1  

Clasa a VI-a

Capitolul 0 

RECAPITULARE (4 ore) 

1) Mulţimea numerelor naturale

Mulţimea numerelor naturale se notează cu N şi N ={0;1;2;3;...}

Obs. 1: N* ={1;2;3;...}

Ar fi minunat să începem cu o poveste de genul:

Am mers ieri pe malul apei, în pădure, şi cu mine erau 3 copiii, aşa ca şi voi. Deoarece eu m-am dus cu gândul să fac fotografii naturii, copiii se plictiseau. Cum nici eu nici ei nu aveau nicio jucărie, pentru că LEGO l-am uitat acasă (vouă vă place Lego?) am început să le dau o grămadă de pietricele. Ştiţi cum mai puteam spune în loc de grămadă? (Mulţime). Le-am cerut să se gândească la ce jocuri se pot juca cu ele. Ce jocuri credeţi că au găsit? Chiar dacă unii vor spune că au încercat să dea cu pietre unii în alţii, sau să le arunce în apă, suntem de acord, însă educăm spunând că dacă ei ar fi cei ÎN CARE SE DĂ cu pietre, cum s-ar simţi?

Cu siguranţă se va găsi (sau nu) unul care va spune că au început să le numere, sau că le-au împărţit la fiecare şi au vrut să vadă care are mai multe. Oricum, se va ajunge astfel la numărare, care e o chestie FIREASCĂ, NATURALĂ, de aceea vom spune că azi vom face MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE, şi vom scrie titlul pe tablă.

Aproape sigur ei nu vor ajunge la 0, şi atunci îi întrebăm câte pietre am eu.

Ar fi bine de căutat o explicaţie pentru notaţia N*, şi atunci îi putem întreba unde au mai văzut pe cineva cu stea în frunte, adică era deosebit, cu mai multe calităţi. Şi atunci le putem spune că şi în viaţă contează oamenii care au calităţi, nu aceia cu zero calităţi şi ajungem la mulţimea oamenilor cu calităţi, care sunt în N*. Îi putem întreba....îşi doresc să facă parte din N* sau din N?

2) Adunarea numerelor naturale a + b = S , unde a şi b sunt termenii sumei, iar S este suma celor două numere

Obs. 1: adunarea are proprietăţile:

-Asociativitate: ( a + b ) + c = a + ( b +c) pentru orice numere naturale a , b , c

-Comutativitate: a + b = b +a pentru orice numere naturale a , b

-Element neutru: a + 0 = 0 + a = a pentru orice număr natural a . (adnunarea are element neutru pe zero)

ADUNARE = Opera�ie aritmetică prin care două sau mai multe numere se totalizează într-unul singur , punerea împreună a mai multor obiecte, pietricele, fiinţe aşa cum a fost exemplul anterior.

De exemplu, voi v-aţi adunat vreodată cu vreun scop anume? Dacă vor spune NU, le ăm exemplu prima zi de şcoală. Cine ar fi termenii acelei adunări? dacă vor răspunde că TOŢI ELEVII, voi adăuga: ŞI PĂRINŢII, ŞI PROFESORII etc. Vom veni şi cu alte exemple, treptat vom trece înspre adunări cu numere, vom întreba cine sunt termenii, cine e suma, şi VOM STRECURA O SCĂDERE CORECTĂ, iar ei vor spune tot termeni, şi tot sumă. TREBUIE să îi ţinem permanent atenţi.

Tot aici ar trebui neapărat găsiţi vreo 10 elevi care să iasă în faţă, şi îi împărţim în 3 grupe, de exemplu 4+1+5, şi îi adunăm asociind, vor vedea că dă acelaţi rezultat, deci avem asociativitatea. La fel făcut pt

2  

comutativitate, la fel pentru adunarea cu zero, unde poate mai simplu ar fi cu ceva obiecte din căciuli, sau adunaţi cei care încep cu R cu cei care încep cu Y, pentru a nu avea nimic.

3) Înmulţirea numerelor naturale a b = P , unde a şi b sunt factorii produsului, iar P este produsul celor două numere

Obs. 1: înmulţirea are proprietăţile:

a)Asociativitate: (a b ) c = a ( b c) pentru orice numere naturale a , b , c

b)Comutativitate: a b = b a pentru orice numere naturale a , b

c)Element neutru: a 1 = 1 a = a pentru orice număr natural a . (înmulţirea are element neutru pe unu)

d)Dacă a b = 0 , atunci a = 0 sau b = 0

e)a 0 = 0 şi 0 a = 0

Obs.: Adunarea şi înmulţirea sunt întotdeauna definite pe , adică

a , b a + b şi a b  

Înmulțirea e o adunare repetată şi e foarte utilă atunci când avem de adunat acelați număr de obiecte de mai multe ori. 

Eu luna trecută am fost răcit şi pentru că nu vroiam să nu faceți mate Voi vroiați să nu faceți mate?  m‐am dus la doctor şi mi‐a spus să iau aspirină de 3 ori pe zi câte 10 zile. Când m‐am dus la farmacie, domna farmacistă a început să scrie pe un bilețel 3 3 3 3..., voi cum ați fi făcut? 

Aşa‐i că e mai bine să ştii matematică? 

Să mergem acum pe asociativitate.  

Zilele trecute m‐a sunat un prieten care lucrează la Liedl şi care spunea că nu mai găseşte o factură pe care erau trecute numărul de pungi de napolitane JOE cu alune vouă vă plac acele napoolitane?  Ştie doar că a primit 10 colete mari prinse în folie. În fiecare colet sunt 40 de cutii, iar în fiecare cutie sunt 20 de pungi de napolitane. Voi ştiți câte pungi a primit magazinul? şi aici NEAPĂRAT să îi punem să gândească: 

Met. I: Calculăm întâi numărul tota de cutii, 10*40 400, apoi numărul de pungi 400*20 8000 

Met. II: Calculăm numărul de pungi dintr‐un colet 40*20'800, apoi..... 

4)Scăderea numerelor naturale a − descăzutul, b este scăzătorul iar D este numere

Obs. 1: scăderea nu este asociativă, nu est element neutru

5) Factor comun

a)a b + a c = a ( b +c), a este factor comun

b)a ( b + c ) = a b + a c , a este factor comun

c)a b − a c = a ( b −c), a este factor comun

d)a ( b − c ) = a b − a c , a este factor comun

Obs. Greutatea constă în observarea factor Exp. 1: 2341 + 2341 7 + 2341 2 = 2341 (1 + 7 + 2)

Când am fost la bunici la țară, am văzut în curte 3 pisici, şi bunicul m‐a întrebat câte degete au împreună aceste pisici. Ştiind că în față au 5 degete iar în spate au 4 degete, am 5 4 9, apoi 3x9 27. Ştiți că şi la câini este la fel?

3  

6) Împărţirea numerelor naturale

R < C unde a este deîmpărţitul, b este câtul celor două numere iar R este restul

Obs. 1: împărţirea nu este asociativă, nu es element neutru

Obs. 2: dacă după efectuarea împărţirii obţ am greş it undeva

Obs. 3: dacă R = 0 atunci avem împărţire

7) Proba împărţirii cu rest

Din a : b = C , rest R cu R < C obţinem a Formula a = b C + R se numeşte proba împartirii cu rest.

8)Ridicarea la putere

-definiţia puterilor: dacă a este un număr natural nenul an = a a ... a de n ori

Obs. 1: a se numeşte bază, iar n se numeşt Exp. 1: 23 = 2 2 2 , unde 2 este bază şi 3 Exp. 2: 32 = 3 3 , unde 3 este bază şi 2 est

Obs. 2: a0 =1, pentru orice a număr nat

Obs. 3: 0 a = 0 , pentru orice a număr natural nenul

Obs. 4: a1 = a , pentru orice a număr natural

Obs. 5: 1a =1 , pentru orice a număr natural

9) Proprietăţi ale puterilor:

a) a m a n= am+nşi a m+n= a m an

b) a m: a n= am−nşi a m−n= a m: anunde m ≥ n

c) ( am )n = am n şi am n = ( am )n

d) ( a b )n = an bn şi an bn = ( a b)n

a n: b n=( a : b)nşi( a : b )n= a n: bn, cu condiţia ca a săse imparta exact la b

10) Compararea puterilor

a) Dacă puterile au aceeaşi bază, este mai mică puterea cu exponentul cel mai mic

Exp. 1: 5 47< 561 deoarece baza e aceeaşi iar exponenţii 47 < 61

b) Dacă puterile au acelaşi exponent, este mai mică puterea cubaza cea mai mică

Exp. 1: 47 5< 615 deoarece exponentul e aceeaşi iar bazele 47 < 61 Obs.: dacă puterile nu au aceeaşi bază şi nici acelaşi exponent, atunci se încearcă aducerea sau la aceeaşi bază, sau la acelaşi exponent

Exp. 2: comparaţi a = 275 şi b = 97

E1) a = ( 3 3 )5 = 315

E2) b = ( 3 2 )7 = 314

E3) baza e aceeaşi iar 14 < 15 b<a

4  

11) Puteri etajate: pentru a calculaabcalculează întâi bc , apoi se ridică a la puterea rezultata

Exp.: 521 = 52 = 25 şi 423 = 48 = 65536 Obs. 1: abc ≠ (ab )c

Exp.: 4 23 = 48 este diferit de (42 )3 = 46

12) Pătrat perfect, cub perfect

a) spunem ca un numar a este patrat perfect daca se poate scrie sub forma unei puteri cu exponent 2

b) spunem ca un numar a este cub perfect daca se poate scrie sub forma unei puteri cu exponent 3

Exp.1: 25 este pătrat perfect deoarece 25 Exp.2: 8 este cub perfect deoarece 8 = 23

Obs.1: numerele naturale 0 şi 1 sunt patrate perfecte si cuburi perfecte

Obs. 2: orice număr natural care se poate se pate scrie sub forma unei puteri cu exponentul 6 este şi cub perfect, Exp.: 64 = 8 2 64 este pătrat perfect

64 = 4 3 64 este cub perfect

13) Ordinea efectuării operaţiilor

Operaţiile sunt de 3 tipuri:

a)de ordin 1: adunarea şi scăderea

b)de ordin II: înmulţirea şi împărţire

c)de ordin III: ridicările la putere

E1) dacă nu există paranteze şi operaţiile s efectuează în ordinea în care apar

E2) dacă nu există paranteze şi operaţiile nu sunt de acelaşi ordin, se efectueaz ă întâi ridicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile şi abia apoi adunările şi scăderile

E3) dacă există paranteze se efectuează întâi operaţiile din parantezele rotunde, apoi din paranteze drepte şi abia apoi la final din acolade, în fiecare paranteză respectându-se regulile de mai sus

Exp: N = 2 + {5 − 4 + 2 3 − ( 2 + 6:3 2) } = 2 + {5 − 4 + 2 3 − ( 2 + 2 2) }=

=2 + {5 − 4 + 2 3 − ( 2 + 4 ) } = 2 + 5 − ( 4 + 2 3 − 6 ) = 2 + 5 − ( 4 + 6 −6)

=2 + 5 − (10 − 6 ) = 2 + ( 5 − 4 )= 2 + 1 = 3

Obs. Era greşit ca în paranteza rotundă să o calculăm nerespectând ordinea operaţiilor chiar dacă sunt de acelaş i grad

Este GREŞIT: 2 + 6 :3 2 = 2 + 6 : 6 = 2 + 1 = 3

Este CORECT: 2 + 6 :3 2 = 2 + 2 2 = 2 + 4 = 6

5  

Capitolul 1 

DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE (10 ore) 

- Capitolul I

DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE

1) Pentru a arăta că a divizibil cu b sunt două metode:

Metoda 1: Spunem că a divizibil cu b dacă există un număr natural c astfel încât a = b c , se notează a b

Metoda 2: Spunem că a divizibil cu b dacă restul împărţirii lui a la b este zero, se notează a b .

Exp.1: 10 5 deoarece

Metoda 1: există numărul natural 2 cu 10 = 5 2

Metoda 2: 10 :5 = 2 rest 0 , deci restul împărţirii lui 10 la 5 este 0. Obs.1: b se numeşte DIVIZOR al numărului natural a , iar a se numeşte MULTIPLU al numărului natural b

Exp. 2: Dacă 16 4 , înseamnă că 4 este divizor al lui 16, iar numarul 16 este multiplu al lui 4

2) Pentru a arăta că b divide pe a sunt două metode: Metoda 1: Spunem că b divide pe a dacă există un număr natural c astfel încât a = b c , se notează b / a

Metoda 2: Spunem că b divide pe a dacă restul împărţirii lui a la b este zero, se notează b / a .

Exp.1: 2 / 6 deoarece

Metoda 1: există numărul natural 3 cu 6 = Metoda 2: 6 : 2 = 3 rest 0 , deci restul împă

3) Mulţimea divizorilor unui numă multiplilor unui număr natural

a)Mulţimea divizorilor unui număr n

b)Mulţimea multiplilor unui număr n

Exp.: D10 ={1,2,5,10} şi M10 ={0,10,20,.

Obs.: mulţimea divizorilor unui număr nat mulţimea multiplilor unui număr natural e

4)Divizorii proprii, divizorii improprii

Orice număr natural are divizori proprii ş Divizori improprii – “nu divid, nu sparg n însuşi

Divizori proprii – “divid, sparg numărul” s Exp.: n = 6 divizori improprii: 1 şi 6, divizori proprii: 2 şi 3.

5)b divide pe a este acelaşi lucru cu a divizibil cu b

6)Criterii de divizibilitate – reguli c a este divizibil cu b, fără a face împărţirea

a)n este divizibil cu 2 n are ultima cifra para

b)n este divizibil cu 3 n are suma cifrelor divizibila cu 3

c)n este divizibil cu 4 n are numarul format de ultimele doua cifre cifre divizibil cu 4

6  

d)n este divizibil cu 5 n are ultima cifra 0 sau 5

e)n este divizibil cu 9 n are suma cifrelor divizibila cu 9

f)n este divizibil cu 10 n are ultima cifra divizibila cu 10

g)n este divizibil cu 25 n are numarul format din ultimele doua cifre divizibil cu 25

h)n este divizibil cu 100 n are ultimele doua cifre 0

7) Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate

a)a / a , a (refelxivitate)

b)a / 0, a ş i 1/ a , a

c)a | b a / b + c şi a / b −c a | c

d)Dacă a / b atunci a / nb , n (dacă a divide pe b , atunci divide orice multiplu a lui b )

e)Dacă a / b şi b / c atunci a / c , a , b , c (tranzitivitate)

f)Dacă a , b din a / b şi b / a atunci a = b (antisimetrie)

Exp: n = ? , n astfel încât 3n +7 n +1

Soluţie: n + 1/ 3n +7 .

Dar n + 1/ n + 1 n + 1/ 3( n + 1) n + 1/ 3n +3. Avem aşadar n + 1/ 3n +7 n + 2 / 3n +7 − ( 3n + 3) ( n + 2)/ 4 n + 2 D4 = {1;2,4} n {0;2}

8) Numere prime, numere compuse

Numerele prime au exact doi divizori distincţi naturali Numere compuse: au mai mult de doi divizori distincţi naturali Exp. 1: 2 este număr prim, iar 4 este compus

Obs.1:: numerele naturale 0 şi 1 nu sunt prime, nici compuse Obs.2: singurul număr prim şi par este 2

9) Descompunere în factori primi

Etapa 1) dacă ultima cifră este 10n se scrie 2 n 5 n \Etapa 2) se încearcă, pe rând, celelalte numere prime

Etapa 3) se scrie apoi numărul ca produs de factori primi, factori primi eventual ridicaţi la putere

Exp.: descompuneţi în produs de factori primi numărul n = 7500 7500 22 52 Deci n = n = 2 2 3 54

10) Algoritm de a vedea dacă un nu compus

E1) dacă numărul este mic, îl descomp vedem câţi divizori are acel număr

E2) dacă numărul este mai mare, îl îm numerele prime începând cu 2

E3) dacă găsim un număr la care se împa nu este număr prim

E4) dacă nu găsim niciun număr la care se am obţinem un cât mai mic sau egal cu îm numărul iniţial este prim

Obs. 1: numerele prime diferite de 3 sunt d 3k − 1, k *

Obs. 2: numerele prime diferite de 2 şi 3 s 6k − 1, k *

7  

11) Aflarea celui mai mare divizor c mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) c.m.m.d.c. – se descompun numerele în fa este egal cu produsul factorilor comuni la

notăm (a , b).c.m.m.m.c. - se descompun numerele în fa este format din produsul factorilor comuni

cea mai mare, îl notăm cu [a , b]

Obs.: (a , b ) [ a , b ]= a b

12) Numere prime între ele - au cel m pe 1, se notează (a , b)=1

Obs.: două numere pot fi prime între ele fă prime.

Exp.: a =9 şi b =100 sunt numere prime numere prime

Capitolul II 

OPERAȚII CU NUMERE  

RAȚIONALE POZITIVE (10 ore) 

1) Mulțimea numerelor raționale se notează cu   şi  

{ }, , 0 fracţii zecimale cu număr finit de zecimalea a b bb

⎧ ⎫= ∈ ≠ ∪⎨ ⎬⎩ ⎭

 

Numerele raționale conțin fracții ordinare (apare linie de fracție) şi fracții zecimale (nu apare linie de fracție, apare însă virgula) 

Obs.:  mulțimea numerelor raționale pozitive se notează cu  +  

2) Fracții ordinare ‐ au forma , 0a bb

≠ , unde a se numeşte 

numărător, iar b numitor 

Obs. 1: numărătorul este separat de numitor prin linie de fracție 

3) Fracții subunitare, fracții supraunitare, fracții  echiunitare 

a) fracții subunitare – au numărătorul mai mic decât numitorul, adică fracția ab este subunitară 

dacăa b<  2exp. 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

 

b) fracții supraunitare – au numărătorul mai mare decât numitorul, adică fracția ab este 

supraunitară dacă  a b>  7exp. 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

 

8  

c) fracții echiunitare – au numărătorul egal cu numitorul, adică fracția ab este echiunitară dacă 

a b= 7exp. 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

 

 

4) Două fracții  ab şi 

cd sunt egale (sau echivalente) dacă   a d b c⋅ = ⋅   

Exp: 2 4 şi 3 6

 sunt echivalente deoarece  2 6 3 4⋅ = ⋅  

5) Transformarea fracțiilor ordinare în zecimale – se  realizează prin împărțire până obținem restul 0.  

Dacă la cât, zecimalele se repetă atunci avem fracții periodice. 

Exp.: 21 2,110

= :  ( )19 2, 19= ;   ( )190 2,1 1

90=  

Obs. 1: Fracția ordinară ab este un număr natural dacă şi numai dacă  /b a . 

Exp.: 182

 este un număr natural doearece  2 /18  

6) Transformarea fracțiilor zecimale în ordinare    

Exp 1:   212,110

=      

Exp 2: 21 22, (1)

9−

=    

Exp. 3: 213 212,1(3)

90−

=  

Exp. 4: 3 0 3 10,0(3)

9 9 3−

= = =  

7) Adunarea numerelor raționale pozitive  a) cu acelaşi numitor – se copiază numitorul şi se adună numărătorii 

Exp. :  4 9 4 9 135 5 5 5

++ = =

 

b) cu numitori diferiți – se aduc fracțiile la acelaşi numitor E1)  se calculează c.m.m.m.c. al numitorilor fracțiilor care se va numi NUMITORUL COMUN al fracțiilor 

E2) se amplifică fiecare fracție cu câtul dintre numitorul comun şi numitorul acesteia 

Exp. 1 : 5 4 ?

12 15+ =  

9  

Soluție: 

E1) observăm că nu  le putem aduna direct pentru că nu avem acelaşi numitor; calculăm c.m.m.m.c. al numitorilor fracțiilor, şi anume al numerelor 12 şi 15; 

Avem  212 2 3= ⋅  şi 15 3 5= ⋅ , iar  2[12,15] 2 3 5 60= ⋅ ⋅ = , deci numitorul comun este 60  

E2) câtul dintre 60  şi 12  este 5, iar câtul dinte 60  şi 15  este 4, deci prima fracție o amplificăm cu 5, iar 

a doua fracție o amplificăm cu 4 şi obținem 5) 4)5 4 25 16 41

12 15 60 60 60+ = + = . 

Obs. 1: pentru a aduna un număr natural n  cu o fracție, ținem cont ca oricărui număr natural îi corespunde o fracție cu numitorul 1 

Exp. 2: 2)1 3 1 6 1 73

2 1 2 2 2 2+ = + = + =  

8) Scăderea numerelor raționale pozitive a) cu acelaşi numitor – se copiază numitorul şi se scad numărătorii 

Exp. 14 10 14 10 43 3 3 3

−− = =  

b) cu numitori diferiți cu numitori diferiți – se aduc fracțiile la acelaşi numitor E1)  se calculează c.m.m.m.c. al numitorilor fracțiilor care se va numi NUMITORUL COMUN la fracțiilor 

E2) se amplifică fiecare fracție cu câtul dintre numitorul comun şi numitorul acesteia 

Exp. 1 : 5 4 ?

12 15− =  

Soluție: 

E1) observăm că nu le putem aduna direct pentru că nu avem acelaşi numitor; calculăm c.m.m.m.c. al numitorilor fracțiilor, şi anume la numerelor 12 şi 15; 

Avem  212 2 3= ⋅  şi 15 3 5= ⋅ , iar  2[12,15] 2 3 5 60= ⋅ ⋅ = , deci numitorul comun este 60  

E2) câtul dintre 60  şi 12  este 5, iar câtul dinte 60  şi 15  este 4, deci prima fracție o amplificăm cu 5, iar 

a doua fracție o amplificăm cu 4 şi obținem 5) 4)5 4 25 16 9

12 15 60 60 60− = − = . 

Obs. 1: pentru a scădea un număr natural n  cu o fracție, ținem cont ca oricărui număr natural îi corespunde o fracție cu numitorul 1 

Exp. 2: 2)1 3 1 6 1 53

2 1 2 2 2 2− = − = − =  

9) Înmulțirea numerelor raționale pozitive  

10  

Dacă  avem fracțiile  şi a cb d

, cu  0, 0b d≠ ≠  atunci a c a cb d b d

⋅⋅ =

⋅ Exp.:

4 2 4 2 85 7 5 7 35

⋅⋅ = =

⋅ 

Obs.: Produsul dintre un număr natural n  şi o fracție ab este  =

1 1a n a n a n anb b b b

⋅ ⋅⋅ ⋅ = =

⋅ 

Obs.: de obicei, produsele se simplifică până la obținerea unor fracții ireductibile 

Exp.:  (44 1 4 1 4 1

5 4 5 4 20 5⋅

⋅ = = =⋅

 

10) Ridicarea la putere a unui număr rațional pozitiv  

Dacă  *n∈ , iar ab este un număr rațional pozitiv, atunci avem   , 0

n n

n

a a bb b

⎛ ⎞ = ∀ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

, unde ab  se 

numeşte bază, iar n se numeşte exponent 

Obs.1: prin convenție  0

1ab

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, iar  00  nu se defineşte 

Obs. 2: Dacă ab este un număr rațional pozitiv, iar  , ,m n m n∈ > , atunci  

a) Pentru  1ab<  are loc inegalitatea 

m na ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

b) Pentru  1ab>  are loc inegalitatea 

m na ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

Exp:  4 32 2

5 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 şi 4 35 5

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

1) Proprietăți ale puterilor 

a) m n m na a a

b b b

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 şi m n m na a a

b b b

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

b) :m n m na a a

b b b

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 şi  :m n m na a a

b b b

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 unde m n≥  

c) nm m na a

b b

⋅⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

 şi 

nm n ma ab b

⋅ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

   

d) nm m na a

b b

⋅⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

 şi 

nm n ma ab b

⋅ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

   

e) n n na c a c

b d b d⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 şi n n na c a c

b d b d⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

   

11) Împărțirea numerelor raționale pozitive 

11  

Pentru a împărții două fracții, înmulțim prima fracție cu cea de‐a doua inversată. 

Exp.: 4 2 4:5 7

=7

5 2⋅

2 1475 5

= ⋅ =  

Obs.1: Există fracții etajate, iar pentru transformarea lor în fracții simple, folosim că ab înseamnă  :a b , 

deci  vom  împărți  numărătorul  la  numitor,  adică  înmulțim  numărătorul  cu  inversul  numitorului.  Este foarte important în dreptul cărei linii de fracții se  

pune " "= ; folosim relația  :

aa c a db

c b d b cd

= = ⋅  

Exp. 1: 

22 7 143

5 3 5 157

= ⋅ =       

Exp. 2:2 7 1425 5 57

= ⋅ =     

  Exp. 3:

22 1 25

7 5 7 35= ⋅ =  

 

 

12  

Capitolul I 

DREAPTA (6 ore) 

 

1) Punctul ‐ nu are lungime, nu are lățime, nu are înălțime (se reprezintă punând vârful unui creion) 

   Obs.1: Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului , ,...A B  

Obs.2: Există puncte distincte (nu sunt situate în acelaşi loc) şi puncte confundate(coincid), sunt situate în acelaşi loc. 

Exp.:  

 

2) Dreapta ‐ este cel mai scurt drum între 2 puncte şi este prelungită în ambele capela la infinit. Are lungime, nu are lățime, nu are înălțime.  Obs.1: dreapta  se notează  cu  litere mici  ale  alfabetului  , , , ,...a b c d sau,  în  ipoteza  în  care  ştim două 

puncte ale dreptei, o putem nota prin punctele respective, adică  , , ...AB CD etc  

 

Obs.2: Puncte coliniare – sunt situate pe aceeaşi dreaptă 

Obs.3: Puncte necoliniare – nu sunt situate pe aceeați dreaptă 

 

3) Semidrepta – este mulțimea punctelor dintr‐o dreaptă mărginită doar la un capăt. Capătul în care este mărginită se numeşte originea semidreptei.  Obs.: Există semidrepte deschise şi semidrepte închise. Pentru a nota o semidreaptă trebuie să cunoaştem originea şi încă un punct oarecare al semidreptei. 

Exp.: (AB  este semidreapta deschisă, porneşte din  A , nu îl conține pe  A , şi merge în direcția lui  B  

către infinit 

[CD  este semidreapta închisă, porneşte din C , îl conține pe C , şi merge în direcția lui  D  către infinit 

A, B distincte 

A B C=D

C, D coincid

13  

4) Plan: este asemeni unei foi de hârtie prelungită în toate direcțille la infinit. Are lungime, are lățime, nu are înălțime. Se notează cu litere greceşti α ‐alpha,  β ‐beta, etc. Obs.: semiplan – este porțiunea din plan delimitată de o dreaptă, adică “foaia de hârtie nu se prelungeşte decât în 3 direcții” 

Obs.1: drepte coplanare ‐ sunt drepte situate în acelaşi plan 

            drepte necoplanare – drepte care nu sunt situate în acelaşi plan   

            drepte concurente – intersecția lor este formată dintr‐un singur punct 

            drepte confundate(coincid) – sunt drepte care se suprapun 

            drepte paralele – sunt drepte coplanare care nu sunt concurente 

Exp.:  

 

 

 

drepte necoplanare 

 

 

 

drepte concurente 

 

 

 

 

drepte paralele 

 

5) Segmente ‐ este mulțimea punctelor dintr‐o dreaptă  mărginită la ambele capete Există segmente închise, deschise, semideschise. 

Exp: ( )AB  este segment deschis, nu conține pe  A , nu conține pe  B , conține toată porțiunea dintre  A  

şi  B  

[ ]AB  este segment închis, conține pe A, conține pe B, conține toată porțiunea dintre  A  şi  B  

[ )AB  este segment semideschis, conține pe A, nu conține pe B, conține toată porțiunea dintre  A  şi  B  

( ]AB  este segment semideschis, nu conține pe A, conține pe B, conține toată porțiunea dintre  A  şi  B  

Exp.:.reprezentați: a) segmentul semideschis[ )AB   

14  

 b) segmentul deschis  ( )CD      

c) segmentul închis [ ]EF     

d) segmentul semideschis  ( ]GH  

 

6) Lungimea unui segment - distanța dintre două puncte este lungimea segmentului  

cu extermitățile în cele două puncte 

- distanța dintre două puncte este cel mai scurt drum - fiecărui segment îi corespunde un număr care se numeşte  

lungimea segmentului 

- lungimea unui segment se determină folosind rigla gradată - notăm  ( , )d A B  şi citim distanța de la A la B 

7) Segmente congruente – două segemnte care au lungimile egale 

Obs.  1:  două  segmente  congruente  se  notează  [ ] [ ]AB CD≡   şi  se  citeşte:  segmentul  [ ]AB   este 

congruent cu [ ]CD  

Obs. 2: în probleme, segmentele congruente se marchează la fel pentru a fi recunoscute mai uşor 

8) Mijlocul unui segemnt 

Punctul O   este mijlocul segmentului [ ]AB  dacă  [ ]O AB∈  şi [ ] [ ]OA OB≡  

OA B 

 

15  

Capitolul VI 

UNGHIURI(8 ore) 

 

1) Unghiul – este figura geometrică formată din două  semidrepte cu aceeaşi origine. 

Cele  două  semidrepte  se  numesc laturile  unghiului,  iar  originea  lor comună  se  numeşte  vârful unghiului.    Unghiul  se  notează 

AOB   sau,  dacă  nu  există  mai multe unghiuri cu vârful în O,  O    

2) Măsura unui unghi – este deschizătura dintre laturile  unghiului  (de fapt măsurăm arcul cercului cu centru  în vârful unghiului), spus pe  înțelesul tuturor este deschizătura unei foarfeci. 

Obs.1: dacă avem desenat un unghi  şi ni se cere măsurarea  lui, nu contează cât de  lungi sunt  laturile unghiului ci doar cât de mare e deschizătura dintre ele. 

Obs.2: un unghi se măsoară cu RAPORTORUL, pe raportor sunt trecute grade. 1 grad se notează  1 . 

Obs. 3: 1 60 min= , 1min 60s=  

3) Unghiuri congruente –  sunt unghiuri care au aceeaşi măsură. Nu contează  lungimea  laturilor, nici poziția unghiului. Unghiurile din exemplele următoare sunt congruente. Exp.1: 

 

Exp.2: 

 

 

 

4) Clasificarea unghiurilor în funcție de măsura lor: Unghi ascuțit – are măsura  90<  

( ) 90m AOB <   

16  

Unghi obtuz – are măsura  90>  

 

( ) 90m AOB >  

 

 

 

Unghi drept – are măsura 90  

 

( ) 90m AOB =  

 

 

5) Unghiuri adiacente – au o latură  comună, au un vârf comun iar celelalte doua laturi  sunt de‐o parte  şi de cealaltă a  laturii cumune 

Unghiurile  AOB  şi  BOC  sunt adiacente

 

 

 

6)  a) Unghi alungit – are măsura 180 ,  

laturile lui sunt semidrepte opuse   

( ) 180m AOB =  

  

 

 

b)  Unghi nul  –  are măsura  0 ,  laturile lui se confundă 

( ) 0m AOB =   

7) Unghiuri complementare – au  suma măsurilor egală cu 90 , 

,două  unghiuri 

complementare  nu  trebuie  neapărat  să  fie 

adiacente, trebuie doar să aibă au suma 90  

 

 

( ) ( ) 90m AOB m BOC+ =

17  

8) Unghiuri suplementare ‐ au suma  

180  

( ) ( ) 180m AOB m BOC+ =  

Obs.: două unghiuri suplementare nu trebuie neapărat  să  fie  adiacente,  singura  condiție 

este să aibă au suma 180  

 

 

9) Unghiuri opuse la vârf – laturile  primului  unghi  sunt  în  prelungirea  laturilor celui de‐al doilea unghi 

AOC   şi  BOD   sunt  unghiuri  opuse  la vârf,  AOD  şi  BOC  sunt unghiuri opuse la vârf 

 

 

Obs.  Unghiurile  opuse  la  vârf  sunt  congruente  AOC BOD≡     şi AOD BOC≡  

10) Unghiuri în jurul unui punct  –  au  aceeaşi  origine,  nu  au interior comun şi au suma egală cu 

360  

 

 

 

11) Unghiuri cu laturile  respectiv  paralele  –  laturile primului  unghi  sunt  paralele  cu laturile  celui  de‐al  doilea  unghi, 

,AO EC BO FC   rezultă  că 

AOB  şi  ECF sunt unghiuri cu laturile  respectiv  paralele,  dar  şi 

AOB  şi  ECD sunt unghiuri cu laturile respectiv paralele 

 

 

Obs.:  unghiurile  cu  laturile  respectiv  paralele  sunt  congreunte  sau suplementare. 

Dacă  ambele  unghiuri  sunt  ascuțite  sau  ambele  unghiuri  sunt  obtuze, atunci acele unghiuri sunt congruente,  iar dacă unul e obtuz  iar celălalt ascuțit atunci acele unghiuri sunt suplementare. 

Deci,  AOB ECF≡   şi    180AOB ECD+ = ° ,  adică  AOB   şi 

( ) ( )( ) ( ) 360

m AOB m BOC

m COD m DOA

+ +

+ + =

18  

ECD  sunt suplementare 

12) Unghiuri cu laturile  respectiv perpendiculare –  laturile primului unghi sunt perpendiculare pe laturile celui de‐al doilea unghi 

,AO EC BO FC⊥ ⊥   rezultă  că 

AOB  şi  ECF sunt unghiuri cu laturile  respectiv  perpendiculare, dar şi  AOB  şi  

 

 

ECD sunt unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare paralele  

Obs.: unghiurile cu  laturile  respectiv perpendiculare  sunt congreunte  sau  suplementare. Dacă ambele unghiuri sunt ascuțite sau ambele unghiuri sunt obtuze, atunci acele unghiuri sunt congruente, iar dacă unul  e  obtuz  iar  celălalt  ascuțit  atunci  acele  unghiuri  sunt  suplementare,  deci  AOB ECF≡   şi  

180AOB ECD+ = ° , adică  AOB  şi  ECD  sunt suplementare 

19  

Capitolul VII 

CONGRUENȚA 

TRIUNGHIURILOR (7 ore) 

 

1) Triunghiul – este format din unirea a trei puncte  necoliniare. 

Se notează  ABCΔ . 

Obs.1: laturile triunghiului sunt 

,  

unghiurile sunt  ,ABC B=  

   

 

 

Obs.2: perimetrul unui triunghi este format din suma laturilor sale, deci  ABCP a b cΔ = + + , iar 

semiperimetrul este   

Obs.3: Pentru ca 3 numere reale  , ,a b c  să fie laturile unui triunghi, trebuie ca ele să verifice 

inegalitățile:  , ,a b c b c a c a b< + < + < + (numite inegalitățile triunghiului) 

Obs.4:suma unghiurilor unui triunghi este 180°  

Obs.5: în orice triunghi, inegalitatea dintre unghiuri este echivalentă cu inegalitatea dintre laturi, adică 

( ) ( ) ( )a b c m A m B m C< < ⇔ < <  

2) Clasificarea triunghiului după măsura unghiurilor sale a) ABCΔ este ascuțitunghi dacă  ABCΔ  are toate unghiurile  

sale sunt ascuțite, adică au măsura mai mică decât 90°  

b) ABCΔ este dreptunghic dacă  ABCΔ  are un unghi cu  măsura de 90°  

c) ABCΔ este obtuzunghic dacă  ABCΔ  are un unghi cu măsura mai mare decât 90°  3)  Clasificarea triunghiului după măsura laturilor sale: a) ABCΔ este oarecare(scalen)dacă  ABCΔ  dacă laturile au  

lungime oarecare 

b) ABCΔ este isoscel dacă  ABCΔ  are 2 laturi congruente c) ABCΔ este echilateral dacă  ABCΔ  toate laturile  

congruente între ele. 

[ ] [ ] [ ], ,AB c BC a CA b= = =

,BCA C CAB A= =

2ABCa b cpΔ

+ +=

20  

Obs.: orice triunghi echilateral este triunghi isoscel 

4) Congruența triunghiurilor – două triunghiuri sunt  congruente dacă au toate laturile şi toate unghiurile respectiv congruente, adică 

, , ,ABC MNP AB MN BC NP CA PMΔ ≡ Δ ⇔ ≡ ≡ ≡ .  

Pentru a nu arăta întotdeauna 6 congruențe, sunt criteriile (cazurile) de congruență: 

5) Cazuri de congruență  a) ( L U L ) dacă două triunghiuri au două laturi respectiv congruente şi unghiurile dintre ele congruente, atunci cele două triunghiuri sunt congruente  

 b) ( U L U ) dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente şi laturile dintre ele congruente, atunci cele două triunghiuri sunt congruente 

 c) ( L L L ) dacă două triunghiuri au toate trei laturile respectiv congruente, atunci cele două triunghiuri sunt congruente 

Obs: Dacă   , ,AB MN B N C P≡ ≡ ≡ avem situația (U U L) , acesta nu e caz, dar folosind suma 

unghiurilor se aduce la cazul  

(U L U). 

, ,A M B N C P≡ ≡ ≡