Capitulo 23 Sears

5/10/2018 Capitulo 23 Sears - slidepdf.com

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POTENCIAL

ELECTRICO

E ste capitulo se ocupa de la energia asociada can las interacciones electricas, Ca-

da vez que activamos la iluminacion, III reproductor de discos compactos 0 un

aparato electrico, hacemos uso de la energia electrica, un ingrediente indispensable

de nuestra sociedad tecno16gica. En los capitulos 6 y 7 presentamos los conceptos de

trabajo y energia en el panorama de la mecanica; ahara combinaremos estos concep-

tos con 1 0 que hemos aprendido acerca de la carga electrica, las fuerzas electricas y

los campos electricos, Asi como el concepto de energia hizo posible resolver de un

modo rnuy sencillo cierta c1ase de problemas de mecanica, el usa de ideas sabre la

energia facilita la resoluci6n de una gran variedad de problemas de electricidad,

Cuando una particula con carga se desplaza en un campo electrico, el campo

ejerce Lillafuerza que puede realizar trabajo sobre la particula. Este trabajo se pue-de expresar siempre en terminos de energia potencial electrica, Del mismo modo

que la energia potencial gravitatoria depende de la altura de una rnasa respecto ala

superficie terrestre, la energia potencial electrica depende de la posici6n de 1apar-

ticula con carga en el campo electrico, Describiremos 1aenergia potencial electri-

ca con base en un nuevo concepto denominado potencial electrico, 0 simplemente

potencial. En los circuitos, una diferencia de potencial entre un punta y otro suele

recibir el nombre de voltaje. Los conceptos de potencial y voItaje son cruciales pa-

ra comprender como funcionan los circuitos electricos y tienen aplicaciones igual-

mente importantes en los haces de electrones de los cinescopios de television, los

aceleradores de particulas de alta energia y muchos otros dispositivos.

Un rayo deja en libertad una asombros

cantidad de energia potencial eleetrica

La carga fluye entre una nube y el sue

con una rapidez que llega a superar lo105 coulomb pOT segundo. La energia

potencial electrica por coulomb, esto

el potencial electrico, que. este proceso

libera puede llegar a ser de hasra 107

por coulomb, 0 107 volt. .

Much os e dific io s tie ne n p ar

y os que los protegen de los darios d

d e scargas electrlcas que oeurren en

atm 6sfera, entre una nube y en este

e l ed if ic i o. Perc, ,com o funcionan lo

rarrayos?



870

y

23. Lna ca:rga de prneba qo que se des-

pliza~~ abexperimenta una

fue£Z2 de~ .,E_ Eltrabajo que es-

illfuerza resliza es lr~=- ; , E d . y es in-

dependieme de =u~ya:mr...a panicnla..

CAP f T U L 0 23 I Potencial electrico

23.1 I Energiapotencial electrlca

Los conceptos de trabajo, energia potencial y conservacion de la energia probaron

ser sumamente utiles en nuestro estudio de la mecanica. En esta seccion mostra-

remos que estos conceptos resultan igualmente utiles para comprender y analizarlas interacciones electricas,

Iniciemos con un repaso de varios puntos fundamentales de los capitulos 6 y 7.

Primero, cuando una fuerza F acnia sobre una particula que se desplaza del punto a

al punto b , el trabajo W a .....b realizado por la fuerza esta dado por una i n te g r a l d e l in e a :

W a....b = i b i . d 1 = i b F C O S < P d l (trabajorealizadoporun~fuerza)(23.1)

donde dl es un desplazamiento infinitesimal a 10 largo de la trayectoria de la par-

ticula y if J es el angulo entre F y dl en cada punto a 10largo delatrayectoria.

Segundo, si la fuerza F es conservat iva, como se definio eI termino en la sec-

cion 7.3, el trabaj 0 reaIizado par F siempre se puede expresar en terminos de una

energia potencial U. Cuando la particula se desp1aza de un punto donde la ener-

gia potencial es U, a un punto donde es U b, el cambio de energia potencial es l1 U

= Uh - U, Yel trabajo Wa...b realizado por 1afuerza es

w a..... = Va - Vb = -(Ob - Va ) = -A D

(trabajo realizado por una fuerza conservativa)

(23.2)

Cuando W a .....b es positivo, U ; es mayor que U b' / : : , . U es negativa, y 1aenergla poten-

'cial disminuye. Esto es 10que ocurre cuando una pelota de beisbol cae de un punto

._ alto (a) a un punto mas bajo (b) por influencia de la gravedad de la Tierra; la fuerza

de gravedad realiza trabajo positivo y la energia potencial gravitatoria disminuye.

Cuando una pelota que ha side lanzada se desplaza hacia arriba, la fuerza gravitato-

ria realiza trabajo negativo durante el ascenso y la energia potencial aumenta.

Tercero, el teorema de trabajo-energia afirma que e1 cambio de energia cineti-

ca 1 1 K = K b - K , durante cualquier desplazamiento es igual al trabajo to tal reali-

zado sobre la particula. Si e1unico trabajo que se realiza sobre la particu1a esta a

cargo de fuerzas conservativas, entonces la ecuacion (23.2) da el trabajo total y K b

- K a = -C Ub - Va). Habitualmente esto se escribe como

(23.3)

Esto es, la energia rnecanica total (cinetica mas potencial) se conserva en estas

circunstancias.

Energia potencia l electrica e n u n c ampo u nifo rme

Examinemos un ejemplo electrico de estes conceptos basicos, En la figura 23.1un par de placas metalicas paralelas con carga establecen un campo electrico des-

cendente uniforme de magnitud E. El campo ejerce una fuerza hacia abajo de

magnitud F = qoE sobre una carga positiva de prueha qo. Confonne la carga se

desplaza hacia abajo una distancia d del punto a al punto b , la fuerza sobre la car-

ga de prueba es constante e independiente de su ubicaci6n. Por tanto, el trabajo

realizado por e J campo electrico es el producto de la magnitud de la fuerza por Ia

componente de desplazarniento en la direccion (descendente) de 1afuerza:

W a.....b = Fd = q oE d (23.4)

Este trabajo es positive, puesto que 1afuerza tiene la misma direcci6n que el des-

plazamiento neto de la carga de prueba.



23.1 1 Energfa potencial electrica

La componente Y de la fuerza electrica, F; = - q o B , es con stante, y no hay compo-nente x ni z, Esto es exactamente analogo a 1afuerza gravitatoria sobre una masa m

cerca de la superficie terrestre; esta fuerza tiene una componente Y constante F; =-mg y sus componentes x y z son cera. En virtud de esta analogia, se puede concluir

que la fuerza ejercida sobre q o por el campo electrico uniforme de la figura23.l esconservativa, como 10 es la fuerza gravitatoria. Esto significa que el trabajo W

O-4b

realizado por el campo es independiente de la trayectoria que la particula sigue de a

a b. Se puede representar este traba-jomediante una funci6n de energid potencial U,

como se hizo eh el caso de la energia potencial gravitatoria en la secci6n 7.1. La ener-

gia potencial correspondiente a la fuerza gravitatoria F; = -mg era U = mgy; por

consiguiente, la energia potencial que corresponde a la fuerza electrica Fy = - q o B es

U = qoEy (23.5)

Cuando la carga-de prueba se desplaza de la altura j-, a la altura j'j, el trabajo rea-

lizado sobre la particula par el campo esta dado por

w a.....b = -au = -(Vb - Ua) = -(q oE y/> - q oE YrJ = q oE (y" - Yo) (23.6)

Cuando Ya es mayor que Y b (Fig. 23.2a), la carga positiva de prueba q o se muevehacia abajo, en la misma direccion de E ; eJ desplazamiento tiene la misma direc-

ci6n que la fuerza F = q o E , por tanto, el campo realiza trabajo positive y U dis-

minuye. (En particular, siYa - Yb = d como en la figura 23.1, la ecuacion (23.6) da

W <r>b = qoEd, en concordancia con la ecuacion (23.4).) Cuando Ya es menor que

Yb (Fig. 23_:.2b),la carga J?,0sitivade prueba qo se mueve hacia arriba, en direccion

op~esta a E.; el desplazamiento es opuesto a la fuerza, el camp~~a trabajo ne-

gativo y U aumenta.

Si 1a carga de prueba q o es negdtiva, la energia potencial aumenta cuando la

carga se desplaza can el campo Y disminuye cuando el desplazamiento es contra

el,campo (Fig. 23.3).

Ya sea que la carga de prueba sea positiva 0 negativa, se aplican las reglas ge-

nerales siguientes: U aumenta si la carga de prueba q o se desplaza en hi direcci6nopuesta a la fuerza electrica F = C J s i E (Fi~. 23.2b y 23.3a); U disminuye si g o se

desplaza en la misma direcci6n de F = q oE (Figs. 23.2a y 23.3b). Este comporta-

miento es e1mismo que el de la energia potencial gravitatoria, la cual aumenta si

(a) La carga negativase desp J aza

en la direccion de if : el campo realiza

rrabajo negative sabre la carga y

la energfa potencial U aumenta

(b) La carga negativa se desplaza en

direccion opuesta a it: el campo realiza

trabajo posit ive sobre la carga

y la energfa potencial U disminuye

23.3 Carga negatiyadesplazandose (a) en la direccion del campo electrico E y (b) en di-

recci6n opuesta a E. Comparese con 1afigura 23.2.

I .."" . ~" x,

I " ~ " q ,Ya

I

fbC l YYb

I""

I' .,.

(a) La carga positiva se desplaza

en la direccion de if: eJ camporealiza trabajo posit ivo sobre la

carga y la energia potencial U dismin

[ -a.

Y b

[

(b) La carga posit iva se desplazaen direccion opuesta a / 1 : el campo

realiza trabajo negativo sobre la carg

y la energfa potencial U aumenta

23.2 Carga positiva desplazandose

(a) en la direccion del campoelectrico

y (b) en direcci6n opuesta a E.



r872

La carga de prueba qo

se desplaza de

a a b a 10 largo de una

recta linea radial que

q

23.4 La carga de prueba q o se desplaza a

10 largo de una linea recta que se extiende

radialmente a partir de la carga q. Confor-

rnese desplaza de a,a' b , la distancia varia

de r a a .r h '

.;

CAP f T U L 0 23 I Potencial electrico

una masa m se desplaza hacia arriba (en direcci6n opuesta a 1ade la fuerza gravi-

tatoria) y disminuye si m se desplaza hacia abajo (en la misma direccion de 1a

fuerza gravitatoria),

~="._ La relaci6n entre el cambio de energfa potencial electrlca y el mo-

vimiento en un campo electrico es importante y la utilizaremos con frecuencia.

Esadernas una relaci6n cuya cornprerision verdadera no requiere mucho esfuer-

zooDedique el tiempo necesario a repasar minuciosamente el parrafo anterior y

a estudiar con cuidado las tiguras 23.2 y 23.3. jHacerlo ahora Ie sera de enorme

utilidad mas adelante!

Energia potencial electrlca de dos cargas puntuales

La idea de energia potencial electrica no esta restringida al caso especial de un

campo electrico uniforme, De hecho; se puede aplicar este concepto a una carga

puntua1 en cualquier campo electrico creado por una distribucion de carga estati-

ca. Recuerde (capitulo 21) que se puede representar cualquier distribucion de car-

ga como un conjunto de cargas puntuales, Por consiguiente, resulta util calcular el

trabajo realizado sobre una carga de prueba q o que se desplaza en el camp9 elec-

trico creado por una sola carga puntual estacionaria q.

Consideraremos en primer terrnino un desplazamieuto a 1 0 largo de la.linea ra -

dial de la figura 23.4, del punto a al punto b. La fuerza sobre q o esta dada por la

ley de Coulomb y su componente radial es

.. F = _1_ q q o (23.7)I' 47TEO r2

Si q y q o tienen el mismo signo (+ 0-), la fuerza es de repulsion y F,es positive; si

las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atraccion y F , . . es negativa. La

fuerza no es constante durante el desplazarniento yes necesario integrar para calcu-

lar el trabajoW(j-';b

realizado sobre q o por esta fuerza conforme q o se desplaza de a ab . Resulta que

Jr , ' J r , 1 q q o q q o ( 1 1 ) ,

W,l-+b = Frdr = ---2 dr =---'- - --

" 1'" 411Eo r 47TEO ra rb(23.8)

El trabaj 0 realizado por la fuerza electrica en el caso de esta trayectaria en particu-

lar dependesolo de los puntos extremos.

De hecho, el trabajo es el mismo en todas la s trayectorias posibles de a a b. Pa-

ra probarlo, consideremos un desplazamiento mas general (Fig. 23.5) en el que a

y b no s ec en cu en tran s ob re la misma linea rad ial. De Ja ecuacion (23.1), e1trabaj 0

realizado sobre q o durante este desplazamiento esta dado por

J

rb

. I I ' , 1 q q oWo-+b = F cos < p e ll = -- --2 COS1 ; dl

d ri J 4 7 7 E o r

Pero Ia figura muestra q_,ueos ¢dl = dr . Es decir, el trabajo realizado durante un des-

plazamiento pequefio dl depende unicarnente del cambio dr de la distancia r entre las

cargas;que es la com pon en te radial del desplazamiento, Par consiguiente, la ecua-

ci6n (23.8) es valida incluso con respecto a este desp1azamiento mas general; el tra-

bajo realizadosobre qo por el campo electrico E producido par q depende s610de "«

Yrbi 110 de los detalles de la trayectoria. Asimismo, si q o regresa a su punto de parti-

da a p a r un camino diferente, el trabajo t.otalrealizado en el desplazamiento de un

viaje de ida Yvuelta es cero (la integral de 1aecuacion (23.8) es de ra de nuevo a ra).

Estas son las caracteristicas necesarias de una fuerza conservativa, segun se defini6

en la secci6n 7.3. Par tanto, la fuerza sobre q o es una fuerza conservativa.

,I



23.1' I Energfa potencial electrica

La carga de prueba qo se

. desplaza de a a b

. siguiendo Una

trayectoria arbitraria

V em os q ue las ecu acio nes (23.2) y (2 3.8 ) s on c on sis te nte s s i d efin im o s Qqol47iEora

com o la en erg ia p oten cial U ; cuando qo esta en el punto a, a una distancia'z, de q, y

definimos qqrJ4'ITEorb com o la energfa potencial Ub cuando q o esta en el punto b, a

. u n a d is ta nc ia rb desde q. Par tan to , la en erg ia p oten cial U cuando la carga de prue-

ba q o esta a cualquier distancia r de la carg a q es

U = _._1_ q q o41Ti:O r

(en erg ia p oten cial electrica de de s c ar ga s p u nt ua le s q y qo )

'j (23.9)

Dese cu enta q ue nada hemos supuesto acerca de los Sig110S de q y q o; la ecuacion

(23.9) es valida can cualquier com binaci6n de signos. La energia potencial es po-

s itiv a s i la s c arg as q y qo tienen el m ismo s ig no (F ig . 23 .6a ), y n eg ativa si tien en sig -

n os o pu esto s (F ig . 23.6b ).

Tenga cuidado de no confundir la ecuaci6n (23.9) de la energfa po-

tencial de dos cargas puntuales con la expresi6n similar de la ecuaci6n (23.7)

que corresponde a la componente radial de la fuerza electrica que una carga

ejerce sobre la otra. La energfa potencial U es proportional a l/r; en cambio, la

componente de fuerza F; es proporcional a II?

La energia potencial siem prese define en relacion con cierto punto de refereneia

donde U = O . E n la ec ua cio n (2 3.9 ), U es cera cu an do q y go estan sep arados p ar u na.

d is tanci a i nf in i ta y r = = 00. Par consiguiente, U representa. el trabajo que el cam po de

q realizaria so bre la carg a de p rueb a q o si qo se desp laza desde u na distan cia in icial

r a 1 i nfin ito . S i q Y q o tienen el m ism o signa, 1 a in teraccion es de repulsion , este tra-

b ajo e s p os itiv e y U es p os itiv a e n c ualq uie r s ep ara cio n finita (F ig . 23.6 a). Si las car-

gas tienen signos opuestos, la in teraccion es de atraccion , el trabajo realizado es

negativo y U es n eg ativ a (F ig . 2 3.6 b).

23.5 81 trabajo que eJ campo electric

1acarga q realiza sobre la carga qo nodepende de la trayectoria seguida, si

lo de las distancias rQ Y rb·



.\,

.~,IIl

I t! r,

874 CAPiTULO 23 I Potencial electrico

Conviene hacer hincapie en que Ia energia potencial U dada por la ecuacion

(23.9) es una propiedad-compart ida de las dos cargas q y q o ; es consecuencia de

la interaccion entre estes dos cuerpos. Si Ia distancia entre las dos cargas cambia

de fa arb, eI campo de energia potencial es eJ mismo ya sea que q se mantenga fi-

ja y q o se desplace 0 que qo se mantenga fija y q se desplace. Por esta raz6n, nun-

ca empleamos la Frase "Ia energia potencial electrica de una carga puntual", (De

la misma manera, si una masa m esta a una altura h . sabre la superficie terrestre, la

energia potencial gravitatoria es una propiedad compartida de la mas a m y la Tie-

rra. Insistimos en ello en las secciones 7.1 y 12.3).

La ley de Gauss nos dice que eI campo electrico afuera de cualquier distribu-

ci6n de carga esfericamente simetrica es el mismo como si toda la carga estuvie-

se concentrada en el centro. Debido a eso, la ecuaci6n (23.9) tambien es valida si

la carga de prueba qo esta afuera de cuaIquier distribuci6n de carga esfericamente

simetrica con una carga total q a una distancia r del centro.

uq ( l Q O

foE- r_"

0

q qo

I 'f-r~

23.6 Graficas de 1aenergia potencial V

de dos cargas puntuales q y qo en funcion de

s u s epa r ac ion r. (a) g , qo t ienen el rnismo signo

o

q

(b) g . qo tienen signos opuestos

Ejemplo- 23.1 Conservacien de ene rg ia con fu erza s electricas

Un positron (la antiparticula del electron) tiene una masa de 9.11 X

J 0-3 I kg y rum carga +e =+ 1.60 X 10-1 9 C . Suponga que lID posi-

tron se desplaza en las cercanias de una particula alfa, cuya carga es

+2e =3.20 X 10-1 9 C. La pa rt icu la a lf a tiene una masa mas de 7000

veces mayor que la del positron; por tanto, suponemos que esta en re -

paso en cierto marco inercial de r ef er en ei a. C u an do el positron esta a

1.00 X 10-10 m de 1aparticula alfa, se aleja directamente de esta con

una rapidez de 3.00 X 106 m/s. a) lCual es la rapidez del positron

cuando las dos partieulas estan a 2.00 X 10-10 m una de la otra? b)LCuaJ es l a r apid ez del positron cuando esta muy lejos de l a pa rt icu la

alfa? c) lComo cambiaria la situacion si la particula en movimieato

fuem un electron (m is ma rn as a que el positron pero carga opuesta)?

" " " r ; u DIDENT IF ICAR: La fuerza electrica entre el positron y la particula al-

fa es conservative; de esta manera, se conserva la energia meeanica

(cinetica mas potencial).

P L A N T E A R . : Las energias cinetica y potencial en dos puntos cuales-

quiera a y b estan relaeionadas por Ia ecuacion (23.3), K; + U; =

K b + Vb , Y 1aenergia potencial a cualquier distancia r esta dada por

la ecuacion (23.9). Tenemos informacion completa acerca del siste-

ma en un punta a donde las dos cargas estan a 1.00 X 10"10m una

de otra. Se emplean las ecuaciones (23.3) y (23.9) para hallar la ra-

pidez en dos valores diferentes de r en los incises (a) y (b), y en eI

case donde la carga +e se sustituye pOI -e en el inciso (c).

EJECUTAR : a) En esta parte, rb =2.00 X 10-1 0 m y se desea hallar

la rapidez final Vb del positron. Esta aparece en la expresion de Iaenergia cinetica final, K b = tmvb2; despejando K b de la ecuacion de

conservacion de la energia se obtiene

K b =K " + V" - U ;

Los valores de las energias del lado derecho de esta expresion SOIl

1 ? 1 (K = -mv - =- 9.11" 2 a 2

= 4.10 X 10-18 J

1 qqoV =----

" 4 '1TE O r a

X 10-31 kg) (3.00 X 106 m/s )?



23.1 I Energta potencial electrica

= 4.61 X 1O~13 J

(3.20 X 10-19 C)( 1.60 X 10-19 C)

U , =(9.0 X 109N· m2/C 2) 2.00 X 10-10 ill .

= 2.30 X 10- & J

Por tanto, la energla cinetica final es

. 1 2

s,= " 2 mv b

= 4_lOx 10-18 J + 4.61 X 10-18 J - 2.30 X 10-18 J

= 6.41 X 10-18 1

y la rapidez final del positron es

2(6.41 X 10-18 J)----------:-:-- =·3.8.X lOomIs

9.11 X IO-J1kg

La fuerza es de repulsion; asi, el positron se acelera conforme se

aleja de 1£1part icula a lfa estacionaria.

b) Cuando las posiciones finales del positron y de la p ar ti cu la a lf a

estan muy lejos una de otra, 1a separacion fb tiende a infinite y 1£1

energia potencial final Vb tiende a cera, Entonces la energia cineti-

ca final del positron es

K b = K ; + Va - Vb = 4, J O X 10-18 J + 4.61·X 10-1 & J - 0

=8.7IXlO-18 J ' .

y su rapidez final es

- Vb

= ! ! f - =2 ( 8 .,7 1 X 1 0 -181)----------:-:-- = 4.4 X 106 m/s9.11 x 10-31 kg

Comparando con el incise (a), vemos que a medida que el positron

se desplaza de r = 2.00 X 10-10ill a l infinite, el trabajo adicional

que el campo electrico de 1 £ 1 particula alfa realiza sobre el positron

aumenta su rapidez aproximadamente un 16%. Esto sedebe

1£1uerza eleetrica disminuye rapidamentecon Ia distancia,

c) Si la carga en movimiento es negativa, 1£1fuerza sabre ell

a tr ac cio n e n v ez de repulsion, yes de esperar que disminuya s

cidad en vez aument ar la , La tmica di ferenc ia en lo s ca lc ul os

dentes es que ambas cantidades de energia potencial son neg

Del inciso (a), a u na -distancia tb=2.00 X 10-10 m se tiene

K b = K ; + Va - Vb

= 4.10 X 10-18 J + (-4.61 X 10-18 J)

- (-2.30 X 10-18 J)

= 1.79 X 10-IS J

[ 2 K ; ,U 0 = - v - - - - ; ; ;= 2.0 X 10"m/s

Del incise (b), en tb=co 1 £ 1 energia cinetica del electron seria

recer,

s,=s, + Va - Vb = = 4-10 X 10-18 J

+ (~4.61 X 10-18 J) - 0

=-5.1 X lO~19 J

[Pero las energias cineticas nunca son negativasl Este resul!ad

nifica que el electron jamas alcanza r o =""; la fuerza de atr

detiene el electron a una distancia finita de la particula alfa. :

tron comienza entonces a regresar haciala particula alta. Se

despejar la distancia to a la que el electron se detiene momen

mente haciendo K h = = 0 en la ecuacien de eonservacion de l

gia mecanica (vease el ejercicio 23.8).

EVALUAR : Es provechoso comparar nuestros calculos.con l

fa 23.6. En los incises (a) y (b) las cargas tienen elmismo

puesto que fb > fa' la energia potencial Vb es menor que U a

incise (c) las cargas tienen signos opuestos; puesto que ro>

energia potencial Vb es mayor (es decir, menos negativa) que

Energia potencial e !le ctric a c on v aria s c arg as p un tu ale s

S up6n ga se q u e e l c ampo e le ctr ic o E en e 1 q u e s e d es pla za la c ar ga go se debe a varias

ca rgas pun tua le s g 1, g 2 , g 3 ,' " a d i st anc ia s r ], 1 '2 , r3 ,' " de go, COlTIO en la figura 2 3.7 . P or

ejemplo, q o p odria s er u n io n p o sitiv o q u e s e d es pla za e n p re se nc ia d e o tro s io n es ( Fig .

23 .8 ). E 1 c ampo e le ctr ic o total en cada p un to es la suma vect o ri al d e lo s cam p os de-

b ido s a l as c ar ga s i nd iv idual es , y e l tra ba jo to ta l q ue se realiza sobre q o du ran te cual -

23.7 La energia potencial esociada c

una carga q o en el punto a depende d

-otras ca"rgas'qj, q2 y q " asi como de

distancias fl' ri Yr, respecto £11unto



876

23.8 Este motor ionico para vehicnlos es-

- paciales expulsa un chorro de iones xenon

posit ivos (Xe +) co n una rapidez de mas de30 km/s. La propulsion que produce esmuy pequefia (alrededor de 0.09 newton),perc se puede mantener continuamente

durante varios dias, en contrastecon los

coheres quimicos, que generan L U 1 a granpropulsion durante un tiempo breve (veasela Fig. 8.29). Estos motores ionicos se han

utilizado para hacer maniobras con navesespaciales interplanetarias.

C A P1TU L 0 2 3 I P ote nc ia l e le ctr ic o

quier desplazamiento es la suma de las contribuciones de las eargas individuales. De

la ecuacion (23.9) se concluye que la energia potencial asociada conla carga de prue-

ba q o en elpunta a de la figura 23.7 es la suma algebraica (no la suma vectorial)

U = _!f2_(qj + q2 + q3 + ...) = . q o - 2:~41TE O ',.) 1'2"3 41TE O i ri

(carga puntual q o y conjunto de cargas q i)

(23.10)

Cuando qo esta en un punta diferente b, la energia potencial esta dada par la

misma expresi6n, pero 1'], r 2, . .. son las distancias de q), q2,'" al punto b. El traba-

jo realizado sobre la carga qo cuando esta se desplaza de a a b a 10 largo de cual-

quier trayectoria es igual a la diferencia U; - Ub entre las energias potenciales

cuando qo esta en a y en b.

Podemos representar cualquier distribucion de carga como un eonjunto de ear-

gas puntuales; por tanto, 1 3 ecuacion (23.I 0) exhibe que siempre se puede hallar

una funcion energia-potencial para cualquier campo electrico estatico. Se sigue

que con respecto a cada campo electrlco debido a una distrfbucion de cargaestatica, la fuerza ejercida por ese campo es conservativa.

Las ecuaciones (23 .9)y (23.10) definen U como cero cuando todas las distan-

cias r), r2,'" son infinitas, es decif, cuando la carga de prueba qo esta muy lejos de

todas las cargas que produeen el campq. Como en toda funcion de energia poten-

cial, el punto donde U = 0 es arbitrario; siempre se puede agregar una constante

para hacer U igual a cero en cualquier punto que se elija. Por 10 regular, en los pro-

blemas de electrostatica 1 0 mas simple es decidir q ue ese punto este en el infinite.

-Cuando analicemos los circuitos electricos en los capitulcs 25 y 26, otras opcio-

nes seran mas convenientes.

La ecuacion (23.10) da la energia potencial asoeiada can la presencia de la car-

ga de prueba qo en el campo E producido por q), q2, q3,'" Pero tarnbien interviene

una energia potencial en el acto de reunir estas cargas, Si en un principia las car-gas q), Q2, Q3, '" estan todas separadas unas de otras por distancias infinitas, y Iue-

go las juntamos de modo que la distancia entre q i y C J . i sea rl/' la energia potencial

to ta l U es la suma de las energias potenciales de interaccion de cada par de-cargas.

Esto se puede escribir como

U= _1_ Lqiq j

41TEO i<j rij

(23.11 )

Esta suma se extiende a todos los pares-de cargas; no se hace que i =j (porque eso

seria una interaccion de una carga consigo misma), y se incluyen s610terminos con

i <j para asegurar que se cuente cada par s610 una vez. As], para tener en cuenta

la interaccion entre q3 y q4 se incluye un terrnino con i ""3 yj = 4, pero no un ter-

mino eoni =

4 Yj =

3.

Interpretacion de la energia potencial electrlca

Como comentario final, he aqui dos puntas de vista sobre la energia potencial elec-

trica. La hemos definido en terminos del trabajo realizado par el campo electrico

sabre una particula can carga que se desplaza en el campo, de igual modo que en

el capitulo 7 definimos Ja energia potencial en terminos del trabajo realizado par la

gravedad a por un resorte. Cuando una particula se desplaza del punto a al punta b,

el trabajo que sabre ella realiza el campo electrico es Wa->b = Ua - U ". Por tanto, la

diferencia de energiapotencial Ua - Ub es igual al trabajo que lafuerza electrica

re aliza cua ndo L ap artlcula se de sp la za de a a b. Cuando U a es mayor que U b, el



. . .

23,1 1.Energfa potencial electrica

campo realiza trabaj0 positivo sobre la particula cuando esta "cae". de un punto de

mas energia potencial (a) a unpunto de menos energia potencial (b),

No obstante, otro punto de vista, equivalente, consiste en considerar cuanto

trabajo se tendria que hacer para "subir" una particula de un punto b , donde la

energia potencial es Ui, a un punto a donde la energia potencial tiene un valor ma-

yor U ; (par ejernplo, empujar dos cargas positivas para acercarlas). Para mover la

particula lentamente (a modo de no impartirle energia cinetica) necesitarnos ejer-

cer una fuerza externa adieional F e x . que es igual y opuesta a la fuerza del campo

electrico y realiza trabajo positive. La diferencia de energia potencial ~,~ Ub se

define entonces como el trabajo que debe realizar una fuerza externa parq des-

plazar la particula lentamente de b a a contra lafuerza electrica .,'Puesto que r.:es el.negativo de la fuerza del campo electrico y el desplazamiento es endireccion

opuesta, esta definicion de la diferencia de potencial U; - Ub es equivalente a la

que se dio anteriormente, Este otro punto de vista tambien es valido si U; es me-

nor que Vb , 1 0 que corresponde a "bajar" la particula; un ejemplo es el alejamien-

to de dos cargas positivas una de otra, En este caso, U (I - U ; es de nuevo igual al

trabajo realizado par la fuerza extern a, pero ahora este trabajo es negativo.

Haremos usa de estos dos puntos de vista en la s ec cio n s ig u ie nte a f in de interpre-

tar el significado del potenc ial electrico, 0 energia potencial por unidad de carga,

Ejemp lo

23.2 Sistema de cargas puntuales

Dos cargas puntuales estan sobr e 'eI ejex: q 1 = -e en x = 0 y q 2 =

+e en x = . a) Halle el trabajo que debe realizar una fuerza exter-

na para traer una tercera carga q] = +e desde el infinite hastax ='2a. b) Halle Jaenergia potencial-total del sistema de tres cargas.

lid.HOm!

ID EN T IF IC A R Y P LA N TEA R : La figura 23.9 muestra.la disposici6n

final de las tres cargas Para hallar el trabajo necesario para traer q 3

desde el infinite se emplea la ecuacion (23.10) para encontrar la

energia potencial asociada con qJ en presencia de q , y Q 2 ' Ell segui-

da se utiliza la ccuaci6n (23.11) para hallar la energia potencial to-

tal del sistema.

EJECUTAR : a) EI trabajo que una fuerza externa F O X ! debe reaIizar

sobre q) es igual ala diferencia entre dos cantidades: la energia po-

tencial U ascciada con q 3 wando esta se halla en x = 2a y la ener-

gia potencial cuando la carga esta infinitamente lejos, La segunda

x

x = = o .·'(=a x =2a

23.9 i,Cuat es la energia potencial total de este sistema de cargas?

fuerza es ceroipor tanto, el trabajo que se debe realizar es

U Las distancias entre las cargas son 1"13 = 2a y rlJ =a; as

de la ecuaci6n (23.10),

. q 3 ( q l Q 2 ) + e ( - e + e ) + eW=U=---+- =----+- =--4 7 T E O 1")3 /"23 47TEo 2a a 8 7 T E

Si q ; se trae desde I infinito a 1 0 largo del eje de las x, espor ql pero es repelida mas intensamenre por q2; por tanto,

ciso realizar rrabajo positive para empujar q) hasta la posicion

der = = 2a.

b) La energia potencial total del conjunto de tres cargas est

por Ia ecuaci6n (23.11):

U = _1_ 2: Qi'l.! = _1_(QICJ2 + qlq3 + I hq3)

4 7 T i . ' u i<j I"ij 4 7 i € o r12 1 " 1 3 r2 J

= _l_((-e)(e) + (-e)(e) + (e)(e)) = _~e

4 7 i E o a 2a a 8 m o o

EVALUAR : Puesto que el resultado del inciso (b) es negative,

tema tiene menos energia potencial que si las tres cargas estuseparadas pOI' distancias infinitas, Una fuerza externa tendri

realizar trabajo negative para traer las tres cargas desde el inf

fin de former el arreglo complete, y tendria que realizar traba

sitivo para llevar las tres cargas de regreso al infinito,

i.Cual es 1aenergia potencial total del sistema de tres cat'gas del ejernplo 21A (sec-

cion 21.3)? (,Es positive 0 negativo el resultado? {,Cllal esla interpretacion flsica

de este signo?



878

Punto a

Punto b

V a h = 1.5volts

23.10 El voltaje de esta bateria es igual a

la difereneia de potencial V a h = V . - V b en-

tre su borne positive (punto a) y su bornenegative (punto b).

CA ph U L 0 23 I Potencial electrico

23.2- I Potencial electrico

\ En la secci6nprecedente examinamos la energia potencial U asociada can una car-

ga de prueba qo en un campo electrico, Ahara nos proponemos describir esta ener-

gia potencial sabre una base de "par unidad de carga", del mismo modo que uncampo electrico describe la fuerza par unidad de carga sabre una particula can oar-

ga que se halla ell el campo. Esto nos lleva al concepto depotencial electrico, al que

se suele Hamar simplemente potencial. Este concepto es muy util en los calculos re-

lacionados con energias de particulas con carga. Tambien facilita muchos calculos

de campos electricos, porque el potencial electrico esta intimamente relacionado

can el campo electrico E . Cuando se necesita hallar un campo electrico, sue1e ser

mas f ac il d ete rm ina r p rime ro el potencial y luego hallar elcampo a partir de 61 .

. Un potencial es energia potencial por unidad de carga. Se define el potencial

Ven cualquier punto de un campo electrico como la energia potencial Upor uni-

dad de carga asociada can una carga de prueba q o en ese punta:

UV= - a U = q oV (23.12)

q o

La energia potencial y la carga son escalares; por consiguiente, el potencial es una

oantidad escalar. Sus unidades se hall an, can base en la ecuacion (23.12), divi-

diendo las unidades de energia entre las de carga. La unidad SI de potencial, lla-

mada un volt (1 V) en honor del cientifico Italiano y experimentador electrico

Alessandro Volta (1745-1827), es igual a 1joule par coulomb:

1 V = 1 volt = 1 J /C = 1 joule/coulomb

. Expresemos la ecuaci6n (23.2), que iguala el trabajo ~a1izado par la fuerza elec-

tricadurante un desplazamiento dea ab can la cantidad-At/ = -{U&- Ua),sobre una

base de "trabajo par unidad de carga". Al dividir esta ecuacion entre q o se obtiene

W ; ; b = - ~~ = -(~: - ~:) = - ( V b - VJ = v , - V,) (23.13)

donde Va = UJqo es la energia potencial por unidad de carga en el punta a, y ana-

logamente en el caso de Vb ' Llamamos a VaY Vb el potencial en el punto a y po-

tencial en el punta b, respectivamente. Par tanto, el trabajo par unidad de carga

realizado par la fuerza electrica cuando un cuerpo can carga se desplaza de a a b

es igual al potencial en a rnenos el potencial en b.

A la diferencia Va - Vb se le llama el potencial de a con respecto a b; a veoes se

abrevia esta diferencia como Vab = Va - Vb (dese cuenta en el orden de los subindi-

ces). A esto se Ie suele Hamar la diferencia d-epotencial entre a y b, pero resulta am-

bigua a menos que se especifique cual es el punta de referencia. En los circuitos

electricos, que analizaremos en capitulos siguientes, a la diferencia de potencial en-

tre dos puntas se le suele llamar voltaje (Fig. 23.10). La ecuaci6n (23.13) establece,

par tanto, que Vab , el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo realizado

por la fuerza electrtca cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a h.

Otra forma de interpretar la diferencia de potencial Vab de la ecuaci6n (23.10)

consiste en adoptar el otro punta de vista mencionado en la secoi6n 23.1. Segun

este punto de vista, Ua - Ub es la cantidad de trabajo que debe realizar una fuerza

extern a para desplazar lentamente una particula.de carga q o de b a a contra la fuer-

za electrica. El trabajo que la fuerza externa deber realizar por unidad de carga es

entonces (U a - U b)klo = Va - Vb = Vab. En otras palabras, Vab• el potencial de a

con respecto a b, esigual a]. trabajo que es preciso realizar para desplazar len-

tamente una UNIDAD de carga de b a a contra la fuerza electriea.



23.2 I Potencial electrico

Un instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos puntos recibe el

nombre de voltimetro. En el capitulo 26 analizaremos el principio del tipo comun

de voltimetro de bobina m6vil. Existen ademas dispositivos de medicion de po-

tencial mucho mas sensibles que utilizan la amplificacion electronica. Son comu-

nes los instrumentos capaces de medir diferencias de potencial de 1 J . . L V , y se

alcanzan sensibilidades de hasta 10-12 V

Para hallar el potencial V debido a una sola carga puntual q, se divide la ecua-

ci6n (23.9) entre e «

(pmengillJ debido a una cargapu~.al) (2i;t4)~, -. . . . . . '(

- .

donde res la distancia desde la carga puntual q al punto en el que se evalua el po-

tencial. Siq es positiva, el potencial que crea es positive en todos los puntos; si q

es negativa, produce un potencial que es negative en todas partes. En ambos ca-

sos, Ves igual a cero en r = 00, a una distancia infinita de la carga puntual. Dese

cuenta que el potencial, como el campo electrico, es independiente de la carga de

prueba q o que se utiliza para definirlo.

De modo analogo, se divide la ecuaci6n (23.10) para hallar el potencial debido

a un conjunto de cargas puntuales:

v =Q =-_1_ L _ 'Qq o 4 :JH'o · i r, _

(potencial debido a un,conjunto de cargas puntuales)

En esta expresion, r, es la distancia de la zesima carga, q i, al punto en el que se eva-

Ilia V. Si el campo electrico debido a un conjunto de cargas puntuales es la SLUna

. vectorial de los campos producidos por cada casga, en cambia el potencial electri-

co debido a un conjunto de cargas puntuales es la sumaescalar de los potenciales

debidos a cada carga. Cuando se tiene una distribucion continua de carga a 1 0 lar-

go de una linea, en una superficie 0 en todo un volumen, se divide la carga en ele-mentos dq, y 1asuma de la ecuaci6n (23.15) se transfonna en una integral:

(23.15)

~-- r-: - 1 J dqV=-- -

~ 4 1 7 'Eo. r

(potencial debido a una distribucion continua de carga)

(23.16)

donde r es la distancia del elemento de carga dq al punto de campo donde se eva-

Ilia V . Resolveremos varios ejemplos de casos de este tipo. EI potencial definido

por las ecuaciones (23.15) y (23.16) es cero en los puntos infinitamente alejados

de todas las cargas. Mas adelante encontraremos casos en los que la distribucion

misma de carga se extiende hasta el infinito. Verernos que en tales casos no se

puede fijar V = 0 en el infinite y sera necesario tener cuidado al aplicar e inter-

pretar las ecuaciones (23.15) y (23.16).

CU1A 0 Antes de profundizar mucho en los pormenores de c6mo calcular

el potencial electrlco. conviene hacer un alto y recordar que es el potencial. E I

potencial electrico en un punto determinado es la energia potencial que esta-

ria asociada can una carga unitaria situada en ese punto. Esta es__1!az6n por la

que el potencial se mide 'en joules par coulomb, 0 volts. Tenga presente, ade-

mas, que no es necesario que haya una carga en un punto dado para que exis-

ta un potencial Ven esepunto. (De igual modo, urr campo electrico puede existir

en un punto dado aunque no haya una cargaahf que responda al campo).



880

A c t l · VP h y s c s

11.13 Energfa potencial electrica y

potencial

(a)

(b)

23.1 1 (a) C arg a p untual positiva. (b) Carga

p un tu al n eg ativa. E n a mb os c ases, al desp la -

zarse en la direccion de E, e l p ote nc ia l e le c-

trico V disminuye; at d es pla za rs e e n

direccio n o pu esta a E, Vaumenta.

CAPiTOLO 23 I Poten cial electrico

Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales, la ecuacion (23.15). es ordina-

riamente el medio mas facil para calcular el potencial V.Pero en ciertos problemas

en los que se conoce el campo electrico 0 se puede hallar sin dificultad, es mas fa-

cil determinar Va partir de E . La fuerza P sobre una carga de prueba q o se puede

escribir como P = q o E , as i que, segun la ecuaci6n (23.1), el trabajo realizado porla fuerza electrica cuando la carga de prueba se desplaza de a a b esta dado-por

Wa->/> ". f 'r.a = r b q O E ' d lJ a J a

Si se divide esto entre q o y se compara el resultado con la ecuaci6n (23.13), resul-

ta que

f b t .Va - Vb =1· dl = Ja E cos if; dl

(diferencia de potencial como una integral de E )

(23.17)-!

EI valor de V a - Vb es independiente de la trayectoria seguido para ir de a a b , del

mismo modo que Wa->b es independiente de la trayectoria. Para interpretar la ecua-

cion (23. J 7), recuerdese que E es la fuerza electrica par unidad de carga sobre una

carga de prueba. Si la integral de linea f : ; it -d l es positiva, el campo electrico reali-

za trabajo positivosobre una carga positiva de prueba conforme esta se desplaza de

a a b. En este caso la energia potencial electrica disrninuye a medidaque la carga

de prueba se desplaza, por 10 que la energia potencial por unidad de carga tambien

disminuye; por tanto, Vb es menor que Va Y Va - Vb es positiva,

La figura 23.11 a muestra una carga puntual positiva, La direcci on del campo

electrico se aleja de Ia carga y V = q ! 4 ' I T E o r es positive a cualquier distancia fini-

ta de esta , Si nos alejamos de la carga, en la direcci6n de E , nos desplazamos ha-

cia valores mas pequefios de V; S 1 nos acercamos a la carga, en la direcci6n

opuesta a E , avanzamos hacia valores mas gran des de V. En el caso de lacarga

puntual negativa de la figura 23.11 b, E esta clirigido hacia la carga y V = q l 4 ' I T E o r

es negativoa cualquier distancia finita de esta, En este caso, si nos desplazamos

hacia la carga, 10 hacemos en la direccicn de E y enla direccion de V decreciente

(mas negativo). Al alejarnos de la carga, en la direcci6n opuesta a E , nos despla-zamos hacia valores crecientes (menos negativos) de V. La regia general, valida

para cualquier campo electrico, es: desplazarse en la direccion de E significa

avanzar en la direccion de V decreciente, y desplazarse contra la direccion de Esignifica avanzar en la direccion de V creciente.

Adernas, una carga positiva de prueba qoexperiments una fuerza electrica en la

direcci6n de E hacia valores mas pequefios de V; una carga negativa de prueba ex-

perimenta una fuerza opuesta a E , hacia valores mas grandes de V . De esta mane-

ra, una carga positiva tiende a "caer" de una region de potencial elevado a una de

potencial mas bajo. Sucede 1 0 contrario con una carga negativa.Dese cuenta que la ecuacion (23.17) se puede escribir tambien como sigue:

iG _, _,

Va - Vb = - bE . dl (23.18)

Esta tiene un signo negativo en comparacion con la integral de la ecuacion (23.17) Y

los Iimites estan invertidos; por tanto, las ecuaciones (23.17) y (23.18) son equivalen-

tes. Pero la ecuacion (23.18) tiene una interpretacion un poco diferente. Para despla-

zar lentamente una carga unitaria contra la fuerzaelectrica, es preciso aplicar una

fuerza externa por unidad de carga igual a - E , igual y opuesta a la fuerzaelectricapor unidad de carga E . La ecuacion (23.18) afirma que V a - V b = V a h > el potencial de



.23.2 I Potencial electrico

, a cc on re sp ecto a b, es igu al al trabajo par un idad de carga realizado par esta fu erza

extemapara desplazar una carga unitaria de baa. ESiaes lamisma interpretacion di-

ferente que comentamos can respecto a la ecuacion (23.13).

Las ecuaci ones (23.17) Y(23.18) muestran que la unidad de diferencia de po-

tencial (lV) e s ig ual ala unidad de campo electrico (1 N/C ) multiplicada por la

unidad de distancia (1 Ill). Por tanto, la unidad de campo electrico se puede expre-

sar como 1 volt par metro (1VIm) 0 como 1N/C:

1 V1m = 1 volt/metro = 1 N/C = 1 newton/coulomb

En la practica, la unidad usual de magnitud de campo electrico es el volt par metro.

La magnitud e de la carga del electron permite definir una unidad de energia

que result a util en much os calculos de sistemas at6micos y nucleares. Cuando una

particula con carga q se desplaza de un punto donde el potencial es Vh a un punta

donde es V a > el cambio de energia potencial U es

U; - Ub = q (Va - Vb) = qVab

Si la carga q es igual a la magnitud e de la carga del electr6n, 1.602 X 10-19 C, Y

la diferencia de potencial es Vab = = 1 \ S el cambia de energia es

U, - U, = (1.602 X 1O-19C)(1 V) = 1.602 X 1O-19J

Esta cantidad de energia se define como 1electron volt (l eV):

1eV = 1.602 x 10-19 J

Es frecuente e 1 usa de los multiples m.e\~keY, MeV, GeV y TeV

Cuando una particula can carga e se desplaza a traves de una diferencia de poten-

cial de un volt, el cambia de energia potencial es de leV Si la carga es algun multi-plo de e,par ejemplo,jYe, el cambiode energia potencial en electron volt es Nveces

la diferencia de potencial en volt. Par ejemplo, cuando una particula alfa, cuya carga

es 2e, se desplaza entre dos puntas can una diferencia de potencial de 1000 V , el cam-

bio de energia potencial es de 2(1000 eV) =2000 eV Para confirmar esto escribimos

u, - U I) = qVah = (2e)( 1000 V) = (2)( 1.602 X 10-19 C)(IOOO V)

= 3.204 X 10-16 J = 2000 eV

Aunque hemos definido el electron volt en terminos de energiapotencial, se pue-

de usar con cualquier forma de energia, como la energia cinetica de una partioula en

movimiento. Cuando hablamos de un "proton de U11mil10nde electron volt", nos re-

ferimos a un proton con una energia cinetica de un millon de electron volts

(1 MeV), igual a (106)(1.602 X 10-19 J) = 1.602 x, 10-13 J (Fig. 23.12).

23.12 Este acelerador del Fermi Natio

Accelerator Laboratory en Illinois, im

a los protones una energia cinerica de

MeV (4 X 108eV). Etapas adicionales

aceleracion aumentan SL l energia cinet

980 Gev, 0 0.98 TeV (9.8 X lOll eV).

Ejemplo

23.3 Fuerza electrlca y potenc ia l e lectr ico

Un proton (carga +e = = 1:602 X 10-19 C) se desplaza en linea recta

del punto a al punto b dentro de un acelerador lineal, una distancia to-

tal d = 0.50 m. El campo electrico es uniforrne a 1 0 largo de esta li-

nea y su magnirud es E = L5 X 107 Vim =1.5 X 107 N/C en la

direccion desde a a b . Halle a) la fuerza sobre el proton; b) el trabajo

que el campo realiza sobre el; c) La diferencia de potencial V a - V b '

' 1 1 ] l i t e [ 1 1 1 1

IDENTIFICAR Y IJlANTEAR: Se proporciona eJ campo elec

por tanto, es sencillo hallar la fuerza sobre el proton. Adema

sencillo calcular el trabajo realizado por esta fuerza sobre el p

porque E , es uniforrne, 1 .0 que significa que I~uerza 'es const



882 CAP f TU L0 23 I Potencial electrico

Una vez conocido el trabajo, se halla la diferencia de potencial me-

diante la ecuacion (23.13).

EJECUTAR : a) La fuerza tiene la misma direccion que el campo

electrico y su magnitud es

F = q E =(1.602 X 10-19 C)( 1.5 X 107 N/C )

= 2.4 X 10-12 N

b) La fuerza es constants y tiene la misma direccion que el despla-

zamiento; por tanto, el trabajo realizado es

Wa-4b = Fd = = (2.4 X 1O - '2N)(O.50m) = = 1.2 X 1O -12J

1 eV= (1.2 X 10-12J)------

1.602 X 10-19 J

= 7_5 X 106 eV = 7.5 MeV

c) Segun la ecuacion (23.13), la diferencia de potencial es el traba-

jo por unidad de carga, que es

Wa-4b 1.2 X 10-12 J _ 6

V a - v , =-q-= 1.602 X 10-19 C = 7.5 X 10 J /C

= 7.5 X 106 V ::= 7.5 MV

Este resultado se obtiene incluso de manera mas facil recordando

que un electron volt es igual a un volt multiplicado por la carga

Dado que el trabajo realizado es de 7.5 X 106 eVy la carga es e, l

diferencia de potencial es (7.5 X 10"eV)/e = = 7.5 X 106V.

EVALUAR : El resultado del inciso (c ) se comprueba calculando un

integral del campo electrico mediante las ecuaciones (23.17)

(23.18). EI angulo ¢entre el campo constante E y el desplazamien-

to es cero; par tanto, la ecuacion (23.17) se transforma en

V. - Vb = i " E C O S rJ>dl= i "Edl = E ib dl

La integral de dl desde a hasta b es simplemente la distancia d, po

10que se obtiene una vez mas

Ejemp lo

23.4 _ _ , Potencial deb ido ados c argas pun tuale s

Un dipolo electrico C011stade dos cargas puntuales, q , = + 12nC y

q ) _ = -12 nC, separadas por una distancia de 10 em (Fig. 23.13).

Calcule los potenciales en los puntos a, b ye sumando los pote~cia-

les debidos a una u otra carga, como en la ecuacion (23.15).

i .

' 1 1 ) ! 1 [ 3 1 1 1 1

ID EN TIF IC AR Y P LA NT EA R: Este ordenamiento de cargas es rnis-

mo del ejemplo 21.9 (seccion 21.5). En ese ejernplo calcu1amos el

campo electrico en cada punto efectuando una suma vectorial. En

este caso calcularemos el potencial electrico en cada punto efec-

tuando la surna algebraica de la ecuacion (23.15):

EJECUTAR : En el punta a el potencial debido a la cargapositiva q, es

_I_q] = (9.0 x 109N'm2/C2)12X 1O-9C

47TEO r, 0.060 ill

= 1800 N·mlC

=1800 llC = 1800 V

y el potencial debido a la carga negativa q 2 es

1 q (-12 X 10-9 C)- - _ _ 3 _ = (9.0 X 109 N. m21 C 2) ___c___ -----'---

47TEO r2 0.040 m

= -2700 N .m/C

::= -2700 llC = -2700 V

EI potencial Va en el punta a es 1a suma de estes:

Va = 1800 V + (-2700 V) _,; -900 V

Mediante calculos similares se puede dernostrar que en el punto

el potencial debido a la carga positiva es de +2700 V;el potencial

debido a la carga negativa es de -770 V Y

Vb = 2700 V + (-770 V) = 1'930 V

En el punta c el potencial debido a la carga positiva es. . . . . . .

1 q 12 X 10-9 C--.....!. '" (9.0 X l09N'm2/C2

) = 830V4 1TEO r1 0 .13 11 1

23.13 "Cuales son los potenciales en los puntos a, b ye debidos a

e st e d ipo lo e le ct ri co ?



El potencial debido a la carga negativa es de -830 V , yel potencial

total es cero:

Vc = 830 V + (-830 V) = 0

El potencial tambien es igual a cero en el infinite (infinitamente le-

jos de las dos cargas):

23.21 Potencial electrico

EVALUAR: La eomparaci6n de este ejemplo con e121.91lluest

es mucho mas facil caIcular el potencial electrico (un escalar)

campo electrico (un vector). Aprovecharemos esta sirnplific

siempre que.sea posible.

Ejemplo

23.5 Potencial y energia potenc ia l

Calcule la energia potencial ascciada con una carga puntual de +4.0 En OIlpunto c,

nC si esta se encuentra en los puntos a, bye de la figura 23.13.

11.j!1I3(t!~1

ID EN T IF IC A R Y P LA N TE AR : Con respecto a cualquier carga pun-tua! q, la energia potencial asociada esL'=qV. Se emplean los va -

lores de V del ejemplo 23.4.

EJECUTAR: En el punta a,

o, ""q Va = = (4.0 X 10~9 C) ( -900 r/c) = -3.6 X 10-6 J

En el punto b, ~

Ub=q Vb = (4.0 X '10,-9C)( 1930 lie;) = 7 ..7 X 10-6 J

- "Todos estos va lo res corre sponden a qu e U y V son cere en el in

EVALUAR: Dese cuenta que no se rea li za tcabajo neto alguno

la carga de 4.0 nC cuando esta se desplaza del punto c al i

p o r c ua lq u ie r t ra y ec to r ia . En particular, -sea una trayectoria a

go de la bisectriz perpendicular de la linea que une las air

cargas q l y q 2 en la figura 23.13. Como se muestra en el ej

21.9 (seccion, 21.5), en los puntos sobre la bisectriz la direcc

E es perpendicular a la bisectriz, Por tanto, la fuerza sobre la

de 4.0 nC es perpendicular a la trayectoria y no se realiza trab

guno en cualquier desplazamiento a 1 0 largo de ella.

Como halla r e l potencia l por in te gra cion<,

Integrando elcampo electrico como en la ecuacion (23.17), halle el

potencial a una distancia r de una carga puntual q.

Ejemplo

23.6

1 1 Al punto b en el infinito

23.14 Como ca1cular el potencial integrando E con respecto a

una sola carga puntual.

1,.j.1I3[.8

IDENT IF ICAR Y PLANTEAR: Para hallar el potencial Va un

tancia r de la carga puntual, fijamos el punto a de la ecu

(23.17) a la distancia ~ y el punta b en el infinito (Fig. 23.14

mo de costumbre, elegimos que el potencial sea cere a una

cia infinita de la carga.

EJECUTAR: Para lIevar a cabo la integral, podemos elegir cua

camino entre los puntos a y b . .EI mas conveniente es una linea re

dial como se muestra en la figura 23.14" de tal modo gue a l estdirecci6n radial y su magnitud es dr. Si q es positiva, E y dl son

pre paralelos; por tanto, ¢=0 y la ecuaci6n (23.17) se transform

V - 0 = J ' "E dr = J ~ _ q 2 drr r 4 .. Eor

= - 4 1 Tq E or [ = 0 - (- 4 1 T q E o r )

V=-q_

4 1 T E o r

Esto concuerda can Ja ecuaci6n (23.14). Si q es negativa, itdialmente hacia adentro en tanto que d! sigue siendo radialr



884 CAP t ru L 0 23 I Potencial electrico

hacia afuera; asi que I f> ' " 1800, Puesto que cos 1800 =-1, esto agre-

ga un signo menos al resultado anterior. De cualquier rnanera, la

magnitud del campo E siempre lO S positiva, y dado que q es negati-

va, debemos escribir E =qI/41TE,~r = = - q I 4 1 t E o r , 1 0 que da otro sig-

no menos. Los dos signos rnenos se cancel an y el resultado anterior

de Ves valido can respecto a cargas puntuales de uno u otro signo,

I'I I

EVAlUAR: Se obtiene el mismo resultado mediante la ecuacio

(23.7) del campo electrico, que es valida can cualquier signa de

y escribiendo d 7 :0: r dr:

- f " ' - _ ' _ , f r o 1 q ~ ~ f ' " q ,

V - 0 = V = E . dl = -- 2" r-r dr = ~ drr' r 4 1 T E O r r 4 1 T € o r

V = = _ _ q_

4" '€or

E jemp lo

23.7 T r as lado a traves d e u na diferen da d e p otencial

En la figura 23,15 una particula de polvo de masa m = 5.0 x 10-9

kg = 5 MgY carga go = 2.0 nC inicialmente desde el repose en el

punta a y se traslada en linea recta al punto b. lemil es su rapidez u

en el punto b ?

,11.] l t 3 (,8

ID EN T IF IC A R Y P lA N TE AR : Este problema seria dificil de resol-

ver sin utilizar tecnicas de energia, pues 1a rnagnitud de la fuerza

que aetna sobre la partfcula varia a medida que la particula se tras-

lada de a a h. SoloJa fierza electrica conservativa actua sobre la

particula; de eSH rnanera, la energia n:teculli~a se conserva:

. , - , K , : + V O = K b + V b

EJECUTAR .=En e st a s it ua ci on , K~= 0 y _ . K h .= fm (i ..Las energlas po -

ienciales(U) s_eobtienen de los potenciales ( _ V ) mediante la ecuacion

(23.1 i ) , . u a =qoV" yUh = !loV h • Sustituyendoestas en la ecuacion de

conservacion de 1a energi a . y resol viendo para 1) encontramos qU<l

m

~ 1 _ 0 + . . 1 . 0 + , l.o_jI em em emI

23.15 La particula se desplaza del punta a al punto b ; su acelera-

cion no es constante.

Los potenciales se calculan par media de la eeuacion (23.15),

como se hizo en el ejemplo 23.4:

Va = (9.0 X 109

N'm2

/C")

X (3.0 X 10-9C + ( -3.0 X 10-

9 C ) ) = 1350 V

0 , 0 1 0 III 0.020 m

v, = (9.0 X 109 N'm2/C2)

(

3.0 X IO -9C . (-3.0X IO-9C))

X 0.020 m + 0.010 ill = -1350

Va - Vb = (1350 V) - (- 1350 V) = 2700 V

Por ultimo,

1!

= =

2(2.0 X 10-9 C) (2700 V)- - - ' - - - ~ _ ; _ _ - - ' - - - ' - - ' - - - - - ~ -' - - = = 4 6 m! s

5.0 X 10-9 kg

EVALUAR: Nue stro res ulta do e s raz on ab le : la ca rg a p os iriv a d e pru

ba galla rapidez conforme se traslada alejandose de la carga positi

y se acerca a le carga negativa. Para verificar la congruencia de u

dades en el renglon final del calculo, advierrase que J V=1 J/C, p

[0 que el numerador bajo el radical tiene unidades de J 0 kg· m 2/ s 2 .

Se puede aplicar exactamente este rnismo metoda para hallarI

rapidez de un electron acelerado a traves de una diferencia de p

tencial de 500 V en un tubo de osciloscopio 020 kV en un cinesc

pio de television. Los problemas del final del capitulo incluye

varies ejemplos de este tipo decalculos,~ -\

Si elpotencial electrico en cierto punta es cero, ~debe ser igual a cero el camp

electrico en ese punta? (Sugerencia: Considere el punta c de los ejemplos 23.4

21.9).



23.3 I Calculo del potencial electrico

23.3 I (a lc ulo d el p ote nc ia l electrlco

Cuando se calcula el potencial debido a una distribuci6n de carga, por 1 0 regular

se sigue una de dos rutas. Si se conoce la distribucion de carga, se,usa la ecuacion

(23·.15) 0 (23.16). 0 bien, si se sabe como depende el campo electrico de la posi-cion, se puede emplear la ecuaci6n (23. I7), que define el potencial como cera en

algun lugar conveniente. Algunos problemas requieren una combinaci6n de estos

metodos.

Al leer con detenimiento estos ejemplos, cornparelos con los ejemplos afines

del calculo del campo electrico de la seccion 21.5. Vera cuanto mas facil es calcu-

lar potenciales electric os escalares que campos electricos vectoriales. La ensefian-

za es clara: siempre que sea posible, resuelva los problemas utilizando una

aproximaci6n de energia (usando potencial electrico y energia potencial electrica)

en vez de un metodo dinamico (empleando campos electricos y fuerzas electricas).

Es tr a teg ia pa r a

r eso lve r p r obl emas Ca lcu lo del po tencia l e lectr ico

IDENTIFICA.R loS,conceptos pertinenies: Recuerde que elpo-

tencial es energia potencial par unidad de carga. Interpretar es-

ta a se ve ra ci cn y a es un gran avance,

- .

PLANTEA8_? l problema siguiendo estos pasos:

'1,. Haga un dibujo que muestre con claridad la ubicacicn de

las cargas (quepucden ser cargaspuntuales 0una distribu-

c ion con tinua de carga) y los ejes de coordenadas elegidos.

2. Indique en su dibujo la posicion del punta e n el que se

'propene calonlarel potencial elecrrico V.A veces esta po-

s ic io n s era arbitraria (par ejemplo, u n punta a : una: distan-

cia r del centro de una esfera con carga),

EJECl lTAR· fa solucion como sigue:

1. Para' hallar elpotencial debido a un conjuntc.de cargas

puntuales, use la eeuacion (23.15). Si se trata de una dis-

tribucion continua 'de carga, idee una manera "dedividirla

enelementos infinitesimales y luego utilice la ecuacion

(23,16} Lleva a cabo Ia integracion con los.limites apro-

piados pan'! incluirtoda Ia distribucion de carga. En la in -

tegral, sea cuidadoso sobre cuales cantidades geometricas

v arian y cuales se mantienen constantes,

2. ,8i seJeda el.campo -electrico, 0 si puede hallarlo median-

te·cuaiqutera: de Iosmetodos presentados en los.capirulos

21 022, puede ser mas facil ~tilizar Ia ecuacion (23.17) 0

(23.18) para calcular la diferencia de potencial entre

puntos a y h. Cuando sea apropiado, ejercite su libe

para definir V como cera en algun lugar conveniente y

ja queeste lugar sea el punto b. (En el caso de cargas

tuales-por 1 0 regular estara en el infinito. Tratandose

otras distribuciones de earga, en especial. de aquellas

se extienden por sf mismas hasta el infinite, puede

conveniente 0 necesario definir Vb como cero a cierta

tancia finita de la distribucion de carga, Esto es 10 mi

que definir U como cero en elnivel del sueloen los

blemas gravitatorios), En estas condiciones e1potencia

cualquier otro punto, por ejemplo, a, puede hallarse atir de la ecuaoion (23.17) 0 (23.18) can Vb =O .

3. Recuerde que el potencial es una cantidad escalar, n

vector. [No tiene componentes! No obstante, es pos

que deba usar componentes de los vectores E y dl al uzar la ecuacieu (23.17) 0 ( 23. J 8 ).

EVALUA .R fa respuesta: Compruebe que su respuesta conc

de can su intuid6n. Sisn resultado da Ven funcion de Ia p

cion, haga una grafica de esta funci6n para ver si tiene sent

Si conoce 0 1 campo electrico, puede, haeer una comprobac

aproximada de su resultado de V verificando que V disminuy

se traslada en la direccion de E . .

; ~__ : E j emp l o ,

'23.8~.,.-.~__. :.c.Esfe ra conducto ra con carga

Una esfera conductors salida de radio R tiene una carga total q. Halle

el potencial en todas partes, tanto afuera como adentro de la esfera,

11'lIi r 3 u DIDEN liF ICAR Y PLANTEAR : En el ejemplo 22.5 (secci6n 22.4)

aplicamos la ley de Gauss para hallar e1campo electrico en todos

los puntos de esta distribncion de carga: Haremos uso de es

tado para determinar Ven todos los puntos.

EJECUTAR: De aouerdo con el ejemplo 22.5, en todos los

-afuera de la esfera el campo es el misJ110que si se quitase l

y e sustituyese por una carga puntua1 q. Considere V =0 e



8 8 6 CAP f T U L 0 23 I Potencial electrico

~

'/

f ~ .Ii

~ ,

finite, como se hizo en el caso de una carga puntual. Par 1 0 tanto, el

potencial, en un punta situado afuera de la esfera a una distanc ia r

de su centro es el mismo .que el potencial debido a una carga pun-

tual q en el centro:

I,

i.

v =_1_:L4'lTEO r

EI potencial en lasuperf~cie de Ja esfera es V,uperficio =q/4'lTEoR.

Adentro de la esfera, E es cera en todas partes; si no fuera asi, la

carga se desplazaria dentro de la esfera, Par k11110 , si una carga de

prueba se traslada de cualquier punta a cualquierotro punta del in-

terior de la esfera, no se realiza trabajo alguno sabre esa carga. Es-

to signifies que el potencial es el mismo en todos los puntas del

interior de la esfera yes igual a su valor q/4TIEoR en la superficie.

. ,

EVALUAR: La figura 23.16 muestra el campo y el potencial en fun-

cion de r correspondientes a una carga positiva q. En este caso el

campo electrico apunta radialmente alejandose de la esfera. Con-

forme nos alejamos de la esfera, en la direccion de E , V disminuye(como debe ser). La magnitud del campo electrico en la superficie

es E " . p e r f j , j , = I q 1 / 4 ' 1 T E o R 2.

G

R

I

I I

I I

I I

IE ..I I

I I E- _'_.!L: :/ - 47TE O R2

J: E =0 [\ ,E = 4~"o : 2_~_~ i,/==~.~!_------r

: 0 : /v

I V= _._'_i.47TEa R

23.16 Magnitud del campo electrico E y potencial Ven puntos si-

tuados adentro y afuera de uri conductor esferico can carga positiva .

. lonizaclen y d escarg a en co ron a

Los resultados del ejemplo 23.8 tienen numerosas consecuencias practicas. Una

de elias tiene que ver con el potencial maximo al que se puede elevar un conduc-

tor en presencia de aire. Este potencial tiene un limite porque las moleculas de ai-

re se ionizan y el aire se convierte en conductor a una magni-ud de campoelectrico aprox.imado de 3 X 106 VIm. De momenta suponga que q es positiva.

Cuando se comparan las expresiones del ejemplo 23.8 en terminos del potencial

Vsuperficie Yla magnitud. del campo E,upertlcie en la superficie de una esfera conduc-

tara con carga, se advierte que Vsuperficie = EsuperficiJ?. De este modo, si E m repre-

senta la magnitud del campo electrico a la que el aire se torna conductor (conocida

COllO la resistencia dielectrica del aire), entonees el potencial maximo V rn al que

. se puede elevar un conductor esferico es

Vm = RE m

En ~1caso de una esfera conductora de 1 em de radio en el aire, v 'n = (l0-2 m) (3

x 10°Vim) = 30 000 V Por mas que se "cargue" una esfera conduc.tora de este

tamafio en presencia de aire.aio se puede elevar su potencial a mas deaproxima-damente 30 000 V; si se intenta elevar mas aun el potencial agregando carga adi-

cional, el aire circundante se ioniza y se hace conductor y la carga adicional

agregada se fuga hacia el aire.

A fin de alcanzar potenciales millmayores, las maquinas de alto voltaje como los

generadores Van de Graaffutilizan barnes esfericos de radios muy grandes (vease la

figura 22.28 y la fotografia inicial del capitulo 22). Por ejemplo, un borne de radio R

= 2 mtiene un potencial maximo V r n = (2 m)(3 X 106 Vim) = 6 X 106 V = 6 M YEn ciertos cases lasrnaquinas de este tipo se colocan en tanques a presi6n llenos de

un gas como el hexafluoruro de azufre (SF6 ), que tiene un valor de E m mas grande

que el aire y, en consecuencia, soporta campos aun mayores sill hacerse conductor.



23.3 I Calculo del potencial electrico

N uestro resultado del ejem plo 23.8 explica tam bien 1 0 q ue ocurre con un conduc-

tor con carga que tiene un radio de curvatura m uy pequei io , com o una punta afilada

o un alam bre fino. D ebido a que el potencial m axim o es proporcional al radio , inclu-

so p oten ciales relativam en te p eq uefio s ap Jicado s a p un tas ag udas en el aire p ro du cen

campos 1 0 b astan te g ran des, in mediatam en te afuera de la p unta, p ara io nizar el aire

c ircu nd an te y co nv ertirlo e n co nd uc to r. L a co rrie nte re su ltan te y e l re sp la nd or a so cia -

do a ella (visib le en una habitaci6n a oscuras) reciben el nom bre de corona.

Las im presoras laser y las m aquinas fo tocopiadoras utilizan la corona de alam -

bres fin os p ara radar carga so bre eJ tam bo r formador de imageries (vease la Fig.

21 .2). En una escala m ayor, los pararrayos tienen una punta aguda para que los ra-

yos recorran en el aire un cam ino conductor que Ileve hacia el pararray os y no a

otras estructuras cercanas que podrian sufrir daiios (Fig . 23.1 7). A fin de irnpedir

que la carga adquirida por el pararrayos entre en e l ed if ic io , un c ab le c on du cto r

enlaza el pararrayos con la tierra. Las antenas de radio de autom ovil tienen una es-

fera en la punta que ayuda a prevenir 1 a c oro na q ue p ro vocaria estatica,

-i

23.17 EI mas til metalico deja parte

alta del edificio Empire State aetna c

parsrrayos. Recibe descargas de rayo

ta 50 0 veces al afio,

Ejemplo

23.9P lacas p aralelas con carga op uesta

Halle el potencial a cualquier aJturay entre las dos plaeas paralelas

co n carga opuesta analizadas en la seecion 23.1.

Ij.)Iit;um ! .

ID EN TIF IC AR Y PLA NT EA R: La energia potencial U de una carga

de prueba qQen un punto a una distancia y arriba de la placa infe-

rior (Fig. 23.18) esta dada porla ecuacion (23.5): U =q[ jEy. Se uti-

liza esta expresion para hallar eJpotencial Ven el punto descrito.

EJECUTAR : El potencial V(y) -e~ 1 3 coordenada J' es la energia po-

tencial par unidad de carga:

U(y) q oE y ..V(y) = _ - = ~. . .- = E y

qo qo

Hemos elegido U(y) y , par tanto, V(y) com o cere en el punto b, don-

de y = 0 , In clu so s i s e e lig e u n p ote nc ia l d ife re nte de ce ro en b , se

sigue cumpliendo que

V(y) - Vb =E y

y

1 + + + +",.+ ..

,

II

I, q ~ r d

- r 11 - - ; ; . . ' " ;-0 ..> • ~ I

x

Z3.18 Las placas paralelas con carga de la figura 23J.

EI potencial disminuye a l descender de la placa superior a

rior en la direcci6n de E . En el punta a, donde y := d y V(y)

Va - v , VahE=---o-

d d

donde V o l > es el potencial de la placa positiva ca n respecto a l

n eg ar iv a, E s decir, el cam po electrico es igual a la diferencia de

cial entre las placas dividida entre la distancia que las separa, (

lacion entre E y V o l > es valida s o l o en el case de la geometria pla

hemos descrito, No funciona en situaciones como las de cilin

esferas concentricas, donde el campo electrico no es uniforme)

EVALUAR : Nuestro rewltado ofrece un rnedio practice para

la densidad de carga de las cargas de las do s placas d e la

23.18. En el ejemplo 22.8 (seccion 22.4) dedujimos la expre

:= (TiEo del campo electrico E entre dos pla cas conduetoras co

s id ad es s up erf ic ia le s d e carga +6 " Y -(T, respectivamente, Ig

do esta expresion con E = Vat!d se obtiene

La d en sid ad d e c ar ga s up er fic ia l de la p laca posi ti va e s d ir ec ta

proporcional 3 la di ferencia de potencial en tr e l as p lacas , y s e h

valor (T midiendo Vab . Esta tecnica es util porque no se disp

instrumentos capaces de medir direetamente la densidad supe

d e c arg a. E n la p la ca n eg ativ a la d en sid ad s up erfic ia l d e c arg a

. ., .. ,~""" '' '' '--" 5e podria pensar que 5iun euerpo conductor

un potencial de cera, necesariamerrte debe tener tambien u

ga neta de cera. iPero sirnplernente no es asi! Por ejernplo,

ca que est a eny =0 en lafigura 23.18 tiene potencial cera

pero tiene una carga por unidad de area -0"diferente'de ce

cuerde que nada tiene de especial el'Iuqar donde el.poten

cera; podemas definir la ubicaci6n de este lugar donde quer



888 CAP t - r ULa 23 I Potencial electrico

Ejemplo

23.10 - U n a linea de carg a infinitao un cilind ro con du ctor con carg a

Halle 1 . ' 1 1potencial a unadistancia r de una linea de carga rnuy l a r g a

can densidad de carga lineal (carga par unidad de longitud) A.

' i l l lili 1 m . •ID EN TlF lC AR Y P LA NT EA R: Ub plantearniento a este problema

consiste en dividir la linea de carga en elementos infinitesimales,

como se hizo en el ejemplo 21.11 (seccion 21.5) para hallar e j cam-po electrico producido por es a linea. En estas condiciones se pudo

integrar como enIa ecuaci6n(23.16) para hallar el potencial neto V.

De cualquier modo, en este caso la tarea se simplifies enorme-

mente p orq ue y a s e co no ce el cam p o elec trico . Tanto en 101jemplo

21.11 como en el 22.6 (seccion 22.4) hallamos que el campo elec-

trice a una distancia I"desde una carga recti linea larga (Fig. 23.19a)

tiene s610 una cornponente radial, d ad a p ar

I AE =---r 2rr 1'11 I"

Ut il iz a remos e s ta . exp re s icn para hallar 101potencial inregrando E

como en I a ec ua cio n (2 3.1 7),

"

E J E C U J A R : Puesto gye S l campo bene s610 una cornponente radial,

el producto escalar E .dl es igual a Eidr. Por ccnsiguiente, el poten-

cial de cualquier punto a con respecto a cualquier otro punto b, a

distancias radiales t"a Y rb desde Ia linea de carga, es

Si se supone que el punta b estfl. en el infinite y se fija Vb = 0, sehalla que Va es infinito:

,\ 00

V =--in- =00

a 27T€O - ra

Esto dernuestrn que si se intents definir V como cere en el infinite,

entonces V debe ser infinite a cualquier distancia finita de la linea

de carga, As! pues, jesta no es una manera util de defiuir Ven este

problema! La dificultad, como y a mencionamos, es que la distribu-

cion mismade carga se extierrde basta 101nfinite.

Para evitar esta dificultad, recuerde que pcdemos definir V como

cero en el punta que deseemos, Fijemos Vb =0 en el punto b a una

+

r+ ' +

+

(a) (b)

23.19 Campo eleetrico afuera (a) de un alambre largo can carga

positiva; (b) de un cilindro largo con earga positiva.

distancia radial arbitraria ;·0' Entonces el potencial V = V a . en 1 0 1 pun

to a a una dis tancia radial r esta dado por V - 0 =,v27TfO) In(rer'r),

A 1" 0

V=--In-27Teo r

EVALUAR : De acuerdo can nuestro resultado, si ,\ es positiva enton

ces V disminuye con forme r aumenta. Asi es COIE-0 debe ser: V di

minuye COnf0D11ee traslada en la direcoion de E.

De acuerdo can eJ ejernplo 22.6, la expresion de E, . de la que pa

times tambien es aplicable afuera de un ci!indro conductor larg

con carga par unidad de longitud A (Fig. 23.19b). Par tanto, nuestrresultado tarnbicn da el potencial en 0 1 campo con respecto a un c

Iindro de este tipo, pero s610 can respecto a valares de r iguales

mayores que el radio R del cilindro. Si tornamos 1'0 como 1 0 1 radio

del cilindro, de modo que V = 0 cuando I' = R , entonces en cua

quier punto donde r>R

A RV=-In-

27TfO- r

donde I" es la distaneia al eje del cilindro, En 101nterior del cilindr

it ::::0 , y Vtiene el misrno valor (cera) que en la superficie del c

lindro.

Ani lTodecarga

Se tiene carga electrica distribuida uniformemente en torno a un

anillo delgado de.radio <I , con una carga total Q (Fig: 23.20) ..Halle

el potencial en un punto P sabre el eje del anillo a una distancia x

del centro del anillo,

' i · ' ! l l 3 , ( , l f l lIDENTIFICAR Y P L A N T E A R : Este problema se podria resolver por

el mismo planteamienm que on el ejemplo precedente: en el ejemp 10

21-.10 (seccion 21.5) se hall6 el campo electrico en todos los puntas

a 1 0 largo del eje de las x; par tanto, se podria integrar E como en I

ecuacicn (23.17) para hallar V a 10 largo de este eje. De cualquier

modo, en este caso es mucho mas facil hallar V integrando can res

peeto a la distribueicn de carga como en Ia ecuacion (23.16), porque

todas las partes del anillo (estoes, todos los elementos de la distri

bucion de carga) estan a la misma distancia r desde el punta P.

EJECUTAR : Se divide el anillo en elementos infinitesimales de car

ga dq. La figura 23.20 muestra que la distancia de cada uno de es



23.3 1 Calculo del potencial electrico

-,

23.20 Toda la carga de un anillo con carga Q esta a la misma

distancia I'de un punto P situado sobre el eje del anillo.

tos elementos al punto P es r =Vx 2 + a.I Por consiguiente, pode-

mos s acar el factor III' de la integral de la ecuaci6n (23.16) Y

V = l - f d q=_1_ I f d q =_1_ Q

4"'EO r 41TEO Vx 2 + a2 4"'EO V x2 + a2

El potencial es una cantidad escalar; no es necesario co

componentes de vectores en este calculo, como hubimos

para hallar el campo electrico en P. Por tanto, eI calculo de

cial es rnucho mas sencillo q ue .e l c alc ulo d el campo.

EVALUAR: Dese cuenta que cuando xes mucho mayor quepresi6n anterior de V se hace aproximadamente igual

QI41TEoX. Esto corresponde al potencial de una carga puntua

d is ta n ci a x . Cuando estamos muy lejos de un a ni ll o c o n. ca r

parece una carga puntual. (Llegamos a una conclusi6n

acerca del campo electrico de un anillo en el ejemplo 21.10

Tambien se hallan estos resultados con respecto a V int

la expresion de E : hallada en el ejemplo 21.10 (vease el p

23.67).

Ejemplo

23.12 L in ea d e c arg a

Se tiene una carga electrica Q distribuida uniformemente a 10largo

de una linea 0 varilla delgada de longitud 2a. Halle el potencial en

cI punto Palo largo de la bisectriz perpendicular de Invarilla a una

distancia x de su centro .

• ' t , l ll r ; u DID EN T IF IC A R V P lA N T EA R : Esta situaci6n es fa misma del ejem-

plo 21.1 Ijsecci6n 21.5), donde halla.n:os una expresion del campo

electrico E en un punto arbitrario sobre el eje de las x. Se podria in-

tegrar E can base en la ecuacion (23.17) para hallar V. En vez de

ello, integrarcmos de principio a fin Ia distribucion de carga utili-

zando la ecuacion (23.16) a fin de adquirir un poco mas de expe-

rienci a con e s te pInteami ento.

EJECUTAR:A l ig ua l que en el ejemplo 2 1 .J I, e l e le rn en to de carga

dQ correspondiente a un elemento de longitud dy d e Ia v ar illa e sta

dado por dQ =CQl2a)dy (Fig. 23.21). La distancia de dQ aP es

Yx2 + y2, y la contribucion de dVal potencial en P es

dV =_l_R dy

41TEO 2a vix2 + y2

Para obtener el potencial euP d eb id o a la varilla e11s u t ot al id ad , s e i n-

tegra dV de principia a fin la Io n giru d d e la v ar illa d e y = -a ay = a:

1 Q f~ dy

V =41TEO 2a -aVXl +l

Se puede consultar 1aintegral en una tabla. EI resultado final es

1 Q ( V a 2+ x 2

+ a · )F=_- -In--:===---

41TEO 2a Va2 + x2 - a

y

a

x

Q

-a

2.1 .21 Como hallar el potencial electrico sobre la bisectriz

pendicular de una varilla con carga uniforme de longitud 2

EVALUAR; Podemos comprobar nuestro resultado haciendotienda a infinite. Ell este limite el punto P esta infin itamen

de toda la carga, per 10 que es de esperar que V tienda a cer

vi tam es a veri ficar que asi ocurre. _

Al igual que en el ejemplo 23.11, este problema es mas

que hallar if ; en el pW1tOP porque el potencial es unacantidad

lar y no intervienen calculos vectoriales.



890

23.21 Lascun denireldeunrnapa to-

pogrifico son cnrvas de cie>;1H:i6n constan-

Iey, par tanto, de eIUgia potem: : ia l

gmvitatoria COllSIanre..

CAP f T U L-O 23 I Potencial electrico

Si el campo electrico en cierto punta es cera, (,debe ser inevitable que elpotencial

electrico sea cera en ese punto? (Sugerencia: Considere el centro del anillo de lo

ejemplos 23.1 I y 21.10).

23.4 I Superficies equipotenciales

Las lineas de campo (secci6n21.6) nos ayudan a visualizar los campos electricos. D

manera semejante, el potencial en diversos puntos de un campo electrico se puede re

presentar graficamente mediante superficies equipotenciales. Estas utilizan la mism

idea fundamental de los mapas topograficos, como los que utilizan los excursionis

tas y alpinistas (Fig. 23.22). En un mapa topografico, se trazan curvas de niveI qu

pasan par los puntos que tienen una rnisma elevaci6n. Se podria dibujar cualquier nu

mero de ellas, pero caracteristicamente s610 se mues tr an Liliaspocas curvas de nive

a intervalos iguaJes de e levaci on , S i se traslada una masa m sobre el terrene a 10 l a r

go de una de estas curvas de nivel, la energia potencial gravitatoria mgy no cambi

porque l a elevacion y es constante. Por consiguiente, las curvas de nivel de un maptopografico son en realidad curvas de energia potencial gravitatoria constante. La

curvas de nivel estan pr6ximas unas de otras donde el terreno es empinado y ha

grandes cambios de e levaci on a 10 largo deuna distancia horizontal pequefia; las cur

vas de nivel estan mas separadas donde el terreno tiene una pendiente moderada, Un

pelota que se deja radar cuesta abajo experimenta la maxima fuerza gravitatoria cues

ta abajo donde las curvas de nivel estan mas pr6ximas unas de otras.

Par analogi a con las curvas de nivel de un mapa topografico, una superficie

equipotencial es una superficie tridimensional sobre la cual el potencial electrico

Ves el mismo en todos los puntos. Si se traslada una carga de prueba q o de un pun

ta a otro sabre una superficie de este tipo, la energia potencial e le ct ric a q o V penna-

nece constante. En una: regi6n donde esta presente un campo electrico se puede

construir una superficie equipotencial que pase por cualquier punto. En los diagra

mas se a co stu rn bra mo stra r s 61 0 unos pocos equipotenciales representatives, a me

nuda can diferencias de potencial iguales entre superficies adyacentes. Ningun

. pnnto puede estar en dos potenciales diferentes; par tanto, las superficies equipo

tenciales correspondientes a potenciales diferentes nunca se tocan ni se cruzan.

Ya que la .energia potencial no cambia cuando una carga de prueba se traslada

sabre una superficie equipotencial, el campoelectrico no puede realizar trabajo so

bre e sa c arg a, Se sigue que E debe ser perpendicular a-la superficie en todos lo

puntos para que la fuerza electrica % E sea en todo memento perpendicular al des

plazamiento de una carga que se mueve sobre la superficie. Las line as de campo

y las superficies equipotenciales son siempre mutuamente perpendiculares.

En general, las lineas de campo son curvas y las equipotencia1es son superficies

curvas, En el caso especial de un campouniforme, en el que las Iineas de campo

SOD rectas y paralelas y estan igualmente espaciadas, las superficies equipotencia-

le s son pianos paralelos perpendiculares a las linens de campo.

La figura 23.23 muestra varias configuraciones de cargas, Las lineas de campo

que estan en el plano de las cargas se representan mediante ltneas rojas, y las inter

secciones de las superficies equipotenciales coneste plano (esto es, cortes trans

versales de estas superficies) se muestran como line as azules. Las superficies

equipotencia!es reales son tr idimensionales. En todo cruce de u na s up erfic ie e qu i

potencial can una linea de campo, las dos son perpendicu1ares.

En la figura 23.23 se han dibujado superficies equipotenciales de modo que la

diferencias de potencial entre superficies adyacentes sean igua1es. En las regiones

donde la magnitud de if : es grande, las superficies equipotenciales estan proxirnas



23.4 I Superficies equipotenciales

V= +30V V= -50V V= -30V V= +30V

(a) Una sola carga positiva

v =~70 V (b) Dipole electrico

- Cortes transversales

de superficies

equipotenciales

--- Lineas de campo

electrico

V= +70V

(c) Des cargas pcsitivas iguales

Z3,23 Cortes transversales de superficies equipotenciales (lineas azules) y lineas de cam-

po electrico (lineas rojas) correspondientes a conjuntos de cargas puntuales, Las diferen-

cias de potencial entre superficies.adyacentes son iguales. Comparense estos diagramas

con los de la figura 21.26, quemuestran s610 lineas de campo electrico.

unas de otras porque el campo realiza una eantidad de trabajo relativamente gran-

de sobre una carga de prueba que sufre un desplazamiento comparativamente pe-

queiio. Este es el caso cerca de la carga puntuaI de la figura 23.23a 0 entre las dos

cargaspuntuales de la figura 23.23b; dese cuenta que en estas regiones las lineas

de campo tambien estan mas proximas unas de otras, Esto es una analogia directa

del hecho de que la fuerza de gravedad cuesta abajo es maxima en las regiones de

LInmapa topografico donde las curvas de nivel estan mas pr6ximas unas de otras.

Reciprocamente, en las regiones donde el campo es mas debil, las superficies

equipotenciales estan mas separadas; esto sucede en los radios mas grandes de la

figura 23.23a, ala izquierda de la carga negativa 0 a la derecha de la carga positi-

va de la figura 23.23b, y a distancias mayores respecto de ambas cargas en la fi-

gura 23.23c. (Quiza parece que dos superficies equipotenciales secruzan en el

centro de la figura 23.23c, violando asi la regIa de que esto nunca puede ocurri r.

De hecho, se trata de una sola superficie equipoteneial con forma de 8).

c u [ D _ ' A ~ Sobre una superficie equipotencial en particular, el potencial Vtie-

ne el mismo valor en todos los puntas. No obstante, en general, la magnitud del

campo electrico E no es la misrna en todos los puntas de una superfieie equipo-

tenclal, Por ejemplo, en la superficie equipotencfal marcada como "V =-30 V "

en la figura 23.23b, la magnitud E es menor a la izquierda de la carga negativa

que entre las dos carqas. En la superficie equlpotencial con forma de 8 de la fi-

gura 23.23c, E =0 en el punto medio equidistante de las dos cargas; en todos

los dernas puntos de esta superficie, E es diferente de cero:

V= +50V

V= +70V



892

23.24 Cuando las cargas estan en reposo,una superficie conductora es siempre una

superficie equiporencial. Las lineas de

campo (en rojc) son perpendiculares a unasuper fi ci e conduc to r a.

t .I

23.25 Aden tr o d el c ond uc to r, E '" O . S i Ei nmedia tamen re a fu e ra d el c ond uc to r t u . -

v ie se u n a c ompon en te E ll p ara le la a la -s u-perficie de l conductor, entonces el campo

r ea liz arla u n tra ba jo to ta l d ife re nte d e c er o

sobreuna carga de prueba que recorre laespira rectangular y vuelve al punta de

p artida, D eb ido a qu e el cam po E esconservative, esto es imposjble, Par consi-guiente, E ll d eb e s er c era y E inmediata-m en te afu era d e Ia s up erf ic ie d eb e s er

perpendicular a e ll a.

$u per fi c ie equ ipo tenc ial

que por P

Superficie

de In

cavidad

Conductor

23.26 Cavidad en un conductor.Si la cavi-

dad no contiene carga, todos los puntas dela cavidad estan al rnisrno potencial, el

campo electrico es ceroen todas las partes

de la cavidad y no bay carga en ningunpunto desu superficie,

C,i\.pfTU.LO 23 I Potencial electrico

EquipotenciaLes y conductores

La siguiente es una irnportante aseveracion acerca de las superficies equipoten

ciales: Cuando todas las cargas estan en reposo, Ia superficie de un conductor

es siempre una superflcle equipotencial. Puesto que el campo electrico E

siernpre perpendicular a una superficie equipotencial, se puede verificar esen un ciado si s e demuestra que cuando todas Iascarg as es tan en reposo,el cam

po electrico inmedtatamente afuera de un conductor debe ser perpendicular

ala superficie en todos los puntas (Fig. 23.24). Sabemos que E = 0 en todas la

partes del interior del conductor; de 10contrario, las cargas se trasladarian, En pa

ticular, en c ua lq u ie r p u nto p re cis ame nte a de ntro de la s up erf ic ie la components d

E tangente a la superficie es cero, Se sigue que Lacomponente tangencial de

tambien es cere casi afuera de la superficie, Si no 10 fuera, una carga podria reco

rrer una trayectoria rectangular que estuviese en parte adentro y en parte afuer

(Fig. 2 3.25 ) Y regresar a l p u nro de par tid a hab ie ndo se r ea li zado una c an tid ad n

ta de trabajo sobre ella. Esto violaria la naturaleza conservative de los campo

electrostatic os; de este modo, Ia componente tangencial de E precisamente afue

ra delasuperficie debe ser cero en todos los puntos de la superficie, Asi, E es pependicular a Ia superficie en todos los puntos, 1 0 que prueba nuestra aseveracion

Per ultimo, ahora pcdemos probar un teorema que citamos sin probarlo en

s ec cio n 2 2.5 . E l teorema esel siguiente: en una s it uac ion e lec trost at ica , S 1 un con

ductor contiene una cavidad y no hay carga en el interior de es ta , en tonces no pued

haber una carga neta en ninguna parte de la superfic ie de la cavidad. Esto signific

que si lIDO esta adentro de una caja conductora can carga, puede tocar sin peligr

cualquier punto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para ve

r if ic ar e ste t eo rema , p rimero demos tr ar emos que to do s lo s p un ta s del interior de

ca vida d e sta n a l m ism o po ten cia l. En [a figura 23.26 la superficie conductora A d

la cavidad es una superficie equipotencial, como recien hemos demostrado: Sup6n

gase que el punto P de la cavidad esta a lID potencial diferente; par 1 0 tanto se pue

de construir una superficie equipotencial diferente B que incluyael punto P.Considere ahara una superficie gaussiana (Fig. 23.26) entre des superficies

equipotenciales, En virrud de la relacion entre E y las equipotenciales, sabemo

que en todos los puntas entre las equipotenciales el campo se dirige de A hacia B

o bien en todos los puntos se dirige de B hacia A, segiin la superficie equipotencia

que este al potencial mas elevado, En unou otro caso el flujo a trave s de esta su

perficie gaussiana es con certeza diferente de cera. Pero entonces la ley de Gaus

afirma que In carga encerrada par la superficie gaussiana no puede ser cera. Est

contradice nuestra suposicion inicial de que no hay carga en la cavidad, Par tanto

el potencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad.

En consecuencia, la region de l a cavidad en su totalidad, debe estar al mismo po

tencial. Sin embargo, para que esto sea cierto, el campo electrico en el interior de l

ca vida d de be s er cera en todas partes. Por ultimo, la ley de Gauss demuestra que ecampo electrico en cualquier punto de la superficie de un conductor es proporciona

ala densidad de carga superficial a en ese punto. Se concluye que la densidad d

carga superficial en Iapared de fa cavidad es cera en todos lospuntos. Este r azo

namiento puede parecer tortuoso, pero vale la pena estudiarlo detenidamente.

" " " " , , , " , , , , , , , , , , , - , , , L Q ' No confunda las superficies equipotenciales can I.assuperficies gaus

sianas que estudiarnos en el capitulo 22 . Lassuperficies gaussianas son pertinentes

5610 wando se utilize la ley de Gaussy se puede elegir cualquier superficie gaus

siana que resulte conveniente. No podemos elegir libremente la forma de las su

perficies equipotenciales; su forma ests determinada por la distribuci6n de carga



23.51 Gradiente de potencial

~C6mo cambiarian los diagramasde la figura 23.23 si se invirtiera el signa de ca-

da carga?

23.5 I Gradiente de potencialExiste una estrecha relaci6n entre el campo eleetrico y el potencial. La ecuacion

(23.17), que se reproduce a continuacion, expresa un aspecto de esa relaci6n:

Sb . . . . . . . .

Va-Vb= E·dl,

Si se conoce E en diversos puntos, estaecuacion permite calcular diferencias de po-

tencial. En esta secci6n mostraremos c6mo dar la vuelta a esto; S1 se conoce el poten-

cial V en diversos puntos, se puede determinar E can base en 61.Considerando V

como una funci6n de las coordenadas (x,y, z) de un punto en el espacio , demostrare-

mos que las componentes de E estan directamente relacionadas con las derivadas

parc iales de V con respecto ax, y y z .

En la ecuaci6n (23-.17), Va - Vb es el potencial dea con respecto a b, es decir,el cambio de potencial cuandoun punto se traslada de baa. Esto se puede escri-

bir como

donde dV es el cambia infinitesimal de potencial que acompafia a un elemento in-

finitesimal d1de Ia trayeetoria de b a a; Cornparando con la ecuacion (23.17), te-

nem os que

So - S "dV = E'dl

- a

Est11S dos integrales deben ser iguales con cualquier par de lirnites a y b, y para

que esto se cumpla los integrados deben ser iguales. En estos terminos, para cual-

quier desplazamiento infinitesimal dl ,

-dV = E'dl

A fin de interpretar esta expresi6n escribimos E y dI en terminos de sus componen-tes: E : : : :i E ,t + j E ; + k E, y dl = 1 . dx + j dy + k dz. Par 10 tanto se tiene que

-dV:= E, dx + E; dy + E, d:

Suponga que el desplazamiento es paralelo a1eje de las x, de modo que dy = d:

=O.Entonces -dV =Ex dx 0 E; := -(dV/dx)v, z cons tan ress donde el subindice nos re-

cuerda que s610 x varia en la derivada; recuerde que Ves en general una funci6n

de x, y y z. Pero esto es precisamente el significado de la derivada parcial a V/Bx.

Las cornponentes y y z de E guardan la rnisma relacion can [as derivadas corres-

pondientes de V; por tanto,

a v a v &VE x = - - » .: E =

a x o y zQ Z

(23.19)

(componentes fie E en terminos de V)

.§sto es congruentecon las unidades del campo electrico (Vim). Podemos escribir

E en terminos de vectores unitarios como sigue:

-+ (~ a v " a V A a I I )E= - l- +]-. + k-

ax oj; . tlz ~_(E en terminos de V) (23.202

A c t , · VP h y s c s

11,12.3 Potencial, campo y fuerza

electricos



8 94 CAP f T U L 0 23 1 Potencial electrico

En notaci6n vectorial, la operaci6n siguiente se conoce como el gradiente de la

funci6n!

~ ( ~ a ~ a ~ a )'If = l- + ] - + k-- - : - f (23.21)

a x a y oz

El operador que se denota mediante el simbolo V se llama "grad" 0 "del". As! que,

en notaci6n vectorial,

(23.22)

Esto se lee "E es el negativo del gradiente de V " 0 "E es igual al grad V negativo".

La cantidad V V se Ie denomina gradiente de potencial.

En cada punto, el gradiente de potencial apunta en la direccion en la que Vau-

menta con mas rapidez con un carnbio de posicion. Por consiguiente, en cada punto

la direccion de E es Ia direcci6n en la que V disminuye mas rapidamente y siempre

es perpendicular ala superficie equipotencial que pasa por el PW1tO.Esto concuer-

da con nuestra observaci6n (secci6n 23.2) de que desplazarse en la direcci6n del

campo electrico significa desplazarse en la direccion de potencial decreciente, _

La ecuacion (23.22) no depende del PW1tocero de V que se haya elegido, S1secambiara el punto cera, el efecto sen a modificar Ven la misma cantidad en todos

los puntos; las derivadas de V serian las mismas,

Si E es radial con respecto a un punta 0 un eje y res la distancia al punta 0 eje,

la relacion que corresponde a las ecuaciones (23.19) es

av -E = - - ( campo electrico radial) (23.23)

l' a r

Suele ser posible calcular el campo electrico ereado por una distribuci6n de

'carga de una de dos formas: directamente, sumando los campos E de cargas pun-

tuales, 0 calculando primero el potencial y tomando en seguida su gradiente para

hallar el campo. EI segundo metodo suele ser mas facil porque el potencial es una

cantidad escalar y requiere, en el pear de los casos, la integracion de una funcicn

escalar, EI campo electrico es una cantidad vectorial, que requiere el calculo de

componentes con respecto a cada elemento de carga y W1aintegracion individual

por cada camponente. Asi pues, y haciendo a un lado su trascendencia fundamen-

tal, el potencial ofrece una tecnica de compute muy util en los calculos de cam-

pos. Mas adelante se presentan varios ejemplos en los que se aprovecha un

conocimiento de Vpara hallar el campo electrico.

Conviene recalcar W1avez mas que, si se conoce E en funci6n de la posici6n,

se puede calcular V mediante la ecuacion (23.17) 0 (23.18), y si se conoce V en

funci6n de la posicion, se puede calcular E mediante la ecuaci6n (23.19), (23.20)

0(23.23). Deducir Va partir de E requiere integracion, y deducir E a partir de V

requiere diferenciacion,

Potencial y campo de una carga puntual _

11tJ!iijt.UI

IDENTlF ICAR y p~ Par simerria, el campo electrico tiene

solo una componenre rnd:iaI E;, esta componente se halla mediante

la ecuacion (23.23).

EJECUTAR: De acuerdo con la ecuacion (23.23),

E,=-~~=- : r ( 4 ~ f O ~ ) = 4 : £ 0 : 2. par tanto, el campo electrico vectorial es

4 A 1 q A

E=E=---r, . 4 7 T f o r2

Segim Ia ecuacien (23.14) e J potencial a una distancia radial 1 " de

una earga puntual q es V = q/47TEor. Halle el campo electrico vee-

tmi.al a partir deesta expresion de V.



23.5 I Gradiente de poteneia

EVALUAR : Nuestroresultado c on eu er da c an la ecuaci6n ( 21 , 7 ), co-

mo debe seT.

Un planteamiento a lte rn ativ e e s pasar por a lto la s im e tria ra dia l,

escribir la distancia radial como r =Y x2 + / + z 2 , y tamar la de-

rivada de V can respecto a x, Y y z como en la ecuacion (23.20). Se

ohtiene

sv a ( 1 q ) 1 axa x = a x 4 1 T E o Y x 2 + )'2 + Z 2 = - 4 1 f E o (x 2 + y " " ' 2 - + - , Z2 : : - : ) - = ] 7 . : ' f 2

qx

y , de manera analoga,

a v

ay

qy av=_~a z 41TEorl

De acuerdo con la ecuaci6n (23.30), el campo electrico es

Este planteamiento nos proporciona Iamisma respuesta, aunq

un poco mas de esfuerzo. Es evidente que 1 0 mejor es aprove

simetria de Ia distribucion de carga siempre que sea posible.

Ejemplo

",D.14 Potencial y c ampo a fu era d e u n cilin dro c on du cto r c on ca rg a

En el ejemplo 23.10 (seccicn 23.3) hallamos que el potencial afue-

fa de un cilindro conductor con carga de radio R y con carga porunidad de longitud A es

A R AV =--In- =--(inR-in)

21TEO r 2 1 T E I I

Halle las cornponentes del campo electrico afuera del cilindro.

1·t. ]lif 3 " QID EN TIF IC AR Y PLA NT EA R: Al igual que en el ejemplo 23.13, la

sirnetria nos dice que E bene solo una cornponente radial E n as!

que, una vez mas, usaremos 1 a ecuacicn ( 2 3 . 2 3 ) .

EJECUTAR : La derivada de In R (una con.stante) es cero y l a

da de I n r es I/r; por tanto,

,\ a{inr) ,\

EVALUAR : Esta expresion de E, es la rnisma que hallamos

ejemplo 22.6 (seccion 22.4).

Ejemplo

23.15 Potencial y cam po de un anillo de carga

Ell el ejemplo 23.11 (seccion 23,3) hallamos que, en el caso de un

anillo de carga de radio a y con una carga total Q, el potencial en el

punto P sabre el eje del anillo a una distancia x del centro es

v =_1__ _ _ _ _ : ; Q : : . . . . . . . , , =

4 ' 1 l ' E O yx2 +.a2

Halle el campo electrico en P.

11."I*.aID EN TIF IC AR Y P LA NT EA R: Con base en Ia simetria de la distribu-

cion de carga que se muestra en la figura 23.20, el campo electrico

a 1 0 largo del eje de simetria del anillo puede tener s610una cornpo-

nente x. Esta se halla mediante la primera de las ecuaciones ( 2 3 . 1 9 ) ,

EJECUTAR : La componenter del campo electricoes

E = _ a v =_1_ Qx

x a x 4 1 T E O (x 2 + a2)3!:l

EVALUAR : Esto concuerda con el resultado obtenido en el e

21.10 (seccion 21.5).

En este ejemplo, V no parece ser una fund6n

de z, pero noserla correcto conclulr que i lVlay =Vlilz

E ., =E, =0 en todas partes, La raz6n es que nuestra expres

V e s v a li da s610 con re.specto a puntas sobre el eje de lasx,

y = z = O . S i tuvierarnos la expresion complete de V, v a Iida e

los puntas del espaclo, entonces ella nos permitirfa hallar las c

nentes de E 'en cualqui er punto mediante la ecuaci6n (23.19)

En cierta regi6n del espacio el potencial esta dado pOTV = A + Bx + Cy3 + DZ2,

donde A, B, C Y D son constantes, ~ Cu31 e s el campo e le ctric o e n e sta re gi6 n?



896 C APiT UL 0 23 I Potencial electrico

. - _ . . R E S U _ M E . ~ , - - - ~ _ _ .

~ --..... - ~

=~2:!f41TEO -i ti

(q o ~l1~presenQi~tdeotras cargas puntuales)

I !. '

grondo (sl Ia car,ga es uiilfdistn6Ud6n).

(Vean-seJos'ejempios 23.3,2-3.4,23.5;

..=ip:,. 21.1"L~'13.~~).:..- =

- =:.

(debitlo a un a distifbucion de carga)

Dos conjuaros de.unidades-equiyliJentes de magnitud de «ampQ electrico son vo'its por metrQ (Vim) y l1ew-

tons porcoulomb (NiG). Un:voff'"i;sun~oule por coulomb (1 V = 1J/C), Una unidad de energfa muy uti!

es elelectron volt (e\0 " que e~le ellergr'£ c<;lHespo'ndiell'i:ea.una particula cuya carga es igual a la de un

electron que se desplaza atrav'es de llIir.;difertHlcitt de.potenclal de un volt El rador de conversi6n~es,I,eV=1 .6Q2 X l Q-19 J . ~ _._;i;._ , . -



Notas -

Si se c_onoce~] p-otencialY el).,fullCi6lia~Jas coor-

denadas x,Y Y . i,la s .comp.onentes de l campo elec-

trice Ee n cua1quier puntoestan dadas poi.

derivadas p-arciales:de V (Veanse los ejemplos del

23,132.1 23T5).

Una sllP~rfiCie equipotencia:1 es U n i l -sliperfl.cie en la que el potencial tiene el'mismo '(a-

lar e n tactos sus pun os. En un ~tJ:n,.tll'9.olide':unainea 'de campo cruza una superficie

~qu'ip6tencial, am_bas son1.i~endi~u~~. Quan .d o t od as las cargas estan el) tePEsa, lat

superficje de un conductoi.stempre es'}iiill_supeificieequipotencial y todos los pnntos

d~l interior del co~ductQr ~B ~nal'tnisfu~~potenci:1. C~a'n'douna c av id ad ell el interior- ~. __ ~ -- <! _ - " _" •• ' ; o i : . .. ~ . . . . . - .o t " " i: -

elll conductor nocontiene carga, liicavidad en sii'fotalidad ss una regi6nequipotencial y

---;~ ~ayoargaslllier[i~ial~n:iilnguna)afte de Ia stlgerficie de la cavidarl. .

a v B V a VEt=-- E; K =-- (23.19)

aX . &y < &l

; ( ~ a v ,[)V - iJV) - .E =- l--'- +- + k~ (forma.veetonal) (23.20)a x - f J y a ;;

Terrnlnos clave

electro n voIt, 881

energia potencial (electrical, 870

gradiente, 893

potencial (electrico), 878

superfleie equipotenciai, 890

volt, 878

voitaje,878

Notas



898 CAP f T U L 0 23 I Potencial electrico

R espuesta a la pregunta inicial

del cap it ulo

El funcionamiento de l pararrayos se describe despues d el e jempl o

23 .8 (sec ci6 n 23 .3 ).

R espuestas a las preguntas de

Evalue su comprensien

)1

"~

Sec .ciOn 23.1 La configuraeicn de las cargas se m uestra en la figu-

ra 21 .1 2. D e acuerdo can la ecuacion (23.11) ,

U =_1_' ( . . . . ! l t k . . . + . .J . & . .. + q 2Q )

477.00 0 .60 m 0 .50 m 0 .50 m .

Utilizando q l =2. 0 p.C, q 2 =2. 0 p.C y Q =4 .0 /LC, se en cu en tra q ue

U = 0 .35 J . L a energ ia total es po sitiva, 1 0 e ual indica q ue se requ ie-

re trabajo po sitive para traer las tres carg as del in fin ite a las po sicio-

nes que se m uestran en la figu ra 21 .1 2.

S ecc i6 n 2 3.2 Si V = 0 en cierto punto, E no es n ec es ariamen te c e-

ro en ese pun to. Un ej emplo es el pun to c de las figuras 21 .20 y

23.1 3, con respecto al cual hay un cam po electrico en la direccion

+x (vease el ejemplo 21 .9 de la seccion 2 1.5) no obstan te que V =

o (vease el ejemplo 23 .4 ). E ste resultado no e s s o rp re nden te , por-

qu e V y E so n cantidades muy diferentes: Ves la cantidad net a de

trabajo que se requiere para traer una carga unitaria del in fin ito al

pun ta en cuestion, en tanto que it es la fuerza electrica qu e actua

sab re una un idad de carga cuando esta alcanza ese pun to.

S ec ci6 n 2 3. 3 Si E = 0 e n c ie rto p un to , V no es n ec esaria men te cero

en ese punto. Un ejem plo es eI punta 0 del cen tro del anillo con car-

ga de las figu ras 21 .21 y 23,20 . De aouerdo co n e 1 ejem plo 21 .1 0

(sec cio nZ l.S ), el cam po electrico es cero en Q , p orq ue la s c on trib u-

cion es de cam po electrieo de diferen tes p artes del an illo se can celan

totalm ente, N o o bstan te, de acuerdo con el e je rn plo 2 3.1 1 , e l p ote nc ia l

en 0 no es cero; este punto corresponde a x = ; por tanto, V =

(1I47TEo)(Qla). E ste . v alo r d e V corresponde al tra ba jo q ue serfa.nece-

sario realizar p ara trasladar un a carga p ositive un itaria de p rueba a 1 0

largo de una trayecto ria del infinito al pun to 0; es diferen te de cero

porque e l. an i llo COIl c ar ga r ep el e Ia carga de prueba, por 1 0 q ue se de-

be realizar t ra ba jo p ar a trasladar la carga d e p ru eb a hacia el anillo,

Secci6n 23.4 Si se su stitu yesen las cargas po sitivas de la f igura

2 3.2 3 p or carg as n eg ativa s, y vic eve rsa, las lin eas de c am po elec tri-

co tendrian la m ism a form a pero su direccion se invertiria , Las su -

perficies, equipotenciales serian las que se muestran en la fig ura

23.23, pero se invertiria el signa del po tencial Por ejem plo, las su -

p erficies de la figu ra 23.23b co n p oten cial V = +30 V Y V = = -50 V

tendrian l o s po tenc iale s V = -3 0 V Y V = +50 V , respectivamente.

Secclen 23.5 De acuerdo con la ecuacion (23.20), E =

(~iW oW o W ) _ ( . 2' k' )

- l;h+];h + ka ;: - - B z + 3Cy ] + 2D z . D ese cuen ta

q u e la c on st an te A n o tien e efecto alg un o so bre el cam po electrico. E s-

to ilus tra el hecho de que se puede sum ar una constante al potencial en

to do s ~ os p untos s in m odificar en n ada la fisica real, es decir, sin alte-

ra r illE ill la difere ncia d e p oten cial en tre do s p un tas c uale sq uie ra.

P reg un ta s p ara analisis

P23.1 Un e st ndi an te pregunta: ''Y a que el p otencial electrico siem -

pre es p rop orcio nal ala energia p oten cial, o '.en mo do algu no p ara qu e

m olestarse con e1 con eep to de po tencial?" o '.Q ue respo nderia listed?

~3.2 EI potencial (respecto a un punto en el infin ito ) a rnedio ca-

m ino entre dos cargas de igual m agnitud y signo opuesto es cero.

tEs posib le traer una carga de prueba del in finite a este punta m edia

de m odo que 1 10 se realice trabajo en ninguna parte del desp laza-

miento? E n caso afirmativo, describa como. se podria hacer. Si no es

p osib le, exp liq ue p or que.

P23.3 lEs p o sib le d is po n er dos cargas puntuales separadas par una

distancia fin ita , de m odo que la energia po tencial electrica del o r-

denamiento se a la misma que si las dos cargas estuviesen infinita-

mente lejos una de la otra? L Po r q ue ? 0 '.Y si se tienen tres cargas?

E xp liq ue s u ra zo nam ie nto .

P23.4 En un examen de flsica qu e u na v ez se h izo en u na f amo sa u ni

vers id ad , se p ed ia a lo s estu dian tes q ue calcu lasen la e nerg ia p oten cial

de cierta distribucion de cargas puntuales, Una de las estudian tes no

efectu 6 nin gun calculo para resolver este p roblem a, sino qu e sim ple-

m ente respo ndi6 con: "La energ ia p oten cial pu ede tener el valo r qu e

uno quiera" , Aunque esta no era la respuesta que el p rofesor tenia en

m en te a l re da cta r el prob lem a, la calificacion fue de todos m odos to-

· ta .l m en te f av or ab le p ar a l a e st ud ia nt e. lPor que era correcta esta res-puesta? (Nota: iN o in tente hacer esto en su s examenesl)

P23.5 Si E es cera en todos lo s p un tos a 1 0 largo de cierta tray ectoria

q ue lleva d el p un ta A al punto B, o' .cl lales ia diferencia de p oten cia l en -

tre eso s do s p un tas? o '.S ig nifica e sto q ue E es cero en todo s lo s p un tos

a 1 0 la rg o de cualquier travectoria de A a B ? ExpJique su respues ta .

P23.6 Si jJ ; es cero en todas partes de cierta regi6n del espacio,

o' .necesariamente el potencial tambien es cero en esta region? o' .Po

que? Si no 1 0 e s, o '.que s e puede afirm ar ace rc a del p oten cial?

P23.7 S i se efectu a la in teg ral de l

campo electrico J E • J l co n res-

pecto a una trayectoria cerrada,

com o el que se m uestra en la figu-

ra 23.27, la in te gra l s era siempreigual a cera, cualqu iera que sea la

fo rm a d el tra yec to y l a u b ic a ci 6n

de las cargas con respecto al tra- - F i gu ra 2 3. 27 P re gu nta P 23 .7 .y ecto. E xp liq ue p ar qu e.

P23.8 La diferencia de po tencial entre los des bornes de una bateria

AA (de las que se usan en las lam paras de m ana yen los radios porta-

tiles) es de 1 .5 V . Si s e co lo can do s bat er ia s AA u nid as p or lo s extremes,

con el bo rne p ositivo de u na bateria en co ntacto con el bo rneneg ative

de la otra, i, cu at e s la diferencia de p oten cial en tre los barnes de los ex -

trem os ex pu esto s d e la c om bin ac io n? E xp liq ue su raz on am ien to .

P23 ..9 Es facil crear un a diferencia de potencial de varios m iles de

v olts e ntre el cuerpo y el.piso, frotando lo s zapatos sobre una al-

fom bra de ny lon. A l tocar la perilla m etalica de u na pu erta, recibi-

m os una descarga m oderada. Sin 'em bargo, el con tacto con un cab le

electrico con un voltaje comparable seria probablemente mortal.

lA que se debe la diferencia? •

P23.10 Si se conoce el potencial electrico en un solo pun to , o '.s

p ue de h alla r E en ese punta? En caso afirrnativo , I,c61 11 o? Si no se

puede, ipor que?

P23.11 Y a q ue las lineas de cam po y las su perficies eq uipo tenciales

son siem pre perp en dicu lares, n un ca se pu eden cruzar do s superficies

. eq uipo tenciales; si 1 0 h icieran, la direcci6n de jJ ; seria am bigua en los

p un to s de cru ce. In clu so , do s su pe rfic ies eq uip ote nciale s p are cen cru -

zarse en el cen tro de la figura 23.23c. Explique por que no ex iste am -

big uedad algu na acerca de J a direccion de E e n e ste c as o e n p artic ula r.



P23.12 Al caminar una persona a traves de una cierta region del

espacio, el potencial en su posicion se hace cada vez mas positivo

al trasladarse de norte a sur. EI potencial no cambia al trasladarse:

bacia el este, el oeste, arriba 0 abajo. ",HaY·JleCesariamente un cam-

po elecrrico en esta region? I{e ser asi, ",cuales su direccion? Expli-

que su razonamiento. Sugiera una forma de hacer variar el

potencial can la posicion del modo como se ha deserito,

P23.13 ~Es el gradiente de potencial una cantidad esc alar 0 una

cantidad vectorial? ",Como se puede saber?

P23.14 Se va a cargar una esfera conductora induciendo en ella

carga positiva poco a poco hasta el momento en que la carga total

sea Q. Se afirma que el trabajo total que este proceso requiere es

proporcional a Q 2. i.,Escorrecto esto? {,Porque?

P23.15 i ,Existen casos en electrostatics en los que una superficie

conductora no sea una superficie equipotencial? Si los hay, cite un

ejemplo. Si no, explique por que,

P23.16 Se coloca una es fe ra conducto ra entre dos plaeas paralelas

con carga como las' que se muestran en la figura 23J. ~Depende el

campo electrico en el interior de la esfera del lugar precise en que se

coloca l a e sf er a entre las p lacas? ~Y el potencial e le ct ri co a de nt ro de

la esfera? l,Dependen las respuestas a estas preguntas del heche de que

haya 0 no una carga neta en la esfera? Explique SO razonamiento.

P23.17 Un conductor con una carga nets Q tiene una cavidad hue-

ca en su interior. i.,Varia el potencial de un punto a otro dentro del

material del conductor? i . ,Y adentro de la cavidad? (,C6mo es el po·

tencial adentro de la cavidad en cornparacion con elpotencial aden-

tro del material del conductor?

P23.18 Un cable de cd de alta voltaje cae sobre un auto, de modo

que t cd a su c ar ro c er ia r ne ta li ea es ta a un potencial de 10,000 V con

_respecto a tierra. a) i.,Que I e o cur re a los ocupantes cuando estan

sentados dentro del auto? b) lcuando salen de 61?Explique su razo-

namiento.P23.19 Cuando se aproxima una tormenta electrica, a veces los rna-

rineros que estan en elmar observan u n f en omen o conocido como

"fuego de San Telmo", 0 sea una luz azulosa parpadeante en las pun-

tas de los mas tiles. lA que se debe? GPorque sepresenta en las puntas

de los mastiles? loPorque es mas pronunciado el efecto cuando los

mastiles estan mojados? (Sugerencia: £1 agua de mar es buena con-

ductora de la electricidad),

P23.20 Se ccloca una carga puntual positiva cerca de un plano

conductor muy grande. Un profesor de fisica afirma que el campo

creado por esta configuracion es el mismo que se obtendria retiran-

do el plano y colo cando. una car ga pun tua l negativa de igual magni-·

tud en la posicion equivaJente de la imagen en el espejo, detras de

la posici6n inicial del plano. LEs correcta su aseveraci6n? GPor

que? (Sugerencia: Estudie la figura 23.23b).

P23.21 En electronica se acosturnbra definir el potencial de tierra

(pensando en la Tierra como en Ull gran conductor) como cero. i.,Es

esto congruente con el hecho de que la Tierra tiene una carga elec-

trica neta diferente de cero? (Consulte el ejercicio 21.30).

Ejercicios

S ec ci6 n 2 3. 1 E n ergia p ote nc ia l e lec trica

23.1 Una carga puntual q [ = +2.40 pC se rnantiene inmovil en el

origen, Una segunda carga puntual q2 = -4.30 j.LC se traslada del

Ejercicios

punta x = 0.150 m, y = 0 a l p u nto x = 0.250 111 , Y = 0

(,Cuanto trabajo realiza la fuerza electrica sobre q 2 ?

23.2 Una carga puntual q [ se mantiene fija en el origen, S

una s eg un da c arg a q 2 en el punto a y la energia potencial elec

par de cargas es +5.4 X 10-81 Cuando la segunda carga se tra

punta b , l a f ue rz a e le ct ri ca sobre la c ar ga r ea li za -1.9 X 10-8

bajo, i.,Cmiles la e ne rg ia p ote nc ia l e le ctri ca del par de c ar ga s

la seg unda esta en el punto b ?

23.3 Una esfera metalica pequefia, con una carga neta

-2.80 j.LC, se mantiene en una posici6n fija por medio de

aislantes. Se proyecta bacia ql una segunda esfera metalica p

can una carga neta de q 2 =-7.80 J . L C Yuna masa de 1.50 g.

las dos esferas estan a 0.800 TIl una de la otra, q 2 se traslada

COD una rapidez de 22.0 rn/s (Fig, 23.28). Suponga que las d

ras se pueden tratar como cargas puntuales, No considers l

de gravedad, a) GCnal es la rapidez de q 2 cuando las es fe ras

0.400 m una de l a o tr a? b) i.,Cuanto"es 1 0 mas que q2se acerc

v =22.0 mls~

foE-~--- 0.800 m--~---,;;>

F ig ur a 23. 28 Ejercicio 23.3.

23.4 lA que distancia de una carga puntual de -7.20 J . L C d

Iocarse una carga puntual de +2.30 j.LC para que la energia

cial U del par de cargas sea de -0:400 17(Tome U CO

cuando la separacion entre las cargas es infinita),

23.5 Se mantiene fija en el origen una c ar ga p u nt ua l Q = +4Se ccloca sobre el eje de las x, a 0.250 m del origen, una segu

ga puntual q = + 1.20poCcon una masa de2 .80 X 10 -4kg. a)

la energia potencial electrica U del par de c a r g a s ? (Tome Uco

cuando la separaci6nentre las ca rg as es infinite). b) Se deja lib

gunda carga puntual, inicialmente en reposo. i) ",Cual es su

cuando su distancia al origen es de 0.500 m? ii) [,5.00 m? iii) ,

23.6 Se co lccan tres cargas pu ntuales ig uales de 1.20 f . L C en

tices de un t riangu lo equi la te ro -euyos l adosr ni den 0.500 m.

l a e n er gi a potencial del sistema? (Tome como cera la energia

cial de las tres cargas cuando l a s epa rac ion entre ellas es infin

-23.7 Una.carga puntual ql = 4.00 nC se coloca en el origen

segunda carga puntual q 2 = -3.00 ne sobreel eje de las x

+20.0 cm. Se va a cclocar una t er ce ra c ar ga puntual q J =

sobre el eje de.las x, entre ql Y q 2 ' (Tome como cero laenetg

tencial de las tres cargas cuando la separacion entre elIas e

ta). a)i,Cmil es la energia potencial del sistema de tres carg

se coloca enx = + 10.0 em? b) ",Donde se debe, colocar q) p

la energia potencial del sistema sea igual a cere?

23.8 En eI inciso (c) del ejemplo 23.1 (secci6n 23.1), ca

distancia entre el positron y la particula alfa cuando el positr

da momentanearnente en reposo.

23.9 Tres cargas puntuales, que inicialmente estan infinitam

JOS unas de otras, se'colocan en los vertices de un triangulo eq

de lados d. Dos de las cargas puntuales son identicas y su car



900 C APiTU L 0 23 I Potencialelectrico

Si el trabajo neto quese requiere para colocar las tres cargas en los

vertices del triangulo es cero, ,pilll es el valor de la te rc era c arg a?

23.10 Un prot6n, una p a rt ic u la alta, un electron y ur i neutron estan

en repose en los vertices de un cuadrado, cuyos lados miden 5,00 X

1O ~ I O m, con el electron y el neutron en vertices opuestos. GCual es

la cantidad minima de trabajo que se debe reillizar para alejar mu-

cho las particulas unas de otras?

23.11 Se mantienen en reposo, en los vertices de un triangulo rec-

tangulocuyos lados miden 8.00 X 10-10 ill, dos protones y una par-

r ic ul a a lfa , Luego se dejan libres las particulas, las cuales se separan,

~Cual es su energia total wando estan muy lejos unas de otras?

23.12 Un acelerador ciclotron dirige dos protones uno contrael

otto, cada uno con una rapidez de 1000 krn/s medida con respecto

a 1aTierra. Hallela fuerza electrica maxima que estes protones

ejercen uno sabre el otro,

Seccion 23.2 Potencial electrico

23.13 U na p artic ula p eq uefia tiene unacarga de ~5.00 /-LCY una

rnasa de 2.00· X 10-4 kg. Se traslada desde el punto A ;" donde el po-

"\ tencial electrico es VA = +200 V . ,'IIpunta B, donde el potencial

electric o es V ;, =+ 800 V . La fuerza electricaes 1,'1(mica fuerza que

aetna sobre 1 ,'1partlcula, E sta tien e una rapidez de 5.00 m /s en el

punto A. i. , Cu al e s s u ra pid ez en el punto B? I,Se traslada CQ n mas fa-

pidez a mas lentarnente en B que en A? Explique su respuesta,

.23 .14 Se co locan cargas puntuales identicas q =: +5.00 p,C en

vertices opuestos de un cuadrado, L a Iongitud de cada lado del ella-

drado es de 0.200 m . Se coloca una carga puntual qo = -2.00 - p , C

en uno de los vertices desocupados, ~Cuanto trabajo realiza Ia fuer-

za electrica sobre qocuando esta earga es desplazada desde el otro

verticedesccupado? _

23.15 La direccion de un campo ele crrico u nifo rrn e es h acia el es -

t e o El punta B esta a 2.00 m , 'II oeste del punto A, el punto C esta a

2.00I'lJ aleste del puntoA, y el punta D esta 2.00 m ,'11sur del A,Con respecto a cadapunto, 2 , e s el potencialen ese punto mayor, me-

nor 0 el mismo que 'en el pun to A? Exponga el razonamiento en el

que se apoyal1 su s -respuestas,

23-.16 Una particula can una carga de +4.20 nC esta inicialmente

en reposo en un campo electrico uniforme E dirigido hacia la iz-

quierda. Al que dar en l ib er ta d, 1 ,'1particula se des plaza a Ia izq uier-

da y, despues de recorrer 6,00 em, SII energla cinetica resulta ser de

+ 1.50 X 1O~ 1 . a) i.,Que trabaj 0 realiz6 la fuerza electrica? b) i,Cual

es el potencial del punta de partida can respecto al punto final? c)

i.,Cmil lO S 1,'1magnitudde E ?23.17 Se co Ioca una carga de 28.0 nC en un campo electrico unifor-

me dirigido verticalmente bacia arriba y cuya magnitud es de 4.00

X 104

Vim. /,Que trabajo realiza la fu erza electrica eu an do 1 ,'1earg ase traslada a) 00450 mala derecha; b) 0.670 m bacia arriba; c) 2.60

m a un :ingulo de 45° hacia abajo COil respecto a la holizo11tal?

23.18 Dos cal'gas puntuales fijas de + 3.00 ne y +2.00 nC est&nse-

paradas por una distancia de 50.0 em. Se deja !ibre un elect1'6n, ini-

cialmenle en reposo, en un pluito elwidistante entre las dos ~a.rgas,ef

eual se traslada a 1 0 largo de la IinlOaque las enlaza. "ClIal es 1arapi-

dez del electron cuando esta a 10 . 0 em de la ca.rgade +3.00 nC?

23.19 Se tiene u:na carga puntual de 2.50 X 10-11 C. a) i.,Aque dis-

tancia de esta carga es el potencial electrico 90 .0 V,? b) i.,30 .0 V' I To--

me el potencial cumo cera a una distancia infinita de la carga.

23.20 E1potencial V . < I Ullil distancia de 25.0 cm desde una esfera

muy pequeiia con carga es de 48.0 V , tomando V como cero a ellla

It

':

distancia infinite desde laesfera, a) Si se trata la esfera como un

carga puntual, i ;Cm!1 lOS su carga? b) LCual es el potencial a una-dis

tancia de 75.0 em desde 1 ,'1esfera? .

23.21 D os c arg as p un tu ale s q] = +2.40 ne Y ql =-6_50 nC estan

0.100 m una de otra. El punto A

esta a medio camino entre ambas;

el punto B esra a 0.080 m de ql y

a 0.060 m de q 2 (Fig. 23.29)fio-

me e l p o te nc ia l e le ct ri co com 0

cera en el infinito. Halle a) el po-

tencial en el punta A ; b) el poten-cial en el punto B ; c) el trabajo F i gura 23. 29 Ejercicio 23,21.

realizado par el campo electrico

sabre una carga de 2,50 nC que viaj a del punta B a l p un to A _

23.22. Do s c arg as p un tu ale s p os itiv as , c ad a una de magnitud q, es

tin fijas sabre el ej e de las y en los .puntos y = + a.y y =-a, Tome

el potencial como cera a una.distancia infinita de las cargas. a

Muestre las posiciones de las cargas en un diagrama b) ~Cual es e

potencial Voen el origen? c) Muestre que el potencial en cualquierpunto sabre el eje de las x es

d) Grafique el potencial sabre el eje de las x en funcion de x en e

intervale de x = --40 a x " " + 40.~ e) i,eual es el potencial cuando

x » a? ExpJique por que se obtiene este resultado.

23.23 Una carga positiva +q esta en el punta x = O,y = -0y una

carga negativa -q s e en cu ent ra en e l p un to x = 0 , y = + a. a) M u es

tre las posiciones de las cargas en un diagrams. b) Deduzca una ex

presion del potencial Ven puntos sobre el eje de las x en funcion d

la coordenada X. Tome V como cero a una distancia infinite de la

cargas. .c) Grafique Ven puntas sabre el eje de las x ell funcion dex en el intervale de x = --4a a x = +4a. d) ~Cual es la respuesta a

inciso (b) si se intercambian las cargasde modo que +q este en

y = + a y -q este eny = -a?

23.24 Considere el ordenamiento de cargas que se describe en e

ejercicio 23.23 _a)Deduzca una expresi6n para el potencial V en pun"

to s sobre el ejede la s j- en funci6n de la .coordenada j.Tome V como

cera a una distancia.infinita d.elas cargas. c) Grafique V en"puntas sa

bre el ej e de las )I en funcion de j: en el intervale de y = --4a a j. =

+4a. c) Demuestre que.cuando y» a, el potencial eujin punto sa-

bre el eje positive de las y esta dado par V = - (4 ' ; ' 0 )2qa/y"-

d) i,CuMes son las respuestas a los incisos (a) y{c) si se intercarnbian

las cargas de modo que +q este en y = +a y -q este en y =-a?

21 .25 Una. ca rga pos it iv a q e st a f ij a en e l pun to x = 0,]1 = 0 , y una

c ar ga n ega ti ve ~2q e sta f ij a en el punto x =a,y = = 0 _ a ) M u es tre la

posiciones de las em-gas en lin diagrama, b) Deduzca una expresi6n

del pote11cial Ven puntos sobre el eje de las x en nmcion de la coor-

denada x. Tome V como cera a un~ distancia infinita de las cal·gas

c) i,En que posiciones sobre el eje de las x lO S V =O?d) Grafique V

en puntas sabre el eje de las x enfunci6n de x en el intervalo de

x = -2a ax = +2d. e) GComo cambia la respuesta aI inciso (b

cuando x» 01 Explique par que se obtiene esteresultado.

. 2 3. 26 Considere el ordenamiento de cargas que se describe en e

ejercicio 23.25. a) Deduzca una expresi6n del potencial Ven pun-

tas sabre el eje de las y en 'ftl11eionde la coordenada)l, Tome V co

mo cero a llna distancia infinita de las cargas. b) i,En que



posiciones sobre el eje de las y es V =O? c) Grafique V en puntos

sobre el eje de las y en funcion de y en el intervalo de y = -2a a

y =+2a. e) i,Como cambia la respuesta al incise (a) cuando x » a?

Explique por que se obtiene este resultado:

23.27 Antes del advenimiento de la electronics de estado solido,

los bulbos de vacio se usaban extensamente en radios y otros apa-

rates. Un tipo sencillo de bulbo de vacio conocido como diodo se

compone fundamentalmente de das electrodos en el interior de un

compartimiento al alto vacio, Uno de los electrodes, el catodo.ee

mantiene a una temperatura alta y emite eleetrones desde su super-

ficie. Se mantiene una diferencia de potencial de algunos cientos de

volts entre el catodo y e l otro electrodo, conocido como el dnodo, con

este ultimo al potencial mas elevado. Suponga que un diode consis-

te en un anode cilindrico de 0.558 em de radio. El potencial del

anode es 295 V mayor que el del catodo, Un electron parte de la su-

perficie del catodo eon una rapidez inicial de cera. Halle su rapidez

al incidir en el auodo:

23.28 A cierta distancia de una carga puntual, el potencial y la mag-

nitud del campo electrico debido a esa carga son de 4.98 V Y 12.0Vim, respectivamente. (Tome el potencial como cero en el infinite).

a) ~Cual es la distancia ala carga puntual? b) ~Cual es la magnitud de

la carga? c) ~Esta dirigido el campo electrico bacia la carga puntual,

o en sentido contrario?

23.29 Un campo electrico uniforme tiene una magnitud E y esta

dirigido en la direcci6n x negativa. La diferencia de potencial entre

el punto a (en x = 0 .60 11 1) Y el punta b (en x = 0.90 mjes de 24 0

V . a) I,Cual de los puntas, a 0 b , esta al potencial mas elevado? b)

Calcule el valor de E. c) Una carga puntual negativa q =0.200 nC

se traslada de baa. Calcule el trabajo realizado por el campo elec-

trico sobre la carga puntual, --

23.30 Con respecto a cada uno de los arreglos siguientes de dos

cargas puntuales, halle todos los puntos a 10 largo de la recta que pa-saper ambas cargas en los que el potencial electrico Ves cera (tome

V = 0 a una distancia infinita de las cargas) y en los que el campo

electrico E es cera: a) cargas +Q y +2Q separadas por una distan-

cia d; b) cargas -Q y +2Q separadas par una distancia d. c) i,Son

tanto V como E cero en los mismos lugares? Explique su respuesta,

23.31 a) Se va a acelerar un electron de 3.00 X 10"mls a 8.00 X 106

m/s, i,A traves de que diferencia de potencial debe p as ar e l electron pa-

ra lograr esto? b) i,A haves deque difereneia de potencial debe pasar el

electron para que su rapidez disminuya de 8.00 X 106m/s a cero?

S ec cio n 2 3.3 C alc ulo d el p ote nc ia l e h!d ric o

23.32 Una carga electrica total de 3.50 nC esta distribuida unifor-

memente en la superficie de una esfera metalica con un radio de

24.0 em , Si e 1 potencial es cera en Ull punto en el infinito, h alle elvalor del potencial a las distancias siguientes del centro de la esfe-

ra: a) 48.0 ern; b) 24.0 em; c) 12.0 cm.

23_33 Un anillo delgado con carga uniforme tiene un radio de 15.0

ern y una carga total de +24.0 nC. Se coloca un electron sobre el eje

del anillo, a una distancia de 30.0 ern de su centro, obligandolo a

permanecer en reposo sobre el eje del anillo. Despues se deja libre

el electron. a) Describa el movimiento consecutivo del electron. b)

Halle larapidez del electr6n cuando este alcanza el centro del anillo.

23.34 Una linea de carga infinitamente larga tiene una densidad li-

neal de carga de 5.00 X 10-12C/m. Un prot6n (masa 1.67 X J 0-27

kg, carga + 1.60 X lO-19C) esta a 18.0 cm de la linea y 5e trasJada

Ejercicios

directamente hacia ella a 1.50 X 103m/s, i,Cua.] es la aproxim

maxima del proton a la linea de carga?

23.35 Dos placas metalicas paralelas grandes tienen cargas o

de igual magnitud, Las separa una distancia de 45.0.mrny Ia

cia de potencial entre ellas es de 360 V . a) i ,enRl es la magni

c am po electrico (se su po ne u nifo rm e) en la region entre las pla

i,Cual es l a magn it ud de l a f ue rz a que este campo ejerce sobre u

ticula COiluna carga de +2.40 nC? c) Con base en los resulta

inciso (b), calcule el trabajo realizado por el campo sabre la p

cuando esta se traslada de la placa de mayor a la de menor po

d) Compare el resultado del inciso (c) COilel cambia de energia

cial de la misma carga, calculado a partir del potencial electric

23.36 Dos laminas metalicas paralelas grandes Call cargas

tas de igual magnitud estan separadas par' una distancia

mill. EI campo electrico entre ellas es uniforme y su magnitud

480 N/C. a) i,Cual es la diferencia de potencial entre las la m i

l.Cmlllamina esta a un potencial mas alto: la que tiene carga

va 0 la que tiene carga negativa? 6) l,Cmll es la densidad d

superficial 0' de la lamina positiva?23.37 Se establece una diferencia de potencial de 4.75 kV

placas paralelas en el aire, a) Si el aire se tOIDaelectricamente

ductor cuando el campo e le ct ri co excede los 3.00 X 106 VIm

es Ia separacion minima de las placas?b) Cuando la separaci

ne el valor minimo calculado en el inciso (a), l,cual es la de

superficial de carga de cada placa? -

23.38 Dos placas conductoras paralelasgrandes con cargas o

de igual magnitud estan separadas par una distancia de 2.20 em

la magnitud de Ladensidad de carga superficial de cada plac

47.0 nC/m2, i.cnal es l a magn it ud de E en la region en tr e l as

b) ~Cual es la diferencia depotencial entre las'dos placas? c) S

plica la separacion entre las placas pero se rnantiene constante

sidad de carga superficial en el valor del inciso (a), i ,que Ie o

la magnitud del campo electrico y ala diferenciade potencial

23.39 a) Demuestre que V de una coraza esferica de radio

una carga q distribuida uniformemente en su superficie, es

mo que el de un conductor solido de radi 0 R Y can carga q. b

ted frota un globoinflado sobre una alfornbra, el globo adqu

potencial 1200 V menor que su potencial antes de tenet carg

carga esta distribuida uniformemente en la superficie del glo

eI radio de estees de 15 ern, i,cmil es la carga neta del globo

la luz de su diferencia de potencial de 1200 V con respecto a

l,considera que este globo es peligroso? Explique Sl1 respues

23.40 EI campo electrico en la superficie de una esfera so

eobre can carga cuyo radio es de 0 .20 0 m es de 3800 N/C, d

hacia el centro de la esfera, ,; ,Cua.ies el potencial ell el centr

e sf er a s i se t oma como cera a una d i stanc ia in fin it a de la esf

Secci on 23 .4 S upe rf ic ie s equ ipot en cia le s y

secclon 2 3.5 G ra die nte d e p ote nc ia l

23 .41 En cierta region del espacio el potencial electrico es V

=A),.y-Bx2 + C y, dondeA, Bye son constanres positivas. a )

Ie las componentes x,y y z del campo electrico, b) i,En cuale

tas el campo electrico es igual.acero? .

23.42 ELpotencial debido a una carga puntnal Q en el ori

puede escribir como

Q 0,V=---= -.

4 ' ITEor 4'ITEOy..,:.l+ Z2



902 CAPiTULO 23 I Potencial. electrico

a) Calcule E ;" E; y E , mediante la ecuacion (23.19). b) Muestre que

el resultado del inciso (a) concuerda can la ecuaci6n (21. 7) del

campo electric a de una carga puntual.

23.43 EI potencial esta dado par V = 0 cuando z < 0, V = Cz

cuando 0<

z <dy

V = C dcuando z

> d,dande C y

dson cons-

tantes positivas, El potencial no depende ni de x ni de y. a) Halle el

campo electrico (magnitud y direccion) en todos los puntas. b)

i,Que distribucion de carga podria ser la fuente de este campo? Ex-

pJique su respuesta.

23.44 Una esfera metalica de radio ra esta sostenida sobre un so-

porte aislante en el centro de una coraza rnetalica esferica hueca de

radio rh' La esfera interior tiene una carga +q y la eoraza esferica

exterior una carga +q. a) Calcule el potencial VCr) cuando i) I' < I'a ;

ii) l'a < r < r b ; iii) I' > 1'0' (Sugerencia: EI potencial neto es la suma

de los potenciales debidos a las esferas individuales), Tome V como

cera cuando res infinito. b) Demuestre que el potencial de la esfe-

ra interior COl] respecto a la exterior es

q ( 1 1)Vah =4m,~ ~ - -;:;,

c) Con base en la ecuacion (23.23) y el resultado del incise (a), de-

muestre que Iamagnitud del campo electricoen cualquier punto en-

tre las esferas es

( )Vab

Er =-:----------:-

(lira - UrI!) 1' 2

d)Can base en la ecuacion (23.23) y el resultado del inciso (a), halle el

campo electrico en un punto situado afuera de la esfera mas grande a

una distancia r del centro, dcnde r > rb' _e)Suponga que la carga de la

esfera exterior no es -q-sino una carga negativa de diferente magnitnd,

por ejemplo, -Q. Demuestre que las respuestas a los incisos (b) y (c) si-

guen siendo las rnisrnas pero la respuesta al incise (d) ee diferente.

23.45 Una esfera metalica de radio ra = = 1.20cm esta sostenida so-

bre un soporte aislante en el centro de una coraza metalica esferiea

hueca de radio rb =: 9.60 ern, Se coloca una carga +q en la esfera

interior y una carga -q en la coraza esferica exterior. La magnitud

de q se ha elegido de modo que la diferencia de potencial entre las

esferas sea de 500 V ; con la esfera interior al potencial mas alto. a)

Calcule q con base en el resultado del ejercicio 23.44(b). b) COil

ayuda del resultado del ejercicio 23.44(a), dibuje las superficies

equipotenciales que corresponden a 500, 400, 300, 200,100 yO v . c)Muestre en su dibujo las lfneas de campo electricc, i,Son mutuarnen-

te perpendiculares las lineas de campo electrico y las superficies

equipotenciales? i,Estim las superficies equipotenciales mas proxi-

l11lIS unas de otras cua.ndo la magnitud de E es maxima?

23.46 Una carga Q esta distribuida uniformemente a 1 0 largo de

::;;;3 'aIilIa de longitud 2a. En el ejemplo 23.12 (seccion 23.4) se de-

c . . ; =ezpresion del potencial Ven un punta sabre la bisectriz

::e<:~uIm- de la varilla a una distancia x de su centro. a) Diferen-

=expresien, halle If!componente x del campo electrico en

~. - ');o:;x"5re que el resultado es la misma expresi6n halla-

'-'-"~ ~ ~ .:~. - - [seecion 21.5) par integracion directa, (Suge-

- e__ogaritmo natural de la fracci6n como la

~~:;;;os para simplificar el calculo). b) Por si-

biseetriz perpendicular de la varilla

~ • ow seria correcto sacar estas con- ~

23.47 Se establece una diferencia de potencial de 480 Ventre placas

metalicas paralelas grandee. Sea el potencial de una de las placas de

480 V y de la otra de 0 V . Las placas estan separadas par d =1.70 cm.

a) Dibuje las superficies equipotenciales que corresponden a 0, 120,

240,360 Y 480 V . b) Muestre en s u d ibu jo las lineas de campo eIec-.trico. l.Confimla su dibujo que las lineas de campo y las superficies

equipotenciales son mutuarnente perpendiculares?

Problemas

23.48 Tres esferas pequefias con una carga de 2.00 fLC cada una

estan dispuestas en linea, con Ia esfera 2 en medic. Las esferas ad-

yacentes estan iniCialmente a 8.00·cm una de otra. Las masas de las

esferas son In) =20.0 g, m2 = 85.0 g y m3 =: 20.0 g, Y sus radios

son mucho menores que su separacion, Se dejan libres las tres esfe-

ras que inicialmente estaban en reposo. a) ",Cmil es Ia aceleracion

de la esfera 1 inmediatarnente despues de quedar en libertad? b)

i,Cm\1es la rapidez de cada esfera cuando estan lejos unas de otras?

23.49 Una particula con una carga de + 7.60 nC, inicialmente enrepose, esta en un campo electrico uniforme dirigido bacia la iz-

quierda, Otra fuerza, adem as de la fuerza electrica, actua sobre la

particula de modo que, cuando esta queda en libertad, se traslada

bacia la derecha. Cuando la particula ha recorrido 8.00 em, la fuer-

za adicional ha realizado 6.50.X 10-5 J de trabaj 0 y la particula tie-

ne 4.35 X 10-5 J de energia cinetica, a) I ,Cuanto trabajo realize la

fuerza electrica? b) lCual es elpotencial del punta de partida eon res-

pecto al punta final? c) i,Cuaf es lamagnitud del campo electrico?

23.50 En elm odelo de B oh r del atorno de hidrogeno, un unico elec-

tron gira alrededor de un solo proton 'en un circulo de radio r. Supon-

ga que el prot6n permanece en repose. a) Igualando la fuerza electrica

al prcducto de Ia masa del electron por su aceleracion, deduzca tma

expresion de la rapidez del electron. b) Obtenga una expresicn de la

energia cinetica del electr6n y dernuestre que su magnitud es simple-mente la mitad de la energia potencial del electron, c) Obtenga una ex-

presion de Ja energia total y evalue esta con base en r = = 5.29 X 10-11

m. Proporcione eJresultado numerico enjoules y en electron volts.

23.51 En el ejercicio 23.27 se describio un'diodo de bulbo de va-

cia. Debidc ala acurnulacion de carga cerca del catodo, el potencial

electrico entre los electrodos no es una funcion lineal de la posi-

ci6n, incluso con gecmetria plana, sino que esta dado par

V(x) = C x4/3

donde xes la distancia desde el catodo (electro do negative) y C es

una constante, caracteristica del diodo y de las condiciones de fun-

cionamiento en particular. Suponga que la distancia entre el catodo

yel anode (electrode positivo) es de 13.00 mm y que la diferencia

de potencial entre electrodes es de 240 V . a) Determine el valor de

C. b) Obtenga una f6rmula del campo electrico entre los electrodos

en funci6n de x. c) Determine la fuerza sabre un electron cuando

este sehalla a media camino entre los electrodes,

23.52 Consulte el problema 22.51. Con respecto ala situacion que

se rnuestra en la figura 22.41, calcule la energia que se necesita pa-

ra trasladar los dos electrones de carga -e infinitarnente lejos uno

del otro y de la esfera con carga uniforme. Exprese su respuesta en

terminos de las distancias d y R.

23.53 Cristal ianico. La figura 23.30 rnuestra ocho cargas puntuales

dispuestas en los vertices de un cubo con lades de longitud d. Los va-

Jores de las cargas son +q y -q, como se indica. Este es un modelo de



la celda de un cristal i6nico cubi-

co. En el cloruro de sodio (NaCl),

par ejemplo, los iones positives

son Na + , y los iones negatives,

CI-. a) Calcule l a e n er gi a poten-

cial U de este arreglo. (Tome co-mo cero la energia potencial de

las oeho cargas cuando estill infi-

nitamente lejos unas de otras). b)

En el incise (a) usted debio haber

hallado que U < O.Explique la

relacion entre este resultado y Figura 23.30 Problema 23.53.la observacion de que los cristales

ionicos de este tipo existen en la naturaleza,

23.54 "Cristal" unidimensional. Aunque los cristales reales SOll

tr id ir ne ns io na le s, e s mu ch o 1 0que se puede aprender de modelos uni-

dimensionales simples que perrniten realizar calculos con facilidad

mucho mayor. Como modele unidimensional deun cristal ionico co-

mo el c1oruro de sodio (NaCI). considere iones positives y negatives

altemados de carga +e y -e, respectivamente, uniformemente espa-

ciados a 1 0 largo del eje de las x con una separacion d (Fig. 23.31). Se

puede considerar que las cargas se extienden hasta el infi.nito en am-

bas di.recciones. a) Considere la energia potencial de la interaccicn

entre el ion positive en x = 0 y todos los demas iones. Esto represen-

ta Ia energia potencial por ion de este "cristal" unidimensional. Es-

criba una expresion de esta energla potencial (la expresion sera una

serie infinita). b) Evahie la serie infinita del incise (a) mediante la ex-

pansi6n In(1 + z) = z - ?!2 + 23/3 - z

4/4 +....valida en el caso en

que Izl5: 1.c) l.Tiene la energia potencial por ion el mismo valor can

respecto a los iones negatives del-vcristal" que can respecto a los io-

ne~ positives? ExpJique su razonamiento, d) En el crisral tridimensio-

nal real de NaCl, la separacion entre iones adyacentes es de 2.82 X

10-10 m. Tomando esta separacion como el valor de den la figura

23.31, caleule la energia potencial porion en el cristal unidimensio-

nal. e) En casi todas las sustancias i6nicas cristalinas rea le s ( tr id i -

rnensionales) como el NaCI, la energia potencial por ion es de

alrededor de -8 X 10-1 9 Jlion. i,C6mo es esta cifra en comparacion

con su resultado del inciso (d)? i,Que tan satisfactorio como modelo

es el "cristal" unidimensional de la figura 23.31?

-q

+e -e +e -e +e -e +e -e +e -e +e -e

~

Figura 23.31 Problema 23.54.

23.55 EI ion n,', EI ion H/ consta de dos protones, cada uno cancarga +e = 1.60 X 10-19 C, Yun electron de carga -e y masa 9.11 X

10-31 kg. La separaci6n entre los protones es de 1.07 X 10-10 m. Po-

demos tratar los protones y el electron como cargas puntuales. a) Su-

ponga que el electron se encuentra en el punto rnedio entre los dos

protones. i,Cual es la energia potencial de la interaccion entre el elec-

tron y los dos protones? (No incluya la energla potencial debida a la

interaccion entre los dos protones). b) Suponga que el electron del in-

ciso (a) tiene una velocidad de magnitud 1.50 X 106 m/s en una di-

reccion a 1 0 largo de la bisectriz perpendicular de la recta que enlaza

los dos protones, I.Hasta que distancia respecto al punta media en-

tre los dos protones se puede trasladarel electron? Debido a que la

Problemas

masa de los protones es mucho mayor que la masa del.electro

movimientos de los protones son muy lentos y se pueden pas

alto. (Nota: Una descripci6n realista del movimiento del electro

ge el uso de la mecanica cuantica, no de la mecanica newtonian

23.56 Una esfera pequefia can una masa de 1.50 gcuelga de u

'del entre dos placas verticales paraielas separadas por una distan5.00 em, Las placas son aisladoras y tienen densidades de carga

-. ficiales unifonnes +(J'Y -(T La carga de la esfera es q = = 8.90

C. l.Qlle diferencia de potencial entre la placas han! que el

adopte un angulo de 30.0" can respecto a la vertical (Fjg. 23.32+ q

q -

~---500 em ----+


23.57 Cllindros coaxlales. Un cilindro metalico largo de r

esta sostenido sabre ul}soporte aislante sobre el eje de un tub

talico largo y hueco de radio b . La carga positiva por unidad d

gitud del cilindro interior es A y el cilindro exterior tiene una

negativa per unidad de longitud igual. a) Calcule el potencial

wando i) r < a; ii) a < r <b, iii) r >h. (Sugerencia, Elpote

neto es la suma de los potenciales debidos a los conductores i

duales), Tome V=0 e n ~ '= h. b) Demuestre que el potencial

lindro interior con respecto al exterior es

A bV" b =--In-

217(0 a

c) Con base en la ecuacion (23.23) y el resultado del incise (a

muestre que la magnitud del campo electrico en cualquier pun

tre los cil indros es

Vab 1E(r) =--.-

In (b /a ) r

d) l,Cual es.Ia diferencia de potencial entre los dos.cilindros s

lindro exterior no tiene earga neta? _ ,

23.58 Un contador Geiger detecta la radiacion c P O I ' ejemplotlculas alfa) con base en el hecho de que esta ioniza e1aire a

Contador




r904 CAP IT U LO 23 I frbtencial.electrico

go de su trayectoria, Un alambre fino yace sobre el eje de un eilin-

dro metalico hueco y esta aislado de el (Fig. 23.33). Se establece

una gran diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro exte-

rior..con el alarnbre aJpotencial mas alto; esto crea un intense cam-

po electrico dirigido radialmente bacia afuera. Cuando la radiaci6n

ionizante entra en el dispositive, ioniza unas pocas moleculas de ai-

reo Los electrones libres asi producidos SO]] acelerados por el cam-

po electrico hacia el alarnbre y, en el trayecto, ionizan muchas

moleculas de aire adicionales, De este modo se produce una pulsa-

cion de corriente que se detecta mediante circuitos electronicos

apropiados y se convierte en un "clic" audible. Suponga que el ra-

dio del alarnbre central es de 145 f . L 1 l1 Y que el radio del cilindro

hueco es de 1.80 ern. lQUe diferencia de potencial entre el alambre

y el cilindro produce un campo electrico de 2.00 X 104Vim a 1.20

em de distancia del alambre? (Tanto el alambre como el cilindro son

muy largos en cornparacion con sus radios; por consiguiente,

son aplicables los resultados del problema 23.57).

23.59 Desvlacien en un TRC. Los tubos de rayos cat6dicos

(TRC) suelen formar parte de los osciloscopios y los monitores decornputadora. En la figura 23.34 seproyecta un electron con una ra-

pidez inicial de 6.50 X 106 111IS a 10 largo del eje que pasa per el

punto medio entre las placas de desviacion de un tubo de rayos ca-

t6dicos. El campo' electrico uniforrne entre las placas tiene una

magni tud de 1.10 X 1oj V/m y es ascendente, a) i,Cual es la fuerza

(magnitud y direcci6n) sobre el electron cuando este se halla entre

las 'placas? b) i,Cm\1 es la aceleracicn del electron (magnitud y di-

recci6n) cuando acuia sobre ella fuerza del inciso (a)? c) i.,Aque

distancia por debajo del eje ha descendido el electron cuando alcan-

za el extrerno de las placas? d) i,Con qu e angulo COil respecto al eje

se desplaza el electron.cuando sale de-entre las placas? e) i.,Aque

distancia-por debajo del eje incidira en Ia pantalla fluorescente P?

2.0= P

~ @ - - - - t - - - - - - - - - J1<t6.0em 'l¥---12.0 em _ )J


23.60 EI tubo de un contador Geiger (problema 23.58) tiene un ci-

lindro rnetalico largo y hueco de 2.00 er n de diametro, A todo 1 0 lar-

go del eje del tubo ha y un alambre de 0.127 111mde diamerro. Cuando

eltubo esta funcionando, se aplica un voltaje de 850 Ventre losdos

conductores. HaLIe la intensidad del campo electrico en a) la superfi-

cie externa del alambre; b) la superficie interna del ciLindro.

23.61 Los prec ip i tadore s e lect ros ta t icos hacen uso de fuerzas elec-

tricas para eliminar las particulas contaminantes del humo, en par-

ticular en las chimeneas de las centrales termoelectr icas que consu-men hulla. Un tipo de precipitador consiste en un cilindro metalico

vertical hueco con un alambre delgado, aislado del cilindro, a todo

10 largo del eje de este (Fig. 23.35). Se establece una diferencia de

potencial grande entre el alambre y el cilindro exterior, con el alarn-

bre al potencial m a s bajo, Esto genera un intense campo electrico ra-

d ial d i rig ido bacia adentro. EI campo crea una region de aire ioniza-

do cerca del alambre, £1 hWl10 entra en el precipitador por el fondo,

las cenizas y el polvo conrenidos en 61atrapan electrones, y los con-

taminantes con carga son aeelerados hacia el cilindro exterior por el

campo electrieo. Suponga qu e el radio del alambre central mide 90.0

p.lll, el radio del cilindro es de 14.0 em y se establece una diferencia


de potencial de 50 kV entre el alambre y el c il in d ro , Suponga adema s

que tanto el alambre como el cilindro son muy largos en cornpara-

cion con el radio del cilindro, por 1 0 que son aplicables los resultadosdel problema 23.57. a) lCual es la magnitud del campo electrico en

el punta medic entre el alambre y la pared del cilindro? b) i,De que

magnimd debe ser la carga de una particula de ceniza de 30.0 f - L g pa-

ra que el campo electrico calculado en el inciso (a) ejerza una fuerza

equivalente a diez veees el peso de la particula?

23.62 Cuatro segmentos rectilineos de carga forman un cuadrado

con lades de longitud a. El potencial es cera en el infinite. Calcule

el potencial en el centro del cuadrado si a) dos lados opuestos tienen

cada uno una carga positiva +Q, y los otros dos, una carga negativa

-Q; b) si cada lado tiene una carga positiva +Q. tSugerencia: Utili-

ce el resultado del ejemplo 23.12 de Ia seccion 23.3).

23.63- Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial

(J". a) Considerando el disco como una serie de anillos concentricos

delgados, calcule el potencial electrico Ven un punto sobre el eje

del disco a una distancia x del centro del disco. Suponga que elpo-

tencial es ce ro en el infinito. (Sugerencia: Utilice el resultado del

ejemplo 23.11 de Ia seccion 23.3). b) Calcule -iJ V/iJx. Muestre que

ei resultado concuerda con la expresion de E x calculada en el ejern-

plo 21.12 (seccion 21.5).

23.64 Una linea de carga de longitud 2a tiene una carga total Q. En

el ejem.p1 0 23.12 (Seccion 23.3) se calculo el potencial en un punto

a 1 0 largo de la bisectriz perpendicular. de la vari!la, a una distancia

x de su centro. a) Demuestre que, si x »0, Vex) tiende a Q I 47 T E o Z .

Interprets este resultado. tSugerencia: Cuando I z l « I, In(l + z) = =

z). b) Considere los puntos muy pr6ximos a la varilla, tales que x

« a. Simplifique la expresion Vex) con respecto a este caso espe-

cia1.Compare el resultado V = (AI2'TrEo)]n (Rlr) obtenido en el

ejemplo 23.10 (seccion 23.3) con respecto a un cilindro infinita-

mente largo con carga. lQue corresponde aR en este limite? l Pue-

de explicar este hecho?

23.65 a) A partir dela expresion de E obtenida en el problema

22.48, halle las expresiones del potencial electrico Ven funcicn de

t, tant.o adentro como afuera del ci Iindro. Sea V = 0 en l a superf i -

cie del cilindro. En cada caso, exprese S11 resultado en terminos de

. la cargaporunidad de longitud .A de la distribucion de carga. b)

Grafique Vy E en funcion de r de r: = 0 a r =3R.

23.66 Con respecto al problema 21.68, a) calcule el potencial en el

punto x = 3.00 em, Y =0 Yen el punto x = 3.00 em, y = 5.00 ern



debido a las primeras dos cargas, Sea el potencial cero lejos de las

cargas. b) Si la tercera carga se traslada del punta x =3.00 cm.y =

o al punta x = 3.00 em, y =5.00 em, calcule el trabajo que realiza

sabre ella el campo de las primeras des cargas. Cornente acerca del

signo de este trabajo. GEs razonable su resultado?

23.67 Con respecto al anillo de carga descrito en el ejempJo 23.11(seccion 23.3), integre la expresion de E, hallada en el ejemplo

2UO (seccion 21.4) para encontrar el potencial en el punta P del

eje del anillo. Suponga que V=0 en el infinito, Compare su resul-

lado can el que se obtuvo en e l e jemp lo 23.11 a partir de la e cu a-

cion (23.16).

23.68 Se dobla una varilla aislante delgada para forrnar un area semi-

circular de radio a y se distribuye uniformemente a 1 0 largo de la va -

rilla una carga electrica Q . Calcule el potencial en el centro de

curvatura del arco, suponiendo que el potencial es cera en el infinito.

23.69 Con respecto a Lasituacion descrita en eJ problema 22.30,

calcule la magnitud de la diferencia de potencial enlTe los pares si-

guientes de caras de,un cubo (Fig. 22.32): a) S 1 Y S 3 ; b) S 2 Y S 4 ; c)

S; y S 6 ' En los casos donde la diferencia de potencial sea diferentede cero, especifique cual de las caras esta al potencial mas alto.

23.70 a) A partir de la expresion de E(r) obtenida en el ejemplo

22.9 (seccion 22.4), halle la expresion del potencial electrico (V)(r)

en funcicn de r tanto adentro como afuera de la esfera con carga

uniforrne, Suponga que V = 0 en el infinite. b) Grafique Vy E en

funcion de r de r = 0 a r = 3R.

23.71 Una esfera solida aislante de radio R tiene una carga Q uni-

formemente distribuida en todo su volumen. a) Con base en los re-

sultados del problema 23.70, halle la magnitud de la diferencia de

potencial entre la superficie de la esfera Y su centro. b) i,QLH~sta

a[ potencial mas alto, la superficie oel centro, si i) Q espositiva? ii)

l,Si Q es negativa?

23.72 Una coraza esferica aislante con un radio interior de 25.0 cm

y radio exterior de 60 em tiene una carga de + 150.0 p.C uniforme-

mente distribuida en su superficie externa (vease el ejercicio 23.39),

El punto a esta eo el centro de la c or az a, e l punto b, en la superficie

interna, y eLpunto c, en la superficie externa, a) i,eua! sera la lectu-

ra en un voltimetro conectado entre los puntos siguientes? i) a y b ;

ii) b y c; iii) c y eJ infinito; iv) a y c. /,Que punto esta al potencial

mas alto? i) a 0 b ; ii) b 0 c; iii) a a c. c) En su caso, (,cuales de las

respuestas cambiarian de signa si las cargas fuesen de -150 p .C?

23.73 EI ejercicio 23.39 muestra que, afuera de una coraza esferica

can carga superficial uniforme, el potencial es el mismo que si toda

l a c ar g a estuviera concentrada en una c ar ga p u nt ua l e n el centro. de la

esfera, a) Can base en este resultado, demuestre que, en el caso de

dos corazas aislantes con carga uniforme, la fuerza que ejercen uno

sabre e l o tr o , asi como su energia electr ica mutua, es .[amisma que sitoda [acarga estuviese eoncentrad a en sus centres. (Sugerencia: Vea-

se la secci6n 12.6). b) GEsvalido este mismo resuitado en el caso de

esferas solidus aislantes, con carga distribuida uniformemente en to-

do su volumen? c) GEsvalido este mismo resultado con respecto a la

fuerza entre dos corazas conductores con carga? i,Y entre dos con-

ductores solidos con carga? Explique sus respuestas,

23.74 Dos esferas de plastico, cada una can una carga distribuida

uniformemente en todo su interior, se ponen inicialmente en con-

tacto y luego se dejan libres. Una de las esferas tiene 60.0 ern de

diametro, una masa de 50 g Yuna carga de -.1 0.0 } LC . La otra esfe-

ra tiene 40.0 em de diametro, una masa de 150 g Yuna carga de

Problemas

-30.0 MC. Halle la rapidezy la aeeleracion maximas que alca

cada esfera, suponiendo que ninguna otra fuerza acnia sobre e

(Utilice los resultados del problema 23.73.)

23.75 Con base en el campo electrico calculado en,e l .probl

22.37, calcule la difereneia de potencial entre la esfera oonduc

solida y la coraza delgada aislante,

23.76 Considere una esfera conductors solida adentro de una

ra conductora hueca, con los radios y cargas que se especifican

el problema 22.36. Tome V = 0 cuando r . . . . . , . 00. Con base en el c

po electrico calculado en el problema 22.36, calcule el potencia

los valores siguientes de r: a) r =0 c (en Iasuperficie exterior d

esfera hueca); b) r = b (en [asuperfici einteri orde [aesfera hue

c) r = a (en la superficie dela esfera solidau.d) r = 0 (en el ce

de la esfera solida),

23.77 Con base en el campo electrico calculado en el proble

22.54, calcule la diferencia de potencial entre las dos caras d

placa con carga uniforme. ,

23.78 a) Si una gota esferica de lluvia con un radio de 0.650 rum

ne una carga de -1.20 pC un if o rmemen te d is tr ib u id a en todo sulumen, Gcuar es el potencial en BU superficie? (Tome el poten

como cero a una distancia infinita de la gota), b) Dos gotas-de ll

identicas, cada una con el radio y la carga que se especifican en e

ciso (a), chocan y se fusionan en una gota mas grande. GCua!esel

dio de esta gota mas grande y cual es el potencial en su superfici

BU ca rga es ta d i st ribu ida uniformemente en todo su volumen?

23.79 Se.tiene carga electrica distribuida uniformernente a [0 l

de una varilla delgada de longitud a, CO D una carga total Q. Tom

potencial como cero en el infinite. Halle el potencial en los pun

siguientes (vease la Fig. 23.36): a) punto P, a una distancia,r a la

recha de la varilla; b) punto R , a una distancia y arriba del extre

derecho de la varilla.,c) En los incisos (a) y (b), la que se reduce

resultado a medida que x 0y se hace mucho mas grande que a?

R

•

Q ~ liF . . IP

~---a

Figur~ 23.36 Problema 23,79.

23.80 Unaparticula alfa can una energia cinetica de 11.0 MeV ex

rimenta un choque frontal con un nucleo de promo en reposo. ;,C

es [a distancia de.maxima aproximacion de las dos particulas?

ponga que el nucleo de plomo permanece fijo y que se puedetra

como una c ar ga p u ntu al. E l numero a torn ico de lp lomo es 82 . La

ticu la alfa e s u n nucleo de helio, c uy o num ero a to rn ic o es 2) .23.81 Dos esferas metalicas de diferente tarnafio estan cargadas

modo tal que el potencial electrico es eJmismo en la superficie de

da una. El radio de la esfera A es tres veces mas grande que el d

esferaB. Sean Q A y Q B las.cargas de cada esfera y Ed YE 8 las mag

tudes del campo electrico en la superficie de cada esfera. i,Cua! e

[a proporcion Q J Q A ; b) la proporcion BrlEA?

23.82 Utilice la distribucion de carga del problema 22.57 y el c

po electrico calculado en el. a) Dernuestre que cuando r ~ R el

tencial es identico al que produce una carga puntual Q . (Tomepotencial como cero enel infinito) -.b) Obtenga una expresion del

tencial electrico que sea valida en la region I' ~ R.



906 CAP f TU L 0 23 I Potencial electrico

23.83 Una esfera rneralica de radio R I tiene Lilla carga QJ . Tome el

potencial electric a como cera a una distancia infinita de la esfera, a)

i,Cm'lles son el campo electrico y el potencial electrico en la superfi-

cie de la esfera? Esta esfera se conecta ahora mediante un alambre

conductor delgado a o t ra es fe ra de radio R2 que esta a varies metros

de la primera esfera, Antes de efectuar la conexion, esta segunda es-

fera no tiene carga, Cuando se ha alcanzado el equilibrio electrosrati-

co, b) l.cual es la earga total de cada esfera? c) i,el potencial electrico

en lasuperficie de cada esfera? d) l,elcampo electrico en la superficie

de cada esfera? Suponga que la cantidad de carga del alambre es mu-

cho meno r que la carga de c ad a e sf era ,

23.84 EI potencial electrico en c ie rt a r eg io n del espacio esta dado par

V(x,y, z ) =A(x 2 - 3/ + Z2 )

donde A es una constante, a) Deduzca una expresion del campo

electrico E en cualquier punta de esta regi6n. b) Se mide el trabajo

realizado par el campo cuando una carga de prueba de 1.50 MC se

desplaza del punto (x , y, z) = (0, 0, 0.250 rn) al origen, el cual re-

sulta ser de 6.00 X 10-5

J. Determine A . c) Determine el campoelectrico en el punto (0, 0, 0.250 m), d) Demuestre que en todo pIa-

no paralelo al plano xz los contornos equipotenciales son circulos,

e) (,Cual es el radio del.contorno equipotencial que corresponde a V

= 1280 V Y Y = 2.00 m?

2~.8S Fusion nuclear en el Sol L~ Fuente de la energia solar es una

serie de reacciones nucleares que tienen lugar en su nucleo, La prime-

ra de estas reacciones consiste en elcheque de dos protones, que se fu-

sionan y forman un nucleo mas pesado can liberacion de energia, Para

que tenga lugar e5te prcccso, Hamada fu si on n u cl ea r , los protones de-

ben a pro xim ars e p rim ero h as ta que sus superficies e s ten p r ac ti c amen -

te en contacto. a) Suponga que ambos protones se desplazan con la

r nis m a r ap id ez y que chocan de fren te. S i el radio del prot6n es de 1 .2

X 10-15m, i.cuaJ es la rapidez minima que permite que ocurra Ia fu-

si6n? La distribucion de carga dentro de un proton es esfericamente

simetrica, por 1 0 que el campo electrico y el potencial afuera de un

prot6n son los misrnos que si este fu era una carga puntual. La masa

del prot6n se cita en el apendice F b) Otra reaccion de fusion nuclear

que se lleva a cabo en el nucleo del Sol implica un choque entre dos

nucleos de h eli o, c ad a uno de los cuales tiene 2.99 veces Ia m asa del

prot6n, una carga +2e y un radio de 1.7 X 10-15 m. Suponiendo la

mi sma geor ne tr ia de colision que en e l i nc is e (a), l,que rapidez mini-

rna se requiere para que esta reaccicn defusion se lleve a cabo si los

nucleos deben aproxirnarse hasta una distancia de centro a centro de

aproximadamente 3.5 X 10-15 m? Como en el caso del prot6n, la car-

ga del helio esta uniformernente distribuida en todo su volumen, c) En

la section 18.3 se demostr6 que la energia cinetica promedio de tras-

lacion de una particula de m asa m en un-gas a un a temperatura abso-

luta T lO S ~kT, donde k es le constante de Boltzmann (dada en el

apendice F). Para que dos protones con una energia cinetica igual a es-

te valor promedio puedan experirnentar el proceso descrito en el inci-

so (a), ~que temperatura absoluta se requiere? l.Qu6 temperatura

absoluta se requiere para que dos nucleos de helio p ro m ed io s ufra n el

proeeso descrito en el inciso (b)? (A estas ternperaturas los aromos es-

tim totalmente ionizados, par 1 0 que los nucleos y electrones se mue-

ven cada lIDOpor sn lado). d) La temperatura en el centro del Sol es de

alrededor de 1.5 X 107K. i.C6mo es esta temperatura encomparacion

con las que se calcularon en e1inciso (c)? i .C6mo es posible que las

reacciones descritas en los incises (a) y (b) ocurran en efecto en el in-

I

terior del Sol? (Sugerencia: Yea ei analisis de la distribucion de rapi-

dez molecular en la seccion 18:5).

23.86 Ftsron nuclear. EI nucleo inestable de urania 236 se puede

considerar como una esfera can carga uniforme Q = +92e y de ra-

dio R =7.4 X 10-15 m. En la fision nuclear, este nucleo se puede di-

vidir en dos nucleos mas pequefios, cada uno can 1amitad de la

carga y del volumen del nucleo original de urania 236. Esta reaccion

es una de las que se llevaron a cabo en la b om b a nuclear que hizo ex

plosi6n sabre Hiroshima, Japon, en agosto de 1945. a) Halle los ra-

dios de los dos nucleos producto de decaimiento radiactivo can

carga +46e. b) En lin modele simple del proceso de fision, inmedia-

ramente despues que el nucleo de uranio 236 ha sufrido fision los

nucleos producto de decaimiento radiactivo estan en reposo y ape-

nas en contacto, como se muestra en la figura23.37. Calcule la ener-

gia cinetica que cada uno de los nucleos prcducto de decaimiento

radiactivo tendra cuando ambos estell muy lejos uno del otro. c) En

este modele la suma de las energias cineticas de los dos nucleos "hi-

jos" producto de decaimiento radiactivo, calculadas en el incise (b),

es la energia liberada por la fisi6n de un micleo de urania 236.Calcule la energia liberada par la fisi6n de 10.0 kg de uranio 236. La

masa atomica del urania es de 236 u, donde 1u =1unidad de ma-

sa atornica = 1.66 X 102i kg . Exprese StL respuesta en joules y tam-

bien en kilotones de TNT (l kiloton de TNT libera 4.18 X 1012 J a

hacer explosion). d) En terminos de este modele, cornente par que

se podria describir igualmente bien una bornba atornica como una

"bomba electrica".

Q =+92e Q =+46e Q =+46e

00..Antes Despues

F igu ra 23 .3 7 Problema 23.86.

P ro blema s d e d es afio

23.87 En los experimentos en los que ch oc an n uc le os atom ic os ,

ocurren cclisiones frontales como las descritas en el problema

23.80, pero los "casi cheques" son mas comunes, Suponga que la

particula alfa del problema 23.80 no fue "dirigida" hacia el centro

del nucleo de plomo, sino que tenia una cantidad de movimiento an-

gular inicial diferente de cera (con respecto al nucleo estacionario

fijo de pJomo) de magni tud L =Pob, donde Po es la magnitud de la

cantidad de movimienro inicial de la particula alfa y b =1,00 X

10-11 m. ",Cumes la distancia de maxima aproxirnacion? Repita con

b = 1 .0 0 X 10 -13 m y b = LOO X 10 -14 m.

23.88 En cierta regi6n existe una distribucion de carga esferica-

mente sirnetrica pew no uniforme. Es decir, la densidad volumetri-

ca de carga per) depende de Ia distanci a r al centro de la

distribucion, pero no de los angulos polares esfericos e y 4 > . El po-

tencial electrico V(r) debido a esta distribuci6n es ,

{

poa2

[ 1 _ 3 ( ! : . . ) 2 + ? ( ! _ ) 3 ] cuando r :s; aV(r) = a18Ea a - a

cuando r 2': a



donde P D es una constante con unidades de Cim3, y a, una constan-

te con unidades de metros. a) Deduzca expresiones de E en las re-

giones r::£ a y r ~ a . [ Su g er en ci a: Use la ecuacion (23.23)].

Explique por que E tiene solo una componente radial. b) Deduzca

una expresion de per ) en cada una de las dos regiones r :5 a y r ~

a. [Sugerencia: Aplique la ley de,Gauss ados cascos esfericos, uno

de radio r y otro de radio r + dr. La carga contenida en el casco es-

ferico infinitesimal de radio dr es dq =4rr/.2p(r)dr]. c) Demuestre

que la carga neta contenida en el volurnen de una esfera de radio

mayor 0 igual que a es cero. [Sugerencia: Integre las expresiones de

p(r) deducidas en el inciso (b) con respecto a un volumen esferico

de radio mayor 0 iguaJ que a ] , l,Es este resultado eongruente con el

campo electrico correspondiente a r>a calculado en el inciso (a)?

23.89 Experimento de MiUikan de la gota de aceite. La carga de

un electron fue medida par primera vez par el fisico estadouniden-

se Robert Millikan entre 1909 Y 1913. En su experimento, se rocia

aceite en forma de gotas muy finas (de alrededor de aproximada-

mente 10-4 mm de diametro) en el espacio entre dos placas parale-

las horizontales separadas por una distancia d. Se mantiene una

diferencia de potencial V AB entre las placasparalelas que crea un

campo electrico descendente entre elias. Algunas de las gotas de

aceite adquieren carga negativa por efectos de friccion 0 debido a,

una ionizaci6n del aire cireundante por media de rayos X 0 radiac-

tividad. Se observan las gotas a traves de un microscopic. a) De-

muestre que una gota de aceite de radio r en reposo entre las placas

permanecera en reposo si la magnirud de Is.carga es

4 7 T pr3gdq=---

3 __YAB

donde P es la densidad del aceite, (No tome en cuenta Ia fuerza de

flotacion del aire). La carga de una gota en particular sepuede deter-

minar, siernpre y cuando se conozca su radio, ajustando V4B de mo-

do que la gota se mantenga en reposo. b) Las gotas de Millikan eran

demasiado pequefias para medir su radio directamente. En cambio,

Millikan determine r cortando el campo electrico y midiendo la ra-

pidez terminal VI de la gota durante su caida. (Se analizo el concep-

to de rapidez terminal en la seccion 5.3). La fuerza viscosa F sabre

una esfera de radio r que 5edesplaza can la rapidez v a traves de un

fluido de viscosidad T / esta dada por la ley de Stokes: F = 6 7 T T / r v .

Cuando la ropa cae con v " la fuerza viscosa compensa exactarnen-

te el peso w =mg de la gota, Demuestre que la magnitud de la car-

ga de la gota es

Dentro de los limites de su error experimental, cada una de los mi-

les de gotas que Millikan y sus colaboradores midieron tenia una

carga igual a algun multiple entero pequefio de una carga basica e.

Problemas de desaffo

Es decir, hallaron gotas con cargas de ± 2e , ± 5e , etcetera,

ninguna con valores como 0.7 6e 0 2 .4ge . Una gota cuya carga

ha adquirido un electron adicional; si su carga es -2e, ha adqui

dos electrones adicionales.y as] sucesivamente. C) Se observa

una gota de aceite con carga en un aparato de gotas de aceite de

llikan cae 1.00 mm con rapidez constante en 39.3 s si v : , w =. O

misma gota se rnantiene en reposo entre dos placas separadas

1.00 mm si VAB = 9.16 V l,Cmintos electrones en excesoha ad

rido la gota y cual es el radio de esta? La viscosidad del aire e

1.81 X 10-5 Ns/m? y la densidad del aceite es de 824 kg/m",

23.90 Un cilindro aislante hueco de paredes delgadas de radio

longitud L (como eltubo de carton de un rollo de papel sanita

tiene una carga Q distribuida uniformemente en su superficie

Calcu1e el potencial electrico en todos los puntos a 10 largo de

del tube. Tome como el origen el centro del tuba y el potencial

mo cero en el infinite, b) Demuestreque, si L « R, el resultado

inciso (a) se reduce al potencial sobre el eje de un anillo de carg

radio R (ejemplo 23, II de la seccion 23.3). c) Con base en elre

tado del inciso (a), halle el campo electrico en todos los puntos

largo del eje del tubo,

23.91 Dos cargas puntuales se desplazan hacia la derecha a 10 l

del eje de las x. La carga puntual l tiene una carga q.=2.00 p..C

masa m. = 6.00 X 10-5 kg y una rapidez v I' La carga puntual 2

ala derecha de ql y tiene una carga qz = -5.00 p..C, una masa 1

3.00 X 10-5 kg Yuna rapidez V2' En un instante deterrninado, las

gas estan separadas por una distancia de 9.00 mm y su rapidez e

cada caso VI =400 m/s y V2 = 1300 mls. Las unicas fuerzas s

las particulas son las que estas ejercen una sabre la otra, a) Hal

rapidez Ven> del centro de masa del sistema, b) La energia rela

Erel del sistema se define como la energia total menos la energia

netica que aporta el movimiento del centro de masa:

doude E = !m lv? + ~m2v l + QIQ2/4 t rEo ' es la energia total

sistema y r es Ia distancia entre las cargas. Dernuestre

Erel = tp..v2 + QIQ2/47Tf."or, donde jJ . = mjm2/(ml + m:i)- se c

ce como la m a sa r ed uc id a del sistema y V =V2 - vies la rapidez

lativa de las particulas en movimiento. c) Con base en los val

numericos antes citados, calcule el valor numerico de E , o I ' d)

base en el resultado del inciso (c) y en las condiciones antes de

tas, l,escaparan las partioulas una de la otra? Explique su respue

e) Si las particulas escapan, l,cuat sera su rapidez relativa f

cuando r -+ oo?Si las particulas ]]0 escapan, i,Cllal sed. su dista

de maxima separacion? Es decir, (,cual sera el valor de r cuand

=O? f) Repita los incisos del (c) a l (e) con v I = 400 mls Y V

1800 m/s cuando la separacion es de 9.00 mm.

Capitulo 23 Sears

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