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Sistema de coordenadas cartesiano Ecuaciones de la recta Funciones y sus gráficas El Álgebra de funciones

Funciones y sus gráficas

2.1Sistema de coordenadas cartesiano

El sistema de coordenadas cartesiano

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

El sistema de coordenadas cartesiano

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Origen

El sistema de coordenadas cartesiano

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Dirección PositivaDirección Negativa

El sistema de coordenadas cartesiano

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Dir

ecci

ón P

ositi

vaD

irec

ción

Neg

ativ

a

El sistema de coordenadas cartesiano

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

1° cuadrante(+, +)

2° cuadrante(–, +)

4° cuadrante(+, –)

3° cuadrante(–, –)

Ejemplo

Sección 2.1

# 10

# 18

2.2Ecuaciones de la recta

Pendiente de una recta no vertical

Si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos en una recta no vertical L, entonces la pendiente m de L está dada por

(x1, y1)

(x2, y2)

y

x

2 1

2 1

y y ym

x x x

L

y2 – y1 = y

x2 – x1 = x

Ecuaciones de la recta

Sea L una recta no vertical con pendiente m. Sea (x1, y1) un punto fijo en L y (x, y) un punto variable en

L distinto de (x1, y1). Usando la fórmula pendiente, obtenemos

Multiplicando ambos lados por x – x1, tenemos

1

1

y ym

x x

1 1( )y y m x x

Forma punto – pendiente

1 1( )y y m x x

Una ecuación de la recta con pendiente m y que pasa a través del punto (x1, y1) está dado por

Ejemplo

Sección 2.2# 18

Rectas paralelas

Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales o sus pendientes no están definidas.

Rectas perpendiculares

Si L1 y L2 son rectas distintas no verticales con pendientes m1 y m2, respectivamente, entonces L1 es

perpendicular a L2 (escrita L1 ┴ L2) si y sólo si

12

1m

m

Ejemplo

Sección 2.2# 33

Forma pendiente – ordenada al origen

La ecuación de la recta con pendiente m e intercepto con el eje – y (ordenada al origen) en el punto (0, b) está dado por

y = mx + b

Ejemplo

Sección 2.2

# 46

Forma general de la ecuación de la recta

La ecuación

Ax + By + C = 0

donde A, B y C son constantes, y A y B no son cero, se llama forma general de la ecuación de la recta en las variables x y y.

2.3Funciones y sus gráficas

Funciones Una función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto

A sólo un elemento de un conjunto B.

El conjunto A se llama dominio de la función. Si x es un elemento en el dominio de la función f, entonces el elemento

en B que f asocia con x se excribe f(x) (f de x) y se llama el valor de f en x.

El conjunto B que comprende todos los valores asumidos por y = f(x) cuando x toma todos los posibles valores en su dominio se llama rango de la función f.

Ejemplo

Sección 2.3

# 14

Determinando el dominio de la función

Sea la función y = f(x). La variable x se llama variable independiente. La variable y, cuyo valor depende de x, se llama variable

dependiente. Para determinar el dominio de la función, necesitamos

encontrar qué restricciones, si los hay, se tienen que imponer a la variable independiente x.

En muchas aplicaciones prácticas, el dominio de la función es determinada por la naturaleza del problema.

Ejemplo

Sección 2.3

# 31

Gráfica de una función de una variable

Si f es una función con dominio A, entonces a cada número real x en A hay precisamente un número real f(x).

Por tanto, una función f con dominio A puede ser definido como el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) donde x A.

La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano – xy tal que x está en el dominio de f y y = f(x).

2.4Álgebra de funciones

( )

( )

f f xx

g g x

Suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Sea f y g funciones con dominios A y B, respectivamente. La suma f + g, la diferencia f – g, el producto f.g son

funciones con dominio A ∩ B y las reglas dadas por

(f + g)(x) = f(x) + g(x) Suma(f – g)(x) = f(x) – g(x) Diferencia

(fg)(x) = f(x)g(x) Producto

El cociente f/g de f y g tiene dominio A ∩ B excepto todos los números x tal que g(x) = 0 y la regla dada por

Cociente

La composición de dos funciones

Sea f y g funciones. La composición de g y f es la función ggf definida por

(ggf )(x) = g(f(x))

El dominio de ggf es el conjunto de todos las x en el dominio de f de modo que f(x) quede en el dominio de g.

Ejemplo

Sección 2.4

# 33

# 42