Cap3.1 Estd. (1).ppt
55
Capítulo 3 Variable Aleatoria
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Captulo 3
Variable Aleatoria -
Variable Aleatoria
Funcin del Espacio en los nmeros Reales
-
Rango de la Variable Aleatoria
Conjunto de los valores posibles
de la variable aleatoria.
-
Evento (X = a)
.
-
Clasificacin
de las Variables AleatoriasUna variable aleatoria es discreta,
si su rango es numerable.
Una variable aleatorias es continua,
si su rango no es numerable.
-
Ejemplo
Sea el espacio obtenido al lanzar una
moneda dos veces y observar si sale cara (c)
o sello (s) cada vez.
= {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.
Sea X el nmero de caras obtenidas.
RX = {0, 1, 2}.
X es discreta.
(X = 1) ={(c,s), (s,c)}.
-
Ejemplo
Sea el espacio obtenido al lanzar un dado
hasta que salga el As.
Sea X el nmero de lanzamientos.
RX = {1, 2, 3,} = Z+.
X es discreta.
-
Ejemplo
Sea el espacio obtenido al escoger al azar
un alumno de la Facultad.
Sea X la estatura del alumno.
RX = [ m, M ]
X es continua.
-
Funcin de probabilidad
La funcin de probabilidad de una variable
discreta X, es una funcin
tal que
-
Propiedad.
Funcin de probabilidadSi f(x) es la funcin de probabilidad
de la variable discreta X:
1)
2)
3)
-
Ejemplo
Sea X el nmero de caras obtenidas al lanzar
una moneda dos veces.
RX = {0, 1, 2}.
f(0) = P(X = 0) = 1/4.
f(1) = P(X = 1) = 2/4.
f(2) = P(X = 2) = 1/4.
-
f
0.50
0.25
0 1 2 X
-
.
-
Ejemplo
Sea X el nmero de lanzamientos de un dado
hasta que salga el As.
RX = {1, 2, 3,} = Z+.
f(1) = P(X = 1) = (1/6).
f(2) = P(X = 2) = (5/6)(1/6).
f(3) = P(X = 3) = (5/6)(5/6)(1/6).
f(x) = P(X = x) = (5/6)x-1(1/6).
-
f
(1/6)
. 1 2 3 4 X
-
.
-
Funcin de densidad
de probabilidadLa funcin de densidad de probabilidad de una
variable continua X, es una funcin
tal que:
1)
2)
3)
-
Propiedad.
Funcin de densidad de probabilidadSi f(x) es la funcin de densidad
de probabilidad de la variable continua X:
1)
2)
-
Ejemplo
Si las ventas diarias (en miles de soles) en una
tienda es una variable continua X con funcin
de densidad de probabilidad
Encontrar.
-
a)
b)
c)
-
f
0.20
0.10
5 10 X
-
Distribucin de probabilidad
La distribucin de probabilidad f(x)
de una variable aleatoria X, es:
La funcin de probabilidad de X,si X es discreta.
La funcin de densidad de probabilidad de X,si X es continua.
-
Funcin de Distribucin Acumulada
La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X,
es una funcin
tal que
-
1) Si X es una variable discreta
con funcin de probabilidad f(x),
2) Si X es una variable continua
con funcin de densidad de probabilidad f(x),
-
Propiedad.
Funcin de Distribucin AcumuladaSi F(x) es la funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X
1)
2)
-
Ejemplo
Sea X el nmero de caras obtenidas al lanzar
una moneda dos veces.
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X
b) P(X 1)
-
a) f(0) = 1/4. f(1) = 2/4. f(2) = 1/4.
x f(x) F(x)
0 0.25 0.25
1 0.50 0.75
2 0.25 1.00
b) P(X 1) = F(1) = 0.75
-
Ejemplo
Sea X el nmero de lanzamientos de un dado
hasta que salga el As.
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X.
b) P(X 3).
-
a) f(x) = P(X = x) = (5/6)x-1(1/6).
b)
-
Ejemplo
Si las ventas diarias (en miles de soles) en una
tienda es una variable continua X con funcin
de densidad de probabilidad
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X.
b) P(X 5).
-
a)
b)
-
Ejemplo
Si X es una variable continua con funcin
de densidad de probabilidad
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X.
b) P(-0.25 < X < 0.5).
-
.
-
a)
b)
-
Valor Esperado
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
El esperado de H(X):
-
Media
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La media de X:
-
Varianza
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La varianza de X:
-
Desviacin Estndar
La desviacin estndar de X:
-
Coeficiente de Variacin
El coeficiente de variacin
de una variable aleatoria X es
-
Moda
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La moda de X es el valor de x que
maximiza f(x).
-
Mediana
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La mediana de X es el menor valor de x tal que
F(x) 0.50
-
Propiedad.
Esperado y VarianzaSean: X e Y variables aleatorias,
a y b constantes.
1) E(aX + b) = aE(X) + b
( E(b) = b
E(aX) = aE(X)
E(X + b) = E(X) + b )
-
2) V(aX + b) = a2 V(X)
( V(b) = 0
V(aX) = a2 V(X)
V(X + b) = V(X) )
-
(
)
-
3) V(X) = E(X2) (E(X)) 2
4) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
( E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X - Y) = E(X) - E(Y) )
-
5) Si X e Y son independientes, entonces
E(XY) = E(X)E(Y)
6) Si X e Y son independientes, entonces
V(aX + bY) = a2 V(X) + b2 V(Y)
( V(X + Y) = V(X) + V(Y)
V(X - Y) = V(X) + V(Y) )
-
7) (Desigualdad de Chebyshev)
8)
-
Ejemplo
El nmero de licitaciones que gana al ao una
empresa consultora, es una variable aleatoria X
con funcin de probabilidad:
Encontrar la moda, la mediana, la media,
la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.
x01234f(x)0.150.300.250.200.10 -
moda = 1
mediana = 2
-
Ejemplo
Un fabricante produce cierto tipo de aceite.
La demanda anual (en miles de galones) es una
variable X con funcin de densidad de
probabilidad f(x) = 0.5 , 2 < x < 4.
Por cada unidad vendida se obtiene una ganancia de
300 soles, mientras que por cada unidad no vendida
durante el ao se pierde 100 soles.
-
Si el fabricante debe decidir al comienzo del ao
cunto producir, cul ser el nivel de produccin
que maximizar su utilidad esperada?
-
.
-
.
-
.
)
:
(
IR
X
W
)
}
/
)
(
{
(
W
=
w
w
X
R
X
}
)
(
/
{
)
(
a
w
X
w
a
X
=
W
=
=
=
A
x
X
dx
x
f
A
P
R
A
Si
)
(
)
(
IR
R
f
X
:
)
(
)
(
x
X
P
x
f
=
=
=
X
R
x
x
f
1
)
(
=
=
+
=
=
1
0
75
.
0
)
1
(
)
0
(
)
(
)
1
(
x
f
f
x
f
X
P
=
A
x
X
x
f
A
P
R
A
Si
)
(
)
(
=
=
=
=
+
+
=
=
=
X
P
X
P
f
f
f
x
f
X
P
x
X
R
x
x
f
"
,
1
)
(
0
X
R
x
x
f
"
,
0
)
(
1
)
(
=
X
R
x
dx
x
f
=
=
=
a
a
dx
x
f
a
X
P
0
)
(
)
(
=
b
a
dx
x
f
b
X
a
P
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
b
x
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
