CAP11 - PARTE 2 - Tendencia
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Séries Temporais(Parte 2 - Tendência)
Prof. Gercino Monteiro Filho
Séries Temporais - Tendência Para encontrar a função que fornece o valor da
tendência em cada tempo, usa um dos modelos:
I. Método dos Mínimos Quadrados
II . Método das médias móveis;
Tendência – Método dos Mínimos Quadrados
Este Método consiste em ajustar uma curva
aos dados originais conforme os modelos
matemáticos já estudados no capítulo 10,
referente a Regressão e Correlação.
O cuidado é o de atribui um valor para indicar
o inicio da contagem do tempo.
Tendência – Método dos Mínimos Quadrados As curvas mais usuais são:
01. A Reta;
02. A Logarítmica;
03. A Exponencial.
Tendência – Método dos Mínimos Quadrados Exemplo
01. Considere os dados da tabela:
T a b e la 1 – C a p . 1 1 G r ã H o t el P K S M - N ú m er o d e U n id a d es O c u p a d as , d a d o s r e f ere n te s a 8 s e m a n as s eg u i d a s – 0 3 / J u lh o a 2 7 / a g o s to d e 2 0 0 0
P er í o do
D ia d a S em a n a
S eg u n da T er ça Q ua r ta Q ui n ta S ex ta S á b a do D o m in g o
0 3 a 0 9 4 6 4 8 5 3 55 41 26 2 0
1 0 a 1 6 3 8 5 1 4 9 40 34 29 1 8
1 7 a 2 3 3 9 5 1 5 1 48 33 23 1 9
2 4 a 3 0 3 8 4 9 4 8 40 34 28 1 6
3 1 a 0 6 3 6 4 2 2 6 45 41 22 2 0
0 7 a 1 3 4 2 4 5 4 5 51 33 19 1 9
1 4 a 2 0 3 5 5 0 4 7 59 47 21 2 1
2 1 a 2 7 3 7 4 4 4 6 44 26 18 1 6
F o n te : H ip o té tica
Tendência – Método dos Mínimos Quadrados
Encontre a reta de Tendência que explica
a quantidade de ocupações em cada dia.
Solução Denotando por : x: a variável: “ Época a que se Refere os Dados, tomando dia 30 de junho como origem, e com variação dia a dia ”
y: a variável: “ Número de Unidades Ocupadas”
Vem:
Tendência – Método dos Mínimos Quadrados
Perceba que com a definição de x “ Época tomando dia 30 de junho como origem,e variação dia a dia ”
E com os dados originais:
h) Primeira Semana e Segunda Feira: x =3 e y = 46; i) Primeira Semana e Terça Feira: x = 4 e y = 48;j) Primeira Semana e Quarta Feira: x =5 e y = 53;k) Primeira Semana e Quinta Feira: x =6 e y = 55;l) Segunda Semana e Segunda Feira: x =10 e y = 38 ;m) Etc.
T a b e la 1 – C a p . 1 1 G r ã H o t el P K S M - N ú m er o d e U n id a d es O c u p a d as , d a do s r e fere n te s a 8 s e m a n as s eg u i d a s – 0 3 / J u lh o a 2 7 / a g o s to d e 2 0 0 0
P er í o do
D ia d a S em a n a
S eg u n da T er ça Q ua r ta Q ui n ta S ex ta S á b a do D o m in g o
0 3 a 0 9 4 6 4 8 5 3 55 41 26 2 0
1 0 a 1 6 3 8 5 1 4 9 40 34 29 1 8
1 7 a 2 3 3 9 5 1 5 1 48 33 23 1 9
2 4 a 3 0 3 8 4 9 4 8 40 34 28 1 6
3 1 a 0 6 3 6 4 2 2 6 45 41 22 2 0
0 7 a 1 3 4 2 4 5 4 5 51 33 19 1 9
1 4 a 2 0 3 5 5 0 4 7 59 47 21 2 1
2 1 a 2 7 3 7 4 4 4 6 44 26 18 1 6
F o n te : H ip o té tica
Tendência – Método dos Mínimos Quadrados
:Dados OriginaisT a b e la 1 – C a p . 1 1
G r ã H o t el P K S M - N ú m er o d e U n id a d es O c u p a d as , d a do s r e fere n te s a 8 s e m a n as s eg u i d a s – 0 3 / J u lh o a 2 7 / a g o s to d e 2 0 0 0
P er í o do
D ia d a S em a n a
S eg u n da T er ça Q ua r ta Q ui n ta S ex ta S á b a do D o m in g o
0 3 a 0 9 4 6 4 8 5 3 55 41 26 2 0
1 0 a 1 6 3 8 5 1 4 9 40 34 29 1 8
1 7 a 2 3 3 9 5 1 5 1 48 33 23 1 9
2 4 a 3 0 3 8 4 9 4 8 40 34 28 1 6
3 1 a 0 6 3 6 4 2 2 6 45 41 22 2 0
0 7 a 1 3 4 2 4 5 4 5 51 33 19 1 9
1 4 a 2 0 3 5 5 0 4 7 59 47 21 2 1
2 1 a 2 7 3 7 4 4 4 6 44 26 18 1 6
F o n te : H ip o té tica
Tabela de Operações
xi yi xi2 yi
2 xi . yi
3 4 5 6 7 • • •
57 58
46 48 53 55 41
• • •
18 16
9 16 25 36 49
• • •
3 249 3 346
2 126 2 304 2 809 3 025 1 681
• • •
324 256
138 192 265 330 287
• • •
1 026 928
1 708 2 062 66 724 84 000 60 709
Tendência – Método dos Mínimos Quadrados
E os valores obtidos foram:
Substituindo:
Sabe-se que: 2
i2i
iiii
)x(x.n
y.xy.x.nb
∑∑∑ ∑∑
−
−= e x.bya −=
xi yi xi2 yi
2 xi . yi
1 708 2 062 66 724 84 000 60 709
Inclinação: 1491,0170872466x56
0622x708170960x56b
2−=
−−=
Intercepto 3690,4156
7081x)1491,0(
56
0622a =−−=
Resp. A reta de tendencia é: T= - 0,1491.x + 41,369
Estimativa Pela Tendência Estimar Pela Tendência, é avaliar quanto iria ter ocorrer em cada
período com o modelo matemático encontrado.
Exemplo
3. Faça a estimativa, para cada período avaliado na ocupação do Gran-
Hotel.
Solução
Como a equação da reta ajustada foi:
Vem:
Resp. A reta de tendencia é: T= - 0,1491.x + 41,369
Para 03 / Julho, isto é: x = 3 9217,403690,4131491,0y julhode03 =+×−=
Para 04 / Julho, isto é: x = 4 7726,403690,4141491,0y julhode03 =+×−=
Estimativa Pela Tendência Fazendo para cada período chega a:
Período Dia da Semana
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo
03 a 09 40,92 40,77 40,62 40,47 40,32 40,18 40,03
10 a 16 39,88 39,73 39,58 39,43 39,28 39,13 38,98
17 a 23 38,83 38,68 38,53 38,39 38,24 38,09 37,94
24 a 30 37,79 37,64 37,49 37,34 37,19 37,04 36,89
31 a 06 36,74 36,59 36,45 36,30 36,15 36,00 35,85
07 a 13 35,70 35,55 35,40 35,25 35,10 34,95 34,80
14 a 20 34,66 34,51 34,36 34,21 34,06 33,91 33,76
21 a 27 33,61 33,46 33,31 33,16 33,01 32,86 32,72
Tendência – Método das Médias Móveis Este método consiste em:
01. Definir o número de agrupamentos, digamos k , de
valores seqüenciais que comporão cada média;
02. Calcular médias dos k valores a partir do: 10 valor;
depois a partir do 2o , do 3o , etc.
Atribuição: Existem 2 situações possíveis sobre o valor de
k ,PAR ou IMPAR , com isto considera a primeira média
móvel acordo com a posição:
Posição do Elemento Que Será Atribuído à 1a Média
Valor de K Par Impar
Posição 2
k 2
1k +
Método das Médias Móveis - Exemplo 01. Encontre as médias móveis dos dados da Tabela 1,
tomando k = 7.
Solução Considere as Variáveis :
x: “Época, tendo dia 30 de junho como origem”
y: “Numero de Unidades Ocupadas”Dados originais são:
Período
Dia da Semana
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Dom.
03 a 09* 46 48 53 55 41 26 20
10 a 16* 38 51 49 40 34 29 18 17 a 23* 39 51 51 48 33 23 19 24 a 30* 38 49 48 40 34 28 16
31 a 06** 36 42 26 45 41 22 20 07 a 13** 42 45 45 51 33 19 19 14 a 20** 35 50 47 59 47 21 21 21 a 27** 37 44 46 44 26 18 16
Método das Médias Móveis - Exemplo Médias Móveis com 7 períodos seqüenciais:
Médias Móveis:
Dados originais são:
Período
Dia da Semana
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Dom.
03 a 09* 46 48 53 55 41 26 20
10 a 16* 38 51 49 40 34 29 18 17 a 23* 39 51 51 48 33 23 19 24 a 30* 38 49 48 40 34 28 16
31 a 06** 36 42 26 45 41 22 20 07 a 13** 42 45 45 51 33 19 19 14 a 20** 35 50 47 59 47 21 21
21 a 27** 37 44 46 44 26 18 16
Primeira Média Móvel
29,417
20264155534846y1 =
++++++=
Segunda Média Móvel
14,407
38202641555348y 2 =
++++++=
Terceira Média Móvel
57,407
51382026415553y 3 =
++++++=
Etc. • • •
Método das Médias Móveis - Exemplo :E o quadro completo de médias móveis é
Por este exemplo percebe-se que:
a) A primeira média móvel refere-se ao dia 6 de julho (x = 6)
b) A segunda média móvel refere-se ao dia 7 de julho (x = 7)
c) A última média móvel refere-se ao dia 24 de agosto (x = 55)
Dia 3 4 5 6 7 8 9
Ocupação 46 48 53 55 41 26 20
Média Móvel - - - 41,29 40,14 40,57 40,00
Dia • • • 54 55 56 57 58
Ocupação • • • 46 44 26 18 16
Média Móvel • • • 33,71 33,00 - - -
Estimativa da Tendência Pelo Método das Médias Móveis
Neste caso, basta fazer o ajuste de uma curva às médias
obtidas, utilizando-se do Método dos Mínimos Quadrados.
Exemplo 3
01. Encontre a Reta de Tendência das médias móveis de
7 dias .
Tendência com Médias MóveisSolução
Sabe-se que o ajuste é feito através das Fórmulas:
Originais Cálculos
2i
2i
iiii
)x(x.n
y.xy.x.nb
∑∑∑ ∑∑
−−
= x.bya −=
Dia 3 4 5 6 7 8 9
Ocupação 46 48 53 55 41 26 20
Média Móvel - - - 41,29 40,14 40,57 40,00
Dia • • • 54 55 56 57 58
Ocupação • • • 46 44 26 18 16
Média Móvel • • • 33,71 33,00 - - -
Tabela de Operações
xi yi xi2 yi
2 xi . yi
6
7
8
9
•
•
•
54
55
41,29
40,14
40,57
40,00
•
•
•
33,71
33,00
36
49
64
81
•
•
•
2 916
3 025
1 704,51
1 611,45
1 646,04
1 600,00
•
•
•
1 136,65
1 089,00
247,71
281,00
324,57
360,00
•
•
•
1 820,57
1 815,00
1 525 1 839,29 56 925 67 921,12 55 664,29
Tendência com Médias Móveis
Fórmulas:
Encontrados:
Substituindo:
Reta ajustada:
2i
2i
iiii
)x(x.n
y.xy.x.nb
∑∑∑ ∑∑
−−
= x.bya −=
xi yi xi2 yi
2 xi . yi
1 525 1 839,29 56 925 67 921,12 55 664,29
2152592556x50
29,8391x525129,66455x50b
−−
= 0417,0b −=
50
5251x)0417,0(
50
29,8391a −−= 0577,38a =
y = - 0,0 417.X + 38,0577
Séries Temporais
Tendência
Fim. Prof Gercino Monteiro Filho