Capítulo 2: Cálculo diferencial de una y varias...

Capıtulo 2: Calculo diferencial de una yvarias variables

(Fundamentos Matematicos de la Biotecnologıa)

Departamento de MatematicasUniversidad de Murcia

Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables

ContenidosLımites y continuidad

Lımites lateralesLımites infinitos y lımites en el infinitoCalculo de lımitesContinuidad de una funcion

Derivada de una funcionDefinicion de derivada y aplicacionesReglas de derivacionEl polinomio de TaylorCrecimiento y decrecimiento de una funcionMaximos y mınimos de una funcion

Representacion grafica de una funcion

Funciones de varias variablesFunciones escalares de dos variablesLımites y continuidad de funciones de dos variablesLas derivadas parcialesGradiente y derivada direccionalExtremos de funciones de dos variables


Lımites y continuidad

Concepto de lımite

Definicion (intuitiva) de lımite

Sean f : R −→ R una funcion real y c ∈ R. Decimos que el lımite def (x), cuando x tiende a c , es L, si f (x) se aproxima a L a medida que xse acerca a c . Escribiremos

L = lımx→c

f (x).

Pero, ¿que significa que ((x se acerca a c)) (en R)?



Lımites laterales

Definicion de lımites laterales

En la recta real R nos podemos aproximar a un numero c por la izquierdao por la derecha. Esto conduce a la siguiente definicion.

Lımites por la izquierda y por la derecha

El lımite por la izquierda (derecha) de f (x), cuando x tiende a c , es L sif (x) se aproxima a L a medida que x se acerca a c por la izquierda(derecha):

L = lımx→c−

f (x)

(respectivamente, L = lımx→c+ f (x))



Lımites laterales

Lımites laterales y lımite

Los lımites laterales no siempre existen.Por ejemplo:

f (x) =√

x .Entonces

lımx→0−

√x =

?

no existe

lımx→0+

√x = 0

Los lımites laterales pueden existir pero nocoincidir. Por ejemplo:

f (x) =|x |x

.

Entonces

lımx→0−

|x |x

=

?

− 1

lımx→0+

|x |x

= 1



Lımites infinitos y lımites en el infinito

Lımites infinitos

Lımite +∞ (respectivamente, −∞)

Se dice que f tiene lımite infinito (menos infinito) cuando x tiende a c , sidado cualquier numero M > 0 (N < 0) se cumple que f (x) > M(f (x) < N) siempre que x se acerque suficientemente a c :

lımx→c

f (x) = +∞.

(lımx→c f (x) = −∞).

La recta x = c se denomina asıntota vertical de la funcion f .




Lımites infinitos

f (x) =1

x2f (x) =

1

1− x




Lımites en el infinito

Lımite en +∞ (respectivamente, en −∞)

Diremos que el lımite de f cuando x tiende a +∞ (−∞) es L si losvalores de f (x) se aproximan a L tanto como queramos cuando x essuficientemente grande (pequeno):

lımx→+∞

f (x) = L

(lımx→−∞ f (x) = L).

La recta y = L se denomina asıntota horizontal de la funcion f .




Lımites en el infinito



Calculo de lımites

¿Como calcular lımites?Las propiedades basicas de los lımites (infinitos o no) son las siguientes:

1 Lımite de una suma (o diferencia):

lımx→c

[f (x)± g(x)] = lımx→c

f (x)± lımx→c

g(x)

2 Lımite de un producto:

lımx→c

[f (x)g(x)] = lımx→c

f (x) lımx→c

g(x)

3 Lımite de un cociente:

lımx→c

f (x)

g(x)=

lımx→c f (x)

lımx→c g(x), si lım

x→cg(x) 6= 0

4 Lımite de una potencia:

lımx→c

[f (x)b] = ( lımx→c

f (x))b



Calculo de lımites

¿Que hacemos con ((los infinitos)) en los lımites?

Si al calcular un lımite se obtiene:

+∞+∞ = +∞, −∞−∞ = −∞.

c +∞ = +∞, c −∞ = −∞, para todo c ∈ R.

(+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞

(+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

Si c > 0: c × (+∞) = +∞, c × (−∞) = −∞.

Si c < 0: c × (+∞) = −∞, c × (−∞) = +∞.

c

+∞=

c

−∞= 0, para todo c ∈ R.

Si c > 0: lımx→0+

c

x= +∞, lım

x→0−

c

x= −∞.

Si c < 0: lımx→0+

c

x= −∞, lım

x→0−

c

x= +∞.



Calculo de lımites

¿Como calcular lımites?

¡OJO!

Las siguientes expresiones son ((indeterminaciones)):

0× (±∞), +∞−∞, −∞+∞,0

0,

±∞±∞

, 1±∞, 00, (±∞)0.

Algunas estrategias para calcular lımites son las siguientes:

Sustitucion, factorizacion o simplificacion, operaciones elementales...

Si obtenemos0

0o±∞±∞

−→ Regla de L’Hopital:

lımx→c

f (x)

g(x)= lım

x→c

f ′(x)

g ′(x).



Continuidad de una funcion

Concepto de continuidad

Continuidad en un punto

Sean f : R −→ R una funcion real y c ∈ R un numero. Se dice que f escontinua en c si se satisfacen las siguientes tres condiciones:

1 Existe f (c) (es decir, c ∈ dom(f )).

2 Existe lımx→c f (x).

3 lımx→c f (x) = f (c).

La funcion f es continua si lo es en todos los puntos de su dominio.

La funcion f es discontinua en c si no es continua en c .




Ejemplos de funciones continuas y discontinuas

1 Todas las funciones polinomicas son continuas.

2 Las funciones exponenciales y logarıtmicas son continuas.

3 Las funciones trigonometricas son continuas.

4 La funcion valor absoluto f (x) = |x | es continua.

5 La funcion

f (x) =

x si x < 1,2 si x = 1,1 si x > 1,

es discontinua en x = 1.

6 La funcion parte entera es discontinua.




Operaciones con funciones y continuidad

Si f y g son funciones continuas en c , entonces tambien soncontinuas en c :

la suma, f + g ,

la diferencia, f − g ,

el producto, f · g ,

y el cociente,f

g, si g(c) 6= 0.

Si f es una funcion continua en c y g es una funcion continua enf (c), entonces la composicion g ◦ f es una funcion continua en c .


Derivada de una funcion

¿Como obtener la recta tangente a una grafica?

Dada una funcion y = f (x), sea P = (x0, f (x0)) un punto de sugrafica.

Si Q = (x , f (x)) se aproxima a P, es decir, si x tiende a x0, entoncesla recta que une Q y P ((se acerca)) a la recta tangente en P.



¿Como obtener la recta tangente a una grafica?La recta que pasa por los puntos

(x0, f (x0)

)y

(x , f (x)

)viene dada por

f (x)− f (x0) = mx(x − x0),

donde mx es la pendiente de la recta (tangente del angulo que forma conel eje OX ).

Ası, si x tiende a x0, tambien las pendientes mx de las rectas seaproximaran a m:

m = lımx→x0

mx

= lımx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

= lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h.



Definicion de derivada y aplicaciones

La derivada de una funcion

Una funcion f : R −→ R se dice derivable en un punto x0 si existe

lımx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lım

h→0

f (x0 + h)− f (x0)

h.

Este lımite se llama la derivada de f (x) en x0 y se representa por

f ′(x0) odf

dx(x0).

Si no existe f ′(x0) se dice que f no es derivable en x0.

La recta tangente en f (x0) se escribe y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0).

Por ejemplo:

f (x) = x2 + 2 es derivable en x0 = 1.

f (x) = |x | no es derivable en x0 = 0.



Definicion de derivada y aplicaciones

Derivada y continuidad

1 Una funcion continua en un punto no tiene por que ser derivable endicho punto.

Tomemos la funcion

f (x) = |x |

y consideremos el punto x0 = 0.

2 Una funcion derivable en un punto tambien es continua en dichopunto.



Reglas de derivacion

Reglas basicas de derivacion

1 Si f (x) = c , con c constante, entonces f ′(x) = 0.

2 Si F (x) = c f (x), con c constante, entonces F ′(x) = c f ′(x).

3 Si F (x) = f (x)± g(x) entonces F ′(x) = f ′(x)± g ′(x).

4 Si G (x) = f (x)g(x) entonces G ′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).

5 Si H(x) =f (x)

g(x)entonces H ′(x) =

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g(x)2.

6 Regla de la cadena: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)

)g ′(x).



Reglas de derivacion

Derivadas de las funciones elementales

f (x) f ′(x) f (x) f ′(x)

x r , r ∈ R rx r−1√

x1

2√

x

ln x1

xloga x

1

xloga e

ex ex ax ax ln a

sen x cos x cos x − sen x

tg x 1 + tg2 x cotg x −(1 + cotg2 x)

sec x sec x tg x cosec x − cosec x cotg x

arc sen x1√

1− x2arc cos x − 1√

1− x2

arc tg x1

1 + x2arccotg x − 1

1 + x2

senh x cosh x cosh x senh x



El polinomio de Taylor


La recta tangente y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) a y = f (x) en x0 esuna funcion lineal que ((aproxima)) f ((cerca)) de x0.

¿Existe un polinomio de grado mayor que ((aproxime)) mejor a f ?


Sea f (x) una funcion que es derivable, al menos, n veces, en un puntox0. Se llama polinomio de Taylor de grado n de f a

P(x) = f (x0)+f ′(x0)

1!(x−x0)+

f ′′(x0)

2!(x−x0)

2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x−x0)

n.



Crecimiento y decrecimiento de una funcion


Funcion creciente y decreciente

Una funcion f : R −→ R es creciente en un intervalo I si paracualesquiera x1, x2 ∈ I con x1 < x2, se tiene que f (x1) ≤ f (x2).

Una funcion f : R −→ R es decreciente en un intervalo I si paracualesquiera x1, x2 ∈ I tales que x1 < x2 se tiene que f (x1) ≥ f (x2)




Derivabilidad y monotonıa

Derivabilidad y monotonıa estan relacionadas. Recordemos:

f ′(x0) = lımx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0.

Si f ′(x0) > 0 entonces f es creciente.

O bien x < x0 y f (x) < f (x0) =⇒ Creciente.

O bien x > x0 y f (x) > f (x0) =⇒ Creciente.

Si f ′(x0) < 0 entonces f es decreciente.

O bien x < x0 y f (x) > f (x0) =⇒ Decreciente.

O bien x > x0 y f (x) < f (x0) =⇒ Decreciente.



Maximos y mınimos de una funcion

Extremos relativos de una funcionMaximos relativosSea f : R −→ R una funcion real.

Se dice que f tiene un maximo relativo (resp., maximo relativo estricto)en el punto x0 si f (x0) ≥ f (x) (resp., f (x0) > f (x)) para los puntos xsuficientemente proximos a x0.




Extremos relativos de una funcionMınimos relativosSea f : R −→ R una funcion real.

Se dice que f tiene un mınimo relativo (resp., mınimo relativo estricto)en el punto x0 si f (x0) ≤ f (x) (resp., f (x0) < f (x)) para los puntos xsuficientemente proximos a x0.




Extremos relativos y derivabilidad

Derivabilidad y extremos relativos estan relacionados. Ya sabemos que:

f es creciente en los intervalos donde f ′(x) > 0.

f es decreciente en los intervalos donde f ′(x) < 0.

¿Que ocurre si f ′(x0) = 0? Pueden suceder varias cosas:

1 f ′(x) > 0 si x < x0 (f es creciente antes de x0) y f ′(x) < 0 six > x0 (f es decreciente despues de x0). Luego en x0 hay un maximorelativo.

2 f ′(x) < 0 si x < x0 (f es decreciente antes de x0) y f ′(x) > 0 six > x0 (f es creciente despues de x0). Luego en x0 hay un mınimorelativo.

3 f ′(x) tiene el mismo signo alrededor de x0, de modo que f es siemprecreciente o decreciente, por lo que en x0 hay un punto de inflexion.




Extremos relativos y derivada segunda

Todo esto puede expresarse en terminos de la derivada segunda:

1 Si f ′′(x0) < 0 entonces hay un maximo relativo en x0.

2 Si f ′′(x0) > 0 entonces hay un mınimo relativo en x0.

3 Si f ′′(x0) = 0 entonces podrıa haber un punto de inflexion, unmaximo o un mınimos relativos.

Ejemplo:

La funcion f (x) =4x

x2 + 4tiene

un maximo relativo en x = 2 y unmınimo relativo en x = −2.




Para representar la grafica de una funcion y = f (x) conviene:

1 Determinar el dominio de la funcion.

2 Determinar los cortes con los ejes y estudiar el signo de la funcion encada intervalo.

3 Analizar las simetrıas de la funcion: ¿f (−x) = ±f (x)?

4 Determinar las asıntotas verticales y horizontales.

5 Determinar las asıntotas oblicuas: si existen los lımites

lımx→±∞

f (x)

x= m y lım

x→±∞

(f (x)−mx

)= n,

entonces la recta y = mx + n es una asıntota oblicua.

6 Estudiar el crecimiento y decrecimiento.

7 Calcular los extremos relativos: maximos y mınimos y posiblespuntos de inflexion.

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