Cap. 13 Cerchio e circonferenza. Terzo postulato Punto A (centro) Lunghezza Circonferenza Per...

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Cap. 13 Cerchio e Cap. 13 Cerchio e circonferenzacirconferenza

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Terzo postulatoTerzo postulatoPunto A (centro)

Lunghezza

Circonferenza Per definire una circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio

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Definizione di Definizione di circonferenza

Si definisce Si definisce circonferenza il circonferenza il luogo geometrico luogo geometrico dei punti del dei punti del piano equidistanti piano equidistanti da un punto detto da un punto detto centro della centro della circonferenzacirconferenza

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Quante circonferenze passano

per un punto?

Quante circonferenze passano

per due punti?

Ricorda l’asse di un segmento

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi

Qualsiasi punto dell’asse può essere in centro di una circonferenza che passa per A e B perciò …..

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Il circocentroIl circocentro

Dal latino Dal latino circumcircum (circolo) e dal greco (circolo) e dal greco (centro) (centro)

Si definisce Si definisce circocentro circocentro il punto di incontro dei il punto di incontro dei tre assi di un triangolotre assi di un triangolo

Il nome deriva da una Il nome deriva da una proprietà facilmente proprietà facilmente ricavabile se si ricorda ricavabile se si ricorda il significato di asseil significato di asse

Quante circonferenze passano per tre punti non allineati?….. Ricordiamo il circocentro di un triangolo

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Proprietà del circocentroProprietà del circocentroConsideriamo l’asse del lato CB, Consideriamo l’asse del lato CB, per definizione il punto O per definizione il punto O (appartenente all’asse) è (appartenente all’asse) è equidistante da C e da Bequidistante da C e da B

OB = OCOB = OC

Prendiamo l’asse del lato AC, Prendiamo l’asse del lato AC, ancora una volta O è ancora una volta O è equidistante da A e da Cequidistante da A e da C

OC = OAOC = OA

A questo punto si ha che: A questo punto si ha che: OB=OC=OAOB=OC=OA

Il circocentro è equidistante di Il circocentro è equidistante di vertici del triangolovertici del triangolo

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Il centro del circolo ….Il centro del circolo ….

È ora chiaro che il È ora chiaro che il circocentro è il centro circocentro è il centro cella circonferenza cella circonferenza che passa per i vertici che passa per i vertici del triangolodel triangolo

Da cui …. Da cui …. Qualsiasi Qualsiasi triangolo può essere triangolo può essere inscritto in una inscritto in una circonferenzacirconferenza

I vertici di un triangolo costituiscono tre punti non allineati pertanto ….

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Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza

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Definizione di cerchioDefinizione di cerchio

Si definisce Si definisce cerchio la cerchio la porzione di porzione di piano racchiusa piano racchiusa da una da una circonferenzacirconferenza

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RaggioRaggio

Si definisce Si definisce raggio di una raggio di una circonferenza in circonferenza in segmento che segmento che unisce il centro unisce il centro con un qualsiasi con un qualsiasi punto della punto della circonferenzacirconferenza

Tutti i raggi di una stessa circonferenza sono congruenti

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Corda e diametroCorda e diametroSi definisce corda qualsiasi Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due segmento che unisce due punti della circonferenzapunti della circonferenza

Si definisce diametro una Si definisce diametro una corda che passa per il corda che passa per il centro della circonferenzacentro della circonferenza

Tutti i diametri sono Tutti i diametri sono congruenticongruenti

È facile vedere che : È facile vedere che :

dd = = 2r2r

Il diametro rappresenta anche la corda di dimensione massima

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SemicirconferenzaSemicirconferenzaConsideriamo una circonferenza e un suo diametroIl diametro divide la circonferenza in due parti congruentiCiascuna di queste parti prende il nome di semicirconferenzasi definisce semicirconferenza

ciascuna delle due parti in cui la circonferenza risultasuddivisa da un suo diametro

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Arco di circonferenzaArco di circonferenzaPrendiamo una Prendiamo una circonferenza e mettiamo circonferenza e mettiamo su di essa due puntisu di essa due punti

Si definisce arco di Si definisce arco di circonferenza ciascuna circonferenza ciascuna delle due parti in cui la delle due parti in cui la circonferenza risulta circonferenza risulta suddivisa dai due puntisuddivisa dai due punti

I punti B e C individuano I punti B e C individuano l’arco l’arco cc e l’arco e l’arco dd

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Arco e angolo al centroArco e angolo al centro

Se degli estremi di un arco Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i di circonferenza traccio i due raggi si forma un due raggi si forma un angolo al centro angolo al centro Tale angolo prende il Tale angolo prende il nome di angolo al centronome di angolo al centro

Si dice che l’arco AB Si dice che l’arco AB sottende un angolo sottende un angolo e e l’angolo l’angolo è sotteso da un è sotteso da un arco ABarco AB

Archi uguali sottendono angoli uguali

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Relazione arco - cordaRelazione arco - corda

Dai i due punti che Dai i due punti che costituiscono gli estremi costituiscono gli estremi dell’arco io posso tracciare dell’arco io posso tracciare una cordauna corda

In questo caso diremoIn questo caso diremo che la corda AB che la corda AB sottende l’arco ABsottende l’arco AB

L’arco AB è sotteso dalla corda AB

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È data una circonferenza di centro O e raggio r

Su di essa tracciamo due archi congruenti AB e A’B’

Essi sottendono le corde a e a’

Se tracciamo i raggi otteniamo due triangoli OAB e OA’B’ congruenti per il primo criterio perché:

OB = O’B’ e OA = O’B’ perché raggi di una stessa circonferenza = ’ perché angoli al centro di archi uguali

Se ciò è vero possiamo concludere che: AB = A’B’

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Archi congruenti sono sottesi da

corde congruenti

Corde congruenti sottendono

archi congruenti

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Prima abbiamo fatto un’affermazione a cui non era stata data alcuna giustificazione

Essa intuitivamente ci è sembrata vera

Dimostriamo che effettivamente è così

Prendiamo la seguente figura

Consideriamo il triangolo ABO

Per il criterio di esistenza dobbiamo avere che AB < AO + OB

Cioè corda < r + r

Ma r + r = d perciò

Corda < d

Il diametro rappresenta anche la corda di dimensione

massima

corda

raggio

In ogni circonferenza qualsiasi corda è minore

del diametro

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Proprietà del triangolo isosceleProprietà del triangolo isosceleSe i triangoli ACD e CDB Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che AD = sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e DB cioè D è il punto medio e l’altezza è anche medianal’altezza è anche medianaL’altezza è la perpendicolare L’altezza è la perpendicolare condotta a partire dal punto condotta a partire dal punto medio perciò sta sul suo medio perciò sta sul suo asseasseSe i triangoli ACD e BCD Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno uguali sono uguali saranno uguali anche anche e e perciò l’altezza è perciò l’altezza è anche bisettrice dell’angolo anche bisettrice dell’angolo in Cin C

In un triangolo isoscele

l’altezza relativa alla base

è anche asse, mediana e bisettrice

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È data una circonferenza di centro O e raggio r ed una sua corda AD

Tracciamo due raggi che uniscono gli estremi della corda col centro della circonferenza

Otteniamo il triangolo isoscele ABO

Tracciamo l’altezza, essa sarà anche asse, mediana, e bisettrice pertanto …

La perpendicolare alla corda passante per il centro della circonferenza divide la corda a metà

Consideriamo ora un’altra corda congruente con la prima e tracciamo i raggi dai suoi due estremi

Per il terzo criterio i triangoli AOB e A’B’O risulteranno congruenti

Le loro altezze h e h’ risulteranno congruenti

Se due corde sono congruenti e

appartengono alla stessa circonferenza sono equidistanti dal

centro

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Posizioni reciproche di punto e Posizioni reciproche di punto e circonferenza appartenente ad un piano circonferenza appartenente ad un piano

Un punto è esterno ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r

Un punto appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r

Un punto è interno ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio

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Secanti e tangentiSecanti e tangentiUna retta si dice Una retta si dice secantesecante se interseca se interseca una curva in due o più una curva in due o più puntipuntiUna retta si dice Una retta si dice tangentetangente ad una curva ad una curva se ha un solo punto di se ha un solo punto di contattocontatto (da (da tangere tangere toccaretoccare) ) con la curvacon la curva ((o meglio la tocca in o meglio la tocca in due punti coincidentidue punti coincidenti))

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Posizioni reciproche di retta e circonferenza Posizioni reciproche di retta e circonferenza appartenente ad un piano appartenente ad un piano

Una retta è esterna ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r

Una retta è tangente alla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r

Una retta è secante ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio

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Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essaTangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa

È data una circonferenza c di centro o e raggio r ed un punto p esterno ad essaDal punto P tracciamo le tangenti m e t alla circonferenza e siano H e K i punti di contattoTracciamo i segmenti OH, OP e OH e otteniamo due triangoli OHP e OKP congruenti per il primo principio di congruenzaPertanto risulta anche che PH = PK

I segmenti che hanno per estremi il punto P e i punti

di tangenza alla circonferenza sono congruenti

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Le tangenti alla circonferenzaLe tangenti alla circonferenzaLe tangenti alla Le tangenti alla

circonferenza sono sempre circonferenza sono sempre perpendicolari al raggioperpendicolari al raggio

La dimostrazione è per assurdo e non rientra nei programmi di scuola media

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Dimostriamo che i triangoli OHP e OKP sono congruentiTracciamo la corda HKIl segmento OP sta sull’asse della corda pertanto è bisettrice di KOH perché, come sappiamo, il triangolo OKH è isosceleA questo punto abbiamo: a = b 1 = 2 e d in comuneI due triangoli sono congruenti per il primo principio

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Posizioni reciproche di due circonferenzePosizioni reciproche di due circonferenzeSono date due circonferenze di centri O e O’ e raggi r ed r’ con r>r’ le due circonferenze si dicono:Esterne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ > r + r’Tangenti esterne se si toccano in un punto P con OO’ = r + r’Secanti se hanno due punti P e Q di contatto r – r’ < OO’ < r + r’Tangenti interne se si toccano in un punto P con OO’ = r – r’Interne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ < r – r’Concentriche se si ha che O ≡ O’

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Angolo alla circonferenzaAngolo alla circonferenza

si chiama angolo alla si chiama angolo alla circonferenza un circonferenza un angolo con il vertice angolo con il vertice su una circonferenza su una circonferenza e i lati o entrambi e i lati o entrambi secanti secanti (prima specie),(prima specie), o uno secante e l'altro o uno secante e l'altro tangente alla tangente alla circonferenza circonferenza (seconda specie).(seconda specie).

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Relazione fra angolo e angolo alla circonferenzaRelazione fra angolo e angolo alla circonferenzaSia data una circonferenza c di centro O e raggio r e un arco AB su di essaTracciamo un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco d

Tracciamo il diametro che passa per C ed O

Il triangolo COA avrà gli angoli , e 180 – 2

Gli angoli AOD e COA sono supplementari, siccome uno dei due è 180 – 2 l’altro necessariamente sarà 2 il doppio di ACO

Discorso analogo lo possiamo fare per il triangolo OCB e per l’angolo DOB

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L’angolo alla circonferenza sarà dato da +

L’angolo al centro da 2 + 2xcioè esattamente il doppio dell’angolo alla circonferenza

In una circonferenza l’angolo al centro che insiste su un certo arco sarà sempre il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco

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Angoli alla circonferenza che Angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arcoinsistono su uno stesso arco

Su uno stesso arco di Su uno stesso arco di circonferenza circonferenza

insistono infiniti insistono infiniti angoli alla angoli alla

circonferenza ed circonferenza ed hanno tutti lo stesso hanno tutti lo stesso

valorevalore

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Segmento circolareSegmento circolareConsideriamo un cerchio ed Consideriamo un cerchio ed una sua corda auna sua corda a

La corda divide il cerchio in due La corda divide il cerchio in due partiparti

Si definisce segmento circolare Si definisce segmento circolare

ciascuna delle due particiascuna delle due parti

Si definisce Si definisce segmento circolare segmento circolare una porzione di una porzione di cerchio delimitata da cerchio delimitata da una cordauna corda

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Settore circolareSettore circolarePrendiamo un cerchio e un suo Prendiamo un cerchio e un suo arco BCarco BC

Tracciamo i due raggi che Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dell’arco con uniscono gli estremi dell’arco con il centroil centro

Otteniamo cosi una porzione di Otteniamo cosi una porzione di cerchiocerchio

Si dice settore Si dice settore circolare la porzione di circolare la porzione di cerchio racchiusa da cerchio racchiusa da due raggi e un arco di due raggi e un arco di circonferenza.circonferenza.

Cosa succede se aumento ?

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Corona circolareCorona circolare

Consideriamo due Consideriamo due circonferenze concentriche di circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 raggio r1 ed r2 con r1 > r2> r2

fra le due circonferenze si fra le due circonferenze si trova una porzione di pianotrova una porzione di piano

Chiamiamo questa porzione Chiamiamo questa porzione di piano corona circolaredi piano corona circolare

Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

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FormuleFormule

C = x dMa d = 2 x r

allora

Circonferenza uguale a p greco per il diametro

C = x 2r

Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio

Formule

inverse

Cd C

r