efeitos do estresse repetido sobre a programação epigenética do ...
CAPÍTULO 1. NOÇÕES ELEMENTARES DE FÍSICA DO … · na Fig.1.1, corresponde ao menor conjunto de...
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1.1 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
CAPÍTULO 1. NOÇÕES ELEMENTARES DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
A Optoelectrónica corresponde a um vasto domínio que se baseia na interacção entre a
luz (fotões) e a matéria (electrões). No âmbito desta disciplina estamos especialmente
interessados nos materiais semicondutores. São materiais cujas condutividades se situam entre
10-8 e 106 S/m. Quando puros, as suas propriedades eléctricas são fortemente dependentes da
temperatura, designando-se por intrínsecos. Durante o fabrico introduzem-se no seu seio
doses geralmente inferiores a 0,0001% de impurezas, de modo a aumentar significativamente
a sua condutividade. Os materiais dizem-se então extrínsecos. A condutividade nos
semicondutores é, num caso geral, da responsabilidade de dois tipos de portadores móveis:
uns de carga negativa, os electrões, e outros de carga positiva, designados por buracos1 ou
lacunas. Os semicondutores elementares usuais são o germânio e o silício. Os semicondutores
compostos são obtidos em laboratório e constituídos por dois ou mais elementos. As suas
propriedades eléctricas e ópticas são fortemente dependentes da composição, não sendo, em
geral, uma combinação linear das propriedades dos constituintes.
1.1 MODELO DAS LIGAÇÕES DE COVALÊNCIA
Os semicondutores elementares são elementos da coluna IV da tabela periódica, que
cristalizam no sistema cúbico com a malha de diamante. A célula elementar, que se representa
na Fig.1.1, corresponde ao menor conjunto de átomos que, repetido nas 3 direcções do
espaço, reconstitui o cristal.
a
- Fig.1.1 -
Célula elementar da rede cristalina do diamante.
1 Holes, na designação anglo-saxónica.
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1.2 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
É formada por 1 átomo nos vértices, que é partilhado por 8 células, 1 átomo no centro
das faces, que é partilhado por 2 células, e 4 átomos no interior. Significa que cada célula
elementar é constituída por 8 / 8 6 / 2 4 8+ + = átomos. A rede de diamante pode ser
interpretada como o resultado da translação de duas redes cúbicas de faces centradas. A
estabilidade da estrutura é obtida porque os átomos se agregam de tal modo que a sua última
camada fica completa, por partilha de electrões com os átomos vizinhos. Designa-se esse tipo
de ligação por ligação covalente. Corresponde à situação de energia mínima para os electrões
e está representada de forma esquemática na Fig.1.2, onde cada ligação é representada por
curvas a tracejado. Para a libertação dos electrões empenhados nas ligações covalentes é
assim necessário fornecer um valor mínimo de energia, que se denomina por energia de
ligação. Na Fig.1.2a representa-se a situação em que todos os electrões de valência se
encontram ligados. Por aplicação de um campo electrostático ao cristal não se verificará
nenhuma corrente estacionária, porque todos os electrões estão “presos”. A possível troca de
posição não afectará o sistema, uma vez que os electrões são partículas indiscerníveis,
significando que essa eventualidade não está associada a qualquer troca (fornecimento ou
absorção) de energia com o sistema. O semicondutor comporta-se como um isolante. É a
situação que corresponderia num semicondutor à temperatura do zero absoluto.
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
(a) (b)
- Fig.1.2 - Ligações de valência num semicondutor intrínseco.
(a) T = 0 K (b) T > 0 K.
A uma dada temperatura T já há interacção do material com o exterior, que se traduz
pela existência de um certo número de ligações quebradas, ou seja, pelo aparecimento de
electrões livres ou de condução (Fig.1.2b). A aplicação de um campo permite agora uma
corrente estacionária não nula, por movimentação dos electrões no cristal. No entanto,
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1.3 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
existindo ligações incompletas, às quais está associada uma carga positiva, pode haver
transferência de electrões de umas ligações para as outras. Corresponde no fundo a uma
movimentação em sentido contrário das cargas positivas designadas por buracos ou lacunas.
São em igual número ao das ligações desfeitas e correspondem a partículas livres tal como os
electrões de condução. Assim, o mecanismo de quebra de ligações de valência está
indissoluvelmente ligado à geração de pares electrão-buraco. Analogamente, quando um
electrão livre é capturado, e se restabelece a ligação por perda da sua energia para a rede,
desaparece um par electrão-buraco. Em equilíbrio termodinâmico os 2 mecanismos, ditos de
geração e de recombinação, têm ritmos obrigatoriamente iguais o que se traduz, num material
como o que foi descrito, pelo facto do número de electrões ser igual ao número de buracos. O
material diz-se intrínseco. Sendo 0 0e ,n p respectivamente, as concentrações em equilíbrio
termodinâmico de electrões e de buracos por unidade de volume, tem-se para o material
intrínseco
0 0 in p n= = (1.1.1)
sendo in a concentração intrínseca do material semicondutor à temperatura .T
Os semicondutores intrínsecos apresentam uma carga móvel relativamente baixa. Para
obviar este problema, utilizam-se os semicondutores extrínsecos. Nestes, alguns átomos do
semicondutor são substituídos por átomos de impurezas, ditas de substituição. Dois casos são
possíveis.
Se os átomos de impurezas forem da coluna V da tabela periódica (P, Sb, As, Li),
preenchidas as 4 ligações de covalência sobra um electrão de valência (Fig.1.3a). A energia
para libertar esse electrão é cerca de um centésimo da necessária para abrir uma ligação de
covalência, motivo pelo qual à temperatura ambiente praticamente todos os átomos de
impurezas se apresentarem já ionizados, por libertação do “quinto” electrão. Os átomos de
impurezas contribuem assim para o aumento da população de electrões, sem no entanto
contribuírem para o aumento da população de buracos. As impurezas de substituição
denominam-se por dadoras, sendo os seus iões de carga positiva, com uma densidade
volumétrica dada por .DN+ Pelo facto da população de electrões ser superior à de buracos, o
material diz-se do tipo n.
Se pelo contrário as impurezas têm 3 electrões de valência (Al, B, Ga, In), fica uma
ligação por preencher. Com uma energia muito pequena os átomos ionizam-se e recebem um
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1.4 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
electrão de valência, que liberta um buraco. A população de buracos aumenta, sem existir a
contrapartida do aumento de electrões. Aparece um ião de carga negativa associada à
impureza, que se diz aceitadora (Fig.1.3b). O material diz-se agora do tipo p. De realçar que
apenas os electrões da banda de condução, representados por 0,n e os buracos, representados
por 0,p são responsáveis pela corrente eléctrica (portadores). Os iões dadores e aceitadores
apenas contribuem para a carga total do sistema. Num semicondutor a carga total é nula
0 0A Dn N p N− ++ = + (1.1.2)
A expressão anterior mostra que a diferença entre as populações de electrões e de
buracos pode interpretar-se como a neutralização da presença simultânea de impurezas de
dois tipos, ficando o semicondutor com carácter n ou p conforme a impureza que predominar
e como se apenas esta existisse com o valor dado pelo seu excesso face à outra.
Tipo p Tipo n
+4 +4 +4
+4 +5 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +3 +4
+4 +4 +4
(a) (b)
- Fig.1.3 - Ligações de valência num semicondutor extrínseco.
(a) tipo n; (b) tipo p.
1.2 MODELO DAS BANDAS DE ENERGIA Resultados da mecânica ondulatória mostram que os átomos isolados apresentam níveis
discretos de energia para os electrões. Nos cristais, a interacção entre os átomos, que estão
muito próximos, desdobra os níveis de energia em bandas. Estas estão separadas por zonas ou
bandas de ocupação proibida (Apêndice I). Num semicondutor, as duas bandas permitidas de
mais alta energia são, por ordem decrescente de energia, a banda de condução e a banda de
valência (Fig.1.4). Estão separadas por uma banda de ocupação proibida de valor
,G C VW W W= − sendo CW o nível de energia mais baixa da banda de condução e VW o nível
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1.5 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
de energia mais alta da banda de valência. Os parâmetros eC VW W têm características de
energia potencial. Nos semicondutores ,GW apresenta valores na vizinhança do electrão-volt.2
Para 0KT = a banda de valência está completamente preenchida e a banda de condução
vazia, o que corresponde no modelo das ligações de valência a termos todas as ligações de
covalência estabelecidas. O sistema funciona como um isolante, uma vez que uma banda
completamente cheia não contribui para a corrente porque não existem estados livres para
onde as partículas (que verificam o princípio de exclusão de Pauli) possam ir quando
solicitadas pelo campo. Só lhes é possível trocar de posições o que, graças à
indiscernibilidade, deixa tudo na mesma. Por outro lado, a banda de condução está vazia. Às
baixas temperaturas o panorama é sensivelmente o mesmo. Contudo, para temperaturas
próximas da ambiente, os electrões de valência já possuem energias para saltar a barreira GW
e passar para a banda de condução, onde se tornam electrões livres (Fig.1.4a). Aí existem
muitos estados por ocupar, além do que também a banda de valência já possui estados vazios
passíveis de ocupação. Estes podem mover-se, por troca de posição com os electrões de
valência. É a colaboração conjunta de locais vagos e dos electrões de valência que pode ser
contabilizada pela existência das entidades de carga positiva designadas por buracos. De
salientar, contudo, que o número de electrões que vencem a barreira é normalmente pequeno,
uma vez que a energia de agitação térmica é pequena comparada com a altura da banda
proibida. À temperatura ambiente as alturas da banda proibida valem aproximadamente 0,66 e
1,1[eV] para o Ge e o Si, respectivamente.
As impurezas de substituição estão associadas a níveis de energia na banda proibida.
Este facto não deve ser tomado como estranho, uma vez que nos estamos a referir a átomos
distintos do “hospedeiro”. Tratando-se de uma pequena perturbação introduzida no sistema,
as impurezas dadoras estão associadas a níveis de energia próximas de CW (Fig.1.4b) e os
níveis aceitadores estão associados a valores próximos de VW (Fig.1.4c).
As energias de agitação térmica a 300 K tornam possíveis transições entre esses níveis e
as bandas permitidas, correspondendo, no modelo anteriormente descrito, à ionização das
impurezas de substituição. As energias envolvidas nessas transições são muito menores que as
correspondentes aos processos banda a banda característicos dos materiais intrínsecos. Os
2 O electrão-volt é uma unidade de energia. A sua correspondência com a unidade de energia do Sistema
Internacional é [ ] [ ]191 eV 1,6 10 J .−= ×
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1.6 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
estados de movimento associados aos níveis das impurezas de substituição são por esse
motivo designados por superficiais. Outras impurezas existem em que as diferenças para o
material hospedeiro são assinaláveis. Introduzem estados profundos na banda proibida,
estando associadas a energias de ionização da ordem de / 2.GW
WG
WC
WV
WG
WC
WV
WG
WC
WV
WD
WA
(a) (b) (c)
- Fig.1.4 - Modelo das bandas de energia num semicondutor
(a) intrínseco; (b) extrínseco do tipo n; (c) extrínseco do tipo p.
1.3 GERAÇÃO E RECOMBINAÇÃO
A uma dada temperatura existe uma certa probabilidade para que um electrão de
valência receba uma energia GW e se liberte, criando um par electrão-buraco. Chama-se ritmo
de geração térmica terG ao número de pares electrão-buraco gerados por unidade de volume
em cada unidade de tempo associado à temperatura .T Exprime-se em [m-3s-1]. O processo
inverso é a recombinação R , onde um electrão de condução por perda da energia GW
restabelece a ligação, fazendo desaparecer um par electrão-buraco. Obviamente em equilíbrio
termodinâmico os dois ritmos devem ser iguais, pois se assim não fosse a energia do electrão
estaria sempre a aumentar ( )terG R> ou a diminuir ( ),terG R< e o sistema não estaria em
equilíbrio termodinâmico. Em primeira análise podemos admitir que o ritmo R é
proporcional ao produto das concentrações e ,n p sendo a constante de proporcionalidade
dependente da temperatura
npTrR )(= (1.3.1)
Em equilíbrio termodinâmico os dois ritmos são iguais, pelo que
0 0( )terG r T n p= (1.3.2)
onde 0 0en p representam as concentrações em equilíbrio de electrões e de buracos.
Página 1.7
1.7 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
Para uma dada temperatura verifica-se assim que o produto das concentrações de
electrões e de buracos é /terG r , sendo, portanto, constante. O resultado é independente da
presença de impurezas, desde que estas representem uma pequena perturbação no sistema,
sendo o seu valor dado num semicondutor intrínseco pelo quadrado da concentração
intrínseca, de acordo com (1.1.1). Para um semicondutor extrínseco, o resultado continua a
aplicar-se, significando que a subida da concentração de um tipo de portadores impõe a
descida da concentração do outro tipo de portadores. Por exemplo, num semicondutor
extrínseco do tipo n, a presença de dadores funciona como uma fonte adicional ao
aparecimento de electrões. Ao ionizar-se, cada átomo dador contribui para o aumento da
população de electrões em uma unidade, sem contribuir para a população de buracos. Por
outro lado, a agitação térmica associada à temperatura T contribui igualmente para a
concentração dos dois tipos de portadores. É assim natural que a população de electrões
aumente em relação à observada no intrínseco à mesma temperatura. As equações (1.3.1) ou
(1.3.2) mostram que a concentração de buracos deverá ser menor que no caso intrínseco. Este
facto resulta da população de buracos ver o seu ritmo de recombinação aumentar com o
aumento da população de electrões. O efeito pode ser contabilizado por um parâmetro que se
designa por tempo de vida médio. Diremos então que, devido ao aumento da população de
electrões, o tempo de vida médio dos buracos diminuiu.
1.4 EFEITO FOTOELÉCTRICO INTERNO
O efeito fotoeléctrico interno corresponde a um processo de geração de pares electrão-
buraco quando o semicondutor está sujeito à acção de uma radiação electromagnética
conveniente. O ritmo designa-se por efG e, tal como o de geração térmica ,terG exprime-se
em [m-3s-1]. Sendo a radiação electromagnética constituída por partículas, designadas por
fotões, para que exista geração de pares electrão-buraco é necessário que os fotões tenham
uma energia associada de, pelo menos, .GW A energia de um fotão de uma radiação de
frequência f é dada por fW hf= , onde [ ]346,62 10 J.sh −= × representa a constante de
Planck. Deste modo, o efeito fotoeléctrico interno impõe a condição
Ghf W≥ (1.4.1)
A inequação (1.4.1) mostra que o processo de libertação de electrões de valência por
efeito fotoeléctrico interno está sobretudo relacionado com as características energéticas dos
Página 1.8
1.8 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
fotões. Acima da frequência mínima, a intensidade de radiação é importante, aumentando o
número de pares gerados com a intensidade. Abaixo dessa frequência, o mecanismo de
geração por efeito fotoeléctrico não se verifica, por mais intensa que seja a radiação. Diz-se
então que o material é transparente à radiação. O fenómeno está ligado a uma característica do
material que se designa por coeficiente de absorção, que será tratado mais pormenoriza-
damente no próximo capítulo. Numa situação estacionária, o ritmo de geração total é igual ao
ritmo de recombinação
ter efG R G G R rnp= ⇒ + = = (1.4.2)
21 1ter ef ef efteri
ter ter
G G G GGnp nr r G G+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1.4.3)
A equação (1.4.3) mostra que, com iluminação, o produto np deixa de ser igual ao
quadrado da concentração intrínseca. Trata-se efectivamente de uma situação que não é de
equilíbrio termodinâmico.
1.5 FUNÇÕES DE FERMI-DIRAC E DENSIDADE DE ESTADOS
Para determinarmos as relações quantitativas que nos permitem num semicondutor
calcular as densidades de electrões e de buracos teremos que recorrer a considerações de
ordem quântica. Para electrões de condução com energias próximas de CW e para electrões de
valência com energias próximas de VW tem-se
2
*2C C
C
pW W W Wm
= + > (1.5.1)
2
*2V V
V
pW W W Wm
= + < (1.5.2)
com * 0Cm > e * 0Vm < .
Trata-se da adaptação a um formalismo clássico, em que a energia total da partícula em
cada banda é igual à soma da energia potencial, 1ª parcela do 2º membro, com a energia
cinética da partícula, dada pela 2ª parcela do 2º membro. A equação (1.5.1) mostra que para a
banda de condução podemos considerar partículas de massa positiva. São os electrões de
condução, com uma densidade volumétrica que representámos por n. Para a banda de
Página 1.9
1.9 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
valência, a equação (1.5.2) mostra que a massa a considerar deve ser negativa. Para
entendermos este facto, teremos de atender que esse parâmetro do ponto de vista quântico
engloba toda a complexidade da estrutura de bandas presente no cristal, onde o potencial tem
uma variação periódica nas três direcções do espaço e está, frequentemente, associado a
imperfeições. Não apresenta portanto, como num ponto de vista clássico, um carácter de
inércia, podendo nalguns casos ser negativo e até mesmo não ser um escalar. Designamo-lo
por massa eficaz da partícula (Apêndice I). A consideração desse parâmetro permite-nos no
entanto, dentro de uma perspectiva clássica, estudar o movimento dos electrões recorrendo à
conhecida equação da mecânica de Newton
( )*d m v
qEdt
= − (1.5.3)
De salientar que para a banda de valência, a utilização da equação (1.5.3) mostra que a
contribuição de partículas de massa negativa e carga negativa (electrões de valência) pode ser
traduzida por partículas de massa e de carga simétricas: os buracos. Deste modo, as equações
(1.5.1) e (1.5.2) podem ser aplicadas para os electrões da banda de condução com
* * 0n Cm m= > e para os buracos da banda de valência com * * 0.p Vm m= − >
Numa rede cristalina perfeita, a acção de uma força exterior F é traduzida pela equação
clássica do movimento
2
dp h dkFdt dt
= =π
, (1.5.4)
onde p é o momento linear da partícula e k o seu vector de onda, relacionados, de acordo
com a hipótese de de Broglie, por
*22
h hp p k m W= = = =λ π
, (1.5.5)
sendo λ o comprimento da onda associado à partícula de momento p. Na mecânica
ondulatória o princípio de incerteza de Heisenberg obriga a que uma partícula esteja
associada a um pacote de ondas caracterizado por uma velocidade de grupo. Esta é dada por
*2
gdW pv
h dk mπ
= = (1.5.6)
Página 1.10
1.10 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
Substituindo (2.5.5) e (2.5.6) em (2.5.4) é-se conduzido a
2
*2
22h dk d W dkF m
dt h dtdkπ
= =π
(1.5.7)
12 2
*2 24
h d Wmdk
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎝ ⎠ (1.5.8)
Do ponto de vista quântico a massa eficaz está assim associada à concavidade da
relação entre a energia e o número de ondas .k Num caso geral é um tensor, dependendo da
direcção. Para uma relação ( )W k parabólica, *m é uma constante, podendo nalguns casos,
como é o caso dos electrões da banda de valência, tomar valores negativos. Em cristalografia
é costume representar-se a relação energia-vector de onda para as direcções de alto grau de
simetria do cristal. De uma forma geral esta relação apresenta formas complicadas, associadas
à presença de vales múltiplos, na base dos quais a relação parabólica se revela geralmente
satisfatória. A Fig. 1.5, corresponde ao composto semicondutor binário GaAs, podendo
concluir-se que a banda de condução apresenta um mínimo para 0 (ponto ),k = Γ mas
existem outros mínimos para 0k ≠ , que correspondem a direcções de alta simetria. Nos
diferentes vales os electrões estarão associados a massas eficazes distintas, o que conduzirá a
comportamentos diferentes no mesmo material quando se variam os valores relativos das
populações nesses vales, por exemplo por acção do campo eléctrico.
- Fig. 1.5 -
Estrutura de bandas no GaAs. Banda de condução (vermelho) com o vale central Γ e os vales indirectos eL Χ e bandas de valência (azul)
associadas aos buracos leves (LH); aos buracos pesados (HH) e splitt-off (SO)
+2 +1 0 -1 -2 -3
-4
[ ]eVW (eV)
SO
LH
HH Δ
WG
Γ7
Γ8
L6 X6 Γ6
L
Página 1.11
1.11 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
Em relação à banda de valência, esta apresenta um máximo de energia no ponto Γ ,
onde se cruzam duas sub-bandas. A banda de valência diz-se degenerada, designando-se os
buracos do vale mais apertado por buracos leves (LH) e os outros por buracos pesados (HH).
Existe uma 3ª sub-banda desviada em energia das anteriores de Δ no ponto Γ e que é
conhecida na designação anglo-saxónica por splitt-off (SO).
Na vizinhança de um mínimo da banda de condução, isto é, na região onde se
encontram localizados os electrões da banda de condução, a função ( )W k pode ser
desenvolvida em série de Taylor. Atendendo a que se trata de um mínimo, a 1ª derivada é nula
e, desprezando os termos acima do de segunda ordem, obtém-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 2
0 0 0 02 2 21 1 12 2 2x x y y z z
x y z
W W WW k W k k k k k k kk k k
∂ ∂ ∂= + − + − + −
∂ ∂ ∂ (1.5.9)
As superfícies de energia constante no espaço k , ou seja nas quais ( ) teW k C= , são
definidas por
( ) ( ) ( )
22 200 0 1y yx x z z
x y z
k kk k k kA A A
−− −+ + = (1.5.10)
Os materiais que, como o GaAs, apresentam o mínimo da banda de condução e o
máximo da banda de valência para o mesmo valor de k designam-se por materiais de banda
directa. São especialmente importantes, como veremos no Capítulo 4, em dispositivos
emissores de luz. Nos materiais de banda directa, a banda de condução tem apenas um vale na
vizinhança do ponto .Γ Significa que em (1.5.10) todos os coeficientes iA são iguais, sendo
esféricas as superfícies equi-energéticas. Nessas condições (1.5.9) transforma-se em
( )22
22 *
1 12 22
C Cd W hkW k W k Wdk m
⎛ ⎞= + = + ⎜ ⎟π⎝ ⎠ (1.5.11)
O electrão comporta-se como uma partícula livre de massa eficaz *,m que é neste caso
um escalar dado por (1.5.8). Pelo contrário, os semicondutores elementares germânio e silício
são materiais de banda indirecta. Neste caso verifica-se que .x y zA A A= ≠ As superfícies
equi-energéticas são elipsóides, verificando-se a seguinte igualdade
Página 1.12
1.12 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
( ) ( )2 22 2
// 02 2//
1 12 2C l
l
W WW k W k k kk k
∂ ∂= + − +
∂ ∂ (1.5.12)
sendo lk a componente do vector de onda na direcção do eixo de revolução do elipsóide, isto
é, aquela que contem o ponto 0,k e //k a componente do vector de onda num plano
perpendicular àquele eixo.
A massa eficaz do electrão não é neste caso um escalar, podendo definir-se uma massa
longitudinal e uma massa transversal dadas, respectivamente, por
12 2
*22ll
h Wmk
−⎛ ⎞∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠
(1.5.13)
12 2
*2//2t
h Wmk
−⎛ ⎞∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠
(1.5.14)
Atendendo a (1.5.12), (1.5.13) e (1.5.14) obtém-se para um material de banda indirecta
( ) ( )2 2
2 2// 0* *
1 12 22 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠C l
t l
h hW k W k k km m
(1.5.15)
Os electrões e os buracos são partículas que, nas suas leis de distribuição, verificam o
princípio de exclusão de Pauli, que diz que num sistema de partículas cada estado quântico é
ocupado por uma única partícula. Além disso são partículas indiscerníveis, manifestando este
facto a impossibilidade de se distinguir entre duas partículas que, no mesmo instante, tenham
a mesma probabilidade de se encontrar num certo elemento de volume do espaço.
A função de Fermi-Dirac ( )f W representa a probabilidade de um dado nível de energia
W estar ocupado. Está representada na Fig.1.6 para 0T = (vermelho) e 0T ≠ (azul). É dada
por
1( )
1
f W W WFkTe
=−
+
(1.5.16)
sendo k a constante de Boltzmann, de valor 23 11,38 10 JK− −⎡ ⎤× ⎣ ⎦ e FW o nível de Fermi.
Página 1.13
1.13 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
f(W)
1
0,5
WFW
T
T
T=0
- Fig.1.6 -
Função de Fermi.
O nível de Fermi representa o potencial electroquímico do material, só se definindo
em equilíbrio termodinâmico, e goza das seguintes propriedades
[ ]( ) 0,5 0 KFf W T= ≠ (1.5.17)
( )( ) [ ]
10 K
0F
F
f W W WT
f W W W⎫= < ⎪ =⎬= > ⎪⎭
(1.5.18)
As equações (1.5.17) e (1.5.18) mostram que, para o zero absoluto, o nível de Fermi
representa o nível de energia mais alto ocupado e que, para qualquer outra temperatura, a
probabilidade de ocupação do nível de Fermi é de 50%. Consideremos a mudança de
variáveis ( ) / .FE W W kT= − Verifica-se que ( ) 1 ( ),f E f E= − − ou seja que a probabilidade
de ocupação de um dado nível de energia W é igual à probabilidade de desocupação do nível
simetricamente colocado em relação a .FW
Os portadores de carga distribuem-se por uma gama de energias nas respectivas
bandas que se espraia quando a temperatura aumenta (Fig.1.6). As propriedades eléctricas e
ópticas dos semicondutores estão relacionadas com a descrição dos estados electrónicos nas
bandas de condução e de valência do cristal. As funções de onda associadas a cada uma das
bandas são calculadas a partir da equação de Schrödinger, que relaciona a Hamiltoniana da
rede cristalina, ˆ ,H (Apêndice I) com a energia E da partícula de acordo com
( )2
0 ˆˆ ˆ2
r Em
⎡ ⎤Ψ = + Ψ = Ψ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
pH V (1.5.19)
Na descrição de Ψ é fundamental a definição da função densidade de estados.
Admitindo que o cristal tem dimensões , ex y zL L L e atendendo a que 2 VΨ δ representa a
Página 1.14
1.14 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
probabilidade de encontrar a partícula no volume elementar Vδ , a função Ψ deverá anular-se
nos limites do cristal. As soluções serão assim estacionárias, resultantes da sobreposição de
duas ondas planas que viajam em sentidos opostos, e tal que
sin sin sin 0.x x y y z zk L k L k L= = = Ou seja, as componentes do vector de onda encontram-se
discretizadas, sendo dadas por
22 2; ;yx z
x y zx y z
nn nk k kL L L
ππ π= = = (1.5.20)
onde , ex y zn n n são números inteiros que se designam por números quânticos do sistema.
Para , ex y zL L L suficientemente elevados, as propriedades do material dizem-se a 3
dimensões (3D)3. Neste caso, o número de estados ( )N k com vector de onda menor ou igual
a k é obtido dividindo o volume da esfera de raio k pelo volume ocupado por cada estado
quântico no espaço k (Fig. 1.7).
- Fig. 1.7 -
Distribuição de estados no espaço do vector de ondas.
3 Nessas condições o dispositivo designa-se por maciço ou bulk, na designação anglo-saxónica, por exemplo bulk
laser (ver Capítulo 4).
zk
xk
yk
k
2π/L
2π/L
2π/L
Página 1.15
1.15 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
( )( )
3
34
2x y z
kN k L L Lπ=
π (1.5.21)
Deste modo, o número de estados por unidade de volume com vector de onda entre
ek k dk+ é dado por
( )2
22kdN k dk=π
(1.5.22)
A função densidade de estados no espaço k é definida por ( ) ( ) / .g k dN k dk= A
função densidade de estados em energia ( )g W é obtida a partir de ( )g k , conhecida a
relação de dispersão ( )W k do material. Da equação (1.5.20) verifica-se que se , ex y zL L L
forem muito maiores que o comprimento de onda associado ao electrão, a discretização
praticamente não se faz sentir, observando-se a existência de um quasi-contínuo de estados
em cada uma das bandas. A análise do sistema a 3DE é uma boa aproximação. Considere-se,
no entanto, que numa dada direcção, a dimensão é muito inferior às outras , .
Nessas condições, a restrição do movimento da partícula nessa direcção conduz à designação
de sistemas bidimensionais (2D), de que as chamadas estruturas de poços quânticos4
constituem exemplos. Por um raciocínio idêntico ao desenvolvido previamente, o número de
estados com vector de onda igual ou menor do que k é agora obtido dividindo a área do
círculo de raio k pela área associada a cada estado quântico no plano ( ),x yk k , ou seja é dado
por ( ) ( )22 / x yL Lπ . Os sistemas 1D, correspondentes às situações em que se verifica a
quantificação em duas direcções, são designados por fios quânticos5. A quantificação de
estados nas três direcções do espaço permite definir os sistemas 0D, também designados por
pontos quânticos6. De um modo geral, para um sistema de dimensão m, ou sistema (mD), o
número de estados com vector de onda inferior ou igual a k é dado por
( )2
m
kLN k V ⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠
(1.5.23)
4 Quantum Wells, na designação anglo-saxónica. 5 Quantum Wires, na designação anglo-saxónica. 6 Quantum Dots, na designação anglo-saxónica.
Página 1.16
1.16 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
A tabela 1.1 representa os valores de ( ) ( ), ekV g k g W para sistemas 1D, 2D e 3D.
Não se considerou o spin do electrão e admitiu-se uma relação de dispersão ( )W k parabólica.
Tabela 1.1
Dimensão Vk dVk/dk g(k) g(W)
3D 34 / 3kπ 24 kπ 24 kπ
2
22kπ
3/ 22
2 28
4m W
h
⎛ ⎞π⎜ ⎟⎜ ⎟ π⎝ ⎠
2D 2kπ 2 kπ 1
2 z
kL
⎛ ⎞⎜ ⎟π ⎝ ⎠
22 1
z
mLh
⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠
1D 2k 2 1 1
x yL L
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎝ ⎠
( )1/ 22
28
2g km
Wh
⎛ ⎞π⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A Fig. 1.8 mostra as funções g(k) e g(W) para sistemas uni-, bi- e tridimensionais,
estando a função ( )g k representada em função da amplitude k do vector m-dimensional .k
- Fig. 1.8 - Funções densidades de estados no espaço do vector de onda e em energia para sistemas 3D, 2D e 1D.
3 3D Dg g
x y zL L L= =
,z x yL L L
,z y xL L L k W
k W
k W
1 1D Dg g
2 2D Dg g
Página 1.17
1.17 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
A Fig. 1.9 representa a relação entre as funções densidade de estados 2D e 3D. De
salientar que
( )222 2
2 21 1 12 2 2 2 2 2
nzzn x y
hkhk hW W k km m m
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1.5.24)
sendo 2 / .nz zk n L= π Para cada valor de n existe uma sub-banda. No caso de zL aumentar, a
função 2D tende, obviamente, para a função 3D. As sub-bandas estão representadas no plano
( )xyW k sendo
2 2 2xy x yk k k= + (1.5.25)
Considerando o caso 3D, a densidade de estados em energia por unidade de volume
para os electrões da banda de condução é dada por
( )* *03
8( ) 2C n n C CVg W m m W W W W
hπ
= − > (1.5.26)
Analogamente, para a banda de valência a densidade de estados em energia é dada por
( )* *03
8( ) 2V p p V VVg W m m W W W W
hπ
= − < (1.5.27)
- Fig. 1.9 -
Sub-bandas inferiores de um poço de potencial de altura infinita Densidade de estados em energia 2D (cheio) e 3D (ponteado).
W2
W3
3D 2D
W
kxy
nz=3
nz=2
nz=1W1
W
g(W)
Página 1.18
1.18 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
O número de electrões é obtido a partir da densidade de estados ocupados em energia
da banda de condução, ou seja
0
1 ( ) ( )Cdn f W g W dWV
= (1.5.28)
O número de buracos está associado ao grau de desocupação da banda de valência e,
portanto, vem dado por
( )( ) ( )0
1 1 Vdp f W g WV
= − (1.5.29)
Admitindo que a posição do nível de Fermi no semicondutor é tal que se verifica
sempre
;C F F VW W kT W W kT− >> − >> (1.5.30)
a função de Fermi pode ser substituída pela função de Maxwell-Boltzmann, que corresponde
à função de distribuição numa estatística clássica. Nessas condições os semicondutores
dizem-se não degenerados. É nessa situação que nos situaremos na análise da maioria dos
dispositivos. Nessas condições a função de distribuição toma a forma
( )( )
FW WkTf W e
−−
≅ (1.5.31)
Substituindo (1.5.31) em (1.5.28), a concentração de electrões é obtida por integração
ao longo da banda de condução
C F
CC
W WkTn dn N e
W
−−∞
= =∫ (1.5.32)
onde CN se designa por densidade efectiva de estados na banda de condução e é dada por
3 / 2*
222 n
Cm kTNh
⎛ ⎞π= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (1.5.33)
Analogamente, a concentração de buracos será dada por
W WF VWV kTdp eVp N−
−= =∫
−∞ (1.5.34)
Página 1.19
1.19 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
sendo VN a densidade efectiva de estados na banda de valência dada por
3 / 2*
22
2 pV
m kTN
h
⎛ ⎞π⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.5.35)
Se considerarmos a banda de valência constituída por duas sub-bandas a equação
(1.5.35) deverá ser substituída por
3 / 2
*3 / 2 *3 / 22
22p lV p p
kTN m mh
⎛ ⎞π ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (1.5.36)
onde * *ep lp pm m representam as massas efectivas de buracos pesados e buracos leves,
respectivamente. Nos semicondutores não degenerados, ou seja os que verificam (1.5.30), as
concentrações n e p serão sempre muito inferiores a eC VN N , respectivamente. A posição
do nível de Fermi é, de acordo com as equações (1.5.32) e (1.5.34), um indicador da dopagem
do semicondutor. Para um semicondutor intrínseco obtém-se de (1.5.32) e (1.5.34)
iC F
C
W W
kTn N ei
−−
= (1.5.37)
iF V
V
W W
kTn N ei
−−
= (1.5.38)
Igualando as equações (1.5.37) e (1.5.38) é-se conduzido a
3 / 2*
*ln ln2 2 2 2i
C V C C V nF
V p
W W N W W mkT kTWN m
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.5.39)
A equação (1.5.39) mostra que o nível de Fermi para o semicondutor intrínseco está
aproximadamente a meio da banda proibida, ligeiramente deslocado para cima pelo facto das
massas de electrões serem menores que as massa de buracos. De (1.5.32)
lni
i
W WF FkTi F F
i
nn n e W W kTn
−
= ⇒ = + (1.5.40)
Num semicondutor extrínseco de tipo n tem-se in n> , pelo que o nível de Fermi se
encontra acima do nível de Fermi intrínseco ,iFW ou seja, aproxima-se da banda de condução.
Analogamente, num semicondutor de tipo p o nível de Fermi aproxima-se da banda de
valência, de acordo com
Página 1.20
1.20 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
lni
i
F F
i F F
W WpkTp n e W W kTni
−
= ⇒ = − (1.5.41)
A Fig.1.10 representa a concentração de electrões e de buracos num semicondutor de
tipo n, calculada a partir da função de Fermi ( )f W e das funções densidades ( )g W das
respectivas bandas. Multiplicando as equações (1.5.39) e (1.5.40) obtém-se
2 3G GW W
kT kTi C Vn N N e T e− −
= ∝ (1.5.42)
W
WC
WV
g(W)
WF
f(W)
- Fig. 1.10 -
Concentrações de portadores num semicondutor de tipo n.
Devido ao factor exponencial, a concentração intrínseca é fortemente dependente da
temperatura. Calculando a variação relativa de 2in com a temperatura obtemos
( )2
32i G
d n W dTkT Tni
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.5.43)
Assim, por exemplo, para o Ge a 300 K existe uma variação de cerca de 9,4% do
quadrado da concentração intrínseca por cada grau centígrado de variação da temperatura. O
efeito é superior no Si, dado que a altura da banda proibida é neste caso superior.
Finalmente, de realçar que com o aumento da concentração de impurezas pode-se
entrar num domínio para a qual as relações anteriores deixam de ser válidas uma vez que a
condição (1.5.30) deixa de se verificar. É o domínio dos semicondutores degenerados.
Página 1.21
1.21 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
A Fig. 1.11 mostra o andamento em escala logarítmica da variação das concentrações
de portadores em função da temperatura. Tomou-se como exemplo uma amostra com dadores.
Do equilíbrio termodinâmico (1.1.1) e da neutralidade de carga (1.1.2) obtemos
2 20
1 42 2D
D iNn N n
++= + + (1.5.44)
Zona intrínseca
Zona de Saturação
Zona de ionização ( )0log n
( )log DN +
( )0log p( )0log n
( )log in
1/T0∞
( )0log p
- Fig. 1.11 -
Influência da temperatura nas concentrações de portadores.
Num semicondutor fortemente extrínseco, a segunda parcela do radicando é pequena face à
primeira, conduzindo a 0 Dn N+≅ . Assim para temperaturas muito baixas, a concentração de
electrões cresce com a temperatura, uma vez que as impurezas se vão ionizando. É a zona de
ionização. À temperatura ambiente já todas as impurezas estão ionizadas e portanto n é
praticamente constante e igual a DN . É a zona de saturação. Se a temperatura continuar a
subir, o aumento de ni pode fazer com que em (2.5.44) já não se possa desprezar a influência
da agitação térmica, conduzindo à outra situação extrema onde 2 2 .i Dn N>> Nessas condições
as concentrações de electrões e de buracos são praticamente iguais e dadas pelo valor da
concentração intrínseca à essa temperatura. É a zona intrínseca. Na figura representa-se
também a variação em escala logarítmica da concentração das minorias com a temperatura,
tendo em conta que de acordo com a equação do equilíbrio termodinâmico (1.3.2) se verifica
0 0ln ln 2ln in p n+ = (1.5.45)
Página 1.22
1.22 Optoelectrónica Aplicada Capítulo 1
PROBLEMAS PROPOSTOS
Exemplo 1.1
Determine 0 0, , eF Fin p W W se as densidades efectivas de estados na banda de condução e na
banda de valência valem, respectivamente, 25 310 m− e 24 38 10 m−× , a altura da banda proibida é
0,67 eV e as concentrações de impurezas aceitadoras e dadoras são, respectivamente, 20 310AN m−= e 20 35 10DN m−= × . Desenhe o diagrama de bandas.
Exemplo 1.2
Determine a variação de temperatura na vizinhança de 0 300T K= necessária para que a
concentração intrínseca duplique no germânio. Repita para o silício. Considere que as alturas
das bandas proibidas nos dois materiais são (Ge) 0,67 eV e (Si) 1,12 eV.G GW W= =
LEITURA ACONSELHADA
E. Spenke, Electronic Semiconductors, Mc-Graw-Hill, 1958.
J. S. Blakemore, Semiconductor Statistics, Pergamon Press, 1962.
W. Schockley, Electrons and Holes in Semiconductors, Cambridge University Press,
1978.
B. G. Streetman, Solid State Electronic Devices, Prentice-Hall, 1980.
J. Seymour, Electronic Devices and Components, Pitman, 1981
S. M. Sze, Physics of Semiconductors, Wiley, N., 1981.
L. Solymar e D. Walsh, Lectures on Electrical Properties of Solids, Oxford University
Press, 1984.
R. E. Hummel, Electronic Properties of Materials, Springer-Verlag, 1993.
S. L. Chuang, Physics of Optoelectronic Devices, Wiley Series in Pure and Applied
Optics, John Wiley & Sons, 1995.