 18
8. Diferencial
Sejam ( ) uma função derivável a uma variável, uma variação na
variável independente e a variação da função, devido à variação .
Onde e ( ) ( ).
O diferencial de , denotado por , é o valor da variação da variável
independente.
O diferencial de , denotado por , representa a variação da ordenada da
reta tangente ao gráfico da função no ponto ( ( )) devido à variação
.
( )
A variação pode ser vista como uma aproximação linear para . O valor
estará mais próximo do valor real da variação da função quanto menor
for a variação da variável independente .
Podemos dizer que se for bem pequeno, tem-se . Assim, a
aproximação linear da função em é dada por:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 19
Sejam ( ) uma função a duas variáveis, e as variações nas
direções e , respectivamente, e a variação da função devido aos
incrementos e
Onde , e ( ) ( ).
O diferencial de , denotado por é o valor da variação . O diferencial de
, denotado por é o valor da variação
O diferencial de , denotado por , também chamado de diferencial total,
representa a variação da cota do plano tangente ao gráfico da função no ponto ( ) quando e y sofrem variações de e de ,
respectivamente:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto ( ) é:
( ) ( ) ( ) ( )
A variação pode ser vista como uma aproximação linear para . Quanto
menores forem os incrementos e , mais próximo do valor real da
variação da função será a aproximação dada por . Podemos dizer que se
e forem bem pequenos, tem-se . Assim, a aproximação
linear da função em ( ) é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ( ))
( ))
Cálculo II- 20
Exemplos:
1) Encontre o diferencial total das funções:
a) ( )
( )
( )
b) ( )
( )
( )
( )
( )
2) Seja ( )
a) Encontre o diferencial total
( ) ( )
Generalizando
Seja uma função real a variáveis reais ( ) o diferencial
total é dado por:
Cálculo II- 21
9. Diferenciação Implícita
Dizemos que uma função é explícita quando ela é expressa por uma equação na qual é possível isolar de um lado a variável dependente e do outro lado da
equação a expressão da função. Caso isto não ocorra dizemos que a função é implícita.
Exemplos:
, dizemos que é uma função explícita de
( ) , dizemos que é uma função implícita de
O objetivo da diferenciação implícita é determinar a derivada de funções sem
que haja a necessidade de explicitar a variável dependente.
A técnica de diferenciação implícita utilizada para funções a uma variável,
normalmente estudada em Cálculo I, consiste em diferenciar ambos os lados da equação e utilizar a regra da cadeia, pois a variável dependente implícita é função da variável independente.
Exemplo do Método de diferenciação implícita utilizado em Cálculo I:
Calcule a derivada
sendo uma função implícita de dada pela equação:
( ) ( )
( ( ))
( )
( )
( )
( ) [
]
( ) [
]
( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 22
O processo de diferenciação implícita pode ser formulado com maior rigor e pode ser generalizado pelo uso das derivadas parciais.
Suponha uma equação na forma ( ) que define implicitamente como
uma função de , ou seja, ( ). Assim, ( ) ( ( )) para todo
no domínio de .
Se as funções e forem diferenciáveis, podemos usar a Primeira Regra da
Cadeia para diferenciar a equação ( ) e encontrar a derivada de
.
( )
( ( ))
( )
⁄
⁄
Exemplos:
1) Seja a equação ( ) com ( ), encontre
, utilizando o
método generalizado.
Equação na forma ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Cálculo de
( ( ) ) ( )
( ) ( )
( ( ) ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 23
2) Dada a equação implícita , onde é função de , calcule
utilizando o método generalizado das derivadas parciais.
Equação na forma ( )
( )
Cálculo de
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Podemos utilizar esta técnica em funções a mais de uma variável.
Suponha uma equação na forma ( ) que define implicitamente como
uma função de , ou seja, ( ). Assim, ( ) ( ( ))
para todo ( ) no domínio de .
Se as funções e forem diferenciáveis, podemos usar a Segunda Regra da
Cadeia para diferenciar a equação ( ) e determinar as derivadas
parciais de ,
e
.
Cálculo de
( )
( ( ))
( )
⁄
⁄
Cálculo II- 24
Cálculo de
( )
( ( ))
( )
⁄
⁄
Exemplos:
1) Seja ( ) dada implicitamente por . Encontre
as derivadas parciais de z.
Equação na forma ( )
( )
Cálculo de
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 25
Cálculo de
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2) Seja ( ) dado implicitamente pela equação ( ) .
Encontre as derivadas parciais de .
Equação na forma ( )
( ) ( ) ( )
Cálculo de
( ( ) )
( )
( )
Cálculo de
( ) ( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 26
( )
(
) (
( )
)
Cálculo de
( ( ))
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ( ) )
3) Encontre as derivadas parciais de , sendo ( ) dado implicitamente
pela equação √ :
( )
⁄
(
⁄ ) ( )
(
⁄ ) (
)
⁄ (
)
⁄ (
√ )
(
⁄ )
(
⁄ ) ( )
(
√ )
( )
√ ( )
( )
( )
( )
Cálculo II- 27
10. Derivadas Direcionais
Considere uma função diferenciável de duas variáveis dada pala equação
( ) e seja ( ), ( ) um ponto desta superfície.
A derivada parcial
é a taxa de
variação instantânea da função obtida quando, para um
determinado valor fixo de ,
houver uma variação ( ) da
variável independente na
direção positiva do eixo .
Geometricamente, a derivada parcial de em relação a é o
coeficiente angular da reta
contida no plano e
tangente ao gráfico da função no
ponto ( ).
A derivada parcial
é a taxa de
variação instantânea da função
obtida quando, para um
determinado valor fixo de ,
houver uma variação ( ) da
variável independente na
direção positiva do eixo . Geometricamente, a derivada
parcial de em relação a é o
coeficiente angular da reta
contida no plano e tangente ao gráfico da função no
ponto ( ).
A derivada direcional ( ) é a
taxa de variação instantânea da
função obtida quando houver variação das variáveis indepen-
dentes e em uma direção
qualquer . Geometricamente, a
derivada direcional é o coeficiente angular da reta
paralela ao vetor e tangente ao
gráfico da função no ponto
( ).
Cálculo II- 28
Derivada Direcional
Sejam ( ) ( ) um vetor que indica a direção na qual se deseja
calcular a taxa de variação de uma função ( ) e ( ) um vetor
unitário na direção de .
A derivada direcional de na direção de , consequentemente, na direção de
é dada por
( )
Define-se um vetor denominador por gradiente de e denota-se ou ,
o vetor em cujas componentes escalares são as derivadas parciais de .
(
)
Assim, a derivada direcional ( ) pode ser calculada pelo produto escalar do
gradiente de ( ) e o vetor unitário na direção de .
( ) (
) ( )
Maximização das Derivadas Direcionais
Muitas vezes em problemas de engenharia interessa saber a direção na qual a
taxa de variação da função é máxima.
Sabemos que a taxa de variação instantânea da função na direção de um
vetor unitário qualquer é calculada pela derivada direcional:
( ) | | | | ( ) | | ( )
onde | | e é o menor ângulo formado entre os vetores .
Como o valor de ( ) varia de -1 a 1, a derivada direcional ( ) terá um
valor máximo quando ( ) , ou seja, quando . Isto significa que o
vetor gradiente indica a direção na qual a derivada direcional é máxima e
pode ser calculada por:
( ) | |
Em outras palavras: o gradiente de um campo escalar é um vetor cuja direção
indica a direção na qual o campo escalar aumenta mais rapidamente.
Dado o mapa de contorno de uma função podemos identificar a direção da
maior variação da função, ou seja, a direção do gradiente. Considere o mapa
de contorno da figura abaixo onde é um vetor unitário tangente a isocurva
no ponto . Lembrando que a isocurva representa pontos de mesmo valor da
Cálculo II- 29
função, a taxa de variação da função ao longo de uma isocurva é nula,
portanto a derivada direcional na direção de é nula. Assim,
( ) | || | ( )
Isto significa que está a 90° do vetor , ou seja, o vetor é perpendicular
à isocurva e indica a direção da maior variação da função.
Exemplos:
1) Calcule o gradiente das funções abaixo:
) ( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
( ( ) ( )
( ))
) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( ( ) ( ) ( ) )
x
y
Cálculo II- 30
-3
4
x
y
2) Dada a função, calcule e desenhe no sistema cartesiano o gradiente da função no ponto indicado
) ( ) ( )
(
) ( ) (
( )
( ))
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
3) Calcule a derivada direcional de ( ) na direção do vetor
(√
) no ponto (1,2):
( ) (
) (
| |
| |)
Cálculo do vetor unitário na direção dada
| | √(√
)
(
)
√
Como é um vetor unitário (√
)
Cálculo do vetor gradiente
( )
( )
( )
Cálculo da derivada direcional
( ) ( ) (√
)
( ) ( )(√
) ( ) (
)
Cálculo da derivada direcional quando e
( ( )) ( ) (√
) ( ) (
)
( ( )) ( )(√
) ( ) (
)
√
√
Cálculo II- 31
4) Encontre a derivada direcional de ( ) √ na direção do vetor
( ) no ponto (3 , 4):
( ) (
) (
| |
| |)
Cálculo do vetor unitário na direção dada
| | √( ) ( ) √
| | (
)
Cálculo do vetor gradiente
( √ ) √
( √ ) (
√ )
√
(
) ( √
√ )
Cálculo da derivada direcional
( ) ( √
√ ) (
) ( √ ) (
) (
√ ) (
)
√
√
Cálculo da derivada direcional quando e
( ( )) √
√
5) Encontre a derivada direcional de ( ) ( ) ⁄ na direção do
vetor ( ) no ponto (1 , 1, 2):
Cálculo do vetor unitário na direção dada
| | √( ) ( ) ( ) √ √
| | (
√
√
√ )
Cálculo do vetor gradiente
(( )
) (
) ( )
(
) ( )
(( )
) (
) (( )
) ( )
Cálculo II- 32
(( )
) (
) ( )
(
) ( )
(
) ((
) ( )
( )
(
) ( )
)
Cálculo da derivada direcional
( ) ((
) ( )
( )
(
) ( )
) (
√
√
√ )
( ) ( ( )
√ ( )
√ ( )
)
( ) ( ) (
√
√ ) ( )
(
√ )
( ) ( ) (
√ )
Cálculo da derivada direcional quando , e
( ( )) ( ) (
√ )
√
√
√
6) Encontre a derivada direcional de ( ) ( ) na direção do
vetor ( ) no ponto (1 ,3, 0):
| | √( ) ( ) ( ) √ √
| | (
√
√
√ )
(
)
( ( ) )
( )
( ( ) )
( )
( ( ) )
( )
( )
( ) ( ( ) ( ) ( )) (
√
√
√ )
( ) ( )
√
( )
√
( )
√
( ( )) ( )
√
( )
√
( )
√
√ ( )
√
Cálculo II- 33
x
y
LO
N
S
7) Suponha que uma pessoa esteja numa montanha cuja altura em metros
é dada pela equação onde e são as distâncias,
em metro, no plano horizontal. Considere que a posição ( ) desta
pessoa seja ( ). Sendo o plano horizontal representado por um
sistema cartesiano de eixo apontando para leste e de eixo apontado
para o norte, responda
a) Se a pessoa andar para o sul, irá descer ou subir? Em que taxa?
Vetor unitário na direção do movimento:
( ) | |
Taxa de variação da função
( ) onde (
)
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Taxa de variação da função quando e
( )
Conclusão: Como a taxa é positiva para cada metro que a pessoa andar para
o sul ela subirá 3,2m.
Cálculo II- 34
x
y
LO
N
S
45
b) Se a pessoa andar para o noroeste, irá descer ou subir? Em que taxa?
Vetor unitário na direção do movimento:
( ( ) ( ))
( √
√
) | |
Taxa de variação da função
( ) onde (
)
( )
( ) ( ) ( √
√
)
( ) √ √
Taxa de variação da função quando e
( ) √ √
( ) √ √ √ √ √
Conclusão: Como a taxa é negativa, para cada metro que a pessoa andar na
direção noroeste ela descerá 1,55 m.
Cálculo II- 35
x
y
LO
N
S
30
c) Se a pessoa andar para L 30° S, irá descer ou subir? Em que taxa?
Vetor unitário na direção do movimento:
( ( ) ( )) (√
)
| | √(√
)
(
)
√
Taxa de variação da função
( ) onde (
)
( )
( ) ( ) (√
)
( ) √
Taxa de variação da função quando e
( ) √
( ) √ √
Conclusão: Como a taxa é positiva, para cada metro que a pessoa andar na
direção L 30° S ela subira 0,734 .
Cálculo II- 36
d) Determine e represente graficamente a direção que a pessoa deve seguir
para fazer a descida mais íngreme possível. Qual a taxa de variação da função
encontrada nesta direção?
Sabe-se que a direção do gradiente indica a direção de maior acréscimo da
função, ou seja, a pessoa subirá da forma mais íngreme possível.
( )
Quando e
( ) ( )
A maior taxa de variação da função é:
| | √( ) ( )
Para cada metro que a pessoa andar na direção do gradiente ela subirá
3,35m.
Para que a pessoa faça a descida da forma mais íngreme possível ela deverá
seguir a direção oposta do gradiente, isto é, na direção do vetor ( ) e a
taxa de variação da função é de - Esta taxa significa que para cada
metro que a pessoa andar na direção do vetor ( ) ela descerá .
1
3,2