Cap. III - Hidrocinemática

7/23/2019 Cap. III - Hidrocinemtica

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HIDRULICA I CAPTULO III Hidrocinemtica__________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________Universidade Eduardo Mondlane Curso de Engenharia Civil Regente: Eng. Carlos Caupers 3-1

3 HIDROCINEMTICA

3.1 TRAJECTRIAS E LINHAS DE CORRENTE

Hidrocinemtica o captulo da Mecnica de Fluidos que estuda a caracterizao domovimento dos lquidos. Nesta caracterizao importante definir os conceitos de linha decorrente e de trajectria.

Define-se trajectria como o lugar geomtrico dos pontos ocupados ao longo do tempo poruma partcula em movimento.

Considere-se agora num lquido em movimento o vector velocidade ),,,( tzyxvv = . Avelocidade varia de ponto para ponto do lquido e, em cada ponto, varia ao longo do tempo.Pode assim considerar-se um campo de velocidades. Num dado instante de tempo, t0, ser

possvel ter ento um conjunto de vectores ),,,( 0tzyxvv= , veja-se a figura 3.1.

Figura 3.1 Campo de velocidades e linha de corrente dum escoamento

Define-se linha de correntecomo a linha que, num dado instante e em qualquer dos seuspontos, tangente aos vectores velocidade.

No escoamento varivel, em que as caractersticas do escoamento variam ao longo do tempo,o campo de velocidades , em geral, varivel com o tempo, acontecendo por isso o mesmocom as linhas de corrente.

Poder-se- visualizar melhor as diferenas entre trajectrias e linhas de corrente atravs daseguinte experincia, veja-se a figura 3.2. Sobre a superfcie livre dum lquido a escoar-selana-se um grande nmero de confetticoloridos que flutuam superfcie e seguem com o

escoamento.

Se fizermos uma fotografia da superfcie livre com os confetti com um grande tempo deexposio, cada uma das partculas em movimento (visualizada por um confetti)impressionar na chapa fotogrfica um segmento que corresponde velocidade da partcula.O conjunto dos segmentos que aparecem na chapa fotogrfica corresponder ento ao campode velocidades naquele instante e as linhas tangentes s velocidades so as linhas de corrente.

Se agora fizermos sucessivas fotografias, com durao muito curta, sobre uma mesmachapa fotogrfica, o que obtemos so as sucessivas posies ocupadas por cada partcula.Unindo os diversos pontos correspondentes a uma mesma partcula, obtemos a trajectria

dessa partcula.


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Figura 3.2 Experincia de visualizao de linhas de corrente e trajectrias

A distino entre trajectrias e linhas de corrente pode tambm ser ilustrada pelo exemplodum observador que, na margem dum rio, v o escoamento volta dum pilar duma ponte ou,na margem dum lago, v o movimento da gua provocado pela proa dum barco emmovimento, figura 3.3.

No primeiro caso, trata-se dum regime permanente (no varia com o tempo) e as trajectriascoincidem com as linhas de corrente. No segundo caso, trata-se para o observador dumregime varivel (varia com o tempo) e as trajectrias j no coincidem com as linhas decorrente.

Figura 3.3 Trajectrias e linhas de corrente em regime permanente e varivel

3.2 TIPOS DE ESCOAMENTO3.2.1 Critrios de classificao

A classificao dum escoamento como pertencendo a um determinado tipo depende docritrio utilizado para caracterizar os diversos tipos de escoamento. No estudo do escoamentodos lquidos, interessa fundamentalmente fazer a sua categorizao de acordo com osseguintes critrios:

condies fsicas de fronteira variao com o tempo

variao com o espao regularidade das trajectrias


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propagao de perturbaes

Faz-se de seguida uma primeira introduo a estes vrios tipos de escoamento, embora umamelhor compreenso de alguns deles necessite de conceitos e ferramentas a seremintroduzidos em captulos posteriores.

3.2.2 Classificao segundo as condies fsicas de fronteira

No que respeita s condies fsicas de fronteira, os escoamentos podem ser classificadoscomo:

escoamentos sob presso acontece em condutas de seco fechada, sem contactocom a atmosfera; a presso em qualquer ponto do escoamento ser normalmentediferente da presso atmosfrica. O escoamento em condutas de sistemas deabastecimento de gua ou em circuitos hidrulicos de centrais hidroelctricas

exemplo de escoamentos sob presso.

escoamentos com superfcie livre so escoamentos que ocorrem com alguma partedo escoamento (a superfcie livre) em contacto com a atmosfera; a presso nasuperfcie livre igual presso atmosfrica. Pode referir-se como exemplos deescoamentos com superfcie livre o escoamento em rios ou em valas de drenagem.

escoamentos em meio poroso so escoamentos atravs dum solo permevel, semcontacto com a atmosfera; o escoamento d-se atravs dos poros do solo mas a secodo escoamento definida estatisticamente pela porosidade. O escoamento subterrneoque alimenta poos e furos de gua um exemplo de escoamento em meio poroso.

Os escoamentos sob presso sero estudados em Hidrulica I; os escoamentos com superfcielivre s-lo-o em Hidrulica II; os escoamentos em meio poroso sero tratados nas disciplinasde Mecnica dos Solos e Hidrologia.

importante notar que pode haver escoamentos em condutas de seco fechada e que soescoamentos com superfcie livre. Isso acontece sempre que o escoamento no ocupatotalmente a seco da conduta, como nos casos das condutas de guas residuais e dedrenagem pluvial.

3.2.3 Classificao segundo a variao ao longo do tempo

Considerando o critrio de variao ao longo do tempo, os escoamentos podem serclassificados como:

escoamento varivel as caractersticas do escoamento, como por exemplo a

velocidade num dado ponto, variam com o tempo. ),,,( tzyxvv= . a situao maisgeral e tambm mais complexa de estudar. So exemplos o escoamento dum riodurante uma cheia, o escoamento numa vala de drenagem durante uma chuvadaintensa, o escoamento numa conduta alimentada por gravidade por um reservatriocujo nvel vai baixando.


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escoamento permanente as caractersticas do escoamento, como a velocidade num

ponto, no variam com o tempo. 0),,,( =

=t

vzyxvv . Podem referir-se como

exemplos o escoamento num rio que no est em cheia ou o escoamento numaconduta alimentada por um reservatrio cujo nvel de gua se mantm constante. Emmuitas circunstncias, as caractersticas do escoamento podem variar to lentamenteque o escoamento pode ser estudado como escoamento permanente.

escoamento transitrio trata-se do escoamento varivel que ocorre entre doisescoamentos permanentes. Um exemplo o fecho parcial duma conduta: as condiesiniciais de escoamento permanente alteram-se e gera-se um escoamento varivel mas,ao fim de algum tempo, o efeito da perturbao (fecho parcial) desaparece e fica-secom um novo escoamento permanente.

No escoamento permanente, as linhas de corrente coincidem com as trajectrias. No entanto,a coincidncia de linhas de corrente e trajectrias pode existir mesmo no escoamentovarivel, como o caso do Golpe de Ar iete provocado pelo fecho total duma condutacilndrica.

3.2.4 Classificao segundo a variao ao longo do espao

De acordo com o critrio da classificao ao longo do espao, os escoamentos podem serclassificados como:

escoamento variado as caractersticas do escoamento, como a velocidade, variamde ponto para ponto do escoamento, podendo variar ou no ao longo do tempo.

),,(),,,( zyxvvoutzyxvv == . Constituem exemplos de escoamento variado oescoamento num rio onde as seces transversais variam, o escoamento num trootronco-cnico duma conduta ou o escoamento numa conduta de alimentao onde ocaudal vai diminuindo ao longo do percurso.

escoamento uniforme as caractersticas do escoamento no variam de ponto para

ponto do escoamento. ctev= . Note-se que no fisicamente possvel ter )(tvv= ,ou seja, ter uma caracterstica do escoamento a variar com o tempo sem variar no

espao, visto que isso implicaria que qualquer perturbao no escoamento sepropagaria a uma velocidade infinita. Portanto, no existe escoamento variveluniforme.

A conjugao dos critrios de variao no tempo e no espao leva ento existncia de trs eno quatro tipos diferentes de escoamento:

escoamento uniforme o escoamento que no varia nem com o tempo nem com o

espao. ctev=

escoamento variado o escoamento que varia com o espao mas no varia com otempo. ),,( zyxvv=


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escoamento varivel o escoamento que varia com o espao e com o tempo.

),,,( tzyxvv=

O escoamento variado ainda classificado como escoamento gradualmente variado(escoamento em rios e canais) se as caractersticas do escoamento variarem lentamente noespao; ou escoamento rapidamente variado (escoamento em descarregadores, pontes eaquedutos) se essas caractersticas variarem rapidamente. Esta diviso particularmenteimportante para os escoamentos com superfcie livre, onde obrigam a tratamento diverso.

O estudo do escoamento varivel muito complexo e normalmente reservado para o nvel deps-graduao ou de cursos de especializao, onde se faz em paralelo o estudo deferramentas matemticas apropriadas para a sua anlise (mtodos de integrao de sistemasde equaes diferenciais s derivadas parciais). Os nicos casos de escoamento varivel aserem tratados nas disciplinas de Hidrulica, embora de forma simplificada, so o golpe de

ariete em condutas sob presso e a oscilao em massa em galerias de centraishidroelctricas.

3.2.5 Classificao dos escoamentos em relao regularidade das trajectrias

Se se abrir lentamente uma torneira, verifica-se que o escoamento se processa duma formamuito regular as trajectrias so rectilneas e no interferem umas com as outras.Continuando a abrir a torneira lentamente, o caudal debitado vai aumentando at que, a certaaltura, o escoamento muda de aspecto as trajectrias tornam-se irregulares e passam ainterferir umas com as outras.

De acordo com este critrio, os escoamentos classificam-se ento em:

escoamentos laminares as trajectrias so regulares, aproximadamente rectilneas eno interferem umas com as outras.

escoamentos turbulentos as trajectrias so irregulares e interferem fortementeumas com as outras, aumentando a homogeneidade do escoamento atravs da troca dequantidades de movimento entre partculas.

Mais adiante se ver como prever se um escoamento laminar ou turbulento, atravs do

nmero de Reynolds, Re, e do seu significado fsico.

Devido ao seu carcter regular, os escoamentos laminares so mais simples de analisar doque os escoamentos turbulentos. No entanto, a maioria dos problemas prticos que secolocam em Hidrulica pertencem ao domnio dos escoamentos turbulentos.

3.2.6 Classificao de acordo com a propagao das perturbaes

Se considerarmos um lago circular, com gua parada, e deitarmos uma pedra no centro dolago, geram-se ondas a partir do centro que se propagam em todas as direces para a

periferia do lago.


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Se em vez dum lago tivermos um escoamento com uma certa velocidade e provocarmos umaperturbao num dado ponto desse escoamento, essa perturbao vai propagar-se maisrapidamente no sentido do escoamento (para jusante) do que no sentido oposto (paramontante) visto que, neste ltimo sentido, a velocidade de propagao da perturbao

contrariada pela velocidade do escoamento.

Se a velocidade de propagao for superior velocidade do escoamento, a perturbao acabapor propagar-se para montante; se for inferior, ela no se propaga para montante; no casolimite de ser igual, a perturbao mantm-se estacionria.

De acordo com este critrio, os escoamentos so classificados da seguinte forma:

escoamento lento a velocidade de propagao da perturbao superior velocidade do escoamento e o efeito da perturbao propaga-se tanto para jusantecomo para montante.

escoamento rpido a velocidade de propagao da perturbao inferior velocidade do escoamento e o efeito da perturbao apenas se propaga para jusante. A

perturbao arrastada para jusante.

escoamento crtico a velocidade de propagao da perturbao igual velocidadedo escoamento e o efeito da perturbao no se propaga para montante, ficando a

perturbao estacionria.

Esta classificao extremamente importante para os escoamentos com superfcie livre. Ver-se- mais adiante como prever se um escoamento ser lento ou rpido, atravs da introduodo Nmero de Froude, Fr, e do seu significado fsico.

3.2.7 Exemplos ilustrativos

A figura 3.4 apresenta exemplos ilustrativos dos diversos tipos de escoamentos aquidefinidos.

Reservatrios grandes, nvelconstante, conduta cilndrica escoamento uniforme;


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Figura 3.4 Exemplos ilustrativos de tipos de escoamento de acordo com o critrio

3.3 TUBO DE FLUXO,CAUDAL,VELOCIDADE MDIA

Considere-se um escoamento representado por um conjunto de linhas de corrente e umcontorno linha fechada que no coincide com nenhuma linha de corrente. Por cada pontodo contorno passa uma linha de corrente, veja-se a figura 3.5.

Reservatrio de jusante pequeno, nvel vai subindo,conduta cilndrica, velocidadedecresce escoamentovarivel;

Reservatrios grandes, nvelconstante, conduta dedimetro varivel, velocidade

varia escoamentogradualmente variado

Conduta cilndrica, fechoinstantneo da vlvula escoamento varivel

Descarregador dumabarragem escoamentorapidamente variado


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Figura 3.5 Linhas de corrente e contorno

Define-se tubo de fluxo como a poro de espao delimitada pelo conjunto de linhas decorrente que passam por um contorno. Filete o tubo de fluxo para um contorno com umaseco infinitamente pequena.

Uma vez que a velocidade em cada ponto da superfcie lateral do tubo de fluxo tangente aessa superfcie (visto que a superfcie lateral composta por linhas de corrente), a superfcielateral dum tubo de fluxo no atravessada pelo lquido em movimento.

Designa-se por seco rectaa seco que corta ortogonalmente todas as linhas de correntenum tubo de fluxo, figura 3.6. Quando a seco recta plana, ela referida como secotransversal.

Figura 3.6 Seco recta e seco transversal dum tubo de fluxo

Caudal o volume do lquido que atravessa uma seco recta na unidade de tempo. O caudalque atravessa uma seco recta ser ento:

===A AA

dAVdAVdAnVQ cos.r

(3.1)

pois Ve n tm a mesma direco e sentido.

Velocidade mdianuma seco recta dum tubo de fluxo a velocidade, constante em todos

os pontos dessa seco recta, dum escoamento fictcio que transporta o mesmo caudal Q.

===A

A

A

dAV

UAUdAVQ . (3.2)

A figura 3.7 ilustra o conceito de velocidade mdia.


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Figura 3.7 Exemplos de ilustrao do conceito de velocidade mdia

3.4 EQUAO DA CONTINUIDADE

A Equao da Continuidade traduz o princpio da conservao da massa: a variao damassa dum lquido contida num certo volume e, limitado por uma superfcie S, durante um

intervalo de tempo dt igual ao fluxo da massa de lquido atravs de S, isto , igual massa que entra menos a massa que sai nesse intervalo de tempo.

dsnVdtdede S

=. (3.3)

Pelo Teorema da Divergncia ou de Gauss,

deVdivdsnVeS = (3.4)

em quezyx

div zyx

+

+

= (3.5)

Daqui se obtm que

deVdivdtdede e

)( = (3.6)

A igualdade dos integrais num mesmo domnio obriga igualdade das funes integradas,donde (sendo deno nulo)

)( Vdivdt

d = (3.7)

No caso de lquidos incompressveis e admitindo que a temperatura se mantm constante,chega-se ento a:

0=

+

+

=

z

V

y

V

x

VVdiv z

yx EQ. CONTINUIDADE (3.8)

Num tubo de fluxo limitado pelas seces rectas 1 e 2, veja-se a figura 3.8, sendo U1e U2as

velocidades mdias nessas seces. Neste caso:


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Figura 3.8 Escoamento num tubo de fluxo

Donde se tira que 22112211 SUSUSUSU == (3.9)

que a Equao da Continuidade num tubo de fluxo para um lquido incompressvel.

3.5 ESCOAMENTOS LAMINARES E TURBULENTOS

Num escoamento laminar, as trajectrias das partculas so regulares e no se cruzam. Pelocontrrio, num escoamento turbulento a velocidade num ponto varia ao longo do tempo, semregularidade, tanto em grandeza como em direco, e as trajectrias so muito irregulares,com as trajectrias de partculas vizinhas a cruzarem-se, figura 3.9.

Figura 3.9 Trajectrias num escoamento laminar e num escoamento turbulento

A maioria dos casos de interesse prtico em Engenharia Civil de escoamentos turbulentos.Por isso, tem todo o interesse definir o que se entende por escoamento turbulento em regime

permanente, uma vez que j se constatou que no escoamento turbulento a velocidade numponto do escoamento varia com o tempo.

Diz-se ento que temos escoamento turbulento em regime permanente quando, emqualquer ponto do escoamento, o valor mdio da velocidade V ao longo dum perodo detempo suficientemente longo T se mantm constante e independente do instante inicial t0. Afigura 3.10 ilustra as diferenas entre regime permanente e regime varivel num escoamentoturbulento.

+

=Tt

tdtV

TV

0

0

1 (3.10)

- a variao da massa no volumee nula

- o fluxo da massa d-se apenas

atravs das seces 1 e 2


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Figura 3.10 Escoamentos turbulentos em regime permanente e regime varivel

A velocidade instantnea num dado ponto, V, dada por (figura 3.11)

'VVV += (3.11)

em que V a veloci dade mdiaou velocidade de transportee V a veloci dade de agitaoou f lutuao turbulenta de velocidade. fcil de ver que o valor mdio no tempo de Vnulo.

Figura 3.11 Perfil de velocidades num escoamento turbulento

0)(1

)(1

'1

'0

0

0

0

==== ++

TVTVT

dtVVT

dtVT

VTt

t

Tt

t (3.12)

Embora em cada instante a velocidade V em cada ponto varie, o caudal na secopraticamente no varia:

dAVdAVdAVdAVVdAVQAAAAA

=+=+== ')'( (3.13)

O integral de V praticamente nulo visto que V pequeno relativamente a V e tantoassume valores positivos como negativos na seco A.

3.6 ACELERAO LOCAL E ACELERAO CONVECTIVA

O deslocamento elementar duma partcula no intervalo de tempo dt dado por

kdzjdyidxdP

++= (3.15)


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Obtm-se as seguintes expresses para a velocidade e para a acelerao:

Velocidade kwjviuV ++= em quedt

dzw

dt

dyv

dt

dxu === (3.16)

Note-se que u, v, wso funes dex, y, z, t.

Acelerao kajaiaa zyx ++= em quedt

dwa

dt

dva

dt

dua zyx === (3.17)

Considere-se agora a diferencial total duem ordem ax, y, z, t.

dzz

udy

y

udx

x

udt

t

udu

+

+

+

= (3.18)

Atendendo a (3.16) chega-se a

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

duax

+

+

+

==

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

dt

dvay

+

+

+

== (3.19)

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

dt

dwaz

+

+

+

==

Pode portanto considerar-se que a acelerao tem duas componentes a acelerao local,representada pela primeira parcela do 2 membro nas igualdades (3.19); e a aceleraoconvectiva, representada pelas trs restantes parcelas.

A acelerao local representa a variao da velocidade com o tempo num dado ponto. Aacelerao convectiva representa a variao da velocidade num dado instante entre dois

pontos infinitamente prximos. Apenas existe acelerao local em escoamento varivel masexiste acelerao convectiva num escoamento permanente (variado).

3.7 DESCRIES DE LAGRANGE E DE EULER

A descrio de Lagrange uma das maneiras de analisar o movimento dum lquido,consistindo em acompanhar o movimento duma partcula individualizada, estudando portantotrajectrias e obtendo a partir da as correspondentes velocidades.

Este mtodo apenas se utiliza em determinados casos particulares porque, devido complexidade do movimento das partculas, o estudo das trajectrias muito difcil em casosde aplicao prtica.

A descrio de Euler analisa o movimento dum lquido procurando definir o campo develocidades, isto , determinando o vector velocidade em cada ponto fixo do espao e em

cada instante. Estuda, portanto, linhas de corrente. Este o mtodo mais habitual e aqueleque ir ser utilizado nas disciplinas de Hidrulica.


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3.8 DEFORMAO ANGULAR, ROTAO E DILATAO VOLUMTRICA

Considere-se os pontos A, B, C e D representados na Figura 3.12, formando inicialmente umrectngulo de lados dx, dy. Esse rectngulo inicial deforma-se, como se indica na figura a

tracejado.

Figura 3.12 Deformao angular

Define-se deformao angular como sendo a soma das duas rotaesx

v

y

u

+

. No caso

particular em quex

v

y

u

=

, a situao de deformao angular pura.

A Figura 3.13 representa uma outra deformao do rectngulo inicial ABCD de lados dx, dy.

Figura 3.13 - Rotao

Define-se rotao como o valor dado por )(2

1

x

v

y

u

. No caso particular em que

x

v

y

u

=

, a situao de rotao pura.

fcil de ver que o lado AB sofre uma

rotao que dada porx

v

(positiva no

sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio). Por sua vez, o lado AC sofre uma outra

rotao dada pory

u

(positiva no sentido dos

ponteiros do relgio).

Neste caso, adoptando os sentidos positivosde rotao dos lados AB e AC anteriormentedefinidos, tem-se que a rotao de AB negativa e a rotao de AC positiva,

00

x

v

y

u.


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Finalmente, a figura 3.14 representa uma outra situao de deformao do rectngulo inicialABCD. Os lados AB e AC, com comprimentos iniciais dx e dy, sofrem extenses que so

dadas respectivamente pory

v

x

u

, .

Figura 3.14 Dilatao volumtrica

Em geral, a deformao do rectngulo inicial ser a sobreposio duma deformao angularpura e duma rotao pura.

Exemplo) Admita que os pontos A(0,0), B(2,0), C(0,1) e D(2,1) se moveram para as posiesA(1,1), B(3,1.1), C(1.3, 2) e D(3.5, 2.1). Determine a deformao sofrida pela figuracomo uma sobreposio duma deformao angular pura e duma rotao pura.

Define-se dilatao volumtrica como o

valor dado pory

v

x

u

+

. A Equao da

Continuidade impe que, no caso dumlquido incompressvel e no sujeito a grandevariao de temperatura, a dilataovolumtrica seja nula.

Cap. III - Hidrocinemática

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