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CAPTULO

1Circuitos Magnticos e Materiais Magnticos

O

objetivo deste livro o estudo dos dispositivos usados na interconverso eletromecnica de energia. dada nfase s mquinas rotativas eletromagnticas, pois atravs delas que ocorre a maior parte dessa converso. No entanto, as tcnicas desenvolvidas aplicam-se genericamente a uma larga faixa de outros dispositivos, incluindo-se mquinas lineares, atuadores e sensores. Mesmo no sendo um dispositivo de converso eletromecnica de energia, o transformador um importante componente do processo global de converso energtica e ser discutido no Captulo 2. As tcnicas desenvolvidas na anlise dos transformadores formam a base da discusso sobre mquinas eltricas que se seguir aps. Praticamente todos os transformadores e mquinas eltricas usam material ferromagntico para direcionar e dar forma a campos magnticos, os quais atuam como meio de transferncia e converso de energia. Materiais magnticos permanentes, ou ims, tambm so largamente usados. Sem esses materiais, no seriam possveis as implementaes prticas da maioria dos dispositivos eletromecnicos de converso de energia. A capacidade de analisar e descrever sistemas que contenham esses materiais essencial ao projeto e entendimento desses dispositivos. Este captulo desenvolver algumas ferramentas bsicas para a anlise de sistemas que usam campos magnticos. Dar tambm uma breve introduo s propriedades dos materiais magnticos usados na prtica. Ento, no Captulo 2, esses resultados sero aplicados anlise de transformadores e, nos captulos seguintes, sero usados na anlise de mquinas rotativas. Neste livro, assume-se que o leitor tenha um conhecimento bsico da teoria de campos magnticos e eltricos, tal como dada em disciplinas bsicas de fsica para estudantes de engenharia. possvel que alguns leitores j tenham tido uma disciplina sobre a teoria do campo eletromagntico com base nas equaes de Maxwell. Entretanto, uma compreenso profunda das equaes de Maxwell no um pr-requisito para o estudo deste livro. As tcnicas de anlise de circuitos magnticos representam aproximaes algbricas das solues exatas da teoria de campo. So largamente usadas no estudo dos dispositivos eletromecnicos de converso de energia, e formam a base da maioria das anlises apresentadas aqui.

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MQUINAS ELTRICAS

1.1 INTRODUO AOS CIRCUITOS MAGNTICOSEm engenharia, a soluo completa e detalhada dos campos magnticos da maioria das aplicaes de interesse prtico envolve a soluo das equaes de Maxwell, juntamente com vrias relaes constitutivas que descrevem as propriedades dos materiais. Embora, na prtica, solues exatas no sejam freqentemente alcanveis, diversas suposies simplificadoras permitem obter solues teis em engenharia.1 Comeamos supondo que, para os sistemas considerados neste livro, as freqncias e os tamanhos envolvidos so tais que o termo da corrente de deslocamento das equaes de Maxwell pode ser desconsiderado. Esse termo, associado radiao eletromagntica, responsvel pelos campos magnticos que ocorrem no espao e so produzidos por campos eltricos variveis no tempo. Desprezando esse termo, obtm-se a forma magntica quase-esttica das equaes de Maxwell, relacionando os campos magnticos s correntes que os produzem. (1.1)

(1.2) A Equao 1.1 afirma que a integral de linha da componente tangencial da intensidade de campo magntico H ao longo de um contorno fechado C igual corrente total que passa atravs de qualquer superfcie S delimitada por esse contorno. Na Equao. 1.1, vemos que a origem de H a densidade de corrente J. A Equao 1.2 afirma que a densidade de fluxo magntico B conservada, isto , em uma superfcie fechada, no h entrada nem sada lquida de fluxo (isso equivale a afirmar que cargas magnticas monopolares de campos magnticos no existem). Dessas equaes, vemos que as grandezas de um campo magntico podem ser determinadas usando apenas os valores instantneos das correntes que lhe do origem, e que as variaes no tempo dos campos magnticos resultam diretamente das variaes no tempo das fontes. Uma segunda suposio que produz simplificaes envolve o conceito de circuito magntico. A soluo geral da intensidade de campo magntico H, e da densidade de fluxo magntico B, em uma estrutura de geometria complexa, extremamente difcil. No entanto, um problema de campo tridimensional pode freqentemente ser reduzido ao que essencialmente um circuito equivalente unidimensional, dando solues de exatido aceitvel em engenharia. Um circuito magntico consiste em uma estrutura que, em sua maior parte, composta por material magntico de permeabilidade elevada. A presena de um material de alta permeabilidade tende a fazer com que o fluxo magntico seja confinado aos caminhos delimitados pela estrutura, do mesmo modo que, em um circuito eltrico, as correntes so confinadas aos condutores. O uso desse conceito de circuito magntico ser ilustrado nesta seo e, ao longo 2 do livro, veremos como ele se aplica muito bem a diversas situaes.1

Embora solues analticas exatas no sejam possveis de se obter, as solues numricas baseadas em computador (como as dos mtodos dos elementos finitos ou dos elementos de contorno, que embasam uma srie de programas comerciais) so bem comuns e tornaram-se ferramentas indispensveis de anlise e projeto. No entanto, essas tcnicas so melhor utilizadas para refinar as anlises baseadas em mtodos analticos tais como as encontradas neste livro. O seu uso pouco contribui para uma compreenso dos princpios fundamentais e do desempenho bsico das mquinas eltricas e, por essa razo, no sero discutidas neste livro. 2 Para um tratamento mais amplo dos circuitos magnticos, veja A.E.Fitzgerald, D.E. Higgenbotham, e A. Grabel, Basic Electrical Engineering, 5 ed., McGraw-Hill, 1981, Captulo 13; tambm E.E. Staff, M.I.T., Magnetic Circuits and Transformers, M.I.T. Press, 1965, Captulos 1 a 3.

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CIRCUITOS MAGNTICOS E MATERIAIS MAGNTICOS

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Um exemplo simples de um circuito magntico est mostrado na Fig. 1.1. Assume-se que o ncleo seja composto de material magntico cuja permeabilidade muito maior que a do ar ( 0). O ncleo tem seo reta uniforme e excitado por um enrolamento de N espiras conduzindo uma corrente de i ampres. Esse enrolamento produz um campo magntico no ncleo, como mostrado na figura. Devido alta permeabilidade do ncleo magntico, uma soluo exata mostraria que o fluxo magntico est confinado quase que inteiramente ao ncleo. Mostraria tambm que as linhas de campo seguem o caminho definido pelo ncleo, e que basicamente a densidade de fluxo uniforme em uma seo reta qualquer, porque a rea desta uniforme. O campo magntico pode ser visualizado em termos de linhas de fluxo formando laos fechados interligados com o enrolamento. No caso do circuito magntico da Fig. 1.1, a fonte do campo magntico do ncleo o produto Ni, em ampres-espiras (A.e). Na terminologia dos circuitos magnticos, Ni a fora magnetomotriz (FMM) que atua no circuito magntico. Embora a Fig. 1.1 mostre apenas uma nica bobina, os transformadores e a maioria das mquinas rotativas tm no mnimo dois enrolamentos, e Ni deve ser substitudo pela soma algbrica dos ampres-espiras de todos os enrolamentos. O fluxo magntico que atravessa uma superfcie S a integral de superfcie da componente normal de B; assim (1.3) Em unidades SI, a unidade de o weber (Wb). A Equao 1.2 afirma que o fluxo magntico lquido que entra ou sai de uma superfcie fechada (igual integral de superfcie de B sobre a superfcie fechada) zero. Isso equivale a dizer que qualquer fluxo que entrar em uma superfcie que delimita um volume dever deixar esse volume passando por uma outra regio dessa superfcie porque as linhas de fluxo magntico formam laos fechados. Esses fatos podem ser usados para justificar a suposio de que a densidade de fluxo magntico uniforme em uma seo reta de um circuito magntico, como no ncleo da Fig. 1.1. Nesse caso, a Equao 1.3 reduz-se equao escalar simples* (1.4) onde = fluxo no ncleo Bc = densidade de fluxo no ncleo Ac = rea da seo reta do ncleo

FIGURA 1.1

Circuito magntico simples.

* N. de T.: O subscrito c refere-se a ncleo (core em ingls)

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MQUINAS ELTRICAS

Da Equao 1.1, a relao entre a FMM que atua em um circuito magntico e a intensidade de campo magntico naquele circuito 3 (1.5) As dimenses do ncleo so tais que o comprimento do caminho de qualquer linha de fluxo aproximadamente igual ao comprimento mdio do ncleo lc. Como resultado, a integral de linha da Equao 1.5 torna-se simplesmente o produto escalar Hclc do mdulo de H vezes o comprimento mdio lc do caminho de fluxo. Assim, a relao entre a FMM e a intensidade de campo magntico pode ser escrita, na terminologia dos circuitos magnticos, como (1.6) onde Hc o mdulo mdio de H no ncleo. O sentido de Hc no ncleo pode ser encontrado a partir da regra da mo direita, que pode ser enunciada de dois modos equivalentes. (1) Imagine uma corrente sendo transportada em um condutor segurado por uma mo, com o polegar apontando no sentido da corrente. Ento, os demais dedos apontaro no sentido do campo magntico criado por essa corrente. (2) De forma equivalente, se a bobina da Fig. 1.1 for segura na mo direita (falando figurativamente), com os dedos apontando no sentido da corrente, ento o polegar apontar no sentido do campo magntico. A relao entre a intensidade de campo magntico H e a densidade de fluxo magntico B uma propriedade do material em que se encontra o campo magntico. Costuma-se supor uma relao linear; assim (1.7) onde conhecida como permeabilidade magntica. Em unidades do SI, H medida em ampres por metro, B em webers por metro quadrado ou, como tambm conhecida, em teslas (T), e em webers por ampre-espira-metro ou, de forma equivalente, em henrys por metro. Em unidades do SI, a permeabilidade do vcuo 0 = 4 107 henrys por metro. A permeabilidade dos materiais magnticos lineares pode ser expressa em termos de r, seu valor relativo ao do vcuo, ou = r 0. Valores tpicos de r variam de 2.000 a 80.000 para os materiais usados em transformadores e mquinas rotativas. As caractersticas dos materiais ferromagnticos esto descritas nas Sees 1.3 e 1.4. Por enquanto, vamos assumir que r seja uma constante conhecida, embora na realidade varie apreciavelmente em funo do valor da densidade de fluxo magntico. Os transformadores so enrolados em ncleos fechados como o da Fig. 1.1. No entanto, os dispositivos de converso de energia que contm um elemento mvel devem incluir entreferros de ar em seus circuitos magnticos. Um circuito magntico com um entreferro de ar est mostrado na Fig. 1.2. Quando o comprimento do entreferro g* for muito menor do que as dimenses das faces adjacentes do ncleo, o fluxo magntico seguir o caminho definido pelo ncleo e pelo entreferro. Nesse caso, as tcnicas de anlise de circuitos magnticos podero ser usadas. Quando o comprimento do entreferro torna-se excessivamente grande, observa-se que o fluxo dispersa-se pelos lados do entreferro, e as tcnicas de anlise de circuitos magnticos no so mais estritamente aplicveis.

Em geral, a queda de FMM ao longo de qualquer segmento de um circuito magntico pode ser calculada como sendo Hdl naquele trecho do circuito magntico. * N. de T.: g do ingls gap, entreferro.3

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FIGURA 1.2

Circuito magntico com entreferro de ar.

Assim, desde que o comprimento do entreferro g seja suficientemente pequeno, a configurao da Fig. 1.2 pode ser analisada com dois componentes em srie: um ncleo magntico de permeabilidade , rea de seo reta Ac e comprimento mdio lc, e um entreferro de permeabilidade 0, rea de seo reta Ag e comprimento g. No ncleo, a densidade de fluxo pode ser suposta uniforme; assim (1.8) e, no entreferro, (1.9) onde = fluxo no circuito magntico. A aplicao da Equao 1.5 a esse circuito magntico produz (1.10) e, usando a relao linear B-H da Equao 1.7, obtm-se (1.11) Aqui a = Ni a FMM aplicada ao circuito magntico. Da Equao 1.10, vemos que uma parte da FMM, c = Hclc, necessria para produzir campo magntico no ncleo, ao passo que o restante, g = Hgg, produz campo magntico no entreferro. Com os materiais magnticos da prtica (como foi discutido nas Sees 1.3 e 1.4), Bc e Hc nem sempre se relacionam entre si de maneira simples atravs de uma permeabilidade constante conhecida , como descrito pela Equao 1.7. De fato, Bc freqentemente um mapeamento no-linear plurvoco* de Hc. Assim, embora a Equao 1.10 continue sendo verdadeira, ela no conduz diretamente a uma expresso simples que relacione a FMM com as densidades de fluxo, como na Equao 1.11. Ao invs disso, deve-se usar, grfica ou analiticamente, os detalhes especficos da relao no-linear Bc-Hc. No entanto, em muitos casos, o conceito de permeabilidade constante aplicada a um material d resultados de exatido aceitvel em engenharia, sendo usado freqentemente.

* N. de T.: No sentido de um para muitos.

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Das Equaes 1.8 e 1.9, a Equao 1.11 pode ser reescrita em termos do fluxo total como (1.12) Os termos que multiplicam o fluxo nessa equao so conhecidos como sendo as relutncias do ncleo e do entreferro, respectivamente, (1.13) (1.14) e, assim, (1.15) Finalmente, pode-se isolar o fluxo da Equao 1.15 (1.16) ou (1.17) Em geral, para qualquer circuito magntico de relutncia total , o fluxo pode ser encontrado por (1.18) O termo que multiplica a FMM conhecido como permencia e o inverso da relutncia; assim, por exemplo, a permencia total de um circuito magntico (1.19) Observe que as Equaes 1.15 e 1.16 so anlogas s relaes entre corrente e tenso, em um circuito eltrico. Essa analogia est ilustrada na Fig. 1.3. A Fig. 1.3a mostra um circuito eltrico em que uma tenso V impulsiona uma corrente I atravs dos resistores R1 e R2. A Fig. 1.3b mostra a representao esquemtica equivalente do circuito magntico da Fig. 1.2. Vemos aqui que a FMM (anloga tenso no circuito eltrico) estabelece um fluxo (anlogo corrente no circuito eltrico) atravs da combinao das relutncias do ncleo c e do entreferro g. Freqentemente essa analogia entre as solues de circuitos magnticos e eltricos pode ser explorada para se obter as solues dos fluxos em circuitos magnticos de grande complexidade. A frao de FMM necessria para impulsionar o fluxo atravs de cada parte do circuito magntico, comumente referida como queda de FMM naquela parte do circuito magntico, varia proporcionalmente sua relutncia (em analogia direta com a queda de tenso em um elemento resistivo de um circuito eltrico). Da Equao 1.13, vemos que uma alta permeabilidade no material pode resultar em uma baixa relutncia de ncleo, esta pode ser tornada muito inferior do entreferro: isto , para ( Ac/lc) ( 0Ag/g), c g e assim tot g. Nesse caso, a relutncia do ncleo pode ser desprezada e o fluxo, e portanto B, podem ser obtidos da Equao 1.16 em termos de apenas e das propriedades do entreferro: (1.20)

tot

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FIGURA 1.3 Analogia entre circuitos eltrico e magntico. (a) Circuito eltrico, (b) circuito magntico.

Como ser visto na Seo 1.3, na prtica, os materiais magnticos tm permeabilidades que no so constantes mas que variam de acordo com o nvel do fluxo. Das Equaes 1.13 a 1.16, vemos que, enquanto essa permeabilidade permanecer suficientemente elevada, a sua variao no afetar de forma significativa o desempenho do circuito magntico. Nos sistemas reais, as linhas de campo magntico espraiam-se um pouco para fora quando cruzam o entreferro, como ilustrado na Fig. 1.4. Se esse efeito de espraiamento no for excessivo, o conceito de circuito magntico continua aplicvel. O efeito desses campos de espraiamento aumentar a rea efetiva Ag da seo reta do entreferro. Diversos mtodos empricos foram desenvolvidos para levar em conta esse efeito. Em entreferros delgados, uma correo para esses campos de espraiamento pode ser feita acrescentando-se o comprimento do entreferro a cada uma de suas duas dimenses, alterando-se assim a rea de sua seo reta. Neste livro, o efeito dos campos de espraiamento usualmente ignorado e, nesse caso, ento Ag = Ac. Geralmente, os circuitos magnticos podem consistir em mltiplos elementos em srie e em paralelo. Para completar a analogia entre circuitos eltricos e magnticos, podemos generalizar a Equao 1.5 para (1.21) onde a FMM (total em ampres-espiras) que atua impulsionando o fluxo em um lao fechado de um circuito magntico, (1.22) e k = Hklk a queda de FMM no k-simo elemento daquele lao. Isso est em analogia direta com a lei das tenses de Kirchhoff aplicada a circuitos eltricos constitudos por fontes de tenso e resistores (1.23) onde V a fonte de tenso que impulsiona a corrente em uma malha e Rkik a queda de tenso no k-simo elemento resistivo daquele lao.

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FIGURA 1.4

Campos de espraiamento no entreferro.

De modo semelhante, a equao da lei das correntes de Kirchhoff (1.24) a qual afirma que a soma das correntes em um n de um circuito eltrico zero, tem como anlogo a equao (1.25) a qual afirma que a soma dos fluxos em um n de um circuito magntico zero. Assim, descrevemos os princpios bsicos para se reduzir um problema de campo magntico quase-esttico de geometria simples a um modelo de circuito magntico. O objetivo limitado desta seo introduzir a terminologia e alguns dos conceitos usados pelos engenheiros para resolver problemas prticos de projeto. Devemos enfatizar que esse tipo de pensamento depende fortemente do raciocnio e da intuio prprios de engenharia. Por exemplo, deixamos implcito a suposio de que a permeabilidade das partes de ferro do circuito magntico seja uma quantidade conhecida constante, embora geralmente isso no seja verdadeiro (veja a Seo 1.3), e que o campo magntico esteja confinado unicamente ao ncleo e a seus entreferros. Embora trate-se de uma boa suposio para muitas situaes, tambm verdadeiro que as correntes do enrolamento produzem campos magnticos fora do ncleo. Como veremos, quando dois ou mais enrolamentos so colocados em um campo magntico, como ocorre no caso de transformadores e mquinas rotativas, esses campos externos ao ncleo, conhecidos como campos de disperso, no podem ser ignorados e afetam de forma significativa o desempenho do dispositivo.EXEMPLO 1.1

O circuito magntico mostrado na Fig. 1.2 tem as dimenses Ac = Ag = 9 cm2, g = 0,050 cm, lc = 30 cm e N = 500 espiras. Suponha o valor r = 70.000 para o material do ncleo. (a) Encontre as relutncias c e g. Dada a condio de que o circuito magntico esteja operando com Bc = 1,0 T, encontre (b) o fluxo e (c) a corrente i.Soluo

a. A relutncia pode ser obtida das Equaes 1.13 e 1.14:

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b. Da Equao 1.4,

c. Das Equaes 1.6 e 1.15,

PROBLEMA PRTICO 1.1

Encontre o fluxo e a corrente para o Exemplo 1.1 se (a) o nmero de espiras for duplicado para N = 1000 espiras, mantendo-se as mesmas dimenses, e (b) se o nmero de espiras for N = 500 e o entreferro for reduzido a 0,040 cm.Soluo

a. = 9 104 Wb e i = 0,40 A b. = 9 104 Wb e i = 0,64 AEXEMPLO 1.2

A estrutura magntica de uma mquina sncrona est mostrada esquematicamente na Fig. 1.5. Supondo que o ferro do rotor e do estator tenham permeabilidade infinita ( ), encontre o fluxo do entreferro e a densidade de fluxo Bg. Neste exemplo, I = 10 A, N = 1000 espiras, g = 1 cm e Ag = 2000 cm2.Soluo

Observe que h dois entreferros em srie, com comprimento total de 2g, e por simetria a densidade de fluxo igual em ambos. Como se supe que a permeabilidade do ferro seja infini-

FIGURA 1.5

Mquina sncrona simples.

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MQUINAS ELTRICAS

ta, sua relutncia desprezvel e pode-se usar a Equao 1.20 (com g substitudo pelo comprimento total de entreferro 2g) para obter o fluxo

e

PROBLEMA PRTICO 1.2

Para a estrutura magntica da Fig. 1.5, com as dimenses dadas no Exemplo 1.2, observa-se que a densidade de fluxo do entreferro Bg = 0,9 T. Encontre o fluxo de entreferro e, para uma bobina de N = 500 espiras, a corrente necessria para produzir esse valor de fluxo no entreferro.Soluo

= 0,18 Wb e i = 28,6 A

1.2 FLUXO CONCATENADO, INDUTNCIA E ENERGIAQuando um campo magntico varia no tempo, produz-se um campo eltrico no espao de acordo com a lei de Faraday: (1.26) A Equao 1.26 afirma que a integral de linha da intensidade de campo eltrico E ao longo de um contorno fechado C igual razo, no tempo, da variao de fluxo magntico que concatena (isto , passa atravs) aquele contorno. Em estruturas magnticas, com enrolamentos de alta condutividade eltrica, como na Fig. 1.2, pode-se mostrar que o campo E no fio extremamente pequeno podendo ser desprezado, de modo que o primeiro membro da 4 Equao 1.26 reduz-se ao negativo da tenso induzida e nos terminais do enrolamento. Alm disso, no segundo membro da Equao 1.26 predomina o fluxo do ncleo . Como o enrolamento (e portanto o contorno C) concatena o fluxo do ncleo N vezes, a Equao 1.26 reduz-se a (1.27) onde o fluxo concatenado do enrolamento definido como (1.28) O fluxo concatenado medido em webers (ou de forma equivalente em webers-espiras). O smbolo usado para indicar o valor instantneo de um fluxo varivel no tempo. Em geral, o fluxo concatenado de uma bobina igual integral de superfcie da componente normal de densidade do fluxo magntico. A integrao realizada sobre qualquer super-

4

O termo fora eletromotriz (FEM) usado freqentemente ao invs de tenso induzida para representar aquele componente de tenso devido variao, no tempo, do fluxo concatenado.

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fcie delimitada pelas espiras daquela bobina. Observe que o sentido da tenso induzida, e, definido pela Equao 1.26 de modo que, se os terminais do enrolamentos fossem curto-circuitados, uma corrente iria fluir em um sentido tal que se oporia variao do fluxo concatenado. Em um circuito magntico, composto de material magntico de permeabilidade constante ou que inclua um entreferro dominante, a relao entre e i ser linear e poderemos definir a indutncia L como (1.29) A substituio das Equaes 1.5, 1.18 e 1.28 na Equao 1.29 d (1.30) Dessa equao, podemos ver que a indutncia de um enrolamento em um circuito magntico proporcional ao quadrado das espiras e inversamente proporcional relutncia do circuito magntico associado a esse enrolamento. Por exemplo, a partir da Equao 1.20, supondo que a relutncia do ncleo seja desprezvel em comparao com a do entreferro, a indutncia do enrolamento da Fig. 1.2 ser igual a (1.31) A indutncia medida em henrys (H) ou webers-espiras por ampre. A Equao 1.31 mostra a estrutura dimensional das expresses de indutncia. Ela proporcional ao quadrado do nmero de espiras, a uma permeabilidade magntica, a uma rea de seo reta, e inversamente proporcional a um comprimento. Deve-se enfatizar que, estritamente falando, o conceito de indutncia requer uma relao linear entre fluxo e FMM. Assim, ela no pode ser aplicada rigorosamente a situaes em que as caractersticas no-lineares dos materiais magnticos, como discutido nas Sees 1.3 e 1.4, predominem no desempenho do sistema magntico. No entanto, em muitas situaes de interesse prtico, a relutncia do sistema dominada pela do entreferro (que naturalmente linear), e os efeitos no-lineares dos materiais magnticos podem ser ignorados. Em outros casos, pode ser perfeitamente aceitvel assumir um valor mdio para a permeabilidade magntica do material do ncleo. Para tanto, calcula-se uma indutncia mdia correspondente, que pode ser usada com exatido razovel em clculos de engenharia. O Exemplo 1.3 ilustra o primeiro caso e o Exemplo 1.4, o ltimo.EXEMPLO 1.3

O circuito magntico da Fig. 1.6a constitudo por uma bobina de N espiras enroladas em um ncleo magntico, de permeabilidade infinita, com dois entreferros paralelos de comprimentos g1 e g2, e reas A1 e A2, respectivamente. Encontre (a) a indutncia do enrolamento e (b) a densidade de fluxo B1 no entreferro 1 quando o enrolamento est conduzindo uma corrente i. Despreze os efeitos de espraiamento no entreferro.Soluo

a. O circuito equivalente da Fig. 1.6b mostra que a relutncia total igual combinao em paralelo das relutncias dos dois entreferros. Assim,

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MQUINAS ELTRICAS

FIGURA 1.6

(a) Circuito magntico e (b) circuito equivalente para o Exemplo 1.3.

onde

Da Equao 1.29,

b. Do circuito equivalente, pode-se ver que

e, assim,

EXEMPLO 1.4

No Exemplo 1.1, assume-se que a permeabilidade relativa do material do ncleo do circuito magntico da Fig. 1.2 seja r = 70.000, para uma densidade de fluxo de 1,0 T. a. Para esse valor de r, calcule a indutncia do enrolamento. b. Em um dispositivo real, o ncleo poderia ser construdo de ao eltrico, como o de tipo M5 discutido na Seo 1.3. Esse material altamente no-linear e sua permeabilidade relativa (definida como sendo a razo B / H, para os objetivos deste exemplo) varia entre um valor de aproximadamente r = 72.300 para uma densidade de fluxo de B = 1,0 T, e um valor da ordem de r = 2.900, medida que a densidade de fluxo eleva-se at 1,8 T. (a) Calcule a indutncia supondo que a permeabilidade relativa do ao do ncleo seja 72.300. (b) Calcule a indutncia supondo que a permeabilidade relativa seja 2.900.Soluo

a. Das Equaes 1.13 e 1.14 e baseando-se nas dimenses dadas no Exemplo 1.1, obtm-se

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ao passo que

g

permanece inalterada, mantendo-se o valor calculado no Exemplo 1.1 de

Assim, a relutncia total do ncleo e do entreferro

e, portanto, da Equao 1.30

b. Para

r

= 2.900, a relutncia do ncleo aumenta de um valor de 3,79 103

para

e, portanto, a relutncia total aumenta de 4,46 10

5

para 5,34 105

. As-

sim, da Equao 1.30, a indutncia diminui de 0,561 H para

Esse exemplo ilustra o efeito da linearizao de um entreferro dominante em um circuito magntico. Apesar da reduo de permeabilidade do ferro por um fator de 72.300/2.900 = 25, a indutncia diminui apenas de 0,468/0,561 = 0,83, simplesmente porque a relutncia do entreferro significativamente maior que a do ncleo. Em muitas situaes, comum supor que a indutncia seja constante, o que corresponde a uma permeabilidade de ncleo de valor finito e constante (ou, como em muitos casos, supor simplesmente que r ). Anlises baseadas nessa forma de representar um indutor levam freqentemente a resultados que esto bem dentro da faixa de exatido aceitvel em engenharia. Isso evita a enorme complicao decorrente da modelagem da no-linearidade do material do ncleo.PROBLEMA PRTICO 1.3

Repita o clculo de indutncia do Exemplo 1.4 para uma permeabilidade relativa deSoluo

r

= 30.000.

L = 0,554 HEXEMPLO 1.5

Usando MATLAB, faa um grfico da indutncia do circuito magntico do Exemplo 1.1 e da Fig. 1.2, em funo da permeabilidade do ncleo no intervalo 100 r 100.000.Soluo

Aqui est o script para MATLAB:clc clear % Permeabilidade do vcuo mu0=pi*4.e-7;

MATLAB uma marca registrada da The MathWorks, Inc.

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MQUINAS ELTRICAS %Todas as dimenses expressas em metros Ac=9e-4; Ag=9e-4; g=5e-4; lc=0,3; N=500; %Relutncia do entreferro Rg=g/(mu0*Ag); for n=1:101 mur(n) = 100 + (100000 100)*(n1)/100; %Relutncia do ncleo Rc(n)=1c/(mur(n)*mu0*Ac); Rtot=Rg+Rc(n); %Indutncia L(n)=N^2/Rtot; end plot(mur,L) xlabel('Permeabilidade relativa do ncleo') ylabel('Indutncia [H]')

O grfico resultante est mostrado na Fig. 1.7. Observe que a figura confirma claramente que, no circuito magntico deste exemplo, a indutncia bastante insensvel permeabilidade relativa enquanto esta no baixar at a ordem de 1.000. Assim, enquanto a permeabilidade relativa efetiva do ncleo for elevada (neste caso, superior a 1.000), qualquer no-linearidade nas propriedades do ncleo ter um efeito pequeno nas propriedades finais do indutor.PROBLEMA PRTICO 1.4

Escreva um script de MATLAB para plotar a indutncia do circuito magntico do Exemplo 1.1, no qual r = 70.000, em funo do comprimento do entreferro, quando este varia de 0,01 cm at 0,10 cm.

FIGURA 1.7

Grfico de MATLAB da indutncia versus a permeabilidade relativa do Exemplo 1.5.

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A Fig. 1.8 mostra um circuito magntico com um entreferro e dois enrolamentos. Nesse caso, observe que a FMM do circuito magntico dada pelo total de ampres-espiras que atua no circuito magntico (isto , o total lquido de ampres-espiras de ambos os enrolamentos) e que os sentidos de referncia das correntes foram escolhidos de modo a produzirem fluxos no mesmo sentido. A FMM total , portanto, (1.32) e, da Equao 1.20, desprezando a relutncia do ncleo e assumindo que Ac = Ag, o fluxo do ncleo (1.33) Na Equao 1.33, o fluxo resultante no ncleo, produzido pela FMM total dos dois enrolamentos. esse resultante que determina o ponto de operao do material do ncleo. Se a Equao 1.33 for decomposta em termos relacionados individualmente com cada corrente, o fluxo concatenado resultante da bobina 1 pode ser expresso como (1.34) que pode ser escrita como (1.35) onde (1.36) a indutncia prpria* da bobina 1 e L11i1 o fluxo concatenado da bobina 1 devido sua prpria corrente i1. A indutncia mtua entre as bobinas 1 e 2 (1.37)

FIGURA 1.8

Circuito magntico com dois enrolamentos.

* N. de T.: Tambm conhecida como auto-indutncia.

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e L12i2 o fluxo concatenado da bobina 1 devido corrente i2 na outra bobina. Do mesmo modo, o fluxo concatenado da bobina 2 (1.38) ou (1.39) onde L21 = L12 a indutncia mtua e (1.40) a indutncia prpria da bobina 2. importante observar que a decomposio dos fluxos concatenados resultantes em duas componentes produzidas por i1 e i2 baseia-se na superposio dos efeitos individuais e, portanto, implica uma relao linear fluxo-FMM (caracterstica de materiais de permeabilidade constante). A substituio da Equao 1.29 na Equao 1.27 resulta em (1.41) para o caso de um circuito magntico com um nico enrolamento. Em um circuito magntico esttico, a indutncia fixa (supondo que as no-linearidades do material no causem variaes na indutncia). Ento, essa equao reduz-se forma familiar da teoria de circuitos (1.42) Freqentemente, no entanto, em dispositivos de converso eletromecnica de energia, as indutncias variam no tempo e a Equao 1.41 deve ser escrita como (1.43) Observe que, nos casos de enrolamentos mltiplos, o fluxo concatenado total de cada enrolamento deve ser usado na Equao 1.27, para se encontrar a tenso nos terminais do enrolamento. Em um circuito magntico, a potncia nos terminais de um enrolamento uma medida da taxa com que o fluxo de energia flui para dentro do circuito naquele enrolamento em particular. A potncia, p, determinada pelo produto da tenso pela corrente (1.44) e sua unidade watts (W), ou joules por segundo. Assim, a variao da energia magntica armazenada W no circuito magntico, durante o intervalo de tempo de t1 a t2, (1.45) Em unidades SI, a energia magntica armazenada W medida em joules (J). No caso de um sistema com um nico enrolamento de indutncia constante, a variao da energia magntica armazenada, quando o nvel do fluxo varia de 1 a 2, pode ser escrita como (1.46)

CAPTULO 1


35

A energia magntica total armazenada, para qualquer valor de , pode ser obtida fazendo-se 1 igual a zero: (1.47)EXEMPLO 1.6

No circuito magntico do Exemplo 1.1 (Fig. 1.2), encontre (a) a indutncia L, (b) a energia magntica armazenada W quando Bc = 1,0 T, e (c) a tenso induzida e para um fluxo de ncleo, que varia no tempo a 60 Hz, dado por Bc = 1,0 sen t T em que = (2)(60) = 377.Soluo

a. Das Equaes 1.16 e 1.29 e do Exemplo 1.1,

Observe que a relutncia do ncleo muito menor que a do entreferro ( c g). Assim, dentro de uma boa aproximao, a indutncia dominada pela relutncia do entreferro, isto ,

b. No Exemplo 1.1, encontramos que, quando Bc = 1,0 T, ento i = 0,80 A. Portanto, da Equao 1.47,

c. Da Equao 1.27 e do Exemplo 1.1,

PROBLEMA PRTICO 1.5

Repita o Exemplo 1.6 para Bc = 0,8 T, supondo que o fluxo do ncleo varie a 50 Hz, ao invs de 60 Hz.Soluo

a. A indutncia L permanece inalterada. b. W = 0,115 J c. e = 113 cos(314t) V

1.3 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAGNTICOSNo contexto dos dispositivos de converso eletromecnica de energia, a importncia dos materiais magnticos dupla. Com seu uso, possvel obter densidades elevadas de fluxo mag-

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ntico com nveis relativamente baixos de fora magnetizante. Como as foras magnticas e a densidade de energia elevam-se com o aumento da densidade de fluxo, esse efeito exerce um papel enorme no desempenho dos dispositivos de converso de energia. Alm disso, os materiais magnticos podem ser usados para delimitar e direcionar os campos magnticos, dentro de caminhos bem definidos. Em transformadores, so usados para maximizar o acoplamento entre os enrolamentos, assim como para diminuir a corrente de excitao requerida para operar o transformador. Em mquinas eltricas, os materiais magnticos so usados para dar forma aos campos de modo que o conjugado desejado seja produzido e as caractersticas eltricas especficas nos terminais sejam obtidas. Os materiais ferromagnticos, tipicamente compostos de ferro e de ligas de ferro com cobalto, tungstnio, nquel, alumnio e outros metais, so de longe os materiais magnticos mais comuns. Ainda que esses materiais sejam caracterizados por uma ampla faixa de propriedades, os fenmenos bsicos responsveis por suas propriedades so comuns a todos eles. Observa-se que os materiais ferromagnticos so compostos por um grande nmero de domnios, isto , regies nas quais os momentos magnticos de todos os tomos esto em paralelo, dando origem a um momento magntico resultante naquele domnio. Em uma amostra no magnetizada do material, os momentos magnticos esto orientados aleatoriamente e o fluxo magntico lquido resultante no material zero. Quando uma fora magnetizante externa aplicada a esse material, os momentos dos domnios magnticos tendem a se alinhar com o campo magntico aplicado. Como resultado, os momentos magnticos dos domnios somam-se ao campo aplicado, produzindo um valor muito mais elevado de densidade de fluxo do que aquele que existiria devido apenas fora magnetizante. Assim, a permeabilidade efetiva , igual razo entre a densidade de fluxo magntico total e a intensidade do campo magntico aplicado, elevada em comparao com a permeabilidade do vcuo 0. medida que a fora magnetizante aumenta, esse comportamento continua at que todos os momentos magnticos estejam alinhados com o campo aplicado. Nesse ponto, eles no podem mais contribuir para o aumento da densidade do fluxo magntico, e diz-se que o material est completamente saturado. Na ausncia de uma fora magnetizante externamente aplicada, os momentos magnticos tendem a se alinhar naturalmente de acordo com certas direes associadas estrutura cristalina dos domnios, conhecidas como eixos de mais fcil magnetizao. Assim, se a fora magnetizante for reduzida, os momentos dos domnios magnticos relaxam-se indo para as direes de mais fcil magnetizao prximas da direo do campo aplicado. Entretanto, no final, quando o campo aplicado reduzido at zero, os momentos dos dipolos magnticos, embora tendendo a relaxar e a assumir suas orientaes iniciais, no so mais totalmente aleatrios em suas orientaes. Eles agora retm uma componente de magnetizao lquida na direo do campo aplicado. Esse efeito responsvel pelo fenmeno conhecido como histerese magntica. Devido a esse efeito de histerese, a relao entre B e H em um material ferromagntico no-linear e plurvoca. Em geral, as caractersticas do material no podem ser descritas de forma analtica. Comumente, so apresentadas em forma de grficos constitudos por conjuntos de curvas determinadas empiricamente, a partir de amostras de ensaios com os materiais, 5 seguindo os mtodos prescritos pela American Society for Testing and Materials (ASTM). A curva mais comum usada para descrever um material magntico a curva B-H ou lao de histerese. O primeiro e segundo quadrantes (correspondendo a B 0) de um conjunto5

Dados numricos de uma ampla variedade de materiais magnticos esto disponibilizados pelos fabricantes de materiais magnticos. Um problema com o uso de tais dados vem da diversidade dos sistemas de unidades usados. Por exemplo, a magnetizao pode ser dada em oersteds ou em ampres-espiras por metro, e a densidade de fluxo magntico em gauss, quilogauss ou teslas. Alguns fatores teis de converso so dados no Apndice E. O leitor deve lembrar-se de que as equaes desse livro baseiam-se em unidades SI.

CAPTULO 1


37

FIGURA 1.9 Laos B-H para ao eltrico de gro orientado, tipo M-5, de 0,012 polegadas de espessura. Apenas as metades superiores dos laos so mostrados aqui. (Armco Inc.)

de laos de histerese esto mostrados na Fig. 1.5 para o ao M-5, um tpico ao eltrico de gro orientado, usado em equipamentos eltricos. Esses laos mostram a relao entre a densidade de fluxo magntico B e a fora magnetizante H. Cada curva obtida variando-se ciclicamente a fora magnetizante aplicada entre valores iguais positivos e negativos de magnitude constante. A histerese faz com que essas curvas sejam plurvocas. Depois de diversos ciclos, as curvas B-H formam laos fechados como se mostra na figura. As setas indicam as trajetrias seguidas por B quando H cresce e decresce. Observe que, com um valor crescente de H, as curvas comeam a ficar horizontais medida que o material tende saturao. Para uma densidade de fluxo em torno de 1,7 T, pode-se ver que o material est fortemente saturado. Observe que, quando H decresce desde seu valor mximo at zero, a densidade de fluxo decresce mas no at zero. Isso resulta do relaxamento das orientaes dos momentos magnticos dos domnios, como recm descrito. O resultado que, quando H zero, uma magnetizao remanescente est presente. Felizmente, para muitas aplicaes em engenharia, suficiente descrever o material por uma curva unvoca, obtida pela plotagem dos lugares de valores mximos de B e H nas extremidades dos laos de histerese. Essa curva conhecida como curva de magnetizao CC ou normal. Uma curva de magnetizao CC para o ao eltrico de gro orientado do tipo M-5 est mostrada na Fig. 1.10. A curva de magnetizao CC despreza a natureza histertica do material mas exibe claramente as suas caractersticas no-lineares.EXEMPLO 1.7

Suponha que o material do ncleo do Exemplo 1.1 seja ao eltrico de gro orientado do tipo M-5, o qual tem a curva de magnetizao CC da Fig. 1.10. Encontre a corrente i necessria para produzir Bc = 1 T.

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FIGURA 1.10 Curva de magnetizao CC para o ao eltrico de gro orientado M-5 de 0,012 polegadas de espessura. (Armco Inc.)

Soluo

O valor de Hc para Bc = 1 T pode ser lido da Fig. 1.10 como

A queda de FMM no caminho do ncleo

A queda de FMM no entreferro

A corrente necessria

PROBLEMA PRTICO 1.6

Repita o Exemplo 1.7 encontrando a corrente i para que Bc = 1,6 T. De quanto a corrente deve ser aumentada para resultar nesse aumento de 1,6 vezes na densidade de fluxo?Soluo

Pode-se mostrar que a corrente i deve ser 1,302 A. Assim, a corrente deve ser aumentada de 1,302/0,8 = 1,63. Devido ao predomnio da relutncia do entreferro, esse valor ligeiramente maior do que o aumento fracionrio na densidade de fluxo, apesar de que o ncleo comece a saturar de forma significativa quando a densidade de fluxo atinge 1,6 T.

CAPTULO 1


39

1.4 EXCITAO CAEm sistemas de potncia CA, as formas de onda de tenso e de fluxo so bastante prximos de funes senoidais de tempo. Para tais condies, esta seo descrever as caractersticas da excitao e das perdas associadas operao CA, em regime permanente, dos materiais magnticos. Como modelo, usaremos um circuito magntico de ncleo fechado, isto , sem entreferro, tal como o mostrado na Fig. 1.1 ou o transformador da Fig. 2.4. O comprimento do caminho magntico lc, e a rea da seo reta Ac, ao longo do comprimento do ncleo. Alm disso, supomos uma variao senoidal para o fluxo (t) do ncleo, assim (1.48) onde max = amplitude do fluxo do ncleo em webers Bmax = amplitude da densidade de fluxo Bc em teslas = freqncia angular = 2 f f = freqncia em Hz Da Equao 1.27, a tenso induzida no enrolamento de N espiras (1.49) onde (1.50) Na operao CA, em regime permanente, usualmente estamos mais interessados nos valores eficazes* das tenses e correntes do que nos valores instantneos ou mximos. Em geral, o valor eficaz de uma funo peridica de tempo, f(t), de perodo T definido como (1.51) A partir da Equao 1.51, pode-se mostrar que o valor eficaz de uma onda senoidal zes o seu valor de pico. Assim, o valor eficaz da tenso induzida ve-

(1.52) Para se produzir fluxo magntico no ncleo, necessrio que uma corrente, conhecida como corrente de excitao, i, esteja presente no enrolamento de excitao.6 As propriedades magnticas no-lineares do ncleo requerem que a forma de onda da corrente de excitao seja diferente da forma de onda senoidal do fluxo. A curva da corrente de excitao em funo do tempo pode ser obtida graficamente a partir das caractersticas magnticas do material do ncleo, como se ilustra na Fig. 1.11a. Como Bc e Hc se relacionam com e i por constantes geomtricas conhecidas, o lao de histerese CA da Fig. 1.11b foi desenhado em termos de = BcAc e i = Hclc/N. As ondas senoidais da tenso induzida, e, e do fluxo, , de acordo com as Equaes 1.48 e 1.49, esto mostradas na Fig. 1.11a. Em um instante dado qualquer, o valor de i correspondente a um valor dado de fluxo pode ser obtido diretamente do lao de histerese. Por exemplo, no tempo t', o fluxo ' e a corrente i'; no tempo t'', os valores correspondentes so '' e i''. Observe que, como o lao * N. de T.: Do ingls root-mean-square (raiz do valor mdio quadrtico ou, simplesmente, valor mdio quadrtico). 6 Mais genericamente, em um sistema com mltiplos enrolamentos, a FMM de excitao o total lquido de ampres-espiras que atua para produzir fluxo no circuito magntico.

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FIGURA 1.11 Fenmenos de excitao. (a) Tenso, fluxo e corrente de excitao; (b) lao de histerese correspondente.

de histerese plurvoco, deve-se ter cuidado buscando os valores de fluxo crescente (' na figura) na parte de fluxo crescente do lao de histerese, e, do mesmo modo, a parte do fluxo decrescente do lao de histerese deve ser escolhida quando se buscam os valores de fluxo decrescente ('' na figura). Como o lao de histerese achata-se devido aos efeitos da saturao, observe que a forma de onda da corrente de excitao apresenta picos acentuados. Seu valor eficaz I, ef definido pela Equao 1.51, onde T o perodo de um ciclo. Est relacionado com o valor eficaz (ef) correspondente Hc,ef de Hc pela equao (1.53) As caractersticas de excitao CA dos materiais usados em ncleos so descritas freqentemente em termos de volts-ampres eficazes, ao invs de uma curva de magnetizao que relacione B com H. A teoria que fundamenta essa representao pode ser explicada combinando as Equaes 1.52 e 1.53. Assim, das Equaes 1.52 e 1.53, os volts-ampres eficazes necessrios para excitar o ncleo da Fig. 1.1, com uma densidade de fluxo especificada, igual a

(1.54) Na Equao 1.54, pode-se ver que o produto Aclc igual ao volume do ncleo e, assim, o valor necessrio de excitao, em volts-ampres eficazes, para excitar o ncleo com uma onda senoidal proporcional freqncia de excitao, ao volume do ncleo e ao produto da densidade do fluxo de pico vezes a intensidade eficaz do campo magntico. Para um material magntico com densidade de massa c, a massa do ncleo Aclc c e o valor dos volts-ampres eficazes de excitao por unidade de massa, Pa, pode ser expresso como (1.55)

CAPTULO 1


41

Observe que, com essa forma de normalizao, o valor dos volts-ampres uma propriedade apenas do material. Alm disso, observe que esse valor depende apenas de Bmax porque Hef uma funo nica de Bmax determinada pela forma do lao de histerese do material em uma freqncia dada f qualquer. Como resultado, as condies de excitao CA de um material magntico so fornecidas freqentemente pelos fabricantes em termos de volts-ampres eficazes por unidade de peso. Esses valores so determinados por meio de ensaios de laboratrio realizados com amostras de ncleo fechado do material. Esses resultados esto ilustrados na Fig. 1.12 para o ao eltrico de gro orientado do tipo M-5. A corrente de excitao fornece a FMM necessria para produzir o fluxo no ncleo e o ingresso da potncia associada com a energia do campo magntico do ncleo. Parte dessa energia dissipada como perdas das quais resulta o aquecimento do ncleo. O restante aparece como potncia reativa associada ao armazenamento de energia no campo magntico. Essa potncia reativa no dissipada no ncleo; ciclicamente ela fornecida e absorvida pela fonte de excitao. Em materiais magnticos, dois so os mecanismos de perdas associados a fluxos variveis no tempo. O primeiro o aquecimento hmico I2R devido s correntes induzidas no material do ncleo. Pela lei de Faraday (Equao 1.26), vemos que os campos magnticos variveis no tempo do origem a campos eltricos. Em materiais magnticos, esses campos eltricos resultam em correntes induzidas, comumente referidas como correntes parasitas, que circulam no material do ncleo e opem-se s mudanas de densidade de fluxo do material. Para contrabalanar o efeito de desmagnetizao correspondente, a corrente do enrolamento de excitao deve aumentar. Assim, o lao B-H dinmico, resultante da operao em CA, um pouco mais cheio do que o lao de histerese, para condies que variem lentamente. Esse efeito se intensifica medida que a freqncia de excitao aumenta. Por essa razo, as caractersticas dos aos eltricos variam com a freqncia, e usualmente so fornecidas pelos fabricantes para o valor de freqncia esperada de operao de cada ao eltrico em particular. Observe, por exemplo, que o valor eficaz dos volts-ampres de excitao da Fig. 1.12 est especificado para a freqncia de 60 Hz.

FIGURA 1.12 Volts-ampres eficazes de excitao por quilograma a 60 Hz para o ao eltrico de gro orientado do tipo M-5 de 0,012 polegadas de espessura. (Armco Inc.)

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Para reduzir os efeitos das correntes parasitas, as estruturas magnticas so construdas usualmente com chapas delgadas de material magntico. Essas chapas, alinhadas na direo das linhas de campo, esto isoladas entre si por uma camada de xido em suas superfcies, ou por uma fina cobertura de esmalte ou verniz de isolao. Isso reduz grandemente a magnitude das correntes parasitas porque as camadas de isolao interrompem os caminhos de corrente; quanto mais delgadas as chapas, menores as perdas. Em geral, as perdas por correntes parasitas tendem a aumentar com o quadrado da freqncia de excitao, e tambm com o quadrado da densidade de fluxo de pico. O segundo mecanismo de perdas devido natureza histertica do material magntico. Em um circuito magntico como o da Fig. 1.1 ou o transformador da Fig. 2.4, uma excitao varivel no tempo far com que o material magntico seja submetido a uma variao cclica descrita por um lao de histerese como o mostrado na Fig. 1.13. A Equao 1.45 pode ser usada para calcular o ingresso de energia W no ncleo magntico da Fig. 1.1, quando o material submetido a um nico ciclo. Obtm-se (1.56) Verificando que Aclc o volume do ncleo e que a integral a rea do lao de histerese CA, vemos que h um fornecimento lquido de energia para dentro do material, a cada vez que o material submetido a um ciclo. Essa energia requerida para girar os dipolos do material e dissipada como calor no material. Assim, para um dado ciclo, as perdas por histerese correspondentes so proporcionais rea do ciclo de histerese e ao volume total de material. Como h uma perda de energia a cada ciclo, a potncia das perdas por histerese proporcional freqncia da excitao aplicada. Em geral, essas perdas dependem do aspecto metalrgico do material, assim como da densidade de fluxo e da freqncia. Os dados sobre perdas no ncleo* so apresentados tipicamente em forma de grficos. So plotados em termos de watts por unidade de massa em

FIGURA 1.13 breado).

Lao de histerese; a perda por histerese proporcional rea do lao (som-

* N. de T.: Conhecidas tambm como perdas no ferro.

CAPTULO 1


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FIGURA 1.14 Perdas no ncleo a 60 Hz em watts por quilograma para o ao eltrico de gro orientado do tipo M-5 de 0,012 polegadas de espessura. (Armco Inc.)

funo da densidade de fluxo. Muitas vezes, fornecida uma famlia de curvas para diferentes freqncias. A Fig. 1.14 mostra as perdas Pc no ncleo para o ao eltrico de gro orientado do tipo M-5 a 60 Hz. Quase todos os transformadores e certas partes de mquinas eltricas usam material base de chapas de ao. Essas apresentam direes altamente favorveis de magnetizao, ao longo das quais as perdas no ncleo so baixas, e a permeabilidade alta. Esse material chamado ao de gro orientado. A razo dessa propriedade est na estrutura atmica cbica de corpo centrado dos cristais da liga de silcio e ferro. Cada cubo tem um tomo em cada vrtice, assim como um outro no seu centro. No cubo, a aresta o eixo mais fcil de ser magnetizado; a diagonal da face um eixo mais difcil, e a diagonal do cubo o mais difcil de todos. Usando tcnicas adequadas de fabricao, a maioria das arestas dos cubos dos cristais alinhada na direo de laminao. Desse modo, essa torna-se a direo favorvel de magnetizao. Em relao s perdas no ncleo e permeabilidade, o comportamento nessa direo superior ao dos aos no orientados, nos quais os cristais esto orientados aleatoriamente, produzindo um material de caractersticas uniformes em todas as direes. Como resultado, os aos orientados podem operar, em relao aos no orientados, com densidades de fluxo mais elevadas. Os aos eltricos no orientados so usados em aplicaes onde o fluxo no segue um caminho que pode ser orientado na direo de laminao, ou em que o baixo custo importante. Nesses aos, as perdas so maiores e a permeabilidade muito menor do que nos aos de gro orientado.EXEMPLO 1.8

O ncleo magntico da Fig. 1.15 feito de chapas de ao eltrico de gro orientado M-5. O enrolamento excitado com uma tenso de 60 Hz produzindo no ao uma densidade de fluxo de B = 1,5 sen t T, onde = 260 377 rad/s. O ao ocupa 0,94 da rea da seo reta. A densidade de massa do ao 7,65 g/cm3. Encontre (a) a tenso aplicada, (b) a corrente de pico, (c) a corrente eficaz de excitao e (d) as perdas no ncleo.

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FIGURA 1.15

Ncleo de chapas de ao com um enrolamento para o Exemplo 1.8.

Soluo

a. Da Equao 1.27, a tenso

b. A intensidade de campo magntico correspondente a Bmax = 1,5 T est dada na Fig. 1.10 valendo Hmax = 36 A.e/m. Observe que, como esperado, a permeabilidade relativa r = Bmax/( 0 Hmax) = 33.000 para um fluxo de 1,5 T inferior ao valor de r = 72.300, encontrado no Exemplo 1.4 e correspondente ao valor de 1,0 T, significativamente maior mesmo assim do que o valor de 2.900 correspondente a um fluxo de 1,8 T.

A corrente de pico

c. A corrente eficaz obtida do valor de Pa da Fig. 1.12 para Bmax = 1,5 T.

O volume do ncleo e a massa so

Os volts-ampres e a corrente totais eficazes so

CAPTULO 1


45

d. A densidade das perdas no ncleo obtida da Fig. 1.14 como Pc = 1,2 W/kg. As perdas totais no ncleo soPc = (1,2 W/kg)(13,2 kg) = 16 W

PROBLEMA PRTICO 1.7

Repita o Exemplo 1.8 para um tenso de 60 Hz dada por B = 1,0 sen t T.Soluo

a. b. c. d.

V = 185 cos 377t V I = 0,04 A I = 0,061 A Pc = 6,7 W

1.5 IMS PERMANENTESA Fig. 1.16a mostra o segundo quadrante de um lao de histerese do Alnico 5, um material magntico permanente (im) tpico, ao passo que a Fig. 1.16b mostra o segundo quadrante de um lao de histerese para o ao do tipo M-5.7 Observe que as curvas tm naturezas semelhantes. No entanto, o lao de histerese do Alnico 5 caracterizado por um alto valor de densidade de fluxo residual ou magnetizao remanescente, Br, (aproximadamente 1,22 T) assim como um alto valor de coercitividade, Hc, (aproximadamente 49 kA/m). A magnetizao remanescente, Br, corresponde densidade de fluxo que permanece atuando em uma estrutura magntica fechada desse material, como na Fig. 1.1, quando a FMM aplicada (e portanto a intensidade de campo magntico H) reduzida a zero. No entanto, embora o ao eltrico de gro orientado M-5 tenha tambm um alto valor de magnetizao remanescente (aproximadamente 1,4 T), ele tem um valor muito menor de coercitividade (aproximadamente 6 A/m, menor por um fator superior a 7.500). A coercitividade Hc corresponde intensidade de campo magntico (proporcional FMM) requerida para reduzir a densidade de fluxo do material a zero. O significado da magnetizao remanescente que ela pode produzir fluxo magntico em um circuito magntico na ausncia de uma excitao externa (como correntes nos enrolamentos). Esse um fenmeno conhecido de qualquer um que j afixou bilhetes em um refrigerador usando ims. Esses so usados largamente em dispositivos como alto-falantes e motores de ims permanentes. A partir da Fig. 1.16, poderia parecer que o Alnico 5 e o ao eltrico de gro orientado M-5 seriam teis na produo de fluxo em circuitos magnticos desprovidos de excitao, j que ambos tm valores altos de magnetizao remanescente. Esse no o caso, como se pode ilustrar melhor por meio de um exemplo.EXEMPLO 1.9

Como mostrado na Fig. 1.17, um circuito magntico constitudo por um ncleo de alta permeabilidade ( ), um entreferro de comprimento g = 0,2 cm e uma seo de material mag-

7

Para se obter o valor mais elevado de magnetizao remanescente, os laos de histerese da Fig. 1.16 so os obtidos quando os materiais so excitados por uma FMM suficiente para assegurar que sejam colocados fortemente em saturao. Isso discutido com mais detalhes na Seo 1.6.

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Produto energtico, kJ/m3 Ponto de 50 mximo produto energtico 40 30 20

B, T Br

1,0

0,5

Reta de carga para o Exemplo 1.9 Hc H, kA/m 50 40 (a) B, T 1,5 Br 30 20 10 0

B, T 1,0 3,8 105

4 10

5

Reta de carga para o Exemplo 1.9 0,5 Inclinao = 6.28 10 6 Wb/A m Hc H, A/m 10 (b) 5 0 H, A/m 6 (c) 0 2 10

5

FIGURA 1.16 (a) Segundo quadrante de um lao de histerese do Alnico 5; (b) segundo quadrante de um lao de histerese do ao eltrico de gro orientado M-5; (c) lao de histerese do ao eltrico M-5 para valores pequenos de B. (Armco Inc.)

CAPTULO 1


47

ntico de comprimento lm = 1,0 cm. A rea da seo reta do ncleo e do entreferro igual a Am = Ag = 4 cm2. Calcule a densidade de fluxo Bg no entreferro, quando o material magntico (a) Alnico 5 e (b) ao eltrico M-5.Soluo

a. Como se supe que a permeabilidade do ncleo seja infinita, ento a intensidade H no ncleo desprezvel. Verificando que a FMM que atua no circuito magntico da Fig. 1.17 zero, podemos escreverF = 0 = Hg g + Hm lm

ouHg = lm g Hm

onde Hg e Hm so as intensidades de campo magntico no entreferro e no material magntico, respectivamente. Como o fluxo deve ser contnuo ao longo do circuito magntico, ento = Ag Bg = Am Bm

ouBg = Am Ag Bm

onde Bg e Bm so as densidades de fluxo magntico no entreferro e no material magntico, respectivamente. Essas equaes podem ser resolvidas fornecendo uma relao linear para Bm em termos de HmBm = 0 Ag Am lm g Hm = 5 0 Hm = 6,28 106 Hm

Para resolver em relao a Bm, verificamos que, para o Alnico 5, Bm e Hm esto relacionados tambm pela curva da Fig. 1.16a. Assim, essa relao linear, tambm conhecida como reta de carga, pode ser plotada como na Fig. 1.16a e a soluo obtida por meios grficos. Obtm-seBg = Bm = 0,30 T

yrea Am lm

Material magntico g

Entreferro, permeabilidade 0, rea Ag

FIGURA 1.17

Circuito magntico do Exemplo 1.9.

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b. A soluo para o ao eltrico M-5 feita exatamente como na parte (a). A reta de carga a mesma da parte (a) porque ela determinada apenas pela permeabilidade do entreferro e pelas geometrias do im e do entreferro. Assim, da Equao 1.16c, que muito inferior ao valor obtido com o Alnico 5. O Exemplo 1.9 mostra que h uma imensa diferena entre materiais magnticos permanentes, ou ims, (freqentemente referidos como materiais magnticos duros), tais como o Alnico 5, e materiais magnticos moles, como o ao eltrico de gro orientado M-5. Essa distino caracterizada em grande parte pela imensa diferena entre as suas coercitividades Hc. A coercitividade pode ser entendida como uma medida da magnitude da FMM requerida para desmagnetizar o material. Como visto no Exemplo 1.9, ela tambm uma medida da capacidade do material para produzir fluxo em um circuito magntico que apresenta um entreferro. Vemos assim que os materiais capazes de produzir bons ims permanentes so caracterizados por valores elevados de coercitividade Hc (bem acima de 1 kA/m). Uma medida til da capacidade de desempenho de um im permanente o chamado produto energtico mximo. Corresponde ao maior produto B-H (B H)max, e est localizado em um ponto do segundo quadrante do lao de histerese. Como se pode ver na Equao 1.56, o produto de B vezes H tem as dimenses de densidade de energia (joules por metro cbico). Mostraremos agora que a operao de um dado im permanente neste ponto resulta no menor volume de material necessrio para se produzir uma dada densidade de fluxo no entreferro. Como resultado, a escolha de um material, com o maior produto energtico disponvel, pode resultar no menor volume magntico requerido. No Exemplo 1.9, encontramos uma expresso para a densidade de fluxo no entreferro do circuito magntico da Fig. 1.17: (1.57) Encontramos tambm que a razo entre as quedas de FMM no im e no entreferro igual a 1: (1.58) A Equao 1.58 pode ser resolvida em relao a Hg e o resultado pode ser multiplicado 0 para se obter Bg = 0Hg. Multiplicando pela Equao 1.57 obtm-se

por

(1.59) ou (1.60) onde Volmag o volume do im, Volentreferro o volume do entreferro e o sinal negativo surge porque, no ponto de operao do circuito magntico, o valor de H do im (Hm) negativo. A Equao 1.60 o resultado desejado. Ela indica que, para se obter uma densidade desejada de fluxo, o volume necessrio do im pode ser minimizado, operando o im no ponto do maior valor possvel do produto B-H, HmBm, isto , no ponto de mximo produto energtico. Alm disso, quanto maior for o valor desse produto, menor ser o tamanho do im neces-

CAPTULO 1


49

srio para produzir a densidade de fluxo desejada. Assim, o produto energtico mximo uma medida til do desempenho de um material magntico, e freqentemente encontrado tabulado como figura de mrito em folhas de dados de especificaes de ims permanentes. Observe que a Equao 1.59 pode sugerir que seja possvel obter uma densidade de fluxo no entreferro arbitrariamente elevada simplesmente reduzindo o seu volume. Isso no verdadeiro na prtica porque, medida que a densidade de fluxo do circuito magntico aumenta, um ponto ser atingido a partir do qual o material magntico do ncleo comear a saturar e a suposio de permeabilidade infinita no ser mais verdadeira, invalidando assim a deduo que leva Equao 1.59. Observe tambm que uma curva de produto B-H constante uma hiprbole. Um conjunto de tais hiprboles para valores diferentes do produto B-H est plotada na Fig. 1.16a. A 3 partir dessas curvas, vemos que o produto energtico mximo para o Alnico 5 40 kJ/m , e que isso ocorre no ponto B = 1,0 T e H = 40 kA/m.EXEMPLO 1.10

O circuito magntico da Fig. 1.17 modificado de modo que a rea do entreferro seja reduzida a Ag = 2,0 cm2, como mostrado na Fig. 1.18. Encontre o volume mnimo de im necessrio para produzir uma densidade de fluxo de 0,8 T no entreferro.Soluo

O volume mnimo de im ser obtido com o im operando em seu ponto de mximo produto energtico, como mostrado na Fig. 1.16a. Nesse ponto de operao, Bm = 1,0 T e Hm = 40 kA/m. Assim, da Equao 1.57,

e, da Equao 1.58,

Portanto, o volume mnimo de im igual a 1,6 cm2 3,18 cm = 5,09 cm3.

yFIGURA 1.18 Circuito magntico do Exemplo 1.10.

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MQUINAS ELTRICAS

PROBLEMA PRTICO 1.8

Repita o Exemplo 1.10 supondo que a rea do entreferro seja novamente reduzida at Ag = 1,8 cm2, e que a densidade de fluxo desejada no entreferro seja 0,6 T.Soluo

Volume mnimo de im = 2,58 cm3.

1.6 APLICAES DE IMS PERMANENTESOs Exemplos 1.9 e 1.10 examinaram a operao de ims permanentes supondo que o ponto de operao possa ser determinado simplesmente a partir do conhecimento da geometria do circuito magntico e das propriedades dos vrios materiais magnticos envolvidos. Na realidade, a situao mais complexa.8 Esta seo ir ampliar essas questes. A Fig. 1.19 mostra as caractersticas de magnetizao de alguns ims permanentes comuns. O Alnico 5 uma liga amplamente utilizada de ferro, nquel, alumnio e cobalto, originalmente descoberta em 1931. Apresenta uma densidade de fluxo residual relativamente elevada. O Alnico 8 tem uma densidade de fluxo residual menor e uma coercitividade maior do que a do Alnico 5. Como conseqncia, menos sujeito desmagnetizao do que o Alnico 5. As desvantagens dos materiais do tipo Alnico so a coercitividade relativamente baixa e a fragilidade mecnica.

FIGURA 1.198

Curvas de magnetizao para ims permanentes comuns.

Para uma discusso adicional sobre os ims permanentes e suas aplicaes, veja P. Campbell, Permanent Magnet Materials and Their Application, Cambridge University Press, 1994; R. J. Parker, Advances in Permanent Magnetism, John Wiley & Sons, 1990; A. Bosak, Permanent-Magnet DC Linear Motors, Clarendon Press-Oxford, 1996; G. R. Slemon e A. Straughen, Electric Machines, Addison-Wesley, 1980, Sees 1.20-1.25; e T. J. E. Miller, Brushless Permanent-Magnet and Reluctance Motor Drives, Clarendon Press-Oxford, 1989, Captulo 3.

CAPTULO 1


51

Os ims permanentes de cermica (tambm conhecidos como ims de ferrite) so feitos de ps de xido de ferro e carbonato de brio ou estrncio e tm densidades de fluxo residual inferiores s dos materiais do tipo Alnico, mas suas coercitividades so significativamente maiores. Como resultado, so menos propensos desmagnetizao. Um desses materiais, a Cermica tipo 7, est mostrado na Fig. 1.19, onde sua caracterstica de magnetizao quase uma linha reta. Os ims de cermica tm boas caractersticas mecnicas e sua fabricao de baixo custo. Como resultado, so largamente usados em muitas aplicaes de ims permanentes. O samrio-cobalto representa um avano significativo da tecnologia de ims permanentes, que comeou na dcada de 1960 com a descoberta de ims permanentes de terras raras. Na Fig. 1.19, pode-se ver que ele tem uma elevada densidade de fluxo residual, tal como ocorre com os materiais de Alnico, e ao mesmo tempo apresenta coercitividade e produto energtico mximo muito maiores. O mais novo dos materiais magnticos de terras raras o neodmio-ferro-boro. Caracteriza-se por valores de densidade de fluxo residual, coercitividade e produto energtico mximo maiores ainda que os do samrio-cobalto. Considere o circuito magntico da Fig. 1.20. Compreende uma seo de material magntico duro (im permanente) em srie com um ncleo de material magntico mole altamente permevel, no qual tambm h um enrolamento de excitao com N espiras. Em relao Fig. 1.21, supondo que inicialmente o material magntico esteja desmagnetizado (correspondendo ao ponto a da figura), considere o que acontece quando a corrente aplicada ao enrolamento de excitao. Como se supe que o ncleo tenha permeabilidade infinita, o eixo horizontal da Fig. 1.21 pode ser considerado como sendo tanto uma medida da corrente aplicada i = Hlm/N, como uma medida da intensidade H no material magntico. medida que a corrente i cresce em direo a seu valor mximo, a trajetria sobre a curva B-H sobe do ponto a da Fig. 1.21 at seu valor mximo no ponto b. Para magnetizar completamente o material, supomos que a corrente aumentada at um valor imax suficientemente elevado para que o material esteja fortemente saturado no ponto b. Em seguida, quando a corrente diminuda em direo a zero, a curva B-H comea a formar um lao de histerese atingindo o ponto c, onde a corrente zero. No ponto c, observe que H no material zero mas B est no seu valor remanescente Br. A seguir, quando a corrente torna-se negativa, a curva B-H continua a seguir o traado de um lao de histerese. Na Fig. 1.21, isso visto como a trajetria entre os pontos c e d. Se a corrente for mantida no valor i(d), o ponto de operao do im ser o ponto d. Observe que, como no Exemplo 1.9, esse mesmo ponto de operao poderia ser alcanado se, mantendo nula a excitao e estando o material no ponto c, fosse ento inserido um entreferro de comprimento g = lm(Ag/Am) ( 0 H(d) / B(d)) no ncleo.

yFIGURA 1.20 excitao. Circuito magntico constitudo por um im permanente e um enrolamento de

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MQUINAS ELTRICAS

FIGURA 1.21

Parte de uma curva B-H mostrando um lao menor e uma reta de recuo.

Tornando a corrente ainda mais negativa, a trajetria continuar a seguir o traado do lao de histerese em direo ao ponto e. Se, entretanto, pelo contrrio, a corrente voltar a zero, em geral a trajetria no seguir a trajetria de volta ao ponto c. Ao invs, ela seguir o traado de um lao menor de histerese, e atingir o ponto f quando a corrente chegar a zero. Se agora a corrente for variada entre zero e i(d), a curva B-H seguir o traado do lao menor como mostrado na figura. Como pode-se ver da Fig. 1.21, a trajetria da curva B-H entre os pontos d e f pode ser representada por uma linha reta, conhecida como reta de recuo*. A inclinao dessa linha chamada permeabilidade de recuo R. Uma vez desmagnetizado o material at o ponto d, vemos que a magnetizao remanescente efetiva do material magntico ser a do ponto f. Essa magnetizao inferior remanescente Br que seria esperada de acordo com o lao de histerese. Observe que, se a desmagnetizao tivesse sido levada para alm do ponto d, como, por exemplo, at o ponto e da Fig. 1.21, ento seria criado um novo lao menor, com novas linha e permeabilidade de recuo. Os efeitos de desmagnetizao devidos a uma excitao negativa, como acabaram de ser discutidos, so equivalentes aos de um entreferro no circuito magntico. claro, por exemplo, que o circuito magntico da Fig. 1.20 poderia ter sido usado para magnetizar materiais duros. O processo seria simplesmente aplicar uma excitao elevada ao enrolamento, seguida de uma reduo a zero. Isso deixaria o material com uma magnetizao remanescente Br (ponto c na Fig. 1.21). Seguindo esse processo de magnetizao, a remoo de material do ncleo equivale a abrir um grande entreferro no circuito magntico, desmagnetizando o material de modo similar ao visto no Exemplo 1.9. Nesse ponto, o im foi efetivamente enfraquecido, porque se fosse colocado de volta no ncleo magntico, ele seguiria uma reta de recuo e apresentaria uma magnetizao remanescente menor que Br. Como resultado, os materiais magnticos duros, como o Alnico da Fig. 1.19, freqentemente no operam de maneira estvel em situaes de FMM e geometria variveis e, tambm freqentemente, h risco de que uma operao imprpria possa desmagnetiz-los significativamente. Uma vantagem importante de materiais como a Cermica 7, o samrio-cobalto e o neodmio-ferro-boro que, devido caracterstica de linha reta no segundo quadrante (com inclinao prxima de 0), suas retas de recuo igualam-se de perto s suas curvas caractersticas de magnetizao. Como resultado, nesses ma* N. de T.: Recoil line, em ingls.

CAPTULO 1


53

teriais, os efeitos de desmagnetizao so significativamente reduzidos e freqentemente podem ser ignorados. s custas de uma reduo no valor da magnetizao remanescente, os materiais magnticos duros podem ser estabilizados para operarem dentro de uma regio especificada. Esse procedimento, baseado na reta de recuo mostrada na Fig. 1.21, pode ser melhor ilustrado por meio de um exemplo.EXEMPLO 1.11

A Fig. 1.22 mostra um circuito magntico que contm um im, um ncleo e um mbolo de permeabilidade elevada (supostamente infinita). Um nico enrolamento ser usado para magnetizar o im. Depois da magnetizao do sistema, o enrolamento ser retirado. Como mostrado, o mbolo move-se na direo x, com o resultado de que a rea do entreferro varia (2 cm2 Ag 4 cm2). Supondo que o material magntico do im seja o Alnico 5 e que o sistema seja inicialmente magnetizado com Ag = 2 cm, (a) encontre o comprimento do im lm tal que o sistema opere na reta de recuo que intercepta o ponto de produto B-H mximo da curva de magnetizao do Alnico 5, (b) conceba um procedimento para magnetizar o im, e (c) calcule a densidade de fluxo Bg no entreferro, quando o mbolo move-se para frente e para trs, e o entreferro varia entre esses dois limites.Soluo

a. A Fig. 1.23a mostra a curva de magnetizao do Alnico 5 e as duas retas de carga correspondentes aos dois extremos do entreferro, Ag = 2 cm2 e Ag = 4 cm2. Vemos que o sistema ir operar na reta de recuo desejada se a reta de carga para Ag = 2 cm2 interceptar a curva B-H no ponto de produto energtico mximo (marcado como ponto a na Fig. 1.23a), B(a) = m 1,0 T e H(a) = 40 kA/m. m Das Equaes 1.57 e 1.58, vemos que a inclinao da reta de carga requerida dada por

e, assim,

yFIGURA 1.22 Circuito magntico do Exemplo 1.11.

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MQUINAS ELTRICAS

FIGURA 1.23 (a) Curva de magnetizao do Alnico 5 para o Exemplo 1.11; (b) famlia de retas de carga para Ag = 2 cm2 e valores variveis de i mostrando o procedimento de magnetizao do Exemplo 1.11.

b. A Fig. 1.23b mostra uma famlia de retas de carga do sistema para Ag = 2 cm2 com a corrente i aplicada no enrolamento de excitao. A equao geral dessas retas de carga pode ser deduzida facilmente da Equao 1.5

e das Equaes 1.3 e 1.7

CAPTULO 1


55

Assim,

Dessa equao e da Fig. 1.23b, vemos que, para levar o material magntico at a saturao no ponto Bmax Hmax, a corrente de magnetizao do enrolamento deve ser aumentada at o valor imax em que

Nesse caso, no dispomos de um lao completo de histerese para o Alnico 5 e, portanto, teremos que estimar Bmax e Hmax. Extrapolando linearmente a curva B-H em H = 0 de 4 vezes o valor da coercitividade, isto , Hmax = 4 50 = 200 kA/m, obteremos Bmax = 2,1 T. Sem dvidas, esse valor ser extremo e dar uma estimativa um tanto excessiva da corrente necessria. Entretanto, usando Bmax = 2,1 T e Hmax = 200 kA/m, obtemos imax = 45,2 A. Assim, com uma rea de entreferro de 2 cm2, a magnetizao desejada ser obtida aumentando a corrente at 45,2 A e em seguida reduzindo-a a zero. c. Como no dispomos de informaes especficas sobre a inclinao da reta de recuo, vamos supor que seja igual da curva B-H, no ponto H = 0 e B = Br. Na Fig. 1.23a, a reta de recuo foi desenhada com essa inclinao. Quando a rea do entreferro varia entre 2 e 4 cm2, vemos que a densidade de fluxo magntico Bm varia entre 1,00 e 1,08 T. Como a densidade de fluxo no entreferro igual a Am/Ag vezes esse valor, a densidade de fluxo no entreferro ser igual a (2/2)1,00 = 1,0 T quando Ag = 2,0 cm2, e (2/4)1,08 = 0,54 T quando Ag = 4,0 cm2. Na Fig. 1.23a, observe que, quando operado dentro dessas variaes de entreferro, o im parece ter uma densidade de fluxo residual efetivo de 1,17 T ao invs do valor inicial de 1,24 T. Observe tambm que, se as variaes no entreferro estiverem limitadas ao intervalo considerado aqui, o sistema continuar a operar na linha indicada por Reta de recuo na Fig. 1.23a e dizemos que o im est estabilizado. Como j foi discutido, os materiais magnticos duros, como o Alnico 5, estaro sujeitos desmagnetizao se os seus pontos de operao forem variados excessivamente. Como mostrado no Exemplo 1.11, esses materiais podem ser estabilizados, com alguma perda na magnetizao remanescente efetiva. No entanto, esse procedimento no garante a estabilidade absoluta de operao. Por 2 exemplo, se o material do Exemplo 1.11 fosse submetido a uma rea de entreferro inferior a 2 cm , ou a uma corrente excessiva de desmagnetizao, o efeito de estabilizao seria apagado e o material passaria a operar em uma nova reta de recuo, com uma reduo adicional de magnetizao. No entanto, muitos materiais, como o samrio-cobalto, a Cermica 7 e o neodmio-ferro-boro (veja Fig. 1.19), cujos valores de coercitividade so elevados, tendem a apresentar valores muito baixos de permeabilidade de recuo, e a reta de recuo essencialmente tangente curva B-H, dentro de uma grande parte da regio til de operao. Um exemplo pode ser visto na Fig. 1.19, que mostra a curva de magnetizao CC do neodmio-ferro-boro, e na qual vemos que esse material tem uma magnetizao remanescente de 1,25 T e uma coercitividade de 940 kA/m. A poro da curva que est entre esses pontos uma linha reta com uma inclinao igual a 1,06 0. Esse valor igual ao da inclinao de sua reta de recuo. Se esses materiais operarem nessa regio de baixa permeabilidade incremental em suas curvas B-H, no haver necessidade de estabilizao desde que no sejam excessivamente desmagnetizados.

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MQUINAS ELTRICAS

Freqentemente, conveniente supor que a curva de magnetizao CC desses materiais linear, dentro do seu intervalo til de operao, com uma inclinao igual permeabilidade de recuo R. Dada essa suposio, a curva de magnetizao CC desses materiais pode ser escrita na forma (1.61) Aqui, H'c a coercitividade aparente associada a essa representao linear. Como pode ser visto na Fig. 1.19, em geral, a coercitividade aparente um tanto maior (isto , um valor negativo mais elevado) do que a coercitividade Hc do material porque a curva caracterstica de magnetizao CC tende a se dobrar para baixo nos valores baixos de densidade de fluxo.

1.7 RESUMOOs dispositivos eletromecnicos que operam com campos magnticos usam freqentemente materiais ferromagnticos para guiar e concentrar esses campos. Como a permeabilidade magntica dos materiais ferromagnticos pode ser elevada (at dezenas de milhares de vezes a do meio ambiente), a maior parte do fluxo magntico est confinada a caminhos muito bem definidos e determinados pela geometria do material magntico. Alm disso, freqentemente as freqncias de interesse so baixas o bastante para permitir que os campos magnticos sejam considerados quase-estticos, e assim possam ser determinados simplesmente a partir do valor conhecido da FMM lquida que atua na estrutura magntica. Nessas estruturas, como resultado, a soluo dos campos magnticos pode ser obtida de forma imediata usando-se as tcnicas de anlise dos circuitos magnticos. Essas tcnicas podem ser usadas para se reduzir a soluo complexa de um campo magntico tridimensional ao que essencialmente um problema unidimensional. Como em todas as solues de engenharia, uma certa experincia e bom senso so necessrios, mas a tcnica fornece resultados teis em diversas situaes de interesse prtico da engenharia. Os materiais ferromagnticos podem ser encontrados com uma ampla variedade de caractersticas. Em geral, o seu comportamento no-linear e suas curvas caractersticas B-H so freqentemente representadas por famlias de laos B-H de histerese. As perdas por histerese e por correntes parasitas so funes do nvel de fluxo, da freqncia de operao e tambm da composio dos materiais e dos processos de fabricao usados. Um entendimento bsico da natureza desses fenmenos extremamente til na aplicao desses materiais em dispositivos prticos. Tipicamente, as propriedades importantes esto disponveis na forma de curvas caractersticas fornecidas pelos fabricantes de materiais. Certos materiais magnticos, comumente conhecidos como duros ou permanentes, os ims, so caracterizados por valores elevados de coercitividade e de magnetizao remanescente. Esses materiais produzem um fluxo magntico significativo, mesmo em circuitos magnticos com entreferros de ar. Por meio de um projeto adequado, podem ser feitos para operar de forma estvel em situaes que os sujeitam a uma faixa ampla de foras desestabilizadoras e de valores de FMM. Os ims permanentes encontram aplicao em diversos dispositivos de pequeno porte como alto-falantes, motores CA e CC, microfones e instrumentos analgicos de medida.

1.8 PROBLEMAS1.1 Um circuito magntico com um nico entreferro est mostrado na Fig. 1.24. As dimenses do ncleo so:

CAPTULO 1


57

FIGURA 1.24

Circuito magntico do Problema 1.1.

1.2 1.3

1.4 1.5

rea da seo reta Ac = 1,8 103 m2 Comprimento mdio do ncleo lc = 0,6 m Comprimento do entreferro g = 2,3 103 m N = 83 espiras Suponha que o ncleo tenha permeabilidade infinita ( ) e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro. (a) Calcule a relutncia do ncleo c e a do entreferro g. Para uma corrente de i = 1,5 A, calcule (b) o fluxo total , (c) o fluxo concatenado da bobina e (d) a indutncia L da bobina. Repita o Problema 1.1 para uma permeabilidade finita no ncleo de = 2500 0. Considere o circuito magntico da Fig. 1.24 com as mesmas dimenses do Problema 1.1. Supondo uma permeabilidade de ncleo infinita, calcule (a) o nmero necessrio de espiras para obter uma indutncia de 12 mH e (b) a corrente no indutor que resultar em uma densidade de fluxo de 1,0 T. Repita o Problema 1.3 para uma permeabilidade de ncleo de = 1300 0. O circuito magntico do Problema 1.1 tem um ncleo constitudo de material no-linear cuja permeabilidade, em funo de Bm, dada por

onde Bm a densidade de fluxo do material. a. Usando o MATLAB, faa o grfico de uma curva de magnetizao CC para esse material (Bm versus Hm), no intervalo 0 Bm 2,2 T. b. Encontre a corrente necessria para se obter uma densidade de fluxo de 2,2 T no ncleo. c. Novamente, usando o MATLAB, faa o grfico do fluxo concatenado da bobina em funo da corrente de bobina, quando essa variada de 0 at o valor encontrado na parte (b). 1.6 O circuito magntico da Fig. 1.25 consiste em um ncleo e um mbolo mvel de largura le, ambos de permeabilidade . O ncleo tem uma rea de seo reta Ac e um comprimento mdio lc. A rea da sobreposio entre os dois entreferros uma funo da posio x do mbolo, e pode-se assumir que varie de acordo com

Voc pode desconsiderar os campos de espraiamento no entreferro e usar aproximaes consistentes com a anlise de circuitos magnticos.

58

MQUINAS ELTRICAS

FIGURA 1.25


a. Supondo que , deduza uma expresso que fornea a densidade de fluxo magntico Bg no entreferro, em funo da corrente de enrolamento I e da posio varivel do mbolo (0 x 0,8X0). Qual a densidade de fluxo correspondente no ncleo? b. Repita a parte (a) para uma permeabilidade finita . 1.7 O circuito magntico da Fig. 1.25 e do Problema 1.6 tem as seguintes dimenses:

a. Supondo uma permeabilidade constante de = 2800 0, calcule a corrente requerida para se obter uma densidade de fluxo de 1,3 T no entreferro quando o mbolo est completamente retrado (x = 0). b. Repita os clculos da parte (a) para o caso em que o ncleo e o mbolo so constitudos de um material no-linear cuja permeabilidade dada por

onde Bm a densidade de fluxo do material. c. Para o material no-linear da parte (b), use o MATLAB para plotar a densidade de fluxo do entreferro em funo da corrente de enrolamento para x = 0 e 0,5X0. 1.8 Um indutor com a forma da Fig. 1.24 tem as dimenses: rea da seo reta Ac = 3,6 cm2 Comprimento mdio do ncleo lc = 15 cm N = 75 espiras Supondo uma permeabilidade de ncleo de = 2100 0 e desprezando os efeitos do fluxo disperso e dos campos de espraiamento, calcule o comprimento de entreferro necessrio para se obter uma indutncia de 6,0 mH. 1.9 O circuito magntico da Fig. 1.26 consiste em anis de material magntico dispostos em uma pilha de altura h. Os anis tm raios interno Ri e externo Re. Suponha que o ferro tenha permeabilidade infinita ( ), e despreze os efeitos de disperso e de espraiamento magnticos. Para: Ri = 3,4 cm Re = 4,0 cm h = 2 cm g = 0,2 cm

CAPTULO 1


59

1.10 1.11

1.12

1.13

1.14

calcule: a. o comprimento mdio do ncleo lc e a rea da seo reta Ac. b. a relutncia do ncleo c e a do entreferro g. Para N = 65 espiras, calcule: c. a indutncia L. d. a corrente i requerida para que se opere com uma densidade de fluxo no entreferro de Bg = 1,35 T. e. o fluxo concatenado correspondente da bobina. Repita o Problema 1.9 para uma permeabilidade de ncleo de = 750 0. Usando o MATLAB, faa o grfico da indutncia do indutor do Problema 1.9 em funo da permeabilidade relativa do ncleo quando essa varia de r = 100 at r = 10.000. (Sugesto: Plote a indutncia versus o logaritmo da permeabilidade relativa.) Qual a permeabilidade relativa mnima do ncleo para assegurar que a indutncia esteja a menos de 5 por cento do valor calculado, supondo que a permeabilidade do ncleo seja infinita? O indutor da Fig. 1.27 tem um ncleo de seo reta circular uniforme de rea Ac, comprimento mdio lc, permeabilidade relativa r, e um enrolamento de N espiras. Escreva uma expresso para a indutncia L. O indutor da Fig. 1.27 tem as seguintes dimenses: Ac = 1,0 cm2 lc = 15 cm g = 0,8 mm N = 480 espiras Desprezando os campos de espraiamento e de disperso e supondo r = 1.000, calcule a indutncia. O indutor do Problema 1.13 deve operar com uma fonte de tenso de 60 Hz. (a) Supondo uma resistncia de bobina desprezvel, calcule a tenso eficaz no indutor que corresponde a uma densidade de fluxo de pico no ncleo de 1,5 T. (b) Sob essa condio de operao, calcule a corrente eficaz e a energia armazenada de pico.

FIGURA 1.26


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MQUINAS ELTRICAS

FIGURA 1.27

Indutor do Problema 1.12.

1.15 Considere o circuito magntico da Fig. 1.28. Essa estrutura, conhecida como pot-core, constituda tipicamente de duas metades cilndricas. A bobina de N espiras enrolada em um carretel e, quando as duas metades so montadas, ela pode ser facilmente inserida na coluna disposta no eixo central do ncleo. Como o entreferro est no interior do ncleo e se este no entrar em saturao excessiva, um fluxo magntico relativamente baixo se dispersar do ncleo. Isso faz com que essa estrutura tenha uma configurao particularmente atraente para uma ampla variedade de aplicaes em indutores, como o da Fig. 1.27, e tambm em transformadores. Suponha que a permeabilidade do ncleo seja = 2500 0 e que N = 200 espiras. As seguintes dimenses so especificadas:

a. Encontre o valor de R3 para o qual a densidade de fluxo na parede externa do ncleo igual quela no interior do cilindro central. b. Na realidade, a densidade de fluxo diminui com o raio nas sees radiais do ncleo (as sees de espessura h). Mesmo assim, suponha que essa densidade de fluxo permanea constante. (i) Escreva uma expresso para a indutncia da bobina e (ii) calcule-a para as dimenses dadas.

FIGURA 1.28

Indutor pot-core do Problema 1.15.

CAPTULO 1


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c. O ncleo deve operar com uma densidade de fluxo de pico de 0,8 T, em uma freqncia de 60 Hz. Encontre (i) o valor eficaz da tenso induzida no enrolamento, (ii) a corrente eficaz na bobina, e (iii) a energia armazenada de pico. d. Repita a parte (c) para uma freqncia de 50 Hz. 1.16 Uma forma de onda quadrada de tenso, com freqncia fundamental de 60 Hz e semiciclos positivos e negativos iguais de amplitude E, aplicada a um enrolamento de 1000 espiras em um ncleo fechado de ferro de seo reta igual a 1,25 103 m2. Despreze a resistncia do enrolamento e todos os efeitos de fluxo disperso. a. Faa um esboo da tenso, do fluxo concatenado no enrolamento e do fluxo no ncleo, em funo do tempo. b. Encontre o valor mximo admissvel para E se a densidade mxima de fluxo no puder ser superior a 1,15 T. 1.17 Um indutor deve ser projetado usando um ncleo magntico com a forma dada na Fig. 1.29. O ncleo tem seo reta uniforme de rea Ac = 5,0 cm2 e comprimento mdio lc = 25 cm. a. Calcule o comprimento do entreferro g e o nmero de espiras N tais que a indutncia seja 1,4 mH e de modo que o indutor possa operar com correntes de pico de 6 A sem saturao. Suponha que a saturao ocorra quando a densidade de fluxo de pico do ncleo exceda a 1,7 T e que, abaixo da saturao, o ncleo tenha permeabilidade = 3200 0. b. Para uma corrente de indutor de 6 A, use a Equao 3.21 para calcular (i) a energia magntica armazenada no entreferro e (ii) a energia magntica armazenada no ncleo. Mostre que a energia magntica armazenada total dada pela Equao 1.47. 1.18 Considere o indutor do Problema 1.17. Escreva um programa simples para projeto por computador, na forma de um script de MATLAB, que calcule o nmero de espiras e o comprimento do entreferro em funo da indutncia desejada. O script deve ser escrito de modo que um valor de indutncia (em mH) seja solicitado do usurio e que a sada seja o comprimento do entreferro (em milmetros) e o nmero de espiras. O indutor deve operar com uma corrente senoidal de 60 Hz e deve ser projetado de modo que a densidade do fluxo de pico do ncleo seja 1,7 T, quando a corrente eficaz do indutor for igual a 4,5 A. Escreva o seu script de modo que rejeite os projetos nos quais o comprimento do entreferro esteja fora do intervalo de 0,05 mm a 5,0 mm, ou para os quais o nmero de espiras seja menor do que 5.

FIGURA 1.29

Indutor do Problema 1.17.

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MQUINAS ELTRICAS

FIGURA 1.30

Enrolamento toroidal do Problema 1.19.

Usando o seu programa, obtenha as indutncias (a) mnima e (b) mxima (com o valor mais prximo em mH) que satisfaa s especificaes dadas. Para cada um desses valores, determine o comprimento de entreferro necessrio, o nmero de espiras e a tenso eficaz correspondente ao fluxo de pico do ncleo. 1.19 Um mecanismo proposto para armazenar energia consiste em uma bobina de N espiras, enrolada em torno de um grande ncleo toroidal de material no magntico ( = 0), como mostrado na Fig. 1.30. Como se pode ver na figura, o ncleo tem uma seo reta circular de raio a e um raio toroidal r, medido at o centro da seo reta. A geometria desse dispositivo tal que o campo magntico pode ser considerado nulo em qualquer ponto fora do toro. Supondo que a r, ento pode-se considerar que o campo H no interior do toro esteja orientado acompanhando o toro e que tenha magnitude uniforme dada por

Para um bobina com N = 1000 espiras, r = 10 m, e a = 0,45 m: a. Calcule a indutncia L da bobina. b. A bobina deve ser carregada com uma densidade de fluxo magntico de 1,75 T. Para essa densidade de fluxo, calcule a energia magntica total armazenada no toro. c. Se a bobina tiver de ser carregada a uma taxa constante (isto , di/dt = constante), calcule a tenso necessria nos terminais para que a densidade de fluxo requerida seja atingida em 30 s. Suponha que a resistncia da bobina seja desprezvel. 1.20 A Fig. 1.31 mostra um indutor enrolado em um ncleo de seo reta retangular feito de chapas de ferro. Suponha que a permeabilidade do ferro seja infinita. Despreze o espraiamento e a disperso magntica dos dois entreferros (comprimento total de entreferro = g). O enrolamento de N espiras de fio de cobre isolado cuja resistividade m. Suponha que uma frao fenr do espao de enrolamento esteja disponvel para o cobre e que o restante do espao seja usado na isolao.

FIGURA 1.31

Indutor com ncleo de ferro do Problema 1.20.

CAPTULO 1


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a. Calcule a rea da seo reta e o volume do cobre no espao de enrolamento. b. Escreva uma expresso para a densidade de fluxo B no indutor, em termos da densidade de corrente Jcobre no enrolamento de cobre. c. Escreva uma expresso para a densidade de corrente Jcobre no cobre, em termos da corrente I do enrolamento, do nmero de espiras N e da geometria da bobina. d. Deduza uma expresso para a potncia eltrica da dissipao na bobina, em termos da densidade de corrente Jcobre. e. Deduza uma expresso para a energia magntica armazenada no indutor, em termos da densidade de corrente aplicada Jcobre. f. A partir das partes (d) e (e), deduza uma expresso para a constante de tempo L / R do indutor. Observe que essa expresso independente do nmero de espiras da bobina e no se altera quando a indutncia e a resistncia da bobina so alteradas ao se variar o nmero de espiras. 1.21 O indutor da Fig. 1.31 tem as seguintes dimenses:

O fator de enrolamento (isto , a frao do espao de enrolamento ocupado pelo condutor) fenr = 0,55. A resistividade do cobre 1,73 108 m. Quando a bobina opera com uma tenso aplicada CC constante de 35 V, a densidade de fluxo no entreferro medida como sendo 1,4 T. Encontre a potncia dissipada na bobina, a corrente da bobina, o nmero de espiras, a resistncia da bobina, a indutncia, a constante de tempo e o dimetro do fio, expresso pela bit

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