CAP. IV FUNZIONI REALI
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C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP IV
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CAP. IV
FUNZIONI REALI Per due funzioni reali RR →→ XgXf : e : si definiscono le nuove funzioni
RR R →⋅→−→+ XgfXgfXgf : ed: ,: al modo seguente:
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ). :
: :
xgxfxgfXxxgxfxgfXxxgxfxgfXx
⋅=⋅∈∀−=−∈∀+=+∈∀
Queste si chiamano rispettivamente somma di ƒ e g, differenza di ƒ e g, e prodotto di ƒ e g.
Se poi per ogni Xx∈ risulta ( ) 0≠xg si definiscono le funzioni : ed:1 RR →→ XgfX
gcome
segue
( ) ( )
( ) ( )( )xgxfx
gfXx
xgx
gXx
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈∀
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈∀
:
11 :
Queste si chiamano rispettivamente reciproca di g e rapporto di ƒ e g. In modo altrettanto ovvio si definiscono le funzioni ( )R∈+⋅− affafaf , , , che prendono il nome rispettivamente di opposta di ƒ , prodotto di a per ƒ , somma di a ed ƒ , valore assoluto di ƒ . Si dice, poi, che ƒ è minore o uguale di g (risp. ƒ è strettamente minore di g, ƒ è minore o uguale di a , ƒ è strettamente minore di a ), e si scrive
( )afafgfgf <≤<≤ , , risp. , se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )axfaxfxgxfxgxfXx <≤<≤∈∀ , , risp. : . Tra le funzioni reali si distinguono le funzioni dette monotone definite qui appresso. DEF.6- Una funzione R→Xf : si dice crescente (risp. strettamente crescente) in X se
( ) ( ) ( ) ( )( )''' risp.''' :''' t.c.'',' xfxfxfxfxxXxx <≤<∈∀ . Si dice che R→Xf : è decrescente (risp. strettamente decrescente) in X se
( ) ( ) ( ) ( )( )''' risp.''' :''' t.c.'',' xfxfxfxfxxXxx <≤<∈∀ . Se ƒ è crescente o decrescente si dice che ƒ è una funzione monotona. Se in particolare ƒ è strettamente crescente o strettamente decrescente, ƒ si dice strettamente monotona.
Esempi.
1) Una funzione costante è crescente e decrescente; 2) Se RR* ∈∈ ba e , la funzione ( ) baxxf += è strettamente crescente se 0>a , strettamente
decrescente se 0<a ;
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3) La funzione ( ) 2xxf = non è monotona in R ma è strettamente crescente in +R e strettamente decrescente in -R .
4) La funzione ( ) 3xxf = è strettamente crescente in R .
y
5) La funzione ( )x
xf 1= ( )*R∈x è strettamente decrescente in ] [+∞,0 e strettamente
decrescente in ] [0,∞− ma non è strettamente decrescente, e nemmeno monotona, in R .
x
y
x
( ) 3xxf =
( )x
xf 1=
ƒ(x)=x2
O x
y
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Per le funzioni monotone si dimostrano le seguenti proposizioni PROP.5.- Se [ ] R→baf ,: è monotona crescente (risp. decrescente) allora esistono il minimo ed il
massimo di ƒ e risulta
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ==
==
∈∈
∈∈
max e min risp.
max e min
,,
,,
afxfbfxf
bfxfafxf
baxbax
baxbax
PROP.6- Se R→Xf : è strettamente crescente (risp. decrescente) allora ƒ è ingettiva e la sua
inversa ( )1 :f f X X− → è strettamente crescente (risp. decrescente). OSS.3- Si noti che una funzione ingettiva non è sempre strettamente monotona. Ad esempio
( )x
xf 1= è ingettiva in *R ma non è ivi strettamente monotona.
Si danno anche le seguenti definizioni DEF.7- Una funzione RR →:f si dice pari (risp.dispari) se
( ) ( )
( ) ( )( )xfxfxfxfx
−=−=−∈∀
risp. :R
DEF.8- Una funzione RR →:f si dice periodica di periodo 0>T se ( ) ( )xfTxfx =+∈∀ :R Esempi.
1) Una funzione costante definita in R è pari 2) La funzione identica di ( )( ) xxf =R è dispari 3) La funzione ( ) 2xxf = è pari 4) La funzione ( ) 3xxf = è dispari. 5) La funzione ( ) xxxf += 2 non è né pari né dispari.
OSS.4- Si noti che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.
Funzioni elementari
Le funzioni elementari sono particolari funzioni reali che danno origine, mediante operazioni algebriche o di composizione,alle funzioni che comunemente si studiano in Analisi.
Funzione potenza n-esima
DEF.9- Se ed n x∈ ∈*N R si pone
volte
........n
n xxxx ⋅⋅⋅=
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e si chiama funzione potenza n-esima la funzione RR →:nf definita al modo seguente ( ) . : n
n xxfx =∈∀ R Proprietà della funzione potenza n-esima. 1) ( ) ++ = RRnf 2) Se n è pari, ( )nf + +=R R ( )( )+= RRnf quindi e .
3) Se n è dispari, ( )nf =- -R R ( )( ) quindi e RR =nf . 4) Se n è pari, nf è pari, è strettamente crescente in +R , strettamente decrescente in -R e per ogni
*R∈x risulta ( ) 0>xfn . 5) Se n è dispari, nf è dispari, è strettamente crescente in R e si ha ( ) ( ) 0 se 0 ,0 se 0 >><< xxfxxf nn . 6) Se n è pari si ha +∞===
∈∈∈
n
x
n
x
n
xxxx
RRRsup ,0mininf .
7) Se n è dispari si ha +∞=−∞=∈∈
n
x
n
xxx
RRsup ,inf .
8) ∈∀ nm, N ∗ , ∈∀x R: ( ) nmnm xx ⋅= 9) ∈∀ nm, N ∗ , ∈∀x R: nmnm xxx ⋅=+ 10) ∈∀m N ∗ , ∈∀ yx, R: ( ) mmm yxyx ⋅=⋅
Funzione radice n-esima Si dimostra il seguente TEOR.3- Per ogni *N∈n e per ogni +∈Ra esiste uno ed un solo +∈Rb tale che abn = . Si pone
ban = e n a si chiama radice n-esima (aritmetica) di a .
OSS.5- Dalla definizione si ha dunque che se +∈Rba, ed *N∈n risulta ( ) ( ).abba nn =⇔=
ƒ(x)=xn (n pari)
O x
y ƒ(x)=xn
(n dispari)
y
x
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DEF.10- La funzione :ng + → +R R definita al modo seguente
( ) nn xxgx =∈∀ + :R
si chiama funzione radice n-esima. Proprietà della funzione radice n-esima 1) La funzione radice n-esima è l’inversa della restrizione della funzione potenza n-esima ad +R . 2) La funzione radice n-esima ng è strettamente crescente e si ha ( ) ++ = RRng .
3) +∞===+++ ∈∈∈
n
x
n
x
n
xxxx
RRRsup ,0mininf
Dimostriamo le 1) e 2). Per le proprietà 4) e 5) della funzione potenza n-esima nf si ha che per ogni
+∈ R
*N nfn , è strettamente crescente, dunque ingettiva (cfr. PROP.6). Allora ( ) 1−
+Rnf è strettamente crescente (cfr. PROP.6) e si ha per definizione di inversa
( )( ) ( ) ( ) nn
nn
n
yxxyxfyxyf
fyx
=⇔=⇔=⇔=
=∈∀∈∀−
+++
+
1
,
R
RRR
Da ciò consegue che
( ) ( ) nn yyfy =∈∀
−
+ +
1: RR
e quindi 1) e 2).
y
x
Dalla definizione di inversa di
+Rnf , consegue che
( ) ( )( )
( ) ( ) xxffx
xxffx
nn
nn
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛∈∀
=∈∀−
+
−
+
+
+
1
1
:
:
R
R
R
R
e, quindi, a causa di 1) si ha
4) ( ) xxx
xxxnn
n n
=∈∀
=∈∀
+
+
:
:
R
R
5) nnn yxyxyxn ⋅=⋅∈∀∈∀ + :, , RN*
n x
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6) ( )mnn m xxxnm =∈∀∈∀ + : ,, RN*
7) mnn m xxxnm ⋅+ =∈∀∈∀ : ,, RN*
Funzione esponenziale Premettiamo la seguente DEF.11- Se N-ZR* ∈∈ nx ed si pone
nn
xx −=
1
e si chiama potenza n-esima di x . Si pone inoltre .10 =x Per le potenze con esponente in Z sussistono le seguenti proprietà
1) ( ) nmnm xxxnm ⋅=∈∀∈∀ : ,, *RZ 2) nmnm xxxxnm ⋅=∈∀∈∀ + : ,, *RZ 3) ( ) mmm yxyxyxm ⋅=⋅∈∀∈∀ :, , *RZ
4) ( )mnn m xxxnm =∈∀∈∀∈∀ + : , , ** RNZ
5) : ,'' t.c.', ,', +∈∀=∈∀∈∀ ** RNZ x
nm
nmnnmm
' 'n mn m xx = . A causa della proprietà 5) è lecito dare la seguente
DEF.12- Se ** N ZQR ∈∈∈=∈ + nmnmqa edcon e si pone
n mq aa = e si chiama potenza di a con esponente q . OSS.6- Si noti che, a causa della 5), il numero n ma non dipende dal numeratore m e dal
denominatore n del numero razionale q , quindi dipende da q e, perciò, la definizione 12 è ben posta.
Si dimostrano le seguenti proposizioni PROP.7- Se +∈ *Ra , la funzione RQ ∈→∈ qaq è strettamente crescente se 1>a ed è strettamente decrescente se 10 << a . PROP.8- Se , se e 0 QR* ∈∈ + qa allora risulta:
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10 se sup
1 se sup
0
0
0
0
<<=
≥=
<∈
<∈
aaa
aaa
qqq
q
qqq
q
Q
Q
Dopo ciò è abbastanza naturale dare la seguente DEF.13- Se , ed Q-RR* ∈∈ + xa si pone
(5) 1 se sup ≥=<∈
aaaxq
q
qx
Q
(6) 10 se sup <<=<∈
aaaqx
q
qx
Q
ed xa si chiama potenza di a con esponente x . OSS.7- Si noti che le uguaglianze (5) e (6), assunte per definire xa x se è irrazionale, si dimostrano
(cfr.PROP.8) se ∈x Q. Evidentemente R∈=> xa xx ogniper 11 ed 0 . DEF.14- Se *R+∈a , la funzione RR →:af definita come segue ( ) x
a axfx =∈∀ :R , si chiama funzione esponenziale di base a , soltanto funzione esponenziale se ea = (numero di Nepero). Il numero xe si denota anche col simbolo xexp e si legge esponenziale di x .
Si dimostrano le seguenti proposizioni PROP.9- Per ogni *R+∈a , la funzione esponenziale afa base di è strettamente crescente se 1>a ,
strettamente decrescente se 1<a . PROP.10- Per ogni *R+∈a risulta
( ) ] [{ }⎩⎨⎧
=≠+∞
=.1 se 1
1 se ,0 aa
fa R
Proprietà della funzione esponenziale 1) { }- 1 : a +∀ ∈ *R 0inf ,sup =+∞=
∈∈
x
x
x
xaa
RR,
2) 1 :, xx
aaxa =∈∀∈∀ −
+ RR* ,
3) yxyx aaayxa ⋅=∈∀∈∀ ++ :,, RR* ,
4) ( ) , :,, y xyx aayxa =∈∀∈∀ + RR* 5) ( ) xxx baabxba ⋅=∈∀∈∀ + :,, RR* .
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Funzione logaritmo Si osservi che, a causa della PROP.9, se { }1−∈ +
*Ra la funzione esponenziale afa base di è strettamente monotona, dunque ingettiva e perciò si può considerare la sua inversa. Si può porre, pertanto, la seguente DEF.15- Se { }1−∈ +
*Ra , si chiama funzione logaritmo in base a la funzione inversa della funzione esponenziale afa base di , e si denota con .loga Con xalog si denota il valore di
xa in log . Poiché per ogni { } ( ) risulta 1 ** RRR ++ =−∈ afa (cfr. PROP.10), dalla DEF.15 e dalla definizione di inversa di una funzione segue che RR* →+:loga e sussiste l’equivalenza
(7) ( ) ( )yaxyyx xa =⇔=∈∀∈∀ + log :, *RR .
Si ha inoltre (8) xax x
a =∈∀ log :R (9) xax xa =∈∀ +
log :*R .
CONVENZIONE- Si conviene di porre 10log e loglog == Loge e di chiamare, per ogni *R+∈x , logaritmo (naturale) di x il logaritmo in base e di x , cioè xlog , e logaritmo decimale di
x il logaritmo in base 10 di x , cioè Logx . Si ha la seguente PROP.11- Se { }1−∈ +
*Ra , la funzione alog è strettamente crescente se 1>a , strettamente decrescente se 10 << a .
Si ha inoltre ( ) RR* =+alog .
1 10, << aa x 1, >aa x
y
x
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Proprietà della funzione logaritmo 1) 01log =a , 2) ( ) yxxyyx aaa logloglog :, +=∈∀ +
*R ,
3) yxyxyx aaa logloglog :, −=∈∀ +
*R ,
4) xx
x aa log1log : −=∈∀ +*R ,
5) xxx aa loglog :, αα α =∈∀∈∀ + RR* ,
6) (Cambio di base) { }axxbx
b
ba log
loglog :1, =−∈∀∈∀ ++** RR ,
7) { }a
bbb
a log1log :1 =−∈∀ +
*R
y x Funzione potenza Per ogni *R+∈x e per ogni R∈α si è definita (DEF.12 e DEF.13) la potenza αx di x con esponente α. Ciò dà luogo alla seguente DEF.16- Se R∈α , la funzione RR* →+:αp definita come segue ( ) α
α xxpx =∈∀ + :*R si chiama funzione potenza con esponente α. OSS.8- Osserviamo che se *N∈n la funzione potenza con esponente n coincide con la restrizione
ad *R+ della funzione potenza n-esima (cfr.DEF.9), mentre la funzione potenza con esponente n1
coincide con la funzione radice n-esima (cfr.DEF.10 e DEF.12).
1,log >axa
10,log << axa
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10
x
)1( >ααx
xx
y y y )10( <<ααx )0( <ααx
PROP.12- La funzione potenza con esponente α è strettamente crescente se 0>α , strettamente
decrescente se 0<α . Dim. Consegue dal fatto che per ogni ** RR ∈∈ + α ogniper e x risulta
xx eex loglog αα α
== oltre che dalla stretta crescenza della funzione logaritmo e della funzione esponenziale.
PROP.13- Per ogni *R∈α l’immagine della funzione potenza con esponente α, cioè ( )*R+αp ,
coincide con *R + . Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche 1) Sia { } RR* ∈−∈ + ba e 1 . L’equazione
⎩⎨⎧
>=≤
=.0 se log soluzione unical' ha
0 se soluzioni hanon bbx
bba
a
x
Più in generale l’equazione
( )
( )⎩⎨⎧
>=≤
=0 se log ad eequivalent è
0 se soluzioni hanon bbxf
bba
a
xf
Esempi-
1. 024 =−xe non ha soluzioni.
2. 210121log12112 =⇔=−⇔=−⇔=− xxxa a
x
2) Sia { } RR* ∈−∈ + ba e 1 . L’equazione bxa =log ha come unica soluzione bax = . Più in generale l’equazione ( ) bxfa =log
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2.
ha le stesse soluzioni dell’altra ( ) baxf = . Esempi-
1. 22log exx =⇔= . 2. ( ) 2101log 0 =⇔=−⇔=− xaxxa . 3) La disequazione
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<><>>>
≤>
10 e 0 se log le soluzioni come ha1 ed 0 se log le soluzioni come ha
0 se reali numeri i tuttisoluzioni come ha
abbxabbx
bba
a
ax
Ovviamente la disequazione
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<>>>><
≤<
.10 e 0 se log le soluzioni come ha1 ed 0 se log le soluzioni come ha
0 se soluzioni hanon
abbxabbx
bba
a
ax
Esempi-
1. 11log111 >⇔>−⇔>− xxex .
( ) ( ) .2111
21
01
1112001
11
10
11
111
1
≤⇔<∧⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<∨⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ≤⇔
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≤
−∧⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
≤⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≤−
−∧⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−≤⇔
⇔≤−
≤−⇔≤−
⇔≤−
xxxx
xxx
xx
xx
xx
xxee x
x
Si provi che
3. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ <<∨⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −<<−⇔<+− 1
21
211 1154 24
xxe xx
4. 00224 <⇔<−+ xxx
5. 3log3log3
10<<−⇔<+ − xee xx .
4) La disequazione
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<<<
>>>
10 se 0 soluzioni come ha1 se le soluzioni come ha
logaax
aaxbx
b
b
a
Ovviamente la disequazione
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<>
><<<
.10 se le soluzioni come ha 1 se 0 soluzioni come ha
logaax
aaxbx
b
b
a
Esempi- 1. ( ) 33 222032log exexx +<<⇔<−<⇔<−
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2. ( )431
211021log
2
21 −<<−⇔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<+<⇔>+ xxx
Si risolvano le seguenti disequazioni 3. ( ) 0log 2 <− xx 4. ( ) 11log
31 <−x .
Equazioni e disequazioni irrazionali Una equazione irrazionale è una uguaglianza del tipo ( ) ( )xgxf = mentre una disequazione irrazionale è una disuguaglianza del tipo
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf >< o . 1) L’equazione ( ) ( )xgxf = è equivalente al sistema di equazioni
( )( )( ) ( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=
≥≥
2
00
xgxf
xgxf
ovvero al sistema
( )( ) ( )⎩
⎨⎧
=
≥2
0
xgxf
xg
2) La disequazione ( ) ( )xgxf < è equivalente al sistema
( )( )( ) ( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
<
>≥
2
00
xgxf
xgxf
mentre la disequazione ( ) ( )xgxf > ha le stesse soluzioni dei due sistemi
( )( )
( )( ) ( )⎩
⎨⎧
>
≥
⎩⎨⎧
≥<
2
0
00
xgxf
xgxfxg
Esempi-
1. 521
912 012
312 <≤⇔⎩⎨⎧
<−≥−
⇔<− xxx
x
2. ( )⎩
⎨⎧
+>+−
≥+∨
⎩⎨⎧
≥+−
<−⇔+>+− 222
2
132
01
032 01
132xxx
x
xxx
xxx
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13
( (
( (
(
(
(
( (
Si provi che
3. 334 4312 <≤⇔−>− xxx
4. ( ) ( )xxxxx ≤∨≤⇔−<− 2023 2 5. xxx <⇔−<− 2 321
Funzioni trigonometriche In un piano si consideri un angolo α di vertice O e due circonferenze C e C' di centro O. Detti B'A' e AB gli archi di C e C' contenuti in α e con gli estremi sui lati di α, siano ( ) ( )B'A' ed AB ll le lunghezze di tali archi e siano OA' e OA le misure dei segmenti OA' eOA . C ′ A′ C A
O α B B′ E’ noto che risulta
( ) ( )OA'
B'A'OAAB ll
=
cioè il rapporto ( )OAABl dipende solo dall’angolo α e non dalla circonferenza di centro il vertice O
di α. Tale rapporto prende il nome di misura in radiantidell’angolo α. Ovviamente se si sceglie la circonferenza C in modo che OA =1, la misura in radianti di α è uguale alla lunghezza dell’arco AB. E’ noto anche che la misura in radianti di un angolo piatto è il numero irrazionale π. Ciò premesso, consideriamo nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O e la circonferenza C di centro O e raggio 1 (detta cerchio trigonometrico); consideriamo poi il punto A=(1,0). Se P è un punto di C denotiamo con AP quello dei due archi, individuati dai punti A e P sulla circonferenza C, che viene percorso in senso antiorario da A a P. Si dimostra che (10) [ [ ( ) 0, 2 P C t.c. APx xx xπ∀ ∈ ∃ ∈ = .
Ciò premesso si pone la seguente DEF.17- Per ogni [ [ 0, 2x π∈ si pone
Px
A
α
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-π π23
−
2π
−
2π π
π23
(11) sen ordinata di Pcos ascissa di P
x
x
xx==
e si chiamano rispettivamente seno di x e coseno di x.
Si è così definito il seno e il coseno di un qualunque numero dell’intervallo [0,2π[. Per definire il seno e il coseno di un qualunque numero reale basta porre
(12) [ [ ( )
( ) 0, 2 , : sen 2 sen
cos 2 cos
x k x k x
x k x
π π
π
∀ ∈ ∀ ∈ + =
+ =
Z
Infatti, per l’algoritmo della divisione euclidea, per ogni numero reale x esiste uno ed un solo [ [ 2 ,0 πα ∈ ed uno ed un solo πα kxk 2 che tali +=∈Z .
Dopo ciò si pone la seguente DEF.18- Si chiama funzione seno (risp. coseno) la funzione ( )RRRR →→ :cos risp. :sen definita dalle (11) e (12). Proprietà della funzione seno 1) ( ) ( );2 periodo di periodica èsen cioè sen2sen : , ππ xkxkx =+∈∀∈∀ ZR 2) ( ) [ ]; 1 ,1sen −=R
3) ( ) ; 1223sen , 12
2sen , 0sen : −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∈∀ πππππ kkkk Z
4) ] [ ; 0sen : ,0 >∈∀ xx π 5) ] [ ; 0sen :2 , <∈∀ xx ππ 6) ( ) ( )dispari èsen sensen : xxx −=−∈∀ R
7) ;2
sen1senmax , 23sen1senmin ππ ===−=
∈∈xx
xx RR
8) [ ]1,1- 2
,2
e crescente testrettamen è 2
,2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
ππππ
sensen .
y
1 -2π 2π x
FUNZIONE SENO
-1
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-π
π23
− 2π
− 2π
π
π23
Proprietà della funzione coseno 1) ( ) )2 periodo di periodica è cos (cioè cos2cos : , ππ xkxkx =+∈∀∈∀ ZR ; 2) ( ) [ ]1 ,1cos −=R ;
3) ( ) ( ) 12cos , 12cos , 02
cos : −=+==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∈∀ πππππ kkkk Z ;
4) 0cos :2
,2
>⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−∈∀ xx ππ
;
5) 0cos :23 ,
2<⎢⎣
⎡⎥⎦⎤∈∀ xx ππ
;
6) ( ) ( )pari è cos coscos : xxx =−∈∀ R ; 7) 0cos1cosmax , cos1cosmin ===−=
∈∈xx
xx RRπ ;
8) [ ] [ ]( ) [ ]1 ,1,0cos e edecrescent testrettamen è cos ,0 −=ππ .
y 1 -2π 2π x -1 Valori notevoli di seno e coseno
.
21
3cos ;
23
3sen
; 22
4cos
4sen ;
23
6cos ;
21
6sen
==
====
ππ
ππππ
FUNZIONE COSENO
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2π
2π
−
Funzione arcoseno
Dalla 8) delle proprietà della funzione seno si deduce che sen2
,2 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
ππè ingettiva e la sua inversa è
strettamente crescente ed è definita in [ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=−
2,
2sen 1 ,1 ππ .
Si pone la seguente
DEF.19- Si chiama funzione arcoseno l’inversa di sen2
,2 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
ππ e si denota con arcsen.
Dalla DEF.19 consegue che [ ] R→− 1 ,1:arcsen e risulta
1) [ ]( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=−
2,
21 ,1arcsen ππ
2) arcsen è strettamente crescente
3) [ ] ( )xyxyx senarcsen :1 1,-y , 2
,2
=⇔=∈∀⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈∀
ππ
4) ( ) xxx =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈∀ senarcsen :
2,
2ππ
5) [ ] ( ) xxx =−∈∀ arcsensen :1 ,1
6) ( )2
1arcsen , 2
1arcsen , 00arcsen ππ=−=−= .
7) [ ] ( ) ( )dispari èarcsen cioè arcsenarcsen :1 ,1 xxx −=−−∈∀ -1 1
FUNZIONE ARCOSENO
x
y
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17
π
2π
Funzione arcocoseno Dalla 8) delle proprietà della funzione coseno si deduce che
[ ]π,0cos è ingettiva e la sua inversa è
strettamente decrescente ed è definita in [ ] [ ]( )( )π,0cos 1 ,1 =− . Si pone la seguente DEF.20- Si chiama funzione arcocoseno l’inversa di
[ ]π,0cos e si denota con arccos.
Dalla DEF.20 consegue che [ ] R→− 1 ,1:arccos e risulta 1) [ ]( ) [ ]π ,01 ,1arccos =− 2) arccos è strettamente decrescente 3) [ ] [ ] ( )xyxyyx cosarccos :1 ,1 , ,0 =⇔=−∈∀∈∀ π 4) [ ] ( ) xxx =∈∀ cosarccos :,0 π 5) [ ] ( ) xxx =−∈∀ arccoscos :1 ,1
6) ( ) 01arccos , 1arccos , 2
0arccos ==−= ππ .
-1 1
FUNZIONE ARCOCOSENO y
x
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Q
Q
Q. punto delordinata l' è tgcioè
tg cos sen
OHPH
OHPHOAQA quindi e
OAQA
OHPH
x
xxx===⋅==
Q. punto delascissa l' è cotg cioè
cotg sen cos
PHOH
PHOHOBBQ quindi e
OBBQ
PHOH
x
xxx===⋅==
Funzioni tangente, cotangente Si pone la seguente DEF.21- La funzione
RZ-R →⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈+ kk :
2:tg ππ
definita come segue
xxxkkx
cossen tg::
2=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈+∈∀ Z-R ππ
si chiama funzione tangente. La funzione { } RZ-R →∈kk : :cotg π definita come segue
{ }xxxkkx
sencos cotg :: =∈∈∀ Z-R π
si chiama funzione cotangente.
OSS.9- Si noti che se [ [⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−∈
2,0 ππx si ha
P A Analogamente se ] [π,0∈x si ha B P A
x
O
H
x
O
H
1 OA =
1 OA =
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2π
2π
− π23
− π23
2π
2π
− π23
-π π -π π 2π
FUNZIONE TANGENTE
FUNZIONE COTANGENTE
x
y
x
y
x
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20
Proprietà della funzione tangente
1) R=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−
2,
2tg ππ
2) ( ) ( )ππππ periodo diperiodica è tgcioè tg tg::2
xkxkkx =+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈+−∈∀ ZR
3) tg è una funzione dispari
4) ,2 2
tgπ π⎤ ⎡
⎥ ⎢⎦ ⎣−
è strettamente crescente
5) 33
tg, 14
tg, 33
6tg ===
πππ .
Proprietà della funzione cotangente 1) ] [( ) R=π,0 cotg 2) { } ( ) ( ) periodo diperiodica è cotg cioè cotg cotg :: πππ xkxkkx =+∈∈∀ Z-R 3) cotg è una funzione dispari 4)
] [0,cotg
πè strettamente decrescente.
Funzione arcotangente Dalla 1) e 4) delle proprietà della funzione tangente si deduce che
,2 2
tg π π⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣
è ingettiva e la sua inversa
è strettamente crescente ed è definita in R ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−=
2,
2tg ππ .
Si pone la seguente DEF.22- Si chiama funzione arcotangente l’inversa di
,2 2
tg π π⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣
e si denota con arctg.
Dalla DEF.22 consegue che RR →:arctg e risulta
1) ( ) ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−=
2,
2arctg ππR
2) arctg è strettamente crescente
3) ( )xyxyyx tg arctg : ,2
,2
=⇔=∈∀⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−∈∀ Rππ
4) ( ) xxx =⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−∈∀ tgarctg :
2,
2ππ
5) ( ) xxx =∈∀ arctg tg:R 6) arctg è una funzione dispari.
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21
2π
2π
−
7) 63
3arctg , 3
3arctg , 4
1arctg , 00arctg πππ==== .
Quello che segue è un elenco delle proprietà più importanti delle funzioni seno e coseno e di alcune formule d’uso comune. 1) 1cossen : 22 =+∈∀ xxx R
2) xxxxx sen2
cos , cos2
sen : −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +∈∀
ππR
3) xxxxx sen2
cos , cos2
sen : =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∈∀
ππR
4) ( ) ( ) xxxxx coscos , sensen : −=+−=+∈∀ ππR 5) ( ) ( ) xxxxx coscos , sensen : −=−=−∈∀ ππR Formule di addizione Per ogni x, y ∈R risulta: 6) ( ) yxyxyx sencoscossensen +=+ 7) ( ) yxyxyx sencoscossensen −=− 8) ( ) yxyxyx sensencoscoscos −=+ 9) ( ) yxyxyx sensencoscoscos +=− In particolare se in 6) e 8) si pone x = y si ottengono le Formule di duplicazione Per ogni x∈R risulta: 10) xxx cossen22sen = 11) 1cos2sen21sencos2cos 2222 −=−=−= xxxxx
FUNZIONE ARCOTANGENTE
x
y
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22
Inoltre se nella 11) si pone 2x al posto di x si ottengono le
Formule di bisezione Per ogni x∈R risulta:
12) 2cos1
2cos2 xx +
=
13) 2cos1
2sen2 xx −
=
Inoltre addizionando e sottraendo membro a membro prima in 6) e 7) e poi in 8) e 9) si ottiene, per ogni x, y ∈ R, 14) ( ) ( ) yxyxyx cossen2sensen =−++ 15) ( ) ( ) yxyxyx sencos2sensen =−−+ 16) ( ) ( ) yxyxyx coscos2coscos =−++ 17) ( ) ( ) yxyxyx sensen2coscos −=−−+ Ponendo, poi, nelle formule di sopra α = x + y e β = x – y
ovvero 2
ed 2
βαβα −=
+= yx si hanno le cosiddette
Formule di prostaferesi Per ogni ∈βα , R risulta:
18) 2
cos2
sen2sensen βαβαβα −+=+
19) 2
cos2
sen2sensen βαβαβα +−=−
20) 2
cos2
cos2coscos βαβαβα −+=+
21) 2
sen2
sen2coscos βαβαβα −+−=−
Equazioni e disequazioni trigonometriche
Risulta ovviamente 1) πkxkx =∈∃⇔= t.c.0sen Z
2) ππ kxkx +=∈∃⇔=2
t.c.0cos Z .
Se ⎢⎣⎡
⎢⎣⎡−∈ ππ
23,
2x risulta
3) [ ] ( ) ( )( )axaxaxa arcsenarcsensen :1 ,1 −=∨=⇔=−∈∀ π
4) ] [ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ −∪⎢⎣
⎡⎢⎣⎡−∈⇔<−∈∀ πππ
23,arcsenarcsen,
2sen :1 ,1 aaxaxa
5) 2
1sen π≠⇔< xx
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23
6) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎢⎣⎡
⎢⎣⎡−∈⇔<>∀ ππ
23,
2sen :1 xaxa
7) ∅∈⇔−< xx 1 sen 8) ] [ ] [( )aaxaxa arcsen,arcsensen :1 ,1 −∈⇔>−∈∀ π 1 Se [ [ππ ,−∈x risulta 9) [ ] ( ) ( )( )axaxaxa arccosarccoscos :1 ,1 −=∨=⇔=−∈∀ 10) ] [ [ [ ] [( )ππ ,arccosarccos,cos :1 ,1 aaxaxa ∪−−∈⇔<−∈∀ 11) ] [ ] [( )aaxaxa arccos,arccoscos :1 ,1 −∈⇔>−∈∀ Inoltre si ha
12) ( )axaxxa arctg tg :2
,2
, ⇔⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−∈∀∈∀
ππR
Si ha infine
13) [ ] ( arcsen :1 ,1 , 2
,2
xxa −∈∀⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈∀
ππ xa ⇔ )sena
14) [ ] [ ] ( xxa arccos :1 ,1 , ,0 −∈∀∈∀ π xa ⇔ )acos
15) ( xxa arctg : , 2
,2
R∈∀⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−∈∀
ππ xa ⇔ )atg
π
a
2π
− π23
arcsen a π arcsen a− 2π x
y