Trabajo y Energía

Capítulo 7

Contenido

• Producto escalar de dos vectores• Definición de trabajo• Trabajo de una fuerza variable• Trabajo hecho por un resorte• Trabajo y energía• Energía cinética• Potencia

Producto escalar de dos vectores

( )A B=ABcos θ⋅

El producto escalar de dos vectores y es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores.

A B

Proyección de sobre A B Proyección de sobre AB

θ

A cosθB

Aθ

B cosθ

AB

Definición de Trabajo

( ) cos= = ⋅W F θ s F Δr

El trabajo W, efectuado por una fuerza constante, es el producto de la componente de la fuerza en

la dirección del desplazamiento y la magnitud s del desplazamiento.

F

F

Δr

cosF θθ

Definición de Trabajo• De la definición dada se deduce que:

• El trabajo es una M.F. Escalar.• El trabajo se mide en el SI en:

• El trabajo depende en forma directa de: la magnitud de la fuerza, la magnitud del desplazamiento y el coseno del ángulo formado por la fuerza y el desplazamiento.

2

2 2

kg m kg m1 m 1 1 joules s

= =

1 newton metro 1 joule 1 Nm 1 J∗ = → =

Unidades

Fuerza x Distancia = Trabajo

newton[M][L] / [ T ]2

metro[L]

joule[M] [L]2 / [ T ]2

Otras unidades:

1 BTU = 1054 J1 cal = 4,186 J1 eV = 1,602*10 - 19 J

1 J = 1 N m

Dueño de una fábrica de cerveza. Probablemente uno de los últimos autodidactas que han realizado un aporte significativo a la Física. Experto en técnicas de medición. En 1840 establecióla ley de generación de calor por una corriente eléctrica. En 1843 determinó la equivalencia entre el calor y el trabajo mecánico. Dedicó más de tres décadas al estudio de los procesos de transformación de energía.

James Prescott Joule (1818-1889, Inglés)

El trabajo puede ser positivo o negativo

• La fuerza que ejerce el hombrehace trabajo positivo cuando la caja sube.

• La fuerza que ejerce el hombre hace trabajo negativo cuando la caja baja.

• La fuerza de gravedad hacetrabajo positivo cuando la cajabaja.

• La fuerza de gravedad hacetrabajo negativo cuando la cajasube.

No siempre una fuerza realiza trabajo sobre un objeto

v

1N

2N

• Una caja (m2) es levantada usando un peso (m1), en una superficie inclinada con roce.

¿Cuántas fuerzas realizan trabajo sobre m1?

(a) (a) 2

(b) (b) 3

(c) (c) 4 tensión, roce y peso

Trabajo de una Fuerza constante (1D)

xF

1x 2x x

El trabajo hecho por la fuerza Fxen Δxi es el área del rectángulo sombreado.

El trabajo total es el “área bajo la curva”.

Trabajo de una fuerza variable(1D)

2

1

"Área"x

xxW F dx= = ∫"Área" Δ ΔxW F x= =

La curva de Fx se divide en un gran número de intervalos, el trabajo será igual a:

22

11

0lim

x x

x xxx xW F x F dx

Δ →= Δ =∑ ∫

En tres dimensiones:

dB

A

r

rW F r= ⋅∫

Si se hace tender a cero los Δx, se tendrá que:

2

1

x

xxW F dx= ∫

2

1

x

xx

W F xΔ∑

00

xF== 0F =

Trabajo hecho por un Resorte(Caso de fuerza variable)

Es la llamada Ley de Hooke.

Trabajo hecho por un Resorte(Caso de fuerza variable)

ˆrF = kxi−

k = constante elástica del resorte:

De los experimentos mostrados en las figuras anteriores, se deduce que:

k =F

x

Por lo tanto, k es una MF Escalar, positiva, que se mide en N/m y que depende del “tipo” de resorte.

( )0 21

2fx

r x mx xi mW F dx kx dx = kx

−= = −∫ ∫

21"Área"2 mkx=

xF kx= −

rF

xmx

mkx

0

Δ(base) (altura)

2 rA = =W∗

12r m mW x kx=

212r mW kx=

Trabajo hecho por un Resorte(Caso de fuerza variable)

Trabajo realizado por la Fuerza Neta.

Si sobre una partícula actúa más de una fuerza, entonces, el trabajo total es exactamente igual al trabajo hecho por la fuerza resultante.

O sea, que el trabajo de una suma de fuerzas es igual a la suma de los trabajos realizado por cada una de las fuerzas.

( ) ( ) =∑ i netaiW F W F

( )i ii i

W F W F⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

Una fuerza Fneta constante actúa sobre un cuerpo de masa m, en dirección +x. Entonces, las ecuaciones de posición y velocidad son:

2neta0

1Δ (1)2F

x v t + tm

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Despejando t de (2) y sustituyendo en (1) podemos encontrar que:

Teorema del Trabajo y la Energía

2 2neta

1 1( )2 2f iW F mv mv= −

neta0 (2)

Fv v + t

m⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Teorema del Trabajo y la Energía(caso fuerza variable)

( )( ) f fx x

neta x xx xi iW F F dx ma dx= =∑∫ ∫

x x xx xdv dv dvdxa vdt dx dt dx

= = =

( ) f fx vxneta x x xx vi i

dvW F mv dx mv dv

dx= =∫ ∫

2 2neta

1 1( )2 2f iW F mv mv= −

La energía cinética se define como:

neta( ) Δ f iW F K K K= = −

Energía cinética

212

K mv=

El trabajo efectuado por la fuerza neta, , al desplazar una partícula, es igual al cambio de la energía cinética de la partícula.

netaF

Por lo tanto, el Teorema del Trabajo y la Energía dice que:

Definición de Energía Cinética• De la definición dada se deduce que:

• La E.C. es una M.F. Escalar, positiva.• La E.C. se mide en el SI en:

• La E.C. depende en forma directa de: la masa y el cuadrado de la rapidez de la partícula.

2 2

2 2

m kg m1 kg 1 1 joules s

= =

1 newton metro 1 joule 1 Nm 1 J∗ = → =

PotenciaLa potencia promedio, P, se define como la cantidad de trabajo W, hecha en un intervalo de tiempo Δt, por unidad de tiempo:

ΔWPt

=

En términos más generales, la potencia es la rapidezde transferencia de energía, en el tiempo.

De la definición se deduce que la Potencia es una M.F. Escalar, cuya unidad en el SI es 1 watt = 1 W

Otras unidades: 1 CV = 735 W

1 HP = 746 W

J1 W 1 s

=

Potencia instantáneaLa potencia instantánea es el valor límite de la potencia promedio cuando Δt tiende a cero:

Además, cuando es constante:F

0 lim

Δ →

⎛ ⎞= →⎜ ⎟Δ⎝ ⎠t

WPt =

dWPdt

= = →idW drP Fdt dt

= iP F v

Debido a razones de salud, no pudo asistir normalmenteal colegio. Comenzó como mecánico, para luego convertirse en científico. En 1765 inventó el condensador para la máquina de vapor. Desarrolló la máquina de vapor hasta niveles de alta eficiencia, lo que jugó un importante rol en la revolución industrial. Dióademás un impulso al estudio de los fundamentos de la termodinámica.

James Watt (1736-1819)