Capítulo 3 - Análisis Matricial de Redes

ANLISIS MATRICIAL DE REDES

Introduccin:

El anlisis de redes consiste en determinar las corrientes y tensiones en las distintas ramas del circuito.

Se puede aplicar distintas tcnicas (leyes de Kirchhoff, anlisis de mallas, anlisis de nodos, teoremas de redes, etc.)

La desventaja de estas tcnicas es la seleccin y el nmero de variables desconocidas cuando las redes son ms complejas.

El anlisis se puede hacer ms simple utilizando la topologa de la red, es decir considerando su estructura geomtrica (patrn).

Adems, el anlisis de redes complejas se puede facilitar con la utilizacin de matrices.

27/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 2

Grfico de una red (Grafo)

Es un diagrama en donde se muestra como estn interconectados los elementos de un circuito.

Cada elemento de dos terminales (dipolo) se representa por medio de una lnea que se denominada rama.

Cada terminal de la rama es un punto que se denomina nodo.


Grfico orientado

Los grficos son orientados si se asume un sentido de corriente en las ramas.


Grfico plano: Las ramas no se cruzan en otro punto que no sea un nodo.

Grfico no plano: Las ramas se intersectan en otro punto que no es un nodo.


Grado de un nodo: Nmero de ramas que incide en l.

Trayectoria de longitud m: Secuencia de m ramas diferentes con m+1 nodos.

Lazo de longitud m: Trayectoria en la cual el nodo inicial y el nodo final coinciden (trayectoria cerrada).

Autolazo: Lazo de longitud 1.

Grfico interconectado: Si existe por lo menos una trayectoria entre dos nodos cualquiera.


Conjunto de ramas de un grfico ():

Conjunto de nodos de un grfico ():

Nodo de referencia (): Preferentemente el que tiene mayor grado (ms ramas), pero puede ser cualquiera.

El grfico se denota como (, ): Conjunto formado por todas las ramas y nodos.


= , , , .

= , , , . + +

Subgrfico: Formado por un subconjunto (grupo) de nodos y ramas del grfico. El subgrfico se denota como (, ).

Subgrfico propio: Tiene menos ramas y nodos que el grfico.

Subgrfico impropio: Utiliza todos los nodos del grfico.


rbol (): Es un subgrfico de G con las siguientes propiedades:

Contiene todos los nodos de G

No contiene ningn lazo

Cualquier rama adicional que se coloque al rbol formar un lazo.


El rbol se denota como:

Entonces el conjunto de ramas es:

Otras propiedades del rbol:

En el rbol existe una sola trayectoria entre dos nodos.

El rango del rbol es igual al rango del grfico (N).

Para N+1 nodos, el rbol contiene N ramas.


= ,

:

:

= ,

Conjunto de corte: Es un grupo de ramas y nodos tales que:

Si estas ramas se remueven (quitan) del grfico, se obtiene dos subgrficos separados.

Debe contener por lo menos una rama de rbol porque el rbol del grfico interconecta cada nodo.


Conjunto de corte fundamental:

Conjunto de corte que cruza a una sola rama de rbol y el resto son ramas de enlace.


# = #

Se considera el siguiente grfico como ejemplo:

Se hace cumplir la ley de corrientes de Kirchhoff.

Sentido positivo cuando la corriente est saliendo del nodo (es arbitrario).


: + + =

: + =

: + =

: =

: + + =

: =

Matriz de incidencia aumentada :

Filas nodos

Columnas ramas

Orden: ( + )


=

0

0

0

0

0

0

110000000

001110000

000001100

111000110

000100011

000011001

9

8

7

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

987654321

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

n

n

n

n

n

rrrrrrrrr

La matriz de incidencia aumentada tiene N filas linealmente independientes, por lo tanto el rango de la matriz es N.

Se cumple la ley de corrientes de Kirchhoff:

En forma matricial:


=

=

= = , , . +

=

Matriz de incidencia :

Se obtiene eliminando cualquiera de las filas (nodo de referencia) de la matriz de incidencia aumentada.

Orden:

La matriz se incidencia es linealmente independiente.

Ley de corrientes de Kirchhoff:


=

Ejercicio: Para el circuito de la figura, determine:

a) La matriz de incidencia aumentada.

b) La matriz de incidencia.

c) Ecuaciones de nodo en forma matricial.


Considere los conjuntos de corte que se muestran en el grfico:

La suma algebraica de las corrientes que inciden en un conjunto de corte es igual a cero.


C1

C2

C3

C4

C6 C5

Matriz aumentada del conjunto de corte :

Se considera positivas a las corrientes que estn entrando en el conjunto de corte (es arbitrario).


: =

: + =

: + =

: =

: + + =

: + =

C1

C2

C3

C4

C6 C5

Matriz aumentada del conjunto de corte :

Orden: ( ? )

Slo tres ecuaciones son linealmente independientes.

Rango:


0

0

0

0

0

0

01101

10110

10101

11000

01110

00011

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

54321

i

i

i

i

i

C

C

C

C

C

C

rrrrr

0ra iQ

Matriz del conjunto de corte fundamental :

Se plantea las ecuaciones de los conjuntos de corte fundamentales.

La direccin positiva est dada por la corriente de la rama de rbol.

La numeracin del conjunto de corte debe estar dado por las ramas de rbol. Se escoge el rbol y luego se numera las ramas.


C1 C3

C5

: =

: + =

: + + =


:

= +

=

=

:

=


0rf iQ

0

0

0

10110

11000

00011

5

4

3

2

1

5

3

1

54321

i

i

i

i

i

C

C

C

rrrrr



: + =

: + + =

: + + =

C3

C4

C5

0

0

0

10110

10101

11000

5

4

3

2

1

5

4

3

54321

i

i

i

i

i

C

C

C

rrrrr


Elementos:

=

Las ramas de rbol tiene que unir todos los nodos sin formar caminos cerrados.


Se aplica la ley de voltajes de Kirchhoff.

La suma algebraica de las cadas de tensin en un lazo es igual a cero.

Matriz aumentada de lazos


: + + =

: + + =

: + =

: + + =

Matriz aumentada de lazos

Orden: ( ? )

Rango: = Ramas de enlace (Re)


0

0

0

0

1010011

0001100

0110010

1100001

7

6

5

4

3

2

1

4

3

2

1

7654321

v

v

v

v

v

v

v

rrrrrrr

0ra vB

Matriz fundamental de lazos

Los lazos fundamentales y su sentido estn dados por las ramas de enlace.


: + + =

: + + =

: + =



0

0

0

0001100

0110010

1100001

7

6

5

4

3

2

1

3

2

1

7654321

v

v

v

v

v

v

v

rrrrrrr

0rf vB


Elementos:

=

Ley de voltajes de Kirchhoff:


=

= = , , . ( )

Para el grfico orientado de la figura, determine:

a) Matriz del conjunto de corte fundamental :

b) Matriz fundamental de lazos :



# = + =

# = = # = =

# = =

# = + =


C1 C5

C3

C2 C4

100110000

001101000

101000100

011000010

110000001

5

4

3

2

1

987654321

C

C

C

C

C

rrrrrrrrr

Q f


100010101

010000011

001001110

000111000

4

3

2

1

987654321

rrrrrrrrr

B f

Se aplica nicamente a redes planares (ecuaciones de malla).

Un red planar es aquella en la que su grfico se puede dibujar sin que se corten ramas excepto en los nodos.


Redes planares

Redes no planares

Malla: Un lazo de un grfico planar se llama malla si no contiene ninguna rama en su interior.

Se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla:


# : = = =

: + =

: + =

: + + =

=

Orden: ( ) Rango:


0

0

0

100101

011010

110001

6

5

4

3

2

1

3

2

1

654321

v

v

v

v

v

v

m

m

m

rrrrrr 0rvM

Matriz de mallas

Matriz de incidencia []:


011010

110100

101001

4

3

1

654321

n

n

n

rrrrrr

ANodo de referencia:

Cuando sale es positiva.

Matriz de conjuntos de corte fundamental []:


C1 C3

C2

110100

011010

101001

3

2

1

654321

C

C

C

rrrrrr

Q fEl sentido positivo est dado por la rama de rbol.

Matriz de lazos fundamental []:


100101

010110

001011

3

2

1

654321

rrrrrr

B fLa direccin del lazo corresponde a la rama de enlace.


100

010

001

110

011

101

011010

110100

101001

]][[ TfBA

000

000

000

]][[ TfBA =


000

000

000

]][[ Tff BQ =

100

010

001

110

011

101

110100

011010

101001

]][[ Tff BQ

Condiciones de ortogonalidad:


=

=

=

=

Ejemplo:


# =

# = +

Voltajes de rama: , , ,

=

=

=

=

=


4

3

2

1

5

4

3

2

1

1001

1010

1100

0110

0011

n

n

n

n

r

r

r

r

r

v

v

v

v

v

v

v

v

v

nr vPv

=

= TaAP

nT

ar vAv

Orden de []: ( + ) Orden de []: ( + )

Teorema de Tellegen (conservacin de la potencia):


# =

# = +

=

=

TrRrrrr vvvvv ,,, 321

TrRrrrr iiiii ,,, 321

nT

ar vAv Reglas:

( + )= +

()=

()=

TnTaTr vAv


aT

n

T

r Avv

raT

nr

T

r iAviv

0ra iA

0rT

r iv Formulacin matricial del teorema de Tellegen

Significado fsico: Conservacin de la potencia

Dos redes diferentes, pero con el mismo grfico orientado:

Red 1:

Red 2:


, ,

, ,


nT

r vAv

Avv TnT

r

0'''' 332211 RRiviviviv Se multiplica por

Como los grficos son iguales, entonces =

0'' riA

0' rT

r iv

0' rT

r iv

Para dos circuitos que tengan el mismo grfico orientado.

Se cumple independientemente de los elementos de las ramas.

No se interpreta como conservacin de la potencia, es una relacin matemtica.

0'''' 332211 RR iviviviv r

T

nr

T

r iAviv ''

0' riA

Red plana:

Ejemplo:


# =

# = +

# = # =

=

=

=

=

=

=


3

2

1

6

5

4

3

2

1

001

010

110

100

101

011

m

m

m

r

r

r

r

r

r

i

i

i

i

i

i

i

i

i

mr iSi

=

= TMS

mT

r iMi

Orden de []: ( ) Orden de []: ( )

Red planar o no planar:

Considerando las corrientes de los lazos fundamentales:

De la misma forma puede demostrar que:


TNRiiiii )(321 ,,,

# =

# = +

iBiT

fr

Ley de corrientes de Kirchhoff:

Ley de tensiones de Kirchhoff:

En total se tienen R ecuaciones con 2R incgnitas.

Estas ecuaciones slo dependen de la topologa de la red y no de los elementos.

Las R ecuaciones restantes se obtienen de las relaciones tensin-corriente en los elementos.


= []

= []

(N ecuaciones linealmente independientes con R incgnitas)

(R-N ecuaciones linealmente independientes con R incgnitas)

Forma general de la rama:


= +

=


TrRrrrr iiiii ,,, 321

TsRssss iiiii ,,, 321

TRiiiii ,,, 321

Corrientes de rama

Fuentes de corrientes de la rama

Corrientes de los elementos de la rama

TrRrrrr vvvvv ,,, 321

TsRssss vvvvv ,,, 321

TRvvvvv ,,, 321

Voltajes de rama

Fuentes de tensin de la rama

Voltajes de los elementos de la rama

[] = + []

[] = []

a) Si la rama es un resistor

a) Si la rama es un capacitor

a) Si la rama es un inductor


=

=1

=

1

= +

= s + s

=1

= +

Se recuerda la relacin:

Matriz de impedancia primitiva:

es una matriz cuadrada

es una matriz diagonal de resistencias

es una matriz diagonal formada por los inversos de las

capacitancias (susceptancias).

es una matriz que tiene las inductancias propias en la diagonal principal y fuera de ella las inductancias mutuas


=

= +

+

Relacin entre voltajes y corrientes de rama:

Donde:


=

= +

= (Transformacin de fuentes de corriente en fuentes de tensin)

Combinando los dos conjuntos se obtienen ecuaciones linealmente independientes:


= []

= []

= +

= []

Conjunto de ecuaciones linealmente independientes


=

+

Si el coeficiente de es una matriz no singular, entonces:

Los voltajes de rama se obtienen con la ecuacin anterior:


=

+

=

Ejemplo: Determinar las corrientes y voltajes de rama aplicando el mtodo de la matriz de impedancia primitiva.


Grfico de la red:

Matriz de incidencia [A]:


Matriz de lazos fundamentales [Bf]:


Fuentes de corriente de las ramas :

Fuentes de tensin de las ramas :


Matriz de impedancia primitiva [Z]


Corrientes de rama :


=

+

Voltajes de rama :


=

Se recuerda la relacin:

Matriz de admitancia primitiva:

es una matriz cuadrada

es una matriz diagonal de conductancias

es una matriz diagonal de capacitancias

es una matriz que tiene en la diagonal principal el inverso de cada

inductancia propia (reluctancia propia), siempre que no existen inductancias mutuas.

Se cumple que:


=

= +

+

=

Relacin entre voltajes y corrientes de rama:

Donde:


= + +

= + +

= (Transformacin de fuentes de tensin en fuentes de corriente)

Combinando los dos conjuntos se obtienen ecuaciones linealmente independientes:


= []

+ + = []

= []

Conjunto de ecuaciones linealmente independientes con R incgnitas


=

=

Si el coeficiente de es una matriz no singular, entonces:

Las corrientes de rama se obtienen con la ecuacin anterior:


=

= + +

Ejemplo: Determinar las corrientes y voltajes de rama aplicando el mtodo de la matriz de admitancia primitiva.


Matriz de admitancia primitiva [Y]:


00377.00000

000213.0000

00723.0482.00

00482.0206.10

00000377.0

j

jj

jj

j

Y

1 ZY

Voltajes de rama :


=



= + +

Red:

Cuando el nmero de nodos es menor que el nmero de ramas, este mtodo es mas eficiente que cualquier otro.

Se toma como incgnitas los voltajes de nodo respecto a la referencia, as se tienen ecuaciones con incgnitas.

Vector de voltajes de nodo respecto a la referencia:

Lo voltajes de rama sern:


# =

# = +

TnNnnnn vvvvv ,,, 321

nT

r VAV


sr VVV

nT

s VAVV

0rIA

sr III

0 sIAIA

sIAIA

VYI

ssnT

IAVYAVAYA

snT

VVAV

ssnT

IAVYAVAYA

Tn AYAY

Matriz de admitancia de nodos:

Matriz cuadrada de

ssnn IAVYAVY

Entonces:

snsnn IAYVYAYV11

Conjunto de ecuaciones linealmente independientes de los voltajes de nodo .

Ejemplo: Aplicando el anlisis de nodos, determine los voltajes de nodo, los voltajes y corrientes de rama.


Matriz de admitancia de nodos :


00377.00000

000213.0000

00723.0482.00

00482.0206.10

00000377.0

1

j

jj

jj

j

ZY

AYAYn

961.0720.0

720.0164.100213.0

jj

jjYn

Voltajes de nodos :


snsnn IAYVYAYV11

932.145073.7

505.145433.4

962.3859.5

511.2654.3

j

jVn

Voltajes de ramas :


nT

r VAV



= + +

Red:

Este mtodo es til cuando el nmero de lazos fundamentales es menor que el nmero de nodos.

Se escoge un rbol y se asigna una direccin arbitraria a los lazos fundamentales , , .

Vector de corrientes de lazos :

Las corrientes de rama sern:


# =

# = +

TNRIIIII )(321 ,,,

IBIT

fr


0rf VB

sr VVV

0 sff VBVB

IZV

sfsfT

ff VBIZBIBZB

sT

f IIBI

Tff BZBZ

Matriz de impedancias de lazos:

Matriz cuadrada de ( ) ( )

Entonces:

Conjunto de ecuaciones linealmente independientes de las corrientes de lazos .

sr III

sff VBVB

sff VBIZB

sfsfT

ff VBIZBIBZB

sfsf VBIZBIZ

sfsf VBZIZBZI11

Ejemplo: Aplicando el anlisis de nodos, determine los voltajes de nodo, los voltajes y corrientes de rama.


Matriz de impedancias de lazos :


127.2640377.0

0526.26470526.26

377.0526.26018.25

jj

jj

jjj

Z

Tff BZBZ

Corrientes de lazos :


351.12300995.0

46.270807.0

54.133241.0

00831.000547.0

0372.00716.0

175.0166.0

j

j

j

I

sfsf VBZIZBZI11



IBIT

fr

Voltajes de ramas :


=

Capítulo 3 - Análisis Matricial de Redes

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