Capítulo 1 Ejercicios Cálculo
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CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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EJERCICIOS 1.1
Representacin Decimal
1. Expresar 1/9 como repeticin decimal, usando una barra para indicar los dgitos repetidos. Cules sern las
representaciones decimales de de 2/9? 3/9? 8/9? 9/9?
Solucin
De este modo realizamos la operacin: 1/9=0.111111. Usando la barra para dgitos repetidos: 1/9=0.111
De igual forma para 2/9=0.2222222. Usando la barra para dgitos repetidos: 2/9=0.222
3/9=0.333333. Usando la barra para dgitos repetidos: 3/9=0.333
8/9=0.888889. Usando la barra para dgitos repetidos: 8/9=0.888
9/9=1.00000. Usando la barra para dgitos repetidos: 9/9=1.000
2. Expresar 1/11 como repeticin decimal, utilizando la barra como indicador de los dgitos repetidos. Cules sern las
representaciones decimales de 2/11? 3/11? 9/11? 11/11?
Solucin
Realizando la operacin: 1/11= 0.090909. Usando la barra para dgitos repetidos 1/11=0.09
Realizando la operacin: 2/11=0.18181818. Usando la barra para dgitos repetidos 2/11=0.18
De igual forma para 3/11=0.272727. Usando la barra para dgitos repetidos 3/11=0.27
9/11=0.81818182. Usando la barra para dgitos repetidos 9/11= 0.81
11/11=1.000000. Usando la barra para dgitos repetidos 11/11=1.00
Desigualdades
3. Si 2 < x < 6, Cules de los siguientes argumentos con respecto a x es necesariamente verdadero, y cules no lo
son?
a. 0 < x < 4 b. 0 < x-2 < 4 c. 1 < (x/2) < 3 d. (1/6) < (1/x) < (1/2) e. 1 < (6/x) < 3
f. x-4 < 2 g. -6 < -x < 2 h. -6 < -x < -2
Solucin
Tenemos que la desigualdad que tenemos como referencia es: 2 < x < 6. Luego considerando el conjunto solucin de
esta desigualdad es el intervalo abierto (2,6). Para la se
Para a. 0 < x < 4. El conjunto solucin de esta desigualdad es intervalo abierto (0,4). De este modo vemos que como el
conjunto solucin de la desigualdad expresada en el inciso (a), no es necesariamente verdadero la expresin de esta
desigualdad, con respecto a la desigualdad que se nos da como referencia, solo los valores de 2 hasta 4 del conjunto
solucin de la desigualdad 0 < x < 4, cumplen con el conjunto solucin de la desigualdad 2 < x < 6. Por lo que se
determina que la desigualdad 0 < x < 4 no es necesariamente es verdadera para la variable x condicionada por la
desigualdad de referencia: 2 < x < 6.
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Para b. 0 < x-2 < 4, procederemos a dejar solo a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma ya
sea trabajando independientemente cada elemento de la desigualdad es decir 0 < x-2 y x-2< 4, o trabajndolo como
conjunto 0 < x-2 < 4, tenemos: 0 +(2) < x-2+(2) < 4+ (2) 2 < x < 6, que es exactamente la expresin que tenemos de
referencia para determinar la condicin de la variable x. Con lo que se determina la desigualdad 0 < x-2 < 4, es
necesariamente verdadera para la variable x condicionada por la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.
Para c. 1 < (x/2) < 3, procederemos a dejar solo a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma que
tendremos 1*(2) < (x/2)*(2) < 3*(2) 2 < x < 6, que es exactamente la expresin que tenemos de referencia para
determinar la condicin de la variable x. Con lo que se determina la desigualdad 1 < (x/2) < 3, es necesariamente
verdadera para la variable x condicionada por la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.
Para d. (1/6) < (1/x) < (1/2), procederemos a dejar solo a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma
que ahora para mayor comodidad tratamos separadamente, cada parte de la desigualdad, es decir (1/6)
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-6* (-1) > -x* (-1) > 2* (-1)
6 > x > -2, ahora tratando por separado cada miembro de la desigualdad:
6 > x x > -2
-x > -6 x > -2
x < 6 x > -2
De este modo el conjunto solucin de esta desigualdad -6 < -x < 2, es intervalo abierto (-2,6) De este modo vemos que
como el conjunto solucin de la desigualdad expresada en el inciso (g), no es necesariamente verdadero la expresin
de esta desigualdad, con respecto a la desigualdad que se nos da como referencia, solo los valores de 2 hasta 6 del
conjunto solucin de la desigualdad -6 < -x < 2, cumplen con el conjunto solucin de la desigualdad 2 < x < 6. Por lo
que se determina que la desigualdad -6 < -x < 2 no es necesariamente es verdadera para la variable x condicionada por
la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.
Para h. -6 < -x < -2, procedemos primero a que x tenga un valor positivo, De tal forma que tenemos:
-6 *(-1) > -x* (-1) > -2* (-1)
6 > x > 2, ahora tratando por separado cada miembro de la desigualdad, para poder hacer que tome una forma ms
simple
6 > x x > 2
-x > -6 -2 > -x
x < 6 2 < x
De tal forma que la desigualdad -6 < -x < -2, es igual a la desigualdad 2 < x < 6, que es exactamente la expresin que
tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable x. Con lo que se determina la desigualdad -6 < -x < -
2, es necesariamente verdadera para la variable x condicionada por la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.
4. Si -1 < y-5 < 1, Cul de las siguientes sentencias acerca de y son necesariamente verdaderas, y cules
necesariamente no verdaderas?
a. 4 < y < 6 b. -6 < y < -4 c. y > 4 d. y < 6 e. 0 < y-4 < 2 f. 2 < (y/2) < 3
g. (1/6) < (1/y) < (1/4) h. y-5 < 1
Solucin
Primero procederemos a simplificar o modificar la desigualdad que se tiene como referencia: -1 < y-5 < 1, a fin de poder
determinar su conjunto solucin, de tal modo que la variable y, no tenga ningn otro trmino que lo acompae: -1 +(5) <
y-5 + (5) < 1 + (5) 4 < y < 6 . De tal forma que el conjunto solucin para esta desigualdad es el intervalo abierto (4,6).
Ya analizada la desigualdad de referencia se procede a evaluar las desigualdades que pide el problema:
Para a. 4 < y < 6, vemos que es exactamente igual a la desigualdad -1 < y-5 < 1 o su equivalente dejando solo el
trmino y: 4 < y < 6. Por lo que podemos deducir que la desigualdad 4 < y < 6, es necesariamente verdadera para la
variable y condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.
Para b. -6 < y < -4, como podemos ver el conjunto solucin para esta desigualdad es el intervalo abierto (-6,-4), este
intervalo no tiene elementos comunes con el conjunto solucin de la desigualdad de referencia (4,6). Por lo que
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podemos afirmar que la desigualdad -6 < y < -4, no es verdaderamente necesaria con respecto a la variable y
condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.
Para c. y > 4, se determina que el conjunto solucin de esta desigualdad es el intervalo abierto (4, ), este intervalo slo
tiene elementos comunes con el conjunto solucin de la desigualdad de referencia (4,6), que son los valores
comprendidos de 4 hasta 6. Por lo que podemos afirmar que la desigualdad y > 4, es verdaderamente necesaria con
respecto a la variable y condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.
Para d. y < 6, se determina el conjunto solucin de esta desigualdad es el intervalo abierto (- ,6), este intervalo slo
tiene elementos comunes con el conjunto solucin de la desigualdad de referencia (4,6), que son los valores
comprendidos de 4 hasta 6. Por lo que podemos afirmar que la desigualdad y < 6, es verdaderamente necesaria con
respecto a la variable y condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.
Para e. 0 < y-4 < 2, procederemos a dejar solo a la variable y, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma que
tendremos 0 + (4) < y-4 + (4) < 2+ (4) 4 < y < 6, que es exactamente la expresin que tenemos de referencia para
determinar la condicin de la variable y. Con lo que se determina la desigualdad 0 < y-4 < 2, es necesariamente
verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad de referencia: -1 < y-5 < 1.
Para f. 2 < (y/2) < 3, procederemos a dejar solo a la variable y, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma que
ahora para mayor comodidad tratamos en conjunto esta desigualdad: 2*(2) < (y/2)*(2) < 3* (2) 4 < y < 6, que es
exactamente la expresin que tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable y. Con lo que se
determina la desigualdad 2 < (y/2) < 3, es necesariamente verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad
de referencia: -1 < y-5 < 1.
Para g. (1/6) < (1/y) < (1/4), procederemos a dejar solo a la variable y, sin ningn otro trmino junto a este. De tal
forma que ahora para mayor comodidad tratamos separadamente, cada parte de la desigualdad, es decir
(1/6) < (1/y) (1/y) < (1/4)
(1/6)* (y) < (1/y)* (y) (1/y)* (y) < (1/4)* (y)
(y/6)*(6) < (1)* (6) (1)* (4) < (y/4)* (4)
y < 6 4 < y
De tal forma que la desigualdad (1/6) < (1/y) < (1/4) es igual a la desigualdad 4 < y < 6. que es exactamente la expresin
que tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable y. Con lo que se determina la desigualdad (1/6) <
(1/y) < (1/4), es necesariamente verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad de referencia: -1 < y-5 <
1.
Para h. y-5 < 1, procedemos a utilizar las propiedades del valor absoluto de tal forma tenemos que si empleamos la
propiedad 6, que indica que x < a , si y solo si -a < x < a, del tal forma tenemos: -1< y-5 < 1, procederemos a dejar solo
a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma
-1 + (5) < y-5 + (5) < 1 + (5)
4 < y < 6
De tal forma que la desigualdad y-5 < 1, es igual a la desigualdad 4 < y < 6, que es exactamente la expresin que
tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable y. Con lo que se determina la desigualdad y-5 < 1 es
necesariamente verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad de referencia: -1 < y-5 < 1.
En los ejercicios 5 al 12, resolver las desigualdades y mostrar el conjunto solucin en la lnea real.
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5. -2x> 4
Solucin
-2x * (-1/2) < 4* (-1/2) x < -2. El conjunto solucin es el intervalo abierto (- ,-2)
6. 8-3x 5
Solucin
8-3x (8) 5 (8) -3x * (-1/3) (-3) * (-1/3) x 1. El conjunto solucin es el intervalo parcialmente abierto por la
izquierda (- ,1].
7. 5x -3 7 3x
Solucin
5x -3 + (3) + (x) 7 + (3) 3 x+ (x) 8x* (1/8) 10 * (1/8) x 5/4. El conjunto solucin es el intervalo parcialmente
abierto (- , 5/4].
8. 3 (2 x) > 2 (3 + x)
Solucin
6-3x > 6+2x 6-(6) > 2x +3x 0 > 5x 0 > x x < 0. El conjunto solucin es el intervalo abierto (- ,0)
9. 2x (1/2) 7x + (7/6)
Solucin
-2 -3 0
1 0 2
5/4 1 0
0 -1 -2
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2x-7x (7/6) + (1/2) -5x 5/3 x (-5/15) x - 1/3. El conjunto solucin es el intervalo parcialmente abierto (- ,
-1/3]
10. (6-x)/4 < (3x-4)/2
Solucin
2 (6-x) < 4 (3x-4) 12- 2x < 12x -16 28 < 14 x 28/14 < x x > 2. El conjunto solucin es el intervalo abierto
(9/7, )
11. (4/5) (x-2) < (1/3) (x-6)
Solucin
12 (x-2) < 5 (x-6) 12x-24 < 5x-30 7x < -6 x < -6/7. El conjunto solucin es el intervalo abierto (- , -6/7)
12. (x+5)/2 (12+3x)/4
Solucin
-4 (x+5) 2 (12+3x) -2 (x+5) 12+3x -2x-10 12+3x -5x 22 x -22/5. El conjunto solucin es el intervalo
parcialmente abierto [-22/5, )
0 -1 -1/3
1 2 3
-1 -6/7 0
-22/5 -4 -3
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Valor Absoluto
Resolver las desigualdades en los ejercicios 13 al 18.
13. y =3
Solucin
Utilizando el enunciado nmero 5 para valor absoluto: x =a, si y slo s x= a. de este modo tenemos que el valor que
cumple con la definicin de valor absoluto es:
y=3 y =-3. Por lo que la solucin a la ecuacin y =3, es y=-3 e y=3
14. y-3 =7
Solucin
Utilizando el enunciado nmero 5 para valor absoluto: x =a, si y slo s x= a. de este modo tenemos que el valor que
cumple con la definicin de valor absoluto es:
y-3=7 y-3=-7
y=10 y=-4. Por lo que la solucin a la ecuacin y-3 =7, es y=10 e y=-4
15. 2t+5 =4.
Solucin
Utilizando el enunciado nmero 5 para valor absoluto: x =a, si y slo s x= a. de este modo tenemos que el valor que
cumple con la definicin de valor absoluto es:
2t+5=4 2t+5=-4
2t=1 2t=-9
t=1/2 t=-9/2. Por lo que la solucin a la ecuacin 2t+5 =4, es t=1/2 y t=-9/2
16. 1-t =1
Solucin
Utilizando el enunciado nmero 5 para valor absoluto: x =a, si y slo s x= a. de este modo tenemos que el valor que
cumple con la definicin de valor absoluto es:
1-t=1 1-t=-1
-t=0 -t=-2
t=0 t=2. La solucin a la ecuacin 1-t =1, es t=0 y t=2
17. 8-3s =9/2
Solucin
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Utilizando el enunciado nmero 5 para valor absoluto: x =a, si y slo s x= a. de este modo tenemos que el valor que
cumple con la definicin de valor absoluto es:
8-3s=9/2 8-3s=-9/2
-3s=(9/2)-8 -3s=-(9/2)-8
3s=8-(9/2) 3s=8+(9/2)
3s=7/2 3s=25/2
s=7/6 s=25/6. La solucin a la ecuacin 8-3s =9/2, es s=7/6 y s=25/6
18. (s/2)-1 =1
Solucin
Utilizando el enunciado nmero 5 para valor absoluto: x =a, si y slo s x= a. de este modo tenemos que el valor que
cumple con la definicin de valor absoluto es:
(s/2)-1=1 (s/2)-1=-1
(s/2)=2 (s/2)=0
s=4 s=0. La solucin a la ecuacin (s/2)-1 =1, es s=4 y s=0
Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19 al 34, expresando el conjunto solucin como un intervalo o unin de
intervalos. Tambin, muestre cada solucin en la recta real.
19. x
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21. t-1 3
Solucin
Utilizando la propiedad 8 del valor absoluto que indica que x a, si y solo si -a x a. De tal forma tenemos:
-3 t-1 3, de esta forma tratamos de dejar la variable t sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que procedemos
de la siguiente manera:
-3+1 t-1+1 3+1 -2 t 4. Por lo que el conjunto solucin para la desigualdad es el intervalo cerrado [-2,4]
22. t+2 < 1
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:
-1 < t+2 < 1 , de esta forma tratamos de dejar la variable t sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que
procedemos de la siguiente manera:
-1-2 < t+2-2 < 1-2 -3 < t < -1. Por lo que el conjunto solucin para esta desigualdad t+2 < 1, es el intervalo abierto (-
3, -1)
23. 3y-7
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24. 2y+5
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27. 3-(1/x) < 1/2
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:
-1/2 < 3-(1/x) < 1/2, de esta forma tratamos de dejar la variable x sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que
procedemos de la siguiente manera:
(-1/2)-3 < 3-(1/x)-3 < (1/2)-3 (-7/2)*(-1) > (-1/x)*(-1) > (-5/2)*(-1) (7/2) > (1/x) > (5/2), ahora para poder quitar como
denominador en la desigualdad, procederemos a tomar o analizar a la desigualdad considerando cada uno de los
elementos que la componen por separado, de esta forma tenemos:
(7/2) > (1/x) (1/x) > (5/2)
x > 2/7 2/7 < x 2/5 > x x< 2/5
Por lo que el conjunto solucin de la desigualdad 3-(1/x) < 1/2, comprende el intervalo abierto (2/7, 2/5)
28. (2/x)-4 < 3
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:
-3 < (2/x)-4 < 3, de esta forma tratamos de dejar la variable x sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que
procedemos de la siguiente manera:
-3+4 < (2/x)-4+4 < 3+4 1* (1/2) < (2/x)*(1/2) < 7*(1/2) (1/2) < (1/x) < (7/2), ahora para poder quitar como
denominador en la desigualdad, procederemos a tomar o analizar a la desigualdad considerando cada uno de los
elementos que la componen por separado, de esta forma tenemos:
(1/2) < (1/x) (1/x) < (7/2)
x < 2 2/7 < x
Por lo que el conjunto solucin de la desigualdad (2/x)-4 < 3, comprende el intervalo abierto (2/7, 2)
29. 2s 4
Solucin
2/5 2/7
x
2 2/7
x
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Usando la propiedad del valor absoluto 9, que indica que: x a, si y solo si x a o x -a, tenemos:
2s 4 2s -4
s 2 s -2
De este modo el conjunto solucin de esta desigualdad 2s 4, est compuesto por la unin de los intervalos
parcialmente abiertos (- ,-2] [2, )
30. s + 3 1/2
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 9, que indica que: x a, si y solo si x a o x -a, tenemos:
s + 3 1/2 s + 3 -1/2
s (1/2) 3 s (-1/2) 3
s -5/2 s -7/2
El conjunto solucin de esta desigualdad s + 3 1/2 est compuesto por la unin de los intervalos parcialmente
abiertos (- , -7/2] [-5/2, )
31. 1-x > 1
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -a, tenemos:
1- x > 1 1-x < -1
-x > 0 -x < -2
x < 0 x > 2
El conjunto solucin para esta desigualdad 1-x > 1, es la unin de los intervalos abiertos (- ,0) (2, )
2 -2
s
-5/2 -7/2
s
-5/2 -7/2
x
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32. 2 3x > 5
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -a, tenemos:
2 3x > 5 2 3x < -5
-3x > 3 -3x < -7
x < -1 x > 7/3
El conjunto solucin para esta desigualdad 2 3x > 5, es la unin de los intervalos abiertos (- ,-1) (7/3, )
33. (r+1)/2 1
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 9, que indica que: x a, si y solo si x a o x -a, tenemos:
(r + 1)/2 1 (r + 1)/2 -1
r +1 2 r + 1 -2
r 1 r -3
El conjunto solucin para esta desigualdad (r+1)/2 1, es la unin de los intervalos parcialmente abiertos (- ,-3] [1, )
34. (3 r/5)-1 > 2/5
Solucin
Usando la propiedad del valor absoluto 9, que indica que: x a, si y solo si x a o x -a, tenemos:
( 3 r/ 5) -1 > 2/5 ( 3 r/ 5) -1 < -2/5
(3 r/5) > (2/5) + 1 (3 r/5) < (-2/5) + 1
(3 r/5)* (5/3) > (7/5) * (5/3) (3 r/5) * (5/3) < (3/5) * (5/3)
r > (7/3) r < 1
El conjunto solucin para esta desigualdad (3 r/5)-1 > 2/5, es la unin de los intervalos abiertos (- ,1) (7/3, )
7/3 -1
x
1 -3
r
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Desigualdades Cuadrticas
Resolver las desigualdades en los ejercicios 35 al 42. Expresar el conjunto solucin como un intervalos o unin de
intervalos y mostrarlos sobre la lnea real. Utilizar el resultado = a cuando sea apropiado.
35. x2
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2 < x x < 3
x > 2 x < 3
Para la desigualdad x > 2, usamos la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -a,
tenemos:
x > 2 x < -2 , por lo que para esta parte de la desigualdad x > 2 o 2 < x , el conjunto solucin es la unin de los
intervalos abiertos (- , -2) (2, )
Para la parte de la desigualdad x < 3, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a <
x < a, tenemos:
-3 < x < 3, por lo que el conjunto solucin para esta parte de la desigualdad x < 3, es el intervalo abierto (-3,3).
De tal forma que para poder obtener el conjunto solucin de la desigualdad 4 < x2 < 9, debemos encontrar los elementos
comunes o la interseccin de los conjuntos solucin de las desigualdades de 2 < x y de x < 3, es decir:
((- , -2) (2, )) (-3,3), que es el conjunto solucin conformado por el intervalo abierto (-3,2) (2,3)
38. (1/9) < x2 < (1/4)
Solucin
Usando el resultado: = a , tenemos: = x , por lo que se puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:
(1/9) < x2 < (1/4) (1/3) < x < (1/2), luego tratamos por separado cada elemento que conforma la desigualdad, a fin
de poder resolver de una manera ms fcil la desigualdad.
1/3 < x x < 1/2
x > 1/3 x > 1/2
Para la desigualdad x > 1/3, usamos la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -
a, tenemos:
x > 1/3 x < -1/3, por lo que el conjunto solucin para la desigualdad 1/3 < x , es la unin de los intervalos abiertos (-
,-1/3) (1/3, ).
3 -3
2 -2
-3 -2 2 3
x
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Para la desigualdad x < 1/2, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a,
tenemos:
-1/2 < x < 1/2, por lo que el conjunto solucin de la desigualdad x < 1/2, el intervalo abierto (-1/2,1/2).
De tal forma que para poder obtener el conjunto solucin de la desigualdad (1/9) < x2 < (1/4), debemos encontrar los
elementos comunes o la interseccin de los conjuntos solucin de las desigualdades de 1/3 < x y de x < 1/2, es decir:
((- ,-1/3) (1/3, )) (-1/2,1/2), que es el conjunto solucin conformado por el intervalo abierto (-1/2,-1/3) (1/3,1/2)
39. (x-1)2 < 4
Solucin
Usando el resultado: = a , tenemos: = x , por lo que se puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:
(x-1)2 < 4 x-1 < 2, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:
-2 < x-1 < 2 -2 +1 < x-1+1 < 2 + 1 -1 < x < 3, el conjunto solucin de la desigualdad (x-1)2 < 4, es el intervalo abierto
(-1,3).
40. (x + 3)2 < 2
Solucin
Usando el resultado: = a , tenemos: = x , por lo que se puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:
(x + 3)2 < 2 x+3 < (2)1/2 , usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a,
tenemos:
-(2)1/2
< x+3 < (2)1/2
-3 - (2)1/2 < x < 3 + (2)1/2, por lo que el conjunto solucin de la desigualdad (x + 3)2 < 2, es el
intervalo abierto (-3 - (2)1/2
, 3 + (2)1/2
)
41. x2-x < 0
Solucin
-1/2 -1/3 1/3 1/2
x
3 -1
x
x
3 + (2)1/2
(-3 - (2)1/2
)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Completando el trinomio
x2-x < 0 x2 x + 1/4 < 0 +1/4 (x- (1/2) )2 < 1/4, aplicando el resultado: = a , tenemos: = x , por lo que se
puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:
x- (1/2) < 1/2, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:
-1/2 < x (1/2) < 1/2 -1/2 + (1/2) < x 1/2 + (1/2) < 1/2 + (1/2) 0 < x < 1, por lo que el conjunto solucin de la
desigualdad x2-x < 0, es el intervalo abierto (0,1).
42. x2 x 2 0
Solucin
Completando el trinomio:
x2 x 2 0 x2 x 2 x2 x +1/4 2 + 1/4 (x-(1/2))2 9/4, aplicando el resultado: = a , tenemos: = x , por
lo que se puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:
x- (1/2) 3/2, usamos la propiedad del valor absoluto 9, que indica que: x a, si y solo si x a o x -a, tenemos:
x (1/2) (3/2) x (1/2) - (3/2)
x 2 x -1
Por lo que el conjunto solucin de la desigualdad x2 x 2 0, es la unin de los intervalos parcialmente abiertos (- ,-
1] [2, ).
Teora y Ejemplos
43. No caer en el error -a =a. Para que nmero real a es esta ecuacin verdadera? Para cul nmero real es falso?
Solucin
Tomando en cuenta que por la propiedad 1 del valor absoluto -a = a , luego a = a
Consideremos luego la definicin de valor absoluto:
De tal forma que para x 0 x = x. Para x < 0 x = - (x).
x
1 0
2 -1
x
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Por lo que para la ecuacin que se analiza: -a =a, teniendo en cuenta esta definicin, es verdadera para los valores de
a 0, y es falsa para a < 0
44. Resolver la ecuacin x-1 = 1 - x
Solucin
Primero hacemos la consideracin sea -r= x -1, luego r= -(x-1)=-x+1=1-x, por lo que sustituyendo -r =r, sustituyendo: -
(x-1) =1-x
Tomando en cuenta que por la propiedad 1 del valor absoluto -a = a .
Consideremos luego la definicin de valor absoluto:
De tal forma que para x 0 x = x. Para x < 0 x = - (x).
Por lo que
-(x-1) =1-x, si y solo si 1-x 0, de tal forma que:
1 x 0 - x - 1 x 1. Por lo que el conjunto solucin de la igualdad x-1 = 1 x, es el intervalo parcialmente
abierto (- ,1].
45. Una demostracin de la desigualdad del tringulo. Dar una razn que justifique cada paso numerado en la siguiente
demostracin de la desigualdad del tringulo:
Solucin
Para el paso (1) sea a+ b = (a + b) o ( a + b), por la regla 5 del valor absoluto que dice que x = a, luego a la
expresin a+ b = (a + b) o ( a + b), se eleva al cuadrado ambos lados, es decir ( a+ b )2 = ( ( a + b))
2
a + b 2=( a + b )
2.
Para el paso (2) consideramos la desigualdad: a + b 2
( a + b )2, si desarrollamos el lado derecho de la desigualdad:
tenemos: a + b 2
a2 + 2 ab + b
2, luego utilizando la propiedad 2 del valor absoluto que indica que: ab = a b , por lo
que al aplicar esta propiedad tenemos: a + b 2
a2 + 2 a b + b
2.
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Para el paso (3) tenemos que usando la propiedad 5 del valor absoluto que indica que a = a, por lo que al elevar al
cuadrado ambos lados de la igualdad, tenemos ( a )2= ( a)
2 a 2 = a2, de igual forma se aplica a b 2 = b2. Por lo que
aplicado a:
a + b 2= (a +b )
2 = a
2 + 2ab + b
2 = a
2 + 2 a b + b
2 = ( a + b )
2
Para el paso (4) a + b a + b , sea que; x2 y
2, si obteneos la raz cuadrada en ambos lados, tendremos; (x
2)1/2
(y2)1/2
x y, para todos los nmeros reales no negativos, por lo que si sustituimos x= a + b , y sea y= a + b , de
modo que ( a + b )2 ( a + b )
2 a + b ( a + b )
46. Probar que ab = a b para cualquier nmero a y b.
Solucin
Consideramos primero que a y b son positivos, es decir a 0 y b 0, por lo que ab 0 de igual forma que el producto
ab 0, de igual manera a 0 y b 0.De tal forma que usando la definicin del valor absoluto:
De tal forma que ab =ab= a b
Para el caso: a < 0 y b < 0, es decir sean nmeros negativos, por lo que (-a)(-b) = ab , de igual manera (-a)(-b)=ab, y
finalmente -a = a y -b = b , esto por la regla 1 del valor absoluto. De tal forma que usando la definicin del valor
absoluto:
De tal forma que ab =(-a)(-b)= a b .
Para el caso a 0 y b < 0. Tendremos que el producto ab es negativo, es decir ab < 0, por lo que: (a) (-b) = -ab ,por la
regla 1 del valor absoluto que indica que -a = a , por lo que -ab = ab . Luego tendremos que (a) (-b) = -ab, luego,
usando la definicin del valor absoluto
ab = - ((a) (-b))= (ab). Finalmente a -b , usando la propiedad 1 del valor absoluto -b = b , por lo que a -b = a b .
De tal forma que ab = -(a)(-b)=(a)(b)= a b .
Para el caso a < 0 y b 0, es el mismo anlisis que en el caso anterior, es decir (-a)(b) = ab =-(-a) (b)=(a)(b)= a b .
Con lo que se demuestra que ab = a b para cualquier nmero a y b.
47. Si x 3 y si tambin x > -1/2, Que se puede decir acerca de x?
Solucin
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Procedemos a determinar el conjunto solucin para cada una de las dos desigualdades:
Para x 3 , usando la propiedad 8 del valor absoluto, donde x a si y solo si -a x a, por lo que sustituyendo
tendremos: -3 x 3, es decir el conjunto solucin es el intervalo cerrado [-3,3]
Para x > -1/2, el intervalo a abierto (-1/2, ), el conjunto solucin.
De tal forma que para que se pueda solucionar ambas desigualdades debemos considerar loa elementos comunes que
tienen ambas desigualdades en sus respectivos conjunto solucin, de tal forma que : [-3,3] (-1/2, ), por lo que el
conjunto solucin para ambas desigualdades es el intervalo abierto parcialmente (-1/2,3].
48. Graficar la desigualdad x + y 1.
Solucin:
Procedemos a graficar esta desigualdad usando el programa MAPLE 13
49. Sea f(x) = 2x +1 y sea > 0 para cualquier nmero positivo. Demostrar que x-+1 < implica f(x) f(1) < 2 . Aqu la
notacin f(a) significa que el valor de la expresin 2x +1 cuando x=a.
Solucin
Debido a que se determina que es cualquier nmero positivo y que f(x)=2x+1. Se define que si x-+1 < entonces
f(x) f(1) < 2 .
Por lo que para la desigualdad x-+1 < , multiplicamos por dos ambos lados de esta desigualdad: x-+1 < 2* x-+1
< 2* , aplicando la ley distributiva: 2* x-+1 < 2* 2x+2 < 2 .
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Luego tenemos que f(x)=2x+1 para x=1 f(1)=(2)*1+1=3. De este modo f(x) f(1) < 2 , si sustituimos el valor de
f(1), por lo que f(x) f(1) < 2 2x+1 - 3 < 2x-2 < . Con lo que se demuestra que x-+1 < implica f(x) f(1) <
2 .
50. Sea f(x) = 2x +3 y sea > 0 para cualquier nmero positivo. Demostrar que f(x)-f(0) < cuando x-0 < /2. Aqu la
notacin f(a) significa el valor de la expresin 2x +3 cuando x=a.
Solucin
Se define a como cualquier nmero positivo, sea f(x) = 2x +3, luego tambin x-0 < /2. Esta ltima desigualdad se
modifica a fin de poderla manipular mejor: x-0 < /2 2 x-0 < , aplicando la ley distributiva: 2x < . Luego tendremos
que f(x) = 2x +3, para x=0, f(0)=2(0)+3=3. De este modo: f(x)-f(0) 0 y que a < 0. Sea a=b. Por la definicin del valor absoluto se tiene que -a
= b y por lo tanto b = -b, ya que b=-a, se tiene que -a =-(-a)=a, por lo que -a =a.
Para a < 0, tenemos a = -a. Si a < 0, entonces a > 0. Sea b=-a. por la definicin de valor absoluto b = b, si sustituimos
el valor de b, tenemos -a = -a, de modo que a = -a =-a.
52. Sea a cualquier nmero positivo. Demuestre que x > a si y solo si x > a o x < -a
Solucin
Se demuestra x > 0 x > a o x< -a para cualquier nmero positivo a.
Para x 0, x = x, x > x > a.
Para x < 0, x = -x, x > x > a x < -a.
Se demuestra x > a o x < -a, x > 0 para cualquier nmero positivo a.
a > 0 y x > a , x = x. De tal forma x > a x > a.
Para a > 0, -a < 0 y x < -a x < 0 x = -x. De tal forma x < -a -x > a x > a.
53. (a) Si b es cualquier nmero real diferente de cero, demostrar que 1/b = 1/ b .
(b) Demuestre que a/b = a / b para cualquier nmero a y b 0.
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Solucin
(a) Demostrar que 1/b = 1/ b
Tenemos que 1/b como 1 =1 , sustituimos 1/b = 1 / b 1/b =1/ b .
b) Demuestre que a/b = a / b
Tenemos a/b a * (1/b) a * 1/b como 1 =1, sustituimos a * (1/ b ) a / b . Por lo que se demuestra: a/b =
a / b
54. Usando la induccin matemtica ( ver apndice 1), demuestre que an
= an para cualquier nmero a y para
cualquier nmero entero positivo n.
Solucin
Sea a1
= a1 = a, de modo que S1 es verdadero. Ahora, asmase que Sk = a
k = a
k es verdadero para algunos
nmeros enteros k.
Puesto que a1
= a1 y a
k = a
k , nosotros tenemos a
k+1 = a
k * a
1 = a
k a
1 = a
k a
1 = a
k +1. Por lo tanto, Sk+1= a
k+1 =
ak+1
, es tambin verdadero. Por lo tanto con el principio de induccin matemtica, Sn= an
= an, es verdadera para todos
los nmeros n enteros positivos.
EJERCICIOS 1.2
Incrementos y Distancia
En los ejercicios 1 al 4, una partcula se mueve de A hasta B en el plano. Encontrar los incrementos x y y en las
coordenadas de la partcula. Tambin encuentre la distancia entre A y B.
1. A (-3,2), B (-1, -2)
Solucin
Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados
incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x
cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1
De esta manera tenemos
Incrementos x = x2- x1
y = y2- y1
x2 x1
y2 y1
-1 -3
-2 2
x = x2- x1= 2
y = y2- y1= -4
La distancia entre los puntos P (x1, y1) y Q (x2 , y2) es
d = ( ( x)2 + ( y)
2 )
1/2 = ( (x2 x1)
2 + (y2 y1)
2 )1/2
.
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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De tal manera
Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2
= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2
d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2
2*(5)1/2
2. A (-1,-2), B (-3,2)
Solucin
Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados
incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x
cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1
De esta manera tenemos
Incrementos x = x2- x1
= y2- y1
x2 x1
y2 y1
-3 -1
2 -2
x = x2- x1= -2
y = y2- y1= 4
La distancia entre los puntos P (x1, y1) y Q (x2 , y2) es
d = ( ( x)2 + ( y)
2 )
1/2 = ( (x2 x1)
2 + (y2 y1)
2 )1/2
.
De tal manera
Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2
= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2
d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2
= 2*(5)1/2
3. A (-3.2, -2) B (-8.1,-2)
Solucin
Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados
incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x
cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1
De esta manera tenemos
Incrementos x = x2- x1
= y2- y1
x2 x1
y2 y1
-8.1 -3.2
-2 -2
x = x2- x1= -4.9
y = y2- y1= 0
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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La distancia entre los puntos P (x1, y1) y Q (x2 , y2) es
d = ( ( x)2 + ( y)
2 )
1/2 = ( (x2 x1)
2 + (y2 y1)
2 )1/2
.
De tal manera
Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2
= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2
d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2
= 4.9
4. A ((2)1/2
, 4) B (0, 1.5)
Solucin
Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados
incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x
cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1
De esta manera tenemos
Incrementos x = x2- x1
= y2- y1
x2 x1
y2 y1
0 (2)
1/2
1.5 4
x = x2- x1= -(2)1/2
y = y2- y1= -2.5
La distancia entre los puntos P (x1, y1) y Q (x2 , y2) es
d = ( ( x)2 + ( y)
2 )
1/2 = ( (x2 x1)
2 + (y2 y1)
2 )1/2
.
De tal manera
Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2
= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2
d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2
= (8.25)1/2
Describa la grfica de las ecuaciones en los Ejercicios 5 al 8.
5. x2 + y
2 = 1
Solucin
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual a. De la frmula de la distancia, P cae en el crculo si y slo si
(x - h)2 + (y k)
2 = a
2
De esta definicin, se determina que es un crculo con centro en (0,0) y radio a= 1
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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6. x2 + y
2 = 2
Solucin
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual. De la frmula de la distancia, P cae en el crculo si y slo si
(x - h)2 + (y k)
2 = a
2
Por la definicin tenemos un circunferencia con centro en (0.0) y radio a= (2)1/2
.
7. x2 + y
2 3
Solucin
Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad
(x h)2 + (y k)
2 a
2
Son los puntos que se encuentran el interior de la regin del crculo con centro (h, k) y radio a
Con lo anterior se tiene un disco con centro en (0.0) y la superficie de este disco abarca el centro, hasta la longitud del
radio a = (3)1/2
.
Graficamos esta desigualdad usando MAPLE 13
8. x2
+ y2 =0
Solucin
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual. De la frmula de la distancia, P cae en el crculo si y slo si
(x - h)2 + (y k)
2 = a
2
Por lo que es un punto localizado en las coordenadas (0,0), ya que su radio a=0.
Pendientes, Lneas e Intercepciones
Grafique los puntos en los ejercicios 9 al 12 y encuentre la pendiente (si existe) de la lnea que estos puntos definen.
Tambin encuentre la pendiente (si existe) de la lnea perpendicular a la lnea AB.
9. A (-1,2), B (-2,-1)
Solucin
Procedemos primero a graficar los puntos indicados, usando para ello el programa MAPLE 13:
Cargando plottools Cargando plots
La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2.
De este modo sustituyendo tenemos:
Incrementos x = x2- x1
= y2- y1
x2 x1
y2 y1
-2 -1
-1 2
x = x2- x1= -1
y = y2- y1= -3
Por lo que la pendiente de la recta es:
A (-1,2)
B (-2,-1)
Pendiente m= 3
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Pendiente
m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = 3
Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -
1, de modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.
m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).
De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, es m2= -1/3.
10. A (-2,1), B (2,-2)
Solucin
Procedemos primero a graficar los puntos indicados, usando para ello el programa MAPLE 13:
Cargando plottools Cargando plots
La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2.
De este modo sustituyendo tenemos:
Incrementos x = x2- x1
= y2- y1
x2 x1
y2 y1
2 -2
-2 1
x = x2- x1= 4
y = y2- y1= -3
B (2,-2)
A (-2,1)
Pendiente m= -3/4
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Por lo que la pendiente de la recta es:
Pendiente
m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = -3/4
Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -1, de
modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.
m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).
De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, es m2= 4/3
11. A (2,3), B (-1,3)
Solucin
Procedemos primero a graficar los puntos indicados, usando para ello el programa MAPLE 13:
Cargando plottools Cargando plots
La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2.
De este modo sustituyendo tenemos:
Incrementos x = x2- x1
= y2- y1
x2 x1
y2 y1
-1 2
3 3
x = x2- x1= -3
y = y2- y1= 0
A (2,3) B (-1,3)
Pendiente m= 0
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Por lo que la pendiente de la recta es:
Pendiente
m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = 0
Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -1, de
modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.
m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).
De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, no existe
12. A (-2,0), B (-2,-2)
Solucin
Procedemos primero a graficar los puntos indicados, usando para ello el programa MAPLE 13:
Cargando plottools Cargando plots
La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2.
De este modo sustituyendo tenemos:
Incrementos x = x2- x1
= y2- y1
x2 x1
y2 y1
-2 -2
-2 0
x = x2- x1= 0
y = y2- y1= -2
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Por lo que la pendiente de la recta es:
Pendiente
m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = No existe
Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -
1, de modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.
m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).
De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, es 0.
En los ejercicios del 13 al 16, encontrar una ecuacin para (a) la lnea vertical y (b) la lnea horizontal a travs del punto
dado.
13. (-1, 4/3)
Solucin
Un punto en el plano tiene las coordenadas cartesianas P (a, b), de esta forma todos los puntos sobre la lnea vertical
que pasa por el punto a sobre el eje coordenado-x es igual a a. Por lo tanto, x=a es una ecuacin para la lnea vertical.
De forma similar, y=b, es una ecuacin para la lnea horizontal que implica que esta lnea recta es paralela al eje-y en el
punto b.
(a) Por lo que la ecuacin para la lnea vertical es x=-1. (b) La ecuacin para la lnea horizontal es y= 4/3.
14. ( (2)1/2
, -1.3)
Solucin
Un punto en el plano tiene las coordenadas cartesianas P (a, b), de esta forma todos los puntos sobre la lnea vertical
que pasa por el punto a sobre el eje coordenado-x es igual a a. Por lo tanto, x=a es una ecuacin para la lnea vertical.
De forma similar, y=b, es una ecuacin para la lnea horizontal que implica que esta lnea recta es paralela al eje-y en el
punto b.
(a) Por lo que la ecuacin de la recta vertical a este punto es x=(2)1/2
. (b) La ecuacin de recta horizontal es y=-1.3
15. (0,-(2)1/2
)
Solucin
Un punto en el plano tiene las coordenadas cartesianas P (a, b), de esta forma todos los puntos sobre la lnea vertical
que pasa por el punto a sobre el eje coordenado-x es igual a a. Por lo tanto, x=a es una ecuacin para la lnea vertical.
De forma similar, y=b, es una ecuacin para la lnea horizontal que implica que esta lnea recta es paralela al eje-y en el
punto b.
(a) Por lo que la ecuacin de la recta vertical a este punto es x=0. (b) La ecuacin de recta horizontal es y=-(2)1/2
16. (- ,0)
Solucin
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CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Un punto en el plano tiene las coordenadas cartesianas P (a, b), de esta forma todos los puntos sobre la lnea vertical
que pasa por el punto a sobre el eje coordenado-x es igual a a. Por lo tanto, x=a es una ecuacin para la lnea vertical.
De forma similar, y=b, es una ecuacin para la lnea horizontal que implica que esta lnea recta es paralela al eje-y en el
punto b.
(a) Por lo que la ecuacin de la recta vertical a este punto es x=- . (b) La ecuacin de recta horizontal es y=0
Para los ejercicios 17 al 30, escriba una ecuacin para cada lnea que se describe.
17. Pasa por el punto (-1,1) con pendiente -1.
Solucin
Podemos escribir una ecuacin para una lnea recta no vertical L si conocemos su pendiente m y las coordenadas de
punto P1 (x1, y1) que esta sobre esta recta L. Si P (x, y) es cualquier otro punto de la recta L, entonces podemos usar
los dos puntos P1 y P para calcular la pendiente. De este modo la ecuacin que define recta es:
y=y1+m(x-x1)
Por lo que si sustituimos tenemos: y=1-1(x-(-1)) y=1-(x+1) y=1-x-1 y=-x
18. Pasa por el punto (2,-3) con pendiente (1/2)-
Solucin
Podemos escribir una ecuacin para una lnea recta no vertical L si conocemos su pendiente m y las coordenadas de
punto P1 (x1, y1) que esta sobre esta recta L. Si P (x, y) es cualquier otro punto de la recta L, entonces podemos usar
los dos puntos P1 y P para calcular la pendiente. De este modo la ecuacin que define recta es:
y=y1+m(x-x1)
De este modo sustituimos y=-3+[(1/2)(x-2)] y=-3 + [(x/2) -1] y= (x/2) -4
19. Pasa por los puntos (3,4) y por los puntos (-2,5)
Solucin
La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la
pendiente de la recta que une esos dos puntos es:
m=(y2 y1) / (x2 x1) m=(5-4)/(-2-3) m=-1/5.
Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)
y=4 + [(-1/5) (x-3)] y=4+ [(-x/5) + (3/5)] y= (-x/5) + (23/5)
20. Pasa por el punto (-8,0) y por (-1,3).
Solucin
La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la
pendiente de la recta que une esos dos puntos es:
m= (y2 y1) / (x2 x1) m=(3-0)/(-1-(-8)) m=3/7.
Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)
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y=3 + [(3/7) (x-(-1))] y=3 + [(3x/7) + (3/7)] y= (3/7) x + (24/7)
21. La recta tiene una pendiente -5/4, y corta al eje y en 6.
Solucin
De este forma conocemos que la pendiente m= -5/4, y su ordenada al origen es b=6. Usamos de esta manera la
ecuacin pendiente- ordenada al origen: y=m x +b. Por lo que al sustituir, tenemos: y= (-5/4) x + 6
22. Tiene una pendiente de 1/2, y corta al eje y en -3.
Solucin
De este forma conocemos que la pendiente m= 1/2, y su ordenada al origen es b=-3. Usamos de esta manera la
ecuacin pendiente- ordenada al origen: y=m x +b. Por lo que al sustituir, tenemos: y= (1/2) x - 3
23. La recta pasa por el punto (-12,-9) y tiene una pendiente 0.
Solucin
Esta recta al tener una pendiente m=0, se deduce que es una recta horizontal, al ser una recta horizontal, la ecuacin de
esta tipo de recta es y=b. Por lo tanto la ecuacin es y=-9.
24. La recta pasa por (1/3,4) y no tiene pendiente.
Solucin
La recta al no tener pendiente, es decir que es indefinida, se deduce que es una recta vertical que pasa por ese punto.
La ecuacin que define una recta vertical es: x=a, por lo que la ecuacin que define esta recta es x=1/3.
25. La recta intercepta el eje y en 4, e intercepta al eje x en -1.
Solucin
Las coordenadas de los puntos indicados son (0,4) y (-1,0). Con esto en mente, la constante m = altura/ recorrido
= y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la pendiente de la recta que une esos
dos puntos es:
m= (y2 y1) / (x2 x1) m= (0-4)/(-1-0) m=4.
Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)
y=0 + [4(x-(-1)] y=4x + 4
26. La recta corta el eje y en -6, y corta el eje x en 2.
Solucin
Las coordenadas de los puntos indicados son (0,-6) y (2,0). Con esto en mente, la constante m = altura/ recorrido
= y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la pendiente de la recta que une esos
dos puntos es:
m=(0-(-6))/(2-0) m=6/2 m=3.
Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)
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y=0+[3(x-2)] y= 3x-6
27. La lnea recta pasa por el punto (5,-1) y es paralelo a la lnea 2x+5y=15.
Solucin
Al ser paralela a la recta 2x+5y=15, por lo que tiene la misma pendiente. De esta forma calculamos la pendiente de esta
recta: 2x+5y=15 5y = 15 -2x y= 3 (2/5)x. Esta ecuacin es de la forma y= m x +b, por lo que se deduce que m=-
2/5.
Como conocemos un punto por donde pasa la recta y su pendiente usamos la ecuacin: y=y1+m(x-x1)
y=-1 + [(-2/5)(x-5)] y=-1 + [-(2x/5)+2] y= -(2/5)x + 1
28. La recta pasa por el punto (-(2)1/2
,2), y es paralela a la recta [(2)1/2
]x+5y=(3)1/2
.
Solucin
Al ser paralela a la recta [(2)1/2
]x+5y=(3)1/2
, por lo que tiene la misma pendiente. De esta forma calculamos la pendiente
de esta recta: [(2)1/2
]x+5y=(3)1/2 5y=(3)1/2 - [(2)1/2]x y= [(3)1/2]/5 ([(2)1/2]/5)x. Esta ecuacin es de la forma y= m x +b,
por lo que se deduce que m= -((2)1/2
/5).
Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)
y= 2 -((2)1/2
/5)[x+(2)1/2
] y= 2 [-((2)1/2/5)x (2/5)] y= -((2)1/2/5)x +8/5
29. La recta pasa por el punto (4,10) y es perpendicular a la lnea 6x 3y =5.
Solucin
La recta que se pretende encontrar al ser perpendicular a la recta 6x 3y =5, tienen pendiente inversas y negativas. De
esta forma calculamos la pendiente de esta recta: 6x 3y =5 -3y=5-6x y= -(5/3) + 2x. Esta ecuacin es de la forma
y= m x +b, por lo que se deduce que m1= 2.
Al ser perpendiculares las recta tenemos m2=-(1/m1) = -(1/2).
Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)
y= 10 (1/2) [x-4] y=10 + [(-x/2) + 2] y=-(1/2) x +12.
30. La lnea pasa por el punto (0,1) y es perpendicular a la recta definida por 8x -3y = 13.
Solucin
La recta que se pretende encontrar al ser perpendicular a la recta 6x 3y =5, tienen pendiente inversas y negativas. De
esta forma calculamos la pendiente de esta recta: 8x -3y = 13 -3y=13-8x y=-(13/3) + (8/13) x. Esta ecuacin es de
la forma y= m x +b, por lo que se deduce que m1= 8/13.
Al ser perpendiculares las recta tenemos m2=-(1/m1) = -(13/8).
Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)
y=1 (13/8)[x-0] y= -(13/8)x +1
En los ejercicios 31 al 34 encuentre la ordenada y la abscisa al origen, use esta informacin para graficar la lnea.
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31. 3x + 4y =12.
Solucin
La ordenada al origen tiene las coordenada (0,b), y la abscisa al origen tiene la coordenada (a,0), por lo que
sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: 3x + 4y = 12. Por lo que
x=0 y=0
3x + 4y = 12 3x + 4y = 12
4y= 12 3x= 12
y=3 x=4
Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0,3) y la abscisa al origen es (4,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
32. x +2y = -4
Solucin
La ordenada al origen tiene las coordenada (0,b), y la abscisa al origen tiene la coordenada (a,0), por lo que
sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: x +2y = -4. Por lo que
x =0 y=0
x +2y = -4 x +2y = -4
2y= -4 x =-4
y= -2
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Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0,-2) y la abscisa al origen es (-4,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
33. (2)1/2
x (3)1/2
y = (6)1/2
Solucin
La ordenada al origen tiene las coordenada (0,b), y la abscisa al origen tiene la coordenada (a,0), por lo que
sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: (2)1/2
x (3)1/2
y = (6)1/2
. Por lo que
x =0 y=0
(2)1/2
x (3)1/2
y = (6)1/2
(2)1/2
x (3)1/2
y = (6)1/2
(3)1/2
y = (6)1/2
(2)1/2
x = (6)1/2
y = - [(6)1/2
]/[ (3)1/2
] x = [(6)1/2
]/[ (2)1/2
]
y = -(6/3)1/2
x = (6/2)1/2
y= -(2)1/2
x = (3)1/2
Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0, -(2)1/2
) y la abscisa al origen es ((3)1/2
,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
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34. 1.5 x y = -3
Solucin
La ordenada al origen tiene las coordenada (0,b), y la abscisa al origen tiene la coordenada (a,0), por lo que
sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: 1.5 x y = -3. Por lo que
x =0 y=0
1.5 x y = -3 1.5 x y = -3
-y = -3 1.5 x = -3
y = 3 x = -2
Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0, 3) y la abscisa al origen es (-2,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
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35. Existe algo especial entre la relacin entre las lneas Ax +By = C1 y Bx Ay = C2 (A 0, B 0)? De una razn para
su respuesta.
Solucin
Para la primera ecuacin la desarrollamos Ax +By = C1 By = C1 Ax y = -(A/B) x + (C1/B)
Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m1= -(A/B)
Haciendo lo mismo para Bx Ay = C2 -Ay = -Bx + C2 y= (B/A) x + (C2/A)
Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m2=(B/A)
Con lo que se verifica que son rectas perpendiculares, ya que m1 = -(1/m2) (m1)(m2)=-1 -(A/B)(B/A) =-1.
36. Existe algo especial entre la relacin entre las lneas Ax + By = C1 y Ax + By = C2 (A 0, B 0)? De una razn para
su respuesta.
Solucin
Para la primera ecuacin la desarrollamos Ax + By = C1 By = - Ax + C1 y= -(A/B) x + (C1/B)
Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m1= -(A/B)
Haciendo lo mismo para Ax + By = C2 By = -Ax + C2 y= -(A/B) + (C2/B)
Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m2 = -(A/B)
Como m1 = m2 podemos deducir que son rectas paralelas.
Incremento y Movimiento
37. una partcula arranca en A (-2,3) y logra cambiar de posicin logrando incrementos x = 5, y =-6. Encontrar la
nueva posicin.
Solucin
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CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados
incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x
cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1.
Dados dos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, llamaremos el incremento x= x2 x1 y y= y2 y1 , el recorrido y
la altura , respectivamente, entre P1 y P2
Con lo anterior sea B el punto final con coordenadas B (x2, y2) y el punto inicial A (-2,3). Por lo que si tenemos los
incrementos: x = 5, y =-6. De tal manera
x = 5 x2-x1 = 5 x2 = 5 + x1 x2 =5 + (-2) x2 = 3.
y =-6 y2-y1= -6 y2 = -6 +y1 y2 = -6 +3 y2 = -3
Por lo que la nueva posicin es B (3,-3).
38. Una partcula inicia en el punto A (6,0) y logra desplazarse por medio de incrementos x= -6, y = 0. Encontrar la
nueva posicin.
Solucin
Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados
incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x
cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1.
Dados dos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, llamaremos el incremento x= x2 x1 y y= y2 y1 , el recorrido y
la altura , respectivamente, entre P1 y P2
Con lo anterior sea B el punto final con coordenadas B (x2, y2) y el punto inicial A (6,0). Por lo que si tenemos los
incrementos: x= -6, y = 0. De tal manera
x= -6 x2-x1 = -6 x2 = -6 + x1 x2 = -6 + 6 = 0.
y = 0 y2-y1 = 0 y2 = 0 + y2 y2 = 0 -0 =0
Por lo que la nueva posicin es B (0,0).
39. Las coordenadas de una partcula cambia por los incrementos x=5, y y=6, cuando se mueve desde A (x, y) hasta
B (3,-3). Encontrar x e y.
Solucin
Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados
incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x
cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1.
Dados dos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, llamaremos el incremento x= x2 x1 y y= y2 y1 , el recorrido y
la altura , respectivamente, entre P1 y P2
Sea el punto A (x, y), el punto de inicio del desplazamiento de la partcula.
x=5 x2-x1=5 -x1 = 5 x2 x1 = x2 5 x1 = 3 5 = -2
y=6 y2-y1=6 -y1 =6 y2 y1 = y2 6 y1 = -3 6 = -9
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Por lo que la posicin inicial de la partcula es A (-2,-9)
40. Una partcula que inicia su movimiento en el punto A (1,0) y gira en torno al origen en sentido contrario a las
manecillas del reloj, y regresa nuevamente al punto A (1,0). Cul fue el cambio neto en las coordenadas?
Solucin
El cambio neto en las coordenadas es cero ya que usando las frmulas de los incrementos tenemos:
x= x2-x1=1-1=0
y=y2-y2=0-0=0
Crculos
En los ejercicios 41 al 46, encontrar una ecuacin para el crculo con el centro dado en C (h, k) y radio a. Luego dibuje el
crculo en el plano-xy. Incluya el centro del crculo en su dibujo. Tambin indique la interseccin con los ejes x e y si
existe con su par coordenado.
41. C (0,2), a=2
Solucin
Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=0, k=2, el radio a=2.
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual a (x - h)2 + (y k)
2 = a
2
Sustituyendo tenemos: (x-0)2+(y-2)
2=(2)
2 x2 +(y-2)2=4.
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
(0,4)
C (0,2)
(0,0)
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42. C (-3,0), a=3
Solucin
Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=-3, k=0, el radio a=3.
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual a (x - h)2 + (y k)
2 = a
2
Sustituyendo tenemos: (x-(-3))2 + (y-0)
2 =(3)
2 (x+3)2 + y2 =9.
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
43. C (-1,5), a=(10)
1/2.
Solucin
Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=-1, k=5, el radio a = (10)1/2
.
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual a (x - h)2 + (y k)
2 = a
2
Sustituyendo tenemos:(x-(-1))2 + (y-5)
2 =((10)
1/2)2 (h+1)2 + (k-5) =10.
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
(0,-6) (0,0) C (0,-3)
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CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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44. C (1,1), a = (2)
1/2.
Solucin
Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=1, k=1, el radio a = (2)1/2
.
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual a (x - h)2 + (y k)
2 = a
2
Sustituyendo tenemos: (x-1)2 + (y-1)
2 = ((2)
1/2)2 (h-1)2 + (y-1)2 = 2.
Para los puntos que cortan los ejes:
x=0 y=0
(x-1)2 + (y-1)
2 = 2 (x-1)
2 + (y-1)
2 = 2
(-1)2+(y-1)
2 = 2 (x-1)
2 + (-1)
2 = 2
(y-1)2 = 1 (x-1)
2 = 1
y-1 = 1 x-1 = 1
y=2 o y= 0 x= 2 o x= 0
(0,2) ; (0,0) (2,0) ; (0,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
(0,2)
(0,8)
C (-1,5)
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45. C (-(3)
1/2, -2). a= 2
Solucin
Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=-(3)1/2
, k=-2, el radio a = 2.
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,
k) es igual a (x - h)2 + (y k)
2 = a
2
Sustituyendo tenemos ( x-(-(3)1/2
))2 + (y-(-2))
2 = (2)
2 (x +(3)1/2)2 + (y+2)2 = 4
Para los puntos que cortan los ejes:
x=0 y=0
(x +(3)1/2
)2 + (y+2)
2 = 4 (x +(3)
1/2)2 + (y+2)
2 = 4
((3)1/2
)2 + (y+2)
2 = 4 (x +(3)
1/2)2 + (2)
2 = 4
(y+2)2 = 4 -3 (x +(3)
1/2)2 = 4 -4
(y+2) = 1 x +(3)1/2
=0
y = -1 o y = -3 x= - (3)1/2
(0,-1) ; (0,-3) (- (3)1/2
,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
C (1,1)
(0,2)
(0,0) (2,0)
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Grafique los crculos cuyas ecuaciones son proporcionadas en los ejercicios 47 hasta 52. Identifique el centro del
crculo, y la intercepcin (si existe) con los ejes coordenados x-y, como un par de coordenadas rectangulares.
47. x2
+ y2
+ 4x- 4y + 4 = 0.
Solucin
Si una ecuacin para un crculo no es de la forma estndar o cannica, podemos encontrar el centro y el radio del
crculo, primero convirtiendo la ecuacin a la forma estndar. La tcnica algebraica para hacer esto, es completando
cuadrados. De este modo:
x2
+ y2
+ 4x- 4y + 4 = 0 (x2 + 4x) + (y
2 4y) = -4 (x
2 + 4x +4) + (y
2 4y + 4) = -4 + 4 +4 (x+2)
2 + (y-2)
2 = 4.
De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (-2, 2). Un radio a = 2. Los puntos de intercepcin de
los ejes coordenados son:
x=0 y=0
(x+2)2 + (y-2)
2 = 4 (x+2)
2 + (y-2)
2 = 4
(2)2 + (y-2)
2 = 4 (x+2)
2 + (-2)
2 = 4
(y-2)2 = 0 (x+2)
2 = 0
y-2 = 0 x+2 = 0
y=2 x = -2
(0,2) (-2,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
C (-(3)1/2
,-2)
(-(3)1/2
,0)
(0,-1)
(0,-3)
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48. x
2 + y
2 8x + 4y + 16 = 0
Solucin
Si una ecuacin para un crculo no es de la forma estndar o cannica, podemos encontrar el centro y el radio del
crculo, primero convirtiendo la ecuacin a la forma estndar. La tcnica algebraica para hacer esto, es completando
cuadrados. De este modo:
x2 + y
2 8x + 4y + 16 = 0 (x2 8x) + (y2 +4y) = -16 (x2 -8x +16) + (y2 + 4y +4) = -16 + 16 +4 (x-4)2 +(y+2)2 = 4.
De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (4, -2). Un radio a = 2. Los puntos de intercepcin de
los ejes coordenados son:
x=0 y=0
(x-4)2 +(y+2)
2 = 4 (x-4)
2 +(y+2)
2 = 4
(-4)2 + (y+2)
2 = 4 (x-4)
2 + (2)
2 = 4
(y+2)2 = -12 (x-4)
2 = 0 x-4 = 0 x = 4
Como no hay raz cuadrada de nmeros negativos no interseccin de la circunferencia con el eje y. La intercepcin con
el eje x se da en el punto (4,0).
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
C (-2,2)
(-2,0)
(0,2)
(x+2)2 + (y-2)
2 = 4
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CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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49. x
2 + y
2 3y -4 = 0.
Solucin
Si una ecuacin para un crculo no es de la forma estndar o cannica, podemos encontrar el centro y el radio del
crculo, primero convirtiendo la ecuacin a la forma estndar. La tcnica algebraica para hacer esto, es completando
cuadrados. De este modo:
x2 + y
2 -3y -4 = 0 x2 + (y2 3y) = 4 x2 + (y2 3y + (3/2)2) = 4 + (3/2)2 x2 + (y (3/2))2 =(25/4).
De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (0, 3/2). Un radio a = 5/2. Los puntos de intercepcin
de los ejes coordenados son:
x=0 y=0
x2 + (y (3/2))
2 = (25/4) x
2 + (y (3/2))
2 =(25/4)
(y (3/2))2 = (25/4) x
2 + (-(3/2))
2 = (25/4)
y (3/2) = 5/2 x2 = (25/4) (9/4) x2 = 4
y= (5/2) +(3/2) x = 2
y = 4 o y= -1 x = 2 o x= -2
(0,4) ; (0,-1) (2,0) ; (-2,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
C (4,-2)
(4,0)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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50. x2 + y
2 4x (9/4) = 0
Solucin
Si una ecuacin para un crculo no es de la forma estndar o cannica, podemos encontrar el centro y el radio del
crculo, primero convirtiendo la ecuacin a la forma estndar. La tcnica algebraica para hacer esto, es completando
cuadrados. De este modo:
x2 + y
2 4x (9/4) = 0 (x2 4x) + y2 = 9/4 (x2 -4x + 4) + y2 = (9/4) +4 (x 2)2 + y2 = 25/4.
De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (2, 0). Un radio a = 5/2. Los puntos de intercepcin
de los ejes coordenados son:
x=0 y=0
(x 2)2 + y
2 = 25/4 (x 2)
2 + y
2 = 25/4
(-2)2 + y
2 = 25/4 (x 2)
2 = 25/4
y2 =( 25/4) 4 y2 = 9/4 (x 2) = 5/2 x = 5/2 +2
y = 3/2 y= 3/2 o y = -3/2 x = 9/2 o x = -1/2
( 0, 3/2) ; (0,-3/2) (9/2,0) ; (-1/2,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
C (0,3/2)
(0,4)
(0,-1)
(2,0) (-2,0)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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51. x2 + y
2 4x + 4y = 0.
Solucin
Si una ecuacin para un crculo no es de la forma estndar o cannica, podemos encontrar el centro y el radio del
crculo, primero convirtiendo la ecuacin a la forma estndar. La tcnica algebraica para hacer esto, es completando
cuadrados. De este modo:
x2 + y
2 4x + 4y = 0. (x2 4x) + (y2 + 4y) = 0 (x2 4x + 4) + (y2 + 4y +4 ) = 8 (x-2)2 + (y+2)2 = 8.
De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (2, -2). Un radio a =2 (2)1/2
. Los puntos de
intercepcin de los ejes coordenados son:
x=0 y=0
(x-2)2 + (y+2)
2 = 8 (x-2)
2 + (y+2)
2 = 8
(-2)2 +(y+2)
2 = 8 (x-2)
2 + (2)
2 = 8
(y+2)2 = 8 - 4 (x-2)
2 = 8 - 4
y+2 = 2 x-2= 2
y=0 o y=-4 x=4 o x= 0
(0,0) ; (0,-4) (0,0) ; (4,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
C (2,0) (9/2,0) (-1/2,0)
(0,3/2)
(0,-3/2)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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52. x2 + y
2 + 2x = 3.
Solucin
Si una ecuacin para un crculo no es de la forma estndar o cannica, podemos encontrar el centro y el radio del
crculo, primero convirtiendo la ecuacin a la forma estndar. La tcnica algebraica para hacer esto, es completando
cuadrados. De este modo:
x2 + y
2 + 2x = 3 (x2 + 2x) + y2 = 3 (x2 + 2x + 1) + y2 = 3+1 (x+1)2 + y2 = 4.
De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (-1, 0). Un radio a =2. Los puntos de intercepcin de
los ejes coordenados son:
x=0 y=0
(x+1)2 + y
2 = 4 (x+1)
2 + y
2 = 4
(1)2 + y
2 = 4 (x +1)
2 = 4
y2 = 3 y = (3)1/2 (x+1) = 2 x = 2 -1
y = (3)1/2
o y= -(3)1/2
x = 1 o x= -3
(0, (3)1/2
) ; (0,- (3)1/2
) (1,0) ; (-3,0)
Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13
C (2,-2)
(4,0) (0,0)
(0,-4)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Parbolas
Graficar las parbolas en los ejercicios 53 al 60. Identifique el vrtice, y la intercepcin con loe ejes en el caso de que
existan.
53. y = x2 -2x -3.
Solucin
La ecuacin de la parbola de la forma y = ax2 + bx + c. La parbola abre hacia arriba si a > 0, y abre hacia abajo si a <
0. El eje de la parbola es la lnea x= -(b/2a). El vrtice de la parbola es el punto donde el eje de la parbola y la
parbola se cruzan. Es el eje coordenado-x, si x=- b/2a ; es el eje coordenado-y si se encuentra por sustitucin x= -
b/2a en la ecuacin de la parbola.
Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que
a =1, b= -2, c= -3.
Como a > 0, la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical
x= -b/2a x = - (-2)/2(1) = 1.
El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=1, se determina el valor de la
ordenada en: y = x2 -2x -3 y = (1)2 -2(1) 3 y = 1 2 3 y=-4. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en (1,-
4).
Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:
x= 0 y=0
y = x2 -2x -3 y = x
2 -2x -3
y = (0)2-2(0) -3 x
2 -2x -3 = 0 (x2-2x)=3 (x2-2x+1)=3+1 (x-1)2=4
y=-3 (x-1)= 2 x= 2 +1 x = 3 o x = -1
C (-1,0) (-3,0)
((3)1/2
,0)
(3,0)
(-(3)1/2
,0)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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(0,-3) (3,0) ; (-1,0)
Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13
54. y= x2 +4x + 3.
Solucin
Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que
a =1, b= 4, c= 3.
Como a > 0, la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical
x= -b/2a x = - (4)/2(1) =- 2.
El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=2, se determina el valor de la
ordenada en: y= x2 +4x + 3 y = (-2)2 + 4(-2) + 3 y = 4 -8 + 3 y=-1. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en
(-2,-1).
Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:
(3,0) (-1,0)
(0,-3)
(1,-4)
Eje de la parbola x=1
y = x2 -2x -3
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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x= 0 y=0
y= x2 +4x + 3 y= x
2 +4x + 3
y=(0)2+4(0)+3 x
2-+4x+3=0 x2+4x=-3 (x2+4x+4)=-3+4 (x+2)2=1
y=3 x+2= 1 x= 1 -2 x=-1 o x=-3
(0,3) (-3,0) ; (-1,0)
Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13
55 y= -x2 +4x.
Solucin
Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que
a =-1, b= 4, c= 0.
Como a < 0 la parbola abre hacia abajo. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical
(0,3)
(-1,0) (-3,0) (-2,-1)
Eje de la parbola x= - 2
y = x2 +4x +3
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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x= -b/2a x = -(4)/2(-1) x = 2.
El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=2, se determina el valor de la
ordenada en: y= -x2 +4x y = -(2)2 + 4(2) y = -4 + 8 y = 4. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en (2,4).
Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:
x= 0 y=0
y= -x2 +4x y= -x
2 +4x
y = -(0)2 +4(0) -x
2 +4x=0 x2 -4x=0 (x2 -4x +4) = 0 +4 (x-2)2 = 4
y=0 x-2= 2 x= 2 +2 x= 4 o x=0
(0,0) (4,0) ; (0,0)
Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13
56. y= -x2 + 4x -5.
(0,0) (4,0)
(2,4)
Eje de la parbola x= 2
y = -x2 +4x
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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Solucin
Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que
a =-1, b= 4, c= -5.
Como a < 0 la parbola abre hacia abajo. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical
x= -b/2a x = -(4)/2(-1) x = 2.
El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=2, se determina el valor de la
ordenada en: y= -x2 + 4x -5 y = -(2)2 + 4(2) - 5 y= -4 +8 -5 y= -1. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en
(2,-1).
Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:
x= 0 y=0
y= -x2 + 4x -5 y= -x
2 + 4x -5
y=-(0)2 +4(0) -5 -x
2 + 4x -5 = 0 x2 -4x+5=0 (x2-4x)= -5 (x2-4x+4)= -5+4 =-1
y=-5 (x-2)2 =-1
Como no hay raz cuadrada de nmeros negativos no interseccin de la parbola con el eje x
(0,-5)
Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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57. y= -x
2 -6x -5.
Solucin
Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que
a =-1, b= -6, c= -5.
Como a < 0 la parbola abre hacia abajo. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical
x= -b/2a x = -(-6)/2(-1) = 6/-2 x= -3.
El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x= -3, se determina el valor de la
ordenada en: y = -x2 -6x -5 y = -(-3)2 -6(-3) -5 y = -9 +18 -5 y = 4. Por lo que el vrtice se encuentra localizado
en (-3,4).
Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:
x = 0 y=0
y= -x2 -6x -5 y= -x
2 -6x -5
y= -(0)2 -6(0) -5 -x
2 -6x -5 =0 x2+6x +5 =0 x2+6x= -5 x2+6x +9 = -5 +9 =4
y=-5 (x+3)2=4 (x+3) = 2 x= 2 -3 x= -1 o x= -5
(0,-5) (-1,0) ; (-5,0)
Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13
Eje de la parbola x= 2
y = -x2 +4x -5
(0,-5)
(2,-1)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
Pgina 55 de 311
58. y = 2x2 x +3.
Solucin
Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que
a = 2, b= -1, c= 3.
Como a > 0 la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical
x= -b/2a x = -(-1)/2(2) = 1/4 x= 1/4.
El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=1/4, se determina el valor de la
ordenada en: y = 2x2 x +3 y=2 (1/4)2 (1/4) +3 y=(2/16) (1/4) + 3 y = (1/8)-(1/4)+3 y = (1-2+24)/8 y=
23/8. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en (1/4,23/8).
Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:
x = 0 y=0
y = 2x2 x +3 y = 2x
2 x +3
Eje de la parbola x= -3
y = -x2 -6x -5
(-3,4)
(-5,0) (-1,0)
(0,-5)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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y=2(0)2 (0) +3 2x
2 x +3=0 2x2 -x =-3 x2 (x/2) =(-3/2) (x2 (x/2) + 1/16) =(-3/2)+(1/16)
y=3 (x 1/4)2 = -23/16
(0,3) Como existe raz cuadrada de un nmero negativo, no existe, deducimos que la
parbola no corta el eje x.
Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13
59. y= (1/2) x2 + x +4.
Solucin
Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que
a = 1/2, b= 1, c= 4.
Como a > 0 la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical
Eje de la parbola x= 1/4
y = 2x2 -x +3
(1/4 , 23/8) (0,3)
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.
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x= -b/2a x=-(1)/[(2)(1/2)] x= -1/1 x= -1.
El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=-1, se determina el valor de la
ordenada en: y= (1/2) x2 + x +4 y=(1/2)(-1)2 +(-1) +4 y=(1/2) -1 +4 y=(-1/2)+3 y=7/2. Por lo que el vrtice se
encuentra localizado en (-1,7/2).
Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:
x = 0 y=0
y= (1/2) x2 + x +4 y= (1/2) x
2 + x +4
y=(1/2) (0)2 +(0) +4 (1/2) x
2 + x +4 = 0 x2 +(x/2) = -2 (x2 +(x/2) +1/16) = -2 +(1/16)
y=4 (x+1/4)2 = -31/16 .
(0,4) Como existe raz cuadrada de un nmero negativo, no existe, deducimos que la
parbola no corta el eje x.
Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13
-
CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. TH