CAPACITACION DOCENTE ONEM 2017

Prof. Erick Vásquez LlanosE-mail: viterick@gmail.com

Ejemplo 1º: Empezaremos con un breve ejemplo para

describir esta técnica. Un domingo por la mañana lo mandan

a comprar 10 piezas de pan a la tienda de Don Lalo. Don Lalo

vende francés, de piso, semas e integral. Si Don Lalo tiene al

menos 10 piezas de cada una, de cuántas maneras puede

comprar las quince piezas que le encargaron? Imagine que

usted compra 4 francés, 1 de piso, 5 semas y ningún

integral, gràficamente lo podemos representar como

−−−−|−|−−−−−|

es decir, la cantidad de líneas antes de la primera barrita simboliza el

número de francés que compró, la cantidad de líneas entre la primera y

la segunda barrita simboliza el número de piso que compró, la cantidad

de líneas entre la segunda y la tercera barrita simboliza el número de

semitas que compró y finalmente la cantidad de líneas después de la

tercera barrita simboliza el número de integrales que compró

Si usted no compra francés, compra 4 de piso, no compra

semas y compra 6 integrales, podemos representar la compra

como

|−−−−||−−−−−−

Ejemplo 2º: En una heladería hay helados de fresa, limón y

mango ¿Cuántas órdenes de 4 paletas existen? (Suponiendo

que la paletearía tiene al menos 4 paletas de cada sabor)

Necesitamos dos separadores para hacer dicho reparto, por

ejemplo 1 de fresa, 2 de limón y 1 de mango

Luego resolver el problema equivale a ubicar 2 separadores de 6

lugares posible: C(4 + 3 - 1 ; 3 - 1 ) = C(6; 2) = 15

En nuestra ejemplo Nº 01 tenemos n = 10; k = 3 , por lo tanto

C(10; 3) = 120

En nuestra ejemplo Nº 02 tenemos n = 4; k = 3 , por lo tanto

C(6; 2) = 15

El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet o principio de las casillas, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Aquí n = 10 y m = 9.

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

Ejemplo 1º: Usted pasea con su hermano menor que

ha llorado todo el día. Saliendo de una tienda ven una

máquina (como la de la figura) de dulces y para que

deje de llorar usted decide comprarle un dulce.

En la máquina hay dulces de 7 colores diferentes, pero su hermanito

no dejará de llorar si usted no se come un dulce del mismo color.

Cuántos dulces tendrá que sacar para que su hermanito deje de llorar?

Por el principio del palomar, los 7 colores representan los palomares y

8 dulces representan las palomas, por lo tanto es suficiente sacar 8

dulces.

Ejemplo 2º: Sea un cuadrado de diagonal 3 en el que marcamos al azar

10 puntos. Demostrar que siempre tenemos al menos dos puntos que

están a distancia no mayor que 1.

Dividimos el cuadrado en 9 cuadraditos de diagonal 1 (incluyendo sus

bordes):

Por el principio del palomar, los 9 cuadraditos representan los

palomares y 10 puntos representan las palomas, por lo tanto al menos

dos puntos estarán en un cuadrado de diagonal 1, luego su distancia no

será mayor que 1.

EJERCICIOS

1. Entre tres personas, ¿hay al menos dos del mismo sexo?

Solución: Si, pues por el Principio del Palomar tenemos n = 3; m = 2

2. Entre 13 personas, ¿hay al menos dos que nacieron el mismo mes?

Solución: Si, pues por el Principio del Palomar tenemos n = 13; m = 12

3. Nadie tiene más de 250.000 pelos en su cabeza. En Trujillo hay

300.000 habitantes. ¿Puede usted afirmar con certeza que hay dos

usuarios con el mismo número de pelos en su cabeza?

Solución: Si, pues por el Principio del Palomar tenemos n = 300.000;

m = 250.000

5. Si del subconjunto de números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

extraemos 6 números, con seguridad habrá dos que suman 11.

Solución: Si, pues dado los 5 subconjuntos {1; 10}; {2; 9}; {3; 8; {4; 7};

{5; 6} y por el Principio del Palomar tenemos m = 5 (subconjuntos);

n = 6 números a elegir, luego al menso dos de ellos pertenecerán a ujn

mismo conjunto, es decir su suma será 11.

7. ¿Pueden las casillas de un tablero de 3 x 3 llenarse con números del

conjunto { -1, 0, 1}, de manera que la suma de los números en cada

renglón, en cada columna y en cada diagonal sean diferentes?

Solución: No, pues los valores posibles para dicha suma son: {-3; -2;

-1; 0; 1; 2; 3} hay m = 7 valores diferentes y entre filas, columnas y

diagonales hay en total n = 8, por tanto una suma se tiene que repetir.

9. 61 personas están comparando sus móviles (cada persona tiene

exactamente un móvil). Hay móviles de 4 fabricantes distintos, y cada

fabricante produce 5 modelos distintos. Además, cada modelo puede

tener cámara y bluetooth, tener sólo bluetooth, o no tener ni bluetooth

ni cámara. ¿Podemos garantizar que hay dos móviles iguales?

Solución: Hay 4 posibilidades para fabricante, 5 para modelo, y 3 para

complementos, para un total de 60 posibles tipos distintos de móviles.

Si fuesen 60 móviles, pueden ser cada uno de un tipo, y no podemos

garantizar que hay dos iguales. Si hay 61 móviles, tiene que haber

necesariamente dos iguales, pues si fueran todos distintos, habría 61

tipos de móvil, pero sólo hay 60.

10. Con los vértices de una cuadrícula de 6 x 9 se forman 24

triángulos. Muestre que hay dos triángulos que tienen un vértice

común.

Sugerencia: ¿Cuántos vértices hay en la cuadricula? ¿cuantos

vértices necesitan los 24 triangulitos?

Solución:

11.. De entre cinco puntos del plano con coordenadas enteras hay dos

cuyo punto medio también tiene coordenadas enteros.

Solución:

Primero observemos que el punto medio ((a+c)/2 , (b+d)/2), de dos puntos

de coordenadas enteras (a,b) y (c,d), tendrá también coordenadas

enteras, si a y c son ambos pares o ambos impares; luego todos los

puntos de coordenadas enteras generarán cuatro clases que

representaremos así: (P, P), (P, I), (I, P), (I, I) (n = 4), por lo tanto al tomar

m = 5 puntos del plano, por el principio del Palomar al menos dos de

ellos tendrá un punto medio de coordenadas enteras.

El método de reducción al absurdo consiste

en lo siguiente: Queremos demostrar que la

proposición P es verdadera, para esto

asumimos que P es falsa, o equivalentemente

que No P es verdadera, si es que luego de

ciertas deducciones o luego de haber usado

algunos teoremas convenientemente llegamos

a una proposición de la forma “ Q y No Q” se

dirá que hemos llegado a una contradicción y

por lo tanto afirmar que No P es verdadera es

falso, luego, P necesariamente tiene que ser

verdadera.

Ejemplo 1º

Ejemplo 2º

1. Pongo más de 100 monedas en 2 bolsas. Demostrar que al menos

una de las bolsas tiene más de 50 monedas.

Solución:

Supongamos que ambas bolsas tenemos menos de 50 monedas,

digamos a y b respectivamente; (a < 50; b < 50) luego entre las dos

tendrán a + b < 50 + 50 = 100 (→←: Contradicción )

Por lo tanto al menos una de las bolsas tiene más de 50 monedas

EJERCICIOS

2. Se seleccionan 3 números enteros positivos que suman 19.

Demostrar que al menos uno de ellos es mayor o igual que 7.

3. Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces n es parSolución:Supongamos que n es impar, luego n, n2 y n3 son impares, por tanto su suma también. Luego m + m2 = m(1 + m) es impar →←: Contradicción ), pues el producto de dos consecutivos siempre es par.Luego n es par

5. Pruebe que b2 +b+1 = a2 no tiene soluciones enteras positivas.

Solución:

Supongamos que si hay solución, a y b enteros luego

b2 +b+1 = (b + 1)2 – b = a2 entonces (b + 1)2 – a2 = b equivale a

(b + 1 + a) (b + 1 – a) = b > (b + a + b) (→←: Contradicción )

Luego dicha ecuación no tiene soluciones enteras positivas

6. Sea abcabc un número natural de seis dígitos, demuestre que

m no es un cuadrado perfecto.

Solución:

7. Demostrar que no existen entero positivos x e y tales que x2 – y2 = 10.

Solución:

8. Hay 2014 números escritos alrededor de una circunferencia, uno

de ellos igual a 1, y los restantes 2013 iguales a 0. La única

operación permitida es elegir un número y modificar sus dos

vecinos, reemplazando 0 por 1 y 1 por 0. ¿Es posible llegar a

tener alrededor de la circunferencia todos los números iguales

a 1, usando varias veces la operación permitida?

Solución:

10. Demuestre que no es posible cubrir un tablero de 6x6 con fichas de la forma

Solución

COLORACIONES

La estrategia de colorear consiste en asociar un color a cada

elemento de un conjunto. Puede parecer extraño que se

hable del color de objetos matemáticos abstractos, como los

números, pero esto no es más que una forma de hablar, que

corresponde al concepto matemático de partición de un

conjunto en subconjuntos disjuntos.

Cada bloque de la partición agrupa a los elementos

“pintados de un mismo color”. Sin embargo hablar de

colores es más sugestivo y propicia una visualización de los

problemas que muchas veces contribuye a solucionarlos

Ejemplo 1º

A una cuadrícula de 8 × 8 cuadritos se le retiran dos cuadritos de esquinas opuestas. ¿Puede la cuadrícula ser cubierta con 31 dominós (fichas de 2 × 1 cuadritos)?

Solución: La respuesta es no. Un artificio para resolverlo es pensar a la cuadrícula coloreada como un tablero de ajedrez, esto es, los cuadritos coloreados en forma alternada con dos colores: blanco y negro

En el tablero completo (con 64 cuadritos), quedan coloreados 32 cuadritos de color blanco y los otros 32 de color negro. Al retirar dos esquinas opuestas, se están retirando dos cuadritos de un mismo color (en nuestro caso blancos), quedando 32 de color negro y 30 de color blanco.

Por otro lado, un dominó cubre dos cuadritos: uno de cada color. Las 31 fichas de dominó que se tienen, solamente pueden cubrir 31 cuadritos de color negro, por lo que siempre faltará por cubrir un cuadrito de dicho color. Esto muestra que es imposible cubrir la cuadrícula como se pide.

En un salón de clase están sentados los alumnos formando un arreglo rectangular de 5×7. La maestra que quiere hacer una dinámica, les pide a todos los alumnos que intercambien de lugar con un compañero vecino, moviéndose un lugar ya sea a la izquierda, a la derecha, adelante o atrás de su lugar. Pepito, que sabe de matemáticas, le dice a la maestra que esto es imposible ¿Tiene razón Pepito?

Ejemplo 2º

Solución: Sí, tiene razón. Una manera de convencerse es tomar una cuadrícula de 5×7, pensando que las casillas representan los lugares donde están los alumnos. Al colorear las casillas de blanco y negro como un tablero de ajedrez como se muestra en el dibujo,

observamos lo siguiente: cuando un alumno se cambie de lugar, ocupará un lugar de color diferente al que ocupaba. El que se encuentre en un lugar de color blanco pasará a uno de color negro y viceversa. Pero sucede que el tablero así coloreado, tiene 18 casillas de color negro y 17 de color blanco, por lo que los alumnos que están en casillas de color negro no podrán pasar todos a las casillas blancas

Ejemplo 3º

Un tablero 5x5 es cubierto con 8 fichas de la forma.

¿En cuantas posiciones distintas se puede ubicar la casilla in cubrir?

Solución: El tablero tiene 25 casillas y los 8 triminos cubren 24 casillas, entonces queda una sin cubrir. Coloreamos el tablero de la manera siguiente:

Cada trimino cubre a lo mas una casilla negra, por lo tanto una casilla se quedara sin cubrir. Demostraremos que las 9 casillas negras pueden quedarse sin cubrir

Caso 1

Caso 2

Caso 3

¿Se puede llenar un tablero de 10 × 10 cuadritos con 25 tetrómino I?

Ejemplo 4º

Solución 01: La clave está en colorear el tablero de la siguiente forma:

Cada ficha cubre 0 ó 2 cuadritos negros, luego las fichas (las 25)

cubren un número par de cuadritos negros, pero necesitamos cubrir

25. Luego no es posible cubrir el tablero como se pide.

Solución 02: Una segunda forma es considerar la coloración siguiente.

En esta coloración el número de cuadritos negros es menor al de cuadritos blancos y un tetraminó I cubre dos de cada color, luego nunca podrá cubrirse el tablero como se pide.

Solución 03: Una tercera forma es considerar la coloración siguiente.

Cada tetrominó I solamente puede cubrir un cuadro sombreado, por lo que serían necesarias 26 de tales piezas y solamente se dispone de 25.

EJERCICIOS

1. ¿Cuántas torres se pueden colocar como máximo en un tablero de 4

x 6 de tal modo que no haya una torre que amenace a otra?

Solución:

2. ¿Cuántas reinas se pueden colocar como máximo en un tablero de 4 x

4 de tal modo que no haya una reina que amenace a otra?

Solución

3. Mostrar cómo se puede colocar ocho alfiles en un tablero de 4 x 6 de

tal modo que no haya un alfil que amenace a otro.

Solución

4. ¿Cuántos caballos se pueden colocar como máximo en un

tablero de 4 x 4 de tal modo que no haya un caballo que amenace

a otro?

Solución

5. ¿Cuántas torres se pueden colocar como máximo en un tablero de 4

x 8 de tal modo que cada torre amenace a exactamente una de las otras

torres?

Solución

6. Colocar seis reinas en un tablero de 4 x 4 de tal modo que cada reina

amenace a exactamente dos de las otras reinas.

Solución

7. ¿Cuántos caballos del ajedrez se pueden colocar como máximo en un tablero de 8 x 8 de tal modo que cada caballo amenace a exactamente uno de los otros caballos

Solución

10. En un tablero de ajedrez pero de 5x5 cuadros, se tiene un caballo en el centro construye un esquema que recorra las 25 casillas sin repetir alguna

Solución