Cap II Rts Modello Sperimentale Analisidimen

5/24/2018 Cap II Rts Modello Sperimentale Analisidimen

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S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

1

La resis tenza al moto

Cap. 2: I l Model lo sperimentale

Parte I: Richiami di Analisi Dimensionale e Teoria dei

Modelli

1. EQUAZIONI DIMENSIONALI

2. CALCOLO DI PRODOTTI ADIMENSIONALI

3. SIMILITUDINE E MODELLI

4. LA RESISTENZA AL MOTO DI UNA NAVE

5. EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES IN FORMA ADIMENSIONALE

6. CARATTERISTICHE FISICHE DEI FLUIDI


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2

1. EQUAZIONI DIMENSIONALI

In un sistema assoluto siano (l, m, t) le rispettive unit di misura della lunghezza L,

della massa M e del tempo T.

Una generica grandezza Q dipenda, dall'analisi della relazione analitica che la definisce,

dalla lunghezza elevata alla potenza a, dalla massa elevata a b, dal tempo elevato a c.

Per evidenziare questa propriet si adopera la notazione simbolica:

[ ] cba TMLQ= (1)

La (1) prende il nome di equazione dimensionale di Q; gli esponenti a, b, c si dicono

dimensioni di Q rispetto a L, M, T . Se a = b = c = 0, la grandezza Q dicesi

adimensionale.

Fissate ),,( tml , l'unit di misura di Q )( cba tml . Secondo questa unit sono

misurati i valori assunti da Q e indicati con )( cba tmlq .

Presi tre reali positivi ( , , ) , si assumano le nuove unit di misura ),,( 111 tml di

L, M, T secondo le relazioni:

;;; 111

tt

mm

ll === (2)

La nuova unit di misura di Q )( 111cba tml e la misura dello stesso valore assunto da

Q vale )( 1111cba tmlq . Tra le misure )( cba tmlq e )( 1111

cba tmlq sussiste la relazione di

equivalenza:

)( cba tmlq = )( 1111cba tmlq (3)

dalla quale si trae:


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3

qKqKt

t

m

m

l

l

q

qcba

cba

===

= 1

111

1

11

(4)

dove cbaK = detto coefficiente di riduzione di Q rispetto a L, M, T.

Quanto esposto consente un immediato passaggio da un sistema di unit di misura ad un

altro. Ad esempio se ),,(),,( skgmtml e ),,(),,( 111 hkgnmtml , nm il

miglio nautico pari a 1852 m, il coefficiente di riduzione della velocit, avente

dimensioni 1;0;1 === cba , pari a:

1852

3600

3600

1;1;

1852

1 1

111

======== Kt

t

m

m

l

l

Lunit di misura nm/h (miglia nautiche allora) detta nodo. Per ottenere le velocit in

nodi basta moltiplicare quelle misurate in m/s per il coefficiente numerico su calcolato.

In campo navale noto il valore inverso di detto coefficiente pari a 0.5144.Infine, detta )( cba tmlq un'altra misura di Q; la equivalente )( 1111

cba tmlq data dalle

(2), pari a:

q K q1 =

Rapportando membro a membro con la (4), si ottiene:

q

q

q

q= =1

1

costante (5)


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4

dalla quale consegue, in generale, che il rapporto delle misure di una grandezza

indipendente dal sistema fissato di unit di misura.

Se Q una grandezza adimensionale, essendo K = 1, segue dalla (4) che, definita una

grandezza adimensionale, il valore da essa assunto indipendente dal sistema di unit di

misura.

Si supponga che in un determinato fenomeno fisico, siano coinvolte le grandezze

Q Q Q Qn, ,.....,,1 2 con rispettive equazioni dimensionali:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] nnn cban

cba

cba

cba

TMLQ

TMLQ

TMLQ

TMLQ

=

=

=

=

.........................

.........................

222

111

2

1

La matrice:

n21

n21

n21

c......ccc

b......bbb

a......aaa

(6)


5/55



5

le cui colonne sono le dimensioni delle grandezze Q Q Q Qn, ,.....,,1 2 , dicesi matrice

dimensionale di Q Q Q Qn, ,.....,,1 2 .

Tra le grandezze coinvolte nel fenomeno sussista la relazione funzionale:

Q F Q Q Qn= ( , , ...., )1 2 (7)

Fissato un sistema di unit di misure, la relazione (7) definisce la funzione reale,

positiva, continua ed uniforme in +n :

q f q q qn= ( , ,.... , )1 2 (8)

Il legame tra le grandezze fisiche espresso dalla relazione (7) deve sussistere

indipendentemente dalle unit di misura scelte per misurarle. Ne consegue che la

relazione (8) deve valere qualunque sia il sistema adottato per le unit di misura. In tale

caso essa si dir dimensionalmente omogenea.Pertanto, se si assumono le unit definite dalle (2), dovr ancora essere:

q f q q qn= ( , ,.... , )1 2 (9)

dove:


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6

nnnncnbna

n

cba

cba

cba

qKqq

qKqq

qKqq

qKqq

==

==

==

==

.......................................

222222

2

111111

1

Ne segue che, da un punto di vista matematico, la (8) invariante rispetto a tutte le

possibili trasformazioni definite dalle relazioni (2).

Sostituendo nella (9), si ottiene ancora :

( ) )qK,....,qK,qK(fq,....,q,qfKqKq nn2211n21 ===

(10)

+ +( , ,....., ) , ( , , )q q q n n1 2 3 .

Vale a dire:

La funzione ),....,,( 21 nqqqfq = dimensionalmente omogenea se e solo se lequazione

(10) unidentit nella variabili ),,,,....,,( 21 nqqq .

Osservando la (10) e le precedenti relazioni segue, altres, che la funzione gode di unatriplice omogeneit di gradi a, b, c rispetto a , , .

Si noti che se Q una grandezza adimensionale, essendo K = 1, la (10) diventa:


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7

( ) )qK,....,qK,qK(fq,....,q,qfqq nn2211n21 === (11)

vale a dire che un'equazione adimensionale certamente dimensionalmente omogenea,

essendo indipendente da qualsiasi trasformazione definita dalle (2).

Ad esempio si consideri la resistenza D incontrata da una sfera di diametro d animata di

moto rettilineo uniforme di velocit V in un fluido indefinito di densit e viscosit

dinamica , sicch, fissato un sistema di unit di misure, si abbia:

),,,( dVfD=

Le dimensioni delle grandezze ed i corrispondenti coefficienti di riduzione sono:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] 11111

33

11

22

;.

;

:

;

;

==

==

==

==

==

KTML

KML

KLd

KTLV

KTMLD

d

V

D

Se si passa a nuove unit di misura, la condizione di omogeneit dimensionale richiede

che:

),,,( KKdKVKfDK dVD =

La funzione:


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8

)(22

dVfdVD=

che in seguito si ricaver, soddisfa lomogeneit richiesta. Infatti, applicando la

trasformazione conseguente ad una variazione di unit di misure, si ha:

)()(

)(

22

11

312222232

2222

dVfdV

dVfdVD

K

KdKVKfdKVKKDK

dVdVD

==

=

Se la relazione funzionale (7) del tipo Q Q Q Qn= + + +1 2 ..... , si ha:

q f q q qn= ( , ,.... , )1 2 = + + +q q qn1 2 ....... (12)

La (12) dimensionalmente omogenea se le grandezze Q Q Q Qn, ,.....,,1 2 hanno

uguali dimensioni.

Se la (7) del tipo Q Q Q Qn n nnn= 1 2

1 2 ..... , affinch la funzione numerica::

q f q q qn= ( , ,.... , )1 2 = q q qn n

nnn

1 21 2 ........ (13)

sia dimensionalmente omogenea, gli esponenti n n nn1 2, , ......, devono essere

soluzioni del sistema:


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9

=+++

=+++

=+++

ancncnc

bnbnbnb

ananana

nn

nn

nn

.........

..........

..........

2211

2211

2211

(14)

la cui seconda matrice la matrice dimensionale (6).

Se a = b = c = 0 la grandezza Q adimensionale, la sua misura q indipendente dal

sistema di unit di misura e gli esponenti n n nn1 2, , ......, devono essere soluzioni

del sistema lineare omogeneo associato al sistema (14):

=+++

=+++

=+++

0..........

0..........

0..........

2211

2211

2211

nn

nn

nn

ncncnc

nbnbnb

nanana

(15)

Resta definito, pertanto, il prodotto adimensionale

= Q Q Qn n nnn

1 21 2 .....

delle grandezze Q Q Qn1 2, ,....., . Esso una funzione reale positiva delle misure

q q qn1 2, ,......, ed, essendo una grandezza adimensionale, invariante rispetto ad una

qualsiasi trasformazione di unita di misura.

Il numero p di prodotti adimensionali i indipendenti pari al numero dellesoluzioni indipendenti del sistema lineare omogeneo (15), vale a dire p = n - r, dove r

il rango della matrice (dimensionale) del sistema omogeneo associato ed n il numero

delle incognite.


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10

Poich le infinite soluzioni del sistema (15) dipendono linearmente dalle p soluzioni

indipendenti, ulteriori prodotti adimensionali delle grandezze Q Q Qn1 2, ,.....,

dipenderanno dai p prodotti indipendenti 1 2, , ....... , ,p sicch si pu

scrivere che un qualsiasi prodotto adimensionale esprimibile dalla relazione:

)......,,,( 21 pF = (16)

Se la grandezza Q non adimensionale e la funzione q f q q qn= ( , ,...., )1 2

dimensionalmente omogenea, risolvendo il sistema (14), possibile definire un

prodotto Q avente le stesse dimensioni di Q:

= =Qn n

nn

QQ Q Q Qn

1 21 2 ..... :

Il sistema ha soluzione se e solo se le matrici del sistema (14) hanno stesso rango,

condizione certamente verificata, avendo ammesso la omogeneit dimensionale della

funzione q f q q qn= ( , ,...., )1 2 .Calcolato Q , resta definito il prodotto adimensionale:

nnn

nnQ

QQQQ

QQQ

=

==

.....221

1

1

che, per la (16), , in generale, funzione dei p prodotti indipendenti

1 2, , . ......, p , con valori funzioni di q q qn1 2, ,......, e invarinati rispetto ad

una qualsiasi trasformazione definita dalle relazioni (2).

Pertanto, supponendo sufficienti le considerazioni di carattere intuitivo, si pu

concludere quanto segue.


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11

Tra le grandezze coinvolte in un fenomeno fisico sussista la relazione funzionale:

Q F Q Q Qn= ( , , ...., )1 2

La funzione reale, positiva, continua ed uniforme in +n :

q f q q qn= ( , ,...., )1 2

sia dimensionalmente omogenea.

Detti 1 2, , . ......, p i prodotti adimensionali indipendenti definiti dallagrandezze coinvolte nel fenomeno e quello relativo alla grandezza Q, tutti

calcolabili nei modi su indicati, la relazione funzionale:

Q F Q Q Qn= ( , , ...., )1 2

pu essere ridotta nella forma:

)......,,,( 21 pF =

Questa ultima relazione esprime il cos detto teorema di Buckingham.

Si noti come, utilizzando i metodi dell'analisi dimensionale, si possano dedurre

informazioni utili riguardanti un determinato fenomeno fisico, certamente non

determinando la struttura delle funzione che lega le grandezze coinvolte, ma comunque

ottenendo informazioni sul fenomeno e riducendo il numero delle variabili che lo

influenzano.


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12

Tre grandezze Q Q Q1 2 3, , , aventi rispettive dimensioni ( , , ),a b c1 1 1

( , , ), ( , , )a b c a b c2 2 2 3 3 3 e coefficienti di riduzione K K K1 2 3, , , si dicono

dimensionalmente indipendenti se le espressioni monomie dei loro coefficienti di

riduzione sono algebricamente indipendenti, vale a dire che non esistono tre scalari

h h h1 2 3, , diversi da zero tali che:

K K Kh h h1 2 31 2 3 1 =

(17)

h a h a h a h b h b h b h c h c h c1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 0 0 0+ + + + + + =

Le (17) equivalgono, pertanto, al sistema:

=++

=++

=++

0chchch

0bhbhbh

0ahahah

332211

332211

332211

che ammette la soluzione banale h h h1 2 3 0= = = se e solo se il determinante:

a a a

b b b

c c c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 (18)


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13

Generalizzando, si dir che le n grandezze Q Q Q Qn1 2 3, , ,....., , con rispettive

dimensioni ( , , ),..........., ( , , )a b c a b cn n n1 1 1 , sono dimensionalmente indipendenti

se comunque presa una terna Q Q Qi j k, , con i j k e i, j, k = 1,2,..,n , il

determinante:

a a a

b b b

c c c

i j k

i j k

i j k

0 (19)

Siano Q Q Q1 2 3, , tre grandezze dimensionalmente indipendenti aventi rispettive

dimensioni ( , , ),a b c1 1 1 ( , , ), ( , , )a b c a b c2 2 2 3 3 3 e coefficienti di riduzione

K K K1 2 3, , .

Il coefficiente K di riduzione di una generica grandezza Q, avente dimensioni (a,b,c),

pu mettersi nella forma:

K K K K = 1 2 3

(20)

con , , soluzioni del sistema:

=++

=++

=++

cccc

bbbb

aaaa

321

321

321

La misura di Q gode pertanto di una triplice omogeneit di gradi , , rispetto allemisure di Q Q Q1 2 3, ,

Pertanto le grandezze Q Q Q1 2 3, , , possono essere assunte come grandezze

fondamentali in un nuovo sistema di misura, e l'equazione dimensionale di Q si

scriver:


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14

Q Q Q Q= 1 2 3

(21)

con , , dimensioni di Q rispettoa a Q Q Q1 2 3, , .

Si pu quindi concludere che le terne di grandezze dimensionalmente indipendenti

possono essere assunte come grandezze fondamentali, rimanendo tutte le altre definite

come derivate da esse.


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15

2. CALCOLO DI PRODOTTI ADIMENSIONALI

E s e m p i o N. 1

Le grandezze pi comuni coinvolte nei fenomeni di flusso sono la forza F, la velocit V,

l'accelerazione di gravit g, i parametri di stato del fluido, quali densit , viscosita

, tensione superficiale , velocit c del suono nel fluido, pressione di vapore

pv.Scritte le equazioni dimensionali di queste grandezze:

F L M T= 1 1 2

L L M T= 1 0 0

V L M T= 1 0 1

c L M T= 1 0 1

g L M T= 1 0 2

= L M T3 1 0

= L M T1 1 1

= L M T0 1 2

[ ] 211v TMLp =

si vogliono determinare i prodotti adimensionali indipendenti :

987654321 nv

nnnnnnnni pVLcgF =

Esplicitando le dimensioni delle singole grandezze e raccogliendo a base comune, si

pu simbolicamente scrivere:


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16

[ ] 97543219852198764321 n2nn2nn2nn2nnnnnnn3nnnnnn000i TMLTML ++++++++==

La condizione di omogeneit dimensionale consente di scrivere il sistema di tre

equazioni nelle nove incognite 987654321 n,n,n,n,n,n,n,n,n :

=+++++

=++++

=++++

0n2nn2nn2nn2

0nnnnn

0nn3nnnnnn

9754321

98521

98764321

Scrivendo nel seguente modo la matrice dimensionale delle otto grandezze:

n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 9n

F g C L V pvL 1 -1 1 1 0 1 1 -3 -1

M 1 1 0 0 1 0 0 1 1

T -2 -1 -2 -1 -2 0 -1 0 -2

si pu notare la sua coincidenza, come gi osservato, con la matrice del sistema sopra

scritto e quanto immediata sia da essa la scrittura dello stesso sistema..

La matrice dimensionale, come si pu verificare, ha rango tre, il sistema, pertanto,

certamente compatibile e le sue soluzioni indipendenti sono pari in numero a:


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17

639rnp ===

Per la loro determinazione, si risolva, ad esempio, il sistema rispetto alle incognite n6,

n7, n8 .Si osservi che i coefficienti di n6, n7, n8 costituiscono un sistema massimo

di colonne linearmente indipendenti della matrice dimensionale.

Per ottenere le cinque soluzioni indipendenti, si assegnino, di volta in volta, i seguenti

valori alle rimanenti incognite:

)

))

)

)

) 0nnnnn;1n6

0nnnnn;1n5

0nnnnn;1n4

0nnnnn;1n3

0nnnnn;1n2

0nnnnn;1n1

154329

914325

951324

954123

954312

954321

======

======

======

============

======

Ne conseguono le cinque soluzioni cercate:

n1 n2 n3 n4 n5 9n n6 n7 n8

1aSoluz. 1 0 0 0 0 0 -2 -2 -1

2aSoluz. 0 1 0 0 0 0 -1 -1 -1

3aSoluz. 0 0 1 0 0 0 1 -2 0

4aSoluz. 0 0 0 1 0 0 0 -1 0

5aSoluz. 0 0 0 0 1 0 -1 -2 -1

6aSoluz. 0 0 0 0 0 1 0 -2 -1

Le cinque soluzioni formano la cos detta matrice delle soluzioni. Il minore costituito

dalla prime cinque colonne, , cos come si costruito, diverso da zero, dal che

consegue che la matrice ha rango cinque, pari al numero delle righe, che, pertanto,

risultano essere indipendenti.

Alle cinque soluzioni indipendenti calcolate, corrispondono i sei prodotti adimensionali

indipendenti:


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18

= =1 2 2 212

F

L VC

F

S VF

= Coefficiente di forza

= = =2

L V RV L V L

N = Numero di Reynolds

= =3 2g L

VF

V

g LN = Numero di Froude

= =4c

VM

V

cN = Numero di Mach

= =5 2

2

L V

WL V

N = Numero di Weber

226 21 V

pp

V

p vov

== = Indice di cavitazione

dove con S e po sono rispettivamente una superficie e una pressione di riferimento.

Se il sistema fosse risolto rispetto a n3, n4, n5 si perverrebbe ai prodotti

adimensionali:

= = 1 22 2' Fg

cC M W FF N N N

= = 2 22 2' Lg

cM FN N

= =3

' V

cM

N

= = 44

4 2'

c

gM W FN N N


19/55



19

= = 51 1'

c

M W RN N N

== 222

'

6 NNN

v FWMg

cp

esprimibili, come si vede, in funzione di queli assunti indipendenti e gi determinati.

Considerando che ogni altra soluzione del sistema esprimibile mediante una relazione

lineare in funzione di quelle indipendenti, si pu verificare che i cinque prodotti

adimensionali indipendenti sono caratterizzati dal verificare la relazione:

1654321654321 =

se e solo se 0654321 ====== , relazione che pu essere

generallizzata per p prodotti adimensionali indipendenti.

Se le grandezze considerate sono coinvolte in un fenomeno fisico sicch tra esse esiste

una relazione funzionale del tipo:

( ) 0,,,,,,,, = VpcgVLF

lapplicazione dei metodi dimesionali esposti consente di pervenire alla relazione tra i

prodotti adimensionali indipendenti:

( ) 0,,,,, 654321 =


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20

E s e m p i o N. 2

Si consideri una sfera di diametro d avanzante di moto rettilineo uniforme di velocit

V in un fluido di densit e viscosit . Detta D la resistenza al moto, sussista tra

le grandezze coinvolte una relazione implicita del tipo:

F D d V( , , , , ) = 0

Si scriva al solito modo la matrice dimensionale:

n1 n2 n3 n4 n5

D V dL 1 -1 -3 1 1

M 1 1 1 0 0

T -2 -1 0 -1 0

ed il relativo sistema di equazioni:

=++

=++

=++

0nnn2

0nnn

0nnn3nn

321

321

54321

per il calcolo dei prodotti adimensionali indipendenti:

=in n n n nF V d1 2 3 4 5


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21

La matrice del sistema ha rango r = 3. I prodotti adimensionali indipendenti sono in

numero p = 5 - 3 = 2.

Risolvendo il sistema rispettoa n3, n4, n5, si ottengono le soluzioni:

n1 n2 n3 n4 n5

1aSoluz. 1 0 -1 -2 -2

2aSoluz. 0 1 -1 -1 -1

e i seguenti prodotti adimensionali indipendenti:

= =1 2 2 212

D

d VC

D

S VD = Coefficiente di resistenza

= = =2

d VR

V d V dN = Numero di Reynolds

essendo S d= 2 4 la superficie della sferaLa precedente relazione funzionale si trasforma, pertanto, nella seguente:

F C F R D N( , ) ( ) = =1 2 0

Si quindi pervenuti ad una relazione qualitativa tra il coefficiente di resistenza CDed il numero di Reynolds RN, avendo conseguito una notevole riduzione del numero di

variabili ed una descrizione generalizzata del fenomeno. La relazione adimensionale

determinata, infatti, valida per una sfera di qualsiasi dimensione e per qualsiasi

velocit e fluido. Nella figura seguente riportato l'andamento del coefficiente CD al

variare del numero di Reynolds RN, ricavato dall'avviamento di dati sperimentali

ottenuti da diversi autori.


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22

Coefficiente di resistenza della sfera in funzione del numero di Reynolds

Curva (1): Teoria di Stokes; curva (2): Teoria di Oseen


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23

E s e m p i o N. 3

Si consideri una lastra piana senza spessore, di lunghezza L e larghezza b, in moto

uniforme in un fluido di densit e viscosit con velocit V appartenente al suo

piano e direzione coincidente con quella di L.

La resistenza al moto RF sia legata alle altre grandezze dalla relazione:

F R L b VF( , , , , , ) = 0

Si scriva la matrice dimensionale:

n1 n2 n3 n4 n5 n6

RF b L V

L 1 -1 1 1 1 -3

M 1 1 0 0 0 1

T -2 -1 0 0 -1 0

ed il relativo sistema di equazioni:

=++

=++

=+++

0nnn2

0nnn

0n3nnnnn

521

621

654321

per il calcolo dei prodotti adimensionali indipendenti:

=i Fn n n n n nR b L V1 2 3 4 5 6


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24

La matrice del sistema ha rango r = 3. I prodotti adimensionali indipendenti sono

in numero p = 6 - 3 = 3.

Risolvendo il sistema rispettoa n4, n5, n6 si ottengono le soluzioni:

n1 n2 n3 n4 n5 n6

1aSoluz. 1 0 0 -2 -2 -1

2aSoluz. 0 1 0 -1 -1 -1

3aSoluz. 0 0 1 -1 0 0

e i seguenti prodotti adimensionali indipendenti:

= =1 2 2 212

R

L VC

R

S V

FF

F

= Coefficiente di resistenza

= = =2

d VR

V d V dN = Numero di Reynolds

=3

b

L

essendo S b L= 2( )bagnata della lastra.La precedente relazione funzionale si trasforma, pertanto, nella seguente:

==

L

b,RFC0),,(F NF321

Si quindi pervenuti ad una relazione qualitativa tra il coefficiente di resistenza CF, il

numero di Reynolds RN, e il rapporto di figura b/L. Le esperienze confermano, inoltre,

che per valori di RN superiori a 105, il coefficiente CF non risente dellinfluenza del

rapporto di figura. Nella figura seguente riportato l'andamento della funzione ottenuta

da dati sperimentali.


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25


26/55



26

E s e m p i o N. 4

Si consideri un' ala rettangolare a sezione costante di geometria nota, di allungamento

finito, in moto traslatorio uniforme in un fluido di densit e viscosit con velocit

di modulo V e direzione perpendicolare alla apertura. Dette b l'apertura dell'ala, c la

corda della sua sezione, l'angolo tra le direzioni della velocit e della corda (angolo

di incidenza) e W la forza fluidodinamica esercitata dal fluido sull'ala, sussiste la

relazione funzionale:

F W b c V( , , , , , , ) = 0

Le componenti di W nella direzione di V ed in quella ad essa normale sono dette

rispettivamente forza di resistenza D (resistenza) e forza di portanza L (portanza),

legate alle rimanenti grandezze da relazioni funzionali simili a quella sopra scritta.

Procedendo come negli esempi precedenti alla loro adimensionalizzazione, si ottengono

le relazioni:

( )1N12D ,,RFVS2

1DC =

= = Coefficiente di resistenza

( )=

= ,,RFVS

21

LC N22L

= Coefficiente di portanza

dove S = b c la superficie alare, = b/c l'allungamento dell'ala e

R V cn = il numero di Reynolds.

Per = il il moto fluido intorno all'ala bidimensionale, i coefficienti di portanza e

resistenza non dipendono pi dall'allungamento dell'ala e caratterizzano le prestazioni

fluidodinamiche della sezione alare (profilo alare).


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27

Nella figura seguente sono riportate le curve di CL e CD per uno stesso profilo in

funzione dell'angolo di incidenza e per diversi valori del numero di Reynolds.

Si noti l'andamento lineare del coefficiente CL al variare dell'angolo di incidenza entro

un certo intervallo di valori e la evidente ininfluenza del numero di Reynolds. Al di

fuori di detto intervallo l'andamento perde il carattere lineare, risentendo dell'influenza

di RN soprattutto sui valori massimi assunti da CL , oltre i quali interviene il

fenomeno dello stallo con distacco del fluido. Le curve di CD si differenziano

maggiormente con RN , pur presentando i valori del coefficiente di resistenza minori,

in genere di un ordine di grandezza, di quelli assunti da CL.


28/55



28


29/55



29

E s e m p i o N. 5

Nel funzionamento isolato di un'elica navale, le grandezze coinvolte sono la spinta T, la

coppia Q, il diametro dell'elica D, il numero di giri n, la densit e la viscosit

dell'acqua, l'accelerazione di gravit g, la tensione di vapore pv .

Sussistano le relazioni funzionali:

F T g n p V D

F Q g n p V D

v

v

' ( , , , , , , )

"( , , , , , , )

,

,

=

=

0

0

Si consideri la prima relazione relativa alla spinta T, in modo analogo si proceder per

la coppia Q.

Si scrivano la matrice dimensionale ed il relativo sistema di equazioni:

n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 T g n pv V D

L 1 -1 0 -1 -1 -3 1 1

M 1 0 0 1 1 1 0 0

T -2 -1 -1 -1 -2 0 -1 0

=+++++

=++++

=+++

0nn2nnn2n2

0nnnnn

0nnn3nnnn

754321

76541

8765421

La matrice del sistema ha rango 3, le soluzioni indipendenti sono in numero p = n - r =

8 - 3 = 5. Risolvendo rispetto a n6, n7, n8 , si ottengono le soluzioni:


30/55



30

n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8

1aSoluz. 1 0 0 0 0 -1 -2 -2

2aSoluz. 0 1 0 0 0 0 -2 1

3aSoluz. 0 0 1 0 0 0 -1 -1

4aSoluz. 0 0 0 1 0 -1 -1 -1

5aSoluz. 0 0 0 0 1 -1 -2 0

e i prodotti indipendenti:

= =1 2T

D VCT

= Coefficiente di carico di spinta

= =2 2g D

VF

V

g DN = Numero di Froude relativo al diametro

= =3nD

VJ V

n D = Coefficiente di avanzo

= = =4

D VR

V D V DN = Numero di Reynolds relativo al

diametro

= =

5 2 212

p

V

p p

V

v v

= Coefficiente (indice) di cavitazione

Risolvendo il sistema rispetto a n3, n6 n8 si ottengono i prodotti

adimensionali:


31/55



31

= = =1 2 4 1 32' T

n DKT

= Coefficiente di spinta

= = 2 2 2 32' g

D n

= = =3 31' V

n DJ = Coefficiente di avanzo

= = 4 2 31

5'

n D

= = 5 2 2 4 52p

n D

v

=

Pertanto la relazione:

F T g n p V Dv' ( , , , , , , ), = 0

si trasforma nella:

F K f J F R T N N' ( , , , , ) ( , , , )' ' ' ' ' = =1 2 3 4 5 10

Analogamente per la coppia Q si ottiene :

F K f J F R Q N N' ( , , , , ) ( , , , )' ' ' ' ' = =1 2 3 4 5 20


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32

dove KQ il coefficiente di coppia espresso da:

K Q

n DQ =

2 5

Le due relazioni funzionali:

==

==

52NNQQ

42NNTT

Dn

Q),R,F,J(KK

Dn

T),R,F,J(KK

caratterizzano completamente un'elica in condizioni funzionamento isolato. Se l'elica

profondamente immersa e le condizioni sono tali che il moto fluido sia completamente

turbolento con assenza di fenomeni di cavitazione, le relazioni precedenti diventano:

==

==

52QQ

42TT

Dn

Q)J(KK

Dn

T)J(KK

Esse prendono il nome di caratteristica di funzionamento dell'elica. Nella figura

seguente se ne riporta la rappresentazione grafica ottenuta sperimentalmente.


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33


34/55



34

E s e m p i o N. 6

Si consideri una nave avanzante di moto traslatorio uniforme, con il piano diametrale

costantemente verticale e velocit orizzontale e ad esso complanare. Il liquido,

inizialmente stagnante, si supponga incomprimibile, orizzontalmente indefinito, di

profondit illimitata.

In assenza di fenomeni di cavitazione, distacco del fluido e rottura di onda, la resistenza

al moto RT dipende dai parametri geometrici della carena, tutti riferibili ad una

dimensione di riferimento, ad esempio la lunghezza L, dalla velocit V, dalla densit

e viscosit del liquido, dall'accelerazione di gravit g, dalla quale strettamente

dipende il sistema ondoso generato sulla superficie libera.

Si scrivano la matrice dimensionale ed il relativo sistema di equazioni:

n1 n2 n3 n4 n5 n6

RT g V L

L 1 1 -1 -3 1 1

M 1 0 1 1 0 0

T -2 -2 -1 0 -1 0

=+++

=++

=+++

0nnn2n2

0nnn

0nnn3nnn

5321

431

654321

La matrice ha rango 3, pertanto p = n - r = 6 - 3 = 3. Risolvendo rispetto a n4, n5,n6,

si ottiene la matrice delle soluzioni:


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35

n1 n2 n3 n4 n5 n6

1aSoluz. 1 0 0 -1 -2 -2

2aSoluz. 0 1 0 0 -2 1

3aSoluz. 0 0 1 -1 -1 -1

dalla quale si scrivono i tre prodotti adimensionali:

= =1 2 2 21

2

R

V LC

R

V S

TT

T

= Coefficiente di resistenza totale

= =2 2g L

VF

V

g LN = Numero di Froude

= =3

V LV L V L

= Numero di Reynolds

Pertanto, la relazione funzionale:

F R g V LT( , , , , , ) = 0

si trasforma nelle:

F C f R FT N N

( , , ) ( , ) = =1 2 3

0

Se ne conclude che, per una data geometria di carena, il coefficiente di resistenza totale

dipende unicamente dai valori assunti dai numeri di Reynolds e di Froude.

Nella figura si riporta una andamento molto indicativo della funzione su menzionata.


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36


37/55



37

3. SIMILITUDINE E MODELLI

Indicate con Q Q Qn1 2, ,....., le grandezze coinvolte in un fenomeno fisico, si

visto come la relazione funzionale:

F Q Q Qn( , , ...., )1 2 0=

pu essere ridotta nella equivalente relazione

= F m( , ,......, )1 2 (22)

tra i prodotti adimensionali indipendenti , , ,......,1 2 mdelle n grandezzeconsiderate, con m


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38

L'uguaglianza tra i valori assunti dai prodotti indipendenti , , ,......,1 2 m

comporta una condizione di completa similitudine tra le due realizzazioni del fenomeno.

Infatti, come si visto negli esempi svolti, i prodotti adimensionali si compongono di

grandezze geometriche, cinematiche, dinamiche e di stato del fluido; tra esse, come

impone la (23), devono sussistere opportune relazioni.

Considerazioni analoghe e medesime conclusioni conseguono quando si analizzano le

equazioni adimensionali dei moti fluidi e le propriet delle soluzioni adimensionali

relative a moti dinamicamente simili.

I metodi dell'Analisi Dimensionale sono alla base delle procedure sperimentali aventi

come scopo la definizione quantitativa delle relazioni intercorrenti tra le grandezze

coinvolte in un fenomeno fisico, utilizzando i risultati ottenuti in laboratorio su modelli.

Pu a riguardo seguirsi un approccio solo formalmente diverso, definendo le condizioni

di similitudine dinamica con riferimento ai sistemi materiali.

Due sistemi materiali e ' si dicono geometricamente simili se, fissati dueriferimenti cartesiani ortogonali Oxyz e Oxyz ad essi rispettivamente solidali,

possibile stabilire la seguente corrispondenza biunivoca:

),,( zyP esiste uno e un solo punto ')',','(' zyP tale che:

=

=

=

'

'

'

zz

yy

xx

dove un numero reale positivo, detto rapporto di similitudine geometrica orapporto di scala. I punti P e P si diranno corrispondenti.


39/55



39

Valgono anche le seguenti relazioni:

=

=

=

=

;'O'P

'z

OP

z;

'O'P

'y

OP

y;

'O'P

'x

OP

x

;'O'POP

vale a dire che i vettori P-O e P'-O' devono avere moduli nel rapporto costante edessere egualmente orientati nei rispettivi riferimenti.

Analoghe conclusioni si traggono tra segmenti omologhi, vala a dire tra segmenti i cui

estremi sono punti tra loro corrispondenti.

Se e ' , geometricamente simili, sono tali che le masse in punti corrispondentisono in rapporto costante , i due sistemi si dicono materialmente simili.

I due sistemi e ', materialmente simili, siano in moto rispetto ad uno stessoriferimento principale, il primo in un intervallo di tempo t t0 1, , il secondo in

t t0 1' , '

Posto:

=

t t

t t

1 0

1 0' '

si dicono corrispondenti due istanti t e t' tali che:

( )'t'ttt 00 =

Se in istanti corrispondenti, possibile definire due sistemi di riferimento, uno per ,l'altro per ', tali che rispetto ad essi e ' , pur deformandosi risultinogeometricamente simili nel rapporto di scala , allora si dir che i due sistemi sonocinematicamente simili.


40/55



40

Ne consegue allora che:

Le traiettorie dei punti P e dei corrispondenti punti '' P definiscono

figure geometricamente simili nei rispettivi riferimenti;

Le velocit e le accelerazioni in punti ed in istanti corrispondenti sono ugualmente

orientate nei rispettivi riferimenti, con moduli nei rapporti 1 e 2 rispettivamente.

Due sistemi e ', materialmente simili e cinematicamente simili si diconodinamicamente (meccanicamente) simili.

In tale caso, si vogliono esaminare i rapporti di scala che devono sussistere tra le forze.

Le forze di inerzia F e Fi i' agenti in punti ed istanti corrispondenti, devono essere nel

rapporto di scala:

F Fi i= 2 '

ed ugualmente orientate nei rispettivi riferimenti.

Se si ammette l'uguaglianza delle densit, la precedente relazione diventa:

F Fi i= 4 2 '

Se il sistema delle forze esterne agenti quello gravitazionale, segue una primaimplicazione di fondamentale importanza per lo studio di fenomeni dove la gravit ha

uninfluenza determinante. Essendo i due sistemi sottoposti alla stessa gravit e

dovendo essere le accelerazioni nel rapporto 2 , segue:

== 12


41/55



41

Alla medesima conclusione si perviene quando si considera che il raporto tra le forze di

gravit F e Fg g' :

F Fg g= 3 '

dove, senza perdere in generalit, si sono supposte uguali le densit.

Osservando la relazione tra le forze di inerzia e dovendo comunque essere unico il

rapporto tra le forze, deve necessariamente verificarsi:

= =2 1

Se V e Vi i' sono le velocit in e ' rispettivamente, segue da questa ultima

relazione e da quella conseguente dall'essere i due sistemi cinematicamente simili, il

seguente rapporto tra le velocit:

V V V Vi i i i= = =

1 ' ' '

Le forze viscose F e Fv v', riferendosi alle legge di Newton e ammessa la costanza

del valore della viscosit, devono essere nel rapporto:

F Fv v= 2 1 '

Confrontando questa relazione con quella relativa alle forze di inerzia, si ricava:


42/55



42

4 2 2 1 2 = =

Da essa segue tra le velocit la relazione:

V V VV

i i ii= = =

1

2

' ''

Le evidenti contraddizioni risultano anche dal confronto dei rapporti che

contemporaneamente devovo sussistere tra le forze:

====== 24322412312 ;;1

Ne consegue, pertanto, che la relazione:

= =1 2

verificata solo e solo se 1= , vale a dire i due sistemi devono essere uguali.


43/55



43

4. LA RESISTENZA AL MOTO DI UNA NAVE

Nel caso di una nave, caratterizzata geometricamente da un insieme di ordine n di

parametri adimensionali, il cui termine generico si indicher con i , stata ricavata larelazione funzionale:

C C F R T T i N n= ( , , )

Per lo studio, sia qualitativo, che quantitativo, si voglia procedere ad esperienze in

vasca su modello. Indicati con i pedici M ed S le grandezze del modello e della nave,

dovr certamente aversi:

i iM S i n= =; , ,....,1 2

Affinch si abbia:

C C F R C C F R TM TM i NM NM TS TS i NS NSM S= = =( , , ) ( , , )

oltre all'uguaglianza dei parametri adimensionali geometrici, necessario che siano

verificate anche le condizioni:

F FV

g L

V

g L

R RV L V L

NM NSM

M M

S

S S

NM NSM M

M

S S

S

= =

= =

che danno rispettivamente i rapporti tra le velocit:


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44

V V V VM S M SM

S

= =

;

Se il liquido avesse viscosit nulla, ci si ridurrebbe alla relazione funzionale:

C C FT T i N= ( , )

dalla quale, ammessa la uguaglianza dei parametri geometrici, quella dei numeri di

Froude porterebbe alla seguente relazione tra le forze:

C CR

V S

R

V SR RTS TM

TS

S S S

TM

M M M

TSS

M

TM= = =1 2 1 22 2

3

che la legge di trasferimento delle forze di massa, uguale a quella gi trovata, quando

si ammetta l'uguaglianza delle densit.Nel caso di forze esterne assenti, la nota relazione funzionale, valida anche per il corpo

profondamente immerso, si scrive:

C C RT T i N= ( , )

Procedendo in maniera analoga e ricordando il rapporto tra le velocit ottenuto

dall'uguaglianza dei numeri di Reynolds, si ottiene:

TM

2

M

S

M

STS

M2MM

TM

S2SS

TSTMTS RR

SV21

R

SV21

RCC

=

=

=

che la legge di trasferimento delle forze di natura viscosa.


45/55



45

Nel caso reale di contemporanea presenza delle forze viscose e di massa, le velocit

devono verificare entrambe le condizioni:

V V V VM S M SM

S

= =

;

Queste, nel caso di una nave lunga 150 m avente velocit di 18 nodi, supposta

l'uguaglianza delle viscosit cinematiche, danno per un rapporto di scala = 25 i

seguenti valori della velocit del modello:

V nodi m s V nodi m sM M= = = =3 6 1 85 450 231 48. . / ; . / ;

La seconda velocit certamente non facilmente realizzabile in laboratorio su un

modello lungo 6 m. Volendo agire sul rapporto delle viscosit per ottenere il primo

valore di velocit, il modello dovrebbe muoversi in un fluido avente viscosit

cinematica pari a circa 1/125 di quella dell'acqua di mare. L'acqua di mare, fluido a

bassissima viscosit, alla temperatura di 15C ha una viscosit sm /1018.1 26 ; un

fluido del tipo richiesto ed utilizzabile nell'idrodinamica navale sperimentale almomento non esiste.


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46

5.EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES IN FORMA ADIMENSIONALE

Le equazioni di Navier-Stokes esprimono la condizione di equilibrio tra le forze di

inerzia, le forze esterne di massa e le forze di superficie, composte da quelle normali o

di pressione e dalle tangenziali o di attrito, agenti su ciascuna particella fluida.

Nel caso del moto stazionario di un fluido viscoso e incomprimibile, in processo

termodinamico isotermico, le loro espressioni cartesiane sono:

++

=

+

+

++

=

+

+

++

=

+

+

zz2z

zz

yz

x

yy2y

z

y

y

y

x

xx2x

zx

yx

x

Fvz

p1

z

vv

y

vv

x

vv

Fvy

p1

z

vv

y

vv

x

vv

Fvx

p1

z

vv

y

vv

x

vv

Considerato che le grandezze fisiche in esse presenti sono la lunghezza, la velocit, la

pressione e la forza, si assumano quantit costanti di riferimento, caratteristiche del

campo di moto. Siano esse rispettivamente L p V Fo o o, , , , avendo ad esempio indicato

con L una lunghezza geometrica caratteristica del corpo,. con p e Vo o i valori asintotici

della pressione e della velocit, con Fo un valore costante di riferimento delle forze

esterne. Si definiscano i rapporti adimensionali:

xx

Lp

p

pv

v

VF

F

Fi

i

oi

i

oi

i

o

= = = =; ; ; ;

Sostituendo si ottiene:


47/55



47

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

wL

V

z

p

L

pFF

z

ww

y

wv

x

wu

L

V

vL

V

y

p

L

pFF

z

vw

y

vv

x

vu

L

V

u

L

V

x

p

L

pFF

z

uw

y

uv

x

uu

L

V

2

2

oozo

2o

2

2

ooyo

2o

2

2

ooxo

2o

Assumendo come riferimento delle forze esterne di massa il campo gravitazionale,

sicch gFo = , si ha:

a) in forma cartesiana:

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

wL

V

z

p

L

pFg

z

ww

y

wv

x

wu

L

V

vL

V

y

p

L

pFg

z

vw

y

vv

x

vu

L

V

uL

V

x

p

L

pFg

z

uw

y

uv

x

uu

L

V

2

2

ooz

2o

2

2

ooy

2o

2

2

oox

2o


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48

Il primo membro esprime la forza di inerzia agente sull'unit di massa come prodotto di

due termini, dei quali quello in parentesi adimensionale, mentre l'altro un

coefficiente avente le dimensioni di un'accelerazione. Fissato un certo punto del campo

di moto, la forza di inerzia agente sulla particella fluida, che di esso si occupa, risulta

dipendere dal rapporto V Lo2 . Analoghe considerazioni valgono per i termini riportati a

secondo membro. Le forze superficiali di attrito, ad esempio, dipendono dal valore

assunto dal coefficiente V Lo2

Dividendo ambo i membri V Lo2 / , si ottiene:

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

wLVz

p

V

pF

V

gL

z

ww

y

wv

x

wu

vLVy

p

V

pF

V

gL

z

vw

y

vv

x

vu

uLVx

p

V

pF

V

gL

z

uw

y

uv

x

uu

2

o2o

oz2

o

2

o2o

oy2

o

2

o2o

ox2

o

Si noti che i termini presenti nelle precedenti relazioni sono tutti adimensionali. Il

coefficiente relativo al termine delle forze esterne, posto nella forma V gLo / , il

numero di Froude FN :

gL

V Fo N2 2

1=

Il coefficiente relativo al termine delle forze di attrito l'inverso del numero di

Reynolds RN ;

V L Ro N

=1

Il fattore delle forze di pressione il numero di Eulero EU; pi frequentemente si fa

riferimento al coefficiente di pressione CP , pari al rapporto tra la differenza della

pressione p rispetto a po e la pressione dinamica 1 22 Vo :


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49

Ep

VC

p p

VU

o

oP

o

o

= =

12

12

2 2

Si considerino due corpi, geometricamente simili, avanzanti con velocit diverse in

fluidi di differenti densit e viscosit. Se le condizioni al contorno sono identiche e se i

valori delle grandezze coinvolte sono tali da realizzare uguali (o proporzionali) valori

dei parametri adimensionali presenti nelle precedenti equazioni di Navier-Stokes, le

soluzioni delle dette equazioni sono, in termini adimensionali, identiche per entrambi i

campi di moto intorno ai due corpi. In tali condizioni i due moti fluidi si diranno

dinamicamente simili.

In particolare dovr verificarsi:

Lg

V

Lg

VF F

V L V LR R

o o

N N

o o

N N

'

'

''

' '

';2 2

= = = =

Si fissino nei due campi di moto due sistemi relativi di riferimento e ', solidali ed

egualmente orientati rispetto ai due corpi, geometricamente simili nella scala .Dette Oe O' le origini di e ', due punti P e P' si diranno corrispondenti se i vettori P-O e P'-

O' sono tali da avere i moduli nel detto rapporto di scala e da essere ugualmente

orientati rispetto a e '.

Se i moti fluidi intorno ai due corpi sono dinamicamente simili, in punti corrispondenti

le velocit, le accelerazioni, le forze dovranno essere in opportuni rapporti di scala ed

egualmente orientate rispetto a e '. Le forze agenti su particelle fluide che si

occupano di punti corrispondenti, dovranno pertanto essere tali da costituire,

rispettivamente in e ', poligoni di forze geometricamente simili. Detti F ed Fi i

' ,

F ed Fg g', F ed Fs s

' , F ed Fp p' F ed Fv v

' i moduli delle forze di inerzia, esterne di massa, di

superficie, di pressione e di attrito rispettivamente, dovrebbe verficarsi:

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Fi

i

g

g

s

s

i

i

g

g

s

s

p

p

v

v' ' ' ' ' ' ' '

= = = = = =


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50

vale a dire che i rapporti tra le forze dovrebbero essere uguali, a prescindere dalla loro

origine o tipologia.

Ne segue ancora:

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Fi

g

i

g

i

p

i

p

i

v

i

v

= = ='

'

'

'

'

'; ;

Sulla particella fluida di volume unitario, agisce, ad esempio nella direzione dellasse x,

la forza di inerzia xuu ; i corrispondenti sforzi tangenziali hanno risultante22

yux = , la forza di gravit g .

Le quantit xuu e 22 yu hanno ordini di grandezza proporzionali a

LV 2 e2

LV rispettivamente, pertanto

N2

2

'v

'i

N2

2

v

i

2N

2

'g

'i2

N

2

g

i

'R'L/'V'

'L/'V'

F

FR

L/V

L/V

F

F

;'Fg'

'L/'V'

F

FF

g

L/V

F

F

=

===

=

=

===

=

La condizione analitica:

Lg

V

Lg

VF F

V L V LR R

o o

N N

o o

N N

'

'

''

' '

';2 2

= = = =

equivale pertanto alla condizione fisica di similitudine geometrica dei poligoni delle

forze.

In riferimento a quanto su ricavato, in generale usuale dire che i rapporti tra le forze di

inerzia e quelle esterne gravitazionali e superficiali di attrito sono proporzionali a2

NF e NR , scrivendo:

forze di inerzia

forze gravitazionaliF

forze di inerzia

forze erficiali di attritoRN N= =

2 ;sup


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51

6. CARATTERISTICHE FISICHE DEI FLUIDI

Le caratteristiche fisiche di un fluido influenzano le sue condizioni di moto. In

particolare, si esamineranno la densit , la comprimibilit, la viscosit , la tensione

superficiale e la tensione di vaporepv.

La densit, massa dell'unit di volume, ha dimensioni = M L 3 e unit di misura

kg m/ 3 nel sistema assoluto (s.a.) e kg s mf2 4/ in quello tecnico (s.t.).

L'acqua dolce alla temperatura di 15C ha una densit42

f3 m/skg87.101m/kg00.999 == . L'acqua di mare alla stessa temperatura e con

salinit del 3.5% ha = =1025 9 104 613 2 4. / . / kg m kg s mf .

L'aria alla quota zero, alla pressione di 760 mm di mercurio ed alla temperatura di 15C

(Aria tipo internazionale) ha una densit = =1 226 0 1253 2 4. / . / kg m kg s mf .

La variazione di volume della massa fluida o o per una variazione di pressione

p, dovuta all'azione di forze esterne, definisce la comprimibilit del fluido mediante la

relazione:

p Eo o

=

=

1

dove E il modulo di elasticit e = 1 E il coefficiente di comprimibilit del fluido.

Le dimensioni di sono =

M LT1 2

, con unit di misuram N nel s a e m kg nel s tf

2 2/ . . / . . . Per l'acqua dolce a 0C e a 20C si hanno

rispettivamente i valori = = 5 099 10 50 1010 2 10 2. / /m N m kgf e

= = 4 594 10 45 1010 2 10 2. / /m N m kgf.

Per l'aria nelle condizioni NTP (pressione atmosferica, OC)

= = 9 406 10 92 236 106 2 6 2. / . / m N m kgf. Considerando una variazione di

pressione di un'atmosfera, pari a 10333 1 013 102 5 2kg m N mf / . /= , si ottengono dalla

(37) le seguenti variazioni percentuali di volume:

=

o0 005. % per l'acqua a 0C;

=o

95 31. % per l'aria;

vale a dire che l'aria circa 20000 volte pi comprimibile dell'acqua.

Per il principio della conservazione della massa le variazioni di volume e densit

devono essere tali che:

( )( ) oooo =++


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52

Al primo ordine si ottiene:

o o o

p E=

=

Se0


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Il fluido, come evidenzia l'esperienza, aderisce ad entrambi le pareti, sicch la sua

velocit nulla sulla lastra fissa e pari a V su quella mobile.

Una possibile distribuzione delle velocit (flusso semplice di Couette) :

v y yh

V( )=

dove y la distanza della generica particella fluida dalla lastra fissa, variabile da 0 ad h.

La forza necessaria a mantenere il moto della lastra mobile, pari in modulo a quella

risultante di attrito esercitata su di essa dal fluido, per unit di superficie direttamente

proporzionale alla velocit V e inversamente alla distanza h o, pi in generale, essa

una funzione proporzionale al gradiente di velocit dv/dy, calcolato per y = h. Indicata

con la forza suddetta, il fattore di proporzionalit viene chiamato viscosit delfluido:

=dv

dy

Le dimensioni di sono M L T 1 1, le unit di misura sono

N s m Pa s Pa Pascal N m/ ( / )2 2= = = nel s.a. e kg s mf /2 nel s.t. Il rapporto:

=

la viscosit cinematica del fluido con dimensioni e unit di misura rispettivamente

L T e m s2 1 2 / . Sia che sono funzioni della temperatura secondo una relazione di

tipo sperimentale. Nella tabella seguente si riportano i valori di , e per l'acqua

dolce, l'acqua di mare e l'aria a diverse temperature.

(1) Todd, F.H. : "Tables of Coefficients for ATTC and ITTC Model Ship" - Publ.

SNAME, 1964


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(2) Schlichting, H. : Boundary-Layer Theory", 7th Edition, McGraw-Hill Book

Company, 1979

Dall'esame della tabella si rileva l'andamento decrescente di con la temperatura nel

caso dell'acqua, ed in generale per i liquidi. Per questi analogo andamento presenta la

viscosit cinematica , in quanto la densit cresce molto meno con la temperatura

rispetto a . Per l'aria, ed in generale per i gas, l'aumento di con la temperatura e la

contemporanea diminuzione di determinano il consistente aumento di .

La tensione superficiale la forza per unit di lunghezza che tende a mantenere tesa la

superficie di separazione tra fluidi non miscibili o tra fluidi e pareti di solidi. Essa d

una misura dello stato tensionale superficiale sulle superfici di discontinuit del fluido

per l'azione di forze di natura molecolare. La sua influenza, ad esempio, da

considerare nei fenomeni ondosi, nei getti liquidi, nei fenomeni di capillarit.

Di nostro interesse la superficie di separazione tra l'acqua e l'aria (superficie libera).

Se il liquido perfettamente in quiete, la superficie libera orizzontale e lo stato

tensionale superficiale non ha alcuno effetto sugli sforzi normali di pressione presenti

nel liquido.

Se la superficie libera deformata, le tensioni superficiali danno origine ad una

componente normale non nulla che comporta una variazione di pressione all'interno del

liquido.

Si consideri un elemento di superficie curva di lati ds1 e ds2 e rispettivi raggi di

curvatura R1 e R2. Indicata con la tensione superficiale del liquido, le forzeelementari ds1e ds2 danno una risultante dN normale alla superficie del liquido.

L'equazione di equilibrio pu scriversi nella forma (formula di Laplace):

+=

2121 R

1

R

1

dsds

dN

che definisce e d significato alla tensione .

Se i raggi di curvatura della superficie sono molto piccoli, l'azione della tensionesuperficiale molto importante e pu portare alla rottura della superficie, come si

verifica, ad esempio, nei fenomeni ondosi.

Le dimensioni e le unit di misura di sono:

[ ] m/kp;m/N;TM 2=

Per l'acqua distillata alla temperatura di10C la tensione m/N1060.7 2= .


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Come noto, un vapore in equilibrio con il proprio liquido quando le particelle che

passano dalla fase liquida a quella gassosa sono nello stesso numero di quelle che

passano dalla fase gassosa a quella liquida (fenomeni dell'evaporazione e della

condensazione). In tale condizione, la pressione del vapore in presenza del proprio

liquido detta tensione o pressione di vaporepv. Le dimensioni e le unit di misura dipv sono, ovviamente, quelle di una pressione; i valori sono caratteristici di ciascun

fluido e dipendono dalla temperatura. L'acqua, ad esempio, alla temperatura di 100C

ha un valore dipvpari alla pressione atmosferica; infatti alla pressione ordinaria l'acqua

raggiunge le condizioni di ebollizione quando la temperatura di 100C. A 15C,pv=

1.69 kN/m2 ; ci significa anche che se si riducesse la pressione ambiente a questo

valore, l'acqua passerebbe alla condizione di ebollizione alla temperatura di 15C.

Questo fenomeno molto importante nelle applicazioni navali. Infatti, nell'acqua in

moto intorno alla carena o ad un'elica navale, si possono raggiungere valori cos bassidella pressione da raggiungere quella di vapore e provocare fenomeni locali di

ebollizione, pi in generale noti come fenomeni di cavitazione del fluido.

Nella tabella si riportano alcuni valori di pv e dell'acqua distillata in funzione dellatemperatura, ottenuti per interpolazione di dati sperimentali tratti da varie fonti.

Temperatura (C) pv(kN/m2) 102(N/m)

0 0.61 7.775 0.86 7.69

10 1.22 7.60

15 1.69 7.51

20 2.32 7.43

25 3.16 7.34

30 4.24 7.35

35 5.65 7.16

40 7.45 7.07

Cap II Rts Modello Sperimentale Analisidimen

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