En lapieza empotrada en A de la figura, con un resorte torsional en C y sobre la que acta un momento M en D, la tensin en el punto P de la seccin B es la indicada. Si el material tiene un mdulo de elasticidad transversal de 80000 MPa se pide: a.Calcular M. b.Obtener cul debe ser el dimetro D para que mx en AC y en CD sean iguales. c.Giro en la seccin D. LaestructuraquesenospresentatieneunresorteenelpuntoC.Setratadeunmuelle torsionalquepermiteciertasdeformacionesperoquepresentaresistenciaalgiro.Su resistencia frente al giro viene dada por su rigidez Km que nos dice que por cada 5.73108Nmm de momento que apliquemos al resorte conseguiremos hacerlo girar un radin.Todo lo mencionado significa que el muelle torsional crea una reaccin en forma de momento torsorMm,aligualquetendremosunareaccinenformademomentotorsorenel empotramiento A. As, el esquema de todas las fuerzas aplicadas y las reacciones es: Paraplantearelequilibrioestticosloes necesarioutilizarlaecuacindeequilibrio demomentos.Enestecasoslohay momentos torsores (momentos respecto al eje de la barra y alrededor de l).MT=0M-MA-Mm=0 Seobtienefcilmenteeldiagramademomentostorsoresenfuncindelosvalores presentados.Comosimpre,paraobteneresfuerzosenunaseccinhandeversetodaslas cargas y reacciones que crean dicho esfuerzo a un lado de la seccin. A D M MA Mm C =40MPa 1000 B Km=5.73108Nmm/rad 500 25 100 Seccin B D A CD M 500 P As,eneltramoAC,porcualquierseccinquecortemos,vemosqueelnicotorsorquenos quedaalladoizquierdoesMA.Simiramosalladoderechodelaseccinelresultadoesel mismo (M-Mm que es igual a MA segn el equilibrio esttico). Talycomodibujamosinicialmenteelsentidodelosmomentos podemos decir que el momento torsor en el tramo AC tiene signo positivo(+MA)pues,siaplicamoslaregladelamanoderecha, podemosrepresentarlosmomentosacadaladocomovectores salientes de la seccin. En el tramo CD, por cualquier seccin que cortemos, vemos que el nico torsor que nos queda alladoDerechoesM.Simiramosalladoizquierdodelaseccinelresultadoeselmismo (MA+Mm que es igual a M segn el equilibrio esttico). Igualqueeneltramoanterior,considerandoelsentidodelos momentos podemos decir que el momento torsor en el tramo CD tienesignopositivo(+M)pues,siaplicamoslaregladelamano derecha,podemosrepresentarlosmomentosacadaladocomo vectores salientes de la seccin. Conociendo los momentos torsores y sus signos se dibuja el diagrama de torsores, aunque sin valores numricos. Por el momento hay dos incgnitas en forma de reacciones MA y Mm y una nica ecuacin de la esttica.Esuncasohiperestticoalquedebemosaadirotraecuacin.Enelenunciadonos dan la tensin en un punto de la seccin B, por tanto con este dato podemos obtener el valor de MA. SabemoslatensinenBparaunadistanciar=25mmdel centro de la seccin. 64 40 25 15.710502T AAPM Mr MPa M NmmI= = = Tenemos ya el valor de MA=15.7106 Nmm Por otro lado, tambin sabemos que el giro de la seccin C se relaciona con el momento Mm dela seccin C a travs de la constante del muelle. As: 85.7310m mC C A CmM MK = = =Y ese giro de C, que es igual al giro relativo A-C, puede obtenerse tambin por: =40MPa 25 100 P BACD MA M MA+Mm=M M MAM-Mm=MA 64 4 15.71010000.02 80000 502 2A AC TA CPM L M LradG IG R = = = =Usando la ecuacin del muelle ya podemos despejar el momento en el muelle Mm. 680.02 11.5105.7310mC A C mMM Nmm = = = = Una vez conocidos MA y Mm, del equilibrio esttico: 6 6 690.02 15.710 11.510 27.2105.7310mC A C A mMM M M Nmm = = = = + = + = El momento aplicado, por tanto, es: 627.210 27.2 M Nmm kNm = =Tambin nos piden el dimetro D para que la tensin mxima sea la misma en los dos tramos. Para ello hay que utilizar la frmula de la tensin con el radio mximo posible. 64 46634315.710 50 80502 227.210 80 12027.21016 2162 2AmxAC ACACTmxPmxCDMR MPaRMR D mmM DIDDD = = = = = = ` = = | | |\ . ) El giro en la seccin D que nos solicitan ser el giro del tramo AC ms el giro del tramo CD. El giro AC ya fue obtenido anteriormente como 0.02 rad. Por tanto, veamos el giro CD: 64 4 27.21010000.017 80000 12032 32CD TC DPML M LradG IG D = = = =El giro total AD ser el giro de D y se obtiene sumando: 0.02 0.017 0.037A C C Drad + = + =