27

Capítulo IV

Teorías de los recipientes

Los contenedores a presión generalmente tienen formas de esferas, cilindros, conos,

elipsoides, toricónicos, toriesféricos, o compuestos de éstos. Cuando el espesor del

contenedor es pequeño en comparación con el radio (Rm/t>10), entonces se dice que el

contenedor está compuesto por membranas, y los esfuerzos asociados resultantes de la

presión se llaman esfuerzos membranales.

Los esfuerzos membranales son el promedio de esfuerzos provocados, ya sea por

tensión o compresión. Estos esfuerzos membranales se asumen como uniformes a la pared

del contenedor y con una aplicación tangente a la superficie. La membrana o pared se asume

que no ofrece resistencia a la flexión. Sin embargo, cuando la pared opone resistencia a la

flexión, entonces se provocan esfuerzos de flexión además de los esfuerzos membranales,

esto de acuerdo a Moss [7].

En contenedores a presión interna de complicada forma geométrica, los conceptos de

esfuerzos membranales no son suficientes para obtener el verdadero valor del esfuerzo sobre

las paredes. Muchos valores influyen como las tapas del contenedor, los soportes, las

variaciones en espesor, toberas (nozzles), uniones, flexión general causada por viento, peso,

y sismicidad. Estos factores provocan variación en la distribución de los esfuerzos sobre las

paredes del contenedor.

28

En cualquier contenedor a presión sujeto a presión interna o externa, los esfuerzos

están presentes sobre las capas de la pared. El estado de esfuerzo es triaxial y los tres

esfuerzos principales son:

sf = Esfuerzo longitudinal/meridional

sq = Esfuerzo circunferencial/latitudinal

sr = Esfuerzo radial

Figura 4.1

29

En general existen 10 diferentes esfuerzos internos resultantes:

Nf, Nq, Nfq, Nqf = Fuerzas membranales actuando en el plano de la

superficie de la cáscara

Qf, Qq = Cortante transversal

Mf, Mq = Momentos flectores

Mfq, Mqf = Momentos torsores

Teoría Membranal. Esta teoría resuelve problemas donde los esfuerzos internos son debido a

esfuerzos membranales resultantes Nf, Nq, Nfq, Nqf. Los esfuerzos cortantes resultantes (Nfq,

Nqf) para cargas axio-simétricas como presión interna, son iguales a cero, y con esto se

simplifica la solución. De tal forma, que los esfuerzos membranales pueden obtenerse de las

ecuaciones de estática de equilibrio y dar los esfuerzos resultantes en la concha (shell):

sf = Nf/t Esfuerzo longitudinal

sq = Nq/t Esfuerzo tangencial

4.1 Análisis de esfuerzos membranales en elementos de concha-delgada

(thin-shell)

Para estos casos particulares, se hace énfasis en que existen los esfuerzos por flexión

y las fuerzas cortantes transversales. Sin embargo, las magnitudes de estos s son tan pequeñas

que son ignoradas. Por tanto, solo se desconocen tres esfuerzos, Nf, Nq, Nfq, los cuales

pueden ser determinados con las ecuaciones para equilibrio estático.

De acuerdo a Bednar [1], las principales condiciones para el análisis membranales

son las siguientes:

30

1. Todas las cargas externas deben ser aplicadas de tal forma que las reacciones de los

esfuerzos internos sean producidas en el plano de la concha solamente. En la práctica,

todas las conchas delgadas (thin-shells) pueden absorber cierta carga de flexión, sin

embargo, estos esfuerzos por flexión son secundarios y por tanto se pueden ignorar.

Si bajo alguna carga concentrada o condiciones límite de carga, los esfuerzos por

flexión llegaran a resultar con valores elevados, entonces se tendría que hacer un

análisis más detallado así como un reforzamiento, de ser necesario.

2. Cualquier reacción de frontera, como son los soportes, debe ser localizada en el plano

tangente meridional, ya que de otra forma las fuerzas cortantes transversales y los

esfuerzos por flexión se ubicaran en la región de frontera de la concha.

3. La concha, incluyendo la región de frontera deben ser libres a deflexionarse bajo la

acción de los esfuerzos resultantes. Cualquier restricción provoca flexión y esfuerzos

cortantes.

4. El cambio en la curva meridional lento y sin “cusps” o cambios de forma. De otra

manera, se incluyen tanto flexión como esfuerzos cortantes en tales discontinuidades

geométricas.

5. Los esfuerzos membranales resultantes son asumidos uniformemente distribuidos a

través de la pared.

6. El esfuerzo radial sr es tan pequeño que se puede ignorar.

7. La superficie media de la concha se asume continua desde una sección de la concha

hasta otra a través de cualquier discontinuidad.

8. Las cargas son tales que las deflexiones de la concha son pequeñas (dR<t/2) y se

encuentran en el rango elástico.

31

4.1.1 Esfuerzos membranales producidos por presión interna

Lo más importante en un contenedor de concha delgada sujeto a presión interna, es

que la presión interna se comporta como una carga axio-simétrica. La presión interna puede

ser producida, ya sea por líquidos o debido a gases, y variando alrededor del eje de rotación

del contenedor.

Debido a la presión y la axio-simetría no existen esfuerzos tangenciales cortantes

(Nfq=Nqf=0). Los esfuerzos principales (esfuerzo longitudinal y el esfuerzo transversal) se

mantienen constantes a través del elemento. La primera ecuación de equilibro del elemento

en la dirección normal queda así (ver figura 4.2):

P[2Rtsin(dq/2)][ 2RLsin(df/2)] =

st ds1 t sin(dq/2)+ sL ds2 t sin(df/2) (4.1)

Substituyendo sin(dq/2) = (ds2/2)/ Rt ,y sin(df/2) = (ds1/2)/ RL

entonces se tiene:

P ds1 ds2, = (st/Rt )ds1 ds2 t + (sL/RL) ds1 ds2 t

Figura 4.2

32

L

L

t

t

RRt

P ss+= (4.2)

donde:

P = Presión interna

t = espesor de la cascára

Rt ,RL = radios de curvatura (tangencial, longitudinal)

st ,sL = Esfuerzos (tangencial, longitudinal)

La segunda ecuación de equilibrio para resolver st ,sL , se puede obtener de la suma

de esfuerzos y fuerzas en dirección del eje de rotación.

2p R (t sL sin f) = P pR2 (4.3)

†

s L =P * R

2t sinf=

P * Rt

2t (4.4)

Substituyendo en la primera ecuación de equilibrio:

( ) ˙˚

˘ÍÎ

È-=

L

ttt R

RRP

21*2ps (4.5)

Si et = (1/E)( s t - u sL) es la elongación en dirección tangencial, entonces el

crecimiento radial dR puede ser derivada así:

2p (R +dR) = 2 pR + 2 pR et (4.6)

)(* Ltt E

ReRR ussd -˜

¯

ˆÁË

Ê== (4.7)

donde E es el módulo de elasticidad.

33

La tercera ecuación requerida para el equilibrio estático del estado biaxial de esfuerzo

es automáticamente satisfecha, ya que la carga y los esfuerzos en dirección tangencial están

definidos como simétricos con respecto al eje de rotación.

4.1.2 Conchas cilíndricas (cylindrical shells)

Bajo presión internaLos de concha cilíndrica son los más usados debido a su geometría en el diseño de

contenedores a presión.

El radio de curvatura meridional tiende a infinito (RL = • ) y el otro radio de curvatura

es igual a R =Rt. Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio para los esfuerzos quedan así:

t

RPt

*=s (4.8)

Dado que RL tiende a infinito

t

RPL 2

*=s (4.9)

El crecimiento radial queda:

dR = Ret = (R/E)( st - usL)

˜¯

ˆÁË

Ê-=

21

*

* 2 ud

tE

RPR (4.10)

El esfuerzo tangencial puede ser expresado en términos del radio interno

( )t

tRP

t

RP it

5.0* +==s (4.11)

34

4.1.3 Conchas esféricas (spherical shells) y tapas hemisféricas

(hemispherical heads)

Bajo presión interna

Cuando el diseño de presión exige de un contenedor que resista altas presiones,

entonces se usa un contenedor esférico.

Estos contenedores son más difíciles de fabricar que un contenedor cilíndrico; sin embargo,

se necesita la mitad de pared de un contenedor cilindro para que un contenedor esférico

resista la misma presión.

Se tiene que

sL = P R/2t

Pero

sL/R+ st/R =P/t

Entonces

st = P R/2t = sL (4.12)

Tomando en cuenta los códigos basados en radio interno y eficiencia de unión S:

t =P Ri(2SE-0.2P) (4.13)

donde 0.2P es el factor de corrección. El crecimiento radial es

˙˚

˘ÍÎ

Ș¯

ˆÁË

Ê-

=˜¯

ˆÁË

Ê-=

21

* 2

u

ussd

tE

RP

EERR Lt (4.14)

35

4.1.4 Conchas cónicas (conical shells)

Bajo presión interna

Una cabeza cónica es generada por la

rotación de una línea recta que intercepta el

eje de la rotación en ángulo que es el medio

ángulo del ápice del cono formado. Si le es

aplicada una presión interna a la cabeza o tapa

cónica, el esfuerzo principal st (Ver Figura

4.3) puede ser determinado así:

sL/ • + st/R =P/t (4.15) Figura 4.3

sL = P R/t = st = P R/t =P R/t cos a (4.16)

La ecuación de equilibrio en dirección vertical:

2p R sL t cos a = P pR2

y a

scos2

*

t

RPL = (4.17)

4.1.5 Conchas toroidales (toroidal shells)

Bajo presión interna

Un toroide es desarrollado por la rotación de una curva cerrada, generalmente un

círculo sobre un eje pasando por fuera de la curva generadora. La forma que adopta un

toroide es parecida a la de una dona.

36

Para encontrar los esfuerzos

principales en una sección toroidal se

aisla una sección en forma de anillo y

la condición de equilibrio entre

presión interna y esfuerzo membranal

en la dirección vertical queda así:

p (R2-Ro2)P = (sL t sin f)2 pR

(4.18)

sL = P(R2-Ro2)/2 t R sin f = (Pr/t)[(R-Ro)P/2R (4.19)

En el punto b (ver Figura 4.4) donde R = Ro

t

rPL

*=s (4.20)

Cabe señalar, que el significado de los esfuerzos longitudinal y transversal en un

toroide son lo contrario que en uno de cilindro.

De la ecuación:

P/t = (st/(R sin f) + (sL/r) (4.21)

El esfuerzo st puede ser determinado

st = P (R-Ro)/2 sin f

t

rPt 2

*=s (4.22)

Figura 4.4

37

4.2 Teoría de flexión

Como se podrá entender, los contenedores a presión consisten de diferentes geometrías,

diferentes espesores de capa o concha, o diferentes materiales. Por lo tanto, si cada

componente de la concha o capa tienen permitido expandirse libremente como secciones

separadas bajo presión interna, entonces cada elemento de la capa o concha tendría un

desplazamiento radial y una rotación de la tangente meridional que diferirá del

desplazamiento radial y la rotación del elemento de capa o concha adyacente. Sin

embargo, los elementos de la concha o capa forman una estructura continua y deben

flexionarse y girar juntos, pero en las uniones estas diferencias de desplazamientos

radiales y rotaciones provocan deformaciones de la concha local y esfuerzos requeridos

para mantener la continuidad física de la concha o capa. A los esfuerzos provocados por

la interacción de dos componentes de la concha o capa en su unión es a lo que se llama

esfuerzos por discontinuidad.

Para el cálculo de esfuerzos por discontinuidad, se aplica el método de fuerza, el cual

recibe su nombre debido a que utiliza fuerzas y momentos en los bordes como cantidades

desconocidas. Este método utiliza, para resolver estos problemas, momentos locales y

esfuerzos cortantes en los bordes o límites de los componentes en las zonas de unión, y es

cuando la teoría membranal resulta inefectiva, ya que ésta no incluye ningún momento a

través del espesor de la concha o capa ni utiliza algún tipo de cortante perpendicular en sus

ecuaciones básicas diferenciales.

38

sf = Nf/t +/- 6 Mf/t2 Esfuerzo longitudinal máximo

sq = Nq/t +/- 6 Mq/t2 Esfuerzo tangencial máximo

tf = Qf/t Esfuerzo cortante promedio

Los esfuerzos por discontinuidad no son tan necesarios cuando se tienen cargas

estáticas como con presión interna y material dúctil y se mantienen las cargas bajas por

diseño; sin embargo, se vuelven muy necesarias cuando se trata de cargas cíclicas. Los

esfuerzos por discontinuidad deben imponerse sobre los esfuerzos membranales en la

mayoría de las cargas como presión interna, peso del contenedor, viento o cargas por

terremotos, y esfuerzos termales. De este tipo de esfuerzos va a depender que se logren

mayores valores de esfuerzos permisibles, contenedores más grandes, así como contenedores

con capas o conchas más delgadas debido a materiales más resistentes.

A continuación se presenta la forma de obtener las fórmulas para este tipo de

esfuerzos, en el caso de contenedores de capa o concha cilíndricos [11].

Figura 4.5

D

Qo

D

Mo

tE

RPWo

*2*221

32

2

bbu

-+˜¯

ˆÁË

Ê -*

*= (4.23)

39

2*2*0

bbq

D

Qo

D

Moo +-= (4.24)

Ya que se han obtenido las fórmulas para la carcaza, se busca las fórmulas para la tapa.

Mediante superposición se obtiene:

Para el caso debido a la fuerza q se obtiene:

˜̃¯

ˆÁÁË

Ê-=

2

*1

tQo

RE

Wou

(4.25)

qo = 0 (4.26)

Para el caso de Presión se tiene:

Wo= 0 (4.27)

( )qu

oP R

D= -

+

* 3

28 1(4.28)

Donde ( )DE t

2

32

212 1=

-

*

u

Para el caso del Momento

Wo=0 (4.29)

( )qu

oMo R

D=

+

*

2 1(4.30)

Una vez que se obtuvieron las fórmulas tanto para la carcaza como para la tapa, se igualan las

fórmulas y se obtienen Wo y qo.

Figura 4.8

Figura 4.6

Figura 4.7

40

Wo(carcaza)=Wo(tapa)

D

Qo

D

Mo

tE

RP

*2*221

32

2

bbu

-+˜¯

ˆÁË

Ê -*

*=

˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê-

2

*1

t

QoR

E

u(4.31)

Y qo(carcaza)=qo(tapa)

( )2*2* bb D

Qo

D

Mo+- = ( )-

+

P R

D

* 3

28 1 u+ ( )

Mo R

D

*

2 1+ u(4.32)

De estas ecuaciones se van a obtener los esfuerzos principales, así como el espesor mínimo

necesario.

En la carcaza:

Mo s1 2

6=

Mo

ty

22

2

6

t

M=s donde M Mo2 = u * (4.33)

q Mo=0 para x=03***2

**

bt

RD

QotE= (4.34)

P s1 =P R

t

*s2 2

=P R

t

*

*(4.35)

t

RP

t

MoTOTAL

**621 +=

us Y

t

RP

t

MoTOTAL *2

**622 +=s (4.36)