Cap 2 - Límites Y Derivadas - Pag 82-171

5/10/2018 Cap 2 - L mites Y Derivadas - Pag 82-171

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LIMITES Y DERIVADAS

La idea de un limite se ilus-tra mediante l ineas secantesque se aproxirnan a una li-

nea tangente.

En la Presentacion preliminar del cdlculo (pagina 2) vio de que manera la idea de lfmsustenta las diversas ramas del calculo. Por 10 tanto, resulta adecuado empezar nuestrestudio de calculo investigando los lfrnites y sus propiedades. Clase especial de limiteque se usa para hallar tangentes y velocidades, da lugar a la idea central del calculodiferencial: la derivada.

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~~~~~~~~~ 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD

(a)

(b)F IG U R A 1

y

F IG U R A 2

X 1111'(,

2 31.5 2.51.1 2.11.01 2.011.001 2.001

X 111/,(,

0 10.5 1.50.9 1.90.99 1.990.999 1.999

x

En esta secci6n se analiza como surgen los lfmites cuando intenta hallar la tangente acurva 0 la velocidad de un objeto.

PROBLEMA DE LA TANGENTELa palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa "tocar", Dete modo, una tangente a una curva es una lfnea que toea la curva. i,De que manera se pde precisar esta idea?Para un circulo, podria seguir la idea de Euclides y decir que una tangente es una li

que pasa a traves de ese circulo una vez y s610 una vez como en la figura l(a). Para curmas complicadas, esta definici6n es inadecuada, En la figura l(b), se muestran dos recI y t, que cruzan por un punto P de una curva C. La recta I interseca C solo una vez, pes evidente que no se parece a 10que consideramos una tangente. Por otra parte, la recparece una tangente pero interseca C dos veces.Para ser especificos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente ta

parabola y =;(-en el ejemplo siguiente.~ E J E M P L O ! Encuentre una ecuaci6n de la linea tangente a la parabola y =2 en elpunto P(l, 1).S O L U C ! O t l Tan pronto conozca su pendiente In podra hallar la ecuaci6n de la recta tangent. La dificultad es que conoce s610 un punto P, de t, en tanto que necesita dos puntos pacalcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximacion para m si elige un puntocercano Q(x, x2) de la parabola (como en la figura 2) y ca1cula la pendiente mpQ de lalfnea secante PQ .Elija x # 1, de modo que Q ,p P. Por 10tanto

m-e=x - I

Por ejemplo, para el pun to Q(1.5, 2.25)2.25 - 1 1.25

ml'Q =---- =-- =.51.5 - 1 0.5Las tablas en eI margen muestran los valores de I11I'Q para varios valores de x cercana 1. Entre mas cerca esta Q de P, mas 10 esta x de 1 y, por 10 que se ve en las tablas1nPQ esta mas pr6xima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debeser m=.Se dice que la pendiente de la recta tangente es ellimite de las pendientes de las

rectas sec antes y , simb6licamente, expresamos esto al escribirx2 - 1lfm =x-I x-Iy

Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pendiente de la ecuaci6n de una linea (vease el apendice B) para escribir la ecuaci6n de la retangente que pasa por (1 , 1) como

y - 1=2(x - 1) o y=2x-1


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84 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITESY DERIVADAS

F IG U R A 3

I i : i I 1 I 3 EnVisua 12.1 puede ver comofunciona el proceso en la figura 3 parafunciones adicionales.

I QC J . O O 100,000.Q2 BI.B70.04 67.030,06 54.880.08 44.930.10 36.76

F IG U R A 4

En la figura 3 se ilustra el proceso de tender hacia el Ifrnite que se presenta enejernplo. Conforme Q se aproxirna a Palo largo de la parabola, las rectas secantcorrespondientes giran en torno a P y se acercan a la recta tangente f.

Q se aproxima a P desde la derecha

x

y

pj! /Q se aproxima a P desde la izquierda

Muchas funciones que se encuentran en las ciencias no se describen mediante unacion explfcita: se definen por rnedio de informacion experimental. En el ejemplo siguieindica como estimar la pendiente de Ja recta tangente a la grafica de ese tipo de funcioI i . ' ! i i E jEMPLO 2 La unidad de destello (jiash) de una carnara funciona po r el almacena-miento de carga en un capacitor y su Iiberacion repentina al disparar la unidad. Ldatos que se muestran aJ margen describen la carga Q que resta en el capacitor (rneen microcoulornbs) en el tiempo t (rnedido en segundos despues de que la unidad ddestello ha sido apagada). Use los datos para dibujar la grafica de esta funci6n y estla pendiente de la recta tangente en el punto donde t=,04. [Nota: la pendiente derecta tangente representa la corriente electrica que circula del capacitor al bulboflash (medida en microamperesj.]S O l U C I O N En la figura 4 esta la informacion que se proporcion6 y se usa para dibujarcurva que se aproxirne a la grafica de la funcion,

Q (m icrocoulombs)l O O r-,90-)O70 ~ p I-.0 ~ I50 ~B C-"'" I= - : : i0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 I (segundos)


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R /111'/:10'{)0. 100.(0) -824.2510.02, 81.g7) ~742.0010.06. 54.88) ~607.S010.08.44.93) ~552.5010. J 0, 36.76) -504.50

! f i i i E I s ig nif ic ad o I lsi co d e l a r esp ue st a d elejemplo 2 es que la cor ri en te e l e ct ri ca quef lu ve d el ca pac ito r a l f oc o d el f l a s h despuesde 0.04 de segundo es d e cas i d e -670m i c roampe res

La Tor re e N e n T oron to e s el e dific io au tce s-tab le m as alto del mundo en la actualidad.

SECCION 2.1 LA TANGENTEY LOS PROBLEMAS DE LAVELOCIDAD 1 1 1 1

A partir de los puntas P(O.04, 67.03) y R(O.OO,100.(0) de la grafica la pendiente derecta secante es

100.00 - 67.03/JlI'U = =824.250.00 - 0.04En la tabla que aparece a In izquierda se muestran los resultados de calculos similares plas pendientes de otras rectas secantes. Con base en esa tabla cnbe esperar que la pendiede la recta tangente en t=.04 se encuentre en algun valor entre -742 y -607.5. Deheche, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes mas proximas es

~(-742 - 607.5) =674.75De esa man era, mediante este metoda estirna la pendiente de la recta tangentecomo -675.Otro metoda es trazar una aproximacion a la recta tangente en P y rnedir los Iad

del triangulo ABC como en la f igura 4. Esto da una estimacion de la pendiente derecta tangente como

I AB I 8004 - 53.6---= - =670I B C I 0.06 - 0.02EL PROBLEMA DE LA VELOC IDAD

Si observa el velocfmetro de un automovil al viajar en el trafico de la ciudad, puede verIa aguja no permanece inmovil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es conste o AI observar el velocfrnetro, supone que el vehfculo tiene una velocidad definida en cmemento, Wero como se define la velocidad "instantrinea"? Investigue el ejemplo depelota que cae.~ E jEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observacionde 1'1Torre CN en Toronto, 450 m pOl'encima del nivel del suelo. Encuentre la velocidde la pelota una vez que transcurren 5 segundos.S O l U C 1 0 N A traves de experimentos que se llevaron a cabo cuatro sigJos arras, Galileo desbrio que Ia distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es proporcionalcuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caida libre no se considla resistencia del aire.) Si la distancia recorrida despues de t segundos se denota medianset ) y se mide en metros, en tal caso 141ey de Galileo se expresa can la ecuacion

set) = 4.9r2La dificultad para hallar la velocidad despues de 5 s es que trata con un solo ins

tante (t =), de modo que no interviene un intervale, Sin embargo, puede tener unaproxirnacion de 141antidad deseada calculando la velocidad promedio durante elbreve intervale de una decima de segundo, desde t= hasta t=.1:

carnbio en la posicionvelocidad promedio =------!-----tiempo transcurridos (S .l) - s (5)

0.14.9(5.1)" - 4.9(5)" _ /_-'-__C_ __ _:_:'_ - 49,49 m s0 .1


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86 IIII CAPiTULO 2 LlMITES Y DERIYADASEn la tabla siguiente se muestran los resultados de calculos similares de la velocipromedio durante periodos sucesivamente cada vez mas pequefios

Intervale de tiempo Velocidad promedio (m/s)5 ~ t ~ 6 53.95~f,s;5.1 49.495 ~ f,s ; 5 .0 5 49.2455 ~ t ~ 5.01 49.0495 ~ t ~ 5.001 49.0049

Parece que conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxima a 49 m/ s.velocidad instantanea, cuando t=, se define como el valor limite de estas velocidadpromedio, durante periodos cada vez mas cortos que se inician en t=. En estos termla velocidad (instantanea) despues de 5 s es

v=9 m/sQuiza sienta que los calculos que se utilizan en la soluci6n de este problema son m

mejantes a los que se aplicaron can anterioridad en esta secci6n para hallar tangentehecho, existe una relaci6n intima entre el problema de la tangente y el de halIar velocidSi dibuja la grafica de la funci6n distancia de la pelota (como en la figura 5 ) y considepuntos p ea, 4 .9a2) y Q(a + h , 4 .9 (a + h)2) de la grafica, en tonces la pendiente de lasecante PQ es

/nPQ =4.9(a + h)2 - 4.9a2(a + h ) - a10 cual es 10 mismo que la velocidad promedio durante el periodo [a , a + h ]. Por 10la velocidad en el instante t = a (ellfmite de estas velocidades promedio a medidatiende a 0) debe ser igual ala pendiente de la recta tangente en P (el limite de las pendde las rectas secantes).

F IG URA 5

s

o

pendiente de la tangente=velocidad instantanea

Los ejemplos 1 y 3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de vdades, debe ser capaz de hallar lfrnites. Despues de estudiar los metodos para calcumites en las cinco secciones siguientes, en la secci6n 2.7 regresara a los problemhallar tangentes y velocidades.


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SECC]ON 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LAVELOCIDAD III!

_~ EJERCICIOS1. Un dep6sito contiene 1000 galones de agua que se drenan desde

la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en latabla rnuestran el volumen V de agua que resta en el tanque (engalones) una ve z que transcurren t minutos.

1 (min) 5 10 15 20 25 30v (gall 694 444 250 [11 28 0

(a) Si P es el punta (15,250) en la grafica de V, encuentre laspendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el puntaen la grafica can 1=, 10,20,25 Y 30.

(b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediandolas pendientes de dos rectas secantes.

(c) Use una grafica de la funci6n para estimar la pendiente dela recta tangente en P. (Esta pendiente representa la canti-dad a la que fluye el agua desde el tanque despues de 15minutos.)

2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiacade un paciente despues de una cirugfa. Elste recopila el mime-ro de latidos cardiacos despues de Iminutos, Cuando se si-ulan 105 datos de la tabla en una grafica, la pendiente de Inrecta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidospar minuto.I(min) 36 38 40 42 44Latidos curdiacos 2530 2661 2806 2948 3080

EI monitor estima este valor calculando la pendiente de unarecta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiacadel paciente, despues de 42 minutes. usando la recta secanteentre los puntos(a) t=6 Y I= 42(c) 1=40 Y t = 42 (b ) t = 38 Y 1= 42(d) t = 42 y t=4l,Cuales son sus conclusiones?r n EI punta p ( I,n esta sabre la curva y = x] (I + x).(a) Si Q es el punta (x, x/(1 + x , use su calculadora para

hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hastaseis cifras decimales) para los valores de x que se enumerana continuaci6n:(I) 0.5(v) 1.5

(iii) 0.99(vii) 1.01

(ii) 0.9(vi) 1.1

(iv) 0.999(viii) 1.001

(b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor dela pendiente de la recta tangente a la curva en p ( I, D .

(c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuaci6n dela recta tangente a la curva en P(I, D .

4. EI punto P(3, 1) se encuentra sobre la curva y =.jx - 2(a) Si Q es el punto (x,..jx - 2), mediante una calculadora

determine la pendiente de la secante PQ (con seiscifras decimales) para los valores siguientes de .r:(i) 2.5 (ii) 2.9 (iii) 2.99 (iv) 2.999(v) 3.5 (vi) 3.1 (vii) 3.01 (viii) 3.001

(b) Par medio de los resultados del inciso (a), conjeture el valorde la pendiente de la recta tangente en P(3, 1).

(c) Mediante la pendiente del inciso (b), halle una ecuaci6nla recta tangente a la curva en P(3, I).

(d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tange[JJ Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de

40 pies/s, su altura en pies, despues de t segnndos, seexpresa par y = 40t - 16t2(a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que

inicia cuando t= y dura:(i) 0.5 seg (ii) 0.1 seg(iii) 0.05 seg (iv) 0.01 seg

(b) Estime la velocidad instantanea cuando t = 2.6. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte can uvelocidad de 10 mis, su altura en metros t segundos despuse proporciona mediante y = lO t - 1.8612.(a) Hallar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo

que se proporcionan:(i) [1,2] (ii) [I, 1.5](iv) [1,1.01] (v) [1,1.001]

(iii) [t,1.1](b) Estimar la velocidad instantanea cuando t = 1.

7. La tabla exhibe la posicion de un ciclista.

I (segundos) 0 I 2 3 4 5s (metros i 0 1.4 5. 1 10 .7 17 .7 25.8

(a) Hallar la velocidad promedio para cada periodo:(i) [1, 3] (il) [2, 3] (iii) [3, 5] (iv) [3,4]

(b) Use la grafica de s como una funcion de t para estimarvelocidad instantanea cuando t=.

8. EI desplazamiento (en centfrnetros) de una particula de athacia adelante en una lfnea recta se conoce por la ecuacionde movimiento s= sen 1Tt + 3 cos 1Tt, donde t se midesegundos.(a) Encuentre la velocidad promedio durante cada peri ado:

(i) [1,2] (ii) [I, 1.1J(iii) [I,1.01] (iv) [1,1.001]

(b) Estimar la velocidad instantanea de la particula cuandot=.

[]J EI punto P(l, 0) esta sobre la curva y =en(I01T/x}.(a) Si Q es el punta (x, sen(101T/x, encuentre la pendiente

la recta secante PQ (correcta hasta cuatro cifras decimalpara s = 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1,0.5,0.6,0.7,0.8 y 0.9i,Parece que las pendientes tienden a un limite?tt l (b) Use una grafica de la curva para expliear par que laspendientes de las rectas secantes del inciso (a) no estacercanas a la pendiente de la recta tangente en P.

(c) Mediante la seleccion de rectas secantes apropiadas, estla pendiente de fa recta tangente en P.


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Luego de vel' en la seccion anterior como surgen los lfmites cuando desea hallar la tate a una curva 0 la velocidad de un objeto, dirija su atencion hacia los lfmites en genlos metodos numericos y graficos para calcularlos.lnvestigue el cornportamiento de la funcion j'definida porf(x) =2 - X + 2 para

res cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f(x) para valores de x cera 2, pero no iguales a 2.


~~~~~~~~~~ liMITE DE UNA FUNCION

f(xjtiende a4

F I G U R A 1

y=x2-.r+ 2

A rnedida que x tiende a 2.r

x j(x) . v f(x)1.0 2.000000 3.0 8.0000001.5 2.750000 2.5 5.7500001.8 3.440000 2.2 4.6400001.9 3.710000 2.1 4.3100001.95 3.852500 2.05 4.1525001.99 3.970100 2.01 4.0301001.995 3.985025 2.005 4.0150251.999 3.997001 2.00! 4.003001

A partir de la tabla y de Ia grafica de f (una parabola) que se ilustra en la figues claro cuando x esta eercana a 2 (por cualquiera de los dos lados de 2), f(x) 1a 4. De heche, parece posible aeercar los valores def(x) a 4 tanto como desee siuna x 10 suficientemente cerca de 2. Expresa este hecho al decir: "el limite de lacion f(x) =2 - X + 2, cuando x tiende a 2, es igual a 4". La notacion para estpresion es

lim (x 2 - x + 2) = 4.\'-).2

En general, se usa Ia siguiente noracion

IT ] D E F I N I C I O N EscribaIfrn/(x) = L.1i:-'a

que se expresa como: "el limite de f(x) cuando x tiende a a, es igual a L"si puede acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como desee) escogiendo una x 1 0 bastante cerca de a, pero no igual a a.

En terrninos generales, esto afirrna que los valores def(x) se aproximan eada veal mimero L cuando x se aeerea a a (desde cualquiera de los dos lados de a) pero x(En la secei6n 2.4 se proporciona una definicion mas exacta.)Una notacion alternativa para

Ifmf(x) =LX-~(I

es f(x) ->L x->auandaque suele leerse "f(x) tiende a L cuando x tiende a a" .


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y

o a(a)

F IG UR A 2 lim j(x) =L en lo s tre s c as os,r-a

xl fix)1.5 OAOOOOOl.l 0.476190l.01 0.497512LOOI OA99750l.0001 0.499975

SECCJON 2.2 LIMITEDEUNA FUNCI6N IIIIAdvierta la frase "pero x ~ a" en Ia definicion de limite. Esto signifiea que al hal

el limite de j(x) cuando x tiende a a, nunea eonsider6 x=. De hecho, incluso noneeesario que j(x) este definida cuando x=a. Lo iinico que importa es c6mo estafinidaj cerca de a.En la figura 2 se muestran las graficas de tres funciones. Observe que en la parte

j(a) no esta definida y , en la parte (b),j(a) ~ L. Pero en cada easo, sin importar 10 qsueeda en a, es verdadero que lfmx_aj(x) = L.

yA y

x o a xx(b) (c)

x-IE J E M P L O I Conjeture el valor de lim, .x~1 x- - IS O L U C I O N Advierta que la funei6nj(x) = (x - l)/(r - 1 ) no esta definida cuando x=pero eso no importa porque la definicion de Ifm.


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90 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITES Y DERIVADAS

v t~ + 9 ~ JI f~: : t o .OOO5 0.16800::to .OOO I 0.20000::'::0.00005 0.00000: : to .OOOOI 0.00000

WVNrstewDI t ca t cu lus .ocmPara una explicacion m as detallada depor que en ocasiones Ins calculadoras danvalores falsos, vease el sitio en la red.D e un clie en Additional Topics y luego enLies M y Calculator and Computer ToldMe. En particular, refierase a la seccionHamada The Perils a/Subtraction.

0.2~ 0.1 - - - -

(a) [-5, 5] POf [-0.1, 0.3]F IG U R A 5

Jt2+9 - 3E JEMPLO 2 Estime el valor de lim , .I~O t:W L U C I O N En la tabla se enumeran los valores de la funci6n para varios valores decanos a O .

V I: + 9 - JI 12::tI.O 0.16228::+:0.5 0.16553::'::0.1 0.16662:to.05 0.16666:: to.Ot 0 .16667

A rnedida que t tiende a 0, los valores de la funci6n parecen acercarse a 0.1666666 ..por consiguiente, supone que

J t 2 + 9 - 3Ifm 71--0 t: 6En el ejemplo 2, l,que habrfa sucedido si hubiera tornado valores incluso mas pe

de t? En la tabla al margen se muestran los resultados que se obtuvieron con una cdora; usted puede ver que parece suceder alga extrafio.Si intenta realizar estos calculos en su caIculadora podrfa obtener valores diferente

llegara un momento en que obtendra el valor 0, si reduce t 10 suficiente. l,Significa ela respuesta en realidad es 0, en lugar de ~? No, el valor dellfmite es ~,como se dem

~ en la secci6n siguiente, EI problema es que las calculadoras dan valores falsos'/t2 + 9 esta muy cercana u 3 cuando t es pequefio. (De hecho, cuando t es 10 sutemente pequefio, el valor para J [ 2 + 9 de una calculadora es 3.000 ... hasta el mimdtgitos que la calculadora es capaz de llevar.)Algo similar sucede cuando intenta trazar la grafica de la funcion

del ejemplo 2 en una ca1culadora graficadora 0 en una computadora. Las partes (ade la figura ilustran graficas bastante exactas de f y, cuando se usa el modo de trcuenta COnel), puede estirnar con facilidad que el Ifmite es alrededor de ~. Pero siun acercamiento muy grande, como en las partes (c) y (d), obtiene graficas inexactavez mas debido a problemas con la sustraccion.

0.20.1

(b) [-0.1,0.1] por [-0.1,0.3] (c) [-10-6,10-6] por [-0.1,0.3] (d) [-10-7, 1O~7J por [ -0


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:: 1.0: : :05c . : : : O A:::0.3.:':0.2:::0.1:::0.05.':0,01:':0,005:':O.()O!

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0.:\41-[70%O.9588510S0.9735-f5X60.98506736O.l)(J334(J65O.9%33ctI7o l)995833l)O.9l)C)lJ83330.[)99995830.99999983

S IS TE M A S A LG EB MK m P A M (O M PU T A D OML os s is te m as a lg eb ra ic os p ar a c om p uta do ra{ C A S : c om pu te r a lg eb ra s ys te m s, C A S I t ienencom and as q ue c alcu la n Ifm ite s. En virtud d ela s d if ic ulta de s q ue S8 d em ostraro n en lose jem plos 2 , 4 Y 5, no en cue ntra n lo s Ifm ite sp or e xp erim en la ci6 n n um eric a. s in o q ue a pli-c an ts cn ic as m as e !a bo ra da s, c om o e l c alc ulod e series i n f in i t a s . S i t i en e acceso a un C A S ,u s e el com a nd o 1 fmite, c a l c u Ie lo s lim i t e s delo s e jem plos de e sta seccion y com prue be su srespuestas a lo s e je rc ic io s d e este capitulo,

SECCION 2.2 LIMITE DE UNA FUNCION IIIIsenx~ EjEt,1PlO :5 Encuentre el valor de lim -- ...(-1-0 X

)OlUCIOH La funci6nf(x) =sen x)/x no esta definida cuando x =O.Con una calculado(y recordando que si x E IR , sen x quiere decir el seno del angulo cuya medida en radiaes x), construya la tabla siguiente de valores, correcta hasta ocho cifras decirnales. A ptir de la tabla a la izquierda y de Ia grafica de la figura 6, suponga que

sen xlfm-- =IX-cl'O X

De hecho, esta conjetura es correcta, como se probata en el capitulo 3 mediante laaplicacion de un argumento geometrico.

yA

F IG U R A 6-1

sen ,ry=~x

o

W4 lnvestigue lfm sen -,x-.. X

SOLUC!OIIUna vez mas, la funci6nf(x) = sen(w/x) no esta definida en O . Si se evah ia lafunci6n para algunos valores peguefios de x, resulta

f( 1) = sen tr =0

fW = sen 3w = 01(0.1) =en lOw= 0f(D =en2w= 0f(i) = sen4w =01(0.01)=en lOOw=0

De manera analoga,f(O.OOl) = f ( O . O O O l ) =O.Con base en esta informaci6n, podrfasentirse tentado a presumir que

, whmsen- =,(-0 X~ pero en esta ocasion SLl conjetura es erronea. Advierta que aun cuandof(1/n) = sen rutt =

para cualquier entero n, tambien se cumple que f(x) =1 para un numero infinito de valode x que tienden a 0, La grafica de f se da en la figura 7.

yy = sent 17Ix)

x

F IG U R A 7


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Las lfneas discontinuas cerca del eje y indican que el valor de sen( 1r/x) oscilay -] a menudo infinitarnente cuando x se aproxima a O. (Vease el ejercicio 39.)Ya que el valor dej(x) no se aproxima a un numero fijo cuando x se aproxima

92 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LfMITES Y DERIVADAS

, cos 5x.r .r +--100001 1.0000280.5 0.1249200.1 0.0010880.05 0.0002220.01 0.000101

. cos 5x.v ...+. \ l O O O O0.005 0.000100090.001 0.00010000

~ IF IG U R A 8

I' tt1m sen - no existe,\'~,.{) xEJEMPLO 5 Encuentre lim ( x 3 + COos5 X )..,-0 1 0~ O L U C I 6 u Como antes construya una tabla de valores. A partir de la primera tabla qurece en el margen

, ( 3 cos s x )1 1 n x + --- =,-0 10000Pero si perseveran con valores mas pequefios de x, la segunda tabla sugiere que

(" cos 5 X ) Ilim .r' + -- =.000100 =-.--.0 10 000 10 000Mas adelante vera que lfm,,_>ocos 5x = Y en tal caso se concluye que el limies 0.0001.

~ Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos en la suposicion del valor de unEs facil suponer un valor err6neo, si se usan valores inapropiados de x, pero es diffccuando suspender el calculo de valores, Y, como hace ver el analisis que sigue al ejemveces las calculadoras y las computadoras dan valores erroneos. Sin embargo, masse desarrollan metod os infalibles para calcular lfmites.~ E jEMPLO 6 La funci6n de Heaviside H se define por

H(t) =e SI t < 0si i 0[Esta funcion recibe ese nombre en honor al ingeniero electricista Oliver Heavi(1850-1925) y se puede usar para describir una corriente electrica que se hace cen el instante t=O.J En la figura 8 se muestra su grafica.Conforme t se acerca a 0 desde la izquierda, H(t) tiende a O.Cuando t se aproxim

desde la derecha, H(t) tiende a L No existe un ruimero tinico al que H(t) se aproximcuando t tiende a O.POl'consiguiente, 1fmi~o H(t) no existe,

L1MITES LATERALESEn el ejemplo 6 se via que H(t) tiende a 0 cuando t 1 0 hace a 0 desde la izquierdaesa funcion tiende a 1 cuando t 10 hace a 0 desde la derecha, Se indica simbolicamensituacion escribiendo

lfrn H(t) =(-o~ yEl simbolo "I~ W" indica que solo se consideran valores de t menores que O.Delmodo "t ~ 0+" indica que solo se consideran valores de t mayores que O.


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) ' A4

y=g(x)

o

FIGURA 10

2 3 4 5

SECCION 2.2 LIMITEDEUNA FUNCION 1 1 1 1

[ [ ] D E F IN I C IO N Escribalim f(x) =L, , , . . . . _ _ . _ , , _ ( l ~

se lee el limite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a [0 el limite de f(x) cuandox se acerca a a desde la izquierdaJ es igual a L, si puede aproxirnar los valoresde f(x) a L tanto como quiera, escogiendo una x 10 bastante cerca de a pero menorque a.Advierta que la definicion de 2 difiere de la 1s610 en que x debe ser menor que a.

manera analoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: "el limite por la derechdef(x) cuando x tiende a a es igual a L" y escribe

Asi, el sfrnbolo "x -0> a+" significa que considere solo x >a. En la figura 9 se ilustran esdefiniciones

_ v . .. .

o x

L J(x)Jlx)

o_to a sFIGURA 9 (b) lim j(x) =L

~_"{l+(a) Ifm J(x) =Lt-U

Al comparar la definicion 1 can las definiciones de los limites laterales, se cumplesiguiente

si y solo si lfrn f(x) = L y lim f(x) =LX-)-a- X~)(,+

ill Ifm f(x) =Lx=o a~ EJEMPLO 7 En la figura 10 se muestra la grafica de una funcion g. UseIa para dar lovalores (si existen) de los lfrnites siguientes:

(b) lfm g(x).\,-,.2+ (c) Ifm g(x).t:-~2(d) lfrn g(x)x-5~ (D 11m g(x)x-5(e) lim g(x)x - . - - - - : - - s +

x W l U C I O I I A partir de la grafica es claro que los valores de g(x) tienden a 3 cuando x tienda 2 desde la izquierda, pem se acercan a 1 cuando x se aproxirna a 2 desde la derecha.Por consiguiente

(a) lim g(x) =.1'-:.-2- y (b) lfm g(x) = 1. \ : - - - = - - 2 +(c) Como los limites poria izquierda y par la derecha son diferentes, can base en (3)concIuye que Ifmx~2 g(x) no existeLa grafica muestra tambien que

(d) lim g(x) =x-5- y (e) lfrn g(x) =2x~~5ct-


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(f) En esta ocasion los limites por la izquierda y la derecha son los mismos y, de esmodo, con base en (3)

94 1 1 1 1 CAPiTULO 2 UMITESY DERIVADAS

: : : 1::0.): . ' : : 0 . 2:'.:0.1:.'::O():'.:O.ill: .- O ,{ )O I

.; }251(1)400

100001000000

y

I1'=~r .r-

l fmg(x) =2x->~A pesar de este hecho, observe que g(5) r'2.LlMITES INFINITOS IEjEI' ljPLO 8 Halle lfrn -? si existe.X~~O x '"} O L U ( I ( m Conforme x se aproxima a 0, x" tambien se aproxima a 0 y 1 /x 2 se hace muygrande. (Yea la tabla en el margen.) De hecho,al verla grafica de la funcion j'(x) =que se muestra en la figura 11 , parece que los valores de f{x) se pueden aumentar enarbitraria, si se escoge una x 10 suficientemente cerca de O . De este modo los valoref(x) no tienden a un mimero, de tal manera que Ifmx~o (l/x2) no existe.

Para indicar la clase de comportamiento que se muestra en el ejernplo 8, utilnotacion

[i]Esto no quiere decir que se considere 00 como un mimero. N i siquiera significa quemite existe. Simplemente expresa 1a manera particular en la eual ellfmite no existe:puede ser tan grande como guste llevando a x 10 suficientemente cerca de O .En general, se eseribe simbolicamente

lim f(x) = cox-oapara indiear que los valores def(x) se vuelven mas'y mas grandes, es decir (se "incremsin limite") a medida que x se acerca mas y mas a a.

F I G U R A I I

\\ 0~,

F I G U R A 1 2lim j(x) =co.\-(/

yA

x=a

[1 J I)EFINICI6~~ Seafun funci6n definida en ambos lados de a, excepto posiblmente en a misma. Par 10 tanto,

lim f(x) =o. t . . . - - . - ' J - t l

quiere decir que los valores def(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tangrandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero nes igual que a.

Otra notacion para lim x-, " f(x) =0 esf(x) -;. 00 cuando

Recuerde que el simbolo co no es un mimero, pero la expresion Ifm,_"f(x) =0 secon frecuencia como

x "el lfrnite def(x) cuando x tiende a a es el infinito"o bien, "f(x) se vuelve infinita euando x se aproxima a a"a bien, "f(x) se incrementa sin limite cuando x tiende a a"Esta definicion se ilustra en la figura 12.


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l1i A I d ec ir q ue u n pume ro es " nega ti vo m uyg ra nd e" s ig nif ic a q ue e s n eg ativo p era s um a g nit ud ( va lo r a b so lu to ) e s c o ns id e ra ble .

y

x=a

FIGU RA 13lfm fix) =-00, t . . .. (1

x

(a) lim f(x) =(j)FIG UR A 14

S EC C ION 2.2 LIM ITE DE UNA FUN C ION 1 1 1 1

Un tipo similar de Ifrnite, para el caso de funciones que manifiestan valores negatimuy grandes cuando x tiende a a, se presenta en la definicion 5 y se ilustra en la figura

r n DEFINICION Seafuna funcion definida en ambos lados de a, e xce pto p osib le -mente en a misma. Por 10 tanto,

lim f(x) =- 00.I,..~(I

.v significa que los valores de f(x) se pueden hacer de manera arbitraria grandes ynegativos al dar valores a x que esten muy cerca de a, pero sin que lleguen a seriguales a a.

EI sfmbolo lfm..-,,f(x)=-00 quiere decir "el limite def(x) cuando x tiende a a einfinito negative" 0 bien, ''f(x) decrece sin limite cuando x tiende a a". Como ejemtiene

lim ( - J , ) =00.\'~o x ....Definiciones similares se pueden dar para los lfrnites infinitos laterales

lim f(x) =ox_",,- lim f(x) =0x-.a+lfrn f(x) =cox-'a- lim f(x) =00x-a""'-

sin olvidar que "x ---l> a:" significa que considera solo valores de x que sean menoresQ y, de igual manera, "x ---l> a+" quiere decir que considera s610 x > Q. Ejemplos de ecuatro casos se presentan en la figura 14.

y y

o a

(b) lim flx) =co.>;-(1+ (e) lim f(x) =-co (d) Ifm f(x) =-00,\ -11+

r n DEFINICION. La recta x = a se llama asintota vertical de la curva y =(x ) sipar 10 menos uno de los siguientes enunciados es verdadero

lfm f(x) = 00x~n lim f(x) =0x-~a- lim f(x) =00.\'-)-(1+lim f(x) =00.\-;Ol

Ifm f{x) =00;(-)-(1-

POl' ejemplo, el eje y es una asfntota vertical de la curva y =1/x2 porIfmx~o (1/x2) =0. En la figura 14, Ia recta x= es una asfntota vertical en cadade los cuatro casos mostrados. En general, es muy iitil conocer las asfntotas verticapara trazar las graficas.


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2x 2xEjEM PlO 9 Determine Ifm -- y lim --.x->3+ X - 3 x-+3- X - 3

96 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LfMITESY DERIVADAS

y

S O L U C I O I I Si x esta en Ia vecindad de 3 , pero es mayor que 3 , entonces e l denominadx - 3 es un ruirnero positivo pequefio y 2x esta cercano a 6. Asi, el cociente 2x/(xes un ruimero positivo grande. En estos terminos, ve intuitivamente que

2xlim --- =0. 0+ cux --:> (71/2t y cos x --:> O~ cuando x --:> (7T/2t, en vista de que sen x es positiva cuanesta cerca de 7T/2 ,

lfrn tan x=0x-+("./2f-

lfm tan x=-00'< -+(1T/2)+

5

x

yEsto demuestra que la recta x =7T/2 es una asintota vertical. Un razonamiento simimuestra que las rectas x =2n+-l)7T/2 , donde n es un entero, son asintotas verticalde f(x) = tan x. La grafica de la figura 16 10 confirma.Otro ejemplo de una funcion cuya grafica tiene una asfntota vertical es la funci6n

ritmo natural y=n x. A partir de la figura 17Ifm lnx =-00

. 1 : - - " " 0 +

y de este modo Ia recta x=, el eje y, es una asintota vertical. En efecto, 10 mismcumple para y =og" x siempre que a > 1. (Vease figuras II y 12 de Ia seccion 1.

1. Explique con sus propias palabras que se quiere dar a en tendermediante la ecuaci6n

2. Explique que se quiere dar a entender con

FIGURA 15

FIGURA 16y=tanx

y

FIGURA 17El eje y es una asfntota verticalde la funci6n logaritmo natural.

-@ l EJERCICIOSlfmf(x) =...2 lfm f(x) =,T~ ...I- y Ifrn f(x) = 7),'-,.1+

&Esposible que se curnpla esta proposici6n y todaviaj(2) = 3? Deuna explicacion.

En esta situacion &esposible que Iim.,~d(x) exista?De una explicaci6n.


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3. Explique el significado de cada una de las expresionessiguientes,(a) lim f(x) = 00x~~~J (b) Urn f(x) =-""x-+4+r n Para la funcion f cuya grafica se proporciona, establezca el valorde cada cantidad, si existe. Si no la bay, explique por que.(a) lim j'()cr~O (b) Ifrn f(x).1;:-3- (c) Ifm f(x)_"1:-3+(d) lfrn f(x)x-)o,3 (e) f(3)

y

- 4 /-'" 21 " ' - . _ V- r-,0 2 4 ,\

5. Use I a g r af ic a de f que se proporciona para estableeer el valorde cada cantidad, si existe, Si no existe, explique por que.(a) lfrn f(x).r-l " (b) lfrn f{x).o;~"i+ (c) lfrn f(x).T--I(d) lim f(x)x~5 (e) f(5)

y

~ 4 -:/r--i - . /

0 2 4 .\

6. Para la funcion 1 1 , euya graf ica se da, determine el valor de cadacantidad, si existe, En caso que no exista explique par que.(a) lfrn hex) (b) Ifrn hex) (e) lfrn hex).1"---'>--3- x ........3+ x ......-3(d) h(-3) (e) Ifm hex) (f) lfrn hex)_t-O- .\'"-0+(g) lfrn hex ) (b) h(O) (i) Ifm hex)_1:-0 ,T~)o2(j) h ( 2 ) (k) Ifm hex) (1 ) Ifm hex)

,"(-5+ .; ,....,.5-

y II v- - - -/ /~

\/ \I I -, IV I-4 -:2 0 / 2 4 ?I

SECCION 2.2 LiMITE DE UNA FUNCJON 1 1 1 1

7. Para la funci6n g euya gnifica se proporciona, establezcavalor de eada cantidad, si acaso existe. Si no existe, expliqla raz6n.(a) lim ge t ) (b) Ifm g( t ) (c) lim ge t )1->0- 1~)oO+ I~O(d) lfm ge t ) (e) Lim ge t ) ( D lim ge t )1-~2- .1.:-;00+ t-~2(g) g(2) (h) I fmg( t )

t-~4

r- 4 /- 2 II V\ /~ / 2 4 r)

8. En el caso de l a f un c io n R euya grafica se r n ue st ra , e st ab l ez casiguiente,(a) lfm R (x),"\"-..2 (b) lim R (x)x-"'5(c) lfrn R(x) (d) lfrn R(x)~-~3- x-...~l+(e) Las ecuaciones de las aslntotas verticales.

\ I y ... _ I\ J\ IIk II \ i,I


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98 1 1 1 1 CAPITULO 2 LlMITES Y DERIVADAS

medicamento en el torrente sangufneo, despues de t horas.y

y explique el significado de estos limites laterales,

I{t)

4 8 12 16

30 0

15 0

o

~ I T I J Use la grafica de la funci6nf(x) = 1/(1 + el/x ) para estable-cer el valor de cada lfrnite, si es que existe. 51 no existe dela razon.(a) lim f (x),'(-,0- (b) lim f (x)1:-0+ (c) Ifm f{x).\ '~"'o

12. Trace la graf ica de la funcion siguiente y iisela para determinarlos valores de a para los cuales existe Jim,_."f(x) si:

{2-X six~r-c o+ .,,~~2~

lfrn f (x) = I, f (2) = I, f rO) no e st a d ef in id ax-~2-trn Iirn f (x) =, lim f (x) = 2, Ifm fex) = 2,X-" ' : \+ x~*3~ x-~~2

f(3) = 3, f(-2) =16 . Ifm f (x) =, Ifm f (x) =, lfrn f (x) =3,:r-:o-I .10- ..4- x-~4+

f (1) =, f (4 ) = -]

17-20 Suponga el valor del lfrnite (siempre y cuando exista) eva-luando la funci6n en los rnimeros dados (con seis cifras decimales).

x2 - 2x17 . Ifm 0 ,x =.5,2.1,2.05,2.01, 2.005, 2.001,:lfrn xcscx Ifm ~X2 - 4x + 4- ..2:7- .T~-'2-I ]33 . Determine Ifm -, -- y lim -}--,,--I X' - I .,~I X - I

(a) evaluandof(x) =/(x 3 - 1) para encontrar valores dx que se aproximen a 1 desde la izquierda y desde laderecha.

(b) planteando un razonamiento como en el ejemplo 9 y(e) a partir de la grafica de!

34 . (a) Determine las asintotas verticales de la funci6nx2 + I

Y = 3x - 2x2(b) Confirme su respuesta del inciso (a) graficando l a f u nc io

~ (a) Estime el valor del limite Hm,,-_o(1 + X)I/.' hasta cinccifras decimales. i,Le resulta familiar este ruimero?

~ (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la funci6n y = (I + X)I~ 36 . (a) Grafique la funcionj'(x) =tan 4x)/x y realice un acerc

miento hacia el punto donde la grafica cruza el eje y, eel valor de Ifmx-.of(x).

(b) Verificar su respuesta del inciso (a) evaluando j'(x) pvalores de x que se aproximan a cero.


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SECCION 2.3 CALCULO DE LiMITES UTILIZANDO LAS LEYESDE LOS LiMtTES 1 1 1 1

37. (a) EvaJUe la funci6nf(x) =" - (2"/1000) para x =,0.8,0.6, 0.4, 0.2, 0.1 Y0.05 Yconjeture el valor de

(b) Evaluef(x) para x = 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001.Conjeture de nuevo.

38 . (a) Evahie hex) = (tan x - x)/:2 para x = 1,0.5,0.1,0.05,om y 0.05 tan x - x(b) Conjeture el valor de lim 3.T-O X(c) Evahie h(x) para valores cad a v ez mas pequefios de x hasta

que finalmente Ilegue a valores 0 para hex) . i,At'in esta segurode que 10que conjetur6 en el inciso (b) es correcto? Expli-que por que obtuvo valores 0 en algun mornento. (En laseccion 4.4 se explicara un rnetodo para evaluar ellfmite.)

(d) Dibuje la funci6n II en el rectangulo de visualizaci6n[-I, 1] por [0, I]. A continuaci6n haga un acercamientohasta el punto en que la grafica cruza el eje y para estimarellfmite de lI(x) conforme x se aproxima a O.P rosiga can elacercamiento hasta que observe distorsiones en la graficade h. Compare con los resultados del inciso (c).rn 39. Grafique la funci6nf(x) = sen(7T/x) del ejemplo 4 en el rec-

tangulo de visi6n [-I,1] par [ - 1, I]. Despues efectue varias

veces un acercamiento hacia el origen. Comente el compormiento de esta funci6n.

40. En la teorfa de la relatividad, la masa de una particula covelocidad V es

III 0m = .J ' / '- v- C"donde m es la masa de la partfcula en reposo y c es la rapide l a lu z, l.Que sucede cuando v --i> c'"!

E E l 41 . Estime mediante una grafica las ecuaciones de todas las asfnverticales de la curva

y = tan(2 sen x)Luego determine las ecuaciones exactas de estas asintotas.

E E l@ Z J (a) Use evidencia numerica y grafica para conjeturar el vdellfmite.

(b) i,Que tan cerca de I tiene que estar x para asegurar qula funei6n del inciso (a) este dentro de una distanciarespecto de su lfrnite?

~~~~~~~~g22~.3~CALCULO DE LfMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LlMITESEn la seccion 2.2 usc calculadoras y graficas para suponer los valores de los lfmites,fue claro que esos metodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta secaplicara las siguientes propiedades de los limites, conocidas como leyes de los limites,ra calcularlos,

lfmf(x).\ 0

LEYES D E LOS LiMIT ES Suponga que c es una constante y que los lfmites

1. Ifm Ef(x) + g(x)] =im f(x) + lim g(x)X~(l :'(--"(1 X~(/

2. lim [f(x) - g(x)] = 11m f(x) - lim g(x)X~a J:-~a .1:----:0(1

3 . lim [cf(x)] = Iim f(x)X~(J x=-r a

4 . lim [f(x)g(x)] =frn f(x) lim g(x)X-"Jo(i ;(-)(1 x___,,(/

existen. En tal caso

" f(x) lfrn f(x)S. lim -- =->a si lfrn g(x) #- 0x-ro a g(x) lim g(x) .,-."

);~a

y lim g(x)x-"'a


19/90

Estas leyes se pueden expresar en forma verbal como sigue1 . El limite de una suma es la suma de los limites.2 . Ellfmite de una diferencia es la diferencia de los lfrnites.3 . Ellimite de una constante multiplicada por una funcion es la constante multiplicpor el lfrnite de la funci6n

4 . El limite de un producto es el producto de los lfmites.5. El lfmite de un cociente es el cociente de los lfmites (siempre que el limitedenominador no sea cero).Es facil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, sif(x) e st a c e rc an

y g(x) 10 esta de M, resulta razonable concluir que f(x) + g(x) esta cercano a L +M. Esuna base intuitiva para creer que Ia ley 1 es verdadera. En la seccion 2.4 aparece una dcion preeisa de limite; la cual se utilizara para demostrar esta ley. Las demostraciones dleyes restantes se proporcionan en el apendice F .

100 1 1 1 1 cAPiTULO 2 LiMITESY DERIVADAS

lE Y D E L A S U M AlE Y D E L A D IF E R EN C I AL E Y D E M U L T IP lO C ON S T A N T E

L E Y D EL P R OD U C T OL E Y D E L C O C IE N T E

y fV -2 (b) Ifm [J(x)g(x)]x~)1 , f(x)(c) hm-(-),,~ ;; 9 xS O L U C I O N(a) A partir de las graficas defy g,

lfrn f(x) =1x~)--2 y Ifm g(x) = -1;(--2Por 10 tanto,

lfm [j(x) + 5g(x)] =lim f(x) + lim [5g(x)],t-:~~2 .\'~ -2 x-:o-~:2 (por la Icy I)

= lfm f(x) + 5 lfrn g(x),'(-:0--2 . ~ - , - - - ' J - - 2

(por la ley 3)

= 1 + 5(-1) = -4(b) Observe que lim ..-.If(x) =. Pero lfm .r -vlg(x) no existe porque los Ifmites poizquierda y por Ia derecha son diferentes:

lim g(x) =2.r-e t " lim g(x) =-1x-"!-i+De suerte que no es posible usar la ley 4 para el limite deseado. Pero puede usar la lpara los Iimites laterales:

lfm [f(x)g(x)] = . (-2) =4.r ~I- lim [f(x)g(x)] = 2. (-1) = -2x-"l'los limites Izquierdo y derecho no son iguales, asf lim,_1 [f(x)g(x)] no existe.(c) Las graficas muestran que

lim f(x) = 1 .4x-2

y lim g(x) =0.t-)o2

Ya que ellfmite del denominador es 0, no puede aplicar la ley 5 . Ellfmite dado no eporque el denorninador se aproxima a cero en tanto que el numerador tiende a un rnirno cera.


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L E Y D E L A P Q T E N C IA

L E Y D E L A R A iz

SECCION 2.3 CALCULO DE LiMITES UTlLlZANDO LAS LEYESDE LOS UMITES 1 1 1 1

Si aplica la ley del producto repetidas veces, con g(x) ={x) , obtiene la ley siguieen d o n d e 11 e s un entero positivo

En la aplicacion de estas seis leyes de los lfrnites, necesita usar dos lfrnites especi

7. lim c= 8. Ifmx =.1:-:;(1

Estos lfrnites son evidentes desde un punta de vista intuitivo (establezcalos verbalmo dibuje y = y y =), pero demostraciones en terrninos de la definicion precisa seen los ejercicios de la seccion 2.4.Si en la ley 6 pone ahora f{x) = y aplica la Ley 8, obtiene otro limite esp

litH.

9. lim x" =".t-~a

donde n es un entero positivo

Se cumple un limite similar para las rafces, como sigue. (En el caso de las rafcesdradas la demostracion se delinea en el ejercicio 37 de la seccion 2.4.)

10. lim if): = 10 donde 11 es un entero positivo(Si n es par, considere que a > 0.)

De modo mas general, tiene la siguiente ley, que es verificada como una consecuencla ley 10 en la secci6n 2.5.

1 1 '. ~ ~ ~ #W = 1 ~ ~ r ; ; ,ex) donde IIes un entero positivo[Si 1 1 es par, suponga que ! ~ r ; ; ,(x ) > O.J

E JE t< lP LO 2 Evaltie los Ifrnites siguientes y justifique cada paso.

(a) lfrn ( 2 X 2 - 3x + 4)x-- ';o5

x3 + 2 X 2 -(b) lim.


21/90

(b) Empiece con la ley 5, pero su aplicacion solo se justifica pIenamente en laetapa final, cuando los lfrnites del numerador y del denominador existen, y esteultimo no es O .


[ NEW TON Y lO S UM liE SIsaac New ton nac i6 e l d ia de Navldad, en16 42, e l a iio en qu e m uri6 G alileo . C ua nd oingreso a la U n iv e r s id a d de C am bridg e. en16 61. n o sa bra m ucho de rn ate ma ticas , p eroaprend io can rap idez leyenda a Eudides yD es ca rte s y asisii endo a las confe renc ia s deIs aa c Ba rro w. C am brid ge s e c erro d ebid o a laplag a de 1 6 6 5 Y 1 6 6 6 . Y New ton reg reso ac a s a a re flex ion ar en 1 0 que ha b la aprend ido.Es os d os a iio s fu ero n a so mb ro sa me nte p ro du c-tivo s po rq ue h iza cu atra d e su s p rin ci pa l esdescubr im ientos: 1 ) s u re pre se nta ci6 n d efun cio nes com o su ma s d e se rie s in fin ita s, in -c luyendo e! te or em a d el b in om io ; 2) s u t ra b a josa bre e l c alc ulo d ife ren cia l e in teg ra l; 3) s usle ye s d e I m o vi m ie nto y Ia ley de la gravita ci6 nu nive rs al y 4) s us e xp erim en to s d el p r i s r n aace rca de la natu ra leza de la lu z y d e l c ol or .Deb ido a c ierto tem ar a la con trove rs ia y a lae ritiea , se m os tr6 ren ue nte a p ub licar susdescubrim ien tos y no fue s ino hasta 1687. ai n s t a n c i a s de l a s n o n o r n o H a lle y, q ue p ub lic aP r i n ci p ia M a t h em a t ic a . En este traba jo , e I t r a -ta do c ie ntif ic o m ils 9 ra n de ja rn as e sc rito . N e w -ta n exp uso su vers io n d el c a l c u l o y 1 0 u sa p arain ve stig ar la m e c a n i c a , l a d in a r n ie a d e f lu id o sy e l m ovim ie nto o nd ula to rio . as i co mo p araexp licar e l m ovim i ento de los p lane tas y de loscometas.

L a s in ic io s d el c a Icu lo se en cu en tra n en laso pe ra cio ne s p ara h alla r la s a re as y l os v ol um e -n es q ue re aliza ro n lo s a ntig uo s e ru dito s g rie -ga s, c om o Eu do xo y Arq uim ed es . A un cu and olos a sp ecto s d e la ide a d e lim ite se en cu en tranir np llc ito s e n s u "m etc do d e a qo ta rn ie nto ".E ud ox o y A rq uim ed es n un ca fo rm ula ro n e xp ll-c itam en te e l co nc ep to de lim ite. D el m is mom od o, rn atem atic os co mo C ava lie ri, Fe rm at yBa rro w, lo s p re cu rs ore s in me dia to s d e N ew to nen e l d esa rro llo d e! ca icu lc , n o u sara n los lim i-te s , Isaac New ton fue el prim ero en hab la r ex -p lic ita men te a l re spe cto. Ex plic6 q ue la ide aprinc ipa l de tras d e lo s lim ites e s q ue las can ti-d ad es "s e a ce rc an m as q ue c ua lq uie r d ife re nc iadada ". New ton exp resd que e l lim ite e ra e lconcepto bas ico del ca lcu lo . pe ro fue tarea dem ate ma tic os p os te rio re s, c om o C au ch y. a cla ra rsus ideas ace rca de los Iimi tes.

x3 + 2X2 -lim ------x--2 5 - 3xlim (x3 + 2x2 - 1)x " _ _ _ _ _ " ' - 2 (por la ley 5)lfrn (5 - 3x)

A"___"-2

lim x3 + 2 lim x2 - Iim ]x-~~2 .\'---+-2 x~-2 (por las I. 2 y 3 Jlfm 5 - 3 Ifm Xx-:o--2 x-:.--2(-2)3+2(-2)2_1

5-3(-2) (p o r In s < ) ,8 Y 7,

11I f l O T A ISif(x) =U- 3x + 4 , entoncesf(5) =9 . En otras palabras, habrfa obtenrespuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo x con 5. De manera analoga, la scion directa da la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones del ejemplo 2 spolinomio y una funcion racional, respectivamente y el uso semejante de las leyesIfmites prueba que Ia sustitucion directa siempre funciona para este tipo de funcioneslos ejercicios 53 y 54). Este hecho se expresa del modo siguiente:

P RO PIE DA D D E S U STITU C IO N D IR EC TA Sit es un polinomio 0 una funcion raciony a esta en el dominio de f,en consecuencia

lim f(x) = f(a)x-;>aLas funciones con esta propiedad de sustitucion directa se Haman continuas en

estudian en la seccion 2.5. Sin embargo, no todos los lfmites se pueden evaluar potitucion directa, como los ejemplos siguientes hacen vel'.

:0 :2 - 1E jE ttlP lO 3 Encuentre lim _"--.


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32

y=f{x)

y A32

2 3 x

y=g(x)

2 3 x

F I G U R A 2Las graficas de las funciones f (delejemplo 3) y g (del ejemplo 4)

SECCION 2.3 CALCULO DE LfMITES UTlLlZANDO LAS LEYESDE LOS UMITES 1 1 1 1

Esto es valido porque f(x) =(x) excepto cuando x =, Yal calcular un limite coforme x se aproxima a 1 no se considera que sucede cuando x es en realidad igualEn general tiene el hecho titil siguiente.

Sif(x) = g(x) cuando x"' a, entonces lim f(x) =im g(x), en caso de que existael lfrnite. ,-'0 x~a

E jE t'lP lO 4 Encuentre!fm g(x), dondex-"!

{X + Ig(x) = 'IT si x " ' Isi x = ]

S O l U C I O N En este caso, 9 esta definida en x =1 Yg(1) =tr, pero el valor de un limicuando x tiende a 1 no depende del valor de la funci6n en 1. Como g(x) = + 1x s = } ,

lim g(x) =fr n (x + 1)=. " t ' - ) o l , . . . . , . . , . - - ; - 1Advierta que los valores de las funciones de los ejemplos 3 y 4 son identicos, exc

cuando x =1 (vease la figura 2), de modo que tienen el mismo limite cuando x tiende(3 + f l Y - 9! i . ! l l EjEM PLO 5 Evahie lfrn .II~O h

S O L U C 1 0 N Si defineF ( I ! ) = - ' . ( 3 _ + _ h _ ) 2 9

IIen tal caso, como en el ejemplo 3, no puede calcular Ifmh_o F(h) hacienda h = 0, yaF(O) no esta definido. Pero si simplifica F(Il) algebraicamente, encuentra que

() (9 + 6lt + II 2 ) - 9 6h + h 2 6 IFh= = = +1h II(Recuerde que s610 se considera h " ' 0 cuando se hace que II t ienda a 0.) De este mo

(3 + h ) 2 - 9lfrn =fm (6 + h ) = 611-0 II iI-O. ) [2 + 9 - 3EjEMPlO 6 Encuentre Ifrn " ., - 0 t:

S O L U C I O N No puede aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que ellfmite del dminador es O.En el presente caso, el algebra preliminar consiste en la racionalizaci6nnumerador:

, .)t2 + 9 - 3 ,.ji-T+9 - 3 Jt 2 + 9 + 3lim =im . --'--,===---1->0 [2 ,-0 t2 Jt 2 + 9 + 3

, (t2 + 9) - 9 [2=m - ' 2 , - i - ( v . .. .. ,= = = - _ - ; - ) =im "( rx=t:: ),-,0 t t2 + 9 + 3 /-,0 t: v t ' + 9 + 31 1 1]=im = =__ - = -,-0 ~ + 3 J~~~t2 + 9) + 3 3 + 3 6

Este calculo confirma 10 que se conjetur6 en el ejernplo 2 de la secci6n 2.2.


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Lo mejor para calcular algunos lfmites es hallar en primer lugar los lfmites porquierda y por la derecha. EI teorema siguiente es un recordatorio de 10que se descubla secci6n 2.2. Afirma que existe un limite bilateral si y s610 si los dos lfrnites latexisten y son iguales.

104 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LfMITES Y DERIYADAS

Ii S egun la figu ra 3. e l re su ltado de l e jem plo 7p a r ee e p l au s ib le .

F IG UR A 3

Ix ly=--xy A

o-------QIF IG UR A 4

flit S e dem ues tra en e l e jem plo 3 de la secc ion 2.4q u e l(mx-.D' ;; = .

si Y s610 si lim f(x) = L = Jim f(x)x_:>aR x-'ioa+O J TEOREMA lim f(x) =LX---'io(1Cuando calculamos un limite lateral aplicamos el hecho de que las Leyes de los L

tambien se cumplen para los lfrnites de este tipo.E jEM PLO 7 Demuestre que lim I x I = .

,t'-:o-O

5 0 l U C I O N Recuerde que

I x l = x-x si x ~ 0si x < 0Como I x I = para x > 0, tiene

x lfm I x I = Jim x=X-)O~ x - - - . : , . O tPara x < 0, tiene I x I =x y, por consiguiente,

lim I x l =im (-x) =x-----;.o- X_l-OEn consecuencia, por el teorema 1,

lfrn I x l =X-iiO

~ E JEM PLO 8 Compruebe que IfmM no existe ..1:-0 xS O l U C I O N lim M = lfrn x = lim I =

X-)oO+ X

x I x ! - xIfm - = Ifm - = lim (- I) =- Ix-:.-O- x ,r~)O- X .T-"'O-Como los lfrnites por la derecha y por Ia izquierda son diferentes, por el teoremase concluye que lim ..... I x I I x no existe. La figura 4 muestra la gnifica de la funcf(x) =x I I x y apoya los Ifrnites laterales que encontr6.E JE MP LO 9 Si

f(x) =.J x - 48 - 2x si x> 4si x < 4determine si existe lfmx_4 f(x).S O l U C I O N Puesto que f(x) =x=4' para x > 4 , tiene

lim f(x) =fm .J x - 4=J 4 - 4 = 0x-...4"t- .\,_4i


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4

F I G U R A 5

f\I O tr a s a x p ra s iu n e s p a r a ' U x E so n [x ] y L x J . Al a t u n c io n a n te ro m a x i m o a I gu na s v ec es s a I ella m a la func i6n p iso .

y432 c------


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106 !III CAPITULO 2 LiMIT ES Y D ER IV A DA S

F IG UR A 8Y=x" sen(l/x)

_~ E JER C IC IO S1 . Dado que

l imf(x) =x--2

1, , I 0& . : I ! EjEt1PlO I! Demuestre que im x- sen - =.x-'() X

S O L U [ I O N En primer lugar, note que no puede a p l i c a r

If ) I If '1' In1.csen- =m x": nnsen-x-{J X x->O ,\'-0 X

porque lfm.,-.o sen(l Ix) no existe (vease el ejemplo 4, en la secci6n 2.2). Sin emcomo

1-] ,,;;:;en -,,;;:; ]xtiene, como se ilustra mediante la figura 8,

) 2 I "-x- ,,;;:; sen- ,,;;:;-xx Sabe que

lim x" =.,-.0 y Ifm (-x2 ) =.t-.()Al tomarf(x) =x2, g(x) =2 sen Olx) y hex) =" en el teorema de la compobtiene

1 Ilfrn x-sen - = 0x->O ..."

lim hex) = 0_r~~2(e) lim [j(x)g(x)]_l-.Olfm g(x) =-2~-~2(e) 11m[x~f(x)]x-~1

eneuentre los lfrnites que existan. Si el limite no existe,explique por que.(a) lim [j(x) + 5g(x)],\-.:!- (b) 11m[g(x)Y.\'-2

(d) lim f(x).,-,-\ g(x)

(f) lim J3 + f(x).r-v l

3-9 Evahle el limite y justifique cada etapa iudicando lats)de los lfrnites apropiadats),, 3f(x)

(d) ~~~ g(x), v g ( : ; _ ; X ) c _ h _ , _ ( x . :. _ )(f) IIm-,~:! fCr)

3. Ifm (3x~ + 2x2 - .1.:+ I).~~15. lim (I + 1t)(2 - 6x2 + x3)t~S2. Se dan las graficas defy g. Uselas para evaluar cada lfrnite, siexiste, Si el lfmite no existe, explique pOl'que.

yy=f{x) 1/ -,11/.",V I .\

(a) Ifm [lex) + g(x)]r-2

yy=g(x) VII I < ,/ 0 1 II .\II \

2.r2 + I4. Ifm -, ----.,-2 X- + 6x - 46. Ifm (12 + 1}>(t +

1~~ - i

[]J lfm Jrl4 + 3 1 1 +~/~~2

10. (a) i,Que esta incorrecto en lu ecuacion siguiente?

(b) lfm [l(x) + g(x)]_"{~1 x" + x - 6-----::--=.1.:+3\,-7


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SECCION 2.3 CALCULO DE LiMITES UTILIZANDO LAS LEYESDE LOS LiMITES 1 1 1 1

(b) En vista del incise (a), explique por que la ecuaci6n

es correcta,11-30 Evahie el limite, si existe,

x2 + X - 611 . lim---,,-.2 x - 2 x2 + 5x + 412 . lfrn -0----,-.-4 .r " + 3x - 4x" - x + 613. Ifm-----.(-.:~ x - 2 ".2 - 4t.14 . lfm" ..< -4 ..- - 3x - 4

\,2 - 4x1 6. lim --:-, -'----.,-,-1 x- - 3x - 4

(4 + hr - 1617 . lim 1/i-,O I(2 + 1 1 )3 - 8@J lfm 1h-~{J 1J[+7I- 122 . lfm -'-----

{,-Il II9 - I21. lfm-r;[-.y 3 - 'if t, )x+ 2-323. 11m-'-- _,-,.] X - 7

I 1-+-4 x25 . Ifm[-,--\ 4 + x

x" + 2x +24. Inn --.. ,----x - 1

( 1 1 )6 . Ifm - - -,--1-0 t t : + t4 - I\ -27. lim ' " 0 +

39-44 Determine el lfmite, si acaso existe, Si el limite no existplique la razon.~ lfru ( 2 x + I x - 31 ).: x-~3 2t + 1240. lim I I.


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108 IIII CAPiTULO 2 LiM lT ESY D ER IV AD AS(b) i,Existe I fmv. , IF(x)?(c) Trace la gnifica de F.

48 . Sea

g(x) = ' ; 02 - X"x-3

six < Isix =si 1 2

(a) Evalue cada uno de los Ilmites siguientes, si es que existe.(i) lim g(x) (ii) lim g(x) (iii) g(1),,--1- . [ . . . . . . , . 1

(v) lim g(x)x-~2'" (vi) lim g(x).\")2

(b) Trace la grafica de g.~ (a) Si el simbolo [ D denota la funci6n entero maximo definida

en el ejernplo 10, evahie(0 Ifm [xTI (ii) lim [x n (iii) lfrn [x ]x~ ..- 2 - 1 - .~--2 :r----+-2.4

(b) Si IIes un entero, evaliie0) lim [x ] (ii) lim [x]. r- e- u " :1:-,,-;1-

(c) i,Para cuales valores de a existe ]fm.,~a [ x D ?S O . Seaf(x) =cos x], -71 ~ X "'" 'if.

(a) Trace In gra fi ca def(b) Evahie cada !fmite, si es que existe.

0) Ifm f(x) (ii) lim f (x).1; --0 .T-+:r!2)-

(iii) lfrn f (x) (iv)!fm f (x)t ~..('l7/2) + x-r./2

(c) GPara cuales valores de C I existe Ifm,~"f(x)?51 . Sif(x) =x n + [-x], demuestre que ]fm,-.d(.') existe pero no

es igual af(2).52 . En la teorfa de la relatividad, la formula de la contracci6n deLorentz

expresa la longitud L de un objeto como funci6n de su velo-cidad v respecto a un observador, donde L a es la longituddel objeto en reposo y c es la rapidez de In luz. EncuentreIfmu_.c- L e interprete el resultado. GPor que se necesita unlfrnite por la izquierda?

53 . Si p es un polinomio, demuestre que Ifm,_." p(x) =ea).54 . Si res una funci6n racional, aplique el resultado del ejercicio 53

para dernostrar que !fm'_'n rex) =eal, para todo mimero a enel dominio de r.

55 . Si!fm f(x) - 8 =10, hallar Ifmf(x).x-l x-I .1'-1S6 SI' f(x) 5 h II 1 I" . 1 nn -,- = , a ar os mutes que siguen.,-0 x-

(a) lim f(x)_T-O .57. Si . _ { X 2 si xes racional!C r.) - . . . SI x es irracional

demuestre que Ifm.,~of(x) = O.~ Muestre por medio de un ejernplo que Ifm.,_." [((x) + g(

puede existir aunque 00 e xis ta n n i l fmx~af(x) ni lim.


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SECCI6N 2.4 DEFINICION EXACTA DE UN LIMITE IIII~ = ~ ~ = = ~ ~ ~ ~ ~ ~EFINICION EXACTA DE UN liMITELa definici6n intuitiva de un limite que se presenta en la secci6n 2.2 es inaceptablealgunos casos porque son vagas frases como "x se acerca a 2" y "f(x) se acerca mmas a L". Con objeto de ser capaz de dernostrar en forma concluyente que

(COS 5 X )lfrn x3 + --- =.000 IX~O 10 000 o bien sen xlfm-= Ix~)-o xtiene que definir un limite en forma precisa.Para impulsar la definici6n precisa de un limite considere la funci6n

{2 X - If(x) = 6 si x '" 3si x=

De manera intuitiva es evidente que cuando x se acerca a 3 pero x '" 3, en tal caso f(x)cerca de 5 y as! Iirnx_d(x) =.Con el fin de obtener mas detalles con respecto a c6mo variaf(x) cuando x se ace3 , se plantean las cuestiones siguientes:

1 .Que tan eerea de 3 tiene que estar x para que f(x) difiera de 5 en menos de O.l?EI us a d e la le tra g rie ga a ld e lt al y a e s u na

c os tu m bre e n e sta s itu ac i6 n.La distancia de x a 3 es Ix - 31 y Ia distancia desde f(x) as es If(x) - 51, de modo qproblema es encontrar un mimero 8 tal que

If(x) - 51 < 0.1 si Ix - 3 I < 8 pero x :;i: 3Si I x - 31 > 0, por 10tanto x '" 3, de modo que una formulacion equivalente del probes determinar un mirnero 8 tal que

If(x) - 51 < 0.1 si 0


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conservar abajo a cualquier mimero positivo. Y de acuerdo con el mismo razonamjclaro que es posible! Si escribe B (la letra griega epsilon) para que represente unpositivo arbitrario, despues se encuentra al igual que antes que

110 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LIMITESY DERIVADAS

j(X: { 5+ eesta 5aquf 5 - e 1-----1

I----~~--~~------~~/3\ x3-8 3+8

F I G U R A 1

cuando x esta aqufIx,,"3}

B0< I x - 3 1 < D =2Esta es una forma exacta de decir que J(x) esta cerca de S cuando x se acerea a 3(1) establece que es posible haeer que los valores deJ(x) queden dentro de una diarbitraria 8 a partir de 5 conservando los valores de x dentro de una distancia 8/2de 3 (pero x - 3).Observe que otra forma de (1) es:

O J If(x) - 5 1 < 8 si

si 3 - D < x < 3 + D (x ~ 3 ) en tal caso 5 - 8 0 hay un rnirnero D > 0 tal que

si 0 < I x - a I < D en tal caso IJ(x) - L I < BPuesto que I x - a I es la distancia desde x hasta a y If(x) - Lies la distancia des

hasta L y como 8 puede ser arbitrariamente pequefio, Ia definicion de un Ifrnite seexpresar en palabras como se indica a continuaci6n:lfm"~.,, f (x) = L quiere decir que In distancia entre f (x) y L puede hacerse pequeiia en foarbitraria al hacer que la distancia desde x hasta a sea suficientemente pequefia (pero no

Otra posibilidad eslfm,~."(x ) =L significa que los valores de j'Le) pueden ser tan cercanos como quieraal hacer que x se acerque 10 suficiente a a (peru que no sea igual a a),

Asimismo, puede replantear la definici6n 2 en terminos de intervalos si observa quesigualdad I x - a I < D equivale a - 8< x - a < D , que a su vez se puede escribira - D < x < a + 8. Tambien 0 < I x - a I es verdadera si y s610 si x - a o F 0 ex o F a. De manera similar, la desigualdad IJ(x) - L I < B equivale al par de desiguaL - 8 < f(x) < L + B. POl' 10 tanto, en terminos de intervalos, la definicion 2 seplantear como sigue:

Hmx~'" f (x) =L quiere decir que para todo e > 0 (sin que importe 10 pequefio que sea 8puede eneontrar una 8 > 0 tal que si x esta en el intervale abierto (a - 8, a + 8) y x ;;f apor 10 tantof(x) queda en el intervale abierto (L - e. L + e) .

La interpretacion geometrica de este enuneiado se consigue representando una fmediante un diagrama de fiechas como en la figura 2, dondeJmapea un subconjuntoen otro subconjunto de IR .


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F IG U R A 2

F IG U R A 3

y=L-s

o a

F IG U R A 4

F IG U R A 7

SECCION 2.4 DEFINICION EXACTADEUN liMITE IIII

La definicion de lfrnite establece que si cualquier intervale pequefio (L - 8, L +esta alrededor de L, en seguida es posible encontrar un intervale (a - 8, a + 8) alredede a tal que f mapea todos los puntos en (a - 8, a + 8) (excepto quiza a) en el inter(L - 8, L + 8). Vease figura 3.

f.r .f{x)

a-a a a+a

Otra interpretacion geometric a de los lirnites se puede hacer en terrninos de lafica de la funcion. Si se tiene 8 > 0 despues trace las rectas horizontay = L + 8 Y Y = L - 8 Y la gnifica de f (vease figura 4 ) . Si Ifm,_," f(x} = L. potanto puede encontrar un mimero 8> 0 tal que si restringe a x a que quede en el inte10 (a - 8, a + 8) y haee x ~ a, en seguida la curva y=(x) esta entre las rectas y = LY Y = + 8. (Vease figura 5 .) Usted puede vel' que S I se ha encontrado tal 8 en tal ccualquier [jmas pequefia tambien funcionara.Es importante darse cuenta que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funeio

para todo mimero positivo I': sin que importe que tan pequefio sea. En la figura 6 se iluque si se elige un I':mils pequeiio, en seguida se podna requerir una 8 mas pequefia.

y yL+e

x

y=L+s

y=L-sL- e

a- B a+Bo /0\a-8 a+B

x

cuando x esta uquien" a)F IG U R A 5 F IG U R A 6

EJEt'lPLOI Utilice una grafica para encontrar un mimero 8 tal quesi Ix-I I < 8 par 1 0 tanto I (x' - 5x + 6) - 2 1


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Tambien, necesita establecer los valores de x para los cuales la curva y = K - 5se sinia entre las horizontales y =1.8 y y =.2. POl' 10 tanto, grafique las curvY= - 5x + 6, y =1.8 YY =2.2 cerca del punto (1,2) en la figura 8. Luego utilcursor para estimar que la coordenada x del punto donde se cortan la recta y =la curva y =3 - 5x + 6 esta por 0.911. De igual manera, y =3 - 5x + 6 corecta y = 1.8 cuando x "" 1.124. De este modo, al redondear para estar seguro, pdecir que


)'=2.2y =x>~ 5x+ 6

u.z:Y'" ' 1.8 I

I I0.8 I. 1.21.7

FIGURA 8si 0.92 < x < 1.12 en seguida 1.8 0, no solo para una 6 en partConsidere una contienda entre dos personas A y B, piense que usted es B. La

A estipula que se debe aproximar al mimero fijo L pOI'medio de valores de j(x) deun grado de exactitud 6 (por ejemplo 0.01). Por 10 tanto, la persona B respondenando un ruimero B tal que 0 < I x - a ! < B siernpre que If(x) - L I < 6. Luego Avolverse mas exigente y desafiar a B con un valor mas pequefio de 6, por ejemplo,Una vez mas. B tiene que responder encontrando una B correspondiente. Por 10 remedida que el valor de 6 es mas pequefio, es menor el correspondiente valor desiempre gana, sin importar que tan pequefio haga A a 8, en seguida lim, ....af(x) =~ EjEMPlO 2 Demuestre que lfm (4x - 5) =.

c ! . : . . . . _ _ : ; . 3

S O l U ( l O N1. Analisis preliminar del problema (adivinar un valor de oj. Sea e un mir

positivo dado. Quiere encontrar un mimero B tal quesi 0 < I x - 3 1 < 0 por 10 tanto I (4x - 5) - 7 1 < 6

Pero I (4x - 5) - 7 1 = 1 4 x - 1 2 1 = 14(x - 3 ) 1 = 4 1 x - 3 1 . POl' 10 tanto, quieres i 0< Ix - 3 1 < 8 en tal caso 4 1 x - 3 1


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y y""4x-57+0. I~---I7

o

F I G U R A 9

I CAUCHY Y LOS llMITESD e s p u e s d e la i n v e nc i6 n d e l c a le u lo in f in it es im a le n e l s ig lo X V I I , s ig u io u n p e ri o d o d e l ib re d e s a -r ro ll o d e e s ta m a t e r ia e n e l s ig lo X V I I I , M a t s m e t i -c o s c o m o lo s h e r m a r o s B e r n o u l l i y E u l e r e s t a b a na n s io s o s p a r s xp lo ta r e l p o ds r d e l c a l c u l o ye x p l o re r on c a n a u d a c ia l a s c o ns e c u e nc ia s d ee s ta n u ev a y m a r a v il l o s a te a r fa m a t e m a t ic a s inp r e oc u p a rs e r nu c h o p a r s i l a s d e m o s t ra c io n e se r an c o rr e c ta s d e l t o d o .

E n c a m b ia , e l s ig 1 0 X IX fu e 18 E p o e a d e l R i g o re n la r n a te m a tic a . H u bo u n m o v im i e n to p a rav o lv e r a l o s f u n d a m e nto s d e l a m a te ri a -psrap r o p o r c io n a r d e f in ic i o ne s c u id a d o s a s y d e m o s -t r a c io n e s . A l a v a ng u a r d i a d e e s te m o v im i en 1 0S8 e n c o n tr a ba e l m a t e m a t i c o f ra n c e s A u g u s ti n -L o u is C a u c h y j 1 7 8 9 - 1 8 5 7 ) , q u ie n f u e p r im e r oin g e n ie r o m i ! i t a r a n te s d e c o n ve r ti r se e n p r o f e -s o r d e m a ts m a tlc a s e n P a rf s , C a u c h y to m 6 laid e a d e I fm i te d e N e w to n , id e a q u e e l r n a te m a ti -c o f r an c e s J e a n d 'A l e m b e r t h a b f a m a n te n id o v iv ae n e l s ig lo X V I I I y l a h im m a s e x e c ta , S u d e fin i-c i6 n d e I fm i te e ra : " C u a n d o lo s v a lo re s s u ce s iv o sa tr ib u id o s a u n a v a ri a b le s e a p r ox im s n in d e fi n i-d a m e n te a u n v a l o r f i j o p a ra t e rm i ne r d if e r en -c ia n d o se d e e s te p o r t a n p o co c om o u n o q u i e re ,e s to s e l l a m a I { m i t e d e to d os lo s o ir o s ," P e roc u a n d o C a u c h y a p lic a b a e s t a d e fin ic i6 n e ne je m p lo s y d e m o s tr a c io n e s u ti l l z a ba a m e n u d od e s ig u a l d a d as d e l t a - e p s i l o n s im i la r e s a l a s d ee s ta s e c c i6 n . U n a d e m o s t ra c i6 n r e pr e se n ta t i v ad e C a u c h y i n i c ia c a n : " D e n 6 te s e m e d i a n te ( , y gd o s rumeros m u y p e q u e ii o s ; _ . . " U t i! iz a b a 0. d e -b id o a l a c o rr es p o nd e n c ia e n tr e e p s il o n y lap a l a b ra f ra n c e s a e r r e u r . P o s 1 e r io r m e n te , e l m a -te r na t i c o a le m a n K a r l W e ie r s t r a ss 1 1 8 1 5 - 1 8 9 7 1e s ta b le c i6 la d e f i n ic io n d e u n l im i te e x a c ta m e n t ec o m o e n la d e fi n ic i6 n d e e s te te x to .

SECCI6N 2.4 DEFINICION EXACTA DE UN liMITE 1 1 1 1

Par esto,si o < 1 x - 3 1 < 8 par eonsiguiente 1 (4x - 5) - 7 1 < e

Par 10tanto, de aeuerdo can la definicion de limite,lfm (4x - 5)=x-..

Este ejemplo se ilustra en la figura 9,x

Observe que en la soluci6n del ejemplo 2 hay dos etapas: adivinar y ensayar. Efeetuanal is is p rel im ina r que posibiIit6 suponer un valor de 8_Pero luego, en la segunda etapavo que regresar y eomprobar en forma euidadosa y 16gica que dio una opinion correcta.te procedimiento es earacterfstico de gran parte de Ia matematica. Algunas veces se nechacer primero una conjetura inteligente con respeeto a la respuesta de un problema y ldemostrar que la suposici6n es correcta,Las definiciones intuitivas de Ifmites unilaterales que se presentan en la seeci6n 2

pueden reformular exactamente como se seiiala a continuacion

r n D E F I N IC IO N D E l i M I T E I Z Q U I E R D Olim f(x) =Lx---;o(r

si para todo mimero e > 0 hay un mimero 8 > 0 tal queen tal easo Ifex) - LI < si a-8 0 hay un mimero 8> 0 tal quea


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114 IIII CAPiTULO 2 LiMITESY DERIVADASo bien, al elevar al cuadrado ambos lades de la desigualdad .r;< 8, obtiene

SI 0 < X < 0 por 1 0 tanto x < 82Esto neva a pensar que debe elegir 0=2.2. Detnostracion de que sf trabaja esta o . Dado 8 > 0, sea 0 = 8". Si 0 < x 0 y lim,~,,f(x) =, existe un ntirnero 0) > 0 tal que

si 0 < I x - a I < 8) eentonees \ f(x) - L I < 2De manera similar, puesto que Ifmx_" g(x) =M, existe un mirnero 02> 0 tal que

si 0 < I x - a I < 82 entonces eIg(x) - MI


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116 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITESY D ER IV AD AS

y

F IG U R A 1 0

y

F IG U R A 1 1

y=M

y=N

LiMITES INFINITOSLos Ifmites infinitos tambien se pueden definir de manera exacta. La que sigue es usion exacta de la definicion 4 de la secci6n 2.2.

[i] D E F I N I C I O N Seajuna funci6n definida en algiin intervalo abierto que eontieel mirnero a, exeepto tal vez en a misma. Por 10 tanto,

limj(x) =0x - . - . - - ; . . a

quiere deeir que para todo mimero positivo M bay un rn imero positivo 0 tal quesi 0< I x - a I < 0 en consecuencia j(x) >M

x

Estoestablece que los valores dej(x) se pueden baeer arbitrariamente grandesgrandes que cualquier mimero dado M) al acercar x 10 suficiente a a (a una dis0, donde 0 depende de M, pero x a). Una representacion geometric a se ilustrfigura ] O .Dada una linea horizontal y =M, puede hallar un ntimero 0> 0 tal que si re

a que x se sinie en el intervalo (a - 0, a + 8) donde x a, en tal caso la curva yqueda por arriba de la recta y =M. Se puede ver si escoge una M mas grande, esecueneia se requeriria una 0 mas pequefia.

1Ii!i! EjEf~ PlO 5 Aplique Ia definici6n 6 para demostrar que lim --;;-= 00.


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GEJERCICIOSI. Util ice la grafica dada def(x) =/x para calcular un mimerofj tal que

SI I x - 21 < s en seguida I~ 0 . 5 1 < 0.2y

JY " " :I -0.7-1------">-0 .5 -----

o 2 lQ3

x07"

2. Utiliee la grafica dada defpara determinar un mirneros tal que51 0 < I x - 5 1 < {j en consecuencia I/{x) - 3 1 < 0.6

y . .3.6 t---------;;(3 - -- -- -- -- -- -24-1------7f"

o 4 5 5.7 x

[IIMediante la grafica dada de f(x} = I X hallar un numerofj tal que

si 1 x - 4 1 < {j por 10 tanto I I X - 2 1 < 0. 4y y = J ~

o 4 ? x?

4. Con Lagrafica dada de I(x) =2 eneuentre un rnimero{j taLque

si I x - I< e despues 1 x2 - I


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118 1 1 1 1 CAPiTULO 2 UMITES Y D E R I V A D A S

~ 12 . Se utiliza un homo de crecirniento de cristales en l a i nv e st ig a -ci6n para determinar cual es la mejor manera de fabricar cristalesque se usaran en las partes electronicas de los transbordadoresespaciales, Para que el crecimiento de los cristales sea elcorrecto, la temperatura se tiene que controlar exactamenteajustando la potencia de entrada. Suponga que la relacion serepresenta con

T(w) = . lw" + 2 .155w + 20donde T es la temperatura en grades Celsius y w es la entradade potencia en' watts.(a) (,Cuunta potencia se requiere para mantener la temperatura

a 200GC?(b) Si se perrnite una variacion de temperatura de hasta

:t: 1C, con respecto a 200C, l,que intervale de potencia enwatts se permite para la potencia de entrada?

(c) De acuerdo con la definicion e, 0 de lfm,-."j(x) =, l,qllees x? i.Que esj(x)'? l.Que es a? l,Que es L? l,Que valor de ese du? i,Cud! es el valor correspondiente de 07

13 . (a) Hallar un numero 0 tal que si I . r - 2 1 < 0, por 10 tanto1 4 . \ ' - 8 1 < s, donde e=.1.(b) Repetir el inciso (a) con e=.01.

14. Teniendo en cuenta que el Ifm,-." (5x - 7)=, explicar ladefinici6n 2 hallando valores de 8 que corresponda as=.1, s=.05 y e=.0 1.

IS-l11 Demuestre el enunciado aplicando la definici6n s, 8 de limitee ilustre can u n d ia g ram a como el de la figura 9,15. lim ( 2 .. + 3)=

. ~ - . J16. Ifm O x + 3) = 2

.r --1D II lim (1 - 4x) =3.\->~~ 18. lim (7 - 3.. )=-5.[-,419-32 Demuestre el enunciado aplicando la definicion e, 0 delimite.

,x 319. Itm-=-,~'1 5 5 (t ) 90. lim .:_ + 3 =x-.(, 4 2

22. 9 - 4x" =6fm. \ - . . ~ 1 -5 3 + 2x

24. lim c = c26 . lim x' =

.t-~{1

28. Ifm 19 - x = al-~9~30. lim (x" + x - 4) = 8,1;-..32. lfm r '=_\:~~.2

x" + \: - 621. 1 1m . =.t -~2 r - 'J

23. lfrn x=~ Iimr' =0

.1; 0

2 7. lfrn I x l = a."'1)

I l 2 J lim (x" - 4x + 5) = I;:-~2[ T I J Ifrn (x" - I) = 3x ~-.-:!.

33. Compruebe que otra eleccion posible de 8 es dernostralfm,_3 x2= en el ejemplo 4 es 0 = min {2, s/B],

34. Verifique mediante un razonamiento geometrico que lmas grande posible de 8 para demostrar que l fm,->3 x "8='9'+B - 3.

[ill] 35 . (a) En el casu dellfmite ]fm,_.1 (x3 + x + 1)=, detun valor de 0 mediante una grtifica que correspondee=.4.

(b) Utilice un sistema algebraico para computadora cade resolver la ecuacion ciibica x3 + x + I= +determinar el valor mas grande posible de 8 que fupara cualquier s > 0,

(c) Use e=.4 en su respuesta del inciso (b) y compasu respuesta del inciso (a).

,1 I36. Demuestre que 11m- = -,,-2 X 2IllJ Demuestre que 11m J X = fa si a > O .

_~~~

[ I I I x - a l Jugerencia: utilice J X - v a =X fa .x+ a38. Si H es la funcion de Heaviside que se definio en el eje

de la seccion 2.2, demuestre mediante la definicion 2existe el Ifm,_.o H( t) , [ S ug er el lc ia : efecnie una dernostindirecta como se indica, Suponga que el lfmite es L.e=~n la definicion de un limite e intente llegar a ucontradiccion.]

39. Si la funcionj se define mediante

j(x) = {~ si xes racionnlsi xes irracionaldemuestre que lim,_.()jCr} no existe.

40. Mediante la cornparacion de las definiciones 2, 3 Y4dernuestre el teorema I de la secci6n 2.3.

41 . l,Que tan cerca a - 3 tiene que hacer a x para que

( )' > 10 000x + 3"I42. Demuestre aplicando la definicion 6 que Ifm ----,.)-:-4,--3 (x + 3

[ 1 1 J Demuestre que lfrn In x = -00 .1;->O-+-

44. Suponga que lim,_,,,j(x) =0 y lfm,_" g(x) =, dondemimero real. Demuestre cada proposicion,(a) 11m [J(x) + g(x)] = 00

. lO~'>-(J

(b) lfm [J(x)g(x)] =0 si c > aX-~({

~lfm[j~~~n=-ro ~c


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SECCI6N 2.5 CONTlNUIDAD IIII

~~~~~~~~3~ CONTINUIDAD

m Como sa ilu stra e n la fig u ra 1 . s i je sc o nt in u a . d e sp u e s lo s p u nt as (x,i(x)) dela q ra fic a de jtie nden a l punta (a.j(a))d e la g r< \fic a. A sl, n o h ay b re ch a a lg un ae n la c ur va ,

fix)tiende af{([)

y "" fix)/fla)~-~ ~-I I

I IIIII------~------~--+---~~o __ a


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120 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LIMITESY DERIVADAS

. ! i . : J EjEMPlO 2 l,En d6nde son discontinuas cada una de las funciones siguientes?

(b) f(x) ~ { ;'Xl - X - 2(a) j{x) = ----x-2si X ~ 0si x=0

{

X2 - X - 2(c) j(x) = 1 x - 2 si x ~ 2 (d) j(x) =x]

si x=S O L U C I O t l(a) Advierta que j(2) no esta definido, tarnbien j es discontinua en 2. Mas advera por que es continua en todos los otros mimeros.(b) En este caso,j(O) =]esta definido pero

lim j(x) =im ~X~ O . T - - ; o . O Xno existe. (Vease el ejemplo 8 en Ia seccion 2.2.) Asf,fes discontinua en O.(c) En este casoj(2) =1 esta definido y

, () I' x2 - X - 2 ,(x - 2)(x + 1)hmj x = im =frn = lim (x + 1) = 3.1:--002 x~2 X ~ 2 ;.---2 X - 2 .r-}o2existe. Pero

lim j(x) ~ j(2). 1 , . " - , 2por eso,jno es continua en 2.(d) La funcion entero maximo j(x) =x] tiene discontinuidades en todos los enporque lfm.,-." [x ] no existe si n es un entero. (Vease el ejemplo 10 y el ejercicioIa seccion 2.3.)En la figura 3 se muestran las graficas de las funciones del ejemplo 2. En c

no se puede dibujar la grafica sin levantar la pluma del papel, porque se presentajero, una ruptura a un salta en esa grafica. EI tipo de discontinuidad que se ilusincisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podrfa e1imredefinirfjusto en el mirnero iinico 2. [La funci6n g(x) = + 1 es continua.] Lanuidad del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las discontidel inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la funci6n "salta" de uotro.

y

o

y

23 .x 2 x2

(a) f(.1:) =x" - x - 2.1:-2 si .r=2{X2 -;c-2

(c)f(x)= 1 ..-2 si J . " = F 2 (d) f(x) = x T I

F IGURA3 Graficas de las funciones del ejem plo 2


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-[

F IG U R A 4

yf(x) =1 - . J 1 - x2

SECCION 2.5 CONT[NUIDAD 1 1 1 1

II] DEFINICION Una funcionj'es continua desde la derecha en un rn im ero a silfrn f(x) =(a )x-)a+

y j es continua desde la izq uierda en a siIfm f(x) =(a )x-~'a-

EjEMPlO 3 En cada entero 1 1 , la funcion j'(z) = [x D [vease la figura 3(d)] es continuade la derecha pero discontinua desde la izquierda porque

Ifm f(x) =fm [x] = n=(n)x-u+ x-on+pero Ifm f(x) =im [x] = n - 1 ~ fen)

X-J/~ X~JI~

r n DEFINICION Una funci6nf es continua sob re un interv alo si es continua entodo mimero en el intervalo. (Sifse define iinicamente en un lado de un punto ex-tremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha 0 continuadesde fa irquierda.i

E JE f. 1P lO 4 Demuestre que la funci6n j(x) = - . J l - x2 es continua sobre elintervalo [ - 1, 1].~OLUCI ( ) t lSi -1 < a (I (por la, leyes ;: y 7)I par ]a ley 1 1 J

= -.J1--Q2 tpor las lcye-, 2, 7 Y 9 )=(a )

De suerte que par la definicion 1,f es continua en a si -1 < a < l . Calculos similhacen ver que

lfrn j(x) ==e-I)x-"~I+

Ifm f(x) ==(l )x-I~yx de modo que j es continua desde la derecha en -1y continua desde la izquierda en 1Par consiguiente, segun la definici6n 3, f es continua sabre I-I,1].

En la figura 4 se i1ustra la grafica de f Es la mitad inferior del cfrculoK + (y - 1) 2=I

En Ingar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 Y3 para comprobar la continuide una funcion, como en el ejemplo 4, a menudo resulta conveniente aplicar el teorsiguiente, el cual muestra como formar funciones continuas complicadas a partir deciones sencillas.


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122 IIII CAPITULO 2 LiMITES Y DERIVADAS

[I] TEOREMA Sify 9 son continuas en a y c es una constante, entonees las funes siguientes tambien son eontinuas en a:1. f+ 9 2. L : 9

S. 1i g(a) # 093. cf

4. fg

D E r 1 0 S T R A C I 6 u Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley dmites correspondiente de la seccion 2.3. Por ejemplo, demuestra la parte 1. Puesto9 son eontinuas en a,

lim f(x) =(a ).\'~(i

Ifm g(x) =(a ),t-)oa

yEn consecuencia,

lim (f + g)(x) = lim [j(x) + g(x)J,t~n X-,loCl=fm f(x) + lfrn g(x)

"x~"'11 ."(~a(por III Ley 1)

=f(a) + g(a)=f + g)(a)

Esto muestra que f + 9 es continua en a.Del teorema 4 y la definicion 3 se deduce que sify 9 son continuas sobre un

tambien 10 son las funcionesf + g,j - g, cf,fg Y (si 9 nunca es 0) fig. En la sese enuncio el siguienteteorema como propiedad de sustitucion direeta.

IT ] TEOREMA(a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo soI R =-00,00).

(b) Cualquier funcion raeional es continua, siempre que este definida; es decicontinua en su dominio.

D E r 1 0 S T R A C I O N(a) Un polinomio es una funcion de la forma

P(x) ="x " + C,,-IX,,-1 + ... + C1X + Codonde co, c], ... , c" son constantes. Sabe que

Ifm Co =o,r-)oa

ipor III Icy 7)

y lim XIII =m (por lu Icy 9)=1.2, ... , nEsta ecuacion es precisamente la proposicion de que Ia funcion j'(z) =" es unafuncion continua. Por esto, con base en la parte 3 del teorema 4, la funciong(x) = ex" es continua. Dado que P es una suma de funciones de esta forma yuna funcion constante, a partir de Ia parte 1 del teorema 4 se deduce que P escontinua.


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y

P( c os e , sen e )

o (1 ,0 ) xF IG U R A 5

ill Otra fo rm a de es tab lece r lo s lfrn ita s en (6 )es u sa r e l te ore ma d e la com pres i6 n co n lad e si g u a ld a d s e n ( ) < (J (p ara () > 0), 1 0 c u a ls e p ru eba e n la se cc io n 3.3 .

SECCI6N 2.5 CONTINUIDAD III!(b) Una funcion racional es una funcion de Ia forma

p(x)lex) =Q(x)donde P Y Q son polinomios. El dominio defes D = {x E IJ{ I Q(x) '" O} . S a b e, delciso (a), que P y Q son continuas en todas partes. De esta manera,j es continua en tmirnero en D, de acuerdo con la parte 5 del teorema 4.Como ilustracion del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varia continuam

te con su radio porque la formula V(r) =~iTT) hace vel' que V es una funcion polinomde r. Del mismo modo, si se lanza una pelota vertical mente en el aire, con una velocidad50 ft/s, despues la formula h =O t - 16t2 expresa la altura de la pelota, en pies, despde t segundos. De nuevo, es una funcion polinomial, de modo que la altura es una funccontinua del tiempo transcurrido.Saber cuales funciones son continuas permite evaluar algunos lfrnites con muc

rapidez, como demuestra el ejemplo siguiente. Cornparelo con el ejemplo 2(b) de la scion 2.3.

x3 + 2X2 - 1E jE f '. 1P I.O 5 Encuentre lim -----, 1 ' . . . . -2 5 - 3xS O L U C I O N La funcion

x3 + 2X2 - ]f(x) = 5 - 3xes racional, de modo que par el teorema 5 es continua sobre su dominio, el cual{ x I x '" n . En consecuencia

x3 + 2X2 - 1X~~2 5 - 3x = x~~J(x) =( -2)

(-2)3 + 2(-2)2 - 15 - 3(-2) I=- 11Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo nume

en su dominio. Por ejemplo, la ley de los lfmites 10 (pagina 110) es exactamente la prosicion de que las funciones rafz son continuas.Can base en el aspecto de las graficas de las funciones seno y coseno (figura 18, en

seccion 1.2), podrfa suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo can la defcion de sen e y cos e sabe que las coordenadas del punta P de la figura 5 son (cos e , senCuando e ---? 0, P tiende al punto (1, 0) y , par consiguiente, cos e -7 1 Y sen fJ ---? O.esta manera

11mcos e =O~ O lfm sen e =00.....Como cos 0 = 1 y sen 0 = 0, las ecuaciones dadas en (6) afirman que las funciones sey coseno son continuas en O.Par 10 tanto se pueden aplicar las formulas de la adicionra coseno y seno para deducir que estas funciones son continuas en todas partes (veaseejercicios 56 y 57).De Ia parte 5 del teorema 4, se deduce que

sen xtan x=-cosx


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F I G U R A 6 y==tan ,v

E n la s ec c i o n 1 .6 s e h a c e u n r e p a s od e l a s f u n c io n es t ri gonomelr icas inver sas.

es continua excepto donde cos x =O. Esto sucede cuando x es un rmiltiplo impar demodo que y =an x tiene discontinuidades infinitas cuando x=1T!2, 31T/2 , asf sucesivamente (vease la figura 6),La funcion inversa de cualquier funci6n uno a uno continua tarnbien es continu

hecho se comprueba en el apendice F, pero la intuici6n geometric a 1 0 hace parecnable: La grafica dej"" se obtiene reftejando la grafica dejrespecto a la recta y =bien, si la grafica de j no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la grafica de j-I,)modo, las funciones trigonometricas inversas son continuas,En la seccion 1.5 se defini6 la funcion exponencial y=t de modo que se llenagujeros en la grafica de esta funci6n donde x es racional. En otras palabras, ldefinici6n de y = a' la hace una funcion continua sobre I R . . Por 1 0 tanto, su funci6ny =og. x es continua sobre (0, 0 0 ) ,

[[] TEOREMA Los tipos siguientes de funciones son continuos en todo mimersus dominios:

polinomios funciones racionales funciones rafz

funciones trigonornetricas funciones trigonometricas inversasfunciones exponenciales funciones logaritrnicas

In x + tan-IxEJEM PL O 6 LEn d6nde es continua la funci6n j(x) = ?x2 - IS O L U C I O N POl' e l teorema 7 , sabe que la funci6n y = In x es continua para x > 0y =an -I x es continua sabre I R . . Asi, por la parte 1 del teorema 4, y =n x +es continua sobre (0, (0). EI denominador, y =2 - 1, es un polinornio, de modocontinuo en tad as partes. POl' 10 tanto, por la parte 5 del teorerna 4 , j es continutodos los mimeros positivos x, excepto donde x" - I= . De este modo,jes coen los intervalos (0, l) y (1, (0),

senxEjEt,1PLO 1Hallar el valor numerico del lim ----x-rr 2 + cos xS O L U C I O U EI teorema 7 dice que y =en x es continua. La f u n c i o n en e l denominy =2 + cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es coDese cuenta que esta funci6n jamas es cero porque cos x ;;;"-1 para toda x y2 + cos x > en todas partes. En estos terminos la relacion

sen xj(x) =2 + cosx

es continua en todas partes. Por 10 tanto, mediante la definici6n de funci6n conti

sen x sen TT 0Ifm =fmj(x) = j( 1T) = = -- =x~.. 2 + cos x .


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& \! Es te te ore ma e xp re sa q ue s e p ue de m ove run s im bo lo de lim ite a trave s de un sfm bo lo d efu nc i6 n, s i la fu nc i6 n e s c on tin ua y ellfmitea x i s t e . E n o tr as p a l a b r a s , S8 p ue de in ve rtir e lo rd en d e e ste s d os s fm bo la s.

SECCION 2.5 CONTINUIDAD 1 1 1 1

[]] T EOR EMA Sijes continua en b y lim g(x) = b, entonees lim j(g(x = feb).En otras palabras, x~" x-"~~j(g(x =( !~ ~ g(x)

A n ive l in tu i ti v e , este teorema resulta razonable porque si x esta cerea de a , despuesesta cerca de b y comojes continua en b, si g(x) esta cerea de b, en seguidaj(g(x esta cdej(b). Una demostraci6n del teorema 8 se proporciona en el apendice F.

(I_I x )EjEMPlO 8 Evahie Ifm arcseru+- .x-l I_S O l U C I O f I Ya que arcsen es una funci6n continua, aplique el teorema 8:

lim arcsen ( 1 - v I x ) =rcsen (lim _ l _ - _ v I x . : . . . . _ X ).


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~ E jEMP lO 9 l,En d o n d e son continuas las funciones siguientes?(a) hex ) =en(x2) (b) F(x) =n(1 + cos x)


2

-6F I G U R A 7y =In{1 + co s .r)

yfla) --N

f(b)--~--+-------------~~~o (1 /) XF I G U R A 9

que es precisamente Ia proposici6n de que la funci6n hex ) =(g(x es continuadecir,fo 9 es continua en a.

S O L U C I O N(a) Tiene hex ) =(g(x donde

g(x) = r y f0:) = sen xAhora 9 es continua sobre 1 R 1 , puesto que es un polinomio, y ftambien es continuapartes. Por consiguiente, h =o 9 es continua sobre I R 1 por el teorema 9 .(b) Con base en el teorema 7, sabe quef(x) = In x es continua y g(x) = 1 + ccontinua (porque tanto), = 1 como y = cos x son continuas). Par 10 tanto, del teorF(x) =(g(x es continuo siempre que este definido. Ahora bien, In (I + cosdefinido cuando 1 + cos x> O.De este modo, no esta definido cuando cos x = -1,sucede cuando x=1 T , 3 1 T , . . . . Por esto, F tiene discontinuidades cuando x es uplo impar de 1 T yes continua sobre los intervalos entre estos valores. (Vease la figurUna propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente

cuya demostraci6n se encuentra en libros mas avanzados de calculo.

0]] TE OR EM A D El VA LO R IN TE RM ED IO Suponga que f e s continua sobre el invalo cerrado [a, b] y sea N cualquier mimero entref(a) y feb), dondef(a) - febPor 1 0 tanto existe un mimero c en Ca,b) tal quef(c) =.El teorema del valor intermedio afirma que una funci6n continua toma todos lo

intermedios entre los valores de la funci6n f(a) y f(b). Este hecho se ilustra en laObserve que el valor N se puede tomar una vez [como en Ia parte (a)] a mas de una ven Ia parte (b)].

y y

f(a)

(1 C,

f(b)I~~~-ib) -~-------Nl-----------;f y=j(x)

y=f(x) f(a) -"

oc b x1F I G U R A 8 (a) (b)

Si piensa en una funci6n continua como en una funci6n cuya grafica no tieneo rupturas, en tal caso es facil creer que el teorema del valor intermedio es ciertominos geometric os, dice que si se da cualquier recta horizontal y = N entre yY =Cb), como en la figura 9, por 10 tanto la grafica defno puede saltar sobreDebe intersecar y =N en alguna parte.Es importante que la funcion f del teorema 10sea continua. En general, el teorema

intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (vease el ejercicio 44).Un uso del teorema del valor intermedio es hallar las rakes de ecuaciones, co

ejemplo siguiente.


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SECCION 2.5 CONTINLJIDAD llll[IjEJEMPlO 10 Demuestre que existe una rafz de lu ecuacion

4x3 - 6x2 + 3x - 2=entre 1 Y 2 .S O l U [ I O t l Seaf(x) =4x3 - 6x z + 3x - 2 . Busea una solucion de la ecuacion dada; esdeeir, un mlmero centre 1 y 2 tal quef(c) = . Por 10 tanto, en el teorema 10 , toma a =b= Y N= . Tiene

f(1) = - 6 + 3 - 2=1 < 0y f(2) =32 - 24 + 6 - 2=12 > 0Por esto,f(l) < 0


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128 IIII CAPiTULO 2 L1MITESY DERIVADAS

CIOS1. Escriba una eeuaci6n que exprese el hecho de que una funcionIs continu

Cap 2 - Límites Y Derivadas - Pag 82-171

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