Otimização do Uso de Turbinas Axiais em Pequenas Centrais ...
Cap.2 Cargas Axiais
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Mecânica dos MateriaisPr
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Capítulo 2
Tensão e Deformação:
Cargas Axiais
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Tensão e Deformação: Cargas Axiais - Sumário Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Tensão e Deformação: Cargas NormaisDeformação NormalEnsaio Tensão-DeformaçãoDiagrama Tensão-Deformação: Materiais
DucteisDiagrama Tensão-Deformação: Materiais
FrágeisLei de Hooke: Módulo de ElasticidadeComportamento Elástico vs PlásticoDeformação Devida a Carga AxialProblemas Estaticamente IndeterminadosTensões TérmicasCoeficiente de Poisson
Lei de Hooke GeneralizadaMódulo de CompressibilidadeDistorçãoRelação entre E, νννν, e GMateriais CompósitosPrincípio de Saint-VenantConcentração de TensõesExercícios ResolvidosExercícios Propostos
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• A adequabilidade de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações da estrutura tal como das tensões. A análise estática, só por si, não é suficiente.
• Considerar as estruturas como deformaveis permite a determinação de forças e reacções em problemas estaticamente indeterminados.
• A determinação da distribuição das tensões numa secção requer a consideração das suas deformações.
• O Capítulo 2 preocupa-se com a deformação de membros estruturais sujeitos a cargas axiais. Os próximos capítulos lidarão com torção e flexão.
Tensão e Deformação: Cargas Axiais
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Deformação Normal Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
normal deformação
tensão
==
==
L
AP
δε
σ
L
AP
AP
δε
σ
=
==22
LL
AP
δδε
σ
==
=
22
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Teste Tensão-Deformação Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Máquina de ensaios de tracção uniaxiaisProvete para ensaio de tracção uniaxial
Um teste envolve:
! Provete de dimensões conhecidas (standardizadas)! Máquina de ensaios de tracção! Aplicação de carga axial! Medição da variação de comprimento e da carga correspondente.! Uso da variação de comprimento para cálculo da sua variação
percentual.! Uso da força aplicada e da área da secção recta do provete para cálculo
da tensão.
O comportamento Tensão-Deformação é obtido a partir de um ensaio de tracção.
A informação obtida permite determinar algumas das propriedades do material:
!! Tensão de cedência! Módulo de Elasticidade! Tensão de rotura! Extensão de Rotura! Ductilidade! Resiliência! Tenacidade
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Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Liga de AlumínioAço de baixo teor em carbono
RoturaRotura
PescoçoEndurecimentoCedência
Os materiais dúcteis sofrem uma grande deformação plástica antes de romperem, providenciando um ‘aviso’ da roturaA deformação destes materiais deve-se inicialmente ao deslizamento de bandas (camadas) da estrutura cristalina, ao longo de planos oblíquos àforça e deve-se essencialmente a tensões de corte.Consoante a deformação aumenta, para materiais dúcteis, a tensão sobe até um valor máximo, conhecido como Tensão de Rotura ou Tensão de Resistência à Tracção. A partir deste ponto a tensão começa a decrescer.Esta inversão da progressão da tensão deve-se àformação de um ‘pescoço’ no componente.A tensão continuará a decrescer até à rotura.Quando um material dúctil rompe, a rotura dá-se formando-se uma superfície cónica com um ângulo de aproximadamente de 45º com a superfície original.À quantidade que o material consegue deformar antes de romper chama-se ductilidade.
Materiais Dúcteis
Materiais Dúcteis são caracterizados por terem uma grande capacidade de resistir a grandes deformações plásticas antes de romperem.
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Frágeis
Os materiais frágeis rompem sem ‘aviso’. O material cede igualmente ao longo de todo o componente, e rompe abruptamente por uma superfície perpendicular àforça.A rotura destes materiais deve-se essencialmente às tensões normais.
Materiais Frágeis
Materiais Frágeis são tipicamente caracterizados por uma incapacidade em resistir a grandes deformações plásticas
Rotura
Diagrama tensão-Deformação para materiais frágeis
Tensão
Deformação
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Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Abaixo da Tensão de cedência
deElasticida de Modulo ou Young de Módulo=
=E
Eεσ
• A resistência é afectada pelos elementos de liga, processos de manufactura, tratamentos térmicos, etc, mas o módulo de elasticidade não é.
Ferro puro
Aço ao Carbono
Aço ligado
Aço de alta resistência (ligado e temperado)
Diagramas tensão-Deformação para várias ligas de ferro
2902200.44*105AZ31B (liga Mg)
6304700.7*105Al7175
9808701.4*105Ti6Al4V
10208902.07*10534CrNiMo6
7304902.07*105CK45σσσσr (MPa)σσσσc (MPa)E (MPa)
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Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Se a deformação desaparecer quando a carga é retirada, então o material comporta-se elasticamente.
• A partir do limite elástico o material comporta-se plasticamente.
• À máxima tensão para a qual ocorre o fenómeno anterior, chama-se Limite Elástico ou Tensão Limite de Proporcionalidade
Rotura
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Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Os materiais são formados por átomos, que se encontram arranjados num padrão regularEste padrão designa-se
por estrutura cristalina
Conforme um material écarregado, as ligações que o mantêm unido, começam a deformarEsta deformação resulta num alongamento do
material
Se a carga for retirada antes das ligações partirem, os átomos regressam à sua posição inicial, e o material retorna à sua forma inicial.Isto corresponde à porção elástica da curva tensão-
deformação do material.
Isto corresponde à porção plástica da curva tensão-deformação do
material.
Se o material for carregado para além da zona elástica, as ligações atómicas partem / deslizam.U ma vez que estas ligações tenham partido/deslizado, quando a carga éretirada, o material já não retorna à sua
forma original
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Deformações Normais Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
AEP
EE === σεεσ
• Da lei de Hooke:
• Da definição de extensão:
Lδε =
• Resolvendo em ordem à deformação,
AEPL=δ
• Se houver variação da secção, carga, ou propriedades do material,
∑=i ii
iiEALPδ
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Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
TensãoTensão de cedência
Deformação
Tensão de rotura ou Tensão de Resistência à Tracção
Tensão Limite Elástica ou Tensão Limite de Proporcionalidade
Módulo de Elasticidade
Extensão de rotura
Tensão
Resiliência
Deformação
TensãoTensão
Tenacidade
Deformação
Tensão
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Gráfico Tensão-Deformação
Compressão vs Tracção
Materiais dúcteis
Mesma tensão de cedênciaIgual curva tensão-deformação para baixas deformaçõesAs curvas divergem para grandes deformaçõesNa compressão não se forma o ‘pescoço’Materiais frágeis
Curvas diferentesMesmo modulo elásticoTensão de cedência superior (compressão)Tensão de rotura muito superior (compressão)
Tensão Verdadeira e Deformação Verdadeira
Até aqui temos visto a tensão e a deformação de engenharia, ou seja, baseados na curva tensão-deformação obtida num ensaio normal. Todavia, quando o material é traccionado, a área da secção recta do provete varia (reduz) devido ao aumento do comprimento. Nos gráficos anteriores, o valor da área da secção recta é considerado constante e igual à área inicial. A tensão verdadeira e a deformação verdadeira são obtidos com base nas dimensões instantâneas doprovete.
Tensão Verdadeira
É determinada usando a área instantânea da secção recta do provete, em vez da área inicial.
Deformação Verdadeira
É determinada usando o comprimento instantâneo doproveteRelação entre Tensão e Deformação Verdadeira, e Tensão e Deformação de engenharia
Tensão verdadeira
Deformação verdadeira
(Log) Deformação verdadeira
(Log) Tensão verdadeira
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Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Deformação
Tensão Aumento da velocidade de Deformação
Aumento da Temperatura
Velocidade de DeformaçãoTemperatura
Módulo de Elasticidade
Tensão de Cedência
Tensão de resistência à tracção
Ductilidade
Tenacidade
Expoente de endurecimento
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Exemplo 2.1 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Determine a deformação da barra de aço quando submetida às cargas indicadas.
SOLUÇÃO:• Divide-se a barra nas três partes
representadas na figura.
• Efectuam-se cortes em todas as partes, desenha-se o respectivo diagrama de corpo livre, e faz-se o equílibrio para cada uma das partes
• Somam-se as deformações parciais.
GPaE 200=
40 cm
200 KN
30 cm30 cm
300 KN500 KN
A=200 mm2A=600 mm2
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
SOLUÇÃO:
• Divisão da barra em três componentes:
1 22
1 2
30
6
L L cmA A cm
= =
= =3
23
40
2
L cmA cm
=
=
• Análise de esforços internos através da análise de corpo livre em cada componente,
N10200200N10*100100
10*400400
33
32
31
×==
−=−=
==
KNPKNP
NKNP
• Avaliação da deformação total,
( ) ( ) ( )
3 31 1 2 2
1 2 3
3 3 3
9 6 6 6
3
1
400 10 0,3 100 10 0,3 200 10 0,41200 10 600*10 600*10 200*10
2,75 10 m= 2,75 mm
i i
i i i
PL P LPL P LA E E A A A
δ
− − −
−
= = + +
× − × × = + +
× = ×
∑
2,75 . mmδ =
Exemplo 2.1
40 cm
200 KN
30 cm30 cm300 KN500 KN
A=200 mm2A=600 mm2
200 KN
200 KN
200 KN
300 KN
300 KN500 KN
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Problema 2.1 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD.
A haste AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) com uma área de secção transversal de 500 mm2. A haste CD é feita de aço (E= 200 GPa) e tem uma secção transversal de (600 mm2).
Para uma força de 30-kN, determine os deslocamentos a) do ponto B, b) do ponto D, e c) do ponto E.
SOLUÇÃO:
• Análise através do diagrama de corpo livre da barra BDE para achar as forças de ligação ao exterior, de AB e DC.
• Avaliação da deformação das barras AB e DC ou dos deslocamentos de Be D.
• Análise geométrica para determinar o deslocamento do ponto E, tendo os deslocamentos dos pontos B e D.
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Problema 2.1 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Deslocamento de B:
( )( )( )( )
m10514
Pa1070m10500m3.0N1060
6
926-
3
−×−=
×××−=
=AEPL
Bδ
↑= mm 514.0BδDeslocamento de D:
( )( )( )( )
m10300
Pa10200m10600m4.0N1090
6
926-
3
−×=
×××=
=AEPL
Dδ
↓= mm 300.0Dδ
Diag. Corpo livre: Barra BDE
( )
( )D
0
0 30 kN 0.6 m 0.2 m90 kN
M 0
0 30 kN 0.4 m 0.2 m60 kN
B
CD
CD
AB
AB
M
FF tracçao
FF compressao
=
= − × + ×= +
=
= − × − ×= −
∑
∑
SOLUÇÃO:
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Problema 2.1 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Deslocamento de D:
( )
mm 7.73
mm 200mm 0.300mm 514.0
=
−=
=′′
xx
xHDBH
DDBB
↓= mm 928.1Eδ
( )
mm 928.1mm 7.73
mm7.73400mm 300.0
=
+=
=′′
E
E
HDHE
DDEE
δ
δ
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Sistemas Estaticamente Indeterminados Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Estruturas para as quais as forças internas e as reacções não podem ser determinadas, unicamente com as expressões de equilibrio estático, são consideradas estaticamente indeterminadas.
0=+= RL δδδ
• As deformações devidas às cargas e às reacções redundantes são determinadas separadamente e depois são sobrepostas.
• As reacções redundantes são substituídas por cargas desconhecidas que, juntamente com as outras forças, devem originar deformações.
• A estrutura é estaticamente indeterminada sempre que possui mais apoios do que os necessários para manter o seu equilibrio.
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Exemplo 2.4 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Determine as reacções em A e B na barra de aço submetida ao carregamento indicado. Admita que a barra está encostada a ambos os apoios antes da aplicação das cargas.
SOLUÇÃO:
• Considere a reacção B como redundante e liberte-se a barra desse apoio. A reacção RB é considerada agora como desconhecida e é determinada tendo em conta que o alongamento total, δ, da barra, deve ser igual a zero. A solução obtem-se considerando separadamente o alongamento δL causado pelas cargas aplicadas e o alongamento δR devido à reacção redundante RB.
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Exemplo 2.4 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
SOLUÇÃO:• Considere o deslocamento em B devido às cargas,
tendo libertado a reacção em B,
EEALP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii9
L
4321
2643
2621
34
3321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000
×=∑=
====
×==×==
×=×===
−−
δ
• Considere o deslocamento em B devido à reacção redundante RB.
( )∑
×−==
==
×=×=
−==
−−
iB
ii
iiR
B
ER
EALPδ
LL
AA
RPP
3
21
262
261
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
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Exemplo 2.4 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Considerando o alongamento total da barra nulo e resolvendo em ordem a RB,
( )
kN 577N10577
01095.110125.1
0
3
39
=×=
=×−×=
=+=
B
B
RL
R
ER
Eδ
δδδ
• A reacção RA obtem-se do diagrama de corpo livre da barra
kN323
kN577kN600kN 3000
=
∑ +−−==
A
Ay
R
RF
kN577
kN323
=
=
B
A
R
R
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Tensões de Origem Térmica Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Uma mudança de temperatura origina uma deformação de origem térmica. Não existe tensão associada a esta deformação, a menos que haja restrições à deformação.
( ) coeficiente de expansao termica
T PPLT LAE
δ α δ
α
= ∆ =
=
• Nos casos em que existe restrição à deformação deve tratar-se a reacção como redundante e aplicar o princípio da sobreposição.
( ) 0
0
=+∆
=+=
AEPLLT
PT
α
δδδ
• A deformação térmica e a deformação originada pela reacção redundante devem ser compatíveis.
( )( )TE
AP
TAEPPT
∆−==
∆−==+=
ασ
αδδδ 0
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Coeficiente de Poisson Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Numa barra homogénea e carregada axialmente,
0=== zyx
x Eσσσε
• A deformação na direcção do eixo dos x é acompanhada por uma contracção nas outras direcções. Assumindo que o material é isotrópico,
0≠= zy εε
• O coeficiente de Poisson é dado por
deformaçao transversaldeformaçao axial
y z
x x
ε ενε ε
= = − = −
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Lei de Hooke Generalizada Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Num elemento sujeito a um estado multiaxial de cargas, as componentes das deformações resultantes do estado de tensão são determinados usando o princípio da sobreposição. Isto requer:
1) cada deformação é relacionada linearmente com a tensão2) as deformações são pequenas
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
σνσνσε
νσσνσε
νσνσσε
+−−=
−+−=
−−+=
• Atendendo a estas restrições:
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Dilatação: Módulo de Compressibilidade Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Em relação ao estado sem tensões a variação do volume é
( )( )( )
( )
1 1 1 1 1 1
1 2
dilataçao (variaçao do volume em percentagem)
x y z x y z
x y z
x y z
e
E
ε ε ε ε ε ε
ε ε εν σ σ σ
= − + + + = − + + + = + +
−= + +
=
• Para um elemento sujeito a uma pressão hidrostática uniforme,
( )
( )
3 1 2
modulo de compressibilidade3 1 2
pe pE k
Ek
ν
ν
−= − = −
= =−
• Quando sujeito a pressão uniforme, a dilatação tem que ser negativa, logo
210 <<ν
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Distorções Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Um elemento cúbico sujeito a tensões de corte deforma-se num paralelipípedo oblíquo. As deformações correspondentes (distorções) são quantificadas em relação ao ângulo de distorção,
( )xyxy f γτ =
• A relação entre tensões de corte e distorções é similar à relação entre tensões normais e deformações. Para pequenas distorções,
zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===
Em que G é o módulo de distorção do material.
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Exemplo 2.10 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Um bloco rectangular de um material, com módulo de distorção G = 600 Mpa é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior está fixa enquanto a placa superior é submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 0,8 mm sob a acção da força, determine a) a distorção média no material, e b) a força P exercida na placa superior.
SOLUÇÃO:
• Determina-se a distorção média do bloco.
• Usa-se a relação de tensão de corte com a força para achar a força P.
• Aplica-se a lei de Hooke para tensões e deformações de corte para se determinar as tensões de corte.
160 mm50 mm
40 mm
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Determinação da distorção média do bloco.
0.8tan ; 0.020 rad40xy xy xy
mmmm
γ γ γ≈ = =
• Apicação da lei de Hooke para tensões e deformações de corte.
( )( )600 0.020 rad 12xy xyG MPa MPaτ γ= = =
• Uso da relação entre tensão de corte e força, para achar P.
( )( )( )6 312*10 0,160 0,050 96 10 NxyP A Pa m mτ= = = ×
96.0 kNP =
Exemplo 2.10
0,8 mm
40 mm
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Relação entre E, υυυυ e G Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Uma barra homogenea submetida a uma carga axial alonga na direcção axial e contrai nas direcções transversais.
( )ν+= 12GE
• As componentes normal e de distorção relacionam-se através da expressão,
• Se o elemento cúbico estiver orientado como na fig. B) vai deformar-se originando um losango. A carga axial resulta numa distorção.
• Um elemento cúbico orientado como na figura a) deforma-se num paralelipipedo rectangular. A carga axial produz uma deformação axial.
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Problema 2.5 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Uma círcunferência de diâmetro d=200 mm está desenhada numa placa de alumínio, livre de tensões, e de espessura t=18 mm. A actuação posterior de forças na placa origina as tensões normais σx = 85 MPa e σz = 150 MPa.
Admitindo E = 70 Gpa e ν = 1/3, determine:
a) O comprimento do diâmetro AB,
b) O comprimento do diâmetro CD,
c) A espessura da placa, e
d) O volume da placa.
350 mm350 mm
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Problema 2.5 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
SOLUÇÃO:
• Aplica-se a lei de Hooke generalizada para achar as três componentes de extensão normal.
( ) ( )3
3
3
1 185 0 15070 GPa 30.500 10
1.119 10
1.738*10
yx zx
yx zy
yx zz
E E E
MPa MPa
E E E
E E E
νσσ νσε
σνσ νσε
νσνσ σε
−
−
−
= + − −
= − − = + ×
= − + −
= − ×
= − − +
= +
• Determinam-se as deformações.
( )( )30.500 10 200B A xd mmδ ε −= = + ×
( )( )31.738 10 200C D zd mmδ ε −= = + ×
( )( )31.119 10 18t yt mmδ ε −= = − ×
100B A mδ µ= +
348C D mδ µ= +
20,1t mδ µ= −
• Determina-se a mudança de volume
( )
3 -3
3 3
(0.500 1,119 1,738)*10 = 1,119*10
1.119 10 350 350 18 = +2470 mmx y ze
V eV
ε ε ε −
−
= + + = − +
∆ = = × × ×
32470V mm∆ = +
Prep
arad
o po
r: Fi
lipe
Sam
uel S
ilva
Dep
. Eng
ª Mec
ânic
a
Materiais Compósitos Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Os materiais compósitos reforçados com fibras são formados por lâminas de fibras embebidas em matrizes de materiais poliméricos.
zz
zy
yy
xx
x EEEεσ
εσ
εσ ===
• As tensões e deformações normais são relacionadas pela Lei de Hooke mas com módulos de elasticidade dependentes da direcção,
x
zxz
x
yxy ε
ενεε
ν −=−=
• As contracções transversais são relacionadas por valores de coeficiente de Poisson dependentes da direcção,
• Os materiais com propriedades mecânicas dependentes da direcção são considerados anisotrópicos.
fibras
carga
cargaCamada
de material
Prep
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Dep
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a
Princípio de Saint Venant Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• As cargas transmitidas em corpos rígidos resultam numa distribuição uniforme das tensões e deformações.
• Principio de Saint-Venant:A distribuição de tensões pode assumir-se como independente da forma de aplicação da carga, com excepção da vizinhança de aplicação da carga.
• A distribuição das tensões e deformações torna-se uniforme a uma distância relativamente pequena do ponto de aplicação das cargas.
• Cargas concentradas dão origem a tensões mais elevadas na vizinhança do ponto de aplicação da carga.
Prep
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Dep
. Eng
ª Mec
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a
Concentração de Tensões: Furo Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Descontinuidades da secção recta podem resultar , localmente, numa elevada concentração de tensões.
maxK σσ
=
Prep
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ª Mec
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a
Concentração de Tensões: Raio de Curvatura Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Prep
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ª Mec
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a
Exemplo 2.12 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Determine o valor máximo da carga axial P que pode ser suportado, em segurança, por uma barra plana e aço com dois troços, ambos com 10 mm de espessura e 40 e 60 mm de largura, respectivamente, ligados por uma concordância circular de raio r = 8 mm. Considere uma tensão admissível de 165 MPa.
SOLUÇÃO:
• Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b.
• Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga.
• Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material.
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Exemplo 2.12 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
• Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b.
82.1
20.0mm40
mm850.1mm40mm60
=
====
K
dr
dD
• Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material.
max 165 MPa 90.7 MPa1.82K
σσ = = =
• Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga.
( )( )( )3
40 mm 10 mm 90.7 MPa
36.3 10 N
P Aσ= =
= ×kN3.36=P
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ª Mec
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
Casca de alumínio
Alma de aço
25 mm250 mm
60 mm
Forças de compressão, de 30 KN, estão aplicadas nos extremos da montagem da figura. Sabendo queEaço=2,07x105 MPa e Ealumínio=0,70x105 MPa, determine: a) as tensões normais na alma de aço e na casca de alumínio
b) a deformação do conjunto
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2
* *25 1963
60 25 9346aço
Al
A r mm
A R r mm
π π
π π
= = =
= − = − =( )
( )( )
72 5
72 2 5
*250*6,15*10
*25 *2,07*10
*250 *3,82*10* 60 25 *0,70*10
aço açoaço aço
aço aço
al alal al
al al
P L Pδ P
A E
P L Pδ PA E
π
π
−
−
= = =
= = =−
( )
( )
2
2 2
)11480 5,84
2518520 1,9860 25
açoaço
aço
alal
al
aP
MPaA
P MPaA
σπ
σπ
= = =
= = =−
7 7*6,15*10 *3,82*10
0,62*
30
aço al aço al
aço al
aço al
ComoP P
P PComoP P KN
δ δ − −= ⇒ =
⇒ =
+ =
11, 4818,52
aço
al
P KNP KN
=
=
7
)
*7,54*10aço
aço alaço aço
bcomo
P Lmm
A Eδ δ δ −= = ⇒ =
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que Eaço=2,00*105
MPa e Elatão=1,05*105 MPa, determine:
a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C
Aço Latão
RA
RA
RA
RA
P1
P2
P3
P4
12
1
22
2
32
3
42
4
( *20 )60000
( *20 )60000
( *15 )60000 40000
( *15 )
A
A
A
A
P RA
P RA
P RA
P RA
π
π
π
π
=
== −
== −
== − −
=
RA RE 0 60000 40000 0
100000 (1)X EA
A E
F R R
R R N
= ⇔ + − − =
⇔ + =∑
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que Eaço=2,00*105
MPa e Elatão=1,05*105 MPa, determine:
a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C
Aço Latão
( )( )( )
( )( )
( )( )
2 5 2 5
2 5 2 5
)
0
60000 *120*180*20 *2,00*10 *20 *2,00*10
60000 *100 60000 40000 *1000
*15 *1,05*10 *15 *1,05*10
62,8(1) 37, 2
i i
i i
AA
A A
A
E
aPLδA E
RR
R R
R KNde R KN
δπ π
π π
= = ⇔
−= + +
− − −+ =
⇒ =⇒ =
∑RA RE
RA
RA
RA
RA
P1
P2
P3
P4( )
( )( )
1 1 2 22 5 2 5
1 1 2 2
)62800 60000 *12062800*180 46,3
*20 *2,00*10 *20 *2,00*10c
bPL P Lδ mA E A E
µπ π
−= + = + =
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
0,5 m
0,6 m
0,07 m
0,05 m
0,07 m
60 KN
20 KN 20 KN
Dois varões cilindricos estão acoplados em B. O varão AB é feito de aço (E=2,07x105 MPa), e o varão BC de latão (E=1,05x105 MPa). Determine:
a) a deformação total do conjunto ABC.
b) a deformação do ponto B
( )( )( )
( )( )
2 5 2 5
2 5
)
60000 40000 *50060000*600 0,1132*25 *2,07*10 *35 *1,05*10
)60000 40000 *500
0,0247*35 *1,05*10
i iA
i i
A
B
aPLδA E
mm
b
mm
δπ π
δπ
= ⇔
−= + =
−= =
∑
Prep
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
Dimensões em mm O provete da figura foi cortado de uma placa devinyl com 5 mm de espessura (E=0,031*105
MPa) e está sujeito a uma carga normal de 1.5kN. Determine:
a) a deformação total do provete.
b) a deformação da zona central BC
( ) ( ) ( )9
9
)
1500 40 50 40 0,7940,031*10 5*25 5*10 5*25
)1500*50 0,484
50*0,031*10
i iAD
i i
BC
aPLδA E
mm
b
mmδ
= =
= + + + =
= =
∑
Prep
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Dep
. Eng
ª Mec
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a
Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
200 mm
200 mm
200 mm
350 mm
F
F
F
Para a treliça de aço (E=2,07x105 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm2 e 75 mm2, respectivamente.
F= 60 KN
200 mm
200 mm
200 mm
350 mm
F
F
F
FBD
FBE
FCE 5
0 60000*400 60000*200 *350 0102,86
102860 205,7500
102860*200 0,1987500*2,07*10
E BD
BD
BDBD
BD
BD
M FF KN
F MPaAPL mmAE
σ
δ
= ⇔ − − + =
⇔ =
= = =
= = =
∑
Prep
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a
Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
200 mm
200 mm
200 mm
350 mm
F
F
F
Para a treliça de aço (E=2,07x105 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm2 e 75 mm2, respectivamente.
F= 60 KN
200 mm
200 mm
200 mm
350 mm
F
F
F
FBD
FDE
FEG5
0 060000 60000
120000120000 160,0
750120000*350 0,2705
750*2,07*10
x DE
DE
DEDE
DE
DE
F F F FF
DE NF MPaAPL mmAE
σ
δ
= ⇔ + − =
⇔ + =⇔ =
= = =
= = =
∑
Prep
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios ResolvidosCada uma das quarto ligações que ligam as duas barras horizontais são feitas de alumínio (E=0,70*105 MPa) e tem uma secção recta rectangular e uniforme de 10 x 40 mm. Para as cargas mostradas determine a deformação de:
a) ponto E.
b) ponto G.
δEδF δG
( )
( )
5
5
)7500*300 0,080
10*40 *0,7*10)
19500*300 0, 20910*40 *0,7*10
( )
400 400 250
E
F
G EF Eg
G
aPLδ mmAE
bPL mmAE
pontoG geometricamente
t
δ
δ δδ δα
δ
−= = =
= = =
++= =+
⇒ =
Do equílibrio estático da barra EFG, RF=-7500 N
Prep
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. Eng
ª Mec
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
Um tubo de aço (E=2,07*105 MPa) com um diâmetro exterior de 32 mm e 4 mm de espessura está colocado num torno sem que exista todavia pressão nos topos. São aplicadas então as duas forças mostradas. Depois destas forças serem aplicadas, aperta-se o torno em 0.2 mm. Determine: a) as forças exercidas pelo torno no tubo, em A e em D.
b)a variação de comprimento da porção BC do tubo.
( )( )( )
( )( )
( )( )
2 2 5 2 2 5
2 2 5
2 2 5
)
0,2
30000 *80*8016 12 2,07*10 16 12 2,07*10
42000 30000 *800,2
16 12 2,07*10
)30000 *80
...16 12 *2,07*10
i iAD
i i
DD
D
D
DBC BCBC
BC BC
aPLδ mmA E
RR
Rmm
Rb
RP L mmA E
π π
π
δπ
= = −
−= +
− −
+ −+ = −
−
⇒ =
−= = =
−
∑
RA RD
RD
RD
RD
P1
P2
P3
1 2 3
0; 42000 3000 0; 30000 ; 42000 30000
x A D
D D D
F R RP R P R P R
= − + − =
= + = − + =∑
Prep
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios Resolvidos
( )
6
2 5
6
2 5
* * * *
*180011,7*10 *35*1800 ;
6* *22 *2,00*104
*18009,9*10 *35*1800 ;240*240 6* *22 *0,25*10
4
aço cim
T F T Faço aço cim cim
aço cim
açoaço
cimcim
PL PLT L T LAE AE
P
P
δ δ
δ δ δ δ
α α
δπ
δπ
−
−
=
+ = +
+ = +
= +
= + −
! !
O poste de betão está reforçado com seis barras de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro. Determine as tensões normais induzidas no aço e no cimento devidas a uma subida de temperatura de 35ºC.
5 6
5 6
0,25*10 ; 9,9*10 /º
2,00*10 ; 11,7*10 /ºcim cim
aço aço
E MPa CE MPa C
αα
−
−
= =
= =
21667aço cimP P N= =* Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. Paço=Pcim, logo,
( )
2
2
21667 9,56* *22
421667 0,392
240*240 6* *224
açoaço
aço
cimcim
cim
PMPa
A
P MPaA
σ π
σπ
−= = = −
= = = −
δTaço
δTcim
δFaço
δFcim
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Exercícios Resolvidos
Casca de alumínio Alma de aço
Casca de alumínio
Alma de aço
A montagem consiste numa casca de alumínio ligada a uma alma de aço e está sem tensões, a uma temperatura de 20ºC. Considerando apenas deformações axiais, determine a tensão na casca de alumínio quando a temperatura atingir 180ºC.
5 60,70*10 ; 23,6*10 /ºal alE MPa Cα −= =
5 62,00*10 ; 11,7*10 /ºaço açoE MPa Cα −= =
( )
6
2 5
6
2 2 5
* * * *
*20011,7*10 *160*200 ;
*20 *2,00*104
*20023,6*10 *160*200 ;* 50 20 *0,7*10
4
aço al
T F T Faço aço al al
aço al
açoaço
alal
PL PLT L T LAE AE
P
P
δ δ
δ δ δ δ
α α
δπ
δπ
−
−
=
+ = +
+ = +
= +
= + −
! !
..aço alP P N= =* Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. Paço=Pal, logo,
alal
al
PA
σ = =
δTal
δTaço
δFal
δFaço
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Exercícios Resolvidos
A temperatura da barra composta é elevada em 80ºC. Sabendo as características dos materiais e que não háforças aplicadas em B ou em D, determine: (Eaço=2,00*105 MPa e Elatão=1,05*105 Mpa; αaço=11,7*10-6/ºC; αlatão= 20,9*10-6/ºC)a) as tensões normais em AC e em CE b) a deformação da porção AC
Dimensões em mm
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Exercícios Resolvidos450 KN
1,5 m
Um tubo de aço de 1,5 m de comprimento, 300 mm de diâmetro exterior, e 12 mm de espessura é usado como coluna para suportar 450 KN. Usando a informação disponível, determine: (E=2,07*105 MPa; G=0,8*105MPa)
a) a mudança de comprimento do tubo.
b)a mudança do diâmetro exterior do tubo.
c)a mudança da espessura da parede do tubo.
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Exercícios Resolvidos
Um pedaço quadrado, 20*20 mm, de aço foi retirado de um recipiente sob pressão de grandes dimensões. Quando sob pressão, a condição de tensões biaxiais é a que mostra a figura. Usando os dados disponíveis do aço, determine o variação de tamanho de: a) lado AB
b) lado BC
c) diagonal AC
E=2,00*105 MPa G=0,77*105 MPa
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Exercícios Resolvidos
O provete de alumínio está sujeito às forças indicadas, de magnitude P.
Sabendo que E=0,70*105 MPa, e σadm=200MPa,
a) Determine a máxima força P, e o correspondente alongamento do provete
b) Resolva a alínea a, assumindo que o provete foi substituído por uma barra de alumínio, do mesmo comprimento, e secção recta rectangular uniforme de 60x15 mm.
Prep
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Exercícios PropostosOs membros deste sistema têm 2-cm-de diametro e são de aço (E = 200 GPa). A carga é aplicada em, x = 1.5 m e y = 0.5 m. Qual é a deformação do membro AC quando a carga de 10 kN é aplicada?
A barra AB é de alumínio (E = 70 GPa) e a barra CD é de aço (E = 200 GPa). Ambas têm uma secção recta de 1 cm x 3 cm. As dimensões da figura são x = 2 m, y = 2 m, e z = 3 m. Qual éa deformação da barra AB quando é aplicada a força de 40 kN?
O membro CE, de Aluminio (E = 70 Gpa) está montado como mostra a figura. Esta peça tem 2-cm de altura e uma secção recta de 0.5 cm x 1 cm. Um parafuso, de aço, (E = 200 Gpa), e com 4-cm de comprimento e 1-cm de diâmetro, é ajustado para exercer pressão na peça. Assumindo que o membro ABC é rigido, e sabendo que x = 4 cm, determine a máxima tensão que ocorre no parafuso quando o componente ABC estiver sujeito a 200 MPa?
Prep
arad
o po
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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Exercícios PropostosO membro rígido ABCD é usado para suportar um peso de 2 KN. Este membro tem 6-m de comprimento. As barras BE e CF são de aço (E = 200 GPa) e têm um diâmetro de 0.5 cm e um comprimento de 2 m. Qual a deformação do ponto D quando a carga é aplicada?
A paçe BE é de aluminio (E = 70 GPa, α = 23.0 E-6 1/oC) e está suportada pelo membro rígido DEF. A peça BE tem 50 cm de comprimento e um diâmetro de 5 cm. Os membros AD e CF são de aço (E = 200 GPa, α = 11.7 E-6 1/oC) e têm 60 cm de comprimento e 0,5 cm de diâmetro. Inicialmente nenhuma carga está aplicada no conjunto. Determine as tensões que se desenvolvem nos membros AD e CF quando a temperatura subir 100ºC.
A placa da figura tem 0.5-cm de espessura e 2-cm de largura. Um furo de 0.5-cm de diametro está localizado no centro da placa. Qual a máxima tensão existente na placa quando uma força de 2 KN é aplicada?