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Cap. 11 Introducción a la Trigonometría

Daniel Alfonso Pardo1

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1Tecnológico de Antioquia Institución UniversitariaCurso de Geometría y Trigonometría.

Geometría y Trigonometría (TdeA) Trigonometría 9 de Junio de 2020 1 / 26

Outline

1 Introducción

2 Funciones Trigonométricas a partir del4 rectángulo

3 Recíprocos de las funciones trigonométricas fundamentales

4 Grados y Radianes

5 Despejar un ángulo: funciones trigonométricas inversas

6 Obtener la longitud de los lados de un4 rectángulo

7 Taller final del curso


Introducción

Dados los triángulos rectángulos semejantes de la figura:4ABC ∼ 4DEF

m∠A = m∠D = 30◦ m∠B = m∠E = 90◦ m∠C = m∠F = 60◦

AB

DE= BC

EF= AC

DF(1) →

√3

2√

3= 1

2 = 24 ≡

12

La ecuación (1) también implica que las razones entre magnitudes de ladoscorrespondientes en cada4 semejante son equivalentes:

BC

AC= EF

DF= 1

2AB

AC= DE

DF=√

32

BC

AB= EF

DE= 1√

3Geometría y Trigonometría (TdeA) Trigonometría 9 de Junio de 2020 3 / 26

BC

AC= EF

DF= 1

2AB

AC= DE

DF=√

32

BC

AB= EF

DE= 1√

3

BC es el cateto opuesto a ∠A

AB es el cateto adyacente a ∠A

AC es la hipotenusa de4ABC

EF es el cateto opuesto a ∠D

DE es el cateto adyacente a ∠D

DF es la hipotenusa de4DEF

para cualquier4 rectángulo con ángulo de medida de 30◦, el cociente entre lasmagnitudes del cateto opuesto y la hipotenusa da siempre el mismo valor.

Lo mismo se concluye para el cociente entre medidas del cateto adyacente y lahipotenusa, y también, para el cociente entre medidas de los catetos.


Funciones Trigonométricas a partir del4 rectángulo

Definición: Función SenoEl seno de un ángulo con medida θ es el cociente entre las magnitudes del catetoopuesto y la hipotenusa.

seno (θ) ≡ sin (θ) = cateto opuestohipotenusa

Del ejemplo, sin (30◦) = 12 = 0,5

Definición: Función CosenoEl coseno de un ángulo con medida θ es el cociente entre las magnitudes del catetoadyacente y la hipotenusa.

coseno (θ) ≡ cos (θ) = cateto adyacentehipotenusa

Del ejemplo, cos (30◦) =√

32


Definición: Función TangenteLa tangente de un ángulo con medida θ es el cociente entre las magnitudes del catetoopuesto y el cateto adyacente.

tangente (θ) ≡ tan (θ) = cateto opuestocateto adyacente

Del ejemplo, tan (30◦) = 1√3

=√

33

Puesto que:

tan (θ) = cateto opuestocateto adyacente

=

cateto opuestohipotenusa

cateto adyacentehipotenusa

= sin (θ)cos (θ)


Alerta: en todas las anteriores expresiones, el ángulo θ aparece en el argumento deuna función. No confundir tan (θ) con el producto de tan y θ, lo cual no tieneningún significado.

Un error típico de principiante:

tan (θ) = sin (θ)cos (θ) =

sin(�θ)

cos(�θ) = sin

cos

Por favor, no lo cometas!


Recíprocos de las funciones trigonométricas fundamentales

Cotangente, Secante y Cosecante de un ánguloA partir del recíproco de las 3 funciones fundamentales se definen otras 3 funcionestrigonométricas:

cotangente (θ) = 1tangente (θ) → cot (θ) = 1

tan (θ) = cos (θ)sin (θ) = C.Adyacente

C.Opuesto

secante (θ) = 1coseno (θ) → sec (θ) = 1

cos (θ) = HipotenusaC.Adyacente

cosecante (θ) = 1seno (θ) → csc (θ) = 1

sin (θ) = HipotenusaC.Opuesto

Nota: El recíproco multiplicativo de x es:1x

= x−1.Sin embargo, en funciones se debe tener cuidado, pues el recíproco multiplicativo de

tan (θ) es: cot (θ) = 1tan (θ) = (tan (θ))−1 pero no: tan−1 (θ)

Esta última representa la función tangente inversa, la cual es una nueva función.Geometría y Trigonometría (TdeA) Trigonometría 9 de Junio de 2020 8 / 26

Es también importante mencionar que, en cuanto a la notación usual:

sin (θ) = sin θ

Es decir, no exige la escritura del paréntesis1. Además:

(sin θ)2 = sin2 θ

lo cuál es válido, excepto si la potencia es−1, como se indicó en la diapositiva previa.

Pero:(sin θ)2 6= sin θ2

y mucho menos:

(sin θ)2 6= sin2 θ2

1También suele omitirse el símbolo de grados. Es decir: sin (30◦) = sin 30◦ = sin 30Geometría y Trigonometría (TdeA) Trigonometría 9 de Junio de 2020 9 / 26

El seno de un ángulo es igual al coseno del complemento.

La tangente de un ángulo es igual a la cotangente delcomplemento

La secante de un ángulo es igual a la cosecante delcomplemento.

Por esta razón cada par se denominan cofunciones

sin 30 = 12

cos 30 =√

32

tan 30 = 1√3

=√

33

cot 30 =√

31 =

√3

sec 30 = 2√3

= 2√

33

csc 30 = 21 = 2

sin 60 =√

32

cos 60 = 12

tan 60 =√

31 =

√3

cot 60 = 1√3

=√

33

sec 60 = 21 = 2

csc 60 = 2√3

= 2√

33


Otro triángulo fundamental: 45− 45− 90

sin 45 = 1√2

=√

22

cos 45 = 1√2

=√

22

tan 45 = 11 = 1

cot 45 = 11 = 1

sec 45 =√

21 =

√2

csc 45 =√

21 =

√2


Grados y Radianes

El ángulo central de un círculo es por definición 360◦ y también 2π radianes (rad):

360◦ = 2π rad

Esta identidad permite convertir cualquier ángulo de grados a radianes y viceversa.Ejemplo: ¿A cuántos radianes equivalen 45◦?

45◦ = 45◦ × (1)

= 45◦ ×(

2π rad360◦

)= 45◦ ×

(�2π rad��360◦

)= 45◦ ×

(π rad180◦

)= ��45◦ ×

(π rad��180◦

)= π rad

4

45◦ = π

4 rad


Note que la identidad (o regla de transformación) puede también escribirse como

180◦ = π rad

Ejemplo: ¿A cuántos grados equivaleπ

6 rad?

π

6 rad = π

6 rad× (1)

= π rad6 ×

(180◦

π rad

)=

��π rad�6×(��180◦

��π rad

)= 30◦

π

6 rad = 30◦

Esto significa que:

sin 30 = sin(π

6

)= 1

2donde se sobreentiende que el primero está en grados y el segundo en radianes. Serecomienda verificar esto en la calculadora. Así mismo:

sin 45 = sin(π

4

)=√

22


Ejercicio: ¿A cuántos radianes equivalen 60◦?

AlertaEn las calculadoras la tecla o función que se refiere a grados es: D o Deg. Estodado su forma en Inglés: Degree

Para radianes, la función es R o Rad

No confundir D o Deg con Grad. Grad es la forma abreviada de otra unidadpara medidas de ángulos denominada Gradián (o grado centesimal) en donde:

90◦ = 100 Grad

Esta unidad, propuesta en la revolución francesa y basada en el sistema decimal,tiene menor uso pero algunas calculadoras aún la emplean.

Nota: Un gradián también era denominado grado centígrado


Despejar un ángulo: funciones trigonométricas inversas

Un problema típico en geometría es:

Dado el triángulo de la figura, con lados demagnitud conocida, determine las medidasde sus ángulos.

Esta es justamente la razón por la cuál hablamos de trigonometría que literalmentesignifica el estudio de las medida en un triángulo. Sabemos que θ + β = 90◦, peronecesitamos una ecuación adicional dado que hay 2 incógnitas.

Para responder a la pregunta, podemos plantear:

sin β = 47,21 ' 0,5548

La pregunta es ¿cómo despejar el valor de β en esa ecuación?


Aunque la discusión sobre funciones inversas estápor fuera del programa de este curso, recuerde quela siguiente propuesta NO tiene ningún sentido:

sin β = 0,5548

β = 5548sin

Evite pasar esa vergüenza!La regla general de las funciones y sus inversas es la siguiente. Dada una funcióny = f(x) , la función inversa de f(x), denotada por f−1(x), cumple

y = f(x) → f−1(y) = f−1(f (x) )︸︷︷︸x

= x

Es decir, la función inversa f−1 aplicada sobre f(x) retorna el valor del argumento.Por tanto:

sin β = 0,5548 → sin−1( sin (β) )︸︷︷︸β

= sin−1(0,5548)

→ β = sin−1 (0,5548) ' 33,7◦


y claramente, conocido β, podemos calcular θ:

β + θ = 90◦ → θ = 56,3◦

Las funciones trigonométricas inversas también tienen otras notaciones:

sin−1 (θ) = arcsin (θ) Seno inverso, Arcoseno, Arcsin, ArcSin.

cos−1 (θ) = arc cos (θ) Coseno inverso, Arcocoseno, Arccos, o ArcCos.

tan−1 (θ) = arctan (θ) Tangente inversa, Arcotangente, Arctan, o ArcTan.

dependiendo del tipo de calculadora o programa de cómputo. De manera similar conlas inversas de las 3 funciones recíprocas.


Obtener la longitud de los lados de un4 rectángulo

Un segundo problema típico en geometría es:

Dado el triángulo rectángulo de la figura, en dondese conoce la magnitud de un lado y de un ánguloagudo, determine las cantidades desconocidas.

Para el ángulo θ sabemos que θ + 30,96◦ = 90◦ → θ = 59,04◦ . El problema esentonces ¿cómo determinar los otros dos lados si sabemos que el teorema dePitágoras no permite, por sí mismo, responder a dos incógnitas?

Para responder a la pregunta, podemos plantear:

sin 30,96 = 3c

c = 3sin 30,96 ' 5,83

y conocidos dos lados, entonces usar Pitágoras u otra relación trigonométrica, porejemplo:

cos 30,96 = b

c' b

5,83 b ' 5,83 cos 30,96 ' 5


Taller Trigonometría (Fecha de entrega: Martes 16 de Junio)


Pautas del taller y directrices de final de semestre

El taller consta de 25 ejercicios.

Puede resolverse en equipos de hasta 4 personas.

Debe subirse al enlace correspondiente en la página del curso a más tardar el día16 de Junio a las 23 : 59.

Deben incluirse autores, enunciados, dibujos y procedimientos en un soloarchivo (preferiblemente word).

La nota de este seguimiento se promediará con la última evaluación (quizvirtual 3) para determinar la nota del parcial final (20 %).

El quiz virtual 3 se realizará el 16 de Junio y los supletorios el 18 de Junio(última semana académica).

No se admitirán entregas fuera de tiempo o por email.

Las inquietudes podrán ser discutidas en la siguiente sesión del 11 de junio.


Sólo para curiosos


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