CAPITOLO 8 - Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

Fisica moderna

CAPITOLO 8

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica Sperimentale Prof. G. Iaselli

1

Fisica moderna Effetto fotoelettrico


2

Colpendo con la luce la superficie di un metallo si può avere emissione di elettroni.

L’energia cinetica con cui vengono emessi gli elettroni non dipende dall'intensità della radiazione ma dipende linearmente dalla frequenza. Aumentando l'intensità della luce si aumenta il numero di elettroni emessi ma non la loro energia cinetica. Esiste una frequenza di soglia f0 al di sotto della quale non si osserva emissione di elettroni. Il ritardo osservabile tra l’arrivo dell’onda e l e t t r o m a g n e t i c a e l ’ e m i s s i o n e dell’elettrone è inferiore a 10-9 s.



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Si misura corrente anche con potenziali negativi perché gli elettroni vengono emessi con una certa energia cinetica Ek. Il potenziale a cui la corrente si arresta prende il nome di “potenziale di arresto V0”.

Alla frequenza di soglia

Ek, Max = e V0



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Inoltre per un dato materiale il valore del potenziale di arresto varia linearmente con la frequenza

Frequenza di soglia

f0 f

L’energia cinetica massima degli elettroni emessi dipende dalla frequenza della radiazione



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Il modello di Einstein

La radiazione elettromagnetica è composta da quanti di energia detti fotoni, ciascuno di energia E che viaggiano alla velocità c

E = hf h = 6.62 ⋅10−34 JsCostante di Plank

Nobel Prize 1905

Detto We il lavoro necessario per estrarre l’elettrone dal metallo, si può scrivere

Ek,Max = hf −We eV0 = hf −We

V0 =1e(hf −We ) hf ≥We f = We

h frequenza di soglia



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E = hf h = 6.62 ⋅10−34 JsCostante di Plank

f = We

h frequenza di soglia

Gli elettroni vengono emessi se il fotone ha una energia uguale o maggiore all’energia di estrazione

f

Fisica moderna


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Unità of energia usata in Fisica moderna

-e

1 Volt 1 electron-volt = energia trasferita ad un elettrone accelerato da una d.d.p di 1 volt

1 electron-volt = 1 eV = (1.6.10-19C) x (1V)= 1.6.10-19 J

Per un fotone con λ= 500 nm

E = hf = hcλ

=6.634 ⋅10−34 Js( ) × 3⋅108m / s( )

500 ⋅10−9m= 4 ⋅10−19 J

Oppure E = (4.10−19 J ) × (1 eV /1.602.10−19 J ) = 2.5 eV

Effetto fotoelettrico

Fisica moderna


8

La radiazione è composta di fotoni

I = EΣΔt

= (# fotoni) hfΣΔt Potenza = (# fotoni) hf

Δt

L’energia della radiazione è quantizzata e dipende dalla frequenza L’intensità del fascio è data dal numero di fotoni al secondo

Effetto fotoelettrico



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Fotodiodi Sono dispositivi a semiconduttore a giunzione p-n. L’energia trasportata dalla radiazione elettromagnetica, assorbita nella regione di svuotamento la generazione di coppie elettrone/lacuna, che contribuiscono alla formazione di una corrente elettrica. La caratteristica tensione corrente di un fotodiodo è uguale a quella di un diodo, con l’aggiunta di un termine di corrente fotogenerata Iph

ID = I0 (eVDVT −1)− I ph

Applicazioni in molti campi della sensoristica



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I0 è la corrente di leakage del diodo, VD la tensione ai capi del dispositivo e VT la tensione termica. Si osservi che, in condizioni di polarizzazione inversa (VD<0), il primo termine dell’espressione si riduce a I0, mentre per VD=0, ID=-Iph.

La cor ren te fo togenera ta Iph r i su l ta proporzionale alla potenza luminosa incidente, ovvero al flusso di fotoni che colpiscono il dispositivo:

I ph =ηePhf

, Phf

= (numero fotoni) / sec

η efficienza quantica



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Fotocellule

Fotovoltaico

+ -

Altre applicazioni



12

-

Il sensore è formato da milioni di minuscoli fotodiodi (pixel) i quali a c c u m u l a n o u n a c a r i c a proporzionale all'intensità luminosa di origine.

I fotodiodi pur essendo sensibili alla luce, non sono sensibili al colore. Per sopperire a questo problema sulla superficie del sensore viene applicato un filtro che ha il compito di far passare solo determinate frequenze di luce, scomponendo i tre colori primari: il rosso, il verde e il blu. Questo particolare filtro viene chiamato CFA (color filter array) o filtro RGB.

CCD ( Charge Coupled Device)

Fisica moderna Effetto Compton


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La radiazione elettromagnetica è composta da quanti di energia detti fotoni, ciascuno di energia E che viaggiano alla velocità c. Ciascun fotone trasporta anche una quantità di moto p = E/c

Prad =Ic

Pressione di radiazione

FΣ= ΔpΣΔt

= Ic

Δp = IΣΔtc

= Ec

p = Ec

= hλ

E = hf

Fenomeni di urto fra fotoni ed elettroni

Se il fotone si comporta come una particella, darà anche luogo a fenomeni di urto

Poiché il fotone scatterato non può cambiare velocità e poiché la sua massa è nulla, può perdere energia soltanto cambiando frequenza.



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In teoria della relatività E = p2c2 +m2c4

Primo dell’urto Dopo l’urto

Fotone

Elettrone

E0, f = hv = hcλ0

p0, f =hλ0ux

E0,e = mc2 po,e = 0

E1, f = hcλ1

p1, f =hλ1

E2,e p2,e

p0, f c +mc2 = p1, f c + p2,e

2 c2 +m2c4Conservazione dell’energia

p2,e2 = p0, f − p1,e( )2 + 2 p0, f − p1,e( )mc



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Conservazione della quantità di moto

Eo, f = hf0

p2,e2 = p0, f

2 + p1, f2 − 2p0, f p1,e cosθ

!p2,e =!p0, f −

!p1,e

p2,e2 = p0, f − p1,e( )2 + 2 p0, f − p1,e( )mc

p2,e2 = p0, f

2 + p1, f2 − 2p0, f p1,e cosθ

p0, f − p1, f =p0, f p1, fmc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1− cosθ( )

( )θλλ cos101 −=−mch

p0, f = hλ 0

p = hλ 1



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( )θλλ cos101 −=−mch

Un fascio di raggi x, con energia dei singoli fotoni dell’ordine di 20 keV, veniva inviato su un bersaglio di grafite e si misuravano a diversi angoli l’intensità e la lunghezza d’onda dei raggi X diffusi. Compton scoprì che i raggi X diffusi ad angolo diverso da zero rispetto alla direzione incidente avevano lunghezza d’onda maggiore, tanto maggiore quanto più grande era l’angolo di diffusione.

Prima Dopo

Fisica moderna Il dualismo onda corpuscolo


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Effettuiamo un esperimento di interferenza con un fascio di bassissima intensità in maniera da avere un singolo fotone alla volta. Vista la natura corpuscolare del fotone ci aspetteremmo …..

100 sec exposure

… invece si forma un patter di interferenza

Il fotone ha anche un comportamento ondulatorio. Il punto di arrivo di un singolo fo tone su l l o s che rmo è de t e rmina to probabilisticamente secondo il pattern di in intensità di una figura di diffrazione.

Fisica moderna Onde di materia


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Si forma una figura di diffrazione

Un fascio di elettroni da 54 eV viene indirizzato su un cristallo di nickel

Davisson

Nobel Prize 1937

Esperimento di Davisson-Germer



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de Broglie postula che ad ogni particella di quantità di moto p sia associata un’onda con lunghezza chiamata “lunghezza d’onda di de Broglie”

λ = hp

Nobel prize 1929

Ogni particella presenta sia aspetti ondulatori che aspetti corpuscolari. Ad esempio ad un pallone di massa m = 0.5 kg e velocità v = 30 m/s può essere associata un’onda

λ = hp= hmv

= 5.5 ⋅10−26 nm



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Elettrone mc2 ~ 0.5 MeV Protone mc2 ~ 940 MeV Neutrone mc2 ~ 940 MeV

In generale per una particella di massa m e quantità di moto p

Ekinetic = p2

2m

p = 2mEkinetic

λ = hp

= h2mEkinetic

= hc2mc2Ekinetic

Massa a riposo

Per un elettrone con EK = 25 eV

λ = 1240 eV ⋅nm2 × 0.5 MeV

1Ekinetic

= 0.25 nm



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λ = 1240 eV ⋅nm2 × 0.5 MeV

1Ekinetic

= 0.25 nm

•  Table salt (NaCl = Sodium Chloride) •  Very common “cubic” structure. •  Na and Cl atoms alternate in a regular

pattern •  Typical spacings ~ 0.3 nm.

Spaziatura tipica degli atomi del cristallo

Elettroni da 100 eV, λ = 0.12 .10-9 m Dimensioni di cristalli ed atomi Elettroni da 10 GeV, λ = 3 .10-15 m Dimensioni del nucleo Protoni da 100 GeV, λ = 0.3 .10-15 m Dimensioni del protone

Fisica moderna Il microscopio elettronico


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Microscopio elettronico a trasmissione (TEM) Elettroni da100 kV passano attraverso uno spessore ridotto del campione. Può ingrandire fino a 106 con una risoluzione of 0.2 nm.

Microscopio elettronico a scansione (SEM ) Un fascio di elettroni colpisce il campione che diffonde elet troni secondari . Fornisce un minor ingrandimento e minor potere risolutivo del TEM, ma permette una visione tridimensionale



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Ad ogni particella può essere associato un pacchetto di onde

L’onda si estende da -∞ a +∞….… dove è la particella?

x

λ = hp

440 Hz + 439 Hz

440 Hz + 439 Hz + 438 Hz

440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz

Analogia con le onde sonore: sovrapponendo più onde si forma un pacchetto



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Similmente, ad ogni particella può essere associato un pacchetto di onde

Δk ⋅ Δx = 2π, Δω ⋅ Δt = 2π

-8

-4

0

4

8

-15 -10 -5 0 5 10 15J

Δx

Dall’analisi di Fourier

Δx ⋅ Δpx ~ ! / 2, Δω ⋅ Δt ~ ! / 2 ! = h / 2π (h tagliato)

Principio di indeterminazione

Fisica moderna Principio di indeterminazione


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Δx ⋅ Δpx ~ ! / 2, Δω ⋅ Δt ~ ! / 2 Nobel Prize 1932

Principio di indeterminazione di Heisemberg

E’ impossibile determinare simultaneamente con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella

L’osservazione e la misura della posizione (o della quantità di moto) di un elettrone richiedono l’uso di almeno un fotone. Durante la misura l’elettrone viene disturbato.

Fisica moderna Principio di indeterminazione


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Inizialmente l’elettrone è a riposo ad x= 0 Per l’osservazione inviamo un fotone con quantità di moto p0=h/λ0

Solo fotoni che dopo l’urto acquistano una quantità di moto lungo x al massimo di +/-hsenθ/λ0 sono raccolti dallo strumento di misura Dopo l’urto con il fotone, l’elettrone avrà una incertezza sulla quantità di moto Δpx = 2hsenθ/λ0

A causa della figura d diffrazione, sullo schermo l’arrivo del fotone viene registrato con una precisione Δx = λ0/2senθ

Δx ⋅ Δpx ~ h

Fisica moderna Funzione d’onda


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Nella fisica quantistica i concetti di traiettoria, moto e quindi posizione e velocità, perdono sostanza, in virtù del principio di indeterminazione.

Si usa un nuovo formalismo che consenta di ottenere informazioni sull’onda di de Broglie associata al sistema fisico. Tale onda permette di calcolare l’ampiezza di probabilità delle grandezze fisiche di interesse.

Funzione d’onda di un sistema

ψψ ∗ψ = ψ 2

Si introduce la funzione d’onda complessa

La quantità rappresenta la probabilità per unità di

volume di trovare la particella ad un dato time

Ad esempio, in una dimensione, la probabilità P(x) che una particella si trovi in un intervallo dx è

dP(x) = ψ (x, t) 2 dx



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Probabilità che la particella si trovi in un intervallo (a, b) è:

P(x) = ψ (x, t) 2 dxa

b

∫Ed ovviamente deve essere

P(x) = ψ (x, t) 2−∞

+∞

∫ =1

Per una particella libera (e quindi con la posizione x non determinata):

λ = hp⇒ k = p

!, ω = E

! ψ (x, t) = Aei(kx−ωt )

x

λ = hp



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Una particella vincolata in una regione Δx è rappresentata dalla sovrapposizione di onde con differenti numeri d’onda (pacchetto)

Utilizzando l’analisi di Fourier si ottiene

Δx

ψ (x, t) = a(k)−∞

+∞

∫ ei(kx−ωt )dk

E la velocita della particella corrisponde alla velocità di gruppo del pacchetto

vg =dωdk

Per particelle non relativistiche

k0 = k

k = p!

, ω = E!

dk = dp!

, dω = dE!

dωdk

= dEdp

= v



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L’esperimento delle due fenditure rivisto in meccanica quantistica

Fenditura singola Fenditura doppia ψ 1

2

ψ 22

ψ 12 + ψ 2

2

ψ 1 +ψ 22

ψ 1 +ψ 22 = ψ 1

2 + ψ 22 + 2ψ 1 ψ 2 cosΦ

Termine di interferenza



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Particella in una scatola Essendo descritta da un’onda, possiamo usare come analogia il formalismo delle onde su corda

λ0 = 2L

λ1 = L

λ2 =23L

L

p0 =hλ 0

= h2L

p1 =hλ 1

= hL= 2p0

p2 =hλ 2

= 3h2L

= 3p0

p = np0In generale

E = p2

2m= (np0 )

2

2m= n2E0

E può assumere solo determinati valori



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Posizione della particella nella scatola Bisogna calcolare

P(x)dx = ψ (x, t) 2 dx

ψ = Asen(nπ xL) ψ 2 = A2sen2 (nπ x

L)

Deve essere

Da cui A = 2L



33

Dal capitolo 3

ψ = Asen(nπ xL)

Fisica moderna Equazione di Schrodinger


34

Nobel Prize 1932

− !2

2md 2ψdx2

+Uψ = EψU energia potenziale della particella

E energia totale ella particella

Possiamo immaginare la scatola come una “buca do potenziale” di altezza infinita all’interno della quale la particela con U= 0 è confinata

− !2

2md 2ψdx2

= Eψ d 2ψdx2

= − 2mE!2

ψ

ω 2 = 2mE!2

Se poniamo d 2ψdx2

+ω 2ψ = 0 Equazione del moto armonico



35

d 2ψdx2

+ω 2ψ = 0

Soluzione ψ = Asen(ω x)

Poiché ψ (L) = Asen(ωL) = 0ωL = nπ

ω 2 = 2mE!2

Si ottiene

En =h2

8mL2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n2

ψ (x) = Asen(nπ xL)

Quantizzazione dell’energia



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Consideriamo ora una “buca di potenziale” di altezza finita U al cui interno è confinata una particella con energia E

Per la meccanica quantistica esiste una certa probabilità non nulla che la particella si trovi nelle regioni I o III

Regione II d 2ψdx2

= − 2mE!2

ψ

Regione I e III d 2ψdx2

= 2m(U − E)!2

ψ

ψ = C eiω x + e−iω x( )

ψ = AeCx + Be−Cx

ω 2

C2



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Regione I ψ = AeCx

Regione I ψ = Be−Cx

Esiste una probabilità finita di trovare la particella anche nelle regioni II e III

Fisica moderna Effetto Tunnel


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In meccanica quantistica una particella ha una certa probabilità di superare una ostacolo anche se la sua energia è minore dell’energia potenziale della barriera

Una parte dell’onda associata alla particella viene riflessa, ma una parte viene trasmessa al di la della barriera

Coefficiente di trasmissione T

U

L

T ≈ e−2CL C2 = 2m(U − E)!2



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Microscopio ad effetto tunnel Scanning Tunneling Microscope (STM)

Il microscopio ad effetto tunnel permette di ottenere immagini di superfici solide con risoluzione altissima dell'ordine di grandezza di diametri atomici (0.2 nm). Una punta molto sottile si avvicina alla superficie del solido conduttore ad una distanza di circa un nanometro (10-9 m).

Attraverso la barriera di potenziale che si crea alcuni elettroni possono fare effetto tunnel producendo una corrente il cui segnale viene elaborato per formare un’immagine



40

Diodi ad effetto tunnel Sviluppato nel 1958 da Leona Esaki presso Sony. I diodi ad effetto tunnel sono progettat i con una giunzione p-n fortemente drogata di soli 10 nm di larghezza. A basse tensioni, gli stati p e n sono allineati, consentendo agli elettroni di attraversare lo spazio. Con l'aumentare della tensione, questi stati diventano più disallineati e il flusso di elettroni è inferiore. Questa regione di resistenza negativa consente al diodo di funzionare a frequenze molto elevate, anche nell'intervallo di Gigahertz.



41

Tunneling Field Effect Transistor ( TFET)



42

https://www.youtube.com/watch?v=wwgQVZju1ZM

Effetto Tunnel in biologia

Biologia quantistica Utilizzo dell’effetto tunnel per spiegare mutazioni del DNA

Fisica moderna La struttura dell’atomo


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Esperimento di Rutherford Particelle α vengono mandate contro un sottile foglio di oro

Si assume una forza columbiana repulsiva fra la particella α ed il nucleo

F = 9 ⋅109 (2e)(Ze)r2

Il numero Δn di particelle α ad un angolo φ per unità di tempo è

Δn ∝ 1sen4 (ϕ / 2)

ϕ

Fisica moderna L’atomo di Bohr


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Gli elettroni si muovono su orbite circolari sotto l’influenza della forca elettrica di attrazione. Solo alcune orbite sono possibili. In questi stati stazionari, ad energia fissata, l’elettrone non emette radiazione anche se accelerato. Quando un elettrone passa da uno stato stazionario Ei ad un altro di energia più bassa Ef viene emessa una radiazione di frequenza Le orbite permesse sono quelle per cui il momento angolare dell’elettone vale

Ei − Ef = hf

mevr = n!

Fisica moderna La struttura dell’atomo


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Possiamo immaginare che le orbite consentite siano quelle per cui la lunghezza della circonferenza è uguale ad un multiplo intere della lunghezza l’onda

nλ = 2πr n hp= 2πr

mevr = n!

Quantizzazione del momento angolare



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In un atomo di idrogeno, l’energia totale e la velocità dell’elettrone sono date da (vedi corso di Fisica II):

E = − 14πε0

e2

2rv2 = 1

4πε0e2

mer

Ricordando che mevr = n!Otteniamo i raggi delle possibili orbite

rn = 4πε0n2!2

mee2 n = 1, 2, 4, ...

La prima orbita, chiamata raggio di Bohr, si ha per

r1 == a0 = 4πε0!2

mee2 = 0.053 nm

Possiamo anche scrivere rn == n2a0



47

E = − 14πε0

e2

2rrn == n

2a0

E = − 14πε0

e2

2a01n2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E = −13.6 eVn2

Possiamo adesso calcolare la frequenza della radiazione emessa quando l’elettrone passa da un orbita esterna ad una più interna

Si ottengono i livelli energetici

Da

f =Ei − Ef

h1λ= 1cEi − Ef

h

1λ= 14πε0

e2

2a0hc1nf2 −

1n12

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

RH (costante di Rydberg)



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Zero energy

n=1

n=2

n=3 n=4

E1 = −13.612 eV

E2 = −13.622 eV

E3 = −13.632 eV

n=1

n=2

n=3 n=4

E1 = −13.612 eV

E2 = −13.622 eV

E3 = −13.632 eV

Photon absorbed hf=E2-E1

Photon emitted hf=E2-E1



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mvr = n!

CAPITOLO 8 - Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

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