Capítulo 1

Conjuntos e Relações

Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como,

conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e intervalos.

Utilizar estes conceitos em operações com conjuntos, tais como, a intersecção, a união e a diferença;

Conhecer o plano cartesiano e calcular o produto cartesiano de dois conjuntos;

Enunciar e determinar uma relação, seu domínio e conjunto imagem e também identificar uma relação inversa.

1.1 Noção intuitiva de conjuntos

A noção de conjuntos, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva, introduzida pelo matemático russo GEORG CANTOR (1845 – 1918).

Intuitivamente, sob a designação de conjunto entendemos toda coleção bem definida de objetos (chamados os elementos do conjunto), não importa de que natureza, considerados globalmente.

Segundo GEORG CANTOR: “Chama-se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto”.

Em Matemática definem-se e estudam-se conjuntos de números, de pontos, de retas, de curvas, de funções, etc. Exemplos de conjuntos:

• O conjunto dos livros da área de contabilidade de uma biblioteca,• O conjunto dos pontos de um plano,• O conjunto das letras da palavra “Contabilidade”,• O conjunto dos conselhos regionais de contabilidade (CRC)

existentes no Brasil,• O conjunto dos escritórios de contabilidade da região sul,• O conjunto dos professores, alunos e servidores técnicos

administrativo do Departamento de Ciências Contábil da UFSC.

Notação dos conjuntos

Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação:a) Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: , , ,..., , ,A B C X Y Z ;b) Os elementos são indicados por letras minúsculas: , , ,..., , ,a b c x y z .

O conjunto A cujos elementos são , , ,...a b c representa-se pela notação:

{ }, , ,...A a b c=que se lê: “ A é o conjunto cujos elementos são , , ,...a b c ”. Por exemplo,

(i) Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela letra s:{ }, ,segunda sexta sábado

(ii) Conjunto das disciplinas da segunda fase do curso de ciências contábeis da UFSC, conforme novo currículo:

{ }, , ,matemática financeira direito comercial estatística contabilidade II .

(iii) Conjunto dos nomes dos cursos do Centro Sócio Econômico da UFSC:{ }, , ,admistração ciências contábeis ciências econômicas serviço social .

Conjuntos numéricos fundamentais

a) Conjunto dos naturais Notação: { }0,1,2,...=¥ .

b) Conjunto dos inteiros Notação: { }..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...= − − −¢ .

c) Conjunto dos racionais

Notação: , 0p

p q e qq

= ∈ ≠

¤ ¢ .

d) Conjunto dos irracionais Notação: Ι .

e) Conjunto dos reais. Notação: ¡ , onde = Ι¡ ¤ U .

Relação de pertinência

Para indicar que um elemento x pertence ou não a um conjunto A , escreve-se simbolicamente: x A∈ e x A∉ e que se lê: x pertence a A e x não pertence a A . Esta notação é devida ao matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932).

Determinação de um conjunto

Um conjunto é bem determinado quando se sabe quais são os elementos que o constituem. Um conjunto pode ser definido por um dos seguintes modos:

a) Por extensão – Consiste em enumerar ou listar os seus elementos, colocados entre chaves. Por exemplo, { }, , , ,A a e i o u= e { }1,3,5,7B = .

b) Por compreensão – Consiste em mencionar uma propriedade

característica de seus elementos. Por exemplo, { }A x x é par positivo= ∈ ¡

.

c) Diagrama de Euler-Venn – A fim de facilitar o entendimento de certas definições e demonstrações da Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada qualquer. Uma tal representação recebe o nome de diagrama de Eule-Venn.

Exemplo 1.1. A figura abaixo é o diagrama de Euler-Venn dos conjuntos:

{ } { }1,2,3,4 1,2,5,7A e B= = .

Figura 1.1

Conjuntos: Vazio, unitário, finito e infinito

a) Conjunto vazio. É todo conjunto que não possui nenhum elemento.Notação: { } ou φ .

Exemplo 1.2.

(i) { }homem e é mulherA x x é x φ= = .

(ii) { }9 10B x x φ= ∈ < < =¥ .

b) Conjunto unitário. É todo conjunto constituído de um único elemento.

Exemplo 1.3.1) O conjunto das raízes da equação 2 1 7x + = : Resposta: { }3 .

34 1

2 57

A B

2) { } { }3 5 4A x x= ∈ < < =¥ .

Observação. Uma correspondência entre dois conjuntos A e B é dita biunívoca se cada elemento do conjunto A está associado a um só elemento do conjunto B e vice-versa.

Exemplo 1.4.{ }

{ }

, , ,

1, 2, 3, 4

A x t y z

B

=

=b b b b

c) Conjunto finito. Um conjunto A é dito finito quando existe n∈¥ tal pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto { }1,2,3,...,B n= .

Exemplo 1.5. O conjunto { }0,2,4,6A = é finito, pois,

{ }

{ }

0, 2, 4, 6

1, 2, 3, 4 .

A

B

=

=b b b b

d) Conjunto infinito. É todo conjunto que contém um número infinito de elementos. Por exemplo, { }0,2,4,6,8,...M = é um conjunto infinito.

e) Conjunto universo. É o conjunto que contém todos os elementos utilizados num determinado assunto.

Notação: U

Exemplo 1.6. Seja U = ¡ . Ao procurarmos as raízes reais de algumas equações temos:

Equação raíz real2 0x − = 2

2 1 0x + = Não tem raiz real

2 2 3 0x x+ − = 1 e 3−

Igualdade entre dois conjuntos

O conjunto A é igual ao conjunto B , se e somente se A está contido em B e B está contido em A .

Simbolicamente:A B A B e B A= ⇔ ⊂ ⊂ .

Família de conjuntos ou coleção de conjuntos

É um conjunto cujos elementos também são conjuntos, por exemplo, o conjunto

{ } { } { }{ }3,4 , 1, 2 , 1D = − − ,

Observe que { }3,4 D− ∈ , { }1, 2 D− ∈ e { }1 D∈ .

Relação de inclusão

Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B , se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B .Notação: A B ou B A⊂ ⊃ .

Simbolicamente: A B x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ .

Graficamente:

Figura 1.2

Observação: (i) ,A Aφ∀ ⊂ .(ii) Quando A B⊂ , dizemos que A é um subconjunto de B .

Conjunto das partes de um conjunto

É o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A .

Notação: ( )P A .

Exemplo 1.7. Seja o conjunto { }2,3,4A = , logo

{ } { } { } { } { } { }{ }( ) , 2 , 3 , 4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 ,P A Aφ= .

O número de elementos de ( )P A é 8.

A

B

Observação. Todo conjunto finito A com n elementos tem 2n subconjuntos.

1.2 Operações com conjuntos.

Intersecção de conjuntos

Dados dois conjunto A e B , chamamos de intersecção de A com B , e anotamos porA BI , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B .

Simbolicamente:

{ }A B x x A e x B= ∈ ∈I .

Exemplo 1.8. Sejam os conjuntos { }2,3,6,8A = ,

{ } { }2 7 3,4,5,6B x x= ∈ < < =¥ e { }5C = . Assim,

{ }3,6A B =I , A C φ=I e { }5B C =I .

Observação: Quando A B φ=I , dizemos que A e B são disjuntos.

Propriedades

Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades da intersecção.

P1 - A φ φ=I .P2 - A U A=I .P3 - A B B A=I I . (comutativa)

P4 - ( ) ( )A B C A B C=I I I I . (associativa)

P5 - A B A B A⊂ ⇔ =I .

União de conjuntos

Dados dois conjunto A e B , chamamos de união ou reunião de A com B , e anotamos por A BU , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B .

Simbolicamente:

{ }A B x x A ou x B= ∈ ∈U .

Exemplo 1.9. Sejam os conjuntos

{ } { }4 0,1,2,3,4A x x= ∈ ≤ =¥ ,

{ } { }2 7 2,3,4,5,6B x x= ∈ ≤ < =¥ e

{ }10,12C = .

Assim,{ } { }0,1,2,3,4,5,6 6A B x x= = ∈ ≤U ¥ .

{ }0,1,2,3,4,10,12A C =U .

{ }2,3,4,5,6,10,12B C =U .

Propriedades da união

Dados os conjuntos ,A B e C , temos as seguintes propriedades da união.

P1 - A Aφ =U .P2 - A U U=U .P3 - A B B A=U U . (comutativa)

P4 - ( ) ( )A B C A B C=U U U U . (associativa)

P5 - A A B ou B A B⊂ ⊂U U .P6 - A B A B B⊂ ⇔ =U .

P7 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C=U I U I U .

P8 ( ) ( ) ( )A B C A B A C=I U I U I .

Observação. O número de elementos de ( ), ,A B n A BU U é dado por

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B= + −U I .

Conjunto complementar

Seja A U⊂ . O conjunto complementar de A em relação U , é o conjunto dos elementos de U que não pertencem a A .

Notação: ( ) ', ( ), C

UC A C A A e A .Simbolicamente:

{ }CA x x U e x A= ∈ ∉ .

Exemplo 1.10. Sejam os conjuntos

{ } { }7 0,1,2,3,4,5,6,7U x x= ∈ ≤ =¥ ;

{ }0,1,2,3A = e

{ }2,4,6,7B = .Assim.

{ }4,5,6,7CA = e { }0,1,3,5CB = .

Propriedades de complementação

Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades:

P1 - ( ) C Uφ = .

P2 - ( ) CU φ= .

P3 - ( )( ) CCA A= .

P4 - CA A φ=I .

P5 - CA A U=U .

P6 - ( ) C C CA B A B=I U .

P7 - ( ) C C CA B A B=U I .

As propriedades P6 e P7 são conhecidas como Leis de De Morgam.

Diferença de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B , chamamos de diferença entre A e B , e anotamos por A B− , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e que não pertence a B .

Simbolicamente:

{ }A B x x A e x B− = ∈ ∉ .

Usando o diagrama de Euler-Venn, vem

Figura 1.3

Exemplo 1.11. (i) Sejam os conjuntos { }1,2,3,4,5,6A = e { }4,5,6,7,8B = , assim

{ }1,2,3A B− = e { }7,8B A− = .

(ii) { } { } { }, , , ,a b c b c d a− = .

(iii) { } { } { }, , , , , ,d e f a b c d e f− = .

A B−

A B

Propriedades da diferença

Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades:

P1 - A B A− ⊂ e B A B− ⊂ .P2 - CA B A B− = I .P3 - C CA B B A− = − .

P4 - ( ) ( ) CA B C A B C− =U I U .

Observação: Dados os conjuntos A e B temos que ( ) ( ) ( )n A B n A n A B− = − I .

1.3 Reta numérica

Uma maneira prática de representar os números reais é através da reta real.

Observe que essa representação começa com a escolha de um ponto arbitrário, denominado origem ou ponto zero, e um outro ponto arbitrário a sua direita, o ponto 1. A distância entre esses pontos (distância unitária) serve como escala por meio da qual é possível associar pontos da reta a números inteiros positivos ou negativos, como ilustrado na figura 1.4, e também a números racionais. Todos os números positivos estão à direta do zero, no “sentido positivo”, e todos os números negativos estão à sua esquerda.

Figura 1Figura 1.4

Intervalos

São particularmente importantes alguns subconjuntos de ¡ , denominados intervalos. Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados.

o Intervalos limitados

(i) Fechado [ ] { },a b x a x b= ∈ ≤ ≤¡ .

(ii) Aberto ( ) ] [ { }, ,a b a b x a x b= = ∈ < <¡ .

(iii) Semi-abertos ( ] ] ] { }, , a b a b x a x b= = ∈ < ≤¡ ;

-3 -2 -1 0 1 2 3

3 2

[ ) [ [ { }, ,a b a b x a x b= = ∈ ≤ <¡ .

o Intervalos ilimitados

(i) Fechados [ ) [ [ { }, ,a a x x a+ ∞ = +∞ = ∈ ≥¡ ;

( ] ] ] { } , ,b b x x b− ∞ = −∞ = ∈ ≤¡ .

(ii) Abertos ( ) ] [ { }, ,a a x x a+ ∞ = +∞ = ∈ >¡ ;

( ) ] [ { } , ,b b x x b− ∞ = −∞ = ∈ <¡ .

(iii) Aberto e fechado ] [( , ) ,−∞ +∞ = −∞ +∞ = ¡ .

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos - 1

1) Observe as seguintes definições:(a) Triângulo é todo polígono de três lados; vamos chamar de T o

conjunto dos triângulos.(b) Triângulo isósceles é todo triângulo que possui pelo menos dois

lados de mesma medida; vamos chamar de I o conjunto dos triângulos isósceles.

(c) Triângulo eqüilátero é todo triângulo que possui os três lados iguais; vamos chamar de E o conjunto dos triângulos eqüiláteros.

(d) Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto 90o ; vamos chamar de R o conjunto dos triângulos retângulos.

Complete então com ⊂ ou ⊄ :

(a) T ___ R(b) E ____ I(c) R _____ I (d) I ____ E (e) E ____ T.

2) Observe as seguintes definições:

• Quadrilátero é todo polígono de 4 lados; vamos chamar de U o conjunto dos quadriláteros.

• Quadrado é todo quadrilátero que possui os 4 lados iguais e também os 4 ângulos iguais; vamos chamar de Q o conjunto dos quadrados.

• Retângulo é todo quadrilátero que possui os 4 ângulos retos; vamos chamar de R o conjunto dos retângulos.

• Losango é todo quadrilátero que possui 4 lados congruentes; vamos chamar de L o conjunto dos losangos.

• Trapézio é todo quadrilátero que possui pelo menos um par de lados paralelos; vamos chamar de T o conjunto dos trapézios.

• Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos; vamos chamar de P o conjunto dos paralelogramos.

Complete então com ⊂ ou ⊄ :(a) R ___ L (b) P ____ R (c) L ____ U (d) U ____ T (e) T ____ Q (f) Q ___ P.

3) Sejam os seguintes conjuntos: U dos quadriláteros; Q dos quadrados: R dos retângulos; L dos losangos; T dos trapézios e P dos paralelogramos. Determinar os seguintes conjuntos:

a) Q U T; b) L U Q;

c) P U U ;d) R I L.

4) Dados dois conjuntos A e B , e sabendo-se que ( ) 23n A = , ( ) 37n B = e

( ) 8n A B =I , determine ( )n A BU .

5) Dois clubes A e B têm juntos 141 sócios. O clube B possui 72 sócios e os clubes possuem em comum 39 sócios. Determinar o número de sócios de A .

6) Sendo { }, ,A x y z= , { }, ,B x w v= e { }, ,C y u t= , determinar os seguintes conjuntos:a) A B− ;b) B A− ;c) A C− ;d) C A− ;e) B C− ;f) C B− .

7) Dados os conjuntos A e B , ( ) 18n A = , ( ) 21n B = e ( ) 7n A B =I . Determinar

( ) ( )n A B e n B A− − .

8) Sejam os conjuntos: { }é inteiro positivoA x x= , { }é par positivoB x x= e

{ }é ímpar positivoC x x= . Determinar os conjuntos.

a) B CU ; b) B CI ;

c) B C− ; d) C B− ; e) ( )AC B ;

f) ( )AC A .

9) Dados os intervalos [ )1,4A = e ( ]2,8B = , determinar os seguintes conjuntos:

a) A BU ;b) A BI ;c) A B− ;d) B A− ;e) ( )C A¡ .

10) Sejam os conjuntos { }1,2,3,4A = e { }2,4,6,8B = . Determine o conjunto

( ) ( )A B A B−U I .

11) Sejam os conjuntos { }1,2,...,9U = , { }1,2,3,4A = , { }2,4,6,8B = e

{ }3,4,5,6C = . Determinar:

a) CA ;

b) ( ) CA CI ;

c) B C− .

12) Sejam { }, , , ,U a b c d e= , { }, ,A a b d= e { }, ,B b d e= , determinar:

a) CA BI ;b) C CA BI ;c) C CB A− .

13) Em cada caso, escreva o conjunto resultante com a simbologia de intervalo.

a) { } { }1 3 2x x x x≥ − − < <I .

b) { } { }2 0x x x x< ≥U .

c) { } { }3 1 2x x x x− < ≤ >I .

d) { } { }2 3 1x x x x− < ≤ <U .

e) { } { }3 0 2 3x x x x− ≤ ≤ − < <I .

Respostas:1) a) ⊄ b) ⊂ c) ⊄ d) ⊄ e) ⊂ .2) a) ⊄ b) ⊄ c) ⊂ d) ⊄ e) ⊄ f) ⊂ .3) a) T b) L c) U d) Q.4) 52.5) 108.

6) a) { },y z b) { },w v c) { },x z d) { },u t e) { }, ,x w v f) { }, ,y u t .

7) ( ) ( )11 14n A B e n B A− = − = .

8) a) A b) φ c) B d) C e) C f) B .

9) a) [ ]1,8 b) ( )2,4 c) [ ]1,2 d) [ ]4̀,8 e) { }1 4x x ou x∈ < ≥¡ .

10) { }1,3,6,8 .

11) a) { }5,6,7,8,9 b) { }1,2,5,6,7,8,9 c) { }2,8 .

12) a) { }e b) { }c c) { }a .

13) a) [ )1,2− b) ( ),−∞ +∞ = ¡ c) φ d) ( ],3−∞ e) ( ]2,0− .

1.4 Plano Cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas

O plano cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas é constituído de duas retas perpendiculares no plano uma é escolhida como sendo horizontal e outra como vertical. Essas retas interceptam num ponto 0 , chamado de origem. A reta horizontal é chamada eixo x e, a reta vertical é chamada eixo y . Uma escala numérica é colocada ao longo dos eixos x e y . Um ponto no plano pode ser representado de modo único no sistema de coordenadas por um par ordenado ( ),x y , onde x é o primeiro número e y é o segundo.

Figura 1.5: O sistema de coordenadas cartesianas.

O primeiro número é representado no eixo x e o segundo no eixo y . No par ordenado ( ),x y , x é chamado de abscissa ou coordenada x , y é chamado de ordenada ou coordenada de y , x e y conjuntamente são chamados de coordenadas do ponto P . O leitor está famializado com o plano cartesiano, conforme figura acima.

Figura 1.6: Um par ordenado ( ),x y .

A figura abaixo, mostra alguns pontos no plano cartesiano.

Figura 1.7: Alguns pontos do plano cartesiano.

Observação. De um modo geral, se x e y são números reais distintos então ( ) ( ), ,x y y x≠ e ( ) { }, ,x y x y≠ .

De tudo que vimos acima nos motiva a seguinte definição.

Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A B× cujos elementos são todos os pares ordenados ( ),x y em que o primeiro elemento A e o segundo pertence a B .

Simbolicamente:

( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ .

O símbolo A B× lê-se: “ A cartesiano B ”.

Exemplo 1.12. Dados os conjuntos { }1,3A = e { }2,4B = , temos

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,4 , 3,2 , 3,4A B× = .

A representação gráfica de A B× no plano cartesiano é mostrada na figura abaixo

Figura 1.8

Exemplo 1.13. Dados os conjuntos { }1 5A x x= ∈ ≤ ≤¡ e

{ }2 4B x y= ∈ ≤ ≤¡ temos ( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ e a representação gráfica de A B× é representado pelo conjunto dos pontos de um retângulo conforme figura 1.9.

Note que ( ){ },B A y x y B e x A× = ∈ ∈ é representado por um retângulo

diferente do anterior, veja figura 1.10.

0 1 3

2

4

x

y

( )1,4•

( )1,2• ( )3,2•

( )3, 4•

0 1 5

2

4

x

y

A B×

Figura 1.9

Figura 1.10

Propriedades do produto cartesiano

Dados os conjuntos ,A B e C , temos as seguintes propriedades do produto cartesiano.

P1 - A relação A B φ× = é equivalente a A φ= ou B φ= .P2 - A relação A B B A× = × é equivalente a A φ= ou B φ= ou A B= .

P3 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×I I e ( ) ( ) ( )A B C A C B C× = × ×I I .

P4 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×U U e ( ) ( ) ( )A B C A C B C× = × ×U U .

P5 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − × e ( ) ( ) ( )A B C A C B C− × = × − × .

Observação. Se An é o número de elementos do conjunto A , Bn é o número de elementos do conjunto B então o número de elementos de A B× é dado por A Bn n× , ou seja, ( ) A Bn A B n n× = × .

1.5 Relação

Consideremos os conjuntos { }1,2,3,4A = e { }1,2,3,4,5,6,7,8B = . Sabemos que

o produto cartesiano de A por B é o conjunto ( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ ,

ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,2 ,..., 2,1 , 2,4 ,..., 3,1 ,..., 3,6 , 4,1 ,..., 4,8A B× = .

0 21

4

1

5

x

y

B A×

Vamos considerar agora o conjunto dos pares ( ),x y de tal que x é o dobro de y , e temos o seguinte conjunto

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 1,2 , 2,4 , 3,6 , 4,8R x y A B y x= ∈ × = =

que é chamado uma relação entre os elementos de A e B , ou, uma relação R de A em B .

O conjunto R está contido em A B× e é formado pelos pares ( ),x y em que

o elemento x A∈ é “associado” ao elemento y B∈ mediante certo critério de “relacionamento”.

Isto nos motiva a seguinte definição.

Definição. Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B todo subconjunto R de A B× . O conjunto A é chamado conjunto de partida da relação R e o conjunto B é chamado conjunto de chegada da relação R .

Quando o par ordenado ( ),x y pertence à relação R , anotamos por

x R y , que se lê “ x erre y ”, simbolicamente, vem ( ),x y R x R y∈ ⇔.

Exemplo 1.14. Sejam os conjuntos { }1,2,5,7A = e { }0,2,4,6,8B = . Escreva a

relação ( ){ },R x y A B x y= ∈ × > de A em B .

Resolução: Os elementos de R são todos os pares ordenados de A B× nos quais o primeiro elemento é maior que o segundo, ou seja, são todos pares formados pela “associação” de cada elemento x A∈ com cada elemento y B∈ tal que x y> . Portanto, a relação pedida é

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,0 , 5,0 , 5,2 5,4 , 7,0 , 7,2 , 7,4 , 7,6R = .

Exemplo 1.15. Sejam os conjuntos { }2, 1,0,1,2A = − − e { }0,1,2,3,4,5B = . Determine o número de elemento de A B× e escreva a relação

( ){ }2 2,R x y A B x y= ∈ × = .

Resolução: Como o número de elementos de A é 5 e o número de elementos de B é 6, logo o número de elementos de A B× é 5 6 30× = elementos.

Agora, os elementos de R são todos pares ordenados de A B× no qual o quadrado do primeiro elemento é igual ao quadrado do segundo, ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,2 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,2R = − − .

Exemplo 1.16. Sejam os conjuntos { }6,8,10,12,14A = e

( ){ }, 4R x y A A y x= ∈ × = + . Escreva a relação R acima.

Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A A× no qual o segundo elemento é quatro unidades maior que o primeiro, portanto, a relação pedida é

( ) ( ) ( ){ }6,10 , 8,12 , 10,14R = .

Exemplo 1.17. Dados os conjuntos { }0,4,9,16A = e { }1,2,3,4B = . Escreva a

relação R definida por ( ){ },R x y A B y x= ∈ × = + .

Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A B× no qual o segundo elemento é a raiz quadrada positiva do primeiro, portanto, a relação pedida é

( ) ( ) ( ){ }4,2 , 9,3 , 16,4R = .

Domínio e imagem de uma relação

Definição: Seja R uma relação de A em B . Chama-se domínio de R , anotamos por ( )D R , o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R . Chama-se imagem de R , anotamos por ( )Im R , o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R .

Exemplo 1.18. Dados os conjuntos { }3,4,7,8A = e { }4,5,6,8,20,21,23B = .

Determine ( )D R e ( )Im R onde ( ){ }, é múltiplo de R x y A B y x= ∈ × .

Resolução: Você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados de A B× no qual o segundo elemento é múltiplo do primeiro, assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,6 , 3,21 , 4,4 , 4,8 , 4,20 , 7,21R = .

Agora pela definição acima, vem( ) { }3,4,7D R = e ( ) { }Im 4,6,8,20, 21R = .

Exemplo 1.19. Dados os conjuntos { }1,2,3A = e { }2,3B = . Determine ( )D R

e ( )Im R para a relação ( ){ }, 4R x y A B x y= ∈ × + > .

Resolução: Calculando inicialmente A B× você tem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3A B× = . Assim,

( ) ( ) ( ){ }2,3 , 3,2 , 3,3R = .

Portanto,( ) { }2,3D R = e ( ) { }Im 2,3R = .

Exemplo 1.20. Seja o conjunto { }0 50A x x= ∈ ≤ ≤¢ . Determinar o ( )D R e

( )Im R onde ( ){ }2 2,R x y A A A y x= ∈ × = = .

Resolução: Calculando inicialmente 2A A A× = você tem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }0,0 ,..., 0,50 , 1,0 ,..., 1,50 , 3,0 ,...

3,9 ,..., 3,50 ,..., 7,0 ,..., 7,49 , 7,50

A A× =.

Agora, você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados de A A× no qual o segundo elemento é o quadrado do primeiro, assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 , 5,25 , 6,36 , 7,49R = .

Agora pela definição acima, vem ( ) { }0,1,2,3,4,5,6,7D R =

e ( ) { }Im 0,1,4,9,16,25,36,49R = .

Relação inversa

Definição: Dada uma relação R de A em B , consideremos o conjunto

( ) ( ){ }1 , ,R y x B A x y R− = ∈ × ∈ .

Como 1R− é subconjunto de B A× , então 1R− é uma relação de B em A à qual definimos por relação inversa de R .

Dessa definição decorre que 1R− é o conjunto dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.

Observação: O par ( ),x y R∈ , se e somente se ( ) 1,y x R−∈ .

Exemplo 1.21. Dados os conjuntos { }2,3,4,5A = e { }1,3,5,7B = e a relação R definida por

( ){ },R x y A B x y= ∈ × < .Determine:(i) ( ) ( ), ImR D R e R .

(ii) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − .

Resolução: Você calcula inicialmente A B× , assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,1 , 2,3 ,..., 2,7 , 3,1 , 3,3 ,..., 4,1 ,..., 4,7 , 5,1 ,..., 5,7A B× =e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 3,2 ,..., 7, 2 , 1,3 , 3,3 ,..., 1, 4 ,..., 7, 4 , 1,5 ,..., 7,5B A× = .

Agora, para responder a letra (i), os elementos da relação R são todos pares ordenados de A B× no qual o primeiro elemento é menor que o segundo, assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3 , 2,5 , 2,7 , 3,5 , 3,7 , 5,7R = .Logo,

( ) { }2,3,5D R = e ( ) { }Im 3,5,7R = .

Para responder a letra (ii), vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 3,2 , 5,2 , 7,2 , 5,3 , 7,3 , 7,5R− = ;

( ) { } ( )1 3,5,7 ImD R R− = = ;

e

( ) { } ( )1Im 2,3,5R D R− = = .

Exemplo 1.22. Sejam os conjuntos { }0,1,2,5A = e { }2, 1,0,1,2B = − − e a relação R definida por

( ){ }, 1R x y A B y x= ∈ × = + − .

Determine:(i) ( ) ( ), ImR D R e R .

(ii) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − .

Resolução: (i) Para cada elemento x A∈ você associa o elemento y B∈ ,

tal que 1y x= + − , ou seja,

para 0x = vem 0 1 1y = + − = + − e ( )0, 1 R+ − ∉ ;

para 1x = vem 1 1 0 0y = + − = + = e ( )1,0 R∈ ;

para 2x = vem 2 1 1 1y = + − = + = e ( )2,1 R∈ ;

para 5x = vem 5 1 4 2y = + − = + = e ( )5,2 R∈ .

Assim, para responder a letra a, vem

( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,1 , 5,2R = ,

( ) { }1,2,5D R = e

( ) { }Im 0,1,2R = .

Agora, para responder (ii), você tem

( ) ( ) ( ){ }1 0,1 , 1,2 , 2,5R− = ,

( ) { } ( )1 0,1,2 ImD R R− = =

e

( ) { } ( )1Im 1,2,5R D R− = = .

Exemplo 1.23. Sejam { }1 5A x x= ∈ ≤ ≤¡ e { }2 10B y y= ∈ ≤ ≤¡ e a relação

R definida por ( ){ }, 2R x y A B y x= ∈ × = . Representar, graficamente, no

plano cartesiano R e 1R− .

Resolução: Você tem o gráfico de que é o retângulo da figura 1.11 abaixo.

Figura 1.11

O gráfico de 1R− é o retângulo da figura 1.12 abaixo

0 1 5

2

10

x

y

Figura 1.12

Propriedades da relação inversa

É fácil verificar as seguintes propriedades.

P1 - ( ) ( )1 ImD R R− = .

P2 - ( ) ( )1Im R D R− = .

P3 - ( ) 11R R−− = .

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos – 2

1. Dados os conjuntos { }1,3,5,7A = e { }1,5B = . Determinar:

a) A BI , b) A B− ,

c) ( ) ( )A B A B× −I .

2. O produto 2A A A× = é formado por 16 pares ordenados. Dois desses

pares são ( )0,5 e ( )2,3 . Determinar os outros 14 pares.

3. Dados os conjuntos: { },A a b= , { }2,3B = e { }3,4C = . Determinar:

a) ( )A B C× U ,

b) ( )A B C× I ,

c) ( )A B C× − ,

d) ( ) ( )A B A C× ×U ,

0 21

10

1

5

x

y

e) ( ) ( )A B A C× ×I .

4. Calcular o produto cartesiano

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 3 0 2 3 0x x x x x x∈ − × − = × ∈ − × − =¥ ¥ .

5. Calcular o produto { } { } { }1,2 2,3 4,5× × .

6. Dado o conjunto { }1,0,1,2,3,4A = − e a relação R definida por

( ){ }, 3R x y A A x y= ∈ × + = .

Determinar:a) R ,b) ( )D R ,

c) ( )Im R

7. Sejam os conjuntos { }0,1,2,3,4A = e { }1,2,4,8,16B = . Escreva

simbolicamente a relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1 , 1,2 , 2,4 , 3,8 , 4,16R = de A em B .

8. Consideremos as relações

( ){ }, 5R x y x y= ∈ × + =¥ ¥ e ( ){ }, 2 7S x y x y= ∈ × + =¥ ¥ .

Determinar R SI .

9. Sejam os conjuntos { }1,4,9A = e { }2,2,3B = − e a relação

( ){ }, 6R x y A B x y= ∈ × + ≤ .

Determine: a) R ,b) ( )D R ,

c) ( )Im R .

d) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − .

10. Consideremos a relação ( ){ },R x y B A x y= ∈ × = + e os conjuntos

{ }1,4,9A = e { }2,2,3B = − .

11. Determine: a) R ,b) ( )D R ,

c) ( )Im R .

12. Escreva a relação R , ( )D R e ( )Im R de

a) ( ){ }2,R x y y x= ∈ × = =¥ ¥ ¥ .

b) ( ){ }2 2,R x y y x= ∈ =¥ .

13. Represente simbolicamente cada uma das relações abaixo definidas em 2× =¥ ¥ ¥ através de uma lei que relacione ou associe x e y .

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,3 , 2,6 , 3,9 , 4,12 ,...R = ,

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,0 , 3,1 , 4,2 , 5,3 , 6,4 ,...R =

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,8 , 3,27 , 4,64 ,...R = .

14. Sejam os conjuntos [ )2,A = − +∞ e ( ]1,5B = . Determine graficamente A B× .

15. Dados os conjuntos { }1,1,3,5A = − e { }4, 2,0,2,4B = − − a relação definida por

( ){ }, 0R x y A B x y= ∈ × + < .

Determine:a) R , ( )D R e ( )Im R .

b) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − .

Respostas:

1. a) { }1,5 , b) { }3,7 , c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,7 , 5,3 , 5,7 .

2.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0,0 2,0 3,0 5,0

0,2 2,2 3,2 5,2

0,3 2,3 3,3 5,3

0,5 2,5 3,5 5,5

.

3. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 , ,3 , , 4 , , 2 , ,3 , , 4a a a b b b . b) ( ) ( ){ },3 , ,3a b .

c) ( ) ( ){ }, 2 , , 2a b . d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 , ,3 , , 4 , , 2 , ,3 , , 4a a a b b b . e)

( ) ( ){ },3 , ,3a b .

4. ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 1,3 , 3,2 , 3,3 .

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2,4 , 1,2,5 , 1,3,4 , 1,3,5 , 2,2,4 , 2,2,5 , 2,3, 4 , 2,3,5 .

6. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,4 , 0,3 , 1,2 , 2,1 , 3,0 , 4, 1− − . b) A . c) A .

7. ( ){ }, 2xR x y A B y= ∈ × = .

8. ( ){ }2,3 .

9. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 1,2 , 1,3 , 4, 2 , 4,2R = − − .

b) ( ) { }1,4D R = .c) ( ) { }Im 2,2,3R = − .

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2,1 , 2,1 , 3,1 , 2,4 , 2,4R− = − − , ( ) { }1 2,2,3D R− = − e ( ) { }1Im 1,4R− = .

10. a) ( ) ( ) ( ){ }2,4 , 2,4 , 3,9R = − . b) ( ) { }2,2,3D R = − .c) ( ) { }Im 4,9R = .

11. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 ,..., , ,...R x x= ; ( ) ( )ImD R R= = ¥ .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }20,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 , 5,25 ,..., , ,...R x x= ; ( )D R = ¥ e

( ) { }2Im 0,1,4,9,25,..., ,...R x= .

12. a) ( ){ }2, 3R x y y x= ∈ =¥ ,

b) ( ){ }2, 2R x y y x= ∈ = −¥ ,

c) ( ){ }2 3,R x y y x= ∈ =¥ .

13.

Figura 1.13

14. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 4 , 1, 2 , 1,0 , 1, 4 , 1, 2 , 3, 4R = − − − − − − − − ; ( ) { }1,1,3D R = − e

( ) { }Im 4, 2,0R = − − .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 4, 1 , 2, 1 , 0, 1 , 4,1 , 2,1 , 4,3R− = − − − − − − − − ; ( ) { }1 4, 2,0D R− = − − e

( ) { }1Im 1,1,3R− = − .

0

12

5

x

y

A B×

2−

Resumo do capítulo: Neste capítulo você acaba de estudar a noção intuitiva de conjuntos, tipos de conjuntos, conjuntos numéricos e intervalos. Você aprendeu também as operações conjuntos e o produto cartesiano. Finalmente você aprendeu relação.

Saiba Mais

Para aprofundar os temas estudados neste capítulo consulte:

LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria e problemas de probabilidade. 2. ed. Coleção Schaum, capítulo 1, São Paulo: 1974.

Bibliografia deste capítulo.

ALENCAR FILHO, Edgar de. Teoria Elementar dos conjuntos. 15. ed., Nobel, São Paulo: 1974.

A partir deste momento passaremos para as aplicações do conteúdo de conjuntos numéricos estudados neste capítulo estudando funções.